2 DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

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APOSTILA ELABORADA PELA EMPRESA DIGITAÇÕES & CONCURSOS 
 
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DIDÁTICA DA 
MATEMÁTICA 
 
 
1) A GÊNESE DO NÚMERO 
 
As crianças e a aprendizagem 
(tópico 1) 
 
Como as crianças aprendem? 
Todas ao mesmo tempo? Todas da mesma maneira? 
Por que aprenderam algumas coisas melhor que outras? 
Como ensinar para obter um melhor aprendizado? 
 
Essas perguntas são feitas entre os educadores há bem 
pouco tempo. 
 
Antigamente, acreditava-se que as crianças aprendiam 
apenas recebendo informações de um professor. O professor 
explicava, ditava regras, mostrava figuras. A criança ouvia, 
copiava, decorava e devia aprender. Quando não aprendia, 
culpava-se a criança (desatenta, irresponsável) ou falta de "jeito" 
do professor. 
Atualmente existem outras ideias sobre aprendizagem. 
Elas são o produto do trabalho de certos educadores e 
psicólogos que têm procurado responder as perguntas 
apresentadas no início deste texto. O campo de estudo desses 
pesquisadores chama-se Psicologia Cognitiva (piscologia é a 
ciência que estuda o pensamento e as emoções; a palavra 
cognitiva refere-se ao conhecimento). 
Os conceitos da Psicologia Cognitiva aplicam-se ao 
conhecimento e à aprendizagem em geral e naturalmente valem 
para o conhecimento matemático. Essas ideias não negam 
completamente as ideias antigas sobre o aprendizado. É possível 
aprender recebendo informações, treinando e decorando regras. 
Mas, dessa maneira, a compreensão daquilo que se aprende 
costuma ser bem pequena. E esta é a diferença: o que se 
procura através da Psicologia Cognitiva é favorecer o 
aprendizado com compreensão. 
A Psicologia Cognitiva fez importantes decobertas sobre 
o pensamento da criança. Os pesquisadores concluíram que: 
a) crianças pensam de maneira diferente dos adultos; 
b) cada criança pensa diferentemente de outra; 
c) o pensamento evolui, passa por estágios; em cada 
estágio, a criança tem uma maneira especial de compreender e 
explicar as coisas do mundo. 
Vamos exemplificar esta última afirmação. 
Experimentemos mostrar a uma criança duas bolachas iguais, 
uma inteira e a outra partida em quatro pedaços. Quase todas as 
crianças de cinco anos de idade vão dizer que as quantidades de 
bolacha não são iguais. Muitas vão achar que há maior 
quantidade na bolacha em pedaços. Já as crianças mais velhas 
reconhecerão facilmente que as quantidades são iguais. 
Esse exemplo mostra um fato comum: em certos 
estágios do pensamento as crianças pensam que a disposição 
das partes altera a quantidade. Por isso, para as crianças 
pequenas, pode parecer que a quantidade de bolacha aumenta 
se ela for partida em pedaços. 
 
Os pesquisadores da Psicologia Cognitiva também 
elaboraram ideias sobre o que é aprender. Eles declaram que 
aprender com compreensão é um processo pessoal, que 
acontece dentro da cabeça de cada um. Esse processo exige 
que o aprendiz pense por si próprio. 
Assim, para a Psicologia Cognitiva, simplesmente 
receber informações de um professor não é suficiente para que o 
aluno aprenda com compreensão, porque, nesse caso, a criança 
fica passiva, não pensa com a própria cabeça. 
A Psicologia estudou também quais objetos ou 
atividades ajudam a aprender. Ela tem mostrado que o 
pensamento e o aprendizado da criança desenvolvem-se ligados 
à observação e investigação do mundo. Quanto mais a criança 
explora as coisas do mundo, mais ela é capaz de relacionar fatos 
e ideias, tirar conclusões; ou seja, mais ela é capaz de pensar e 
compreender. 
Por exemplo, as crianças que tiveram oportunidade de 
praticar relações comerciais (compras, pagamentos, trocas) 
costumam ser mais capazes de resolver problemas matemáticos 
envolvendo esses assuntos do que crianças que não tiveram tais 
experiências. 
É justamente esta última ideia que tem motivado os 
educadores a buscarem meios de fazer a criança explorar o 
mundo à sua volta. 
 
A matemática e a necessidade de materiais 
concretos 
(tópico 2) 
 
No caso da matemática parece ser mais difícil fazer a 
criança explorar o mundo à sua volta, porque as noções 
matemáticas nem sempre aparecem com clareza nas situações 
do cotidiano. Por isso, procura-se criar um mundo artificial que 
facilita a exploração pela criança. 
Esse mundo artificial é constituído, em grande parte, por 
materiais concretos que a criança pode manipular, montar, etc. 
São objetos ou conjuntos de objetos que representam as 
relações matemáticas que os alunos devem compreender. 
Frisamos que as relações matemáticas não estão nos objetos em 
si. Elas podem se formar na cabeça da criança, desde que o 
material seja bem utilizado. 
Exemplos desses materiais concretos são o ábaco e o 
material dourado, que já foram examinados por nós nos módulos 
anteriores. Eles são utilizados na aprendizagem das regras de 
nosso sistema de numeração e das técnicas operatórias, temas 
fundamentais da matemática nas séries iniciais do 1º grau. 
Além do ábaco e do material dourado, existem muitos 
outros materiais que podem ser usados no aprendizado da 
matemática. Apesar da importância dos materiais na 
aprendizagem e da quantidade de escritos teóricos sobre eles, 
os materiais em si podem ser muito simples, fáceis de construir e 
substituíveis (quando não se consegue obter um tipo de material, 
pode-se substituí-lo por outro, sem muita dificuldade). 
 
A utilização adequada dos materiais 
(tópico 3) 
 
Parece-nos necessário, porém, alertar o professor sobre 
alguns elementos importantes na utilização de materiais 
concretos. 
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Já dissemos que noções matemáticas se formam na 
cabeça da criança e não estão no próprio material. Dissemos 
ainda que o material favorece o aprendizado, desde que seja 
bem utilizado. 
Vejamos o que significam essas duas afirmações, em 
termos práticos: 
Primeiro, o material deve ser oferecido às crianças 
antes das explicações teóricas e do trabalho com lápis e papel. 
É preciso que os alunos tenham tempo e liberdade para explorar 
o material, brincar um pouco com ele, fazer descobertas sobre 
sua organização. Após algum tempo de trabalho livre, o 
professor pode intervir, propondo questões, estimulando os 
alunos a manifestarem sua opinião. Em resumo, são essenciais, 
neste início, a ação e o raciocínio do aluno, pois, como 
dissemos, é só ele mesmo que pode formar as noções 
matemáticas. 
A partir da observação e manipulação, da troca de 
ideias entre alunos e entre estes e o professor é que as relações 
matemáticas começam a ser percebidas e enunciadas. O 
professor deve então, aos poucos, ir organizando esse 
conhecimento. 
Para concluir, podemos dizer que a atitude adequada do 
professor, em relação ao uso do material concreto, decorre de 
ele conceder o ensino de matemática nas séries iniciais como um 
convite à exploração, à descoberta e ao raciocínio. 
 
 
Matemática desafio e prazer 
Somas, divisões e subtrações estão em todos os 
momentos: na compra do doce, na bilheteria do parque de 
diversões e na organização dos brinquedos. Chamar a atenção 
do seu filho para a presença da matemática no dia-a-dia ajuda a 
desmistificar o que parece ser um bicho de milhões de 
cabeças. 
 
 - Dê vida às operações 
 - Jogando se aprende 
 - Ajude nas tarefas, mas não faça por ele! 
 
 
Grande parte da geração passada viveu nos bancos 
escolares uma espécie de arrepio ao ter que 
solucionar problemas, realizar equações, operações e utilizar o 
raciocínio lógico em diferentes momentos sem saber como 
aplicar na vida prática. 
Hoje seu filho tem nas mãos tecnologia, calculadora, 
informação e ainda convive com o mito da matemática difícil e 
para uso acadêmico. Os atuais métodos de ensino escolar estão 
tentando reverter esta história, buscando caminhos para ligar o 
ensino da matemática às situações do cotidiano. 
Já que não há dúvida quanto à utilidade dos números na 
rotina diária, vocêpode participar da integração da matemática à 
realidade do seu filho sem medo e com prazer. 
 
 Dê vida às operações 
 
 Mostre à criança que ao arrumar brinquedos 
e livros e organizar listas de compras estamos 
desenvolvendo pré-requisitos básicos para o ensino da 
matemática: a classificação e a seriação. 
 Na cozinha, a meninada adora viver 
momentos de grande chefe e se diverte lidando com 
medidas. Ótima ocasião para comparar gramas, mililitros, quilos 
e litros. A descoberta é a percepção de diferentes relações. 
 Estipular mesada fixa também dá elementos 
para um bom aprendizado e estabelece regras e 
princípios. Seu filho estará gerenciando e planejando gastos, o 
que propicia uma identificação produtiva e saudável com o 
dinheiro. 
 Os mais novos gostam de tarefas 
desafiadoras. Para a introdução à matemática esse é 
um ponto bastante vantajoso. 
 Conte com a cumplicidade dos pequeninos 
para a checagem das contas de luz, extratos 
bancários, gráficos econômicos nos jornais e tíquetes de 
supermercado. São situações repletas de números, cálculos, 
medidas, projeções e podem ser abordadas em diferentes 
níveis, dependendo da maturidade da criança. 
 Quaisquer outras oportunidades do dia-a-dia 
que envolvam contagem, classificação, comparação e 
seriação representam familiaridade com o sistema numérico e 
possibilidade de reflexão sobre a importância da matemática. 
 
