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UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Probabilidade e Estat´ıstica - Estat´ıstica
Primeira Prova 08-10-2013
Atenc¸a˜o: Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativa: as expressoo˜es que levaram a alguma
resposta nume´rica devem ser indicadas nos espac¸os apropriados.
1. A chance do barco “Da Noi” vencer uma regata se o vento estiver forte (acima de 20 no´s) e´
de 80% e de 40% se o vento estiver fraco. No dia da regata a meteorologia preveˆ vento forte
com 70% de chance. Qual a probabilidade de:
(a) “Da Noi” vencer a regata?
(b) O vento ter sido forte sabendo que “Da Noi” venceu a regata?
(c) O vento ter sido fraco sabendo que “Da Noi” na˜o venceu a regata?
2. Sabe-se que um famoso atleta ol´ımpico de tiro com arco costuma acertar o alvo na mosca em
cerca de oito em cada dez vezes sob algumas condic¸o˜es espec´ıficas. Em um grande torneio
internacional, em que estas mesmas condic¸o˜es acontencem, o atleta precisa acertar pelo menos
duas vezes na mosca, em treˆs tentativas, para ir a`s finais.
(a) Sabendo que a acura´cia dos tiros na˜o se altera, proponha um modelo para a varia´vel
aleato´ria que representa o nu´mero de acertos na mosca e calcule a probabilidade do
atleta ir a`s finais.
(b) Determine os valores da func¸a˜o de distribuic¸a˜o acumulada da varia´vel aleato´ria definida
no item anterior para valores do argumento pertencente aos intervalos (−∞, 0), [0, 1),
[1, 2), [2, 3) e [3,∞). Fornec¸a uma representac¸a˜o gra´fica desta func¸a˜o.
3. Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuic¸a˜o Normal com me´dia
µ = 1, 80m e desvio padra˜o, σ = 10cm. Calcule:
(a) A probabilidade de um homem ter mais de 1, 90m de altura.
(b) O valor em metros abaixo do qual esta˜o as alturas de 30% desses homens.
(c) A mediana e a distaˆncia interquartil da varia´vel altura.
4. Um jovem casal deseja ter dois filhos. Analisando as condic¸o˜es do casal, o me´dico afirma
que a probabilidade deles terem dois meninos e´ de 40% e que a chance do primeiro bebeˆ a
nascer ser menina e´ 50%. O me´dico tambe´m informou que se o primeiro filho for menina, a
probabilidade condicional do segundo ser menina e´ de 40%. Denotem as varia´veis aleato´rias
por Xi = 0, se o bebeˆ for menino e Xi = 1, se o bebeˆ for menina no i-e´simo nascimento
(i=1,2). Encontre:
(a) A distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta de X1 e X2 com suas distribuic¸o˜es de proba-
bilidades marginais.
(b) A probabilidade do segundo filho do casal tambe´m ser um menino, dado que o primeiro
foi um menino.
(c) A covariaˆncia entre X1 e X2.
Boa prova!
Soluc¸o˜es
1. Sejam os eventos:
V= O barco Vencer a regata;
F=O vento estar forte.
Sa˜o dadas as probabilidades: P (V |F ) = 0, 8;P (V |F c) = 0, 4;
Enta˜o, P (V c|F ) = 0, 2;P (V c|F c) = 0, 6
(a) P (V ) = P (V |F )× P (F ) + P (V |F c)× P (F c) = 0, 8× 0, 7 + 0, 4× 0, 3 = 0, 68 ;
(b) P (F |V ) = P (F∩V )
P (V )
= 0,8×0,7
0,68
= 0, 8236;
(c) P (V c) = 0, 32; P (F c|V c) = P (F c∩V c)
P (V c)
= (0,6×0,3)
0,32
= 0, 5625.
2. X ∼ Bin(3; 0, 8). Equivalentemente, p(x) =
(
3
x
)
0, 8x0, 23−x, x = 0, 1, 2, 3.?
(a) Probabilidade de ir a` final
P (X ≥ 2) = p(2) + p(3) =
(
3
2
)
0, 82 × 0, 2 +
(
3
3
)
0, 83
= 0, 384 + 0, 512 = 0, 896.
(b) p(0) = 0, 008, p(1) = 0, 096, p(2) = 0, 384, p(3) = 0, 512.
F (x) =

0, x < 0
p(0), 0 ≤ x < 1
p(0) + p(1), 1 ≤ x < 2
p(0) + p(1) + p(2), 2 ≤ x < 3
p(0) + p(1) + p(2) + p(3), x ≥ 3
, F (x) =

0, x < 0
0, 008, 0 ≤ x < 1
0, 104, 1 ≤ x < 2
0, 488, 2 ≤ x < 3
1, x ≥ 3
1,000
0,488
0,104
0,008
0 1 2 3
F(x)
x
3. Seja X a v.a. que mede a altura de uma homem em cm.
(a) Queremos saber a probabilidade de um homem ter mais de 190cm.
