Cálculo Vetorial: Produtos, Gradiente e Deslocamentos

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 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e 
soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas 
executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores representam os 
deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está 
indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a 
seguir e a relação proposta entre elas. 
I. O vetor representa a trajetória integral da formiga. 
PORQUE 
II. O vetor possui origem em (0, 0) e término na posição final. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições falsas. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento possui 
origem nas coordenadas em que o movimento de um corpo tem 
início e término na posição final do corpo em análise. Ele 
representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, 
não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo 
estudado. 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
Sejam e vetores em um plano cujo ponto O é origem comum a ambos. Ao 
vetor é permitido girar em torno de O, de modo que define um 
ângulo com . O produto escalar entre e , representado pela 
notação , é o valor numérico . O produto vetorial entre e , 
representado pela notação , é o vetor (a y b z -a z b y ) + (a z b x -
a x b z ) + (a x b y -a y b x ) que possui módulo . 
 Considere os gráficos seguintes: 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Os valores numéricos dos produtos e podem ser representados, em função 
de , respectivamente, pelos gráficos: 
Resposta Selecionada: 
IV e III. 
Resposta Correta: 
IV e III. 
Feedback 
da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: As variações numéricas dos 
produtos escalar e vetorial entre e são, 
respectivamente, cossenoidais ou senoidais. Ambas as variações 
possuem amplitude 2ab, considerando-se que = a e = b 
e, portanto, estão representados pelos gráficos IV e III. 
 
 
 Pergunta 3 
0 em 1 pontos 
 No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza 
escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido 
por , em que , e são vetores canônicos. Vetores canônicos 
possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as 
direções dos eixos cartesianos x, y e z. 
 
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor. 
 
PORQUE 
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido. 
 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II 
não é uma justificativa correta da I. 
Resposta Correta: 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma 
justificativa correta da I. 
Feedback 
da resposta: 
Sua resposta está incorreta. Justificativa: Definindo-se o 
gradiente de uma função escalar por meio da 
expressão , essa é uma grandeza que identifica o módulo, a 
direção e o sentido da maior taxa de variação da função por 
unidade de comprimento. Assim, é um vetor. 
 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
Os vetores , e , na figura a seguir, podem ser indicados = (16, 
30 o ) em coordenadas polares, ou = (10, 0) e = (-25, 30) em coordenadas 
cartesianas. Suponha que eles representem deslocamentos consecutivos de um 
corpo, , a partir do ponto de origem (0, 0). 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Assinale a alternativa que indica a posição final do corpo. 
 
Resposta Selecionada: 
(-15+8 , 38). 
Resposta Correta: 
(-15+8 , 38). 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento total do 
corpo é = (R x, R y) com R x = 10 + 16cos30 
o - 25 e R y = 0 
+ 16sen30 o 
+ 30, por conversão das coordenadas polares do vetor em 
coordenadas cartesianas. Assim, a posição final do corpo é 
(0,0) + = (-15+ 8 , 38). 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento 
circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da 
trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores e são vetores canônicos e 
possuem módulo de valor unitário. 
 
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da 
velocidade escalar média, respectivamente. 
 
Resposta Selecionada: 
3,7 m/s e 4,7 m/s. 
Resposta Correta: 
3,7 m/s e 4,7 m/s. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. Justificativa: e . Sendo , então o 
módulo da velocidade vetorial média é m/s. A velocidade 
 
