Aula 5 Eletrônica analógica

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ELETRÔNICA ANALÓGICA 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Viviana Raquel Zurro 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Caro aluno, este é um guia de estudos. Material de estudo, exemplos e 
exercícios resolvidos estão disponíveis no livro-texto e no material de leitura 
obrigatória disponibilizados na aula. 
Nesta aula, desenvolveremos estudos sobre espectro de frequência de 
sinais e resposta em frequência de sistemas. Inicialmente faremos um estudo 
introdutório de princípios de processamento de sinais analógicos e digitais e 
veremos conceitos básicos importantes de sinais compostos que posteriormente 
serão estudados em disciplinas específicas. Faremos um estudo introdutório de 
série e transformada de Fourier e uma revisão de transformada de Laplace 
visando relacionar domínio do tempo com domínio da frequência para entender 
a relação entre a resposta em frequência de equipamentos eletrônicos e os 
sinais a serem processados por estes. Estudaremos as noções básicas do plano 
complexo s para conhecer os princípios básicos de estabilidade dos sistemas. O 
plano s será estudado posteriormente em uma disciplina específica. 
Aprofundaremos o estudo de filtros ativos, iniciado na rota 4, e abordaremos as 
características de diferentes tipos de filtros analógicos usando amplificadores 
operacionais, analisando e projetando filtros do tipo Butterworth de ordem n. 
TEMA 1 – PRINCÍPIOS DE PROCESSAMENTO DE SINAIS 
Neste modulo veremos uma introdução ao processamento de sinais para 
entender a relação entre os circuitos eletrônicos (hardware) e os sinais que vão 
ser processados. O estudo de sinais e seu processamento matemático será 
aprofundado em futuras disciplinas. 
Todo sinal contém informações referentes a variações de alguns 
parâmetros de sistemas físicos, tais como luz, calor, movimento, vibração, som 
e muitos outros sinais. Por meio de sensores adequados (transdutores), esses 
sinais são captados e convertidos em sinais elétricos para que possam ser 
processados por um sistema eletrônico. Esse processamento consiste em 
analisar o sinal para realizar determinados comandos a partir dos resultados, 
detectar algum padrão determinado dentro do sinal e várias outras aplicações. 
 
 
 
3 
1.1 Processamentos analógicos básicos 
Como a natureza é basicamente analógica, os sinais captados pelos 
sensores são inicialmente analógicos. Portanto, o processamento inicial desses 
sinais será analógico. Para posterior processamento digital, o sinal deverá ser 
convertido de sinal contínuo (analógico) para sinal discreto (digital). Os principais 
processos para o processamento analógico do sinal são amplificação e filtragem. 
1.1.1 Amplificação 
A amplificação do sinal consiste na adequação de sua amplitude de 
acordo com as necessidades. Geralmente a amplitude do sinal que o sensor 
entrega é muito pequena, e alguns deles entregam sinais na faixa dos µV, o que 
inviabiliza qualquer tentativa de processamento (principalmente digital). 
Figura 1 – Sinal amplificado com ganhos diferentes, sendo o maior ganho 
o ganho 4 
 
A Figura 1 apresenta um sinal que foi amplificado com ganhos diferentes: 
os ganhos 1, 2 e 3 amplificam o sinal adequadamente sem distorcê-lo. No 
entanto, como pode ser visto na figura, o ganho 4 ultrapassa os limites do 
amplificador (dado pela fonte de alimentação) cortando parte do sinal. Essa 
situação deve ser evitada porque provoca a chamada distorção de amplitude, o 
que acarreta perda de informação. 
1.1.2 Filtragem 
Filtrar um sinal consiste em tirar componentes harmônicos que não são 
parte do espectro de frequência do sinal. Este assunto será estudado a seguir. 
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 100 200 300 400
Amplitude
t (s)
Ganho 1
Ganho 2
Ganho 3
Ganho 4
 
 
4 
TEMA 2 – RELAÇÃO ENTRE DOMÍNIO DO TEMPO E DOMÍNIO DA 
FREQUÊNCIA 
Neste modulo veremos uma introdução à análise de sinais no domínio da 
frequência para entender a relação entre a resposta de circuitos eletrônicos 
(hardware) e os sinais que vão ser processados. O estudo de sinais e seu 
processamento matemático será aprofundado em futuras disciplinas. 
No domínio do tempo, um sinal é a representação instantânea de um 
parâmetro qualquer variando no tempo, por exemplo a onda senoidal da Figura 
1, ou pode ser a representação da variação de temperatura ao longo de um 
determinado período de tempo ou qualquer outro parâmetro. Qualquer sinal 
periódico pode ser representado pela soma de várias ondas senoidais cujas 
frequências são múltiplos inteiros de uma frequência fundamental f, cada uma 
delas com fase e amplitude determinadas. Esses sinais senoidais são chamados 
de harmônicos, e o conjunto desses harmônicos compõe o espectro de 
frequência do sinal. É de fundamental importância que os equipamentos 
eletrônicos tenham a capacidade de amplificar e processar todos os harmônicos 
de interesse do sinal que entrará neles para não perder nenhuma informação. 
As componentes de ruído no sinal deverão ser filtradas. 
Para passar do domínio do tempo para o domínio da frequência, usa-se 
um operador matemático chamado transformada integral. Existem vários tipos 
de transformadas, mas a transformada de Laplace em conjunto com a 
transformada e a série de Fourier são provavelmente as ferramentas 
matemáticas mais poderosas do engenheiro eletricista. 
2.1 Série e transformada de Fourier 
Qualquer sinal periódico pode ser representado pela série de Fourier. 
Sinais não periódicos podem ser representados pela transformada de Fourier. A 
Figura 2 mostra a composição de uma onda quadrada formada por n 
componentes senoidais. Essa figura mostra graficamente a passagem do 
domínio do tempo para o domínio da frequência. A onda quadrada é formada 
pela soma de componentes senoidais com amplitudes e frequências diferentes. 
O espectro do sinal é representado como um diagrama de barras (ou de 
linhas), onde a altura da barra representa a amplitude de pico do sinal senoidal 
(projeção no eixo vertical), e a posição no eixo horizontal indica a frequência do 
 
