Fluidos e Equação da Continuidade

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FLUIDOS FÍSICA 2 
 
Prof. Romério R. Silva 
 
FÍSICA HIDROSTÁTICA 
 
 Prof. Romério R. Silva 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
 
Uma aplicação vital da dinâmica dos fluidos em nos-
sos dias encontra-se no túnel de vento; com este dispositivo 
se é capaz de simular os efeitos da movimentação de fluidos 
em torno de objetos sólidos, tais como aviões, carros, pontes, 
antenas etc. 
 A imagem a seguir mostra como o ar escoa em torno 
de um automóvel, permitindo compreender os seus meca-
nismos de estabilidade e aderência. 
 
 
 
Entretanto, estudar os fluidos reais é bastante difícil 
e complexo, por isso os físicos criaram um modelo capaz de 
representar o mais proximamente possível o comporta-
mento hidrodinâmico, mas que também tenha aparato ma-
temático simples. 
Vamos conhecer este modelo? 
Bem, as características deste fluido ideal que per-
meia tal modelo são: 
 
1. Fluido Não-Viscoso 
 
Isto quer dizer que o fluido de nosso modelo não 
apresenta atrito interno. Assim, os princípios de conserva-
ção de energia mecânica e quantidade de movimento podem 
ser aplicados sem restrições. 
Caso contrário, o fluido se comportaria como o mel, 
por exemplo. 
 
 
 
O escoamento do mel pela colher da figura acima é 
acompanhado de dissipação de energia mecânica na forma 
de calor por conta da viscosidade – ou atrito interno. 
 
2. Densidade Constante ou Escoamento Incompressí-
vel 
 
Ao longo de toda sua extensão, no recipiente que o 
contém, o fluido apresenta sempre a mesma densidade. Água 
pura é um exemplo bem próximo disto. Por outro lado, nosso 
sangue seria o oposto; em pontos diferentes de uma mesma 
amostra de sangue verificam-se concentrações diferentes de 
compósitos, o que lhe confere densidades diferentes a cada 
ponto. 
3. Velocidade de Escoamento Constante ou Escoa-
mento Uniforme 
 
Em um dado ponto do fluido, sua velocidade de es-
coamento é constante no decorrer do tempo. 
Analise a figura a seguir. Em (a) temos o escoamento 
de um fluido considerado ideal; em (b) o escoamento de um 
fluido real. 
 Note que no primeiro caso o escoamento não está 
associado a nenhuma perturbação. 
Com isto, será chamado de escoamento laminar e o 
segundo de escoamento turbulento. 
 
 
 
A partir de agora, nosso estudo será feito levando-
se em conta os fluidos ideais em escoamento laminar. 
Um modo bastante conveniente para a representa-
ção do movimento de um fluido escoando é conseguido a 
partir das chamadas linhas de corrente. 
Veja! 
 
 
Fonte: http://www.turbulencia.coppe.ufrj.br/ 
 A imagem acima nos mostra a simulação computa-
cional do escoamento de um fluido ao redor de um objeto 
sólido de formato cilíndrico. 
Procure identificar as linhas de corrente mostradas. 
É como se elas mostrassem a topografia da região ao redor 
do cilindro. 
 
 
Observe as linhas corrente associadas ao ar que es-
coa pela asa de um avião (figura acima). 
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Partindo destes exemplos podemos dar uma defini-
ção formal para as linhas de corrente. 
Linha de corrente: lugar geométrico dos pontos do 
espaço em que linhas que os unem, em um mesmo instante, 
mantêm-se tangentes ao vetor velocidade de escoamento. 
 
Agora vamos imaginar uma situação de escoamento 
particular. Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Não havendo perda de carga no trajeto de A1 até A2, 
então é razoável esperar-se que quantidade de fluido que 
atravessa a área de secção reta A1 é a mesma que atravessa 
a área de secção reta A2. 
Se estivermos interessados em conhecer o volume 
de fluido que atravessa estas áreas de secções retas, basta-
nos multiplicar cada uma destas áreas pela respectiva lar-
gura Δl, conforme indica a figura acima. 
Ou seja, V1 = A1 ∙ 𝑠1 e V2 = A2 ∙ 𝑠2. Porém, conforme 
dissemos acima, se não houver perda de carga no trajeto, o 
volume de fluido que chegar em A1 deverá sair em A2 de 
modo que V1 = V2. 
Ora, com isto vem que 
 
A1 ∙ 𝑠1 = A2 ∙ 𝑠2. 
 
