geometria_analitica_2_ita

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OSG.: 36036/10 
ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO 
 
TC 
MATEMÁTICA 
 
TURNO DATA
ALUNO(A)
 TURMA
Nº
SÉRIE
PROFESSOR(A) MARCELO MENDES 
ITA/IME 
SEDE
___/___/___ 
u v u v
u ou cos .
v cos u v
⋅ ⋅
= θ =
θ
� � � �
�
� � �
Geometria Analítica 
 
 
Conteúdo: 
• A reta – Parte I 
• Exercícios 
 
A Reta – Parte I 
Tópicos Teóricos 
1. Dados os pontos A(xA, yB) e B(xB, yB), definimos o vetor 
( )A A B AAB x x ,y y .= − −
����
 
 
2. Vetor nulo de R2: (0, 0) = 0
�
 
 
3. Vetor simétrico: se u
�
 = (x, y), então – u
�
 = (– x, – y) é simétrico de u
�
 . 
 
4. Soma de vetores: se u
�
 = (x1, y1), = (x2, y2), então 
u
�
 + v
�
 = (x1 + x2, y1 + y2). 
 
5. Diferença de vetores: se u
�
 = (x1, y1), v
�
 = (x2, y2), então 
u
�
 – v
�
 = u
�
 + (– v
�
) = (x1 – x2, y1 – y2). 
 
6. Multiplicação de um vetor no R2 por escalar: 
u
�
 = (x, y), a ∈ R ⇒ a u
�
 = a (x, y) = (ax, ay). 
 
7. Vetores de mesma direção: u
�
 e v
�
 têm mesma direção se, e 
somente se, ∃k ∈ R tal que u
�
 = k v
�
. 
 
8. Módulo de um vetor em Rn: Se =(u1, u2, ..., un), então 
n
2
i
i 1
u u
=
= ∑
�
. 
 
9. Produto Escalar em R2 
 u
�
 = (x1, y1), v
�
 = (x2, y2) são vetores do R
2. Definimos como 
Produto Interno ou Produto Escalar de u
�
 por v
�
 e representamos 
por u
�
: v
�
, o número real u
�
 ⋅ v
�
 = x1x2 + y1y2. Daí, 
I. u v u v⋅ = ⋅
� � � �
cos θ (demonstra-se pela lei dos 
cossenos), sendo θ o ângulo entre os vetores u
�
 e v
�
. 
 Logo, u
�
 ⊥ v
�
⇔ u
�
 ⋅ v
�
 = 0. 
 
II. 
 
 
 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
01. Determine a distância entre dois pontos A e B do plano 
cartesiano. 
 
02. Determine as coordenadas de um ponto P que divide um 
segmento AB em uma dada razão real k ≠ –1. 
 
03. 
A) Prove que as coordenadas do ponto médio de um 
segmento AB são dadas por 
A B
2
+
. 
B) Prove que as coordenadas do baricentro de um 
triângulo ABC são dadas por 
A B C
3
+ +
. 
C) Mostre que a distância do baricentro a um vértice é o 
dobro da distância ao lado oposto. 
D) Encontre as coordenadas do incentro de um ∆ABC. 
 
04. Mostre que os pontos médios P, Q, R, S de qualquer 
quadrilátero no plano ou no espaço são vértices de um 
paralelogramo. 
 
05. Seja ABCDEF um hexágono qualquer e A1B1C1D1E1F1 o 
hexágono formado pelos baricentros dos triângulos ABC, 
BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. Mostre que A1B1C1D1E1F1 tem 
lados opostos paralelos e iguais. 
 
06. Seja r uma reta passando pelo baricentro de um triângulo 
ABC. Prove que a soma das distâncias de dois dos vértices 
de ABC à reta é igual à distância do 3° vértice a r. 
 
07. Seja ABCD um quadrilátero convexo, P, Q, R, S, os pontos 
médios de AB, BC, CD, DA, T a interseção de AC e BD, M 
a interseção de PR e QS, G o centro de massa de 
distribuição uniforme do quadrilátero. 
I. Prove que M é o ponto médio da Mediana de Euler do 
quadrilátero. 
II. Prove que T, M, G são colineares e TM = 3MG. 
 