 
5 
sinal senoidal (Figura 2). O vídeo a seguir mostra o fasor (fasores) girando no 
domínio da frequência gerando o sinal no domínio do tempo: 
<https://www.youtube.com/watch?v=r18Gi8lSkfM> (Khutoryansky, 2015). 
Na Figura 3 são vistos sinais de ECG no domínio do tempo com seus 
respectivos espectros no domínio da frequência. Nessa figura é possível 
observar nos gráficos da direita que as harmônicas com frequências de interesse 
se concentram até os 30Hz. Acima dessa frequência, as componentes 
representam ruído que deve ser filtrado. Muitas vezes nestes diagramas 
espectrais aparece uma linha de altura maior na frequência de 60Hz. Se 
aparecer, essa linha é geralmente devida à frequência da rede, que é de 60 Hz 
e deve ser eliminada (o ruído gerado por ela pode ser muito grande). Os 
equipamentos de ECG devem amplificar sinais de até aproximadamente 40Hz 
(na maioria dos casos), rejeitando as frequências superiores a esse valor (Wei 
et al., 2010). 
Figura 2 – Visualização gráfica de um sinal no domínio do tempo (forma de 
onda) e no domínio da frequência (espectro) 
 
Figura 3 – Sinais de eletrocardiograma com seus respectivos espectros em 
frequência 
 
 
 
6 
Se imaginarmos a função f(t) como um feixe de luz, a transformada de 
Fourier é como um prisma, que a quebra em diversos componentes de 
frequência ω cada uma de intensidade F(ω). As várias frequências seriam as 
cores, e, dessa forma, a transformada de Fourier forneceria o espectro de cores 
do sinal. Fazendo o caminho contrário, a transformada inversa de Fourier 
combina o espectro, ou seja, combina todas as cores, para retornar à função 
original. 
2.2 Transformada de Laplace 
A transformada de Laplace permite analisar circuitos com entradas 
senoidais e não senoidais. Usaremos a transformada de Laplace para analisar o 
comportamento de circuitosno domínio da frequência. Ela é uma poderosa 
ferramenta porque: 
 Pode ser aplicada a uma variedade maior de entradas do que a análise 
fasorial. 
 Fornece uma maneira fácil de resolver problemas de circuitos que 
contenham condições iniciais, pois permite trabalhar com equações 
algébricas no lugar de equações diferenciais. 
 É capaz de fornecer em uma única operação, a resposta total do circuito, 
contendo tanto a resposta natural quanto a resposta forçada (Alexander e 
Sadiku, 2006). 
2.3 Relação entre as transformadas 
A transformada de Laplace é principalmente usada para análise de 
comportamento de sistemas, e a transformada e a série de Fourier são muito 
usadas em processamento de sinais, antenas, sistemas de controle e outros. 
Quando aplicada a transformada de Laplace, passa-se do domínio do 
tempo ao domínio da frequência complexa, onde a informação do deslocamento 
de fase é mantida. No caso da transformada de Fourier passa-se ao domínio da 
frequência real, perdendo-se a informação relativa ao deslocamento de fase do 
sinal. Em regime estacionário, o comportamento de um sistema pode ser previsto 
verificando o domínio da frequência real. Para estudar o comportamento também 
em regime transitório, é necessário entrar no domínio da frequência complexa. 
 
 
7 
TEMA 3 – FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
3.1 Função de transferência 
A função de transferência serve para caracterizar a relação entrada-saída 
de sistemas lineares que não variam no tempo – a maioria dos equipamentos 
eletrônicos tem essas características. Ela relaciona a transformada de Laplace 
da saída com a transformada de Laplace da entrada. O circuito da Figura 4 é um 
amplificador operacional na configuração de integrador. A análise no domínio do 
tempo é relativamente complexa porque implica em cálculo integral, ficando 
impossível de obter a função de transferência do sistema. 
 