Por outro lado, a cinemática nos ensinou que a velo-
cidade de escoamento do fluido pode ser facilmente calcu-
lada por 
v =
𝑠
∆t
⟹ s = v ∙ ∆t. 
 
Levando este resultado na equação anterior e sim-
plificando o intervalo de tempo, encontramos 
 
v1A1 = v2A2. 
 
Esta equação é conhecida como equação da conti-
nuidade. 
Perceba que esta expressão nos diz que um aumento 
na área a ser percorrida pelo fluido acarreta diminuição em 
sua velocidade de escoamento; sendo a recíproca verda-
deira. 
A equação da continuidade nos oferece outra impor-
tante informação – trata-se da vazão. 
Entenda-se por vazão o volume de fluido que atra-
vessa certa área em dado intervalo de tempo, quer dizer, seja 
R a vazão, assim, 
𝑅 = A ∙ v. 
 
Nesta equação A é a área de secção transversal do 
condutor do fluido e v a velocidade de escoamento. Perceba 
que, em termos de unidades de medida, teremos, 
 
[𝑅] = 𝑚2 ∙
𝑚
𝑠
=
𝑚3
𝑠
. 
 
Levando-se em conta que o fluido que escoa seja 
ideal, então podemos afirmar que sua vazão será constante 
no tempo. 
Isto é fácil de ser percebido. Você já deve ter notado 
que quando a água cai da torneira o filete tende a se afunilar. 
Observe. 
 
 
Isto é fácil de ser explicado! 
Enquanto cai, a velocidade da água aumenta por 
conta da aceleração gravitacional que atua sobre ela; com 
isto, para manter a vazão constante em todas as direções, o 
filete se afunila, pois v1A1 = v2A2. 
Ou seja, se v2 > v1, então A2 < A1. 
A partir daqui passaremos a aplicar o que fora 
aprendido até agora. 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI 
 
A família Bernoulli, de origem suíça, talvez tenha 
sido a mais eminente nas ciências; de suas origens saíram 
nada menos que dez cientistas – todos com grande destaque. 
De acordo com o MacTutor History of Mathematics 
archive, o mais notável dos Bernoulli foi Daniel –, por conta 
da diversidade e profundidade de seus trabalhos; Daniel 
Bernoulli foi filósofo, físico, fisiologista, médico, botânico e 
matemático e, em todas estas áreas, encontram-se trabalhos 
de relevante importância. 
No caso da Física a contribuição de Bernoulli se deu 
na aplicação do princípio de conservação da energia aos flu-
ídos em movimento. 
Vejamos como isto ocorreu e quais as suas aplica-
ções. 
Considere a figura a seguir. 
 
 
 
Note o movimento circular dos braços do nadador. 
Esta é uma técnica chamada braçada de pá e pode ser expli-
cada, pelo menos em parte, pela propulsão do nado no cha-
mado arrasto propulsivo; sendo este uma das consequências 
do teorema de Bernoulli como veremos adiante. 
Quando um corpo se move imerso em um fluido, a 
velocidade de escoamento deste fluido com relação às dife-
rentes partes do corpo interfere na pressão exercida hidro-
dinamicamente, isto é, influi na pressão exercida pelo fluido 
sobre o corpo. 
Observe estes comentários na figura a seguir. 
 
 
 
Esta é uma simulação do princípio de sustentação 
do avião, bem como de um nadador. 
O ar que flui pela parte de cima da asa do avião é 
mais rápido que o ar fluindo na parte de baixo; o princípio 
de Bernoulli afirma que, neste caso, a pressão de baixo para 
cima é maior que a pressão de cima para baixo. 
Ora, o resultado desta diferença de pressão é a sus-
tentação do avião –, embora mais pesado que o ar. O equilí-
brio fino das diversas forças que atuam no avião, aliado à 
sustentação possibilita seu movimento seguro como conhe-
cemos nos dias atuais. 
Com estas ideias motivadoras fica claro que o cerne 
do princípio de Bernoulli é: a pressão exercida por um fluido 
sobre um corpo depende da velocidade deste corpo com rela-
ção ao fluido. 
Procure compreender bem este enunciado antes de 
prosseguir. 
Para ajudá-lo a assimilar este conceito vamos exem-
plificar. O tubo de Venturi, em homenagem ao seu idealiza-
dor, é um experimento simples que ilustra a ideia central de 
Bernoulli. 
Observe-o. 
 