08. A1A2A3A4 é um tetraedro e Gi é o baricentro da face oposta 
a Ai, para i = 1, 2, 3, 4. Bij é o ponto médio de AiAj. As 
retas AiGi são chamadas medianas do tetraedro. As retas 
B12 e B34, B13 e B24, B14 e B23 são chamadas bimedianas do 
tetraedro. Prove que: 
I. As quatro medianas e as três bimedianas passam por 
um mesmo ponto chamado baricentro do tetraedro. 
II. i
i
AG 3
GG 1
= . 
III. As bimedianas são divididas ao meio por G. 
 
09. Sejam M e N os pontos médios dos lados AB e CD de um 
quadrilátero qualquer. Prove que 
BC AD
MN
2
+=
��� ����
����
. 
 
10. (Moldávia) As diagonais de um quadrilátero inscritível 
ABCD têm um ponto H comum. Perpendiculares HM e HN 
aos lados BC e AD são traçadas. Prove que os pontos 
médios dos segmentos AB, CD, MN são colineares. 
 
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11. Mostre que se u
�
 = (x1, y1), v
�
 = (x2, y2) são vetores do R
2 e 
u
�
 ⋅ v
�
 = x1x2 + y1y2, então u v u v⋅ = ⋅
� � � �
cos θ, sendo θ 
o ângulo entre os vetores e . (sugestão: lei dos cossenos) 
 
12. Mostre, através da figura a seguir, que a condição de 
ortogonalidade de dois vetores u e v é u ⋅ v = 0. 
 
 
13. Mostre que o pé da perpendicular a partir de um ponto A 
até uma reta BC é dado por (A – λB + (λ – 1)C) ⋅ (B – C) = 0. 
14. Em um tetraedro, dois pares de arestas opostas são 
perpendiculares. Prove que o terceiro também é. 
15. Seja SABC um tetraedro tri-retângulo, tal que S seja o 
vértice dos ângulos retos. Prove que a projeção de S em 
ABC é ortocentro do ∆ABC. 
16. Seja ABCD uma pirâmide regular com base ABC, 
AB = BC = CA = a e AD = BD = CD = b e sejam M e N os 
pontos médios dos segmentos AB e CD, respectivamente. 
Um plano α passando por MN intersecta os segmentos AD 
e BC nos pontos P e Q respectivamente. 
A) Prove que 
AP BQ
AD BC
= . 
B) Encontre 
AP
AD
 no caso quando a área do quadrilátero 
MQNP é mínima. 
17. Determine A · B + A · C + B · C, sabendo que A + B + C = 
0, 
|A| = 2, |B| = 3, |C| = 5 . 
18. (Banco IMO) É dado um quadrilátero convexo ABCD com 
diagonais congruentes AC = BD. Quatro triângulos 
eqüiláteros são desenhados externamente sobre seus 
lados. Prove que os segmentos unindo os baricentros dos 
triângulos sobre lados opostos são perpendiculares. 
19. (Brasil) Em um triângulo isósceles ABC (AC = BC) seja O 
o seu circuncentro, D o ponto médio de AC e E, 
o baricentro do ∆DBC. Mostre que a reta OE é 
perpendicular a BD. 
20. Três pontos A, B, C são tais que AC2 + BC2 = 
2AB
2
. Qual é 
a posição relativa desses pontos. 
 
Exercícios Propostos 
 
 
01. Até que ponto o segmento de extremos A(3,0) e B(0,7) 
deve ser prolongado no sentido de A para B para que o 
comprimento triplique? 
 
02. Os pontos médios dos lados AB, BC e CA de um triângulo 
são, respectivamente, M(1, 3), N(– 1, 4) e P(0, 7). Obter os 
vértices A, B e C. 
 
03. Demonstrar analiticamente as propriedades das bases 
médias de triângulo e trapézio. 
 
04. (OPM) Demonstre que, numa pirâmide triangular regular 
(a base é um triângulo equilátero), duas arestas reversas 
são ortogonais. 
 
