Solução P1-PROBEST_2013-2

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P1 - Probabilidade e Estatística – 2013.2 
Dpto. Engenharia Elétrica, PUC-Rio. 
Professores: Reinaldo Castro Souza 
Alexandre Street 
Roxana Jimenez Contreras 
 
Problema 1 (1.6 pts) 
 
a) (0.4 pt) Se X é uma v.a. discreta, descreva o suporte (possíveis valores) de X para o caso 
das seguintes distribuições: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa e Poisson. 
SOLUÇÃO 
 
Bernoulli : x=0,1 
Binomial : x=0,1,...,n 
Geométrica : x=1,2,.... 
Binomial Negativa : x= r, r+1, r+2, .... 
Poisson: x= 0,1,.... 
 
 
b) (0.4 pt) Defina um experimento que caracterize uma variável aleatória Poisson. Dê um 
exemplo real. 
SOLUÇÃO 
 
DISTRIBUIUÇÃO POISSON – É uma variável aleatória discreta que modela número “n” de 
ocorrência de um evento raro, ou seja, a probabilidade de X = 0 ou X = 1 (pequeno 
número de ocorrências no intervalo de tempo especificado) é grande. 
 
EXEMPLO: BMW que entra em uma universidade pública em um período de 1 dia. 
 
 
c) (0.4 pt) Defina População e Amostra. Dê exemplo 
 
SOLUÇÃO 
 
 População = coleção de todos os elementos cujas características desejamos conhecer. 
Os elementos (ou "indivíduos") na população não são necessariamente pessoas! 
 Amostra = subconjunto da população cujas características serão medidas. A amostra 
será usada para descobrir características da população. 
Exemplos: 
População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro 
Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso) 
População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e 2002 
Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os sujeitos a “recall” das 
montadoras 
 
 
 
d) (0.4 pt) Prove: VAR (aX+b)= a2VAR(X) 
SOLUÇÃO 
 
VAR (ax+b) = a
2
VAR(x) 
 
VAR(ax+b) = E(ax+b)
2
 – E2(ax+b) 
 = E[(ax)
2
+2abx+b
2
]-[E(ax+b)]
2
 
 = E[(ax)
2
+2abx+b
2
]-[E(ax)+E(b)]
2
 
 = E[(ax)
2
+2abx+b
2
]-[E
2
(ax)+2.E(ax).E(b)+E
2
(b)] 
 = E[(ax)
2
]+2abE(x)+E(b
2
]-E
2
(ax)-2abE(x)-E
2
(b) 
 = E(ax)
2
-E
2
(ax) 
 = a
2 
VAR(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 2 ( 2.2 pts) A incidência de Câncer no pulmão causado pela poluição produzida na 
combustão de carvão é de 1 caso por 1000 da população. Como informação adicional, sabe-se 
que de cada 5 casos, 3 são suaves e 2 são crônicos. 
Um novo instrumento detector desta doença está sendo testado. Sabe-se que este aparelho 
detecta o câncer no estado crônico com certeza, detecta o câncer no estado suave com 
probabilidade de 0,6 e indica a presença da doença mesmo quando esta não existe com 
probabilidade de 0,01. 
Avalie o desempenho deste aparelho na detecção correta da existência desta doença (nos 
estados suave e crônico) num paciente. Comente os resultados. 
 
SOLUÇÃO 
 
Sejam os eventos: 
B1 – Câncer crônico 
B2 – Câncer suave 
B3 – Sem câncer 
A – Aparelho detectar o câncer 
 
Dado: 
1 caso / 1000 na população 
5 casos : - 3 suaves 
 - 2 crônicos 
 
Pr(B1) - 2/5000 = 0,0004 
Pr(B2) - 3/5000 = 0,0006 
Pr(B3) - 4995/5000 = 0,999 
 
 
 
 
 
Então: 
Evento: “A” Aparelho detectar o câncer 
 
A = [
  1BA  2BA
]
 3BA
 
Pr(A) = [
  1Pr BA  2Pr BA
]
 3Pr BA
 
Pr(A) = [ x Pr(
1B
) + x Pr(
2B
) ] + x Pr(
3B
) 
 
Pr(A) = [
 0004,01x
 
 0006,06,0 x
] 
 999,001,0 x
 
Pr(A)= 0,01075 = 1,075% 
 
 
 
