Matematica ITA - Vol 2

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Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
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Volume 2
Indução Matemática e Teoria 
Elementar dos Números
Tópicos de Matemática
IME-ITA-Olimpíadas
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TÓPICOS DE MATEMÁTICA
Olimpíadas - ITA- IME
Volume 02
Indução Matemática e Teoria Elementar dos Números
i
Carlos A. Gomes 
José Maria Gomes
Os autores
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
O professor Carlos A. Gomes é Bacharel e Mestre em Matemática pela UFRN, na 
área de probabilidade, além de vários cursos realizados em várias instituições de 
ensino superior no Brasil, como UFPE, UFPB, IMPA-RJ, é professor do DMAT- 
UFRN, além a sua larga experiência em turmas de cursinhos pré-vestibulares nas 
disciplinas de Física e Matemática tendo passado pelas mais reconhecidas 
instituições deste nivel de ensino ,em Natal/RN e João Pessoa/PB, tais como 
Colégio e Curso Contemporâneo, CDF Colégio e Curso, CEI, Hipócrates Colégio e 
Curso, Objetivo vestibulares. Anglo vestibulares, entre outras. É membro da SBM - 
Sociedade Brasileira de Matemática, é autor de vários artigos sobre Matemática 
elementar em publicações especializadas como a RPM e Eureka e nos últimos 
anos tem se dedicado e se especializado nas olimpíadas de Matemática.
O professor José Maria Gomes é Licenciado em Matemática pela UFRN e possui 
uma larga experiência em turmas de pré-vestibulares tendo passado pelas mais 
reconhecidas instituições deste nivel de ensino, em Natal/RN, tais como Colégio e 
Curso Contemporâneo. CDF Colégio e Curso, CIC, Maristela, entre outras. Nos 
últimos tempos têm se dedicado as olimpíadas de Matemática, treinando, 
orientando alunos e elaborando materiais didáticos para este propósito.
■
Apresentação
Nossa coleção se divide em 6 volumes, a saber:
Volume 01 - produtos notáveis, fatorações e desigualdades.
Volume 02 - indução matemática e teoria elementar dos números.
Volume 03 - geometria e trigometria.
Volume 04 - funções, equações funcionais, sequências e séries.
Volume 05 - combinatória e probabilidade.
Volume 06 - números complexos, polinômios e equações algébricas.
Nos últimos anos, tem sido evidente, pelo Brasil afora, o crescimento do 
número de jovens que almejam conseguir uma vaga nas excepcionais escolas 
superiores militares do ITA e do IME. Adicionalmente, é fato o enorme crescimento do 
movimento das olimpíadas de Matemática em todo o mundo e em particular no 
Brasil.
A SBM - Sociedade Brasileira de Matemática organiza desde 1979 a OBM - 
Olimpíada Brasileira de Matemática e mais recentemente o governo federal lançou 
a OBMEP - Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas, programa 
que teve na sua última versão a participação de mais de 17 milhões de alunos nos 
quatro cantos do nosso pais. Neste contexto é bastante natural que surja a 
necessidade da elaboração de materiais escritos na nossa língua portuguesa que 
sirvam de apoio para a preparação dos alunos para estas competições.
Nos últimos anos a revista EUREKA, publicada pela SBM, vem trazendo artigos, 
provas anteriores e problemas propostos resolvidos. Além disso, foi colocado no ar 
o excelente site da OBMEP, entre muitos outros, onde são encontrados bancos de 
questões, livros, provas, enfim, muitos materiais de excelente qualidade que com 
certeza têm auxiliado muitos alunos nas suas preparações para as competições 
acima citadas.
Assim, vemos que o número de publicações direcionadas para esse tema vem 
crescendo, apesar de ainda ser muito pequeno no nosso país. Dentro deste 
panorama, nós autores resolvemos criar a coleção "'TÓPICOS DE MATEMATICA 
- OLIMPÍADAS - ITA - IME" que consiste numa coleção de livros com resumos 
teóricos que apresentam um nível adequado e muitos problemas resolvidos que 
foram compilados ao longo de vários anos em revistas, provas, artigos e diversos 
livros consultados pelos autores
A idéia central do nosso trabalho é produzir uma obra que concentre num só lugar 
vários problemas clássicos e interessantes e suas respectivas soluções 
detalhadas, um material precioso ao qual um aluno iniciante de outra forma só teria 
acesso caso consultasse vánas fontes relacionadas. Nossa obra surge, portanto, 
como uma excelente ferramenta que permite ao aluno iniciante obter um grande 
salto de conhecimento num curto intervalo de tempo.
Carlos A. Gomes.
José Maria Gomes.
Natal/RN, 04 de Maio de 2012
Por fim, gostaríamos de agradecer ao professor Renato Brito, diretor da editora 
Vestseller, pelo acolhimento do nosso projeto e aproveitar a oportunidade de 
parabenizá-lo tanto pela iniciativa de publicar novas obras quanto por reeditar 
obras antigas cujo acesso estava cada vez mais raras para a presente e a futura 
geração atual de alunos com aptidão natural para Ciências Exatas e aqueles que 
procuram obter vagas para as respeitadas instituições militares onde se destacam 
olMEeolTA.
Os leitores que quiserem fazer contato com os autores para criticas, sugestões bem 
para comunicar alguma errata eventualmente encontrada na presente obra, podem 
fazê-lo pelo email cgomesmat@yahoo.com.br
mailto:cgomesmat@yahoo.com.br
Prefácio
Prof. Renato Brito
Fortaleza, 09 de Maio de 2012
A Editora VestSeller tem o prazer de lançar no mercado brasileiro mais 
uma excelente coleção de Matemática para o segmento de preparação para os 
vestibulares IME ITA, bem como para as Olimpíadas de Ciências exatas nacionais 
e internacionais.
Os autores fazem mágica com a Matemática e mostram na presente obra 
todo um mundo de possibilidades para resolução de problemas aparentemente 
terríveis fazendo uso de ferramentas elementares como Indução e Teoria dos 
Números. É de tirar o fôlego a cada página!
Com didática admirável e notável capacidade de síntese, a presente obra 
fornece aos alunos uma grande quantidade de problemas clássicos de Matemática 
Elementar de alto nível, complementados, ao final do livro, com as resoluções 
detalhadas de todos os problemas, o que é permite um estudo eficaz e produtivo 
em especial para os leitores autodidatas.
Com essa excelente obra, a VestSeller tem a certeza de estar mais uma 
vez estar dando uma notável contribuição para a melhoria do nível e da qualidade 
dos livros de Matemática disponíveis para estudantes e professores em todo Brasil.
Com sua vasta experiência no ramo, os professores Carlos Gomes e José 
Maria Gomes presenteiam os estudantes e professores brasileiros com uma obra 
prima que permite a qualquer leitor obter um grande salto de conhecimento na 
Matemática Elementar um curto intervalo de tempo.
Dedicatória
Dedicamos este trabalho a dois grandes amigos e colaboradores
Os professores Benedito Tadeu V. Freire e Paulo de Sousa Sobrinho (Paulinho)
Carlos A. Gomes
José Maria Gomes
índice
Capítulo 1. Resumo Teórico 13
Capitulo 2. Questões 25
Capitulo 3. Resoluções. 49
Apêndice - Princípio da Boa Ordenação e Indução 187
Referências Bibliográficas 192
Questões de Indução.......................................
Questões de Teoria Elementar dos Números
..51
120
189
189
189
27
38
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1
2
1
2
15
15
15
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
18
18
18
19
21
24
Resoluções das Questões de Indução......................................
Resoluções das Questões de Teoria Elementar dos Números
I — Principio da Boa Ordenação (PBO).................
II — Primeira forma do Principio da Indução Finita.
II — Segundo Principio da Indução Finita..............
Principio da Boa Ordenação (PBO)..................................
Principio da Indução Finita (PIF) - Primeira Forma........
Segunda Forma do Principio da Indução Finita.............
Conjunto dos números naturais.........................................
Conjunto dos números inteiros..........................................
Divisibilidade ... ......... ................................................ 
Propriedades Básicas da Divisão.....................................
Algoritmo da Divisão..........................................................
O Máximo Divisor Comum (MDC)...................................
OMínimo Múltiplo Comum (MMC)...................................
Lema de Bézout.................................................................
Números primos.................................................................
Teorema fundamental da aritmética.................................
Quantidade de divisores naturais de um número inteiro 
Equações diofantinas lineares...........................................
Bases....................................................................................
Critérios de divisibilidade...................................................
Congruências......................................................................
A Função de Euler..............................................................
Capítulo 1
Resumo Teórico
1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 15
RESUMO TEÓRICO - INDUÇÃO MATEMÁTICA
1. PRINCÍPIO DA BOA ORDENAÇÃO (PBO)
(conjunto dos naturais) possui um
2. PRIMEIRA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA (PIF)
Seja P(n) uma propriedade relativa aos números inteiros.
Hipóteses:
I. p(n) é verdadeira para n = 1;
II. p(k) ser verdadeira implica que p(k + 1) também é verdadeira;
Tese:
Então p(n) é verdadeira para todo inteiro n > 1.
1) é
3. SEGUNDA FORMA DO PRINCÍPIO DA INDUÇÃO FINITA
Seja P(n) uma propriedade relativa aos números inteiros.
Hipóteses:
Tese:
Então p(n) é verdadeira para todo inteiro n > 1.
III. p(n) é verdadeira para n = 1;
IV. p(n) ser verdadeira para 1 < n < k implica que p(k + 1) também é verdadeira;
Para aplicarmos a primeira forma do Princípio da Indução Matemática, 
devemos seguir os passos abaixo:
I. Passo inicial verificar se p(n) é verdadeira para n = 1.
II. Assumir p(k) verdadeira, hipótese da indução, e provar que p(k 
verdadeira.
III. Sendo verificados os itens (I) e (II), concluir que p(n) é válida para 
Vní1.
Todo subconjunto não vazio de N 
elemento mínimo.
Capitulo 1 - Questões16
TEORIA ELEMENTAR DOS NÚMEROS
1. CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
2. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS
3. DIVISIBILIDADE
Se a. b e c são números inteiros, valem as seguintes propriedades:
5. ALGORITMO DA DIVISÃO
6. O MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC).
Dados dois inteiros a e b, dizemos que a divide b (ou que b é divisível por a) 
jando existe um inteiro c tal que b = a ■ c .
I. PROPRIEDADES BÁSICAS DA DIVISÃO
São os números da forma'
Z = {-2, -1.0,1, 2,...}
Dados dois números inteiros n e d, com d > 0, existem dois números inteiros 
q e r tais que n = q.d + r, com 0 < r < d. Além disso, os números q e r são únicos, 
para cada par de números n e d dados
(1) Se a * 0. então a divide a e a divide 0.
(2) Para qualquer a, 1 divide a.
(3) Se a divide b e a divide c, então a divide bm + cn, para todo m e n inteiros.
(4) Se a divide b e b divide c, então a divide c.
(5) Se a > 0 e b > 0, a divide b e b divide a, então a = b.
(6) Se a > 0, b > 0 e a divide b, então a < b.
É comum fazer uso da seguinte notação para dizer que um inteiro a divide o 
inteiro b: a | b.
Se a não divide b, notamos afb.
São os números da forma:
H = (1, 2, 3. 4....}
Note que como nos livros de Análise Real, optamos por não considerar o zero 
como natural.
O Máximo Divisor Comum de dois inteiros a e b, que notaremos por 
mdc(a, b), é um inteiro d maior do que 0, tal que:
I. d divide a e d divide b (Isto é, d é um divisor comum);
17Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
8. LEMA DE BÉZOUT
Observação:
9. NÚMEROS PRIMOS
10. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA
Se a e b são inteiros não nulos tais que mdc(a, b) = d. então existem inteiros 
x e y tais que ax + by = d..
Um número natural p é primo quando p > 1 e os únicos divisores naturais de 
p são o 1 e o próprio p. Segundo um teorema bastante antigo (devido a Eudides). 
existem infinitos números pnmos.
Pode-se demonstrar que, para quaisquer números naturais a e b, vale a 
relação:
O Teorema Fundamental da Aritmética coloca em evidência o papel dos 
números primos na estrutura dos inteiros. Ele nos assegura que um número natural 
sempre pode ser expresso como um produto de números primos de modo único, a 
menos da ordem desses fatores primos
2) Se um número primo p divide o produto de dois números naturais a b. 
então p divide a ou p divide b (Lema de Euclides).