05. Encontre c de tal forma que (– 1, 1, c) e (– 1, 1, – c) e a 
origem sejam vértices de um triângulo retângulo na 
origem. 
 
06. Demonstre que se A é um vetor perpendicular a dois 
vetores B e C, então A é perpendicular a B + C. 
 
07. Demonstre que se A e B são vetores tais que A + B é 
perpendicular a A – B, então |A| = |B|. 
 
08. Seja u um vetor perpendicular a todo vetor x. Mostre que 
u = 0. 
 
09. (Equação vetorial da reta) Sejam A e B dois pontos 
distintos em Rn, em que n = 1, 2, 3. Mostre que em um 
ponto P ∈ AB ⇔ existem números reais x e y tais que 
P = xA + yB e x + y = 1. 
 
10. Sejam A, B e C pontos não colineares em Rn, em que n = 
2, 3, e seja T o triângulo ABC mais seu interior. Mostre 
que em um ponto P ∈ T existem números reais x, y e z 
não negativos tais que P = xA + yB + zC e x + y + z = 1. 
 
11. Sejam A, B, C e D pontos não colineares em Rn, em que 
n = 2, 3, e seja T o tetraedro ABCD mais seu interior. 
Mostre que em um ponto P ∈ T ⇔ existem números reais 
x, y, z e w não negativos, tais que P = xa ⇔ yb + zC + wD 
e x + y + z + w = 1. 
 
12. Seja E um ponto sobre o prolongamento do lado AB, por 
B, de um quadrado ABCD. F é o ponto de interseção das 
retas BC e DE e G, o ponto de interseção de AF e CE. 
Mostre que BG e DE são perpendiculares. 
 
13. Seja ABC um triângulo retângulo de hipotenusa BC, onde 
construímos externamente quadrados BCDE e ACFG. Seja 
M o ponto de interseção das retas AE e BF. Mostre que M 
está sobre o perímetro do quadrado inscrito em ABC com 
lados paralelos aos catetos. 
 
14. Mostre que AC2 + BD2 = AB2 + BC2 + CD2 + DA2 ⇔ A + C = B + D. 
 
15. Sejam A, B, C, D quatro pontos no espaço. Prove que se, 
para todos os pontos X no espaço, vale a equação 
AX2 + CX2 = BX2 + DX2, então ABCD é retângulo. 
 
16. Prove o teorema de Euter: no quadrilátero ABCD com 
medianas MN e PQ, AC2 + BD2 = 2(MN2 + PQ2). 
 
17. Sejam A, B, C, D pontos no espaço. Mostreque 
AB⊥CD ⇔ AC2 + BD2 = AD2 + BC2. 
 
18. Prove que se M é um ponto e ABCD, um retângulo, então 
MA MC MB MD⋅ = ⋅
���� ���� ���� ����
. 
 
19. Seja Q um ponto arbitrário no plano e M o ponto médio 
de AB. Prove que QA2 + QB2 = 2 QM2 + 
2AB
2
. 
 
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20. Seja ABC um triângulo e seja O um ponto qualquer no 
espaço. Mostre que AB2 + BC2 + CA2 ≤ 3(OA2 + OB2 + 
OC2). 
 
21. As diagonais de um quadrilátero ABCD se intersectam em 
O. Mostre que AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = 2(AO2 + BO2 + 
CO2 + DO2) exatamente se AC⊥BD ou uma das diagonais 
é bissectada por O. 
 