P (X > 190) = P (Z >
190− 180
10
) = P (Z > 1) = 1− 0, 8413 = 0, 1587
(b) Seja k o valor em metros abaixo do qual esta˜o as alturas de 30% desses homens.
P (X < k) = 0, 30
P (Z <
k − 180
10
) = 0, 30⇒ Φ(z) = 0, 30⇒ Φ(−z) = 0, 70⇒ z = −0, 52
k − 180
10
= −0, 52
k = −5, 2 + 180 = 174, 8cm
Resp: Aproximadamente 1, 748m
(c) Como a distribuc¸a˜o Normal e´ sime´trica a mediana sera´ a me´dia, E(X)=µ=1,80.
Assim, mediana(X)=1,80m.
Para calcularmos os outros quartis temos que Φ(ζ0,25) = Φ(−ζ0,75) = 0, 75⇒ ζ0,75 = 0, 67.
Assim,
Q1 − 180
10
= −0, 67⇒ Q1 = 180− 6, 7 = 173, 3
Q3 − 180
10
= +0, 67⇒ Q3 = 180 + 6, 7 = 186, 7
DIQ = Q3 −Q1 = 2× 6, 7 = 13, 4cm = 0, 134m
4. P (X1 = 0, X2 = 0) = 0, 4; P (X1 = 1) = 0, 5 e P (X2 = 1|X1 = 1) = 0, 4.
P (X1 = 0) = 1− P (X1 = 1) = 0, 5. Portanto, P (X2 = 1|X1 = 1) = P (X1=1,X2=1)P (X1=1) = 0, 4
⇒ P (X1 = 1, X2 = 1) = 0, 2. Enta˜o, P (X1 = 1, X2 = 0) = 0, 5− 0, 2 = 0, 3 e
P (X1 = 0, X2 = 1) = 1− 0, 9 = 0, 1.
(a) Distribuic¸a˜o de probabilidade conjunta:
x1|x2 0 1 p(x1)
0 0,4 0,1 0,5
1 0,3 0,2 0,5
p(x2) 0,7 0,3 1,0
(b) P (X2 = 0|X1 = 0) = P (X1=0,X2=0)P (X1=0) = 0, 8
(c) A Cov(X1, X2) = E(X1X2)− E(X1)× E(X2).
E(X1X2) = 0(0, 4 + 0, 1 + 0, 3) + 1× 0, 2 = 0, 2 e E(X1) = 0, 5;E(X2) = 0, 3
Assim, Cov(X1, X2) = 0, 2− 0, 5× 0, 3 = 0, 05.
 
UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Probabilidade e Estat´ıstica - Estat´ıstica
Primeira Prova 23-05-2013
Atenc¸a˜o: Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativa: as expressoo˜es que levaram a alguma resposta
nume´rica devem ser indicadas nos espac¸os apropriados.
1. Para sagrar-se campea˜o de um torneio de teˆnis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas,
todas elas eliminato´rias. Jose´ e´ um dos participantes e suas probabilidades de vito´ria em cada partida
(caso ele na˜o tenha sido eliminado ate´ enta˜o) foram estimadas em: 80% na 1a partida, 70% na 2a
partida, 60% na 3a partida (semifinal) e 50% na 4a partida (final). Observe que estas probabilidades
independem de quem seja o seu adversa´rio em cada partida. Calcule as probabilidades de que Jose´:
(a) Na˜o consiga chegar ate´ a final;
(b) Consiga chegar a uma semifinal, dado que na˜o sera´ o campea˜o.
2. Um vendedor de seguros vende em me´dia 3 apo´lices por semana (7 dias). O nu´mero de apo´lices
vendidas pode ser modelada por uma distribuic¸a˜o Poisson.
(a) Calcule a probabilidade de que ele venda 2 ou mais apo´lices numa dada semana;
(b) Foram escolhidas 4 semanas aleatoriamente, de maneira que se possa supor independeˆncia das
vendas entre as semanas. Deseja-se saber a probabilidade de em exatamente 3 semanas, entre
as 4 escolhidas, terem sido vendidas 2 ou mais apo´lices;
(c) Calcule a probabilidadede de que ele venda 1 apo´lice durante um per´ıodo de 5 dias.
3. A distribuic¸a˜o da renda, expressa em sala´rios mı´nimos (s.m.), dos membros de um sindicato e´ carac-
terizada pela func¸a˜o de densidade:
f(x) =
{
3x−4, se x > 1
0, se x < 1.