 Jogando se aprende 
 
O lúdico faz a criança viver situações de intercâmbio e 
perceber, indiretamente, conceitos importantes. O tradicional 
também vale - dama, ludo, cartas, dominó, gamão, batalha naval, 
memória, quebra-cabeça com números, tangram, banco 
imobiliário, super trunfo - e outras novidades disponíveis no 
mercado. Há opções na internet (veja as dicas logo abaixo) e em 
CDroms. 
 Por meio da brincadeira, socializamos o conhecimento: 
crianças e adultos de idades diferentes trocam o que sabem. 
Tenha certeza de que aprendemos mais no lazer do que em 
algumas aulas expositivas. 
Reserve um tempinho para jogar com seu filho. Observe 
e perceba como ele pensa, assim você terá pistas preciosas para 
ajudá-lo em trabalhos escolares. 
A questão do jogo vai além da matemática. Jogar é 
negociar e trabalhar no coletivo de forma saudável e 
transparente. Quando tudo é oferecido pronto à criança, essa é 
uma alternativa para o desenvolvimento do raciocínio. 
 
 
Ajude nas tarefas, mas não faça por ele! 
 
 Não é raro que os pais se deparem com 
algumas dificuldades diante do olhar inquieto e perdido 
da criança: problemas, contas, exercícios realizados de forma 
diferente da aprendida em outros tempos. 
 Em primeiro lugar, ouça seu filho. Ele dará 
pistas de como você pode ajudá-lo. As crianças têm 
formas de resolução de problemas interessantíssimas. Algumas 
estão longe do modelo tradicional. Realizam desenhos, gráficos, 
tabelas, buscando concretizar o pensamento e expressar o 
raciocínio de um jeito próprio. 
 Valorize essa possibilidade e faça perguntas 
para que ele busque, no papel, o caminho. É sempre o 
primeiro passo. Pode ser surpreendente. Viver essa etapa 
anterior é dar voz à criança e mostrar-lhe que, se há uma forma 
padrão, há também outras que devem ser consideradas. 
 Se a escola de seu filho já o iniciou nas técnicas 
operatórias e espera que ele resolva problemas somente por 
meio delas, você vive uma outra questão: verificar se ele 
compreende e percebe a relação entre o enunciado do problema 
e a conta a ser efetuada. Aqui as coisas podem não 
ser tão fáceis. Essa é uma tarefa de competência maior da 
escola, pois há várias questões em jogo: fluência na leitura, 
entendimento, aplicação de técnicas e cálculos. 
 
 É aconselhável pedir à criança uma resolução 
própria, por meio de formas não convencionais e solicitar ao 
professor que a ajude na passagem para a resolução tradicional. 
Mesmo porque você já deve ter reparado: quando se trata de 
contas, tentar ensinar do jeito que aprendemos pode confundir 
mais o quadro. 
 
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UM BOM COMEÇO É FUNDAMENTAL 
 
Da capacidade que o professor polivalente tem de 
enxergar o conjunto das disciplinas e a relação entre elas 
depende uma saudável iniciação escolar 
Ricardo Prado 
 
O rito de entrada no mundo escolar acontece, de fato, na 1a 
série do Ensino Fundamental. É nela que os alunos serão 
apresentados às disciplinas com as quais conviverão nos anos 
seguintes. Receberão de um único professor as primeiras noções 
de Língua Portuguesa, Matemática, Ciências, História e 
Geografia — além de Arte, Educação Física e o que mais a 
escola oferecer. O paradoxo é justamente esse professor ter de 
fazer o planejamento sem conhecer a turma. E cada turma é uma 
aventura diferente, com necessidades de aprendizagem 
específicas, assim como cada aula é única. Ajustar o previsto à 
realidade é o desafio. 
O geógrafo Celso Antunes, coordenador de ensino da 
Universidade Sant’Anna, de São Paulo, sugere um exercício 
mental: imaginar o planejamento como uma série de círculos 
concêntricos. No menor, estão localizadas as principais 
competências de cada disciplina, em relação às quais não há 
negociação. É preciso que sejam abordadas, explicadas, 
trabalhadas e avaliadas. Chamemos esse centro de "núcleo 
duro" do planejamento. Os círculos maiores são mais 
permeáveis. Eles são compostos pelos temas trazidos pelas 
crianças, por jornais, por colegas educadores ou pelo próprio 
professor. É neles que se dá a justaposição com outras 
disciplinas e abre-se o espaço para improvisar. 
 
Interdisciplinaridade 
Diferentemente dos professores que lecionam matérias 
específicas, o polivalente transita livremente por elas. Não é 
preciso combinar com ninguém para realizar trabalhos 
interdisciplinares. O que também não quer dizer que isso seja 
uma obrigação. "Tenho visto colegas angustiados diante da 
interdisciplinaridade", diz o biólogo Nelio Bizzo, da Faculdade de 
Educação da Universidade de São Paulo (USP) e assessor 
científico do Colégio Santa Cruz, em São Paulo. "Trabalhar de 
maneira interdisciplinar tornou-se uma espécie de ‘compulsão 
pedagógica’." 
A interdisciplinaridade pode ser explorada em projetos 
didáticos. A professora Fabiana Maffessoni, de Curitiba, é um 
bom exemplo. Utilizando as obras de Poty Lazzarotto espalhadas 
pela cidade, ela criou um trabalho de Arte para mostrar aos 
alunos da 4a série do Colégio Opet outra visão do lugar onde 
vivem. Painéis de concreto sobre o café, a erva-mate ou a 
história do Paraná serviram de ponto de partida para um bem 
fundamentado estudo do meio. 
Fabiana acredita que os quatro primeiros anos do 
Ensino Fundamental são muito importantes para aguçar a 
sensibilidade das crianças e aumentar seu repertório artístico. 
Segundo ela, há três trabalhos imprescindíveis a fazer nessa 
área: mostrar obras de arte (em livros, slides ou museus), 
ensinar as crianças a observar a produção artística e, por fim, 
incentivá-las a criar. "Quem é estimulado desde pequeno vai lidar 
melhor com os elementos da composição, como a linha, a cor e o 
espaço", afirma. Para ela, qualquer disciplina casa bem com 
Arte. Nesse projeto, os seis painéis de Poty escolhidos pela 
professora ajudaram a conhecer a história do Paraná. 
 
Formar leitores 
A seguir, vamos recordar alguns componentes do 
"núcleo duro" de cada disciplina. A começar pela Língua 
Portuguesa. "Deve-se pensar o planejamento em torno de três 
grandes eixos: leitura e escrita, linguagem oral e análise 
linguística", sugere Alfredina Nery, que trabalha com formação 
de professores.Entende-se atualmente que desenvolver a 
capacidade leitora é obrigação de todos os professores, em 
todas as séries. Tem de ser parte do cotidiano do aluno, pois, 
além de formar o gosto (que, por sua vez, desenvolve a 
competência), é matéria-prima para escrever bem. Escrevemos 
(professores, jornalistas, médicos, escritores) com base em 
modelos lidos. Por isso, quanto mais a criança lê, mais condições 
terá de redigir com estilo e propriedade. 
Dos três eixos principais, é comum haver excesso de 
um lado e falta de outro. Enquanto a análise linguística (leia-se 
gramática) recebe atenção exagerada, a linguagem oral 
frequentemente é esquecida. Portanto, atenção para equilibrá-
los. A linguagem oral também é importante porque estuda a 
diferença entre a fala informal, que a criança traz de casa, e a 
pública, essencial para a vida em sociedade. 
 
Números do dia-a-dia 
Os principais conteúdos de Matemática nas séries 
iniciais se dividem em quatro blocos: números e operações, 
grandezas e medidas, espaço e forma e tratamento da 
informação (interpretação de dados). Se você leciona para as 
séries iniciais, saiba que terá cumprido sua missão se conseguir 
que os alunos adquiram (ou desenvolvam) essas quatro grandes 
competências. 
Segundo Maria Sueli Monteiro, consultora em Educação 
Matemática, o objetivo primordial deve ser aproximar da ciência 
matemática o conhecimento que todos trazem de casa. Os 
conteúdos não são mais tratados como uma grande sequência 
de pré-requisitos, mas como uma rede de relações que envolvem 
todas as áreas da disciplina, da geometria à aritmética. 
Iniciar as aulas perguntando o que os alunos fizeram no 
dia anterior envolvendo alguma operação numérica é uma boa 
estratégia. Os relatos inspiram situações-problema. "A geometria 
permite trazer o cotidiano para a sala, pois há formas 
geométricas em todos os ambientes criados pelo homem", 
sugere Antonio Rodrigues Neto, coordenador de Matemática do 
Colégio São Domingos, de São Paulo. 
 
Ciência é experiência 
Os Parâmetros Curriculares Nacionais prevêem que ao 
fim da 4a série um aluno saiba utilizar conceitos científicos 
básicos associados a energia, matéria, transformação, espaço, 
tempo, sistema, equilíbrio e vida. Ou, nas palavras de Nelio 
Bizzo, diferenciar uma aproximação mágica ou religiosa da 
abordagem científica: "Galileu Galilei surpreendeu os sábios de 
sua época ao mostrar que era possível estudar e medir a 
materialização de um fenômeno, como a queda de uma pedra. 
Sem o lado experimental, não é Ciência". 
Sempre há o risco de uma experiência não dar certo, 
pois trabalha-se com muitas variáveis. A frustração pode ser 
contornada prevendo diversas possibilidades e estágios (as 
várias situações de aprendizagem). De qualquer forma, o ideal é 
que o professor teste a atividade antes de sugeri-la. E não é 
preciso ter laboratório na escola. Em vez de ver uma planta num 
livro, é melhor observá-la em seu ambiente natural. "Marcar a 
sombra feita pelo Sol numa determinada hora durante várias 
semanas é um belo laboratório sobre as estações do ano", 
exemplifica Bizzo. 
 
Cronologia bem pessoal 
Depois de salientar que a capacidade leitora situa-se 
antes de qualquer competência da área de História, pois dela 
depende a capacidade de interpretar textos, documentos e 
mapas, a historiadora Kátia Maria Abud, da Faculdade de 
Educação da USP, destaca o principal objetivo das aulas dessa 
disciplina nas séries iniciais: desenvolver o conceito de tempo. 
"Às vezes, o aluno não tem clara a noção de passagem do 
tempo, nem suas categorias, como contemporaneidade, 
simultaneidade, duração ou anterioridade", explica. 
mailto:rprado@abril.com.br
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Para sedimentar essa compreensão, ela acredita que o 
melhor é começar com os fatos que marcam o dia da criança, 
como antes da escola e depois dela. Há também a linha do 
tempo na vida da família. Daí, parte-se para o conhecimento do 
local. Nessa fase, uma visita às casas mais antigas ou ao museu 
histórico da cidade pode ser uma excelente atividade. Mas é 
importante o professor conhecer o acervo previamente para 
dominar o assunto que será trabalhado. 
Os PCN também sugerem estudar os deslocamentos 
populacionais nessas séries. Investigar quais são as etnias e os 
grupos migratórios existentes na classe pode ser uma forma de 
trabalhar o tema, além de envolver questões de pluralidade 
cultural. "Num momento de guerra, como o que vivemos, 
trabalhar a tolerância torna-se mais atual ainda", destaca Kátia. 
 
