FGV - Gabarito Do Curso de Recursos Humanos - Microeconomia

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Lista 7 - Microeconomia II - EPGE/FGV - 2S2011
Monopólio
Professor: Angelo Polydoro
Monitor: Bruno Donna Mendonça
1. Em respeito ao mercado de leite fresco, existem dois tipos principais de consumidores. O
primeiro são as famı́lias que têm demanda inversa:
PF = 6 −QF .
O segundo tipo de consumidor, são as pessoas solteiras que têm demanda inversa:
PS = 3 −QS.
A quantidade é medida em litro e o preço em Real.
Considere o problema de um monopolista sem custo de produção e responda os itens
abaixo.
(a) Se o monopolista fosse capaz de cobrar um preço para cada tipo de consumidor qual
seria a sua decisão ótima? Encontre também o preço para cada tipo de consumidor e
o lucro do monopolista.
Solução: Ao maximizar o lucro, o monopolista obtêm QmF = 3, Q
m
S = 1.5, P
m
F = 3 e P
m
S = 1.5.
O lucro do monopolista é πm = 9 + 2.25 = 11.25.
(b) Uma estratégia de mercado bastante utilizada pelas empresas é a venda em embala-
gens com volumes (quantidades) diferentes e preços médios diferentes. Suponha que
existam dois tipos de embalagem de leite. O primeiro tipo de embalagem é a de um
litro com preço R$2, 00 e o segundo tipo, é um galão com 3 litros custando R$4, 50.
Cada consumidor pode comprar apenas uma unidade do produto. Encontre a decisão
ótima de cada tipo de consumidor.
Solução: Para encontrar a decisão ótima de cada consumidor, temos que comparar o excedente
de cada tipo de consumidor em cada opção. Supondo que a função demanda é P =
a− bQ o excedente do consumidor pode ser escrito como:
CS(P,Q) =
bQ2
2
+Q(a− bQ) − PQ.
Para as famı́lias, o excedente ao comprar o pacote CS3L(P ) = 9/2+3(6−3)−P3L. Para
P3L = 4, 50 temos CS3L = 9. O excedente ao comprar apenas um litro CS1L(P ) =
1/2 + 1(6 − 1) − P1L. Para P1L = 2, 00 temos CS1L = 3.5.
Para os solteiros, o excedente em cada caso é CS3L(P ) = 9/2 + 3(3− 3)− P3L, o que
implica CS3L = 0. Ao comprar a embalagem com 1 litro CS1L = 1/2+(3−1)−P1L =
0.5.
As famı́lias escolherão comprar o galão, enquanto os solteiros comprarão a embalagem
com 1 litro.
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(c) Com base na sua resposta do item anterior qual o máximo que o monopolista pode
cobrar por cada produto tal que os consumidores mantenham as suas escolhas?
Solução: Para manter a escolha das famı́lias o preço tem que ser tal que
CS3L(P ) = 9/2 + 3(6 − 3) − P3L ≥ 1/2 + 1(6 − 1) − P1L = CS1L(P )
Para os solteiros a condição é que
CS3L(P ) = 9/2 + 3(3 − 3) − P3L ≤ 1/2 + (3 − 1) − P1L = CS1L.
Utilizando a primeira desigualdade obtemos 9 ≥ P3L − P1L e utilizando a segunda P3L −
P2L ≥ 2. O máximo que o monopolista pode cobrar pelo leite com 3 litros é 9 reais e 2
reais para a de 1 litro.
2. Um vendedor de carros possui três clientes interessados. O primeiro está disposto a pagar
50 mil reais pelo carro, o segundo 40 mil e o terceiro 20 mil. O custo de produção do carro
é de C(Q) = 10 + 10Q2. Os clientes não se conhecem e só podem comprar 1 carro apenas
(o monopolista consegue discriminar perfeitamente os clientes e não existe arbitragem).
(a) Escreva a função lucro do monopolista.
Solução: A função lucro é
π = (50 − P1)I(Q > 0) + (40 − P2)I(Q > 1) + (20 − P3)I(Q > 2) − 10 − 10Q2.
Onde I(Q > 0) é igual a 1 se Q > 0 e 0 caso contrário.
(b) Encontre a decisão ótima do monopolista. Calcule a quantidade que cada consumidor
irá comprar, o seu excedente e o lucro do monopolista.
Solução: Se o monopolista decidir vender apenas uma unidade ele venderá para o consumidor
que está disposto a pagar a maior quantia e cobrará um preço tal que ele esteja
indiferente entre comprar o carro ou não, P1 = 50. Nesse caso o lucro será π1 =
50− 10− 10 = 30. Seguindo a mesma lógica, ao vender duas unidades π2 = 50 + 40−
10 − 10 × 4 = 40 e π3 = 50 + 40 + 20 − 10 − 10 × 9 = 10. O monopolista escolherá
vender 2 unidades e obterá lucro de 40 mil reais.
3. Um monopolista operando em um mercado com demanda inversa
P = 40 −Q
e sem custos de produção, tem a opção de produzir um bem que dure apenas um peŕıodo
ou um que dure dois peŕıodos sem depreciação. Encontre a decisão ótima do monopolista.
Solução: Como o bem dura apenas dois peŕıodos a comparação relevante entre as opções do mo-
nopolista é sobre o lucro nesses dois peŕıodos. Primeiro vamos calcular a decisão ótima do
monopolista depois de ter escolhido a durabilidade do produto.
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Ao produzir um bem que dure apenas um peŕıodo, o monopolista resolve o seguinte prob-
lema:
max
Q≥0
2(40 −Q)Q
foc: 80 − 4Q = 0
Q = 20
π1 = 800.
Ao produzir um bem que dure dois peŕıodos, o monopolista decide sobre quando cobrar
(ou vender) em cada peŕıodo. Assim, no segundo peŕıodo a decisão Q2 ótima é tal que:
max
Q2≥0
(40 −Q1 −Q2)Q2
Q2(Q1) = 20 −
Q1
2
.
O preço P2 = 20 − Q12 .
A escolha de quanto produzir no primeiro peŕıodo é tal que o consumidor marginal esteja
indiferente entre comprar no primeiro ou no segundo peŕıodo:
2(40 −Q1) − P1 = (40 −Q1) − P2
80 − 2Q1 − P1 = 40 −Q1 − 20 −
Q1
2
P1 = 60 −
3
2
Q1.
Assim, o monopolista escolhe P1 tal que
max
Q1≥0
π1 + π2 = (60 −
3
2
Q1)Q1 +
(
20 − Q1
2
)2
foc: 60 − 3Q1 − 20 +Q1/2 = 0
Q1 = 16.
O lucro do monopolista do bem que dura dois peŕıodos é π2 = (60 − 3/216) × 16 + (20 −
16/2)2 = (60 − 24) × 16 + (20 − 8)2 = 26 × 16 + 122 = 560.
Como o lucro é menor, o monopolista escolherá um produto com durabilidade de apenas
um peŕıodo.
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