II. se existe um inteiro c maior do que 0. tal que c | a e c | b. então, c < d 
(isto é, d é o maior divisor comum)
1) Quando mdc(a. b) = 1, os números a e b são chamados de primos entre 
si, relativamente primos ou ainda de co-primos. Pode-se demonstrar que 
inteiros a e b não nulos são relativamente primos se. e somente se. 
existem x e y inteiros tais que ax + by = 1.
mdc(a, b)
7. O MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)
Chamamos m de Mínimo Múltiplo Comum de a e b, e notamos por 
m = MMC(a, b) se e somente se:
I. m é um inteiro positivo;
II. a | m e b | m (ou seja, m é um múltiplo comum de a e b);
III Se n é um múltiplo de a e b, então n > m (m é o menor múltiplo comum).
x mmc(a, b) = axb
Capitulo 1 - Questões18
DE
Se n é um número inteiro maior do que 1 e
ax + by = c. com a, b, c constantes e a, b, c e Z.
Pode-se demonstrar que:
t, com t um número inteiro.x = x0 +
13. BASES
...+c3a3 +c2a2 +c,a + c0
Q(n) = (ai+1)(a2+1)(a3 + 1)-...-(ak+1).
Por exemplo. 200 = 23 • 52, portanto, número de divisores naturais de 200 é
Q(200) = (3 + 1) (2 + 1) = 4 3 = 12
12. EQUAÇÕES DIOFANTINAS LINEARES
As soluções de uma equação diofantma desse tipo são dois inteiros x0, y0, 
tais que ax0 + by0 = c.
Denomina-se equações diofantinas as equações com coeficientes inteiros e 
com uma ou mais incógnitas a serem procuradas no conjunto dos números inteiros. 
As mais simples são as equações diofantinas lineares:
O nome dessas equações é em homenagem a Diofanto, que iniciou estudos 
no sentido de resolvê-las e que tomamos conhecimento através de Os Elementos, 
de Euclides. Diofanto viveu em Alexandria por volta de 250 depois de Cristo.
Dados os números naturais mea, com a > 1, existe uma expansão do 
número m na base a Isto é, existem inteiros não negativos Cn, Cn-i,..., Cj, Ci, Co, 
todos menores do que a, univocamente determinados, tais que:
m = cnan+cn_1a'
11. QUANTIDADE 
INTEIRO
Se xo. y0 é uma solução particular da equação diofantina ax + by = c, então 
todas as soluções desta equação são dadas por:
(;)■ ‘
n = p®1 -P22...pkk , onde 
p^ p2 pk são números primos com p.| <p2 <....<pk então pode-se 
demonstrar que a quantidade de divisores naturais de n é igual a
DIVISORES NATURAIS DE UM NÚMERO
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 19
14. CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
a) Divisibilidade por 2
b) Divisibilidade por 3
c) Divisibilidade por 4
d) Divisibilidade por 5
e) Divisibilidade por 6
Um número natural K é divisível por 5 se, e só se, na sua representação na 
base 10, o digito das unidades for 0 ou 5.
Um número natural K é divisível por 2 se. e só se, na sua representação na 
base 10. seu algarismo das unidades é divisível por 2. Ou seja, um número natural 
K é divisível por 2 se, e somente se, na sua representação na base 10, termina em 
0, 2, 4, 6 ou 8.
A expansão acima é chamada a expansão do número m relativo á base a e 
(coCi c2... G,) (a) é a representação de m na base a.
Um número natural K é divisível por 4 se. e somente se. na sua 
representação na base 10. o número formado pelos dois últimos dígitos forma um 
número divisível por 4.
Um número natural K é divisível por 6 se. e somente se, 
representação na base 10. for divisível simultaneamente por 2 e por 3.
Um número natural K é divisível por 3 se. e somente se. na sua 
representação na base 10, a soma de seus dígitos for um número divisível por 3
Olhando somente para os números na base 10. existem vários critérios de 
divisibilidade. isto é, vários testes que permitem saber se um número natural é 
divisível por outro sem efetuar a divisão Esse estudo será mais completo com a 
noção de congruência Como esse conceito não é normalmente estudado no 
Ensino Médio, pretendemos adiantar alguns critérios de divisibilidade quepossam 
ser provados facilmente sem o uso de congruêncías. Assim, a seguir vamos 
estudar os critérios de divisibilidade mais comuns.
m = cnan + cn_1an 1+...+ c3a3 + c2 a2 + cra + c0
na sua
Capitulo 1 - Questões20
f) Divisibilidade por 7
Seja K um número natural, cuja representação na base 10 é:
K = cn10n + cn_l10n-1 + ...+ c3103
c0
Enunciamos a seguir o teste de divisibilidade por 7:
5K = 5(10M + c0) = 50M + 5c0 = 49M + M + 5c0.
Antes de enunciar o critério de divisibilidade por 7, vamos fazer algumas 
considerações.
Agora, olhemos para a representação decimal de K como sendo a soma de 
duas parcelas:
Portanto. M + 5cq=5K-49M é um múltiplo de 7, por se tratar de uma 
diferença entre dois múltiplos de 7.
Portanto, K = 10(M + 5c0)-49c0 é um múltiplo de 7, por ser a diferença 
entre dois múltiplos de 7.
Um número natural K = 1OM + co é divisível por 7 se, e somente se, o número: 
natural M + 5cq for divisível por 7. j
Provemos a ida: de fato, se K = 10M + c0 for divisível por 7, então, 
5K = 5(10M + c0) também é divisível por 7. Mas, podemos escrever:
+ ...+ C3IO2+c210 + Ci, pode-
+ c2102 + c,10i-c0
K = 10(cn10n-1+cn_110n-2+... + C3IO2+C210 + C,) +
Provemos a volta: se M + 5.co for um múltiplo de 7, então, 10(M + 5cq) é um 
múltiplo de 7. Mas, 1O(M + 5co) = 10M +5Oco = 49c0 + (10M+ c0) = 49c0 + K.
com Cn, Cn.1, ..., Cj.Cj.c, Co inteiros não negativos, todos menores que 10.
Chamando M = cn_-|10n 1 + cn_ -|10n 2 
mosescreverK como sendo K = 1OM + co.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 21
g) Divisibilidade por 8
h) Divisibilidade por 9
i) Divisibilidade por 10
j) Divisibilidade por 11
15.CONGRUÉNCIAS
Teorema
Propriedades básicas das congruèncias
I. asa (mod m) (Reflexiva)
II. Se a s b (mod m), então b = a (mod m) (Simétrica)
Uma propriedade muito útil, que decorre imediatamente da definição de 
congruência, é a seguinte'
Se a, b, c e d são inteiros quaisquer e m é um inteiro maior do que 0. são 
verdadeiras as seguintes propriedades:
Dizer que as b (mod m) é equivalente a dizer que a e b deixam o mesmo 
resto na divisão por n.
Um número natural K é divisível por 9 se, e somente se. na sua 
representação na base 10, a soma de seus dígitos for um número divisível por 9.
Um número natural K é divisível por 8 se. e somente se. na sua 
representação na base 10. o número formado pelos seus três últimos algansmos 
for divisível por 8.
Se a, b e m são três números inteiros com m > 0. dizemos que a é cóngruo 
a b módulo m se m | a - b. Simbolicamente, escrevemos:
a = b(mod m) o a-b = mk, sendo k um número inteiro.
Um número natural K é divisível por 11 se. e somente se, na sua 
representação na base 10, a soma de seus dígitos nas posições pares menos a 
soma dos dígitos nas posições impares é um número divisível por 11.
Um número natural K é divisível por 10 se. e somente se. na sua 
representação na base 10, é divisível simultaneamente por 2 e por 5. Também 
podemos dizer que um número natural K é divisível por 10 se, e somente se. na 
sua representação na base 10, o algarismo das unidades for zero.
Capítulo 1 - Questões22
Resolução de uma Congruência Linear
Teorema
Exemplo resolvido:
Resolva a congruência linear 3x a 1 (mod 10) .
Adicionalmente, qualquer outra solução x da congruência linear ax e b (mod m) 
será congruente módulo m a exatamente um dos números acima.
Resolução:
Nesse caso mdc(3, 10) = 1. Ora, como 1|2, segue que a congruência linear 
3x a1(mod10) possui solução única módulo 10 (lembre-se que a quantidade de 
soluções distintas é sempre igual a d, que no caso é igual a 1).
Assim se Xo for uma solução então qualquer outra solução x será tal que 
x e xo(mod10). No caso da congruência 3x =1 (mod 10) , note que x = -3 é uma 
solução, pois 3.(-3) - 1 = -10, que é divisível por 10.
III. Se asb (mod m) e bsc(mod m), então, a a c(mod m) (Transitiva)
IV. Se a s b (mod m) e c a d (mod m), então, a + c a b + d(mod m) (Adição)
V. Se a = b (mod m) e c a d (mod m), então, a - c a b - d (mod m) (Subtração)
VI. Se a s b (mod m) e c é um inteiro, então, a ■ c = b c (multiplicação)
VII. Se a a b (mod m) e c a d (mod m), então, a c a b d (mod m) (Produto)
VIII Se a a b (mod m) e k é um inteiro positivo, então, aR = b* (mod m) 
(Potênciação)
IX Se a + c a b + c (mod m), então, a a b (mod m) (Cancelamento para a 
adição)
A congruência linear ax a b (mod m) admite solução se. e somente se. d 
ivide b, onde d = MDC(a, m). Além disso, se d divide b. então, a congruência 
.Idmite d soluções mutuamente incongruentes módulo n. Além disso, se x0 é uma 
solução (particular) da congruência ax0 a b (mod m), então as outras d soluções 
(incongruentes entre si módulo m) são:
Tópicos de Matemática-Olimpíadas-IME-ITA 23
O Teorema Chinês dos Restos
é uma solução (particular) da congruênciaonde Nj X,e
Nl
Demonstração
a2N2x2 + a3N3x3 +x = a-iN-jXj
De fato, basta observar que:
a2 N2 X2 + a3N3x3 + —+ akNkxk = ar.Nr.xr(modnr)(ii) x = a1.N-|.x1
Sejam n,, n2,n3 nk números inteiros positivos tais que MDC(n,. n,) = 1, 
para i # j. O sistema de congruéncias lineares
(iii) Como escolhemos xr satisfazendo Nr • x = 1 (mod nr), temos, necessariamente, 
x = ar -1 s ar(modnr)
x = ai(modn-|)
x e a2 (modn2)
x s ak(modnk)
exceto o nr, isto é. N, =
Seja n = ni-n2-n3....nk. Para cada r = 1. 2, 3... . k. seja N, o produto de todos os n, 
—■ = ni-n2*n3....nr.vnr*i...nk. Como mdc(n,. nt) = 1. a 
Ir
congruência Nr ■ x s 1 (mod nr) admite uma única solução, que chamaremos de xr. 
pois mdc(Nr, nr) = 1, e divide 1. A solução do sistema será:
+ akNkxk
admite uma solução simultânea, que é única módulo o inteiro n = m n2 r 
ou seja, se Xo é uma solução (particular) do sistema acima, qualquer 
solução x é tal que x sx0 (modn-| n2-...nk). Adicionalmente, uma s 
particular x0 do sistema pode ser obtida por x0 = M^x-j-i-N2a2x2+...-Nko,
_ n1 n2 - nk 
nj
x 3 l(modnj), com 1 < j <k.
(i) N, = 0 (mod nr), para i * r, pois nr divide N,
Portanto, qualquer outra solução x da congruência 3xs1(mod10) é tal que 
x = -3(mod10).
Capitulo 1 - Questões24
Teorema (Pequeno Teorema de Fermat)
Se p é um número primo e a é um inteiro que não é divisível por p, então.
= 1 (mod p)
16. A FUNÇÃO <p DE EULER
N, tal que n e N<l> : N
Teorema
Para n natural, <p(n) , onde n
é a decomposição de n em fatores primos.
Teorema (Teorema de Euler)
Sejam n e a inteiros positivos primos entre si. Então c’!“’=l(modn).
Teorema de Wilson
Se p é um número primo, então (p-1)1 h -1(modp).
Dado um número natural n, a função <p de Euler é uma função <p : N -» N tal que 
ip(n) é a quantidade de números naturais menores ou iguais a n que são 
relativamente primos com n.
<p(n) = a quantidade de números naturais k < n, tais que k e n são primos 
entre si.
Resta-nos mostrar que a solução é única módulo n = n1n2n3...ni<. Suponha 
que exista outra solução x'. Isto é x $ ar(modnr) = x', para r = 1, 2, 3 k. Assim, 
nr divide x-x', para cada valor de R. Como MDC(n,, n,) = 1, temos, 
obrigatoriamente, que n = nv^ na . nu divide x-x'. Portanto, xsx'(modn), o que 
conclui a prova do Teorema Chinês de Restos.