Ator e palco 
A compreensão da espacialidade, a capacidade de 
apontar os pontos cardeais e fazer a leitura de uma planta ou um 
mapa, interpretando corretamente seus códigos, são as 
principais competências de Geografia. Para isso, o mais indicado 
é partir do próximo, afirma Celso Antunes, da Universidade 
Sant’Anna. "É mais fácil, pois o aluno se vê como centro de um 
processo e contextualiza a realidade." 
O próximo aqui não é visto por sequência pedagógica, 
mas pelo que permite de inferências, de relações entre o que o 
aluno vive e o que aprende. "Desse centro parte-se para a 
periferia e a Geografia é insuperável nesse processo de 
comparação", diz Antunes. Segundo ele, não se deve separar o 
homem da Terra, pois ator e palco interagem no mesmo cenário. 
"Olhando para meus 42 anos de sala de aula, vejo que 
também dividia a Geografia em física e humana. Gostaria de 
poder voltar no tempo e corrigir o erro. Infelizmente, essa é uma 
prática habitual", lamenta. Para finalizar, ele destaca duas 
ênfases no planejamento: trabalhar com mapas desde o primeiro 
momento, aumentando a complexidade ao longo dos anos, e 
realizar muitos estudos do meio. 
 
As quatro séries iniciais são importantes porque 
formam o hábito de leitura, essencial para a 
compreensão de textos, imagens, mapas e gráficos, que são 
usados em todas as disciplinas 
trabalham registros orais e escritos em diversas 
circunstâncias de situação comunicativa, das informais às mais 
valorizadas socialmente 
constroem o significado de número natural e, a partir 
dele, possibilitam a resolução de situações-problema e 
procedimentos de cálculo 
representam a introdução ao mundo dos seres vivos e 
aos métodos de investigação científica 
permitem a aquisição da noção de tempo, essencial 
para a compreensão da historicidade dos fatos 
servem para que o aluno tenha noções de orientação 
espacial, leitura cartográfica e conhecimento do meio ambiente 
que o cerca 
é nessa fase que, se estimulada corretamente, a 
criança se torna apta a manejar com criatividade conceitos 
estéticos e recursos artísticos 
 
 
Qual é o momento de criar matemática? 
 