 
Perceba que na tubulação em formade U há um lí-
quido que, inicialmente encontra-se com suas superfícies li-
vres no mesmo nível. 
Na parte superior do dispositivo de Venturi há uma 
tubulação com áreas de secções transversais diferentes – A 
e a – de modo que, pela equação de continuidade que apren-
demos na aula anterior, diminuir a área de secção reta do 
tubo por onde um fluido escoa, acarreta-lhe aumento de ve-
locidade. 
Assim sendo, ao fazermos passar pelo tubo superior 
um fluxo de ar, no sentido de A para a, tal fluxo, ao encontrar 
o estrangulamento na passagem de A para a, tem sua veloci-
dade aumentada. 
 
Este fato, por sua vez, diminui a pressão nesta região 
fazendo que o líquido suba provocando um desnível entre 
suas superfícies livres. O que é mostrado por h na figura 
acima. 
Analise tudo o que dissemos na figura a seguir que é 
uma variação do tubo de Venturi. 
 
 
 
Neste caso, perceba que os tubos verticais estão 
abertos permitindo a entrada de ar. Inicialmente os líquidos 
contidos nestes tubos encontram-se com seus níveis alinha-
dos. 
O estrangulamento em A2 faz que a velocidade do 
fluido aumente reduzindo a pressão aí. Então, o ar empurra 
o líquido para baixo como se pode ver. 
Com esta exposição qualitativa estamos prontos 
para conhecer a equação de Bernoulli que dá significação 
matemática para tudo o que dissemos. 
Nos exemplos anteriores fizemos referência quase 
todo o tempo à pressão. Mas, fisicamente, o que vem a ser 
pressão? 
 
Pressão é a razão entre a força aplicada perpen-
dicularmente a uma superfície e a área desta superfície. 
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Observe. 
 
 
 
 Então, matematicamente, temos a expressão: 
 
𝑝 =
�⃗�
𝐴
. 
 
No SI a unidade de pressão é N/m². Algumas vezes 
esta unidade é denominada, também, Pascal (Pa). 
A figura a seguir faz referência ao efeito da pressão 
exercida por uma força e a respectiva área onde está distri-
buída. 
 
Veja como se associa facilmente a pressão com a 
área. De pé, a área dos pés do homem é menor que a área de 
apoio quando este se encontra deitado. 
Logo, de pé a pressão é maior, fazendo que ele afun-
dasse. 
Outro conceito interessante é o de densidade de um 
corpo, ou quando nos referimos a uma substância, massa es-
pecífica. 
Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Ela faz referência ao Mar Morto. 
A quantidade de sal presente em suas águas (daí 
Mar Morto) é tão grande, que uma pessoa pode flutuar tran-
quilamente sobre elas, mesmo apresentando um peso razo-
ável. 
O conceito de densidade é, de certo modo, abstrato, 
mas em geral apresenta a relação entre certa quantidade de 
matéria de um corpo e o espaço que ocupa. Ou seja, 
 
𝑑 =
𝑚
𝑉
. 
 
A massa específica é definida matematicamente do 
mesmo modo que densidade, isto é, 
 
𝜇 =
𝑚
𝑉
. 
Entretanto, a massa específica se refere à massa de 
uma dada substância e o espaço por ela ocupada. 
Densidade e massa específica somente serão iguais, 
se o corpo for maciço. 
Considere duas esferas que tenham o mesmo tama-
nho e que sejam feitas do mesmo material, porém uma oca e 
outra maciça. 
Neste caso, elas apresentam a mesma massa especí-
fica, embora a esfera maciça seja mais densa que a esfera oca. 
Bem, agora estamos prontos para conhecer a equa-
ção de Bernoulli. 
Como dissemos anteriormente ela apenas reescreve 
o princípio de conservação da energia em termos de fluidos 
em movimento. 
 