22. O ponto de interseção das retas r: {x p 3y 2p 9= −= + e 
 s: {x 2ty 4t 1== − : 
 
A) é (10,19). 
B) é (– 6,3). 
C) é (0, – 1). 
D) é (– 3,9). 
E) não existe. 
23. (OCM) “As coordenadas dos vértices de um triângulo 
equilátero são números inteiros”. Demonstre que essa 
afirmação é falsa. 
24. Sejam A(1, 3), B(4, – 5) e C(7, 5) três vértices consecutivos 
de um paralelogramo ABCD. 
A) Determine as coordenadas de D. 
B) Seja E o ponto de interseção das diagonais. Calcule a 
medida de DE. 
25. (FGV) Considere os pontos A(1; – 2), B(– 2; 4) e C(3; 3). A 
reta suporte da altura do triângulo ABC pelo vértice C tem 
equação: 
A) 2y – x – 3 = 0 
B) 2y + x + 3 = 0 
C) 2y + x – 9 = 0 
D) y – 2x + 3 = 0 
E) y + 2x + 9 = 0 
26. (UFSCar) Os pontos P e Q dividem o segmento de 
extremos (5,8) e (1,2) em três partes iguais. Se as retas 
perpendiculares a esse segmento pelos pontos P e Q 
interceptam o eixo y nos pontos (0,p) e (0,q), com p > q, 
então 6q – 3p é igual a: 
A) 10 
B) 8 
C) 7 
D) 5 
E) 2 
27. (UFSCar) A hipotenusa do triângulo retângulo ABC está 
localizada sobre a reta real, conforme indica a figura. 
 
 Se x > 0 e a medida da altura BD relativa ao lado AC do 
triângulo ABC é 2 6 , então x é o número real: 
A) 2 3 D) 5 
B) 4 E) 3 3 
C) 3 2 
28. (Vunesp) Num sistema de coordenadas cartesianas 
ortogonais, o coeficiente angular e a equação geral da 
reta que passa pelos pontos P e Q, sendo P(2,1) e Q o 
simétrico, em relação ao eixo y, do ponto Q’(1,2) são, 
respectivamente: 
A) 
1
3
; – 3y – 5 = 0 
B) 
2
3
; 2x – 3y – 1 = 0 
C) – 
1
3
; x + 3y – 5 = 0 
D) 
1
3
; x + 3y – 5 = 0 
E) – 
1
3
; x + 3y + 5 = 0 
29. Considere os pontos A(– 1, – 1), B(11, 4), C(7, 14); Seja I(x, 
y) o ponto de interseção das bissetrizes do ∆ABC. Então: 
A) I é um ponto com coordenadas inteiras. 
B) apenas uma das coordenadas de I é racional. 
C) I está no 2° quadrante. 
D) x + y ∈ Q. 
E) n.d.a. 
30. (ITA) Considere os pontos A(0,0), B(2,0) e C(0,3). Seja 
P(x,y) o ponto de interseção das bissetrizes internas do 
∆ABC. Então, x + y é igual a: 
A) 
12
5 13+
 
B) 
8
2 11+
 
C) 
10
6 13+
 
D) 5 
E) 2 
31. Num sistema cartesiano, as coordenadas dos vértices de 
um triângulo ABC são A(0,0), B(3,6) e C(8,0). A soma das 
coordenadas do ortocentro (encontro das alturas) desse 
triângulo é: 
A) 
12
5
 
B) 
11
2
 
C) 
13
6
 
D) 
13
2
 
E) 
11
3
 
 
 
 
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32. (OPM) Usando geometria analítica, demonstrar o seguinte 
teorema: ”Num triângulo retângulo, a bissetriz do ângulo 
reto divide a hipotenusa em segmentos proporcionais aos 
catetos”. 
33. (OPM) Demonstre, usando coordenadas (geometria 
analítica) o teorema: “Qualquer ângulo inscrito em um 
semicírculo é um ângulo reto”. 
34. (IME) Demonstrar analiticamente que se uma reta 
perpendicular a uma corda de uma circunferência passa 
pelo seu centro, então ela divide a corda no seu ponto 
médio. 
35. (EUA) Um ponto P pertence ao plano de um dado 
quadrado de lado ℓ. Os vértices do quadrado são A, B, C, 
D, tomados no sentido anti-horário. Sejam u, v, w as 
distâncias de P a A, B, C. Qual a maior distância que P 
pode estar de D se u2 + v2 = w2? 
 
36. (Fuvest) São dados os pontos A(1, 1) e B(9, 3). A mediatriz 
do segmento AB encontra o eixo dos y no ponto de 
ordenada igual a: 
A) 20 
B) 21 
C) 22 
D) 23 
E) 24 
37. (IME) ABCD é um quadrado de lado ℓ, conforme a figura 
abaixo. Sabendo-se que K é a soma dos quadrados das 
distâncias de um ponto do plano definido por ABCD aos 
vértices de ABCD, determine: 
 
 
A) o valor mínimo de K e a posição do ponto P na qual 
ocorre este mínimo; 
B) o lugar geométrico de P para K = 4ℓ2. 
 