 Certa feita, um professor de matemática 
expondo as suas ideias sobre a educação em sua área, 
defendeu o princípio de que nós, homens e mulheres, recém-
nascidos e idosos, analfabetos e letrados, animais racionais e 
irracionais estamos, a todo momento criando e vivendo 
matemática: o neném sugando o seio materno o faz num ritmo 
numérico; no berçário é nomeado por um número; a gata 
percebe a subtração de um filhote na ninhada; a vida social, com 
suas transações financeiras, com suas numerações telefônicas e 
de endereços, com suas medições e suas outras múltiplas 
manipulações numéricas nos faz, a todo momento, criar e viver a 
matemática. Para este professor a resposta à indagação acima é 
simples e direta: não há um único momento na vida em que não 
se cria matemática, mesmo quando não temos consciência deste 
fato. 
 Há nesta exposição uma clara confusão entre 
praticar um conceito e pensá-lo. Certamente todos conceitos 
matemáticos, mesmo os mais complexos, compõem o plano de 
ação humano e se encontram no nosso cotidiano. Eles estão 
presentes na estruturação do nosso espaço, nas relações 
sociais, políticas e econômicas que estabelecemos para a vida 
conjunta e para a produção e estão em todas as máquinas e 
equipamentos, dos mais simples aos mais complexos,que 
manipulamos. Mas esta simples existência objetiva dos conceitos 
matemáticos não determina a sua existência no nosso subjetivo, 
do mesmo modo que o simples fato de lidarmos com um 
eletrodoméstico qualquer - uma televisão, um aspirador de pó, 
etc. - não nos torna pensadores em eletrônica. Há um enorme 
espaço vazio, um abismo mesmo, entre a manipulação mecânica 
e quotidiana de um conceito e a sua apreensão conceitual. Ao 
contrário do que é sugerido pelo senso comum, quanto mais 
lidamos praticamente com um conceito sem antes elaborá-lo 
(melhor dizendo, sem antes criá-lo) mental e conscientemente, 
mais ele se torna inacessível ao pensamento. Ou seja, quanto 
mais a prática for cega e mecânica, mais o conceito que lhe 
embasa se torna invisível e inacessível ao pensamento. 
 É a educação conceitual e, no nosso caso, a 
educação conceitual matemática - e só ela - que leva os homens 
a superarem este abismo existente entre a prática mecânica e o 
pensar. Somente uma ação social especial, orientada por uma 
metodologia do conhecimento, uma pedagogia e uma psicologia 
poderá propiciar a entrada dos seres humanos no movimento 
científico dos conceitos matemáticos e não só nestes, mas em 
todos os movimentos conceituais. A educação matemática não é 
um fato cotidiano, rotineiro, que acontece aleatória, permanente 
e espontaneamente, que acontece a todo e qualquer momento. 
Trata-se de um momento especial. Que momento é este? Qual é 
o instante da nossa vida, do nosso crescimento físico, orgânico, 
espiritual, do nosso desenvolvimento e aprofundamento 
conceitual, em que esta aprendizagem determinada - a da 
apreensão da linguagem numérica - deve ser iniciada e 
desencadeada? 
 O momento em que acontece o ponto de 
partida de qualquer aprendizagem é sempre o mais importante 
de todo o movimento educacional pois nele está o germe que 
traz em si dois elementos antitéticos: tanto pode se desenvolver 
na formação e multiplicação das células da vida, do entusiasmo, 
da curiosidade, da busca apaixonada daquele conhecimento, 
quanto pode, contrariamente, gerar o vírus da sua rejeição e 
morte , da impotência, da repressão castradora e escravizadora. 
Abrem-se, portanto, duas opções: ou se cria um novo corpo ou 
um novo anticorpo conceitual. Se o ponto de partida acontecer 
respeitando o desenvolvimento da criança, com a criança, 
interagindo com a sua atenção, a sua emoção, a sua 
sensibilidade, o germe da criatividade passará a ser dominante 
em todo o processo futuro da aprendizagem; se, ao contrário, 
este ponto de partida acontecer apesar da criança, apoiando-se 
na tarefa obrigatória, na disciplina mecânica, estaremos 
desenvolvendo o vírus da rejeição que se tornará anticorpo 
resistente a toda futura aprendizagem, gerando bloqueios 
cognitivos e afetivos sobretudo ao processo de aprender os 
conceitos científicos. A definição de qual dos dois pontos de 
partida será o determinante não é fruto do acaso, da sorte; é 
preciso compreender o homem como um ser global - razão, 
emoção e instinto - e não como uma máquina programável, para 
que o objetivo fundamental da educação - ganhar este ser global 
para o movimento conceitual - seja alcançado. 
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 Freud e a psicanálise concebem, de forma 
geral, a formação do intelecto como um movimento que acontece 
em oposição aos instintos básicos. Os corpos emocional e 
intelectual seriam, assim, essencialmente opostos e 
contraditórios. E quando esta contradição se transforma em 
antagonismo teríamos a neurose. 
 A educação escolar tem se centrado 
fundamentalmente na formação do intelecto. A formação 
emocional tem sido definida como campo privado da família. 
Nesta dissociação já vemos um movimento de aprofundamento 
da oposição entre estes dois corpos. Contudo um fator ainda 
mais grave se acrescenta para aguçar esta ruptura. A educação 
tem se definido como um movimento de profissionalização do 
indivíduo, em suma, de formação da força de trabalho. As 
exigências da produção industrial, que se tornaram 
particularmente determinantes a partir de meados do século 
passado, moldaram a sociedade como um amplo movimento 
mecânico e chegaram na educação com uma imposição clara e 
inexorável: é necessário a produção máquinas humanas para as 
atividades ainda não cobertas pela máquina-ferramenta - as 
tarefas manuais e intelectuais repetitivas mecânicas ainda não 
mecanizadas no equipamento extra-corpóreo humano. 
 A escola que temos, portanto, é voltada apenas 
para a formação do intelecto; mas não do intelecto humano mas 
sim do "intelecto" mecânico. Desta forma a oposição entre os 
corpos emocional e intelectual está enquadrada num aparelho 
social e educacional que aponta para a repressão exacerbada, 
mecânica, do primeiro pelo segundo. O antagonismo entre eles e 
a neurose resultante são os produtos inevitáveis e inerentes 
desta mecânica humana. A neurose não é, pois, a anormalidade, 
mas sim a normalidade. O que impressiona é a capacidade 
humana de sobreviver à esta máquina destruidora; que, apesar 
de tudo, o corpo emocional, à duras penas e com grandes 
perdas, ainda consiga se desenvolver. 
 Quando no período da revolução industrial a 
máquina ferramenta foi criada, desenvolvida e generalizada, 
passou a prevalecer a explicação mecânica do cosmos, da vida, 
e da mente humana na produção intelectual. Foi neste contexto 
que se formaram o nosso atual currículo educacional, a nossa 
atual escola, a nossa teoria pedagógica e de aprendizagem, a 
nossa didática e os nossos livros didáticos. A mente humana era 
compreendida como uma engrenagem que precisava ter suas 
peças bem encaixadas para o seu funcionamento perfeito. 
Agora, sob o signo da informática e do computador, a explicação 
sai da mecânica e entra na eletrônica: o universo, a sociedade, o 
organismo, a vida, a mente, os afetos e os conhecimentos 
passam a ser concebidos como circuitos. O nosso organismo 
corpóreo, nesta leitura, não passa de um hardware e as ideias e 
as emoções são apenas softs, isto é, programas de 
computadores . 
 Nesta concepção que interpreta a mente infantil 
como um computador e a educação como um processo de 
programação, o corpo emocional-afetivo é simplesmente negado. 
Por outro lado as diferentes áreas da aprendizagem são vistas 
como um dado puramente físico-orgânico: quando os circuitos 
eletrônicos - os neurônios - estão prontos para a aprendizagem 
de línguas? Aos dois anos e meio? Então este é o momento 
ótimo (a janela) para que aconteça a aprendizagem; se esta não 
acontecer perder-se-á o momento ótimo, a janela se fechará e 
nunca mais a aprendizagem acontecerá com a intensidade e a 
riqueza que aquele momento teria propiciado. Cria-se assim o 
caldo de cultura para a formação de andróides, onde as famílias 
abrem mão do contato afetivo com os seus pequenos, lançando-
os sucessivamente pelas pseudo-janelas da aprendizagem 
neuro-eletrônica: aos dois anos e meio a língua; aos três anos a 
matemática; aos três e meio música; aos quatro esporte e assim 
por diante. E fica estabelecida uma obsessão pseudo-moderna: 
quanto mais cedo uma escola introduzir os pequenos na 
matemática, nas línguas, nas ciências naturais, mais moderno e 
eficiente é o seu ensino. 
 Certamente a nossa espécie sobreviverá a este 
novo massacre; a história da educação é um grandioso 
testemunho da capacidade humana de superar a destruição 
contra educativa desencadeada em nome da educação. Mas 
quanta energia será inutilmente dissipada, quanta sensibilidade 
será sepultada sob esta tremenda avalanche neuro-eletrônica! 
 A nossa concepção de educação em geral e 
matemática em particular, tem como objetivo principal a 
superação desta oposição entre os corpos emocional e 
intelectual do homem. E o mais importante é que, com a criação 
da máquina programável, definitivamente o homem tem as 
condições tecnológicas de emancipar o seu corpo da 
determinação do mecânico. A criação, desenvolvimento egeneralização da máquina programável ocupou, está ocupando, 
e ocupará, definitivamente, todos os postos de trabalho que 
exijam movimentos mecânicos, sejam manuais sejam 
intelectuais. Desta forma a vida não exige mais que a sociedade 
seja um mecanismo e que a educação a ele se submeta 
enquanto fábrica de máquinas humanas. As condições 
tecnológicas e a base técnica para a superação da ruptura entre 
a emoção e a ideia estão dadas. Cabe, agora, um profundo, 
difícil e complexo, mas necessário, movimento de transformação 
da sociedade e da educação para a promoção do encontro do 
homem emoção com o homem intelecto, isto é, do homem 
consigo mesmo, inteirando-se numa nova unidade contraditória 
ainda, é verdade, mas não mais antagônica e sim harmônica. 
 Concebemos, portanto, a educação como o 
movimento de criação deste homem não fragmentado e o seu 
primeiro momento é a formação do corpo emocional. Este é o 
elemento determinante da personalidade humana e servirá de 
base segura para a formação do intelecto criador. A criação de 
um corpo afetivo inteiro, sem deformações, sem mutilações, sem 
ausência de membros - este é o objetivo do primeiro e 
fundamental movimento da aprendizagem liberado da 
necessidade de formação de máquinas humanas. Trata-se da 
aprendizagem de criação da linguagem emocional-afetiva. 
Através dela a criança apreende os movimentos do seu id - a sua 
sexualidade, os seus instintos de vida e de morte, o seu sentido 
de prazer e de desprazer - aprende a conhecê-los, a identificá-
los e reconhecê-los, a submetê-los ao teste de realidade, a 
administrá-los em sua destrutividade (negatividade) e 
construtividade (positividade). A linguagem emocional-afetiva 
deixa de ser um puro atributo da família e passa a ser um 
elemento presente, ativo e original da escola. Na velha escola 
este elemento curricular era inexistente pois os aspectos 
humanos eram vistos como secundários, mais que isto, como 
obstáculos para a formação da máquina humana. Na nova 
educação a apreensão da linguagem afetiva-emocional é o 
objetivo da primeira e fundamental aprendizagem, pré-requisito 
para a continuidade do processo educativo. 
 Uma carência nesta formação da linguagem 
afetiva-emocional, um membro não formado, nesta primeira 
aprendizagem que perpassa o período da primeira infância trará, 
consequências que acompanharão a criança pelo resto da sua 