Domínio do tempo 
 𝑣+ = 𝑣− = 0 (1) 
 
𝑖(𝑡) =
𝑣𝑖(𝑡) − 0
𝑅
= 𝐶
𝑑(0 − 𝑣𝑜(𝑡))
𝑑𝑡
 
(2) 
 𝑣𝑖(𝑡)
𝑅𝐶
= −
𝑑𝑣𝑜(𝑡)
𝑑𝑡
 
(3) 
 
𝑣𝑜(𝑡) = −
1
𝑅𝐶
∫𝑣𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 
(4) 
Como pode ser visto na Equação 4, o sinal de saída é uma função da 
integral do sinal de entrada. 
Figura 4 – Amplificador operacional na configuração de integrador. O sinal 
de saída é proporcional à integral do sinal de entrada 
 
Domínio da frequência 
Considerando o circuito no domínio da frequência e a transformada de 
Laplace: 
Impedância do capacitor: 
𝑖 
𝑣+ 
𝑣− 
 
 
8 
 
𝑍𝐶 =
1
𝑗𝜔𝐶
 
(5) 
Como 𝑠 = 𝑗𝜔, 𝑍𝐶 =
1
𝑠𝐶
 
Trabalhando com fasores de tensão e corrente: 
 
𝑰 =
𝑽𝑖 − 0
𝑅
=
0 − 𝑽𝑜
𝑍𝐶
 
(6) 
 𝑽𝑖
𝑅
=
−𝑽𝑜
1
𝑠𝐶
 
(7) 
 𝑽𝑖
𝑅
= −𝑠𝐶𝑽𝑜 
(8) 
Definindo a função de transferência como 𝐻(𝑠) 
 
𝐻(𝑠) =
𝑽𝑜
𝑽𝑖
= −
1
𝑠𝐶𝑅
 
(9) 
A Equação 9 apresenta a função de transferência de um amplificador 
integrador. Como os polos da função são os valores de s que zeram o 
denominador da mesma, é possível ver que o integrador tem um polo em 𝑠 = 0. 
Outro exemplo é o circuito da Figura 5, que é um amplificador operacional 
na configuração de diferenciador. 
Figura 5 – Amplificador operacional na configuração de diferenciador (ou 
derivador). O sinal de saída é proporcional à derivada do sinal de entrada 
 
No circuito da Figura 5, a análise no domínio do tempo é relativamente 
complexa porque implica em cálculo diferencial ficando impossível de obter a 
função de transferência do sistema. 
 
Domínio do tempo 
 
𝑣𝑜(𝑡) = −𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
(10) 
 
 
9 
Como pode ser visto na Equação 10, o sinal de saída é uma função da 
derivada do sinal de entrada. 
 
Domínio da frequência 
Considerando o circuito no domínio da frequência e a transformada de 
Laplace: 
 
𝐻(𝑠) =
𝑽𝑜
𝑽𝑖
= −𝑠𝐶𝑅 
(11) 
A Equação 11 apresenta a função de transferência do amplificador 
diferenciador. Como os zeros da função são os valores de s que zeram o 
numerador dela, é possível ver que o diferenciador tem um zero em 𝑠 = 0. 
TEMA 4 – INTRODUÇÃO AO PLANO COMPLEXO S 
4.1 Frequência complexa 
Considerando a função genérica de uma tensão senoidal, podemos 
escrever a seguinte equação: 
 𝑣(𝑡) = �̂�𝑒
𝜎𝑡. 𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃) (12) 
A exponencial 𝑒𝜎𝑡 modula a senoide da seguinte maneira: 
Figura 6 – Para 𝜎 < 0 e 𝜔 > 0. Este é um sistema estável cuja amplitude vai 
diminuir até atingir o regime permanente 
 
Figura 7 – Para 𝜎 = 0 e 𝜔 > 0. Este é o caso típico de um oscilador com 
amplitude constante 
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500
A
m
p
lit
u
d
e
Tempo
 
 
10 
 
Figura 8 – Para 𝜎 > 0 e 𝜔 > 0. Este é o caso de um sistema instável cuja 
amplitude aumenta indefinidamente 
 
 
A Figura 6 mostra um sinal cuja amplitude vai diminuindo com o tempo e 
que oscila com uma frequência determinada. Neste caso, existe realimentação 
negativa, o sistema vai diminuir a amplitude da oscilação até atingir o regime 
permanente imposto pelo sistema. A Figura 7 mostra um sinal estabilizado e que 
oscila com amplitude e frequência determinadas. Estes são sistemas estáveis. 
No caso apresentado na Figura 8, a amplitude iria aumentar até o infinito, a não 
ser pelas limitações do sistema. Neste caso existe realimentação positiva, e o 
sistema estaria trabalhando numa região instável. Circuitos eletrônicos não 
devem entrar nessa região. Qualquer circuito que apresentar uma resposta que 
gere uma saída deste tipo será instável e não poderá ser usado. 
A frequência ω não pode ser menor do que zero (não existe frequência 
negativa). A frequência complexa pode ser definida como: 𝑠 = σ + jω, onde σ é 
a parte real, e jω é a parte imaginária. Em engenharia, física e matemática, o 
plano s é o plano complexo onde a transformada de Laplace é representada. 
Ele é usado como uma ferramenta de análise gráfica do comportamento de 
sistemas no domínio da frequência. Aplicando transformada de Laplace, é 
possível passar uma função do domínio da frequência: 
-10
-5
0
5
10
-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500
A
m
p
lit
u
d
e
Tempo
-150
-100
-50
0
50
100
150
-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500
A
m
p
lit
u
d
e
Tempo
 