 2|Pr BA 1|Pr BA  3|Pr BA
  1|Pr 1 BA
  6,0|Pr 2 BA
  01,0|Pr 3 BA
 
 
 
Obtem-se: 
 
 
 
 
 
- Câncer crônico (B1): 
 
 
- Câncer suave (B2): 
 
 
- Sem câncer (B3): 
 
Resposta: 
Dado que o teste é positivo e a probabilidade dele não ter a doença é muita alta (92,93%), 
então o aparelho não é bom, alarme falso em 92,93%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
   
   
   






 




k
j
k
j
RRS
RRS
RRS
SR
S
SR
SR
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
  %72,30372,0
01075,0
0004,01
|Pr 1 
x
AB
  %35,30335,0
01075,0
0006,06,0
|Pr 2 
x
AB
  %93,929293,0
01075,0
999,001,0
|Pr 3 
x
AB
 
 
Problema 3 ( 2.2 pts): 
Uma pessoa está viajando e pretende alugar um carro, esta pessoa viaja entre 60 e 140 km por 
dia. 
A distância (em Km) que ela irá percorrer diariamente é uma variável aleatória com 
densidades: 
 f(x) = 
3000
)25( x
 se 60≤x≤90 
 
 
4000
155 x
 se 90≤x≤140 
Existem duas opções de diárias de aluguel: 
1) Opção 1 : R$80,00 + R$0,35 por km rodado; 
2) Opção 2 : R$100,00 se rodar até 120 km e R$130,00 se rodar mais de 120 km num dia. 
Ache os valores esperados dos custos das opções 1 e 2 e diga qual das opções é mais vantajosa 
em média? 
 
SOLUÇÃO 
Seja C o custo diário de aluguel. 
 
Opção 1: R$80,00 + R$0,35 por km rodado 
 
C = 80 + 0,35X, 
então o custo esperado é: E(C) = 80 + 0,35 E(X) 
 
 
 
140
60
)(.)( dxxfxXE  




 





 
140
90
90
60
4000
155
3000
25
dx
x
xdx
x
x
 
    
140
90
2
90
60
2 155
4000
1
25
3000
1
dxxxdxxx
 
 













140
90
32
90
60
23
32
.155
4000
1
2
.25
33000
1 xxxx
 





































3
90
2
90
.155
3
140
2
140
.155
4000
1
2
60
.25
3
60
2
90
.25
3
90
3000
1 32322323
          750.38433,604333
4000
1
000.27750.141
3000
1
 
 
15,9390,5425,38 
 
 
Logo o custo da Opção 1: 
E(C) = 80 + (0,35 x 93,15) = R$112,60 
 
 
 
Opção 2: R$100,00 se rodar até 120 km e R$130,00 se rodar mais de 120 km num dia. 
 
 Para o cálculo do custo da opção 2, precisamos calcular Pr(60<X<120) e Pr(120<X<140), note 
que: 
 
Pr (60<X<120) = Pr (60<X<90) + Pr(90<X<120) 
 
Pr(60<X<120) =
 




 





 
120
90
90
60
4000
155
3000
25
dx
x
dx
x
 
 
    
120
90
90
60
155
4000
1
25
3000
1
dxxdxx
 













120
90
2
90
60
2
2
.155
4000
1
.25
23000
1 x
xx
x
 





































2
90
90.155
2
120
120.155
4000
1
60.25
2
60
90.25
2
90
3000
1 2222
    900.9400.11
4000
1
300800.1
3000
1
 
 
875,0375,05,0 
 
Pr (120<X<140) = 





 

140
120
.
4000
155
dx
x
 
  
140
120
155
4000
1
dxx
 







140
120
2
2
155
4000
1 x
x
 
 



















2
120
120.155
2
140
140.155
4000
1 22
  125,0400.11900.11
4000
1

 
 
Logo o custo da Opção 2: 
E(C) = 100(0,875) + 130(0,125) = 103,75 
 
Então: 
Opção 2 < opção 1, conclui-se que a Opção 2 é a mais econômica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema 4 (2.0 pts) Em um his.tórico de provas P1 de PROBEST sabe-se que 5% dos alunos 
faltam no dia da prova. O professor decide fazer a prova em uma sala aonde tem 57 lugares e 
a turma para fazer a prova é de 61 alunos. 
Qual a probabilidade de que não haverá lugar suficiente para todos os alunos? 
 