vida. Ao contrário do que afirmam os pedagogos neuro-
eletrônicos, a aprendizagem intelectual em qualquer área pode 
ocorrer em qualquer momento da vida. Já a aprendizagem 
afetivo-emocional que acontece na primeira infância é 
fundamental para compor a personalidade que combinará as 
forças básicas da vida: a sexualidade, a agressividade, as 
tendências para a vida e para a morte, a relação do id com a 
realidade. Os elementos não desenvolvidos criarão carências e 
lacunas que acompanharão aquele ser humano impondo-lhe dor 
e sofrimento em sua caminhada futura. 
 Por outro lado, uma linguagem emocional-
afetiva incompleta ou deformada servirá de bloqueio para todas 
as aprendizagens futuras deste pequeno; a infelicidade o 
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acompanhará, atormentando-o, minando com o medo as suas 
energias de busca de conhecimento e de cultura; já a formação 
sadia de uma linguagem emocional-afetiva inteira gerará uma 
criança feliz, cheia de impulsos para o novo, pois o novo será 
visto sempre como uma fonte de desafio criador e não como um 
obscuro e sinistro abismo. 
 Esta aprendizagem da linguagem emocional-
afetiva não se esgota neste seu primeiro movimento. Ela se 
constituirá num movimento permanente que acompanhará toda a 
nossa vida. Mas é neste primeiro momento, que percorre toda a 
primeira infância, que se forma o organismo básico - o ego - que 
administrará os nossos instintos básicos do id. A linguagem 
emocional-afetiva se forma no interior do id, como parte dele, 
desenvolvendo-se, aprofundando-se e ampliando-se nesta 
dinâmica. E, analogamente, todas as linguagens posteriores 
serão formadas e desenvolvidas no interior da linguagem 
emocional-afetiva. É por isto que a riqueza, profundidade e 
amplitude desta, assim como os seus limites, determinarão as 
fronteiras de todas as futuras linguagens que serão 
desenvolvidas pela aprendizagem. Certamente este campo 
inicial, se rico e fértil, potencializará todas as aprendizagens em 
todos os campos; e, inversamente, se pobre, mal formado, 
restrito, limitará com medos, inseguranças, agressividades e 
carências o impulso e a alegria do conhecer, sentir e pensar que 
compõem a dinâmica de todo ato educativo. 
 Na medida em que a criança vai adquirindo 
segurança na leitura do mundo interno, dos seus instintos 
básicos da vida e da morte, identificando prazer e desprazer, o 
seu centro de interesse vai se voltando mais e mais para o 
mundo externo. Vai, assim, criando a sua identificação com este 
mundo externo, localizando-se nele através do teste de realidade 
dos impulsos contidos em seu id. Surge o momento para a 
criação de uma nova linguagem que capacite a criança para a 
leitura deste mundo externo. Nela a criança identifica as 
sensações externas que podem e devem ser desenvolvidas e 
aquelas que são proibidas por serem negativas ao processo de 
sociabilidade. Aprende a ler as expressões destas sensações 
assim como aprende a expressar as suas sensações para a 
comunidade em que vive. Esta linguagem das sensações 
básicas geradas na contradição entre o mundo real e o mundo 
interno do indivíduo foi criada e desenvolvida pelo homem no 
processo cultural-artístico. 
 A linguagem cultural-artística vincula-se, 
fundamentalmente, à capacidade de expressão corporal do 
homem e aos rituais coletivos criados para lidar com as forças 
básicas da natureza. A expressão corpórea primitiva e suas 
formas mais elaboradas - a dança, a música, o ritmo, a 
linguagem gestual, a linguagem visual (cores, figuras, etc.), os 
jogos esportivos coletivos e individuais - são os elementos que 
compõem o que chamaremos de linguagem sensitiva (ou da 
sensibilidade). Esta constitui o conteúdo do segundo movimento 
de aprendizagem que se forma a partir e no interior da linguagem 
emocional-afetiva. Enquanto esta primeira linguagem se centrava 
no indivíduo e na formação do seu mundo interior, a linguagem 
sensitiva tem como centro a relação entre o indivíduo e a sua 
comunidade. Os elementos culturais do esporte, da arte, dos 
ritos coletivos constituem os seus conceitos básicos que devem 
ser desenvolvidos no processo de aprendizagem. 
 É preciso compreender que a sucessão dos 
movimentos de aprendizagem não é rígida, mecânica e 
excludente. Não se trata de datar a aprendizagem emocional-
afetiva que, quando encerrada, cede lugar à aprendizagem 
sensitiva. As aprendizagens não se excluem e, portanto, não 
podem ser antogonizadas. Certamente no primeiro movimento o 
centro articulador se encontra na linguagem emocional-afetiva, 
mas os elementos das outras linguagens já estão presentes em 
seu interior, formando-se e preparando-se para ocupar o centros 
nos futuros movimentos da aprendizagem. No desenvolvimento 
da primeira linguagem e no seu interior, a linguagem sensitiva vai 
se compondo lentamente e se expandindo até que, num 
determinado momento, realiza um salto qualitativo, passando a 
dominar a ação educativa como centro articulador. 
 No interior deste movimento global de 
expressão a criança vai desenvolvendo uma área que se refere à 
comunicação da qualidade das coisas que compõe a sua 
realidade. Trata-se da linguagem das palavras. 
 Para criar coletivamente o plano de ação que 
dirigirá e combinará as suas ações individuais, o homem inventa 
a linguagem das palavras. O homem inicia a sua caminhada de 
racionalização da natureza a partir dos movimentos qualitativos, 
das variações da qualidades das coisas que lhe cercam e que 
lhe são significativas. Qualidade é aquilo que existe em todos 
elementos que nos cercame que satisfazem uma certa 
necessidade nossa. Qualidade é o atributo, a propriedade de 
determinado ser ou objeto que nós é significativa, que é útil e 
necessária para a nossa vida, que precisamos administrar para a 
nossa sobrevivência e que, por isto mesmo, precisa ser 
nomeada. 
 A necessidade de administrar coletiva e 
socialmente diferentes e múltiplas qualidades faz com que 
inventemos a comunicação das qualidades - as palavras. 
Quando falamos uma palavra qualquer - cadeira, por exemplo - 
estamos atuando sob um acordo coletivo que os homens 
elaboraram em sua história de vincular um certo som e símbolo a 
uma certa ideia - descrição de um conjunto de objetos que tem a 
propriedade de nos fornecer assento. Temos aí uma linguagem - 
o vínculo direto entre um símbolo e um pensamento: a linguagem 
das palavras. 
 A linguagem das palavras nasce diretamente 
no terreno social. Trata-se de um amplo acordo coletivo para 
tratar as coisas da natureza objetiva e subjetiva. A linguagem das 
palavras nasce diretamente da expressão, da imitação, da 
repetição, do treino, da cultura, do ambiente social articulado. Daí 
que a conversa, a leitura, enfim a interação entre as pessoas, 
são os seus elementos educativos predominantes. 
 Ao produzir o homem passa a lidar com um 
outro aspecto da matéria: a quantidade. Todas as coisas e seres 
que nos rodeiam - energia, água, terra, ovelhas, ar, vacas, 
pessoas, cachorros, cadeiras, calor, distância. etc. - possuem 
quantidade. Não existe nada sem quantidade. Portanto 
sentimos tudo que nos rodeia através da sua quantidade. A 
quantidade existe em todas as coisas e a percebemos através 
dos nossos sentidos. 
 Na pecuária o homem é obrigado a administrar 
o movimento quantitativo dos rebanhos; na agricultura o homem 
administra o movimento quantitativo das terras produtivas, do 
tempo, das sementes, do produto, etc. Na produção de metais o 
homem administra o movimento quantitativo do calor, do mineral, 
das unidades produtivas, etc. Enfim, em todas atividades 
produtivas o homem precisa administrar múltiplos movimentos 
quantitativos. Para isto ele inventa o número: 
 Número é a ideia criada pelo homem para 
administrar e controlar os movimentos quantitativos envolvidos 
na produção e, de forma mais geral, que acontecem na natureza 
humana. Numeral é o símbolo que expressa o número. E 
linguagem numérica é este conjunto de símbolos e ideias que o 
homem criou para operar coletivamente sobre os diversos 
movimentos quantitativos que compõem a natureza humana. 
 Com o desenvolvimento da produção o homem 
passa a trabalhar ainda mais intensamente com os aspetos 
quantitativos dos movimentos que administra. E, com isto, 
começa também a sentir necessidade de desenvolver ainda mais 
a linguagem das quantidades. Esta inicialmente nasce no interior 
da linguagem das palavras. É a linguagem das palavras o terreno 
em que nasce a linguagem das quantidades ou, mais 
especificamente, a linguagem numérica. Assim como a 
linguagem numérica é determinada pela linguagem das palavras, 
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a aprendizagem daquela tem como condição a aprendizagem da 
linguagem das palavras. As relações sociais determinam a 
linguagem das palavras e, por isto mesmo, determinam também 
a linguagem numérica. Contudo, mediando a ação social humana 
e a linguagem numérica existe a linguagem das palavras. Esta 
mediação garante à linguagem numérica um caráter 
diferenciado. 
 Nascendo da linguagem das qualidades, a 
linguagem numérica se desenvolve em oposição a ela: cada 
salto seu é produto da necessidade da sua diferenciação e cada 
salto na diferenciação é ocasionado pelo seu desenvolvimento. 
Realmente todo desenvolvimento da matemática acontece como 
processo de diferenciação destas linguagens: é o esforço 
humano para se liberar da linguagem das palavras no trabalho 
que exerce com movimentos quantitativos. É a luta da linguagem 
numérica para se emancipar de sua origem - a palavra. 
 E, nesta diferenciação, forma-se na linguagem 
numérica um atributo novo. A linguagem das palavras se 
dinamiza no sentido de provocar o surgimento de um 
determinado pensamento, de uma determinada ideia. Falamos 
ou escrevemos alguma coisa para alguém buscando fazer surgir 
no seu pensamento as imagens que queremos comunicar. A 
linguagem matemática, por sua origem na palavra, mantém esta 
dinâmica. Mas acrescenta uma nova que lhe é específica, que se 
deve ao seu caráter diferenciado. Ela é operacional. Trata-se de 
uma linguagem que tem uma espécie de funcionamento interno, 
objetivo. Se temos trinta reais no bolso, seiscentos no banco e 
quatrocentos e trinta e dois na poupança, podemos jogar tudo 
isto no conjunto de regras operacionais codificadas da adição e 
obter um dado novo, impossível de ser obtido só pelo 
pensamento: o total do dinheiro que é fornecido pela sentença 
matemática - trinta mais seiscentos, mais quatrocentos e trinta e 
dois é igual a mil e sessenta e dois reais - que como que pensa 
por mim. 
 O conhecimento matemático é um movimento 
que se dá do aspecto qualitativo das coisas para o seu aspecto 
quantitativo: Toma-se uma certa qualidade como ponto de 
partida - por exemplo, uma porção de terra, um rebanho de 
ovelhas ou ainda um carro numa estrada - e busca-se registrar e 
administrar a sua quantidade - as dimensões da terra, o número 
de ovelhas ou a velocidade do carro. A qualidade é identificada e 
isolada das outras através da linguagem das palavras; a 
regularidade e o ritmo do movimento constituem os aspectos 
quantitativos e figurativos que as linguagens numéricas e 
geométricas buscam apanhar. E isto é feito através da criação de 
algoritmos. 
 Trabalhando o homem precisa operar, 
constantemente, com ideias, isto é, precisa operar mentalmente. 
Uma das ideias sempre presentes no trabalho humano é a da 
quantidade. Na produção o homem lida diretamente com 
quantidades, ou melhor, com movimentos quantitativos. Assim os 
criadores de ovelhas, de porcos, de aves, de gado bovino, enfim, 