(a) Calcule o desvio padra˜o (em s.m.) dessa varia´vel;
(b) Determine o n´ıvel salarial (em s.m.) abaixo do qual esta˜o os sala´rios de 87,5% (ou seja, 7/8)
desses profissionais.
4. X1 e X2 representam os valores (em reais) que as ac¸o˜es A1 e A2, respectivamente, tera˜o daqui a um
ano. Como sabemos, o comportamento cao´tico da bolsa de valores implica que X1 e X2 podem ser
considerados aleato´rios. Suponha, mais especificamente, que:
• X1 e´ modelada por uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 30 reais e variaˆncia de 100 reais2;
• X2 e´ modelada por uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia de 60 reais e variaˆncia de 400 reais2; e
• as cotac¸o˜es dessas duas ac¸o˜es sa˜o independentes.
Um investidor comprou hoje 300 ac¸o˜es A1 a 25 reais cada uma, e 200 ac¸o˜es A2 a 40 reais cada uma.
(a) Quais sa˜o a distribuic¸a˜o, a esperanc¸a e o desvio padra˜o do valor total que a carteira de ac¸o˜es
deste investidor tera´ dentro de um ano?
(b) Qual e´ a probabilidade de que essa a carteira de ac¸o˜es tenha se valorizado em pelo menos 50%
depois de um ano?
Boa prova!
SOLUC¸A˜O:1. Podemos considerar que o experimento tem 5 resultados poss´ıveis, com as seguintes
probabilidades:
e1 (Eliminado na 1a partida) ⇒ p(e1) = 0,2
e2 (Eliminado na 2a partida) ⇒ p(e2 )= 0,8×0,3 = 0,24
e3 (Eliminado na 3a partida) ⇒ p(e3) = 0,8×0,7×0,4 = 0,224
e4 (Eliminado na 4a partida) ⇒ p(e4)= 0,8×0,7×0,6×0,5 = 0,168
v (Vencedor das 4 partidas) ⇒ p(v)= 0,8×0,7×0,6×0,5 = 0,168
Assim, Ω = {e1, e2, e3, e4, v}
Sejam:
F = Chegar a` final = {e4, v} ⇒ P(F) = 0,168 + 0,168 = 0,336
S = Chegar a` semifinal = {e3, e4, v} ⇒ P(S) =0,224 + 0,168 + 0,168 = 0,560
C = Ser Campea˜o = {v} ⇒ P(C) = 0,168
(a) P(FC) = 1 - 0,336 = 0,664;
(b) P(S | Cc) = P (S∩Cc)
P (Cc)
= P (e3,e4)
1−P (v) =
0,168+0,224
1−0,168 = 0, 471
2. (a) X = no de apo´lices vendidas em 1 semana; X ∼ Poisson(λ =3)
P (X ≥ 2) = 1− P (X ≤ 1) = 1− P [X = 0]− P [X = 1] = 1− e−3(1 + 3) = 1− 4e−3 = 0, 801
(b) Y = no de de semanas, entre as 4 escolhidas, que tiveram 2 ou mais apo´lices vendi-
das; Y ∼ Binomial(n=4, p=0,80). Assim, P (Y = 3) = 4× 0, 83 × 0, 21 = 0, 4096
(c) Z = no de apo´lices vendidas em 5 dias; Z ∼ Poisson(λ = 3× 5/7)
P(Z=1) = e
−15/7(15/7)1
1!
= (15/7)e−15/7 = 0, 251
3. X = renda (em s.m.) de um membro do sindicato selecionado ao acaso.
(a)
E(X) =
∫ ∞
1
xf(x)dx =
∫ ∞
1
x3x−4dx =
∫ ∞
1
3x−3dx = 3
[
−x
−2
2
]∞
1
=
3
2
.
E(X2) =
∫ ∞
1
x2f(x)dx =
∫ ∞
1
x23x−4dx =
∫ ∞
1
3x−2dx = 3
[−x−1]∞
1
= 3.
Var(X) = E(X2)− [E(X)]2 = 3− 9
4
=
3
4
. Logo, DP(X) = 0,867 s.m.
(b) F (x) = 0 para x < 1 e F (x) =
∫ x
1
f(s)ds =
∫ x
1
3s−4ds =
[−s−3]x
1
= 1− 1
x3
para x > 1.
Logo, F (ζ7/8) = 1− 1
(ζ7/8)3
=
7
8
⇒ ζ7/8 = 2.
4. (a) O valor total do portfo´lio daqui a um ano sera´: Y = 300X1 + 200X2.
O valor esperado de Y e´: µ = E(Y ) = 300× 30 + 200× 60 = 21 000 reais
A variaˆncia de Y e´: σ2 = V ar(Y ) = 3002 × 100 + 2002 × 400 = 25 000 000.
Da´ı DP (Y ) =
√
25 000 000 = 5 000 reais.