■■HH).. ( i-APk.
...PK^
P2a2-Pt31-
ap-’
Capítulo 2
Questões
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 27
QUESTÕES
I. Indução
1)
2)
igual a
3)
+ n n!
4)
5) é divisível por 133. qualquer que
6)
7) Uk+i = 3-Uk - 2Uk_1 para todo
número natural k, então Un=2n+1..
8) Vn>1. neli
Para n > 5, n e N, mostre que 2n > n29)
10)
11)
12)
n
2n + l’
1
3-5
1
5-7
Demonstrar que a soma dos cubos de três números consecutivos quaisquer é 
sempre divisível por 9
_1_
2n
1 
(2n-1)(2n + 1)
Demonstrar que a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é 
n(n +1) ■ (2n +1) 
6
n(n + 1)
2
n(n 1-1)
2
O produto 1-2-3-.. n indica-se com n1 (Lê-se fatorial de n) Convém memorizar 
que 11 = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24 e 5! = 120. Calcule a soma abaixo:
Sn = 1-1! + 2-2! + 3-3! +
Demonstrar que a soma An = 11n+2 + 122n*' 
seja o número inteiro n > 0.
Mostre que n2-3n + 4 é umnúmero inteiro para todo inteiro n.
Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a
13
> — para todo n natural, n > 1.24
n . 1Demonstrar que — +
Mostre que 21 (n2 + n), tf n e N.
_ 11Demonstrar que----- +-------+
n+1 n+1
Demonstrar que, se Uo = 2, U-|=3 e
Demonstrar que Sn = 12 -22 +32 -42 + ... + (-1)n-1 ■ n2 = (-l)n"1
Capitulo 2 - Questões28
1-2 + 2-3 + 34 + ... + (n-1)-n =
.. + n(n + 1) (n + 2) =12 3 + 23 4 + 3-4-5
20) Demonstrar que
Se U, = e U; =
para todo número k > 2, então Un -
n
4n + 1
n
3n + 1
n
a (a +n)
a3-P3
a3-p3
a2~p2 
a2-p2
an+1-pn+1 
a-p
a*p ese = (u +p)-U)(_i - ap.U|(_2
14) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação: 
(n-1)-n(n + 1) 
3
n(n + 1) 
2 (2n + 1)
19) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
1 1 1 ______ 1
a (a + 1) + (a + 1)-(a + 2)+ (a + 2) (a + 3)+ " + (a + n + 1)-(a + n)
15) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
n(n + 1)-(n + 2)-(n-r3)
4
13) Demonstrar que a soma dos cubos dos n primeiros números naturais é igual a 
|2
18) Demonstrar que. para qualquer n natural, vale a relação:
1 1 1 1
1-5 + 5-9 + 9-13+"'+(4n-3)-(4n + 1)
I n(n + 1)
16) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
12 22 + 32 + n2
1-3 + 3 5 + 5-7 +" + (2n-1)■ (2n + 1)
17) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
1 1 1 1
1-4 + 4-7 7-10 (3n-2)-(3n + 1)
29Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME -ITA
21) Para que valores naturais de n se verifica a desigualdade 2n>2n + 1?
22) Demonstrar que para qualquer natural n a 2 vale a relação:
4n23) Demonstrar que------< -—para todo número natural n > 1.
n + 1 (nll2
26) Demonstrar que se a-| =cos0, 32 =cos(20) e ak —2cos 6■3k_ i — ak _ 2
para todo k > 2, então an = cos n0
sen
29) Demonstrar que, Vn e N:
senx+ 2sen2x + 3sen3x +... + n.sen(nx) =
nx ■sen.— 
2
1 1 1
Vi + -J2 +" + Vn
(n + 1)sen(nx) - nsen(n + 1)x
4 sen2-
2
— + cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx 2
28) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
(2n + 1)x
2
2sen-
2
24) Demonstrar que. qualquer que seja x > 0 e qualquer que seja o número 
natural n, se verifica desigualdade
xn +xn-2 + xn-4+...+——r + —-Í-X-+— >n + 1
xn-4 xn-2 xn
27) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação: 
n + 1 sen------- x
senx + sen2x + sen3x + .. + senx =---------------x sen — 
2
25) Demonstrar que, para qualquer n natural, vale a relação:
„ . _n sen2n + 1acos a • cos 2 a ■ cos 4a •... • cos 2 a = —:---2n + qsena
(2n)l
(n!)‘
Capitulo 2 - Questões30
30) Demonstrar que. Vn e N:
cosx + 2cos2x + 3cos3x .+ ncosnx =
= arctg2 + arctg- + arctg— + arctg—
33) Demonstrar que, VneN :
34) Demonstrar que. VneN:
35) Demonstrar que (cosx+ i senx)n = cos(nx)+sen(nx) para todo n natural.
38) Demonstre que, VneN, vale a relação 13 +23+ 33 +... + n3
39) Demonstre que, VneN, 61 n(n + 1)(n + 2)
40) Demonstre que, VneN, 3|(n3 + 2n)
n_4
4
32) Demonstrar que, Vn e N:
arccotg3 + arccotgõ + arccotg7 + arccotg9 + ...+ arccotg(2n + 1) =
345 n+1
= arctg2 + arctg- + arctg- + arctg— + arctg--------- n arctgl
2 3 4 n
36) Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para o cinema. 
A primeira pessoa da fila é uma mulher e a última é um homem. Mostre que, 
em algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um 
homem.
37) Mostre que. para qualquer natural n, existem números inteiro x, y e z tais 
que x2 +y2 = zn.
,n rx ( nn nu)(1 + i) = V2 - cos— + isen —
V 4 4 )
(x/3-i)n = 2Ícos^ + isen^p
(n + 1)cosnx-ncos(n + 1)x-1
4 sen2 -
2
rçtg- + -j-tg-x- + 
2 2 22 22
31) Demonstrar que (para os valores de x em que a expressão está definida).
1,x 1.x 1.x 1 , x
-tg- + —x-tg-Tr +...+ —tg— = —cotg— - cotgx 2 a2 22 22 2n 2n 2n 2n
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 31
41) Demonstre que
n + 1, VneN.
42) Mostre que 2n > n +1, Vne N.
44) Mostre que 81 (3'
45) Mostre que
Vn á 0, n inteiro.2 + 5 + 8 + .,. + (2 + 3n) =
VneN
47) Para n > 0, mostre que an = 2n3 - 3n2 + n é um número divisível por 6.
49) Para n > 0 , mostre an = 7n-1 é um número divisível por 6.
50) Para n á 0 , mostre que an = 2‘
51) Para n > 0, n
(n + 1)-(4 + 3n)
2
e Z , mostre que an = 7n +2 é um número divisível por 3.
43) Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono 
convexo de n lados é Sn = (n-2)-180°.
48) Mostre que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados vale
(n-3) n
2
52) No longínquo país do Esquisitistão, a moeda local é o "esquisitis". Nesse pais, 
um banco tem uma quantidade ilimitada de cédulas de 3 e 5 esquisitis. Prove 
que o banco pode pagar uma quantidade qualquer (inteira) de esquisitis, 
maior do que 7.
46) Demonstre que
2° + 21 + 22+... + 2n-1 = 2n-1,
!4n-1 é um número divisível por 15.
í2n — 1), VneN.V2
Capitulo 2 - Questões32
53) Demonstrar a identidade n > 0, n e N
54) Simplificar o polinõmio, Vn e N
58) Demonstre que o n-ésimo termo de uma progressão geométrica pode ser
determinado pela fórmula an=a1qn' em que a-, é o primeiro termo da
progressão e q é a razão da mesma.
59) Ache o erro na "prova" do seguinte "teorema”.
“Todos os números naturais são iguais."
1 
x-1
2_ 
,2n
57) Demonstre que o n-ésimo termo de uma progressão aritmética pode ser 
determinado pela fórmula an = a1+ (n-1) r em que aí é o primeiro termo 
da progressão e r é a razão da mesma.
56) Demonstre que o quadrado de um polinõmio é igual a soma dos quadrados 
dos seus termos e do dobro de todos os produtos de seus termos tomados 
dois a dois ou seja:
Demonstração:
Vamos provar o resultado mostrando que. para todo neN, é verdadeira a 
sentença aberta a seguir.
P(n): Dado neN, todos os números naturais menores do que n ou iguais a n 
são iguais.
(i) P(1) é claramente verdadeira.
_x x(x -1) x(x — 1) (x — 2) + + (-1)nx(x-1)-... (x-n + 1)
-1! + 2! 3! +"'+ n!
55) Demonstre que n retas distintas, traçadas por um mesmo ponto de um plano, 
dividem esse plano em 2n partes.
1 ; 1 1 < 1 ,
1 + x 1 + x2 1 + x4"l + x8 1 + x
2n+l
on+1
1 + x2
33Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
60) Seja a
61) Seja a
63) Demonstre que 1+x+x2 + x3 + •■•+xn = com x * 1, n > 0, n e Z.
é um número64) Para nzO, com
divisível por 17.
-13 é um número65) Para n > 0, com ne Z, mostre que an = 3
divisível por 64.
= (n!)2 > nn.,267) Para n > 3 , com n e Z. mostre que (1-2-... -n)’
68) Para n > 3 , com n e Z, mostre que (n + 1)n < nn+1.
. Determine a11 para n>1,com neZ69) Seja a =
(ii) Suponha que P(n) seja verdadeira, logo n-1 = n, adicionando 1 a ambos 
os membros dessa igualdade, obtemos n-1 = n=>(n-1) + 1 = n + 1=>
=>n = n + 1. Como n era igual para todos os naturais anteriores a ele, 
segue que P(n + 1) é verdadeira.
Portanto P(n) é verdadeira para todo n natural.
cosO
senO
-sen0'
COS0
xn*1-1 
x-1
/1
= . Determine a matriz an com ne N.(2 4j
= f1 ° |. Determine a matriz an com neN.
Io ij
62) Demonstreque(l-l].[l-l).[l-^....-(l--L) =
23n+1
n +1 _------, n £ 2, n e2n
,4n+1 + 10-32n
66) Para n > 1, com ne Z, mostre que Ln(n) < n, onde Ln denota logaritmo 
natural.
neZ, mostre que an=3-52n+1
Capítulo 2 - Questões34
70) Mostre que
1 + 3+... + (2n — 1) = n2
>2
obtém-se o número u.
a) 12 +32 + 52 + ... + n2
b) 22+42+62+... + n2
,n-1
77) Mostre por indução 1 + -
,4n78) Para todo ne N, mostre que 80 | 3'
nn~1 
(n-1)!
números complexos conjugados x-j, x2,... xn 
conjugado de u.
71) Mostre que
12+32 + ... +(2n-1):
fn + 2>|
= l I, se n e par
73) Estabeleça uma fórmula que obtenha a soma dos n primeiros números pares 
positivos.
72) Mostre que o cubo de um inteiro positivo pode ser sempre escrito como a 
diferença de dois quadrados.
74) Demonstre o teorema:
Se, por efeito de um número finito de operações racionais (adição, subtração, 
multiplicação e divisão) aplicadas aos números complexos Xi, x2, ... x2, obtém- 
se um número u, então, por efeito dessas mesmas operações aplicadas aos
75) Usando indução, prove que:
An + 21
= 1 I, se n e impar
= ln(2n-1)-(2n + 1),VneN.
76) Prove que,para todo inteiro positivo n, temos:
13 + 33 + 53+ ... + (2n-1)3 = n2(2n2-1)
1
n-1
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 35
80) Demonstre o teorema das linhas
é um
84) Demonstra que, se “A" é um conjunto finito com n elementos, então P(A),
conjunto das partes de A. tem 2n elementos.
partidas do torneio é igual a
1 1f(n) = 1
2n
n + p + i
P
86) Para todo ne N, temos f(n) = g(n). Prove por indução que isso ocorre para 
f(n+1) = g(n+1) onde:
83) Demonstre que 2n 1(an+bn) 
número natural maior que 1.
79) Tem-se 2n moedas de ouro, sendo uma delas falsa com peso menor do que 
as demais. Dispõe-se de uma balança de dois pratos, sem nenhum peso. 
Vamos mostrar, por indução sobre n, que é possível achar a moeda falsa com 
n pesagens.