de animais em geral, precisam administrar a quantidade de seus 
rebanhos: saber se todos que foram pastar voltaram, saber 
quantos filhotes nasceram, quantos morreram, etc. Para controlar 
e administrar os movimentos quantitativos da produção o homem 
inventou o número e uma série de operações mentais para 
registrar as variações quantitativas: quando se juntam dois 
rebanhos, quando se separa uma certa quantidade do rebanho 
original, etc. Estas combinações de elaborações numéricas 
criadas para operar com quantidades, que se constituem nas 
operações mentais mais comuns e que mais aparecem na 
atividade produtiva e que, portanto, constituem operações 
mentais repetitivas ou saber calcular são chamados de 
algoritmos: 
 Algoritmo (ou saber calcular) é a 
formalização de uma operação mental genérica superior criado 
para operar com os números; com os algoritmos o homem 
controla e registra os movimentos quantitativos que ocorrem na 
produção. Todos os movimentos naturais possuem o aspecto 
quantitativo. Todos movimentos naturais possuem regularidade. 
 Regularidade de um movimento natural é 
repetição de resultados que ele apresenta sempre que se 
encontrar submetido a certas condições comuns. A regularidade 
também é chamada pelos cientistas de lei natural. As 
regularidades se expressam em variações quantitativas 
determinadas que sempre são passíveis de serem apreendidas 
por algoritmos, que constituem o aspecto operacional da 
linguagem matemática . De forma geral a resolução dos 
problemas teóricos conceituais são sistematizadas na forma de 
algoritmos. O algoritmo é, portanto, a formulação genérica, 
universal da dinâmica interna do conceito; é o seu aspecto 
operacional mental que sempre se repete dentro da variação 
quantitativa que, inicialmente, aparenta ser aleatória. A 
experiência acumulada ao longo da prática produtiva e da 
aprendizagem técnica permite a síntese algorítmica. Vimos que o movimento de aprendizagem se 
inicia com a linguagem emocional-afetiva; a partir dela e no seu 
interior é desencadeada a aprendizagem da linguagem sensitiva; 
a dinâmica interna desta se desenvolve até o salto qualitativo 
que inicia o processo de aprendizagem das palavras; é no 
interior desta última mas ao mesmo tempo dela se destacando 
como um campo autônomo que se inicia e se desenvolve a 
linguagem das quantidades e das formas - a linguagem 
matemática. A aprendizagem é um movimento contínuo de 
desdobramento da linguagem no interior do processo global de 
formação do homem. Assim é que, no interior da linguagem 
matemática matura-se a linguagem das ciências naturais - a 
física, a química, a geográfica física, etc. - o que propicia o 
desencadeamento de sua aprendizagem. Da mesma forma, no 
interior de todas as linguagens, mesmos as iniciais, os processos 
de maturação e desenvolvimento vão propiciando a geração de 
outras linguagens fundamentais para a ação educativa. Assim na 
linguagem emocional-afetiva se cria e se dinamiza a linguagem 
psicológica; na linguagem sensitiva vão se criando as linguagens 
específicas musical, pictórica, corporal, rítmica, etc.; na 
linguagem das palavras, o seu caráter documental e contextual 
propicia a criação da linguagem histórica e antropológica 
(geográfica cultural e social). 
 Este processo sequencial de aprendizagem 
tem como referência básica a educação infantil. Contudo, trata-
se de um processo universal pois tem como base o movimento 
fundamental através do qual a nossa espécie constituiu a sua 
humanidade. É devido a este caráter genérico e universal que 
podemos concluir que ele não se restringe à educação infantil 
mas que, com certeza, se refere ao desencadeamento da ação 
educativa efetiva, que supere a ação de treinamento que tem 
prevalecido até agora para qualquer idade. Esta não é uma 
simples suposição teórica mas se trata de um princípio com 
bases em experiências educacionais marcantes. A literatura 
pedagógica que trata de experiências concretas revela que em 
todas o encontro afetivo dos personagens educativos - os alunos 
e educadores - é o primeiro passo para que a ação educacional 
se inicie. E que todas as outras linguagens se formam no seu 
interior, não se excluindo e se antagonizando, mas se 
combinando dentro da sequência que apresentamos acima. 
 Até agora respondemos a questão de qual é o 
momento de criar matemática; agora vamos responder a questão 
porque criar (e não treinar) matemática. 
 Matemática significa, em grego, saber pensar. 
Ora, é o pensar que nos torna humanos. Desta forma o primeiro 
e principal objetivo da matemática é o de humanizar este animal 
bípede, de andar ereto, que sai do útero materno totalmente 
indefeso e dependente e que assim permanece por um largo 
período, muito maior que o experimentado pelos filhotes de todas 
as outras espécies. 
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 O homem criou a matemática para resolver os 
vários problemas colocados pela sobrevivência. Mas com ela e 
as outras linguagens, o homem criou o pensar e a sua 
racionalidade; recriou-se, assim, enquanto animal racional, 
elevando o animal à razão. O homem criou a matemática e a 
matemática criou o homem. A matemática é humana e o humano 
é matemático. Com ela o homem resolve os grandes e pequenos 
problemas colocados pela vida. Mas é, certamente, na resolução 
do nosso principal e mais vital problema - o do encontro do 
homem com a sua racionalidade e humanidade - que se radica a 
importância desta ciência. 
 A matemática surge, inicialmente, colada com a 
prática. Seu início, assim como o de todos os campos do 
pensamento, é eminentemente empírico e técnico. Os seus 
conceitos fundamentais aparecem, embrionariamente, como 
ferramentas: para contar as ovelhas, use as pedrinhas; para 
adicionar e subtrair os seus lucros e perdas, use o ábaco; para 
levantar uma parede perpendicular, use o triângulo de cordas 3-
4-5, e assim por diante. Tal como a enxada, o martelo, o arado, 
os conceitos matemáticos não passam de equipamentos que se 
aprende a manejar através de treinamento voltado para tarefas 
imediatas. Trata-se do saber fazer matemático; estamos, por 
enquanto, distantes do saber pensar. 
 O desenvolvimento conceitual aos poucos vai 
descolando a matemática da prática imediata e empírica. E, com 
ele, a reflexão vai se desenvolvendo antes da ação para guia-la e 
orienta-la. O saber pensar surge e se desenvolve a partir do 
saber fazer até que, num determinado momento, adquire 
movimento próprio. E, com ele, o espaço humano se expande 
transformando qualitativamente a vida da espécie. O momento 
anterior ao da ação - o do planejamento da ação - passa a ser 
determinante nas relações entre os homens. 
 Entretanto o saber pensar surge e se 
desenvolve no mesmo movimento em que a humanidade se 
divide em duas classes: a classe minoritária daqueles que 
dominam e dirigem a ação do trabalho e a classe majoritária e 
dominada daqueles que agem, que trabalham. O saber pensar 
se separa do saber fazer não apenas na dimensão intelectual 
mas, também e principalmente, na social: um pequeno grupo de 
homens é separado dos demais e a eles é atribuída a função de 
pensar sem fazer enquanto às grandes massas fica a tarefa de 
fazer sem pensar. 
 A separação do trabalho intelectual do manual 
faz com que o saber pensar surja junto e identificado com o 
saber dominar. É por isto que o conhecimento de uma forma 
geral e o matemático de uma forma particular passam a ser 
mistificados enquanto instrumentos de poder. Pensar é poder e 
poder é pensar. A ciência, a arte e a cultura transformam-se, 
assim, em fontes de poder e, como tal passam a ser objetos de 
apropriação de uma classe que, com esta posse, se torna 
dominante. 
 Como vimos, algoritmo é a estrutura lógica 
numérica-geométrica criada para o registro e controle da 
regularidade e ritmo dos movimentos quantitativos. Todo 
conceito matemático e todos os conceitos das ciências que 
trabalham com a linguagem matemática possuem, devido ao seu 
caráter numérico, o aspecto algoritmo. 
 Desta forma a linguagem matemática é o 
movimento humano de criação de algoritmos que acontece da 
qualidade para a quantidade do universo. É a fusão do saber 
pensar com o algoritmo, resultando o saber calcular. 
 Apartado dos elementos conceituais, isto é, 
formadores do pensamento, o algoritmo se reduz a um código de 
regras, a um mecanismo mental, a um mecanismo algorítmico. E 
o saber calcular - fusão do algoritmo com o conceito - cede lugar 
ao saber fazer matemático rasteiro, ao mentefato (nome dado 
pelo educador matemático Ubiratan D'Ambrósio aos mecanismos 
mentais). Desta forma a produção mecânica, extensiva, de 
massas, gerou uma solicitação imediatista, utilitarista e alienada 
do desenvolvimento conceitual à educação matemática: produza 
massivamente operadores de mecanismos algorítmicos pois a 
produção precisa urgentemente deles. Para obtê-los a indústria 
só tinha um caminho: direcionar a educação matemática e das 
ciências exatas para a aprendizagem do treinamento, para a 
formação de operadores de mentefatos, de mecanismos 
algoritmos. 
 A não aprendizagem do saber-pensar de um 
conceito não representa nenhum impedimento em aprender a 
sua operação (saber fazer). Isto se deve ao fato que todo 
conceito matemático possui um duplo aspecto: o de ser formativo 
do pensamento (pois é produto do pensamento) e o de ser 
operacional (produzir resultados imediatos e objetivos). Esta 
dualidade e essencial à linguagem matemática. A aprendizagem 
do saber pensar é ampla e profunda e implica na transformação 
de todo o processo da racionalidade do educando; já a 
aprendizagem do saber fazer é superficial posto que é repetitiva 
e manual e pode se dar sem mudança da racionalidade. Quando 
o saber fazer é definido socialmente como prioritário, o saber 
pensar se torna seu entrave. 
 A aprendizagem do saberfazer, por não 
implicar em pensamento, acontece simplesmente pela 
manipulação das regras da operacionalidade do conceito, do 
treinamento no mecanismo algorítmico. Daí chamarmos esta 
aprendizagem (que para o saber pensar é uma contra-
aprendizagem) de pedagogia de treinamento. 
 Todo conceito matemático e todos os conceitos 
das ciências que trabalham com a linguagem matemática, 
possuem, devido ao seu caráter numérico, o aspecto algorítmico. 
Apartado dos elementos conceituais, isto é, formadores do 
pensamento, o algoritmo se reduz a um código de regras, a uma 
máquina, a um mecanismo algorítmico. Ele tem apenas uma 
função: garante que, se partimos dos mesmos dados, 
chegaremos todos a uma mesma resposta (ou respostas). 
 Muitos educadores matemáticos defendem a 
ênfase na utilidade social de um conceito matemático como 
forma de superar a alienação inerente ao mecanismo algorítmico. 
Contudo é exatamente este aspecto utilitário que determinou a 
prioridade no saber fazer em detrimento do saber pensar. A partir 
daí a pedagogia matemática e, de modo geral, toda a pedagogia 
caminhou e se diversificou, tendo como elemento fundamental 
este aspecto de treinamento. Desta forma, toda a ação 
pedagógica, mesmo aquelas que se revestem de uma aparência 
de participação e de criação, que se efetiva por regras pré-
estabelecidas tem o princípio do treinamento como seu elemento 
dominante. 
 O caráter operacional específico (algorítmico) 
tem sido tão útil ao trabalho humano no trato com os movimentos 
quantitativos que passa a ser o predominante na linguagem 
matemática. Mas o que tem mais contribuído para este 
predomínio é mesmo o fato do trabalho humano estar dominado 
pela atividade mecânica. O fato da civilização se iniciar e se 
desenvolver com a busca permanente da redução do homem à 