A distribuic¸a˜o de Y e´ enta˜o N(21 000; 5 0002)
(b) O valor total do portfo´lio na compra e´ : v = 300× 25 + 200× 40 = 15 500 reais.
A probabilidade pedida e´ enta˜o:
P [Y ≥ 1, 5× 15 500] = P [Y ≥ 23 250] = P [Y−21 000
5000
≥ 23 250−21 000
5000
] =
= P [Z ≥ 0, 45] = 1− Φ(0, 45) = 0.3264
UFRJ - CCMN - IM - Departamento de Me´todos Estat´ısticos
Probabilidade e Estat´ıstica - Estat´ıstica
Prova # 01 13-12-2012
Enunciados e soluc¸o˜es
1. Para competir em uma certa regata as embarcac¸o˜es podem velejar com no ma´ximo 4 tripulantes. Os
tripulantes de cada embarcac¸a˜o sa˜o inscritos previamente e na˜o podem ser alterados mais tarde. A
embarcac¸a˜o Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e
Diogo confirmaram a presenc¸a na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer
a` regata e´ 50%, enquanto que a de Bernardo, e´ 70%. A decisa˜o de comparecer ou na˜o por parte de Alberto
na˜o influencia a decisa˜o de comparecer ou na˜o por parte de Bernardo e vice-versa. Note que o fato do
nu´mero de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partic¸a˜o do espac¸o amostral.
Com a tripulac¸a˜o completa, a embarcac¸a˜o Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com
apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com treˆs tripulantes a probabilidade de vencer
e´ de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que
(a) pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, comparec¸am a` regata; (b) a embarcac¸a˜o Chez
Moi venc¸a a regata; (c) pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, tenham comparecido a`
regata condicionado ao fato de que a embarcac¸a˜o Chez Moi venceu a regata. Compare suas respostas
dadas nos itens (a) e (c). A probabilidade aumentou ou diminuiu? Por que?
(a) P (A∪B) = P (A)+P (B)−P (A∩B) = P (A)+P (B)−P (A)∗P (B), pois os eventos
A e B sa˜o independentes. Logo,
P (A ∪B) = 0, 5 + 0, 7− 0, 5 ∗ 0, 7 = 1, 2− 0, 35 = 0, 85.
(b) P (V ) = P ([V ∩ (A ∩B)] ∪ [V ∩ {(Ac ∩B) ∪ (A ∩Bc)}] ∪ [V ∩ (Ac ∩Bc)])
= P ([V ∩ (A ∩B)]) + P ([V ∩ {(Ac ∩B) ∪ (A ∩Bc)}]) + P ([V ∩ (Ac ∩Bc)])
P (V ∩ (A ∩B)) = P (A ∩B) ∗ P (V |A ∩B) = 0, 5 ∗ 0, 7 ∗ 0, 8 = 0, 28
P (V ∩ (Ac ∩Bc)) = P (Ac ∩Bc) ∗ P (V |Ac ∩Bc) = 0, 5 ∗ 0, 3 ∗ 0, 2 = 0, 03
P ([V ∩ {(Ac ∩B) ∪ (A ∩Bc)}]) = P (V ∩ {(Ac ∩B)) + P ((V ∩ {(A ∩Bc)) =
= P (Ac∩B)∗P (V |Ac∩B)+P (A∩Bc)∗P (V |A∩Bc) = 0, 5∗0, 7∗0, 5+0, 5∗0, 3∗0, 5 = 0, 25
Logo, P (V ) = 0, 28 + 0, 25 + 0, 03 = 0, 56.
(c) P (A ∪B|V ) = P ([A ∪B] ∩ V )
P (V )
=
0, 355 + 0, 455− 0, 28
0, 56
=
0, 53
0, 56
=' 0, 95.
A probabilidade de que pelo menos um entre Alberto e Bernardo tenham comparecido
a` regata aumentou. O evento “vencer a regata” e´ favora´vel ao evento “presenc¸a de pelo
menos um dos dois”. Ou, equivalentemente, o evento “presenc¸a de pelo menos um dos
dois” e´ favora´vel a` ocorreˆncia do evento “vencer a regata”. Podemos concluir que os
eventos A ∪B e V na˜o sa˜o independentes.
2. Um supermercado faz a seguinte promoc¸a˜o: o cliente, ao passar pelo caixa, lanc¸a um dado honesto. Se
sair face “6” ele ganha um desconto de 30% sobre o total de sua compra. Se sair face “5”, o desconto e´
de 20%. Se sair face “4”, o desconto e´ de 10% e, se sair faces “1”, “2” ou “3”, o desconto e´ de 5%. Seja
X a varia´vel aleato´ria definida como o desconto concedido ao cliente na promoc¸a˜o. Pede-se
(a) a func¸a˜o de probabilidade da varia´vel alaeato´ria X; (b) o desconto me´dio concedido na promoc¸a˜o;
(c) a probabilidade de que num grupo de 5 clientes, pelo menos um obtenha um desconto maior do que
10%.