 
Note que na região de entrada do fluido este possui 
velocidade v1, pressão p1 e altura h1; por outro lado, na re-
gião de saída do fluido, este apresenta velocidade v2, pressão 
p2 e altura h2. 
Considerando que este fluido seja ideal, então sua 
massa específica não se altera durante seu deslocamento 
pela tubulação mostrada na figura acima. 
Sendo, então, o fluido incompressível e despre-
zando-se os atritos internos e externos, Bernoulli demons-
trou que 
𝑝1 + 𝜇𝑔ℎ1 +
μ𝑣1
2
2
= 𝑝2 + 𝜇𝑔ℎ2 +
μ𝑣2
2
2
. 
 
Observe que a energia potencial gravitacional, ge-
ralmente escrita na forma mgh fora substituída pela forma 
μgh; e, a energia cinética sob a forma 
mv2
2
, se substituiu por 
μv2
2
. 
Preferimos não dar a demonstração formal para 
esta equação tendo em vista que sua compreensão qualita-
tiva é mais importante que seus aspectos matemáticos. 
Entretanto, para aqueles que desejem conhecer tal 
demonstração é por demasiado simples obtê-la, necessi-
tando apenas de álgebra elementar. 
Ao se observar atentamente a equação de Bernoulli 
verifica-se que as equações das energias, potencial gravita-
cional e cinética, foram divididas pelo volume do fluido que 
escoa pela tubulação; daí surgir o fator massa específica na 
equação de Bernoulli. 
Isto acarreta dizer-se que a energia mecânica asso-
ciada ao fluido está sendo dada por unidade de volume, o 
que, às vezes é denotado por: 
 
𝐻 =
𝐸
∆𝑉
. 
 
Com isto encerramos nossas considerações sobre a 
equação de Bernoulli e suas implicações físicas para a con-
servação da energia mecânica associada a um fluido ideal. 
 
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Lembre-se de termos afirmado na aula anterior que 
estudaríamos a pressão exercida sobre um sólido e logo a se-
guir ampliaríamos este conceito para os fluidos. 
Pois, é isto o que faremos agora. 
Observe a figura a seguir! 
 
 
 
Vamos retomar a equação de Bernoulli. 
 
𝑝1 + 𝜇𝑔ℎ1 +
μ𝑣1
2
2
= 𝑝2 + 𝜇𝑔ℎ2 +
μ𝑣2
2
2
. 
 
Se aplicada ao recipiente acima teremos: 
 
𝑝𝐴 + 𝜇𝑔ℎ𝐴 +
μ𝑣𝐴
2
2
= 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ𝐵 +
μ𝑣𝐵
2
2
. 
 
Porém, se agora, ao invés de um fluido em movi-
mento considerarmos um fluido em repouso, como aquele 
da figura acima, os termos 
μ𝑣𝐴
2
2
 e 
μ𝑣𝐵
2
2
 podem ser eliminados 
da equação, vA = vB = 0. 
Com isto, a equação de Bernoulli toma uma nova 
forma: 
𝑝𝐴 + 𝜇𝑔ℎ𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ𝐵 . 
 
Este resultado fora obtido bem antes de Bernoulli 
por Simon Stevin, se bem que por outro caminho. Então, por 
razões históricas permaneceu sendo chamado de teorema 
de Stevin. 
Stevin viveu entre 1548 e 1620 Bruges, Flandres; 
hoje correspondendo à Bélgica, tendo sido engenheiro, físico 
e matemático. 
 
 
O que motivou o estudo de Stevin foi o que conhecia 
por paradoxo hidrostático. 
Vamos retomar o resultado que obtivemos acima. 
 
𝑝𝐴 + 𝜇𝑔ℎ𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ𝐵 . 
 
Uma ligeira manipulação algébrica neste resultado 
e teremos: 
𝑝𝐵 − 𝑝𝐴 = 𝜇𝑔(ℎ𝐴 − ℎ𝐵) = 𝜇𝑔ℎ. 
 