condição de máquina - o que caracteriza a sociedade de classes 
que por milênios e milênios tem se expandido até os nossos dias 
- comprometeu a linguagem matemática com o seu aspecto 
operacional, omitindo, combatendo e escamoteando até o 
esquecimento o seu elemento inicial de identidade com a 
linguagem das palavras: o de gerador de ideias. 
 A própria linguagem das palavras tem sofrido 
restrições e reduções mecanicistas. Contudo, como a linguagem 
matemática possui altamente desenvolvido este caráter 
operacional, ela tem sofrido muito mais as distorções deste 
processo de violência anti-humana. Desta forma ocorre uma 
inversão entre causa e consequência: o caráter operacional 
perde a sua combinação com o pensamento, e se transforma no 
único elemento da linguagem matemática. E isto acaba 
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penetrando e distorcendo totalmente a educação matemática: o 
aluno tem de aprender a operar o conceito matemático e não a 
pensar através dele. Isto é, apenas o aspecto mentefato do 
conceito é apreendido. 
 Com a informática torna-se desnecessária a 
produção de operadores de algoritmos mentais. A educação 
matemática livra-se, assim, da aprendizagem de treinamento e 
pode se voltar à sua finalidade básica: a de formação do homem 
enquanto ser pensante e criador. As transformações tecnológicas 
que há algumas décadas estão transformando vertiginosamente 
as relações humanas com a informática, a robótica e a 
automação criaram um dado novo para a educação matemática 
em geral: todos os algoritmos de todas as ciências são 
transferidos (ou transferíveis) para o maquinismo não humano. 
Desta forma o mentefato e o mecanismo algorítmico mental 
tornaram-se desnecessários, mais que isto, inúteis, atrasados e 
imperfeitos. A consequência imediata disto é o colapso da 
pedagogia do treinamento posto que a estrutura educacional 
formadora de operadores de mecanismos algorítmicos mentais 
se tornou também inútil, atrasada, vazia e obstaculizadora do 
desenvolvimento humano. Este colapso traz a grande questão 
para a educação dos nossos dias: que homens ela deve formar 
agora? Respondemos: homens que saibam pensar. A educação 
deve ser criada para dar prioridade ao saber pensar ao invés do 
saber fazer. 
 O homem torna-se, assim, novamente o centro 
de suas preocupações pois ele não vem mais mascarado ou de 
máquina ou de senhor. Com isto a matemática e todas as outras 
ciências, todas as artes e culturas, estão liberadas para 
realizarem o seu objetivo maior: o autoconhecimento do homem 
pelo homem. 
 O centro da aprendizagem deixa de ser o 
movimento operacional e passa a ser o conceitual. Como se dá o 
nosso movimento conceitual? A partir do aspecto puramente 
lógico-operacional ou a partir do aspecto lógico-histórico? É a 
lógica operacional do conceito ou é a lógica de sua criação 
histórica que determina o seu conhecimento e, portanto, a sua 
aprendizagem? 
 Trata-se de um posicionamento metodológico 
referente à teoria do conhecimento que imediatamente não é 
acessível aos educadores. É claro que todo o nosso trabalho de 
crítica até agora já orienta no sentido da superação da lógica-
operacional e da adoção da lógica-histórica que é a lógica da 
evolução conceitual, da sintetização da dinâmica da criação 
histórica na própria evolução do conceito. Se rejeitamos o 
aprender-fazer da operacionalidade do conceito como elemento 
desencadeador do movimento de aprendizagem o que 
tomaremos em seu lugar? Já sabemos que é o saber-pensar. 
Mas onde se materializa este saber-pensar? Para nós só existe 
uma resposta: na evolução histórica conceitual do homem. O 
homem aprendeu a pensar criando, historicamente, conceitos. 
Da mesma forma o educando aprenderá pensar criando 
conceitos num movimento semelhante ao da evolução histórica 
do conceito. Compreendemos história, aqui, não no sentido 
fatual, cronológico, fortuito mas sim no seu significado 
fundamental do homem criando a si próprio através do 
desenvolvimento de sua racionalidade conceitual. É a história do 
conceito, despida dos elementos ocasionais e centrada no ato de 
criação, que nos dá a dinâmica do saber-pensar e que 
deveremos transformar em plano de ação pedagógico, em ação 
educativa concreta de sala de aula. 
 A criação numérica aconteceu primeiramente 
com o homem utilizando o seu corpo (dedos, toques, fala, etc.) e 
objetos do seu ambiente para contar as quantidades que ele 
precisava administrar: o numero de animais (ovelhas, vacas e 
bois, porcos, aves, cavalos, etc.) do seu rebanho, o número de 
pessoas da sua tribo, e assim por diante. O homem inventou a 
contagem para administrar os movimentos quantitativos 
necessários para a sua vida. Para realizar esta contagem criou 
alguns instrumentos operacionais: os objetos que o cercavam e 
elementos do seu corpo. Com base neste instrumental concreto 
criou um elemento de racionalidade, de pensamento, uma 
abstração: a correspondência biunívoca. Estes três elementos da 
sua primeira criação numérica - a contagem, o instrumental 
concreto, e a correspondência biunívoca - compõem o primeiro 
conceito numérico e matemático que chamamos numeral 
objeto. O numeral objeto é o primeiro momento da criação 
numérica e precede o numeral escrito. A pedagogia do 
treinamento passa por cima desta primeira criação matemática 
ou, no máximo, faz-lhe uma rápida e superficial menção. 
Procurando agilizar o mais rápido os mentefatos numéricos, 
considera perda de tempo qualquer trabalho pedagógico que não 
parta diretamente dos numerais escritos modernos. "As crianças 
já sabem o que e número". Para esta pedagogia todo o 
treinamento repetitivo e massacrante que massificou os numerais 
hindu-arábicos nas cabecinhas infantis - na escola as 
professoras fazem as crianças repetir várias vezes a grafia dos 
numerais, fazem-nas andar sobre eles; os programas infantis de 
televisão mostram à exaustão "este é o 1, este é o 5 ...", em casa 
os pais orgulhosos falam "meu filho já sabe contar até 50" - é 
considerado equivocadamente como aprendizagem numérica. 
Pelo contrário, a aprendizagem numérica se inicia com o numeral 
objeto, isto é, comos educadores elaborando um movimento 
pedagógico no qual as crianças criam o numeral objeto. 
 A Alfabetização Matemática ou, como 
denominam alguns matemáticos, a Numeralização, é o momento 
principal de todo o movimento de aprendizagem matemática do 
aluno. Nela o educando deveria aprender a pensar 
numericamente no universo do Número Natural. E a qualidade, a 
abrangência e profundidade do pensamento numérico que aqui 
se formar, determinará toda a futura educação matemática - e 
não só matemática mas também científica, cultural e artística - do 
educando. 
 Porém o que ocorre é que os educandos 
passam por ela na pré-escola e nas séries iniciais sem adquirir 
pensamento numérico. Ou seja, não são alfabetizados. Isto 
porque se compreende que o aluno alfabetizado é aquele que 
sabe utilizar números em jogos eletrônicos, sabe recitar grandes 
números, alguns até escrevê-los, lêem números de telefones, 
lidam com números decimais em supermercados e shoppings, 
em resumo, que sabe escrever, falar e identificar números. E 
como o aluno adquiriu estas habilidades? Simplesmente pelo 
método do treinamento pelo uso exaustivo em seu meio. 
Dezenas, centenas, milhares, milhões, bilhões de vezes por dia 
os algarismos foram mostrados a ele. Na sala de aula o 
professor entende que o método de aprender números e cálculos 
é o mesmo da vida cotidiana. Mostra o número numa infinidade 
de exercícios. Quando muito, inova fazendo o diagnóstico do que 
já sabe de leitura e escrita do número e continua a partir daí 
escrevendo e lendo números com as crianças em exercícios de 
identificação e aplicação em situações cotidianas. Músicas com 
números, histórias infantis com números, jogos educativos não 
mudam o enfoque de aprender número lendo e escrevendo e 
adivinhando regras. Para casa o aluno leva lições que instigam a 
repetição e adivinhação de regras. Na televisão o palhacinho 
alegre atrai com imagens e sons a atenção da criança para o 
mundo alegre dos números e das contas. Em casa, papai e 
mamãe querendo acelerar a aprendizagem dos filhos, ajudam 
repetindo a cantilena da escola e da televisão. 
 Sob tal bombardeio as crianças adquirem, na 
verdade, um condicionamento numérico, algo totalmente distinto 
de pensamento numérico: sabem manipular os números nos 
dedinhos, sabem escrever os algarismos, sabem recitar 
versinhos e cantar musiquinhas de contagem, sabem identificar 
os símbolos numéricos e diferenciá-los, mas não sabem pensar 
numericamente. 
 Este condicionamento numérico é concebido 
como aprendizagem "via socialização". Os professores partem 
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de uma falsa suposição de que o aluno já está de posse do 
conceito numérico quando, na realidade, o máximo que possuem 
é o senso numérico, algo instintivo que nada tem a ver com 
pensamento. 
 A ausência do pensamento numérico 
determinará a "aprendizagem" matemática posterior que não 
passará de uma "construção" feita com pré-moldados: cada 
bloco é fabricado numa matriz separada e todo problema se 
reduz à questão do encaixe. Desta forma, a aprendizagem 
algébrica acontecerá de forma totalmente independente do 
conceito numérico e a aprendizagem do cálculo analítico 
acontecerá como um processo em si mesmo. Tudo enfim, se 
reduzirá a um treinamento de regras e procedimentos: o sistema 
decimal, as operações e seus algoritmos, a estrutura dos 
conjuntos numéricos, a expansão numérica e todos os outros 
conceitos que têm suas bases de formação no número. 
 Por trás desta ilusão está a dura verdade dos 
altos índices de repetência, reprovação e rejeição à matemática 
em nossas escolas confirmados tanto por nossas experiências e 
quanto por muitas pesquisas. Enquanto o pensamento numérico 
estiver ausente da visão de mundo do educando, este 
permanecerá um analfabeto em matemática está na base da 
visão fragmentadora do ensino de matemática.. 
 O conceito numérico não pode ser nem 
transmitido nem treinado; ele tem de ser (re)criado pelo 
educando. Ou seja, o educando tem que viver ativa e 
intensamente a dinâmica que o trabalho humano viveu na 
gestação do conceito numérico. Os momentos significativos 
deste movimento de criação e, em cada momento, os elementos 
dialéticos desta criação tem que ser combinados numa proposta 
de aula que leve cada aluno e a toda a classe a se organizar e 
mobilizar todas as suas forças, energias e capacidade de 
imaginação para criar o conceito. 
 A ação pedagógica, portanto, só se dará se 
conseguir efetivamente ganhar o educando para o movimento de 
criação humana, se conseguir integrá-lo ativamente neste 
maravilhoso movimento. A questão do certo e do errado, desta 
forma, é totalmente secundária. Ou melhor, muda de plano: o 
certo não é se o aluno expressou a resposta que queremos dele 
mas se ele realmente se mobilizou, mais que isto, se se 
apaixonou pela questão colocada e se transformou um problema 
que é da humanidade num problema seu. 
 Na criação do conceito numérico identificamos 
quatro momentos básicos da aprendizagem: 
1. - o senso numérico que todos nós temos 
(inclusive vários outros animais também o possuem) e que é o 
ponto de partida da aprendizagem; 
2. - o numeral objeto que constitui o primeiro ato 
de criação numérica do homem; 
3. - o numeral repetitivo, o primeiro registro escrito 
numérico humano; 
4. - o numeral semi-repetitivo, a primeira síntese 
grupal numérica; 
5. - o numeral abstrato atual, a realização máxima 
da abstração numérica. 
 