(a) O conjunto de valores poss´ıveis para a varia´vel aleato´riaX e´ RX = {5%, 10%, 20%, 30%}.
Logo, pX(x) = 0 para todo x /∈ RX . Basta, enta˜o, especificar as probabilidades para
cada valor poss´ıvel de X. Como o dado e´ honesto, temos que a probabilidade de sair
cada uma das seis faces do dado e´ 1/6. Logo,
X pX(x)
5% 3/6=1/2
10% 1/6
20% 1/6
30% 1/6
total 1
(b)
E(X) =
∑
x∈RX
xpX(x) =
3 ∗ 5% + 10% + 20% + 30%
6
= 12, 5%
(c) A probabilidade p de obter um desconto maior do que 10% e´
P (X > 10%) = P (X = 20%) + P (X = 30%) = 26 =
1
3 .
Seja Y o nu´mero de clientes entre os 5 considerados que obtiveram desconto maior que
10%.
Y ∼ Binomial
(
5,
1
3
)
tal que
P (Y ≥ 1) = 1− P (Y = 0) = 1−
(
2
3
)5
=
243− 32
243
=
211
243
' 0, 8683.
3. O tempo de espera (em minutos) para ser atendido em um sistema de conversa on-line de uma empresa
comporta-se de acordo com a seguinte func¸a˜o de densidade f(t) =
{ 2
t3
, t ≥ m
0, caso contra´rio
.
(a) Determine o valor de m. (b) Calcule a probabilidade de um cliente esperar pelo menos 5 minutos
dado que ja´ esperou pelo menos 2 minutos. (c) O administrador do sistema afirmou que 96% dos usua´rios
esperam no ma´ximo 5 minutos para serem atendidos. Voceˆ concorda com o administrador? Justifique a
sua resposta.
(a)
1 =
∫ ∞
m
2t−3dt ↔ (−t−2)|∞m = 1 ↔
1
m2
= 1.
Logo, m = 1 minuto, pois na˜o faz sentido neste contexto um valor negativo para m.
(b)
P (X ≥ 5|X ≥ 2) = P (X ≥ 5)
P (X ≥ 2) =
1/25
1/4
=
4
25
.
(c)
F (5) = P (X ≤ 5) = 1− 1
25
=
24
25
= 0, 96,
logo, concordo com o administrador.
4. Considerando a populac¸a˜o dos profissionais a` busca de emprego em uma certa fatia do mercado de tra-
balho, ha´ duas habilidades consideradas importantes para se ter sucesso: dominar o Ingleˆs e dominar a
Informa´tica. Sabe-se que:
(i) a proporc¸a˜o de profissionais que dominam o Ingleˆs e´ igual a proporc¸a˜o de profissionais que dominam a
Informa´tica (denote por p essa proporc¸a˜o comum a`s duas habilidades); (ii) o nu´mero me´dio de habilidades
por profissional e´ 1,4; (iii) a variaˆncia desse nu´mero de habilidades por profissional e´ 0,24.
Calcule
(a) o valor de p; (b) o coeficiente de correlac¸a˜o ρ entre dominaro Ingleˆs e dominar a Informa´tica;
(c) a proporc¸a˜o q de profissionais que possuem ao mesmo tempo as duas habilidades.
Sugesta˜o: Defina as varia´veis aleato´rias
X =
{
1, se o profissional domina o Ingleˆs
0, caso contra´rio
e Y =
{
1, se o profissional domina a Informa´tica
0, caso contra´rio
.
O nu´mero total de habilidades que um profissional possui e´ dado por X + Y .
Com base nas informac¸o˜es fornecidas, a distribuic¸a˜o conjunta de X e Y e´:
X ↘ Y 0 1 pX(x)
0 1− 2p+ q p− q 1− p
1 p− q q p
pY (y) 1− p p 1
a) Ja´ que X e Y sa˜o Bernoulli(p), E(X) = E(Y ) = p e Var(X) = Var(Y ) = p(1− p).
1, 4 = E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = p+ p = 2p.
Logo, p = 0, 7.
Enta˜o, E(X) = E(Y ) = 0, 7 e Var(X) = Var(Y ) = 0, 7x0, 3 = 0, 21.
b)
0, 24 = Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y )
implica que
Cov(X, Y ) =
Var(X + Y )− Var(X)− Var(Y )
2
=
0, 24− 2 ∗ 0, 21
2
= −0, 09
DP(X) = DP(Y ) =
√
0, 21.