 
11 
 
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡).
∞
0
𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 
(13) 
No plano s, a frequência complexa é representada como mostra a Figura 
9, onde os zeros são representados por “o” e os polos, por ”x”. A Figura 9 (a) 
mostra um zero em 𝑠 = 0, a Figura 9 (b) mostra um polo em 𝑠 = −2 + 𝑗4, e a 
Figura 9 (c) mostra um polo em 𝑠 = 2 + 𝑗3. 11, onde o sigma (σ) é a exponencial 
decrescente (atenuação), e o ω (ômega) é a frequência de oscilação. Um 
sistema eletrônico que tenha uma função de transferência com um polo como o 
da Figura 9 (b) terá uma resposta como a mostrada na Figura 6. Agora, um 
sistema eletrônico que tenha uma função de transferência com um polo como o 
da Figura 9 (c) terá uma resposta como a mostrada na Figura 8 (Ogata, 1982). 
Figura 9 – Polos e zeros representados no plano s 
 
(a) (b) (c) 
 
Resposta do sistema de acordo com a posição dos polos no plano s: 
1. Um polo real 𝑝 = −𝜎 no lado esquerdo do plano s implica em uma 
exponencial decrescente. A velocidade de decaimento vai depender da 
posição do polo no eixo real em relação à origem. 
2. Polo na origem 𝑝 = 0 define uma constante cuja amplitude depende das 
condições iniciais do sistema. 
3. Um polo real 𝑝 = 𝜎 no lado direito do plano s implica em uma exponencial 
crescente. Como a exponencial cresce indefinidamente, o sistema é 
instável. 
4. Um par de polos complexos conjugados 𝑝𝑖 = 𝜎 ± 𝑗𝜔 no lado esquerdo do 
plano (σ negativo) gera um sinal senoidal com amplitude decrescente no 
tempo 𝑓(𝑡) = 𝐴. 𝑒
𝜎𝑡 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑), onde A e φ são determinados pelas 
condições iniciais do sistema, σ é a taxa de decaimento exponencial e ω 
a frequência de oscilação. 
-5
-3
-1
1
3
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-3
-1
1
3
5
-5-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-3
-1
1
3
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
𝑗𝜔 𝑗𝜔 
𝜎 𝜎 
𝑗𝜔 
𝜎 
 
 
12 
5. Um par de polos complexos conjugados 𝑝𝑖 = ±𝑗𝜔 no eixo imaginário (σ = 
0) gera um sinal senoidal com amplitude 𝑓(𝑡) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑), onde A e φ 
são determinados pelas condições iniciais do sistema e ω é a frequência 
de oscilação. 
6. Um par de polos complexos conjugados 𝑝𝑖 = 𝜎 ± 𝑗𝜔 no lado direito do 
plano (σ positivo) gera um sinal senoidal com amplitude crescente no 
tempo 𝑓(𝑡) = 𝐴. 𝑒
𝜎𝑡 . 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑), onde A e φ são determinados pelas 
condições iniciais do sistema, σ é a taxa de crescimento exponencial e ω 
a frequência de oscilação. Como a exponencial cresce indefinidamente, o 
sistema é instável (MIT). 
Figura 10 – A posição no plano s dos polos da função de transferência do 
sistema determinarão a sua resposta (MIT) 
 
A Figura 11 apresenta a disposição dos polos e zeros de um filtro 
Butterworth de terceira ordem. Os polos s1 e s2 são complexos conjugados. O 
polo s2 só existe matematicamente, mas, como não existe frequência negativa, 
o polo que determina a frequência de corte do sistema é o polo s1. O zero na 
origem determinará o aumento de amplitude da função de transferência até a 
frequência de corte determinada pelo polo s1. Estes polos e o zero determinam 
a resposta em frequência tridimensional do filtro apresentada na Figura 12. 
 
 
 
 
 
13 
Figura 11 – Polos e zeros de um filtro passa altas Butterworth de ordem 3 (3 
polos) 
 
Figura 12 – Resposta em frequência tridimensional de um filtro passa altas (FPA) 
Butterworth de ordem 3 
 
 
Na Figura 12, os três eixos são: Imaginário (Im) a frequência ω, Real (Re) 
a atenuação σ, e o terceiro eixo (vertical) a amplitude da função de transferência. 
No caso dos filtros ativos, este eixo tem informações do ganho de tensão do 
circuito. O teste de resposta em frequência de qualquer sistema eletrônico é a 
variação da amplitude (ganho) em função da frequência. No teste de laboratório 
para um FPA, o gráfico obtido é o destacado (círculo verde) na Figura 12. 
 