 
 
Com isto Stevin desfez o aparente paradoxo que ha-
via nos vasos comunicantes da figura acima. 
Ou seja, a pressão exercida na base destes vasos é a 
mesma, pois se p = μgh, é a pressão exercida por uma coluna 
de fluido, então esta pressão não depende da área da base do 
recipiente que contém o fluido; isto é, a pressão exercida por 
um fluido depende tão somente da altura da coluna fluida, da 
gravidade local e da massa específica do fluido. 
Se você prestar atenção na figura inicial desta aula, 
perceberá que as alturas não foram medidas a partir da su-
perfície livre do líquido. 
Tais alturas foram medidas a partir da borda do re-
cipiente que não está plenamente cheio. 
Imaginas a razão disto? 
É simples não é mesmo? Em um recipiente aberto 
como este há que se considerar a presença de ar atmosférico 
acima do fluido. 
Assim, o teorema de Stevin, como um caso particu-
lar da equação de Bernoulli, prevê que o ar, sendo composto 
por gases, ou seja, fluidos, também exerça pressão obede-
cendo à expressão: 
𝑝 = 𝜇𝑔ℎ. 
 
Evangelista Torricelli (1608-1647), físico e mate-
mático da academia Florentina, propôs um experimento bas-
tante simples para se obter a pressão atmosférica em dado 
local. 
 
 
Para muitos à época de Torricelli a natureza apre-
sentava aversão ao vácuo; assim, na figura a seguir o mercú-
rio subia pelas paredes do tubo de altura h, para ocupar o 
lugar do ar que fora daí retirado. 
Torricelli, entretanto, formulou outra explicação 
para este fenômeno. Observe. 
Segundo ele, o mercúrio subia pelas paredesdo re-
cipiente não para preencher os espaços vazios deixados pelo 
ar, mas porque era empurrado pelo ar atmosférico local. 
Quando a pressão atmosférica se igualasse à pres-
são do mercúrio a coluna deixava de subir. 
 
TEOREMA DE STEVIN 
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Neste caso, 
𝑝𝑎𝑡𝑚 = 𝑝𝐻𝑔 . 
 
Acompanhe. Torricelli encheu um tubo até a sua borda 
com mercúrio; a seguir, fez o mesmo com um recipiente de 
bordas mais baixa; tapou a extremidade do tubo contendo 
mercúrio e o inverteu levando-o até o outro recipiente. 
Com isto, destapou o tubo e percebeu que a coluna de 
mercúrio descia até 76 cm, restando acima de si o vácuo. 
Assim, para Torricelli a pressão exercida pela coluna de 
ar atmosférico local correspondia à pressão exercida pela 
coluna de 76 cm de mercúrio. 
Então, a pressão atmosférica é igual a: 
 
76 cmHg = 760 mmHg = 1 atm = 1,13 · 105 Pa. 
A figura a seguir resume a experiência realizada. 
 
 
Agora vamos discutir uma aplicação do teorema de 
Stevin bastante difundida em livros didáticos – trata-se do 
equilíbrio de líquidos imiscíveis –, isto é, líquidos que não 
se misturam. 
Isto é possível porque o teorema de Stevin permite 
algumas conclusões a respeito das forças trocadas entre o 
fluido e o recipiente que o contém. 
1ª – As forças exercidas por um líquido sobre as pa-
redes do recipiente que o contém são perpendiculares a es-
tas paredes e apontando para dentro do recipiente. 
 
2ª – Pontos situados em uma mesma linha no inte-
rior de um fluido estão submetidos a uma mesma pressão e, 
por esta razão, tal linha é denominada linha dos pontos isó-
baros. 
 
 
Na figura acima, todos os pontos na linha de nível 1 
estão submetidos a uma mesma pressão; o mesmo ocor-
rendo com os pontos na linha do nível 2. 
Por outro lado, a pressão ao longo da linha de nível 
2 é maior que a pressão ao longo da linha de nível 1. 
Com estas constatações, observe a figura a seguir. 
 
 
 
No recipiente têm-se dois líquidos imiscíveis de 
massas específicas iguais a μ1 e μ2. 
Note que a linha que passa pelas superfícies de se-
paração dos líquidos forma uma linha de pontos isóbaros. 
Com isto, a pressão nesta linha, para qualquer 
ponto, é a mesma. 
Observe isto novamente. 
 