85) Um torneio de xadrez tem n jogadores. Cada jogador joga uma e somente 
uma partida contra cada um dos demais. Mostre que o número total de 
n(n-1)
2
81) Demonstre o teorema das colunas
fn'l fn+C fn + 2> fn + p'| _ fn + P + 1'l
J l n ) l n+1 )
82) Demonstre o teorema das diagonais
È (7H 1=0 v '
>(a + b)n onde a + b>0, a = b e n
1 
" + 2n + 1
2n
2 3
, , 1g(n) = —- +
n + 1
Capítulo 2 - Questões36
Q+ tal que87) Encontre todas as funções f: Q+
f(x) + f(y) + 2xyf(xy) =
onde Q+ é o conjunto dos racionais positivos
onde m. n = 0. 1,2, ..88) Mostre que —-
n
b'.90) Sabendo que
i=0
xn’1
94) Para n > 10. com neZ, mostre que 2n > n3.
95) Para n>7, com neZ, mostre que n! > 3n.
1
+ xn+1 + xn-1.
f(xy) 
f(x + y)
(?Xin+iM"3 m°stre que (a+b,n
e z mostre que
para niO e Va, b e R
91) Prove que todo número natural pode ser representado como a soma de 
diversas potências de 2.
m! (m + 1)1 (m + 1)1 (m -rn +1)1 
0 + 1! +-+ ni n!(m + 1)
89) Dispomos de k cores para colorir os vértices de um polígono convexo de n 
lados. Sabendo que vértices adjacentes não podem ter a mesma cor. mostre 
que o número de maneiras para se efetuar esta tarefa é igual a:
(k-1)n + (k-1)(-1)n
93) Seja x+- = y para n > 0, com n
92) Desenham-se n círculos num plano n de acordo com o seguinte procedimento: 
todos os círculos cortam-se sempre em dois pontos e três círculos não 
passam nunca pelo mesmo ponto. Mostre que os círculos dividem o plano n 
em (n2 - n + 2) regiões, incluindo a que é exterior a todos os círculos.
37Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
96)
retas no plano é Qn = + 1
Mostre que o problema da moeda falsa para 3n moedas também se resolve97)
com n pesagens
Se p é um número primo, prove que, para qualquer inteiro positivo n. o98)
número np - n é divisível por p (pequeno teorema de Fermat)
99)
< 3
101) Dado um conjunto com n elementos, mostre que é possível fazer uma fila 
com seus subconjuntos de tal modo que cada subconjunto da fila pode ser 
obtido a partir do anterior pelo acréscimo ou pela supressão de um único 
elemento.
5
2
100) Se n é um inteiro positivo prove a desigualdade
H)H)(
Mostre, usando indução, que o número máximo de regiões definidas por n 
n(n +1) 
2
Se n é um inteiro positivo prove que
\ 1 ) 1 1 1+-T 1 + —23 J l 2n /
38 Capitulo 2 - Questões
II. Teoria Elementar Dos Números
01) Mostre que se p é primo, então p |
05) O resto da divisão do inteiro n por 20 é 8. Qual o resto da divisão de n por 5?
06) Qual o quociente e o resto da divisão euclidiana de -78 por 5 ?
07) Encontre o número de divisores positivos do número:
K = (2005)5 + 5(2005)'' + 10(2005)3 + 10(2005)2 + 5(2005) + 1.
08) — é a forma irredutível da fração . Qual o valor de a + b ?
09) Determine inteiros positivos m e n tais que Vm + Vn = x/2009
10) O produto de quatro inteiros consecutivos é 7920. Achar os inteiros.
11) Qual é o maior inteiro positivo n paraoqual (n + 10) divide (n3 + 100)?
2121212121210
1121212121211
( 1 , onde 0 < k < p.
02) Um conjunto A contém 1989 números tais que a soma de quaisquer 10 deles 
é sempre positiva. Mostre que a soma de todos estes números é positiva.
13) Em um conjunto de dez números inteiros positivos, não necessariamente 
distintos, são realizadas as seguintes operações: retira-se o primeiro número 
e somam-se os nove restantes; retira-se o segundo e somam-se os nove 
restantes; e segue-se desta maneira até retirar o décimo número e somar os 
nove restantes. Dessa maneira, obtém-se somente nove resultados distintos, 
que são' 86, 87. 88, 89. 90, 91, 92, 93, 96 Achar os dez números iniciais.
12) Os quadrados de dois números inteiros consecutivos diferem por 1997 
Quanto é a soma desses dois inteiros?
04) Ache o menor múltiplo (positivo) de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 
e por 4.
03) Seja n um número natural. Prove que a divisão de n2 por 6 nunca deixa resto 
2.
a
b
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 39
14)
15)
16)
17)
Diga, justificando, se a igualdade 3^°° + 7I6O - g100 & verdadeira.18)
19)
20)
21)
22)
André e Thiago disputam um jogo em que jogam alternadamente André 
inicia, escolhendo um número inteiro de 1 a 9. Em seguida, Thiago escolhe 
um número inteiro de 1 a 9 e soma ao número escolhido anteriormente pelo 
adversário. A seguir, André escolhe um número inteiro de 1 a 9 e soma ao 
resultado anterior, e assim por diante. Aquele que atingir o número 100 
vence. Imaginando que os dois jogam corretamente, quem vencerá: André ou 
Thiago? Qual a estratégia para vencer?
O Senhor Silva comprou um aparelho de televisão cujos canais variam de 2 
a 42. Se ele está em algum canal e aperta o botão dos canais 41 vezes, 
retorna ao canal inicial. Se o Sr. Silva está assistindo o canal 15 e aperta o 
botão dos canais 394 vezes, em que canal vai parar?
A professora desafia André e Thiago com o seguinte jogo, em que eles jogam 
alternadamente. Ela escreve no quadro-negro os inteiros de 1 a 50. Uma 
jogada consiste em escolher dois dos número escritos, apagar esses 
números, substituindo-os pela soma (Por exemplo, se André escolheu 8 e 
23, apaga-os e escreve 31). Depois de algum tempo, vai restar no quadro 
negro um único número. Se esse número é par, o ganhador é André, caso 
contrário, o ganhador é Thiago. Quem vence o jogo: André ou Thiago?
É possivel colocar os inteiros 1, 2, 3, 4 239, 240 numa tabela com 45 
linhas e 16 colunas, de modo que a soma dos números em cada uma das 
colunas seja a mesma?
Escreva os números naturais 1, 2, 3,. .., 98. 99, 100 numa linha, numa tal 
ordem de modo que a diferença entre quaisquer dois números adjacentes não 
seja menor do que 50.
33333
Quatro amigos subiram correndo uma escada. Um deles sobe de dois em 
dois degraus, outro sobe de três em três degraus, outro sobe de quatro em 
quatro e outro de cinco em cinco. Os únicos degraus que os quatro amigos 
pisaram foram o primeiro e 0 último. Quantos degraus foram pisados 
exatamente uma única vez?
Numa loteria, todos os prêmios em reais são potências de 13 (isto é, 
R$1,00, R$ 13,00, R$ 169,00 etc.) e o prêmio total é de R$1.000.000,00. 
Num sorteio, qual é o número minimo possivel de prêmios distribuídos?
Escreva em ordem crescente os seguintes números inteiros 25555 
62222 .Justifique sua resposta.
Capitulo 2 - Questões40
23)
Um dos estudantes colocou na máquina a fração
24)
25) + 9.
26)
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ....
27)
28)
29)
Nesta sequência, quando se escreve os primeiros 2001 algarismos, quantas 
vezes o número 9 aparece?
Encontre o número de subconjuntos de {1,2,3,4,...,99,100} para os quais a 
equação x + y = 101 não admite solução, com x e y pertencentes ao conjunto 
{1.2,3,4 99,100).
1_
5 '
Escreve-se 50 números inteiros, não necessariamente distintos, em torno de 
um circulo, de modo que a soma deles seja igual a 1. Uma sequência de um 
ou mais desses inteiros em posições consecutivas é chamada positiva se a 
soma é positiva. Caso contrário, é chamada sequência não positiva. Existem 
mais sequências positivas ou sequências não positivas? Explique.
2
,2
Determine todos os números primos da forma 2
Parta o conjunto {1, 2, 3, 4...... 123455, 123456} em dois subconjuntosda
seguinte maneira. No primeiro conjunto. A. ficam somente os números cuja 
soma dos digitos é par, e no segundo conjunto, B, somente os números cuja 
soma dos digitos é impar. Quem possui mais elementos: A ou em B? 
Justifique.
Suprimimos do conjunto dos números naturais todos os números que, na 
base 10, utilizam o digito 1. Se ordenarmos em ordem crescente os números 
que sobraram, qual é aquele que ocupa a milésima posição?
Numa escola, estudantes inventaram uma máquina que "tritura" frações. 
A máquina funciona do seguinte modo: se introduzimos uma fração F, ela
devolve a fração .Por exemplo: se introduzimos na máquina a fração
1-- ,, 5 2sai a fraçao —2- =
1 + - 3
5
F = 1/5. Em seguida, a fração resultante foi novamente colocada na máquina, 
obtendo-se outra fração; o novo resultado foi colocado na máquina e. assim 
por diante, até que a máquina completou 2001 "triturações" Que fração 
apareceu no finaI?
Os números inteiros positivos são escritos em ordem, como abaixo, com o 
1 aparecendo uma vez, o 2 duas vezes, o 3 três vezes....... com o 57
aparecendo cinquenta e sete vezes, e assim por diante:
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 41
a) Até que número somou o Bruno?
b) Quais foram os quatro números que ele saltou?
,4533) Qual o resto da divisão de 2 por 7 ?
,10034) Qual o resto da divisão de 11 por 100 ?
35) Qual o resto da divisão de 310-425 + 68 por 5 ?
36) Qual o resto da divisão de 52- 4841 + 285 por 3 ?
37) Mostre que 2
38) Qual o resto da divisão do número N = 15 +25+35 +... + 995 +1005 por 4 ?
40) Qual o algarismo das unidades do número 7'
41) Ache os dois últimos algarismos de 9
39) Mostre que o resto da divisão de um número inteiro por 10 é o seu algarismo 
das unidades e que o resto da divisão por 100 é o número formado pelos dois 
últimos algarismos do número dado.
32) Bruno pegou a calculadora, e resolveu ir somando os números naturais na 
ordem crescente 1 + 2 + 3 + 4 + ... e ficou muito tempo entretido. Contudo, 
num certo momento, distraiu-se e saltou quatro números consecutivos. 
Quando se cansou, o resultado no visor da calculadora era de 2060
30) Tem-se 15 latas de biscoitos contendo 1, 2, 3, 4 15 biscoitos, 
respectivamente. Uma criança pode escolher qualquer subconjunto destas 
latas e retirar o mesmo número de biscoitos de cada uma delas. Seguindo 
esta regra, uma criança pode esvaziar todas as latas em menos do que cinco 
movimentos? Justifique sua resposta.
31) Cada asterisco na expressão E = 1 *2*3*4*...* 2003 representa ou um 
sinal + ou um sinal -. Selecione os sinais de modo que a expressão E seja um 
inteiro positivo menor do que 7.
f71°0j
20 - 1 é divisível por 41.
Capitulo 2 - Questões42
49) Qual a paridade do número (123275 + 346231) ?
x638761654 + 879875451345874 + 95973434
55) Mostre que o quadrado de qualquer número inteiro é da forma 4k ou 4k+1.
52) Mostre que nenhum número inteiro pode deixar simultaneamente resto 5 
quando dividido por 12 e resto 4 quando dividido por 15.
53) Ache todos os números naturais que quando divididos por 18 deixam resto 4 
e quando divididos por 14 deixam resto 6.
54) Determine o resto da divisão por 4 do número
50) De que maneiras podemos comprar selos de quinze e de sete reais, de modo 
a gastar cem reais?
51) Se um macaco sobe uma escada de dois em dois degraus, sobra um degrau; 
se ele sobe de três em três degraus, sobram dois degraus. Quantos degraus 
a escada possui, sabendo que o número de degraus é múltiplo de sete e está 
compreendido entre 40 e 100 ?
42) Um bando de 17 piratas, ao tentar dividir igualmente entre si as moedas de 
uma arca, verificou que havería uma sobre de 3 moedas. Seguiu-se uma 
discussão na qual um pirata foi morto ©. Na nova tentativa de divisão, já com 
um pirata a menos, verificou-se que haveria uma sobra de 10 moedas. Nova 
confusão, e mais um pirata foi morto ©. Então, por fim, eles conseguiram 
dividir igualmente as moedas entre si. Qual o menor número de moedas que a 
arca podería conter inicialmente ?
47) Se m é um inteiro ímpar, mostre que o resto da divisão de m2 por 4 é 1.