𝑠1 
𝑠2 
𝑠0 
𝑠1 
𝑠2 
𝑠0 
Resposta em 
frequência FPA 
 
 
14 
TEMA 5 – FILTROS ATIVOS 
Um filtro é um dispositivo projetado para rejeitar ou atenuar determinadas 
frequências e deixar passar outras. Pode ser um dispositivo passivo composto 
por capacitores, resistores e indutores; ou ativo composto por capacitores, 
resistores e amplificadores realimentados (amplificadores operacionais). De 
acordo com a resposta em frequência, ele se classifica em passa baixas (FPB), 
passa altas (FPA), passa faixa (FPF) e rejeita faixa (FRF). 
A Figura 13 mostra as respostas em frequência de filtros ideais das 
classificações acima mencionadas. 
Figura 13 – De cima para baixo: FPB – FPA – FPF – FRF 
 
Nessa figura é possível observar que a amplitude (ganho de tensão) tem 
valor máximo em determinadas frequências. Essa faixa de frequências é 
chamada de banda passante, e sinais que tiverem frequências dentro dessa 
faixa terão atenuação mínima se o ganho do filtro ativo for aproximadamente 1 
ou serão amplificados se o ganho for maior do que 1. A(s) frequência(s) que 
limita essa banda é chamada frequência de corte fc. Também pode ser indicada 
como fL (do inglês low), que indica frequência de corte de baixa frequência, ou fH 
(do inglês high), que indica frequência de corte de alta frequência. Todo sinal 
cuja frequência estiver além de fc será rejeitado (filtrado). 
As características ideais apresentadas na Figura 13 são impossíveis de 
realizar com elementos físicos. A Figura 14 mostra a resposta de um FPB 
Butterworth de ordem 2 usando um amplificador operacional LM741 com 
 
 
15 
frequência de corte em 120Hz, aproximadamente. Esta resposta foi obtida em 
testes de laboratório. 
Ganho em escala adimensional: 
|𝐴𝑉| = |
𝑣𝑜
𝑣𝑖
| 
Às vezes é melhor expressar o ganho do filtro (amplificador) em escala 
decibel. Ganho em escala decibel: 
𝐴𝑉[𝑑𝐵] = 20. 𝑙𝑜𝑔(|𝐴𝑉|) 
Figura 14 – Resposta em frequência de um Filtro Passa Baixas 
 
(a) 
 
(b) 
Butterworth de ordem 2. (a) Ganho em escala normal adimensional, e (b) 
ganho em escala decibel. 
A frequência de corte é também chamada de frequência de meia potência 
ou de frequência 3dB: 
 Frequência de corte (fc) porque corta todos os componentes cuja 
frequência estiver além dela. A fc é a frequência na qual a amplitude 
(ganho) caiu a 70% do ganho na banda passante. 
fH
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
1 10 100
A
v
f [Hz]
fH
-10
-5
0
5
10
1 10 100A
v 
[d
B
]
f [Hz]
3dB 
𝐴𝑣𝑜 
0,7. 𝐴𝑣𝑜 
 
 
 
16 
 Frequência de meia potência (fc) porque a potência do sinal ao atingir essa 
frequência cai pela metade da potência que tinha na banda passante. 
 Frequência de 3dB (f3dB) porque, quando a escala do ganho está em dB, 
na frequência de corte o ganho é 3dB menor do que o ganho da banda 
passante. 
A região da resposta do filtro real onde o ganho varia (queda ou subida) é 
chamada região de transição. 
5.1 Introdução a filtros analógicos: Butterworth, Chevyshev, Bessel 
Existem dois tipos principais de filtros: analógico e digital. Embora a base 
matemática seja a mesma, eles são diferentes tanto na montagem física quanto 
em seu funcionamento. O filtro analógico é composto por componentes 
eletrônicos e serve para filtrar sinais analógicos. É de fundamental importância 
em aplicações como redução de ruídos e outras específicas. Mesmo o sinal 
analógico a ser digitalizado deve ser processado antes da digitalização. Os filtros 
analógicos são muito importantes nesta fase. Para projetar um filtro analógico, 
existem diversas técnicas. A precisão dos componentes, a tensão e a corrente 
devem ser consideradas durante todo o projeto. 
5.1.1 Tipos de filtros e suas respostas 
 Bessel: Banda passante e faixa de rejeição planas com transição suave. 
 Butterworth: Banda passante e faixa de rejeição planas com transição 
moderada. 
 Chebyshev tipo 1: Banda passante com ondulações e faixa de rejeição 
plana com transição moderada. 
 Chebyshev tipo 2: Banda passante plana e faixa de rejeição com 
ondulações com transição moderada. 
 Elíptico: Banda passante e faixa de rejeição com ondulações com 
transição abrupta. 
A Figura 15 mostra a resposta em frequência de diferentes tipos de filtros 
passa baixas. Todos os filtros têm vantagens e desvantagens, e a escolha do 
tipo de filtro vai depender do tipo de processamento que vai ser aplicado ao sinal. 
Cabe lembrar que até o filtro mais próximo do ideal vai impor distorção por 
 
