Radiciação: Definição e Propriedades

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Prof. Msc. Paulo Pereira – Canal EQUACIONA (youtube) 
Módulo IX – RADICIAÇÃO 
 
RESUMO TEÓRICO 
 
1. Definição 
Dado 𝑎 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℕ e 𝑛 > 1, a raiz n-ézima de 𝑎 é o 
número 𝑏 tal que 
 
√𝑎
𝑛
= 𝑏 ↔ 𝑏𝑛 = 𝑎 
 
Na definição acima, se 𝒏 é par, devemos considerar 
𝒂 > 𝟎 e 𝒃 > 𝟎. Se tivermos 𝒂 < 𝟎, não existirá, no 
campo dos Reais, um valor para √𝒂
𝒏
. 
 
Obs. 1: Em √𝑎
𝑛
, 𝑛 é o índice e 𝑎 é o radicando. 
Obs. 2: Se 𝑛 = 2, escreveremos apenas √𝑎 no lugar de 
√𝑎
2
. 
 
Exemplos: 
𝑎) √81 = 9, 𝑝𝑜𝑖𝑠 92 = 9.9 = 81 
Obs.: Ainda que (−9)2 = 81 também, por definição 
√81 = 9 (apenas o valor positivo). 
 
𝑏) √−8
3
= −2, pois (−2)3 = (−2). (−2). (−2) = −8. 
 
𝑐) √32
5
= 2, pois 25 = 2.2.2.2.2 = 32. 
 
𝑑) √−16
4
 não existe nos Reais! Para índice par, 
devemos considerar o radicando sempre positivo. 
Repare ainda que 24 = 2.2.2.2 = 16 e (−2)4 =
(−2). (−2). (−2). (−2) = 16 
 
Propriedades dos Radicais 
 
√𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎 (𝑎 ≥ 0) 
 
𝑎) √56
6
= 5 
 
√𝑎𝑛
𝑛
= |𝑎| (𝑛 𝑝𝑎𝑟) 
 
𝑏) √38
8
= |3| = 3 
 
𝑐)√(−3)8
8
= |−3| = 3 
 
√𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
. √𝑏
𝑛
 (𝑎, 𝑏 ≥ 0) 
 
𝑑) √8.27
3
= √8
3
. √27
3
= 2.3 = 6 
 
𝑒) √𝑥2. 𝑦. 𝑧² = √𝑥². √𝑦. √𝑧² = |𝑥|. √𝑦. |𝑧| 
 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 (𝑠𝑒 𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑏 > 0) 
 
 
𝑓) √0,0016
4
= √
16
10000
4
=
√16
4
√10000
4 =
2
10
= 0,2 
 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚.𝑝
𝑛.𝑝
 ( 𝑝 ∈ ℕ∗) 
 
𝑔) √52
3
= √52.4
3.4
= √58
12
 
 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎
𝑚
𝑝
𝑛
𝑝
 ( 𝑝 ∈ ℕ∗ 𝑒 𝑝 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑚 𝑒 𝑑𝑒 𝑛) 
 
 
ℎ) √16
8
= √24
8
= √2
4
4
8
4
= √21
2
= √2 
 
𝑖) √𝑥15. 𝑦10. 𝑧5
20
= √𝑥
15
5 . 𝑦
10
5 . 𝑧
5
5
20
5
= √𝑥3. 𝑦2. 𝑧
4
 
 
√ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
 (𝑎 ≥ 0) 
 
𝑗) √√64
3
= √64
2.3
= √64
6
= 2 
 
𝑘) √√√2 = √2
2.2.2
= √2
8
 
 
( √𝑎
𝑛
)
𝑚
= √𝑎𝑚
𝑛
 (𝑎 ≥ 0) 
 
𝑙) (√4
6
)
3
= √43
6
= √26
6
= 2 
 
√𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 (𝑎 ≥ 0 𝑒 𝑛 ≠ 0) 
 
𝑚) √𝑥5
4
= 𝑥
5
4 
 
𝑚) √2 = 2
1
2 
 
 
EXERCÍCIOS - FIXAÇÃO 
 
1. Calcule o valor de cada um dos seguintes radicais: 
 
𝑎) √−243
5
 
 
𝑏)√1296
4
 
 
2. Simplifique os radicais: 
 
𝑎) √𝑎2 + 6𝑎 + 9 
 
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𝑏)√
𝑎6. 𝑦7
𝑥6
6
 
 
 
3. Introduza no radical: 
 
𝑎) 7√3 
 
𝑏)2𝑎 √5𝑎
4
 
 
 
 
4. Simplifique ao máximo 
 
𝑎) √√√81
3
 
 
𝑏) √𝑎√𝑏√𝑐 
 
 
 
5. Efetue expondo o resultado da forma mais simples 
possível: 
 
𝑎) 
25
4
(√
2
5
3
)
7
 
 
𝑏) (−3√𝑎
3
)
4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GABARITO 
Em vídeo.