Logo,
ρ = ρXY =
−0, 09
0, 21
= −3
7
.
c) XY = 1 se e so´ se X = 1 e Y = 1. Caso contra´rio, XY = 0.
Enta˜o XY e´ Bernoulli(q). Logo E(XY ) = q.
Por outro lado, sabemos que E(XY ) = Cov(X,Y)+E(X) E(Y ) = −0, 09+0, 7x0, 7 = 0, 4.
Enta˜o q = 0, 4.
Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
1a Prova de Estatística Unificada
Turma: Engenharia Data: 19/04/2012
1. Em um curso secundário, 1/3 dos estudantes são do sexo masculino e 2/3 dos estudantes são do sexo
feminino. Entre os rapazes, 20% estudam ciências, enquanto entre as moças, apenas 10% dedicam-se
às ciências. Obtenha as probabilidades de que
(a) um estudante escolhido ao acaso estude ciências;
(b) um estudante de ciências selecionado ao acaso seja do sexo feminino.
2. Sabe-se que ocorre, em média, um acidente por dia numa certa estrada. Além disso, o número de
ocorrências de acidentes ao longo de um intervalo de tempo de duração fixa segue uma distribuição
de Poisson. Calcular a probabilidade de que:
(a) num determinado dia ocorressem pelo menos 3 acidentes. (calcule o resultado com 2 casas
decimais);
(b) num grupo de 4 dias houvesse exatamente 2 dias, dos 4 selecionados, com pelo menos 3 acidentes
por dia.
Obs.: Para simplificar os seus cálculos, use nas contas os valores (aproximados) que constam na
tabela abaixo:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e−x 1 0,3678 0,1353 0,0497 0,0183 0,0067 0,0024 0,0009 0,0003 0,0001 4,5×10−5
3. O valor exato de uma certa grandeza, expresso em uma unidade apropriada, é igual a µ, onde µ > 0.
Quando essa grandeza é medida com o uso de um determinado instrumento, o resultado da medição
se comporta como uma variável aleatória X, que segue uma distribuição Normal(µ; σ2). O erro
relativo correspondente a essa medição é |X − µ|/µ . A probabilidade de que esse erro relativo seja
maior que 0,5 é igual a 0,02.
(a) Qual é o valor de µ, se σ = 2?
(b) Qual é o valor de σ, se µ = 6, 99?
Obs.: Nesta questão os cálculos devem ser efetuados sempre com duas casas decimais.
4. Seja V a velocidade, medida em m/s, de um objeto de massa m = 5 kg em movimento retilíneo.
Suponha que V é uma variável aleatória contínua com densidade
f(v) =

1
5
− |v|
25
, se − 5 < v < 5,
0, caso contrário.
(a) Calcule o valor esperado da energia cinética W =
mV 2
2
.
(b) O objeto permanece com velocidade V durante 8 segundos, percorrendo X = 8V metros. Calcule
a variância de X.
5. Uma urna contém 3 bolas brancas e 2 bolas vermelhas. Um experimento consiste em se extrair
sequencialmente e sem reposição duas bolas e registrar suas cores. Seja X a v.a. que representa o
número de bolas brancas retiradas nas duas extrações e seja Y a v.a. que assume 1 se a primeira
bola extraída é branca e 0 se a primeira bola extraída é vermelha.
(a) Obtenha a distribuição conjunta de X e Y através de uma tabela e diga se X e Y são indepen-
dentes, justificando. Sugestão: Na montagem da tabela, comece determinando as distribuições
marginais de X e de Y. Em seguida, obtenha P (X = 0, Y = 1) e P (X = 2, Y = 0). Finalmente
complete a tabela, respeitando as propriedades de uma distribuição conjunta.
(b) Calcule a covariância de X e Y.
Respostas
1. Definimos os eventos
A := {o estudante é de sexo feminino}
B := {o estudante estuda ciências}.
(a) Usamos a fórmula da probabilidade total:
P (B) = P (B|A)P (A) + P (B|Ac)P (Ac) = 1
10
.
2
3
+
1
5
.
1
3
=
2
15
.
(b) Usamos a fórmula de Bayes:
P (A|B) = P (B|A)P (A)
P (B)
=
1/10× 2/3
2/15
=
1
2
.
2. (a) Seja X := número de acidentes em um dia, assim, X ∼ Pois(1),
P (X ≥ 3) = 1− P (X ≤ 2) = 1− e−1(1 + 1 + 12/2) = 0, 0805 ≈ 0, 08
(b) Seja Y := número de dias, entre os 4 selecionados, com pelo menos 3 acidentes; assim,
Y ∼ Binom(n = 4, p = 0, 08);
P (Y = 2) =
(
4
2
)
0, 082 0, 922 = 0, 0325
3. Sabemos que P (|X − µ|/µ > 0, 5) = 0, 02. Multiplicando ambos os membros da desigualdade por
µ/σ, obtemos P (|X − µ|/σ > 0, 5µ/σ) = 0, 02.