 
17 
deslocamento de fase na região do(s) polo(s) que determina(m) a frequência de 
corte (Diagramas de Bode – Análise de Circuitos Elétricos). 
5.2 Topologias 
As topologias mais usadas para projetar filtros ativos são: 
 Sallen Key: Como o desempenho do filtro apresenta pouca dependência 
em relação aos parâmetros do amplificador operacional (AOp), esta 
topologia é uma das mais usadas no projeto de filtros ativos de baixa 
ordem. 
 Realimentação múltipla: Apresenta maior dependência em relação aos 
parâmetros do AOp utilizando-o como um circuito integrador. 
 Variáveis de estado: Consiste em um ou mais circuitos integradores 
conectados em alguma configuração de realimentação. Neste caso, o 
filtro tem saídas passa baixas, passa faixa e passa altas, e todos os 
parâmetros podem ser ajustados independentemente. 
 Biquadrático: É uma variante do filtro de variável de estado sem a saída 
passa altas separada. 
Figura 15 – Filtro Passa Baixas, resposta de diferentes tipos de filtros (Damato, 
2006). 
 
 
 
 
18 
5.2.1 Topologia Sallen – Key 
A topologia Sallen – Key por sua simplicidade é muito usada para 
implementar filtros de segunda ordem. Esta topologia é uma variação da 
topologia VCVS (voltage-controlled voltage-source). A topologia Sallen – Key 
usa comumente um amplificador operacionalna configuração de seguidor de 
tensão (ganho 1) que permite um fator de qualidade (Q) alto sem uso de 
indutores. Todavia, às vezes, é necessário que o filtro tenha ganho maior do que 
1 (caso do filtro Butterworth com ganho). Neste caso, implementa-se a topologia 
VCVS com o amplificador operacional em configuração de amplificador não 
inversor. Filtros VCVS são relativamente independentes das características dos 
componentes, mas, para obter um fator Q alto, podem requerer valores 
específicos de componentes ou amplificadores com ganhos muito altos. Filtros 
de ordem maior podem ser montados colocando duas ou mais etapas em 
cascata. 
A Figura 16 mostra um amplificador operacional na configuração de 
seguidor com a topologia Sallen – Key genérica constituída pelas impedâncias 
Z1, Z2, Z3 e Z4. 
Figura 16 – Topologia Sallen – Key genérica 
 
Função de transferência: 
Considerando o amplificador operacional ideal para filtros passa baixas e 
passa altas Z1 = Z2 e Z3 = Z4. Portanto: 
 
𝐴𝑣 =
𝑣𝑜
𝑣𝑖
=
𝑍3
2
𝑍1
2 + 2. 𝑍1. 𝑍3 + 𝑍3
2 
(14) 
 
 
 
19 
5.2.2 Topologia VCVS 
A Figura 15 mostra um amplificador operacional na configuração de 
amplificador não inversor com a topologia VCVS genérica constituída pelas 
impedâncias Z1, Z2, Z3 e Z4. Os resistores R1 e R2 determinam o ganho do 
amplificador. 
 
Função de transferência: 
Neste caso específico, os polos da função de transferência são 
determinados da mesma maneira do filtro da topologia Sallen Key. O ganho na 
banda passante deste filtro é o ganho do amplificador operacional na 
configuração de amplificador não inversor: 
 
 
𝐴𝑉𝑜 =
𝑅1 + 𝑅2
𝑅1
= 1 +
𝑅2
𝑅1
 
(15) 
 
𝐴𝑉(𝑠) =
𝑣𝑜
𝑣𝑖
=
𝐴𝑉𝑜 . 𝑍3. 𝑍4
𝑍2. 𝑍3 + 𝑍3. 𝑍4 + 𝑍1. 𝑍3 + 𝑍1. 𝑍2 + 𝑍1. 𝑍4(1 − 𝐴𝑉𝑜)
 
(16) 
Para filtros passa baixas e passa altas Z1 = Z2 e Z3 = Z4. Portanto: 
 
𝐴𝑣 =
𝑣𝑜
𝑣𝑖
=
𝐴𝑉𝑜 . 𝑍3
2
𝑍3
2 + 𝑍1
2 + 𝑍1. 𝑍3(3 − 𝐴𝑉𝑜)
 
(17) 
Figura 17 – Topologia VCVS genérica (a) primeira ordem, (b) segunda ordem 
 
 
(a) (b) 
5.3 Filtros Butterworth 
Um filtro passa baixas tem uma função de transferência que se aproxima 
da ideal: 
 
𝐴𝑉(𝑠) =
1
𝑃𝑛(𝑠)
 
(18) 
 
 
20 
𝑃𝑛(𝑠) é um polinômio na variável complexa s que tem todos os zeros no 
lado esquerdo do plano complexo s. Cabe lembrar que na função de 
transferência os zeros do polinômio do denominador são os polos da função. 
5.3.1 Polinômio de Butterworth e filtros de ordem n 
Usando o polinômio de Butterworth 𝐵𝑛(𝑠), a equação 18 pode ser escrita 
da seguinte maneira: 
 