Neste novo caso temos algo ainda mais interessante. 
Veja que os pontos (1) e (2), embora pertençam a líquidos 
diferentes encontram em uma mesma linha. 
Isto quer dizer que, mesmo que estes líquidos te-
nham alturas diferentes – hA e hB – e tenham massas especí-
ficas (naturezas) diferentes, é possível mantê-los em equilí-
brio estático com a linha que passa por (1) e (2) sempre na 
horizontal. 
Vamos exemplificar. 
Suponhamos que na figura acima hA = 1 m que hB = 
0,4 m e que a massa específica do líquido B seja μB = 10 
g/cm³. Se os líquidos são imiscíveis e encontram-se em equi-
líbrio, determine a massa específica do líquido A. Considere 
g = 10 m/s². 
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Ora, pelo teorema de Stevin, podemos afirmar que 
p1 = p2; estando os tubos abertos à atmosfera, devemos con-
tabilizar a pressão exercida pelo ar sobre os líquidos A e B. 
Assim, 
 
𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜇𝐴𝑔ℎ𝐴 = 𝑝𝑎𝑡𝑚 + 𝜇𝐵𝑔ℎ𝐵 
 
Cancelando os termos comuns e substituindo os res-
pectivos valores, 
 
μA · 1 = 10 · 10³ · 0,4 
 
μA = 4 · 10³ kg/m³ 
 
ou 
 
μA = 4 g/cm³. 
 
ANOTAÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DE PASCAL 
 
O princípio de Pascal, algumas vezes chamado de te-
orema de Pascal, surgiu da busca por aplicações práticas 
para os fluidos. 
 
 
 
Blaise Pascal (1623-1662), físico e matemático fran-
cês, observou que: 
 
“Um acréscimo de pressão na superfície livre de um 
fluido incompressível e em equilíbrio, transmite-se inte-
gralmente a todos os pontos do fluido e, também, às pa-
redes do recipiente”. 
 
De modo iconográfico, esta afirmação pode ser vista 
assim: 
 
 
Há uma demonstração muito elegante para este 
postulado, daí dizer-se teorema de Pascal. 
Considere a figura a seguir. 
 
 
A diferença de pressão entre os pontos A e B pode 
ser obtida pelo teorema de Stevin. 
 
𝑝𝐴 − 𝑝𝐵 = 𝜇𝑔ℎ. 
 
Esta equação pode ser reescrita de outro modo, por 
apenas um ajuste algébrico. 
 
FLUIDOS FÍSICA 2 
 
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𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ. 
 
Agora, se aplicarmos uma força �⃗� sobre a superfície 
livre do fluido, isto fará que um acréscimo de pressão (Δp) 
surja nesta superfície. 
A nova pressão no ponto B, a que chamaremos de 𝑝𝐵
∗ 
será dada por: 
 
𝑝𝐵
∗ = 𝑝𝐵 + ∆𝑝. 
 
Percebamos que o termo 𝜇𝑔ℎ não se altera pela ação 
de �⃗�; assim sendo, o aporte de pressão sobre o ponto A será: 
𝑝𝐴
∗ = 𝑝𝐵
∗ + 𝜇𝑔ℎ. 
 
Com isto, vem que: 
 
𝑝𝐴
∗ = 𝑝𝐵 + ∆𝑝 + 𝜇𝑔ℎ = 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ + ∆𝑝. 
 
Mas, 
𝑝𝐴 = 𝑝𝐵 + 𝜇𝑔ℎ. 
 
Donde vem que: 
 
𝑝𝐴
∗ = 𝑝𝐴 + ∆𝑝. 
 
Então, como queríamos demonstrar, um acréscimo 
de pressão Δp no ponto B será integralmente transmitido ao 
ponto A. Isto é, a nova pressão em A será sua pressão ante-
rior mais o aporte promovido pela força aplicada à superfície 
livre do líquido. 
Inúmeras são as aplicações deste princípio. 
 