Por outro lado, como Z = (X−µ)/σ ∼ N(0; 1), concluímos que 0, 5µ/σ = z0,99 = 2, 33, consultando
a tabela da distribuição Normal padrão.
(a) Se σ = 2, então µ = 2× 2, 33/0, 5 = 9, 32.
(b) Se µ = 6, 99, então σ = 0, 5× 6, 99/2, 33 = 1, 50.
4. (a)
E[W ] =
∫ +∞
−∞
5
2
v2f(v)dv =
5
2
∫ +5
−5
v2
(
1
5
− |v|
25
)
dv
= 5
∫ +5
0
(
v2
5
− v
3
25
)
dv = 5
[
v3
15
− v
4
100
]5
0
=
625
60
kg m2/s2 = 10, 42 Joules.
(b) Seja X a distância percorrida pelo objeto, então
E[X] = E[8V ] = 8E[V ] = 8 · 0 = 0 ,
já que a densidade de V é simétrica em torno de 0 (E[|V |] <∞). Assim,
V ar[X] = 82 V ar[V ] = 64E[V 2] = 64
2
5
E[W ] =
128
5
625
60
=
800
3
= 266, 67m2.
5. (a) A tabela da distribuição conjunta é dada a seguir.
Y \X 0 1 2 P (Y = y)
0
1
10
3
10 0
2
5
1 0
3
10
3
10
3
5
P (X = x) 110
3
5
3
10 1
Por exemplo,
P (X = 1, Y = 0) = P (V 1 ∩B2) = P (V 1)P (B2|V 1) = 2
5
× 3
4
=
3
10
,
onde V 1 ="a primeira bola extraída é vermelha"e B2 ="a segunda bola extraída é branca".
As variáveis aleatórias X e Y não são independentes, pois
P (X = 2, Y = 0) = 0 6= 3
10
2
5
= P (X = 2)P (Y = 0).
(b) Cov(X,Y ) = E(XY )− EXEY = 9/10− (6/5)× (3/5) = 9/50, pois
EXY = 1× 1× 3/10 + 2× 1× 3/10 = 9/10.
EX = 1× 3/5 + 2× 1× 3/10 = 6/5.
EY = 1× 3/5 = 3/5.
 
Universidade Federal do Rio de Janeiro - UFRJ
1a Prova de Estat´ıstica Unificada
Turma: Engenharia Data: 10/10/2011
1. Sejam A e B dois eventos associados a um experimento. Suponha que P (A) = 0, 4 enquanto
P (A ∪B) = 0, 7. Seja P (B) = p.
(a) Para que valor de p, A e B sera˜o mutuamente exclusivos?
(b) Para que valor de p, A e B sera˜o independentes?
2. O nu´mero de pessoas que chegam a um determinado evento cultural e´ regido por um modelo de
Poisson com me´dia de 5 pessoas por minuto.
(a) Qual a probabilidade de chegarem no ma´ximo 2 pessoas em 1 minuto?
(b) Qual a probabilidade de chegarem exatamente 3 pessoas em 2 minutos?
Obs.: Para simplificar os seus ca´lculos, use nas contas os valores (aproximados) que constam na
tabela abaixo:
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
e−x 1 0,3678 0,1353 0,0497 0,0183 0,0067 0,0024 0,0009 0,0003 0,0001 4, 5× 10−5
3. Para que um sate´lite possa ser corretamente controlado, a distaˆncia entre ele e o alvo tem de ser
menor que 6, 6 pe´s. Neste caso considera-se que houve um sucesso. Admitindo que o alvo esta´
localizado na origem de um determinado eixo, a posic¸a˜o do sate´lite (em pe´s) ao longo desse eixo
se comporta segundo uma distribuic¸a˜o Normal com me´dia zero e desvio padra˜o igual a 4. Nessas
condic¸o˜es:
(a) Calcule a probabilidade de falha no controle do sate´lite.
(b) Quando 5 sate´lites sa˜o lanc¸ados, qual a probabilidade de se obter exatamente 3 sucessos?
Obs.: Para simplificar os seus ca´lculos,use apenas duas casas decimais nas probabilidades que foram
calculados no item (a).
4. Sejam as varia´veis aleato´rias X: nu´mero de acidentes durante a noite em determinada avenida e Y
tal que, Y = 0, se na˜o chove nesta noite; e Y = 1, se chove nesta noite. Na˜o ha´ registros de mais de
3 acidentes ocorrendo em apenas uma noite. A func¸a˜o de probabilidade conjunta de (X,Y ) e´ dada
na tabela a seguir:
HHHHHY
X
0 1 2 3
0 0,15 0,10 0,10 0,05
1 0,20 0,15 0,15 0,10
(a) Determine a probabilidade de ocorreˆncia de exatamente 2 acidentes nesta avenida amanha˜ a`
noite, supondo que chovera´ nesta mesma noite.