SOLUÇÃO 
 
X~BINOMIAL(n,p), sendo “p” a probabilidade de sucesso. 
Domínio de X = (0,n) 
 
 
 
 
Assim: 
 
X ~ BINOMIAL(n=61;p=0,95) 
Pr (x>57) = [(f(58)+f(59)+f(60)+f(61)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pr (x>57) = [(f(58)+f(59)+f(60)+f(61)] = 0,2296+0,2219+0,1405+0,0438 = 0,6358 = 63,58% 
 
 
 
Ou 
 
 
 
 
 
 
 
  nxpp
xnx
n
pp
x
n
xXxf xnxxnx ,...,2,1,0 para )1(
)!(!
!
)1(Pr)( 







 
  0,2296 )05,0(95,0
)!5861(!58
!61
)95,01(95,0
58
61
58Pr)58( 358)5861(58 







 Xf
  0,2219 )05,0(95,0
)!5961(!59
!61
)95,01(95,0
59
61
59Pr)59( 259)5961(59 







 Xf
  0,1405 )05,0(95,0
)!6061(!60
!61
)95,01(95,0
6061
60Pr)60( 160)6061(60 







 Xf
  0,0438 )05,0(95,0
)!6161(!61
!61
)95,01(95,0
61
61
61Pr)61( 061)6161(60 







 Xf
 
 
 
X ~ BINOMIAL(n=61;p=0,05) 
Pr (x<4) = [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pr (x<4) = F(3) = [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)] = (0,0438+0,1405+0,2219+0,2296) = 0,6358 = 63,58% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  0,0438 )95,0(05,0
)!061(!0
!61
)05,01(05,0
0
61
0Pr)0( 610)061(0 







 Xf
  0,1405 )95,0(05,0
)!161(!1
!61
)05,01(05,0
1
61
1Pr)1( 601)161(1 







 Xf
  0,2219 )95,0(05,0
)!261(!2
!61
)05,01(05,0
2
61
2Pr)2( 592)261(2 







 Xf
  0,2296 )95,0(05,0
)!361(!3
!61
)05,01(05,0
3
61
3Pr)3( 583)361(3 







 Xf
 
 
Problema 5 (2.0 pts) Tomou-se uma amostra de 55 alunos matriculados em PROBEST 2013-2, 
e, são mostrados a seguir as alturas destes alunos através dos quadros : estatística descritiva, 
diagrama de frequências e histograma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00% 
20,00% 
40,00% 
60,00% 
80,00% 
100,00% 
120,00% 
0 
5 
10 
15 
20 
≤1,57 (1,57 - 
1,63] 
(1,63 - 
1,69] 
(1,69 - 
1,75] 
(1,75 - 
1,81] 
(1,81 - 
1,87] 
>1,87 
Fr
e
q
ü
ê
n
ci
a 
Bloco 
Histograma 
Freqüência 
% cumulativo 
Diagrama de frequências 
Bloco Freqüência % cumulativo 
≤1,57 3 5,45% 
(1,57 - 1,63] 12 27,27% 
(1,63 - 1,69] 8 41,82% 
(1,69 - 1,75] 17 72,73% 
(1,75 - 1,81] 8 87,27% 
(1,81 - 1,87] 6 98,18% 
>1,87 1 100,00% 
Estatística descritiva (ALTURA-m) 
Média 1,71 
Erro padrão 0,012 
Mediana 1,70 
Moda 1,70 
Desvio padrão 0,088 
Variância da amostra 0,008 
Curtose -0,32 
Assimetria 0,22 
Intervalo 0,4 
Mínimo 1,53 
Máximo 1,93 
Soma 93,93 
Contagem 55 
Maior(1) 1,93 
Menor(1) 1,53 
Nível de confiança(95,0%) 0,0238 
 