1º) Freio de Automóvel 
 
 
Quando o motorista aciona o pedal dos freios, um 
pistão, no interior do cilindro mestre, empurra o fluido aí 
presente. 
Este acréscimo de pressão, de acordo com o princí-
pio de Pascal será integralmente transmitido a todos os pon-
tos do fluido. 
Esta variação de pressão é, então, transmitida a uma 
mola (ver figura) que aciona o cilindro da roda, tracionando 
as lonas de freio. 
2º) Prensa Hidráulica 
 
 
 
A prensa hidráulica é muito usada em sítios de agri-
cultura familiar; desejando-se empacotar feno utilizado na 
alimentação dos animais, este é colocado no interior da 
prensa. 
Em um dos lados da prensa, tem-se um cilindro de 
área A1 e do outro lado um cilindro de área A2, tal que A1 < 
A2; lembrando que 𝑝 =
𝐹
𝐴
, quanto menor a área do pistão 
maior a pressão transmitida pelo princípio de Pascal. 
Com isto, podemos dizer que em ambos os lados da 
prensa a pressão é a mesma, embora o operador necessite 
de uma força com intensidade bem menor que a força de 
compressão exigida pelo feno. 
Assim, 
𝑝1 = 𝑝2 ∴
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
. 
 
3º) Elevador Hidráulico 
 
 
 
Aqui, o raciocínio é exatamente o mesmo da prensa 
hidráulica. 
Ou seja, 
 
𝑝1 = 𝑝2 ∴
𝐹1
𝐴1
=
𝐹2
𝐴2
. 
Vamos, agora, pensar no trabalho envolvido no prin-
cípio de Pascal. 
 
 
FÍSICA HIDROSTÁTICA 
 
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Considere a figura acima; quando o pistão do lado 
esquerdo é empurrado pela força F1, desloca-se de uma dis-
tância d1. Por outro lado, o pistão à direita desloca-se d2 por 
ação da força F2. 
O trabalho realizado em ambos os lados é o mesmo, 
mas como as forças F1 e F2 são diferentes, os deslocamentos 
d1 e d2 também o são. 
Porém, há entre F1, F2, d1 e d2 a seguinte relação: 
 
𝑊1 = 𝑊2 ∴ 𝐹1𝑑1 = 𝐹2𝑑2. 
 
Com isto finalizamos nossas considerações para o 
princípio de Pascal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TEOREMA DE ARQUIMEDES 
 
Reza a lenda que Heron, rei da cidade grega de Sira-
cusa, no séc. III a.C, duvidando da honestidade do ourives do 
reino, convocou Arquimedes para dirimir uma contenda en-
volvendo a coroa que havia mandado o ourives confeccionar. 
O rei Heron desconfiou que o ourives substituíra 
parte do ouro enviado a ele para a confecção da coroa por 
prata, um metal bem mais barato que o ouro. 
Diante de sua imensa admiração por Arquimedes, 
um dos maiores matemáticos da história, o rei solicitou a ele 
que encontrasse um modo de descobrir a composição da co-
roa, verificando se o ourives havia utilizado somente ouro, 
ou uma liga de ouro e prata. 
De acordo com a história, Arquimedes encontrou a 
resposta ao ir tomar banho em sua banheira. 
 
 
Ao submergir na água, Arquimedes percebeu ter fi-cado mais leve; esta observação levou ao que se conhece por 
princípio de Arquimedes. 
 
"Quando um corpo é mergulhado na água ele 
perde, em peso, uma quantidade que corresponde ao 
peso do volume de água que foi deslocado pela imersão 
do corpo". 
 
Mas, exatamente de que modo este princípio pode-
ria solucionar o problema da coroa do rei Heron? 
Observe a figura a seguir. 
 
 
 
Perceba que a indicação do dinamômetro que sus-
pende a coroa apresenta uma indicação menor quando esta 
se encontra imersa na água. 
Releia o princípio de Arquimedes antes de prosse-
guir, procurando associá-lo à figura acima. 
Ora, se o dinamômetro com a coroa na presença da 
água tem uma indicação menor, então é razoável esperar-se 
que há uma força, contrária ao peso da coroa, contribuindo 
para a leitura do dinamômetro. 
FLUIDOS FÍSICA 2 
 
Prof. Romério R. Silva 
Como a interação neste caso se dá entre coroa e 
água, podemos supor que esta força vertical para cima e 
oposta ao peso surja desta interação. 
A esta força dá-se o nome de empuxo. 
Vejamos como ela surge. 
Considere a figura a seguir. 
 