48) Mostre que, dados três números inteiros a, a + 2 e a + 4, um e somente um 
deles é múltiplo de 3. Usando este fato, mostre que a única terna de primos 
trigêmeos é (3, 5, 7). Lembre-se que primos trigêmeos são três números 
impares consecutivos que sejam números primos.
43) Na divisão euclidiana de 802 por a, o quociente é 14. Determine os possíveis 
valores de a e do resto.
44) É possível encontrar dois inteiros múltiplos de 5 tais que o resto da divisão 
euclidiana de um pelo outro seja 13 7 Justifique a resposta.
46) Se o resto na divisão euclidiana de um inteiro por m por 8 é 5. qual é o resto 
da divisão de m por 4?
45) Seja m um inteiro cujo resto da divisão por 6 é 5 Mostre que o resto da 
divisão de m por 3 é 2.
45769834532
1234 + (3451 + 4532)542
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 43
59)
61)
a)
56
b)
c) pode ser escrito como o produto de dois inteiros
62) Prove que a fração é irredutível, para todo número natural n.
,7064) Demonstre que 2 é divisível por 13.
10 
7
21n + 4
14n + 3
63) Uma empresa de transporte tem um contrato para levar 844 geladeiras 
A empresa possui dois tipos de caminhão: um tem capacidade para 
transportar 28 geladeiras e o outro tem capacidade para transportar 34. Se 
cada caminhão é enviado com carga máxima e retorna vazio, liste todas as 
maneiras possíveis de transportar as geladeiras.
56) Mostre que nenhum número da sequência 11, 111, 1111, 11111, 111111. ... é 
um quadrado perfeito.
60) Os números 1. 1/2, 1/3, .... 1/19, 1/20 são escritos no quadro negro Apague 
quaisquer dois desses números a e b e escreva o novo número a + b + ab 
Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações?
57) Prove que o número 111...11222 .225 é um quadrado perfeito. 
~1?97 ~1998-
65) Encontre os pares de números naturais (x. y) tais que: 
1! +2! +3! +...+ X! = y2
Tomando m = 34*
+ 370
56+1 5
e n = 2 2 , mostre que m4+^n4 =345 +4:
Mostre que m4 + —n4 =
4
58) Determine inteiros positivos x, y e z tais que x + —ly = 
y.-
Os números 21989 e 51989 escritos na forma decimal são colocados lado a 
lado. Qual a quantidade total de dígitos que são escritos ?
m2 -mnT-n2
2
m2 + mn + ^n2
45 s6
Mostre que 3 + 4 
maiores que 1O2002.
Capitulo 2 - Questões44
Qual o resto da divisão de 21137 por 17.66)
Mostre que mdc(n, n +1) = 1, para todo n natural.67)
68)
69)
70)
71)
72)
73)
74)
75)
76)
77) Encontre todos os triângulos pitagóncos cuja área é igual ao perímetro.
78) Ache o resto da divisão de 15' por 17.
(OME-RJ) Mostre que o número N = 760 
é divisível por 1998.
(Deserto de primos) Encontre 1000 inteiros positivos consecutivos, sendo 
que nenhum deles é primo
Mostre que o raio do círculo inscrito em um triângulo pitagórico é um número 
inteiro
(CN/2004-Adaptada) Qual o resto da divisão de N = 5131 +7131 + 9131 +15131 
por 12.
Sabemos que existe um bloco de 1000 números inteiros consecutivos não 
contendo nenhum primo, a saber, 1001! +2, 10011 + 3 1001! + 1001. 
Existe um bloco de 1000 inteiros consecutivos contendo apenas um primo?
São dados 2000 pontos sobre um circulo. Rotule um destes pontos de ponto 
1 A partir deste ponto, conte dois pontos na direção do movimento dos 
ponteiros do relógio e rotule este último ponto de número 2, conte três pontos 
na direção do movimento dos ponteiros do relógio e rotule este ponto de 3. 
Continue com este processo até que sejam utilizados os rótulos 1, 2, 3 
1993. Ao final, alguns dos pontos sobre o circulo possuem mais de um rótulo 
e alguns não possuem rótulo. Qual é o menor número inteiro que rotula o 
ponto já rotulado também de 1993?
Mostre que se escolhermos aleatoriamente 51 números no conjunto 
A = {1. 2.3... , 100} necessariamente existem dois números entre os escolhidos 
que são relativamente primos.
|1998 201 + 1910^ _6521
Dado um inteiro positivo qualquer k, mostre que existe um triângulo 
pitagórico cujo raio do circuloinscrito é k.
Seja um número escrito na forma decimal r = 0, 3,3283.. com 8ie{0,1} e 
a, = 1 se e somente se i for primo. Mostre que r é um número irracional.
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 45
,555579) Mostre que 2222' é divisível por 7.
80) Mostre que N = (8355 +6)
8781) Qual o resto da divisão de 4 por 17.
82) Encontre a soma dos dígitos do número n para o qual
1335 + 1105 + 845 + 275 = n5.
Instruções:
Peça que ele (ela) escreva dois dígitos cuja diferença seja maior do que um.
Peça que entre os dois dígitos ele escreva um algarismo qualquer
Peça que inverta a ordem dos algarismos do número obtido.
Peça que diminua o menor número obtido do maior.
Peça que inverta a ordem dos dígitos da diferença acima obtida.
Peça que some o último número obtido ao anterior.
Peça que some o número obtido à idade do amigo (a).
Peça para ele dizer qual o último resultado obtido
Você então dirá a idade do amigo (a).
Qual é o truque?
,18
- 1 é divisível por 112.
83) A Teoria dos Números nos permite tratar do lado lúdico da Matemática. 
Vivencie a seguinte brincadeira, como adivinhar a idade do amigo (a) ?
+ 55552222
84) Escreve-se no quadro-negro os números inteiros de 1 a 15. Você escolhe 
quaisquer dois destes números, apaga-os, e junta à lista a soma deles. 
Depois de quatorze operações deste tipo, resta somente um número sobre o 
quadro-negro. Em cada operação realizada, é possível fazer escolhas de 
modo que o número final seja 105?
Capitulo 2 - Questões46
85)
86)
1
87) Escreva a sequência crescente de todos os números inteiros começando
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
35
38
39
42
43
46
47
50
51
54
55
58
59
62
63
9
10
11
12
13
14
15
24
25
26
27
28
29
30
31
40
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62 
63
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29 
31 
33
3 
6
7 
10 
11 
14 
15 
18 
19
22 
23 
26 
27 
30 
31 
34
5 
6 
7 
12 
13 
14 
15 
20 
21 
22 
23
28 
29 
30 
31 
36
88) Considere a sequência de números inteiros dada por 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4. 4, 
5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6. 6. 6. 6, na qual o n-ésimo número inteiro positivo aparece 
n vezes. Qual é o termo de ordem 2007?
16
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
90) O mágico senta-se numa cadeira, de costas voltadas para a audiência. 
Alguém pensa num número natural qualquer não superior a 105. Divide o 
número por 3 e diz o resto da divisão ao mágico. Em seguida, divide o 
número inicialmente pensado por 5 e fala o resto da divisão ao mágico. E, 
finalmente, divide o número pensado por 7 e diz o resto. O mágico, 
conhecendo apenas os três restos, advinha o número pensado. Qual é o 
truque?
Num pais distante, os números são escritos na base r e a moeda local é o 
potiguar, abreviada Poti. Um homem comprou um boi por 440 potis. Para 
efetuar a compra, ele deu ao vendedor uma cédula de 1000 potis e recebeu 
de troco 340 potis. Qual é o valor da base r?
89) Uma senhora transportava um cesto de ovos Assustada por um cavalo que 
galopava perto dela deixa cair o cesto e todos os ovos se partem. Quando lhe 
perguntaram quantos ovos tivera o cesto, respondeu dizendo que é muito 
fraca em aritmética, mas lembra-se de ter contado os ovos de dois em dois, 
de três em três, de quatro em quatro e de cinco em cinco, e tivera sobra de 1, 
2. 3, e 4 ovos, respectivamente Ache a menor quantidade de ovos que o 
cesto inicialmente poderia ter
8
41
42
43
44
45
46
47
56
57
58
59
60
61
62
63
4
37
38
39
44
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46
47
52
53
54
55
60
61
62
63
por 10 e terminando por 99 para formar o número inteiro 
K = 101112131411516...979899 . Qual é a maior potência de 3 que divide K?
(O adivinho indiscreto) Convide um colega para dizer, dentre os 6 cartões 
abaixo, de 32 números cada, em quais deles está a sua idade. Imediatamente 
você advinha à idade dele. Onde está o segredo?
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 47
93) Qual é o menor número natural n que torna n! divisível por 1000 ?
94) Mostre que existe n natural tal que 1 + — + — + > 123 456.789
2 3
e divisível
divide 10001, mas 2995 não divide.,99496) Mostre que 2
9998) Diga, justificando, se o número 600! é divisível por 7
99) Determine o maior divisor de 1.001.001 001 que não excede 10 000.
100) Seja p um número primo tal que p>7. Mostre que o número
divisível por p.
resto da divisão de a por 13.
2
4
2 
n
_1_
22 23
91) Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 11 e 35 quando dividido, 
respectivamente, por 37 e 48
92) Numa criação de coelhos e galinhas, contaram-se 400 pes. Quantas são as 
galinhas e quantos são os coelhos, sabendo que a diferença entre esses dois 
números é a menor possível?
97) É possível fazer uma partição do conjunto {1, 2, .. . 21} em vários 
subconjuntos de modo que, em cada subconjunto, o maior elemento seja 
igual à soma de todos os outros ?
—. Encontre o 
23!
101) Seja a um número natural tal que + +
95) Para quais valores de n o número 1! + 2! + 3! + 4! + ... + n! 
por 5 ?
1_2TJ é 
p-1 dígitos
Capítulo 3
Resoluções
51Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
RESOLUÇÕES:
I. Resoluções: Indução
Demonstrar que a soma dos n primeiros números naturais é igual a1)
Para n = 1 a hipótese é válida porque S-j = 1 =1°)
2o) Suponhamosque Sk =1 + 2 + 3 + ... + k =
Demonstraremos que Sk+-| = 1+2+3 + .,.+k+(k + 1) =
De fato:
Sk+1 =Sk +(k + 1) =
2)
igual a
1o)
Resolução
Indiquemos por Sn a soma procurada Sn = 1 + 2 + 3 + ... + n
Resolução
Sejaa S2(n) =12+ 22+32+ 42... + n2.
k(k + 1) 
2
(k + 1)(k+1)
2
Demonstrar que a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais é 
n(n + 1)(2n +1) 
6
n(n + 1)
2
(1 + 1)-1 
2
S2(1) = 12 = 1.(1 + 1).(2.1 + D
6
S2(k +1) = 12 + 22 + 32 +... +k2 + (k +1)2 =
= S2(k) + (k + 1)2 = k(k + 1^(2k + 1)+(k + 1) = 
O
k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1) (k + 1)(k + 2)(2k+3)
6 6
k(k +1) • (2k -r 1)
2°) Admitamos n = k. Suponhamos que S2(k) = —------------------
6
. . (k-rlWk + 2)(2k + 3)
Devemos mostrar que n = k +1 => S2 (k +1) = -------- ----------------- -
6
k(k + 1) (k + 1)-(k + 1)
2 2
Capitulo 3 - Resoluções52
3)
S2 = 1-1! + 2 2! = 5
S3 = 1-1! + 2 2! + 3-3! = 23
S4 = 1-1! + 2-2! + 3 3! + 4 • 4! = 119
Analisando esses resultados podemos nos convencer de que
S4 = 2! -1, S2 = 3! - 1. S3 = 4! -1, S4 = 5! -1
1°)
2°)
= (k + 2)l -13o)
Temos:
Sk+i =1.11 + 2.21 + 3.3+ ... +k.k! + (k +1). (k +1)1 =
Sk+(k + 1) (k +1)! = [(k +1)!-1] + (k + 1).(k + 1)1 =
(k + 1)![1 + (k + 1)]- = (k+1)!.(k + 2)-1 = (k + 2)!-1
4) Demonstrar que a soma dos cubos de três números consecutivos é divisível 
por 9
Suponhamos que
Sk =1-1! + 2-2! + 3-3! + ... + k k!=(k +1)1 -1
Resolução
S, =1-11 = 1
Por isso. podemos anunciar a seguinte conjectura: Sn = (n +1)! — 1
Vamos comprová-la
Para n = 1 a hipótese é válida, pois S1 =1-11 = 2! - 1
Provemos que Sk + 1
O produto 1-2 3-, ,-n indica-se com n! (Lê-se fatorial de n). Convém 
memorizar que 1! = 1, 2! = 2, 3!= 6, 4! = 24 e 5! = 120, 
Calcular Sn =1-1! + 22! + 3-3! + ...+n-nl
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 53
Resolução
5) é divisível por 133, qualquer
1o) = 121 +12 = 133, que é divisível por
22°) é divisível por
3o)
6)
Como Ak é um número divisível por 133 (pela hipótese da indução), podemos 
escrever Ak + j = 133- f, onde ( e Z, serve que p(k + 1) é verdadeira. Logo.
concluímos que p(n) é verdadeira Vn > 0.