escalar média no percurso AB, no mesmo período = 1 s 
é = 4,7 m/s. 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 Em um plano, a posição de um ponto P pode ser definida por meio de um par ordenado de 
valores do tipo (x, y) em um sistema de coordenadas cartesianas. Outra possibilidade é 
determinar a posição do ponto P pela distância r em relação à origem O e pelo ângulo que 
a reta que une a origem O ao ponto P define com um dos eixos cartesianos. Essa 
representação, expressa ( , ), é denominada coordenadas polares. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
A partir das descrições apresentadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeiras e F para a(s) falsa(s). 
I. ( ) . 
II. ( ) . 
III. ( ) . 
IV. ( ) . 
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, V. 
Resposta Correta: 
V, V, V, V. 
Feedback da 
resposta: 
Resposta correta. Justificativa: Todas as relações de conversão 
entre os dois sistemas de coordenadas podem ser deduzidas a 
partir de relações trigonométricas no triângulo OxP: , 
, e . 
 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio 
de três vetores linearmente independentes, , e , pode ser expresso como 
um produto misto do tipo . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -
30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro. 
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido. 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Feedback da 
resposta: Resposta correta. Justificativa: Denominando (20-(-10), 10-
20, -30-0), (10-(-10), 10-20, 10-0) e (30-(-10), -20-20, 
30-0) temos, pelo teorema, que X = u.v. 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 Suponha que uma partícula P desenvolve movimento circular cujo módulo da velocidade 
seja constante). O deslocamento ocorre em torno da origem O de um sistema de 
coordenadas cartesiano. O vetor = (r x , r y ) indica a posição de P, e A, B, C e D são 
quatro pontos da trajetória que coincidem com os eixos x ou y. O ponto E da trajetória 
coincide com a bissetriz do quarto quadrante). 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) Nas posições B ou D, as componentes verticais r y do vetor posição possuem os 
maiores módulos. 
II. ( ) Nas posições A ou C, as componentes horizontais v x do vetor velocidade possuem os 
menores módulos. 
III. ( ) Na posição E, as componentes vertical r x e horizontal r y 
do vetor posição possuem o mesmo módulo. 
IV. ( ) Nas posições A, B, C, D e E, os vetores aceleração de P possuem o mesmo módulo. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, V. 
Resposta Correta: 
V, V, V, V. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. Justificativa:Sendo , , a componente 
vertical possui valor máximo para ou que coincide com 
B e D. Em A ou C, a velocidade somente possui componente 
vertical e a componente horizontal é zero. Na posição E, as 
projeções do vetor posição são as mesmas nas direções 
horizontal e vertical, porque . E, em um MCU, a aceleração 
possui módulo constante com o vetor sempre orientado para o 
centro. 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
Suponha que o vetor posição de uma partícula P em movimento no espaço ℝ 3 seja 
dado, em função do tempo, pela expressão . Os 
vetores , e possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, 
aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas. 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. O componente z da aceleração vetorial é zero. 
II. A velocidade vetorial é . 
III. A posição inicial da partícula é . 
IV. A trajetória da partícula é helicoidal. 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
 
Resposta Selecionada: 
V, V, V, V. 
Resposta Correta: 
V, V, V, V. 
Feedback 
da resposta: Resposta correta. Justificativa: . ⇒ . . Na 
direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e 
y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a 
partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do 
plano XY. 
 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 Uma função gradiente é uma medida da taxa de variação de uma grandeza escalar por 
unidade de espaço e é uma medida vetorial. Isotermas são conjuntos de pontos que 
identificam uma mesma medida de temperatura. Considere o mapa do Rio Grande do Sul 
que foi, hipoteticamente, noticiado no bloco de previsão do tempo. Ele registra as isotermas, 
em graus Celsius, pelo território em um dado momento do dia. 
 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Assim, qual dos trajetos lineares, identificados de I a V, apresenta o maior gradiente de 
temperatura naquele momento? Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
I. 
Resposta Correta: 
I. 
Feedback 
da resposta: 
Resposta correta. Justificativa: No trajeto I do território, a variação 
da temperatura é maior em uma distância linear relativamente 
pequena quando comparada aos demais trechos. Então, o 
gradiente de temperatura é o mais alto. No trajeto II, por 
exemplo, a variação de temperatura é a mesma que em I, mas a 
distância territorial é maior. Portanto, o gradiente em II é menor 
do que em I. 
 
 
Terça-feira, 2 de Junho de 2020 21h27min41s BRT 
 OK 
 
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