𝐴𝑉(𝑠) =
𝐴𝑉𝑜
𝐵𝑛(𝑠)
 
(19) 
A Figura 18 mostra a resposta em frequência de filtros passa baixas de 
várias ordens. O número n indica a quantidade de polos que o sistema tem na 
frequência de corte, por exemplo, um filtro de ordem 2 (2ª ordem) tem 2 polos na 
frequência de corte, um de ordem 3 tem 3 polos e assim por diante. Note-se que 
para todas as ordens a amplitude do ganho cai 3 dB em 𝜔 = 𝜔𝑜. Quanto maior 
a ordem do filtro, mais a resposta em amplitude se aproxima da ideal. 
Assumindo 𝜔0 = 1, a Tabela 1 mostra o polinômio de Butterworth até n = 
8. Para n par, o polinômio é o produto de formulas quadráticas. Para n ímpar o 
fator 𝑠 + 1 é adicionado. Os zeros do polinômio de Butterworth normalizado são 
-1 ou complexos conjugados e estão representados no chamado círculo de raio 
unitário de Butterworth, mostrado na Figura 19. 
Figura 18 – Resposta em frequência de filtros passa baixas Butterworth de várias 
ordens com frequência de corte em 𝜔0 = 1 
 
 
 
 
 
21 
Tabela 1 – Polinômio de Butterworth 
n Fatores do polinômio 
1 (𝑠 + 1) 
2 (𝑠2 + 1,414𝑠 + 1) 
3 (𝑠 + 1)(𝑠2 + 𝑠 + 1) 
4 (𝑠2 + 0,765𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,848𝑠 + 1) 
5 (𝑠 + 1)(𝑠2 + 0,618𝑠 + 1)(𝑠2 + 0,618𝑠 + 1) 
6 (𝑠2 + 0,518𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,414𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,932𝑠 + 1) 
7 (𝑠 + 1)(𝑠2 + 0,445𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,247𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,802𝑠 + 1) 
8 (𝑠2 + 0,390𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,111𝑠 + 1)(𝑠2 + 1,663𝑠 + 1)(𝑠2 +
1,962𝑠 + 1) 
 
O fator de amortecimento k pode ser definido como a metade do 
coeficiente de s na equação quadrática. Por exemplo, para um filtro de quarta 
ordem há dois fatores de amortecimento: 𝑘1 =
0,765
2
= 0,383 e 𝑘2 =
1,848
2
= 0,924. 
O fator de amortecimento determina quão amortecida vai ser a resposta do filtro. 
Considerando a equação (19) e a Tabela ,1 a função de transferência de 
um filtro de primeira ordem pode ser escrita da seguinte maneira: 
 
 𝐴𝑉(𝑠)
𝐴𝑉𝑜
=
1
𝑠 𝜔𝑜⁄ + 1
 
(20) 
 
onde 𝜔𝑜 é a frequência de corte ou frequência de 3dB. Similarmente, a 
função de transferência de um filtro de segunda ordem pode ser escrita assim: 
 
 𝐴𝑉(𝑠)
𝐴𝑉𝑜
=
1
(𝑠 𝜔𝑜⁄ )2 + 2𝑘(𝑠 𝜔𝑜⁄ ) + 1
 
(21) 
 
Considerando o circuito da Figura 22, onde o ganho é o de um 
amplificador na configuração não inversora, sendo 𝑍1 = 𝑍2 = 𝑅 e 𝑍3 = 𝑍4 = 𝐶 
configurando o filtro passa baixas da Figura 20: 
 
 
 
 
 
 
22 
Figura 19 – Círculo de raio unitário de Butterworth para (a) caso geral, (b) 
segunda ordem, (c) terceira ordem e (d) quarta ordem. Para todo n ímpar um dos 
zeros está em 𝜎 = −1. 
 
Figura 20 – Filtro Passa Baixas Butterworth de ordem 2 
 
E considerando a equação (38): 
 
𝐴𝑉(𝑠) = 𝐴𝑉𝑜
(1 𝑅𝐶⁄ )2
𝑠2 + (
3 − 𝐴𝑉𝑜
𝑅𝐶
) + (1 𝑅𝐶⁄ )2
 
(22) 
Comparando a Equação 22 com a Equação 21, podemos definir: 
 
𝜔0 =
1
𝑅𝐶
 
(23) 
 2𝑘 = 3 − 𝐴𝑉𝑜 (24) 
Portanto, 
 
𝐴𝑉𝑜 = 1 +
𝑅2
𝑅1
= 3 − 2𝑘 
(25) 
 
 
23 
Agora podemos calcular filtros de ordem par colocando filtros de segunda 
ordem em cascata usando R e C idênticos e calculando o ganho 𝐴𝑉𝑜 de acordo 
com a Equação 22 para satisfazer os fatores de amortecimento da Tabela 1. 
Para filtros de ordem impar é necessário um filtro de primeira ordem em cascata. 
Vale lembrar que para os filtros em cascata, da mesma fora que para os 
amplificadores comuns, o ganho total da etapa é igual ao produto dos ganhos 
individuais, como apresentado na Figura 21. 
Figura 21 – Estágios amplificadores conectados em cascata. 
 