Devemos mostrar agora que a proposição continua verdadeira para n = k + 1, 
isto é, Ak+1 é um número divisível por 133
Também será divisível por 9, pois consta de duas parcelas divisíveis cada 
uma por 9.
1o) A soma 13 + 23 + 33 = 36 é divisível por 9. ou seja, a proposição é valida se o 
primeiro dos três números consecutivos é 1.
2°) Suponhamos que a soma k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3, onde k é um número 
natural, seja divisível por 9. A soma:
(k +1)3 + (k + 2)3 + (k + 3)3 = (k +1)3 + (k + 2)3 + k3 + 9k2 + 27k + 27 =
= [k3 + (k + 1)3 + (k + 2)3] + 9(k2 + 3k + 3)
Suponha verdadepara n = k, ou seja, Ak = 11k 
133.
Mostre que n2 - 3n + 4 é um número inteiro para todo inteiro n.
Ak + i =11k + 1 + 2+122k + 2 + 1 =(l 1k + 2 +122k + 1) + 133-122k + 1
Ak + i = Ak+133-122k + 1
Resolução
Sejam An = 11n +2 + 122n + 1
Demonstrar que a soma An = 11n + 2 + 122n + 1 
que seja o número inteiro n > 0.
+ 122k + 1
Para n = 0 temos: Ao = 11o + 2 + 1220 +1 
133.
Capitulo 3 - Resoluções54
2o)
mostrar que Ak_i é também um número inteiro.
Ar +1 = (k +1)2 - 3(k +1) + 4 = (k2 - 3k + 4) + 2(k -1). Como 2(k - 1) é
um número inteiro e k2 - 3k + 4 é um inteiro também (pela hipótese de
para todo m > 0 . Logo n2 - 3k + 4 é um número inteiro Vn e Z.
Demonstrar que, se u0 = 2, u-| = 3 e uk+-| =3uk-2uk_-| para todo número7)
natural k, então un = 2n+1.
Resolução
8)
n 
2n + 1
1 
2-1 + 1
1 
5-7
1 
3-5
Resolução
1o) Para n = 1. temos
2
3
Resolução
1 °) Seja An = n2 - 3n + 4 começamos supondo que niO;
n = 0 Aq = 4
n = 1 A-j = 2
Supomos agora que Ané um número inteiro para n = 1, .... k devemos
1
(2 -1—1) ■ (2 -1+1)
1 
(2n-1)-(2n + 1)
uk+1 = 3uk - 2uk_1 = 3(2k +1) - 2(2k’1 +1) = 2k+1
análogo àquele mostrado acima, que An =m2+3m + 4 é um número inteiro
Demonstrar que +
1o) Para n = 0 e para n = 1, a proposição é válida, pois u0=2°+1 = 2 e
indução), concluímos que Ak+-| é um número inteiro.
Se n < 0, colocamos m=-n e concluímos, por um procedimento
u-i = 21 +1 = 3:
2o) Suponhamos que
uk_i = 2k-1 +1 e que uk = 2k +1 então
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 55
Para n > 5, n e N mostre que 2n > n2.9)
2k+1 = 2k -2 2k (jáquek>5)
Considerando que, por hipótese, temos 2k >k2, temos
Logo, p(k + 1) é verdadeira e concluímos que p(n) é verdadeira Vn > 5.
1o)
para n = 2
1
2 + 2
1 
n + 1
k
2k + 1
k
2k-r1
_1_
2n
k + 1
2k + 3
k 1
2k +1 + (2k = 3)(2k + 3)
Resolução
Indiquemos por Sn o primeiro membro da desigualdade
1_
12
1
(2k-1) ■ (2k +1)
k(2k+3) + 1
(2k + 1) (2k + 3)
(k + 1) (2k + 1) 
(2k +1) (2k +3)
2k+1
HP
2k+1
Resolução
1o) Seja p(n) a proposição se n > 5. então 2n > n2 Temos' n = 5 32 > 25
2o) Vamos supor que a proposição p(n) é verdadeira para n = 5. 6. 7. ... k.
Devemos mostrar que p(n) continua verdadeira para n = k + 1. isto é.
Kpk+1)2
2°) Suponhamos para n = k
1 1 1Su =------- i--------- 1--------+ ..
K 1-3 3-5 5-7
10) Demonstrar que +
= e, em consequência, a desigualdade se verifica
13
>— para todo n natural, n > 1.
24
>(k + 1)2.
S2 = —2 2 + 1
Então, devemos mostrar que é válido para n = k +1.
1 1 1 1
sk+1 - 1.3 + 3.5+' +(2k-1) (2k + 1) + (2k + 1)-(2k + 3)
Capitulo 3 - Resoluções56
11) Mostre que 21 (n2+n), Vn e N.
12) Demonstrarque Sn = 1-22 +32-42 +... + (-1)n 1.n2=(-1)n
2
1 
2k + 2
1 
2k + 1
i—1 n(n + 1)
2
132°) Seja Sk > — para certo k e N .
13
Demonstraremos que, então, também $k+1>^ temos
2k
„ 1 1
ol . i =---------H------------b... +K 1 k+2 k+3
Comparando Sk e Sk+i, vemos que
Sk+1 -sk - 2k + 1+ 2k-r2-k+í °U Se*a’ Sk+1~Sk " 2(k+1) (2k + 1)
O segundo membro da última igualdade é positivo, qualquer que seja o número
13 - . u- e 13—, então também Sk+-|> —.
Resolução
1o) É evidente que a hipótese é válida para n = 1, já que 
 . , ..0 1(1 + 1) S1 = 1 = (-1)----- -—
2o) Suponhamos que seja válida para n = k, k e N.
Sk = 1-22+ 32-42+... + (-1)k-1 k2 =(-1)k"1
natural k. Por isso, Sk+1>Skcom Sk >—, então também Sk+-j
Resolução
1 °) Para n = 1, temos 2112 +1, oqueéverdade.
2o) Admitamos verdadeira para n = k, isto é 2 | (k2 + k) ou seja 2 | k ( k + 1) e 
provemos que vale para n= k + 1
2 | [ ( k + 1)2 + ( k + 1)) <=> 2 | k ( k + 1). ( k + 2)
Sabemos que:
(k + 1)2 + (k + 1) = (k + 1).(k + 1 + 1) =
(k + 1) + (k + 2) = k(k+1) + 2.(k + 1)
Dai. segue.
2|k(k+1)=>2|k(k + 1) + 2(k + 1) = 2|2(k+1)=>2|(k + 1).(k + 2)
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 57
Resolução
2
Então
13+23+ ... + k3+(k + 1)3 =
14) Demonstrar que Vne N
Resolução
(Hipótese de indução)
Então vamos provar para n + 1:
1-2 + 2-3 + 3-4 + ... +(n-1)-n + n-(n + 1) = 
 n-(n + 1)-(n + 2)
3
n(n +1) 
2
1°) A proposição é válida para n = 1, pois 13 =
13) Demonstrar que a soma dos cubos dos n primeiro números naturais é igual a 
|2
l3 + 23+33+... + k3=[í<!^l’]2
(k + 1)2 
4
/ -v |n-1) '= n • (n +1) • +1
= (-l)k (k+D- (k + 1)-^ =(-1)
+ (K+1)3 =
1-2-3
1°) Para n = 1, 1-2=—, o que é verdade
2°) Suponhamos verdadeira para n e N , Se
2o) Suponhamos verdadeira p/n = k.
demonstraremos que a hipótese é verdadeira para n = k + 1: 
Sk+t = 1 -22 + 32 -42 +... + (-1)k-1 • k2 = (-1)k (k +1)2 = 
= Sk + (-1)k- (k +1)2 = (-1)k“1 • k(k2+1) + (-1)k • (k +1)2 = 
k (k +1) - (k +1)
2
1-2 + 2 3 + 3-4 + ... +(n-1) n=(n 1) n(n+1)
1-2 + 2-3 + 3-4 + ...+(n-1).nJn--1)3n(n + 1)
(k + 1)-(k + 2)j2
k2(k + 1) 
4 
(k2+4k + 4) = D
k
2
Capítulo 3 - Resoluções58
15) Demonstrar que Vn e N
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1
= 61-(1 + 1) (1+2) =
2o) Suponha verdadeira para n = k,
16) Demonstrar que Vne N
Resolução
_32
5-7
Então, para n = k + 1, temos
1-2 3+ 2-3-4+.,.+k (k+ 1) (k+ 2)+(k+1)-(k + 2) (k + 3) =
2
3
3Í
3-51-3
(k +1) - (k + 2) ■ (k + 3)-(k + 4)
4
1-(1+1)-(1 + 2)-(1+ 3)
4
n (n + 1) 
2-(2n + 1)
1(1 + 1) 
2(2-1 + 1)
k (k + 1)
2 (2k +1)
1o) A proposição é válida para n = 1, ou seja, 
12
(2 -1 — 1) - (2 -1 +1)
n2 
(2n-1)(2n + 1)
2o) Suponha verdadeira para n = k
12 22 [ 32 k2
1^3 + 3-5 + 5-7 + " + (2k-1)-(2k + 1)
1 2-3 + 2-3-4 + 3-4 5 + ... + k (k+ 1)-(k+ 2) =k(k + 'l)'(k + 2)(k + 3)
4
1-2-3+ 2-3-4+ 3-4-5 + .,. + n (n +1) - (n + 2) = n(n + 1) <n + 2) <n + 3)
4
k.(k + 1)-(k + 2).(k + 3)+(k + 1Hk + 2Hk + 3) = 
4
(k + 1).(k + 2)-(k + 3)--------- ---------- + -4
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 59
17) Demonstrar que Vne N
Resolução
18) Demonstrar que vn e N
Resolução
1
9-13
1 
7-10
1 
7-10
1
3-1 + 1
1
4.1 + 1
2 
4
n 
4n + 1
1
5-9
1 
4-7
1
14
1 
(4n-3)(4n + 1)
1 n
(3n-2)-(3n + 1)”3n + 1
1 k
(3k — 2)-{3k +1) 3k + 1
 (k + 1)■ [(2k +3) + 2(k + 1)] (k + 1) (2k2 + 5k + 2) 
2 - (2k +1) - (2k + 3) + 2-(2k + 1)-(2k + 3)
1
1-5
(k+1)(2k + 1)+(k + 2) 
2-(2k +1) (2k + 3)
(k + 1)(k + 2) 
2-(2k + 3)
Então, para n = k + 1. temos
1 1
1-4 + 4-7
_ k _
” 3k+1 + (3k + 1) (3k+ 4)
k-(k +1)2 
(2k +1) (2k + 3)
Então, para n = k + 1, temos:
±+3Í+ K21-3 + 3-5 + + (2k-1) (2k + 1)
1o) A proposição é válida para n = 1, pois
1°) A proposição é válida para n = 1
_______ 1______
(3-1-2)-(3-1 + 1)
2°) Suponha verdadeira para n = k
1 1
1-4 + 4-7
k(k + 1) (k +1)2
“ 2 (2k + 1) + (2k + 1) (2k + 3)
1 1
' + (3k-2)-(3k + 1) “(3k + 1)-(3k+4) ”
1 k(3k+4) + 1 k+1
(3k-2) (3k + 4) “3k + 4
Capitulo 3 - Resoluções60
19) Demonstrar que Vn e N
Resolução
1o) A proposição é válida para n = 1, pois
k + 1, temos
a * p e se
uk = (a + P)uk_1-a(Juk_2
Para todo número k > 2, então un =
1 
1-5
1
9-13
k
4k + 1
1 1 1
a (a -i-1)+ (a + 1) (a + 2)+ (a + 2) (a + 3)
k ______ 1
a (a + 1) (a+k)(a + k + 1)
2o) Suponha verdadeira para n = k
1 1 1
5-9 + 9-13+ +(4k-3)-(4k + 1)
2°) Suponha verdadeira para n = k
1 . 1
a (a + 1) (a + 1) (a+ 2)
Então, para n
1 . 1
a-(a + 1)"(a + 1)(a + 2)
(a +k) (k +1) 
a(a + k)(a + k + 1)
k (a + k + 1) + a 
a(a + k)(a + k + 1)
n 
a(a + n)
k 1
4k+ 1+ (4k + 1)(4k+ 5)
k + 1 
a(a + k + 1)
1
(a + k — 1)(a + k)
1 1
a (a + 1) a (a + 1)
_______ 1_______
(a + k- 1)(a + k)
1
(a + n + 1) (a + n)
______ 1______
(a +1) ■ (a + k +1)
k 
a(a + k)
an+1_ pn+1 
a-p
Então, para n = k + 1, temos
1 1 ______ 1 1
1-5 + 5-9 + + (4k-3) (4k+ 1) ~(4k+ 1) (4k+5)
k(4k + 5) + 1 k + 1 
(4k + 1) (4k + 5) ~4k + 5
a2-P2
20) Demonstrar que, se u-, = ———,7 
a2-p2
a3-P3 
e u2 = ' 3 „3a -p3
61Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
e uk_-| =
Então
uk = (a + p)-
21) Para que valores naturais de n se verifica a desigualdade 2n>2n + 1.
