Regra de Três

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DOCENTE 
 DISCIPLINA CURSO 
 ALUNO RA 
CONTEÚDO DISCIPLINA 
Título: SEMANA 1: Regra de Três 
Descrição do conteúdo: 
 
1 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas, a 
outra aumenta (ou diminui) na mesma proporção da primeira 
Exemplo: Uma pequena loja vende certo tipo de bolsa por R$ 40,00 a unidade. Chamando de x a quantidade 
vendida e y a receita (em reais) proveniente da venda dessas bolsas, teremos a seguinte correspondência: 
x 1 2 3 4 5 ..... n 
y 40 80 (40x2) 120 (40x3) 160 (40x4) 200 (40x5) ..... 40xn 
 
Observe que, quando o valor de x dobra, também dobra o de y; quando triplica o valor de x, também triplica 
o de y, e assim por diante. Em consequência disso, a razão entre cada valor de y e o seu correspondente x 
vale 40; e a razão entre cada valor de x e o correspondente y também é constante e vale . Neste caso, 
dizemos que as grandezas expressas por x e y são diretamente proporcionais. 
 
2. GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS 
 
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na 
mesma proporção da primeira. 
Fernanda Benassi 
Matemática e Raciocínio Lógico 
 
 
Exemplo: Numa estrada, a distância entre duas cidades é 240 km. Se um carro percorrer essa estrada 
a uma velocidade média x (em km/h), o tempo correspondente para ir de uma cidade à outra será y (em 
horas). Teremos a seguinte correspondência: 
x 10 20 30 40 50 ..... n 
y 24 12 (240/20) 8 (240/30) 6 (240/40) 4,8 (240/50) ..... 240/n 
 
Observe que, se a velocidade dobra, o tempo de viagem se reduz à metade; se a velocidade triplica o tempo 
se reduz à terça parte, e assim por diante. Consequentemente, o produto de cada valor de x pelo 
correspondente y é constante e vale 240. Dizemos então que as grandezas expressas por x e y são 
inversamente proporcionais. 
 
3 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
A regra de três é um procedimento prático que se emprega para achar uma grandeza desconhecida, 
dadas outras grandezas conhecidas. 
Exemplos: 
1. Cinco sacos de fertilizantes agrícola custam R$ 400,00. Quanto se deve pagar por 18 sacos de 
fertilizantes? 
Solução: 
2 grandezas: quantidade de sacos e valor 
Devemos colocar as 2 grandezas como indicado a seguir e sob essas grandezas os valores 
correspondentes, indicados no problema. 
 
Sacos R$ 
 5 400 
18 x 
 
O valor x é a incógnita do problema, ou seja, é o valor que queremos descobrir. 
Agora precisamos ver se as grandezas são diretas ou inversamente proporcionais. Como nesse caso, o 
aumento do n° de sacos corresponde a um aumento do valor em reais. 
Resolveremos utilizando produto cruzado: 
5
18
=
400
𝑥
⇒ 𝑥 =
400 × 18
5
= 1.440 
 
Deve-se pagar R$ 1.440,00 pelos 18 sacos. 
 
 
Importante: 
 As duas flechas para baixo indicam que as grandezas são diretamente proporcionais, quando as 
grandezas forem inversamente proporcionais, as flechas estarão em sentidos opostos; 
 As unidades de medida das grandezas devem ser sempre iguais (ver exemplo 2). 
 
2. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para se consumir? 
Solução: 
36 cm=360 mm 
 
1,8 mm 1 minuto 
360 mm x 
 
1,8
360
=
1
𝑥
⇒ 𝑥 =
360 × 1
1,8
= 200 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
Serão necessários 200 minutos para que a vela se consuma. 
 
 
3. Quinze operários fazem um certo serviço em 9 dias. Quantos operários serão necessários para fazer esse 
mesmo serviço em cinco dias? 
 
15 operários 9 dias 
 x operários 5 dias 
 
Grandezas inversamente proporcionais, pois serão necessários mais operários para realizar o serviço 
em menos dias. 
 
15
𝑥
=
5
9
⇒ 𝑥 =
15 × 9
5
= 27 𝑜𝑝𝑒𝑟á𝑟𝑖𝑜𝑠 
 
 
Serão necessários 27 operários para que o serviço seja concluído em 5 dias. 
 
4 BIBLIOGRAFIA 
SILVEIRA, D.C.; SALDANHA, M.S.G.; MISITI, L.O.R.; Aritmética e Introdução à Álgebra. 1 ed. São 
Paulo: Ícone Editora: 2012. 
IEZZI, G.; HAZZAN, S.; DEGENSZAJN, D. Fundamentos de Matemática Elementar, 11. 2 ed. São 
Paulo: Atual Editora: 2013. 
Os valores devem ser 
invertidos