(b) X e Y sa˜o varia´veis aleato´rias independentes? Justifique.
5. Uma grande loja de produtos eletroˆnicos recebe toda semana de uma indu´stria fornecedora um lote
de 2500 determinadas pec¸as para revenda. E´ sabido que 10% das pec¸as produzidas pela indu´stria
fornecedora veˆm com pequenos defeitos. Para cada pec¸a defeituosa encontrada no lote, a loja recebe
R$ 0, 20 de indenizac¸a˜o do forncecedor.
(a) Quanto se espera que a loja receba de indenizac¸a˜o em 100 semanas?
(b) Qual a probabilidade de que a indenizac¸a˜o recebida pela loja neste mesmo per´ıodo de tempo
seja maior que R$ 4.970, 00?
Respostas
1. Considerando a igualdade P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B).
(a) Se A e B sa˜o mutuamente exclusivos enta˜o P (A ∩B) = 0. Logo,
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− 0 ⇒ p = P (B) = P (A ∪B)− P (A) = 0, 7− 0, 4 = 0, 3
(b) Agora, se A e B sa˜o independentes enta˜o P (A ∩B) = P (A)P (B). Logo,
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A)P (B) ⇒ p(1− 0, 4) = 0, 7− 0, 4 ⇒ p = 0, 3
0, 6
= 0, 5.
2. (a) Seja X o nu´mero de pessoas que chegam ao evento por minuto. Enta˜o X ∼ Poi(5).
P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2)
=
e−550
0!
+
e−551
1!
+
e−552
2!
= 0, 0067 + 0, 0337 + 0, 0842
= 0, 1246.
(b) Seja Y o nu´mero de pessoas que chegam ao evento em 2 minutos. Enta˜o Y ∼ Poi(10).
P (Y = 3) = pY (3) =
e−10103
3!
=
4, 5× 10−2
6
= 0, 0075.
3. Seja a varia´vel aleato´ria X: “posic¸a˜o do sate´lite lanc¸ado em relac¸a˜o ao eixo”, segundo enunciados
X ∼ N(0, 4).
(a) P (|X| > 6, 6) = P
(
|Z| > 6, 6
4
)
= P (|Z| > 1, 65) = 2(1− 0, 95) = 0, 10.
(b) Seja a varia´vel aleato´ria Y : “nu´mero de sucessos em 5 lanc¸amentos independentes de sate´lites.”
Como P (sucesso) = 1− P (fracasso) = 1− 0, 1 = 0, 9, temos que Y ∼ Bin(5; 0, 9). Portanto,
P (Y = 3) =
(
5
3
)
0, 930, 12 = 0, 0729.
4. (a) P (X = 2|Y = 1) = P (X = 2, Y = 1)
P (Y = 1)
=
0, 15
0, 20 + 0, 15 + 0, 15 + 0, 10
=
0, 15
0, 60
= 0, 25.
(b) Na˜o sa˜o independentes, pois ha´ ao menos um par (x, y) no qual p(x, y) 6= pX(x)pY (y). Por
exemplo, p(0, 0) = 0, 15 6= 0, 14 = pX(0)pY (0).
5. (a) Seja Xi o nu´mero de pec¸as com defeito em um lote. Assim, Xi ∼ Bin(2500; 0, 10), para
i = 1, 2, . . . , 100, e, portanto,
E(Xi) = 2500× 0, 10 = 250
V ar(Xi) = 2500× 0, 10× 0, 90 = 225.
Seja Yi o valor da indenizac¸a˜o por lote (em reais). Enta˜o Yi = 0, 2Xi, para i = 1, 2, . . . , 100,
e, portanto,
E(Yi) = 0, 2E(Xi)
= 0, 2× 250 = 50
V ar(Yi) = 0, 2
2 V ar(Xi)
= 0, 04× 225 = 9.
Seja S100 = Y1 + . . .+Y100 o valor da indenizac¸a˜o em 100 semanas. Utilizando as propriedades
da esperanc¸a,
E(S100) = E(Y1 + . . . + Y100)
= E(Y1) + . . . + E(Y100)
= 100× 50 = 5000.
Logo, o valor esperado e´ R$ 5.000, 00.
(b) Pelo Teorema Central do Limite, S100∼˙N(5000, 900). Assim,
P (S100 > 4970) = P
(
Z >
4970− 5000
30
)
= P (Z > −1)
= 1− Φ(−1)
= Φ(1) = 0, 8413.