 
38. (IME) Sejam r, s, t três retas paralelas não coplanares. São 
marcados sobre r dois pontos A e A’, sobre s os pontos B 
e B’ e sobre t os pontos C e C’, de modo que os 
segmentos AA’=a, BB’=b e CC’=c tenham o mesmo 
sentido. 
A) Mostre que se G e G’ são os baricentros dos triângulos 
ABC e A’B’C’, respectivamente, então GG’ é paralelo às 
três retas. 
B) Determine GG’ em função de a, b, c. 
39. Seja ABCD uma pirâmide triangular regular de base ABC. 
Sejam a e b as medidas de AB e CD, respectivamente. 
Sendo M e N os pontos médios de AB e CD, analise as 
afirmações: 
I. MN ⊥ AB. 
II. CD ⊥ AB. 
III. 
AD BC
MN
2
+=
���� ���
����
 
IV. 
2 2A B
MN
4
+= 
 Quantas são verdadeiras? 
A) 0 B) 1 
C) 2 D) 3 
E) 4 
40. Seja ABC um triângulo retângulo com catetos AB e BC 
paralelos aos eixos coordenados. Se a equação da reta 
suporte da mediana partindo de A é x + y – 4 = 0, então a 
equação da reta passando pela origem e perpendicular à 
mediana partindo de C pode ser: 
A) y = x B) x + 2y = 0 
C) x + 3y = 0 D) x + 4y = 0 
E) n.d.a. 
41. Uma reta passando pelo ponto (–a, 0) corta o segundo 
quadrante determinando uma região triangular com área 
T. 
A equação da reta é: 
A) 2Tx + a2y + 2aT = 0 
B) 2Tx – a2y + 2aT = 0 
C) 2Tx + a2y – 2aT = 0 
D) 2Tx – a2y – 2aT = 0 
E) n.d.a. 
42. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos 
cujas distâncias ao ponto (3, 2) são iguais às distâncias à 
reta 2x + y = 3. 
43. As retas de equações y = ax + b e y = cx são ilustradas na 
figura a seguir. Sabendo que o coeficiente b é igual à 
média aritmética dos coeficientes a e c: 
 
A) expresse as coordenadas dos pontos P, 
Q e R em termos dos coeficientes a e b. 
B) determine a, b e c sabendo que a área 
do triângulo OPR é o dobro da área do 
triângulo ORQ e que o triângulo OPQ 
tem área 1. 
 
 
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44. As coordenadas de A, B e C são (5, 5), (2, 1) e (0, k), 
respectivamente. O valor de k que torna AC + BC o menor 
possível é: 
A) 3 B) 
1
4
2
 
C) 
6
3
7
 D) 
5
4
6
 
E) 
1
2
7
 
45. Determine a soma das coordenadas do ponto simétrico de 
(10, 21) em relação à reta 2x + 5y – 38 = 0. 
A) –10 B) –11 
C) – 12 D) –13 
E) n.d.a. 
46. No plano cartesiano da figura a seguir, MNQ é um 
triângulo equilátero e AM = MQ. O valor de m é: 
A) 3 
B) 2 2 
C) 2 3 
D) 3 
E) 3 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
* 01: – 6, 21 
 02: A(2, 6), B(0, 0), C(– 2, 8) 
 05: 2± 
 24: A) D(4, 13) B) DE = 9 
 35: 2 2+ 
 37: A) 2ℓ2 
 B) circunferência circunscrita ao quadrado 
 38: A) Demonstração 
 B) 
a b c
3
+ +
 
 42: x2 – 4xy + 4y2 – 18x – 14y + 56 = 0 
 43: A) ( ) ( )
( )
( )
b 2b ab b
P ,0 ,Q 0,b , P ,
a 2 b a 2 b a
 − −     − −   
 
 B) a = –8, b = 4, c = 16 
 
 – Demonstração 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
André 11/09/10 
Rev.: TSS