 Qual o sentido maior da educação: mostrar os 
caminhos ou tornar o homem um rompedor de novos caminhos? 
Treiná-lo ou torná-lo um criador? Adaptá-lo ou emancipá-lo? 
Programá-lo ou libertá-lo de todos os programas e esquemas? 
 Caros alunos, prestem muita atenção na aula. 
Se tiverem alguma dúvida, perguntem imediatamente. Não 
percam o "fio da meada" caso contrário perderão a meada toda. 
Não se distraiam nem conversem com os colegas pois hoje 
aprenderemos uma matéria nova, muito importante. Trata-se de 
logaritmo: 
- Seja dado ac = b; chamamos de logaritmo de b na 
base a ao número c. Entenderam? 
- Agora prestem atenção ao exemplo-modelo que eu 
vou resolver na lousa: 
- Para calcular o logaritmo de 8 na base 2 decompomos 
8 no fator 2, o que resulta 23. 
- Como 23 = 8 resulta que o logaritmo de 8 na base 2 é 
3. 
- Entenderam? Agora façam todos os exercícios da 
página 40 do livro. Não tem mistério: é só fazer igualzinho ao 
modelo que está na lousa. 
 O que vimos acima é uma típica aula de 
matemática que acontece em quase todas as salas de aula do 
mundo, do pré-primário ao doutorado: 
- O conceito surge do nada, do éter ("matéria nova, 
muito importante"); 
- Magicamente é apresentado ("Seja dado"); 
- Ele é então "mostrado" do mesmo modo que é 
apresentado uma máquina ("logaritmo é ..."); 
- Mostra-se como ele "funciona" na prática ("Como 23 = 
8 resulta que logaritmo de 8 na base 2 é 3"); 
- A partir daí é com o aluno; quanto mais exercício fizer 
"observando o modelo", quanto mais treinar, mais "dominará o 
conceito". 
 Existe alguma diferença entre esta 
"aprendizagem" e a de como operar uma máquina qualquer? Do 
mesmo modo que você aprende a dirigir um carro, a jogar 
basquete, a operar o painel de um computador, a apertar os 
botões de uma prensa hidráulica, você aprende a lidar ou melhor, 
"manipular" um conceito. Trata-se da aprendizagem do tipo 
"mostrar, praticar e treinar" que não se restringe só ao 
aprendizado de matemática. Todas as ciências, linguagens, 
formas artísticas e culturais são "ensinadas" com esta 
"metodologia". Manipular o conceito, ao contrário de pensar com 
ele: este é o resultado desta pedagogia. O conceito não 
ultrapassa os limites das mãos e só chega ao cérebro na forma 
de condicionamento. Chamamos esta "pedagogia" de 
"Pedagogia" do Treinamento 
 O sistema de ensino, em quase sua totalidade, 
está estruturado para o treinamento/adestramento do aluno. 
Trata-se da característicafundamental do que se convencionou 
chamar de pedagogia tradicional. Isto se dá de forma muito 
simples, direta e espontânea. O treinamento/adestramento do 
aluno por parte do professor é a forma mais fácil, cômoda e 
acessível de se "dar aula". Não é, pois à toa que os professores 
"praticam esta pedagogia" maciça, espontânea e 
inconscientemente. Transferida de pai para filho, de geração 
para geração, de professor para aluno, por séculos e séculos de 
condicionamentos e tabus, esta "metodologia" do 
treinamento/adestramento é "ensinada" e "apre(e)ndida" junto 
com os conceitos que busca "ensinar". Desta forma, junto com o 
treinamento em logaritmo, o aluno "aprende" também a agir e 
pensar sob regras (ou seja, é adestrado de modo a não criar e 
não pensar autonomamente) e a "ensinar adestrando". 
 Porque todos nós, professores, alunos, 
pedagogos, psicólogos, artistas, músicos, pais, mães, 
trabalhadores, enfim, homens e mulheres do mundo inteiro 
somos tão irresistivelmente atraídos por esta "anti-pedagogia" ? 
Porque todos nós, de Nova York à Cingapura, de Tóquio ao 
Alegrete, vivemos numa mesma sociedade: a Sociedade do 
Trabalho Mecânico. Trata-se de uma forma de organização 
social que tem como elemento principal e característico a 
redução do homem à condição de máquina produtiva. 
 Já vimos, anteriormente, como a nossa 
civilização, desde os seus primórdios com o surgimento das 
primeiras formações sociais mais complexas - as egípcia, 
babilônica, persa, chinesa, hindu, etc. - tem se desenvolvido com 
base no uso, cada vez mais intenso e extenso, da máquina 
humana. E em nosso século essa redução do trabalho humano 
ao seu aspecto mecânico e repetitivo atingiu o seu ponto 
máximo. Chegou-se, assim, ao extremo de que em todos os 
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cantos do planeta, a todo segundo, todos os homens e mulheres 
passaram a viver condições de vida que atuam no sentido de 
transformá-los em máquinas produtivas. E a educação, a mais 
humana das atividades sociais, devido exatamente a esta 
condição, sofreu uma brutal reversão de sua dinâmica e de seus 
fins. De atividade libertadora do homem transformou-se em 
escravizadora, buscando formar a máquina humana ao invés do 
homem senhor do seu destino e, portanto, das máquinas. 
 Atualmente vivemos um período em que as 
condições que geraram esta pedagogia estão se transformando. 
A revolução técnica possibilita a criação de máquinas 
programáveis para todas as atividades que antes eram levadas 
pela "máquina humana". Esta, portanto, tornou-se 
desnecessária. Não é mais necessário reduzir o trabalho humano 
a trabalho mecânico e repetitivo; não é mais preciso transformar 
o homem em máquina sem pensamento; não é mais necessário, 
portanto, treinar e adestrar o homem. A micro-eletrônica e a 
informática possibilitam a substituição de toda a atividade 
mecânica humana, tornando desnecessária a sociedade do 
trabalho mecânico. 
 Esta é a razão do esgotamento da pedagogia 
do treinamento/adestramento. O esquema tradicional do 
professor falando e mostrando e do aluno prestando atenção, 
anotando e fazendo extensamente "exercícios" (realmente, esta 
é a palavra certa: "exercícios") repetidos e sem criatividade 
transformou-se numa sucata e sem sentido. Enfim, a chamada 
pedagogia tradicional esgotou-se definitivamente. 
 O esgotamento das pedagogias tradicionais 
abriu, nos tempos atuais, um amplo leque de tentativas e 
alternativas pedagógicas. Todas tentam responder a questão 
central: como levar o aluno à aprendizagem do conhecimento 
que supere o treinamento/adestramento? 
 Foi Piaget um dos primeiros estudiosos a 
levantar a necessidade da aprendizagem acontecer através do 
processo de "criação" do conceito. Ao enfatizar que 
conhecimento não se "transfere" nem se "transmite"; que 
ninguém substitui o educando no movimento que este realiza ao 
(re)criar o conceito; que a ação do professor não é de "dar" ou 
mostrar o conhecimento ao educando mas sim de organizar o 
processo educativo de modo que o educando o elabore, num 
esforço próprio; Piaget apontava o objetivo básico do movimento 
pedagógico: trata-se de transformar o educando num agente 
autônomo. Esta é a essência do que se costumou chamar de 
construtivismo. 
 Porém, por que o construtivismo é tão difícil se 
tornar uma prática pedagógica? Por que não terá ultrapassado 
ainda a condição de metodologia em experimentação, apesar de 
seus mais de 50 anos de vida? A nosso ver quatro são as razões 
fundamentais que distanciam o princípio correto da busca da 
autonomia da prática pedagógica generalizada: 
 . Em primeiro lugar Piaget não desvendou o 
laço de compromisso entre a "pedagogia" do 
treinamento/adestramento com a sociedade do trabalho 
mecânico. E, desta forma, não foi até elucidação dos 
condicionantes sociais que amarravam a aprendizagem. Com 
isto sua crítica não ultrapassou à localização dos efeitos nocivos 
da "aprendizagem" mecânica o que, certamente, não foi pouca 
coisa. 
 . Com tal limitação de origem, o construtivismo 
obrigou-se a conceber o processo da aprendizagem como algo 
que acontecia individualmente e, mais que isto, como a evolução 
do pensamento por fases e etapas dadas mais por condições 
genéticas do que sociais e históricas. 
 . Tais etapas evolutivas do pensamento, assim 
concebidas, tornaram-se abstratas e puramente lógicas. O 
caminho para atingi-las tornou-se misterioso e nebuloso. A 
organização do processo educativo ficou sem nenhum princípio 
orientador a não ser pistas muito gerais e complexas. Para 
alcançar um determinado conceito o aluno teria que passar por 
várias operações abstratas anteriores sacadas exclusivamente 
da lógica formal. O conceito é percebido como o produto 
mágico do formalismo lógico. 
 . O resultado mais comum do construtivismo 
para o processo de sala de aula é uma espécie de maêutica 
socrática que vêm na forma de estudo dirigido ou programado 
onde o professor organiza todo o movimento educativo no 
sentido de se chegar a uma resposta esperada. Os blocos 
lógicos, os jogos de aprendizagem, todos já vêm organizados 
para dar a "resposta certa" ao aluno que vem envolvida na ilusão 
de que este que "construiu" a resposta. 
 As críticas de Vigotsky apontam direta e 
certeiramente para as duas primeiras lacunas do construtivismo. 
Tanto que os modernos teóricos desta concepção já a concebem 
sob a dupla ótica de Piaget e Vigotsky. Ainda assim há um traço 
de espontaneismo em Vigotsky onde ele percebe o social 
educando diretamente e criando uma base para aprendizagem 
escolar. Esta "educação espontânea" pode ser também uma 
ação da sociedade do trabalho mecânico adestrando e treinando 
os homens para o trabalho abstrato. Falta, portanto, a superação 
do seu logicismo formal que resulta na maêutica socrática e no 
dirigismo "oculto" que apontamos. Ou seja, falta substituir este 
logicismo formal, elemento essencial da pedagogia do 
treinamento, pela lógica dialética. A pedagogia conceitual que 
propomos toma o elemento central do construtivismo piagetiano, 
a busca da autonomia criativa do educando, o contexto social da 
compreensão de Vigotsky e, sob esta ampla e rica base 
pedagógica acrescenta o movimento dialético do conceito 
como caminho da aprendizagem. 
 O conceito, qualquer que seja - número natural, 
número racional, equação, função, força, aceleração, célula, 
modo de produção, espaço, etc. - é, acima de tudo, produto 
coletivo, social e histórico do movimento do trabalho humano. E, 
como tal, o conceito é sempre síntese do trabalho humano. A sua 
evolução, os seus momentos sucessivos no sentido de uma 
amplitude e profundidade maiores são marcados por uma 
essencial identidade com a própria evolução do trabalho 
humano. Desta forma a linha de criação de um conceito é 
idêntica à dialética do trabalho humano, sendo por esta 
determinada. 
 Esta identidade entre o conceito e o trabalho 
humano é a chave para desvendar o "misterioso"