%/n, n > 2, ne N
'k + 1
Vk + 1 - Vk
donde segue o resultado desejado!
desigualdade 2n>2n + 1.
Como a validade dessa desigualdade para n = k implica sua validade para 
n = k + 1 podemos afirmar que a desigualdade se verifica para qualquer númeronatural n>3
Resolução
É evidente que 3 é o menor número natural n para o qual se verifica a
ak+2_pk+2 
a-P
ak-pk 
a-P
ak-pk 
a-P
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1 e para n = 2
2o) Sejam
_pk-1 
a"-P
-Pk~1 
a-p
1 1 122) Demonstrar que-y= + -^=-+..+-j=
Resolução
1o) A desigualdade se verifica para n = 2, pois 1+-y=-> <72
Demonstraremos que
J_ 1 1 1
■fi +J2+" VkT'/k + 1
Para todo k > 0 vale a desigualdade
___ 1
TkTi
-„.p“k-1
ak-1
uk-2 =
2o) Suponha verdadeira para n = k
1 1 1
7Í + -J2 +'" + Vk
Capitulo 3 - Resoluções62
Resolução
6 e, em consequência, é válida
a proposição.
2°) Suponha verdadeira para n = k
É fácil comprovar que
Para k > 0 .
ou seja,
xn + xn-2 + xn-4+... (1)
(2)
A 
k + 1
_4 
k + 1
24) Demonstrar que qualquer que seja x > 0 e qualquer que seja o número natural 
n, se verifica desigualdade
4(k+1) 
k+1
(2k)l
(k!)2
(2k + 1)(2k + 2) 
(k + 1)2
4k+1 
iT+2
(2k+2)l
[(k + 1!)!]2
4-(k + 1) (2k)l (2k + 1) (2k + 2) 
k + 2 (k!)2 (k + 1)2
1 1 1
+----- r +-----k + — S n +1xn-4 xn-2 xn
Resolução
1°) a) Para n = 1, a desigualdade (1) fica x +— a 2 
x
A desigualdade (2) decorre da desigualdade evidente (x -1)2 > 0
1o) Para n = 2, a desigualdade fica sendo
4n (2nV
23) Demonstrar que----- < +—(j- para todo número natural n > 1
n + 1 (n!)2
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 63
(3)
0, ela subsiste ao substituir-se x
2o) Suponhamos que a desigualdade (1) se verifique para n = k, ou seja que
,k-2 (4)
,k-2 (5)
na desigualdade (2) em lugar de x, obtemos
xk + 2 (6)
Somando membro a desigualdades (4) e (6), obtemos a desigualdade (5).
25) Demonstrar a identidade: cosacos2acos4a-...cos2na =
Resolução
1°) A identidade é válida para n = 0, já que
■ a
•sena
sen(2a) 
2-sen a
sen2n*1a
2n+1sena
X2+4>2 
X2
Somando 1 a ambos os membros da última desigualdade, obtemos a desigualdade
(3)
sen2
2k+1
xk +X1
xk-r2 | x'
2°) Suponhamos que seja válida para n = k, ou seja, que 
k eon9k+1 
cos a ■ cos 2 a ■ cos 4 a-„. • cos 2 a =
+ ^T2à2 
Xk 2
b) Para n = 2, a desigualdade (1) fica x2 +1 + -^- è 3 
x2
Como a desigualdade (2) se verifica para todo x
por x2, ou seja
Introduzindo xk+2
+ ... + -r-L- + ^- + -r^->k + 3 
xk—2 xk x^+2
2 • sen a-cosa cos a =--------------------
2-sen a
+ -iTT + _T-k + 1 
xk“2 xk
Sendo k um número natural demonstraremos que, então, a desigualdade (1) 
também se verifica para n = k + 2, ou seja, que:
Capitulo 3 - Resoluções64
Então também é válida para n = k + 1. De fato:
a
26) Demonstrar que se a-| = cos0, a2 = cos(20) e ak = 2cos0ak_-| - ak_2 para
todo k > 2, então an = cos n0.
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1 e para n = 2
2o) Seja ak_i =cos(k-1)0 e ak_2 =cos(k-2)0
Então:
ak = 2cos0 cos(k-1)q-cos(k-2) ■ 0 = [cosk0 + cos(k- 2)0]-cos(k -2)-0 = cosk0
27) Demonstrar que vn e N
Resolução
1o) A proposição é válida para n = 1, pois, senx =
2°) Suponha verdadeira para n = k
senx + sen2x + sen3x+..+ senkx =
x ■sen —
2
kx■ sen—.
2
1 + 1 sen------x
2
x sen-
2
cosa-cos2acos4a ...cos2kacos2k+1re -
nx•sen —
2
k + 1 sen------ x
2
sen-
2
sen2k+1
21
acos2lit1 
!k+1sena
sen2k>2g
2k+2sena
n + 1 sen-------x
senx + sen2x + sen3x+... + senx =--- ---x sen -2
65Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
Então, mostramos que continua válida para n = k + 1: senx + sen2x + sen3x
. + senkx + sen(k + 1)x =
k + 1kx kx + 1
k + 1kx x
28) Demonstrar que. VneN
Resolução
1o) A proposição é válida para n = 1, uma vez que
2o) Suponha verdadeira para n = k:
x sen- +
2 1
= —+ COSX
2
3x x'sen------sen—
2 2
k + 1 sen----- x
2 
x sen-
2
k + 1 sen----- x
2 
x sen-
2
k + 1 sen----- x
2 
x sen-
2
k + 1 sen----- xi
—V sen— i
2
k + 2 sen------ x
2 
x sen-
2
r kx |_senT
k + 1• sen----- x
2
k + 2 kxYIsen------x - sen— =2 2 JJ
3x sen— 
2
2sen-
2
2sen-
2
2k + 1 sen------- x
2
2sen-
2
2n + 1 sen—-— 
2
_ X 2sen-
2
kx■sen —+ sen(k +1)x =
— + cosx + cos2x + cos3x + ... + cosnx = 
2
i + cosx+ cos2x+ ... + coskx =
sen— + 2sen--- x-cos---x =2 2 2
P kx „ k + 1 xsen—+ 2 cos-- x sen—L 2 2 2.
Capítulo 3 - Resoluções66
Então, para n = k + 1, temos:
+ cos(k + 1)x =
29) Demonstrar que, VneN
= senx
2°) Seja n = k
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1, uma vez que
— -cosx + cos2x 
2 2sen
2
2senx-sen2x 2senx(1-cosx)
4sen2- 4sen2-
2 2
Então, para n = k + 1, temos:
senx + 2sen2x + ... + ksenkx + (k +1)sen(k + 1)x =
= (k-r 1) ■ senkx - ksen(k +1) ■ x + (k + 1)sen(k + 1)x =
4 sen2 -2
 (k +1) senkx -ksen(k-r1)x + 2(k + 1)sen(k + 1)x (1- cosx) 
4 sen2 -2
(k -r2).sen(k + 1)x+ (k + 1)senkx (k+ 2) [sen(k + 2)x+senkx] 
4 sen2- 4 sen2 -
2 2
 (k + 2).sen(k + 1)x -(k + 1)sen(k + 2)x
4 sen2 -
2
2k + 1 sen------- x
... + coskx + cos(k + 1)x =-------——
2k + 3 sen--------x
2
„ x2sen-
2
. 2k + 3 2k +1 sen-------x + sen-------- x - sen--------x2 l 2 2
2sen —
2
2k + 1 x ,,sen —;;— x + 2sen — cos(k + 1)x 
2sen-
2
„ (n + 1-sennx-nsen(n + 1)xsenx + 2sen2x + 3sen3x + ... + nsennx = ------------------
4 sen2 -
2
senx + 2sen2x + 3sen3x + ... + ksenkx = + 1)senkx—ksen(k+ 1)_x
4 sen2 -
2
2k+1
2
67Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
30) Demonstrar que Vn e N
Resolução
= cosx
2o) Suponha verdadeira para n = k
Então, para n = k + 1, temos:
cos x + 2 cos 2x +... + k cos kx + (k + 1)coskx ■ x =
31) Demonstrar que (para valores de x em que a expressão está definida)
(k + 2)-cos(k + 1)x + (k + 1) coskx (k + 1) [cos(k + 2)x + coskx ] + 1
4sen2- 4sen2^
2 2
 (k + 2)■ cosx(k + 1)x + (k + 1)coskx 2(k +1)-cosx- cos(k + 1)x +1 
4 sen2- 4sen2^
2 2
 (k +1) ■ cos kx - k cos(k +1) x -1 2(k +1) ■ cos(k + 1)x (1 - cos x) 
4 sen2 - 4 sen2 í
2 2
(k + 2) ■ cos(k + 1)x - (k +1) ■ cos(k + 1)x -1
4 sen2 -
2
cos x(1-cosx)
2sen2 -
2
2cosx -cos2x -1
4sen2 —
2
2cosx-2cos2x
4sen2 —
2
1°) A proposição é válida para n = 1, uma vez que
1. x 1 . x 1.x 1 L x+ — + ... +—tg—■ = —cotg—-cotgx
2. 2 2^ 2n 2n 2n 2^
„ , (k + 1)coskx-kcos(k + 1)x-1
cos x + 2cos2x + ... + k cos kx = ------------------------------------------
4 sen2 -
2
 (n +1) -cosnx -ncosfn- 1)x -1cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x +,.. + n cos nx = --------------------
4sen2 -2
1
2n
Capítulo 3 - Resoluções68
,2 x
2
32) Demonstrar que Vn eBI
arccotg3 + arc cotg5 +... + arc cotg(2n + 1) =
Resolução
1o) Temos:
ou seja, a proposição é válida para n = 1.
2°) Mostremos inicialmente que
(1)
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1, uma vez que
2
3
1
= ^k+Tcot9
1. x 
2*92
k + 2 arccotg(2k + 3) = arc tg-------- arctgl
k +1
2-1 tg(arctg2-arc tg1) =
1 + 2-1
1 X
= ^Tcot9^-co‘3x
= arctg2 + arc tg^ + ... + arc tg^-Í^-n arctgl
1 X 1 X—cotg—-cotgx = -cotg— - i^ 21 1
2tg| ’2tgf 2
* 1
o ok-r1
1 —
cot9^i
Por isso, arctg2 - arctgl = arctgl,
2o) Suponha verdadeira para n = k 
1 x 1 . x 1.x 1.x
2t92+?,9p-+- +^tgF=F 9F 9X
-cotgx = 
cot9^k+í
Então, para n = k+1, temos
1 . X 1 . X 1.x 1.x 1.x . 1.x
2,92T?t9?+-V92^ + ^T 2i^?=2r COt9XF” 9X^1 t9^T =
X 
2k+1
3
2
x
2k
69Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
De fato, temos:
k, isto é:
(2)
Demonstremos que, então, também é válida para n = k+1, ou seja que:
arc cotg3 + arccotg5 + ... + arc cotg(2k + 1) + arc cotg (2k + 3) =
(3)
33) Demonstrar que VneN
Resolução
1°) A proposição é válida para n = 1, já que
4 4
2o) Suponha verdadeira para n = k
1 
2k+3
De fato somando membro a membro as igualdades (1) e (2), obtemos a igualdade 
(3).
j 
(1 + i)k =22
1, 
(1 + i)n = 2 2 cos — + i sen —
2 
(1 + i)n = 22
Suponhamos que a proposição seja válida para n =
1^-1 
k + 1
k+2 .1 +------- 1
k+1
k?t
cos — + i sen —
4 4
nn nucos — +1 sen —
4 4 J
tg f arctg + ? arctg 1 ] =
V k + 1 )
arc tg2 + arc tg|- +... + arc tg—+ arctg - (k +1) ■ arctgl
3 k + 1
arccotg3 + arccotg 5 +... + arccotg (2k +1) = arctg 2 + arctg - +...+arctg—-— k arctgl
1 k + 2Ou seja, arctg--------= arccotg(2k + 3) = arctg----------arctgl
2k + 3 k + 1
Capitulo 3 - Resoluções70
,k+1
G/3-I)'
-1 sen
35) Demonstrar que (cosx + i senx)n =cosnx +sen nx para todo n naturalResolução
Resolução
1o) A proposição é válida para n = 1, uma vez que
ní nz nz73 -i = 2 cos----- i sen —l 6 6
(k + 1)z
4
(k + i)z
6
(k+1).n
6
Então, para n = k + 1, temos
)k+1=(^-i).(j3-i) = 2k
fkx nV (kz z
L l 4 4j l 4 4
k+1
= 2 2 [cos
O que conclui a demonstração.