 
Com relação aos quadros apresentados da amostra das alturas dos alunos, avalie as seguintes 
afirmações como Verdadeira (V) ou Falso(F): 
 
a) (0,2 pt) - 72,73 % dos alunos têm alturas menores ou iguais que 1,75m. 
 V (X ) ou F ( ) 
b) (0,2 pt) - 98,18% dos alunos têm alturas maiores que 1,81m. 
 V ( ) ou F (X) R: 2,82% 
c) (0,2 pt) - Pode-se dizer que a distribuição é simétrica. 
 V ( ) ou F (X) R: Assimétrica (0,22) 
d) (0,2 pt) - Podemos dizer que 12 alunos têm alturas menores ou iguais que 1,63m. 
 V ( ) ou F (X ) R.: 15 alunos 
e) (0,2 pt) - A assimetria 0,22 indica que existem mais alturas altas e menos alturas baixas. 
 V ( ) ou F (X ) R.: Média > Mediana, existem mais notas baixas. 
f) (0,2 pt) - Podemos dizer que a altura 1,71m é a que mais vezes acontecem. 
 V ( ) ou F (X) R: Moda (1,70) 
g) (0,2 pt) - O coeficiente de Variação conforme a estatística descritiva é igual a 0,0515. 
 V (X ) ou F ( ) R: 
 
 
h) (0,6 pt) - Construa o diagrama de Pareto desta amostra, montando em blocos 
conforme o quadro do diagrama de frequência (esboce frequência e % 
cumulativo). 
Bloco Freqüência % cumulativo Bloco Freqüência % cumulativo 
≤1,57 3 5,45% (1,69 - 1,75] 17 30,91% 
(1,57 - 1,63] 12 27,27% (1,57 - 1,63] 12 52,73% 
(1,63 - 1,69] 8 41,82% (1,63 - 1,69] 8 67,27% 
(1,69 - 1,75] 17 72,73% (1,75 - 1,81] 8 81,82% 
(1,75 - 1,81] 8 87,27% (1,81 - 1,87] 6 92,73% 
(1,81 - 1,87] 6 98,18% ≤1,57 3 98,18% 
>1,87 1 100,00% >1,87 1 100,00% 
 
X
S
CV  0515,0
71,1
088,0
CV
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0,00% 
20,00% 
40,00% 
60,00% 
80,00% 
100,00% 
120,00% 
0 
5 
10 
15 
20 
(1,69 - 
1,75] 
(1,57 - 
1,63] 
(1,63 - 
1,69] 
(1,75 - 
1,81] 
(1,81 - 
1,87] 
≤1,57 >1,87 
Fr
e
q
ü
ê
n
ci
a 
Bloco 
Diagrama de Pareto 
frequência 
% cumulativo 
 
 
FORMULÁRIO: 
 
TEOREMA DE BAYES: 
 
 
 
 
MÉDIA E VARIÂNCIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 = E (X2) - E(X)2 
 
 
 
SÉRIE GEOMÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 






0
32 1
1
1
.....1
k
k a
a
aaaa que desde 
 
 
   
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxxfx
dxxfx
XE
  
   
       
 
 discreta v.a.é X se Pr..
contínua v.a.é X se .
 xtodo xtodo








 



xXxuxfxu
dxxfxu
XuE
 
 
 
 
   
   
   






k
j
jj
ii
k
j
jj
ii
i
BBA
BBA
BBA
AB
A
AB
AB
11
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr|Pr
Pr
Pr
Pr
|Pr
  
   
       
2
22
2 2
todo x todo x
. se X contínua
( ) 
. .Pr se X discreta 
x f x dx
VAR X E X
x f x x X x

 
 




    
    


 
 
 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 
 
Distribuição Bernoulli 
Notação : X ~ Bernoulli(p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = p 
VAR(X) = p.q = p.(1-p) 
 
Distribuição Binomial 
Notação : X ~ Bin (n,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = n.p 
VAR(X) = n.p.q = n.p.( 1-p) 
 
Distribuição Geométrica 
Notação : X ~ Geom (p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = 1/p 
VAR(X) = q/p2 
 
Distribuição Binomial Negativa 
Notação : X ~ NegBin (r,p) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = r/p 
VAR(X) = r.q/p2 
 
Distribuição Poisson 
Notação : X ~ Poisson(μ) 
Função de probabilidade: 
Média e Variância: E(X) = μ 
VAR(X) = μ 
 
 
  1)Pr()( 1 xx ppxXxf 
  )1(Pr)( xnx pp
x
n
xXxf 






 .)Pr()( 1 pqxXxf x
 ..
1
1
)Pr()( rxr qp
r
x
xXxf 








 
!
)Pr()(
x
e
xXxf
x  