 
 𝐴𝑉𝑇 =
𝑣𝑜
𝑣𝑖
= 𝐴𝑉1. 𝐴𝑉2. … . 𝐴𝑉𝑛 
(26) 
5.4 FPA, FPF e FRF 
O filtro passa altas pode ser configurado usando a topologia da Figura 20, 
mas com 𝑍1 = 𝑍2 = 𝐶 e 𝑍3 = 𝑍4 = 𝑅, ou seja, trocando resistores e capacitores 
em relação ao filtro passa baixas. Na Equação 21 do filtro passa baixas 
𝑠
𝜔0
 deve 
ser trocado por 
𝜔0
𝑠
, ficando para o filtro passa altas: 
 𝐴𝑉(𝑠)
𝐴𝑉𝑜
=
1
(𝜔0 𝑠⁄ )2 + 2𝑘(𝜔0 𝑠⁄ ) + 1
 
(27) 
O processo de cálculo é o mesmo do filtro passa baixas. 
A Figura 22 mostra a estrutura de um filtro passa faixa composto por um 
filtro passa altas com frequência de corte foL e um filtro passa baixas com 
frequência de corte foH e sua respectiva resposta em frequência. 
A Figura 23 mostra a estrutura de filtro rejeita faixas composto por um filtro 
passa baixas com frequência de corte foL, um filtro passa altas com frequência 
de corte foH e um somador. 
Em ambos os casos, foL < foH e o (ou os) fator de amortecimento deve ser 
considerado para cada filtro como indica a Tabela 1. Por exemplo, um filtro passa 
faixa de ordem 2 será obtido com um filtro passa baixas de ordem 2 e um passa 
altas de ordem 2 (Millman e Halkias, 1972). 
 
 
24 
Figura 22 – (a) Estrutura de um filtro passa faixa, (b) resposta em frequência do 
mesmo 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 23 – (a) Estrutura de um filtro rejeita faixa, (b) resposta em frequência do 
filtro 
 
(a) 
 
(b) 
fL fH
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
100 1000 10000 100000
A
m
p
lit
u
d
e
f [Hz]
fL fH
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
100 1000 10000 100000
A
m
p
lit
u
d
e
f [Hz]
 
 
25 
FINALIZANDO 
Nesta aula, foram verificados conteúdos referentes aos princípios básicos 
processamento analógico de sinais. Todo sinal tem componentes espectrais 
responsáveis pela sua forma de onda. Todas as componentes do espectro 
próprio do sinaldevem ser amplificadas com o mesmo ganho para se ter uma 
reprodução fiel dela. E todas as componentes que não fazem parte do sinal 
devem ser eliminadas para evitar leituras, processamentos e interpretações 
erradas dos sinais. 
Foi visto que sinais analógicos devem ser amplificados e filtrados para 
posterior processamento (analógico ou digital). A necessidade de filtrar o sinal 
vem da necessidade de tirar qualquer tipo de ruído nela. Esse ruído vai ser 
amplificado junto com ela dificultando a detecção de determinados parâmetros. 
Em som, esse ruído pode aparecer como chiado, comprometendo a sua 
qualidade. Quando se está trabalhando com outros sinais, o ruído pode mascarar 
partes importantes do sinal original. 
A resposta do filtro que vai filtrar esse sinal deverá ser adequada para 
deixar passar as componentes de interesse e filtrar as componentes de ruído. 
Para finalizar, cabe lembrar que esta rota de estudo é somente um guia e 
que o aluno, além de ler este guia de estudos, deve estudar pelo livro-texto e 
pelo material de leitura obrigatória disponibilizado na aula. 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. 
Tradução de Gustavo Guimarães Parma. Porto Alegre: Bookman, 2006. 
DAMATO, A. Electronic Filter. Wikipedia, 2006. Disponível em: 
<https://en.wikipedia.org/wiki/Electronic_filter>. Acesso em: 13 out. 2017. 
Fourier Transform, Fourier Series, and frequency spectrum. Physics Videos by 
Eugene Khutoryansky, 2015. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=r18Gi8lSkfM&t>. Acesso em: 13 out. 2017. 
MILLMAN, J.; HALKIAS, C. C. Integrated Electronics: Analog and Digital 
Circuits and Systems. Tokyo: McGraw-Hill, 1972. 
MIT. Understanding Poles and Zeros. Massachusetts Institute of Technology. 
Disponível em: <http://web.mit.edu/2.14/www/Handouts/PoleZero.pdf>. Acesso 
em: 13 out. 2017. 
OGATA, K. Engenharia de controle moderno. Rio de Janeiro: Prentice - Hall 
do Brasil Ltda., 1982. 
WEI, Z. et al. Single-lead fetal electrocardiogram estimation by means of 
combining R-peak detection, resampling and comb filter. Medical Engineering 
& Physics, Nanjing, May 2010.