 
Perceba que um corpo imerso em um fluido, recebe 
deste fluido, ação de forças em todas as direções; o que, na 
figura acima, é mostrado de modo pictórico pelas setas. 
Mas, note que as forças laterais, por razões de sime-
tria se cancelam mutuamente. 
Por outro lado, as forças verticais são mais intensas 
na parte inferior do corpo (flechas maiores) que na parte su-
perior (flechas menores). 
Isto porque, segundo o teorema de Estevin, as pres-
sões em fluidos crescem com a profundidade. 
Este fato acarreta uma resultante de forças vertical 
para cima e, a esta resultante, chamamos empuxo. 
A figura a seguir mostra a configuração desta resul-
tante e o peso do corpo imerso em um fluido. 
Observe. 
 
Estamos prontos para responder à pergunta de Ar-
quimedes: como determinar se a coroa realmente foi feita 
em ouro puro? 
Lembre-se que o enunciado do princípio de Arqui-
medes fez referência ao peso do líquido deslocado, como 
sendo igual ao peso da parte do corpo que se encontra sub-
mersa. 
A experiência mostra que fluidos de densidades di-
ferentes permitem que volumes diferentes de um mesmo 
corpo se tornem submersos. 
Lembra-se do Mar Morto na aula sobre teorema de 
Stevin? 
A quantidade de sal dissolvida na água altera de tal 
modo sua densidade que um corpo com algumas dezenas de 
quilogramas flutua aí sem nenhum esforço. 
Não se deve esperar, entretanto, que a pessoa da 
imagem acima flutue em água pura, por exemplo! 
Pronto! Entendemos o raciocínio de Arquimedes! 
Como o ouro e a prata possuem densidades diferentes, de-
vem apresentar volumes imersos diferentes quando coloca-
dos em água. 
 
 
 
Construindo-se outra coroa idêntica àquela da sus-
peição do rei Heron, mas que se tenha a certeza de que fora 
feita em ouro maciço, pode-se colocá-la em água e medir o 
volume por ela deslocado. 
A seguir, coloca-se a outra coroa no mesmo recipi-
ente medindo-se o volume de líquido deslocado agora. 
A comparação dos pesos destes dois volumes indica 
se o ourives agiu honestamente, ou não. 
Podemos, inclusive, calcular estes pesos de modo 
bastante simples. 
Observe a figura a seguir. Nela veem-se os pontos 
(1) e (2). 
 
Apliquemos a eles o teorema de Stevin. 
Vetorialmente, temos: 
 
�⃗�1 + �⃗�2 = �⃗⃗�. 
 
Nesta equação �⃗⃗� é o empuxo do fluido sobre a es-
fera. 
Em módulo, teremos a seguinte equação: 
 
𝐹2 − 𝐹1 = 𝐸. 
Mas, como 
𝑝 =
𝐹
𝐴
, 
 
vem que, pelo teorema de Stevin: 
 
𝑝2 − 𝑝1 = 𝜇𝑔ℎ. 
 
Em que h é a medida do desnível entre os pontos (1) 
e (2) da figura acima e μ a massa específica (densidade) do 
fluído. 
Substituindo-se as equações, temos: 
 
𝐹2
𝐴
−
𝐹1
𝐴
= 𝜇𝑔ℎ ∴ 
 
𝐹2 − 𝐹1 = 𝜇𝑔ℎ𝐴. 
 
FÍSICA HIDROSTÁTICA 
 
 Prof. Romério R. Silva 
O termo hA nada mais é que o volume do cilindro 
que contém o fluido, assim: 
 
𝐹2 − 𝐹1 = 𝜇𝑔ℎ𝐴 = 𝐸 = 𝜇𝑔𝑉. 
 
Reescrevendo a equação acima, 
 
𝐸 = 𝜇𝑓𝑉𝑑𝑔. 
 
Onde μf é a massa específica do fluido e Vd o volume 
de fluido deslocado pela imersão da esfera. 
Lembrando que o empuxo corresponde ao peso do 
volume de fluido deslocado, tem-se: 
 
𝐸 = 𝜇𝑓𝑉𝑑𝑔 = 𝑃𝑓𝑑 = 𝑚𝑓𝑑𝑔. 
 
Com isto finalizamos uma das mais belas conclusões 
científicas oriundas da antiguidade clássica. 
 
 
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