Então, para n = k + 1, temos
(1 + i)1 
k+1
= 2 2
2o) Suponha verdadeira para n = k:
/ vk r-A kn kn (x/3 -i) = 2 cos—+i sen — 16 6
2 ícos—- i sen — 'l = 2k+1 íf i
l 6 6 J [X
(1 + i)k-(1 + i) =
34) Demonstrar que Vn e N
(>/3-í)n = 2Ícos^ + i sen^-j
kz . kz i cos----- 1 sen— =6 6 J
. í kz z z kz-i sen— cos —+sen-cos—
(.6 6 6 6
kz z kz . z)cos—cos----- 1 sen—-• isen— -6 6 6 6)
(k + 1)zl + i sen-------—4 J
1o) A proposição é válida para n = 1
2o) Suponha verdadeira para n = k.
(cosx + i senx)k =coskx + senkx
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - 1TA 71
Então:
= (coskx cosx- senkx.senx) + i (senkx cosx + senx coskx) =
cos(k + 1)x + i sen(k + 1)x
Resolução
1o)
Resolução
36) Um grupo de pessoas está em uma fila para comprar entradas para o cinema 
A primeira pessoa da fila é uma mulher e a última é um homem Mostre que. 
em algum ponto da fila, uma mulher está diretamente na frente de um 
homem.
Para n = 2: o enunciado afirma que a única mulher está na frente do único 
homem e, portanto, a afirmação "em algum ponto da fila, uma mulher está 
diretamente na frente de um homem" é verdadeira.
1o) Para n = 1, a equação fica x2 + y2 = z, que tem, por exemplo, a solução (2. 3.
13)
2o) Para n = 2, a equação fica x2 + y2 = z2, e qualquer terna pitagórica, como (3.
4, 5), é solução.
37) Mostre que, para qualquer natural n, existem números inteiro x. y e z tais que 
x2 + y2=zn.
2o) Supondo a afirmação verdadeira para n = k, k > 2. vamos mostrar que é 
verdadeira para n = k+1.
Primeira Possibilidade: a segunda pessoa da fila é homem. Neste caso, como 
a primeira é mulher, a afirmação é verdadeira. Neste caso, retirando a 
primeira mulher da fila, ficamos com uma fila de k pessoas, sendo a primeira 
mulher e a última homem. Pela hipótese de indução, há uma mulher 
diretamente na frente de um homem e isso continua verdadeiro ao 
recolocarmos a mulher no primeiro lugar na fila. Logo, a afirmação é 
verdadeira.
(cosx + i senx)k+l = (cosx+i sen x)k - (cosx + i-senx) = 
= (coskx + i senkx)• (cosx +i sen x) =
72 Capitulo 3 - Resoluções
ou seja
,2
Resolução
13
p(k + 1):13+23+... + (k + 1)3 >
Então
Dai 6k2 +8k + 3>0,VkeN
2
4
1^ 
4
(k + 1)4
4
= k, k > 2, vamos mostrar que é
(ca.cb.c) é uma solução para a equação x2 +y'
3°) Supondo a afirmação verdadeira para n 
verdadeira para n = k + 1.
Tomemos por base (a, b, c) uma solução para n = k - 1 
a2 + b2 = ck’’
13 + 23+... + k3 + (k + 1)3>!SÍ + 4(k + 1)3 =
4 4
k4 +4k3+ 12k2 +12k + 4
4
k4 + 4k3 + 6k2 + 4k +1+6k2 + 8k +3
4
2°) Admitamos p(k) :13 + 23 + ... + k3 > — verdadeira e provemos que vale
4
4
38) Demonstre que 13 +23 + 33 +... + n3 > —, VneN
4
(ca2)+(cb)2
(k +1)4 6k2 +8k + 3 (k +1)4
4 + 4 > 4
Então
(c2)a2+(c2)b2 =(c2)ck-1 ou
= zk+1, logo, está demonstrado.
1o) Para n = 1, é verdadeira
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 73
39) Demonstreque 6|n(n + 1)(n + 2),VneN
Resolução
1o) Para n = 1, é verdadeira pois,
6 11 (1 + 1) (1 + 2)
6 |k (k + 1)(k + 2)-(k + 3)
Então
=. 61 k (k +1)■ (k + 2) + 3(k +1) (k + 2) =>
40) Demonstre que 31 (n3+2n) VneN
Resolução
(k +1)3 + 2(k +1) = k3 + 3k2 + 3(k +1) + (2k + 2) =
= (k3+ 2k) + 3(k2+k +1)
2(k + 1)j.
2o) Supondo válida para n = k, isto é, 61 k (k + 1)(k *2) vamos provar para 
n = k +1 ou seja
Segue que 31 k3 + 2k 
Logo,
3| k3+2k + 3(k2+k + 1) = 
= 3|3(k2 + k + 1)
(k +1).(k + 2) (k + 3) = k (k +1) (k + 2) + 3(k +1) (k + 2) 
61 k (k + 1) (k + 2)1 
6|k(k + 1)-(k + 2)J
=> 6 |(k +1)■ (k + 2) ■ (k + 3). Está demonstrado.
1o) Para n = 1, é verdadeira pois, 3|1(13 + 2-1)
2o) Admitamos válida para n = k, ou seja. 3 |(k3 +2k) e provemos que p (k +1) é 
verdadeira, ou seja: 3|[ (k + 1)3 + 2(k +1)]
Temos
Ou seja, 31 [(k + 1)3
Capitulo 3 - Resoluções74
41) Demonstre que
Vn e N.
Resolução
Para n = 1, é válida pois. 1 + 1 = (1 + 1)1°)
k + 2
Temos:
(k + 1)-
42) Mostre que 2n i. n + 1, Vn e N.
Resolução
2kák + 1
Devemos provar que 2(k +1) > (k +1) +1
Resolução
1o)
43) Mostre que a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono 
convexo de n lados é Sn = (n-2)-180°.
Segue que 2(k +1) = 2k + 2 > (k +1) + 2 > (k +1) +1 
Como queríamos demonstrar.
Para n = 3 é verdadeira S3 = (3-2)-180° = 180 (soma dos ângulos internos 
de um triângulo).
k + 1 + 1 
k + 1<k + 1’í1r^'l =l k + 1J
P(k)
(1+1,{1ÍK1Í}-{1x) = n+t
•K)=k+1 e 
provemos que vale para n = k + 1, isto é (1+1)-^1^j (1iT+í) ~
)) = k + 2
2°) Admitamos válida para n = k, p(k) =
1o) Para n = 1, é verdadeira pois, 2 -1 > 1 + 1
2o) Admitamos que p(k), k e n, seja verdadeira
Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA 75
2°) Admitamos que seja válido para n = k:
S(kj = (k - 2) ■ 180° e provemos que é verdadeiro para n = k + 1 ou seja.
S(k+1» = (k-1)-180»
Podemos reescrever S(k+1j do seguinte modo
s(k r1) = sk* 180
-1), VneN.
Resolução
-1).
-1).
-1)
-1 = 8p, com peZ e daí
-1 =
+ 8p
= 8q, com q e Z
Vamos mostrar S(k+1) = (k - 2) ■ 180°= 180°(k - 2 +1) = 180° (k -1) 
Como queríamos demonstrar.
+ p)
Logo 8|32(k+1) -1
32(k+1) _1 = 32k+2 _i = 32k . 32 _1 = 32k(8 + 1j_1 = 8 32k +(32k
1°) Para n = 1 é verdadeira, pois 81 (32k
2k-1). segue que 3
= 8.32k
2°) Admitamos que seja verdadeira para n = k. ou seja. 81 (32k 
Vamos demonstrar que é válida para n = k + 1
Ora, como 81 (32k
= 8(32k
44) Mostre que 81 (32n
+ 32k32(k+1)_1 = 832k
Capitulo 3 - Resoluções76
, n > 0, n inteiro.
Resolução
2°) Supondo válida para n = k temos
p(k) = 2 + 5 +8 + ... + (2 +3k) =
Segue que:
46) Demonstre que 2o+ 21+ 22 ,. + 2n-1 =2n-1, Vn e N
Resolução
Devemos provar que vale para n = k + 1, isto é
2 + 5-8 + . + (2 + 3k) + [2 + 3(k + 1)] =
(k +1)(4+ 3k) +4 + 6(k +1) 3k2+13k + 14 (k + 2) ■ (3k + 7)
2 + 2 “ 2
2° + 21+ 22+... +2k-1 = 2k-1
Deveremos mostrar que vale para n=k+1
2^ + 21 + 22 t
21
(k + 2) (4+3) (k + 1)
2
(k + 1) (4 + 3k)
2
2 + 5 + 8 + ... + (2 + 3k) + [2 + 3 (k +1)] =
P(k) '
i i 2k-1 [ 2k — 2k+1_1
1o) Para n = 1 é verdadeira, pois 2o = 21 -1 
2°) Suponhamos válida para n = k
45) Mostre que
„ >- „ . n + 1(4 + 3n)2 + 5 + 8 + ...+(2 + 3n) =------- -------- -
(k + 1)<4+3k) + 2 + 3(k + 1)^
1o) Para n = 0 é verdadeira, pois 2 =
77Tópicos de Matemática - Olimpíadas - IME - ITA
Segue que:
2k — 1 + 2k = 2k+1 -1
Como queríamos provar.
47) Para n > 0 mostre que an = 2n3 -3n2 +n é um número divisível por 6
Resolução
a
= 0=>d3 =dn =
2o) Admitamos a validade para n = k
dk =
(D
Resolução
1o) Considerando que no triângulo não há diagonais a proposição é válida para 
n = 3 pois
k(k-3)
2
3(3-3)
2
48) Mostre que o número de diagonais de um polígono convexo de n lados é igual 
(n-3)n 
2
n(n-3)
2
ak+1 = 2(k +1)3 - 3(k +1)2 + (k +1) = 2k3 + 3k2 + k = ak + 6k2
Como a» é divisível por 6 podemos escrever akcomo sendo ak.k = ak + 6k. onde 
LeZ.
Segue que p(k + 1) é verdadeira.
1o) Para n = 1 é verdadeira, pois a-| = 2 13 - 3 12 +1 = 0
2o) Admitamos a validade para n = k
ak=2k3-3k2+k
Deveremos mostrar que é válida para n = k + 1.
Isto é
Devemos mostrar que é válida para n = k + 1 isto é 
dk+1=^^
78 Capitulo 3 - Resoluções
Segue que:
diagonais Faremos um
V, Ve
'VsV3
V?
dk^i = dk+1+k-2 = dk+k-1
Como por hipótese, dk = , obtemos ak+i ~ logo,
dk_.| é verdadeira e concluímos dk+1 é verdadeira para n > 3.
O vértice v, Vs se transforma em lado assim podemos reescrever a expressão (1) 
da seguinte forma:
Acrescentando vértice v6 temos:
Vz
(k-3).k
2
(k + 1)(k-2)
2
k2-k-2 
2
Ao acrescentarmos o vértice vk.i aos vértices v,, v2, ...vk para formar o polígono 
convexo de k + 1 lados, notamos que o lado Vi vk no polígono convexo Vi v2 ... vk 
vira uma diagonal; além disso, partindo do vértice vk.,, podemos traçar diagonais 
para os vértices v2, v3, .... vk.i, para um