2018-1 AP1-AI-Gabarito

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A´lgebra I
Soluc¸o˜es da AP1 - 2018.1
Questa˜o 1 [2,5 pontos] Seja Z o conjunto dos nu´meros inteiros. Dados a e b nu´meros
inteiros diremos que a ∼ b quando a− b for mu´ltiplo de 3. Mostre que a relac¸a˜o determinada
por ∼ em Z e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Soluc¸a˜o: Afim de mostrar que a relac¸a˜o e´ de equivaleˆncia precisamos mostrar que a relac¸a˜o
e´ reflexiva, sime´trica e transitiva.
Reflexividade: Temos para qualquer a nu´mero inteiro que a− a = 0 e zero e´ mu´ltiplo de 3.
Portanto, a ∼ a.
Simetria: Se a ∼ b, enta˜o 3 divide a− b, logo existe q ∈ Z tal que a− b = 3q. Multiplicando
por −1 temos que b− a = 3(−q), donde conclui-se que b ∼ a.
Transitividade: Se a ∼ b e b ∼ c, enta˜o existem q1 e q2 tais que a− b = 3q1 e b− c = 3q2. Se
somarmos estas duas igualdades teremos (a−b)+(b−c) = 3q1+3q2. Enta˜o, a−c = 3(q1+q2)
e consequentemente a ∼ c. Portanto a relac¸a˜o e´ transitiva.
Conclusa˜o: a relac¸a˜o ∼ e´ uma relac¸a˜o de equivaleˆncia.
Questa˜o 2 [2,5 pontos] Cada prisma obte´m-se empilhando cubos do mesmo tamanho,
brancos e cinzas, segundo uma regra sugerida na figura.
(a) (0,5 ponto) Justifique a afirmac¸a˜o: O nu´mero total de cubos cinzas necessa´rios para
construir qualquer prisma desta sequeˆncia e´ par?
(b) (0,5 pontos) Segundo o padra˜o por voceˆ observado, quantos cubos cinzas tera´ o prisma
200?
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(c) (1,5 pontos) Explicite uma expressa˜o nume´rica que permita determinar o nu´mero de
cubos cinzas do Prisma n em func¸a˜o de n, isto e´, uma expressa˜o que de forma geral
associe a ordem da figura a` quantidade de cubos cinzas em sua composic¸a˜o. Utilize o
Princ´ıpio de Induc¸a˜o para provar a validade da expressa˜o que voceˆ explicitou.
Soluc¸a˜o:
(a) (0,5 ponto) O nu´mero de cubos cinzas em qualquer um dos prismas da sequeˆncia sera´
sempre um mu´ltiplo de 4 e, portanto, um nu´mero par.
(b) (0,5 pontos) O prisma 200 tera´ 200× 4 = 800 cubos cinzas.
(c) (1,5 pontos) O prisma n tera´ n×4 cubos cinzas. Chamemos de C(n) = 4n a expressa˜o
que permite determinar o nu´mero de cubos cinzas no Prisma n. Provemos a validade
de tal expressa˜o por induc¸a˜o. De fato, para n = 1 temos que C(1) = 4, o que esta´ ok.
Como hipo´tese de induc¸a˜o admitamos que a expressa˜o seja va´lida para n = k, isto e´,
C(k) = 4k. Para n = k+1 teremos um Prisma, obtido a partir do anterior, pela adic¸a˜o
de 4 cubos cinzas. Portanto, C(k + 1) = 4k + 4 = 4(k + 1), mostrando a validade da
expressa˜o para o caso k + 1.
Questa˜o 3 [3,0 pontos] Determine se cada uma das afirmac¸o˜es abaixo e´ verdadeira ou
falsa. Prove as que julgar verdadeiras e apresente um contra-exemplo para as falsas:
(a) (1,0 ponto) Se I e J sa˜o ideais de Z, enta˜o I ∩ J e´ um ideal de Z;
(b) (1,0 ponto) Se a divide b enta˜o mmc(a; b) = b;
(c) (1,0 ponto) Se existem inteiros r e s tais que d = ra + sb, enta˜o d = mdc(a; b).
Soluc¸a˜o:
(a) Verdadeira
• Como I e J sa˜o ideais, enta˜o 0 ∈ I e 0 ∈ J e, portanto, 0 ∈ I ∩ J .
• Se x, y ∈ I ∩ J , enta˜o x, y ∈ I e x, y ∈ J . Como I e J sa˜o ideais, enta˜o (x− y) ∈ I e
(x− y) ∈ J e, portanto, (x− y) ∈ I ∩ J.
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• Se x ∈ I ∩ J , enta˜o x ∈ I e x ∈ J . Como I e J sa˜o ideais, enta˜o, para todo r ∈ Z,
rx ∈ I e rx ∈ J e, portanto, rx ∈ I ∩ J.
(b) Verdadeira
• Obviamente, b e´ mu´ltiplo de b, pois b = 1b. Por outro lado, como a divide b, existe um
inteiro q tal que b = qa, ou seja, b e´ mu´ltiplo de a.
• Seja M ′ um mu´ltiplo comum de a e b. Enta˜o, tem-se diretamente que M ′ e´ mu´ltiplo
de b.
Conclusa˜o: b = mmc(a, b).
(c) Falso.
10 = 2 · 15 + (−1) · 20 e mdc(15, 20) = 5 6= 10.
Questa˜o 4 [2,0 pontos] Prove que o conjunto dos nu´meros primos e´ infinito.
Soluc¸a˜o: Esse resultado foi demonstrado na Aula 8 do material dida´tico da disciplina, na
pa´gina 17. Ha´ tambe´m um v´ıdeo sobre a demonstrac¸a˜o desse resultado na plataforma.
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