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APÊNDICE
UNIDADE 
Resistência 
dos materiais
U4 - Estudo de torção no regime elástico16
Apêndice
Gabaritos comentados com resposta-padrão
UNIDADE 4: Estudo de torção no regime elástico
Gabarito 1. Faça valer a pena - Seção 4.1
1. Alternativa E.
Resposta comentada: Para determinar a tensão de cisalhamento 
máxima, primeiramente devemos identificar os esforços nos eixos. 
Para isso, devemos fazer um corte no meio de cada segmento do 
eixo para então verificarmos os torques no diagrama de corpo livre.
Adotando o sentido anti-horário positivo para os torques, temos:
T NmBD = 400 , T NmCD = 200 e T NmAC = 300
Como o raio é constante ao longo do eixo, utilizaremos o maior 
torque para determinar a tensão de cisalhamento máxima:
τ
π
Tc
J
N m m
Pa MPa= = ( )( )
( )
= × =
400 0 0125
0 0125
2
130 4 10 130 44
6. ,
,
, ,máx
2. Alternativa C.
Resposta comentada: Para calcular a tensão de cisalhamento 
máxima em cada tubo, primeiramente devemos calcular a torção 
que está sendo aplicada, conforme a figura. Com isso, temos que o 
torque será:
T N m N m N m= ( ) + ( ) =75 0 2 75 0 15 26 25. , . , , . (Sentido horário)
Agora, devemos identificar as propriedades geométricas dos tubos:
Para o tubo AB, temos:
c mm m2 10 0 010= = , e c mm mm mm m1 10 2 8 0 008= − = = , 
Portanto,
J m m m= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ×
−π
2
0 010 0 008 9 27 104 4 9 4, , ,
U4 - Estudo de torção no regime elástico17
Para o tubo BC, temos:
c mm m2 12 5 0 0125= =, , e c mm mm mm m1 12 5 2 10 5 0 0105= − = =, , , 
Portanto,
J m m m= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ×
−π
2
0 0125 0 0105 193 104 4 8 4, , ,
Com isso podemos calcular a tensão de cisalhamento máxima para 
cada tubo:
Para o tubo AB:
τ
AB
Nm m
m
Pa MPa= ( )( )
×
= × =−
26 25 0 010
9 27 10
28 3 10 28 39 4
6, ,
,
, ,máx 
Para o tubo BC:
τ
BC
Nm m
m
Pa MPa= ( )( )
×
= × =−
26 25 0 0125
193 10
17 0 10 17 08 4
6, ,
,
, ,máx
3. Alternativa A.
Resposta comentada: Para calcular a espessura do tubo, devemos 
primeiramente organizar as informações do enunciado:
T N m=1000 .
O raio do círculo da seção transversal:
c mm mm m2
60
2
30 0 030= = = , e c1 = ? .
E a tensão de cisalhamento admissível do tubo: τadm MPa= 70 .
Com isso, usaremos a seguinte equação com os dados obtidos: 
τ Tc
J
=máx ⇒ 70 10
1000 0 030
2
0 030
6
4
1
4
× =
( )( )
( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦
Pa
N m m
m c
. ,
,π
 
Isolando a incógnita c1 , temos:
c m N m m
Pa
m1
4
6
4 0 030 2 1000 0 030
70 10
0 02707 27 1= ( ) − ×
×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
= =, . , , ,
π
mmm 
Com o resultado do raio interno, podemos obter a espessura mínima 
necessária, calculada a partir da diferença entre os raios:
e c c mm mm mm mm= − = − =2 1 30 27 1 2 9 3, , � .
Gabarito 2. Faça valer a pena - Seção 4.2
1. Alternativa C.
Resposta comentada: Para calcular o ângulo de torção, podemos 
utilizar a seguinte equação: φ = TL
JG
.
U4 - Estudo de torção no regime elástico18
Para isso, sabemos que o comprimento é L m= 50 e o módulo 
de elasticidade transversal é G GPa= 80 . Precisamos determinar o 
momento polar de inércia e o torque, assim temos:
J c c m m m2 2
4
1
4 4 4 41
2
1
2
0 175 0 140 8 7 10= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ×
−π π , , , 44
Iremos determinar o torque, pois sabemos que a τadm MPa= 45 , com isso:
T J
c
Pa m
m
N madm= =
×( ) ×( )
= × =
−
τ 45 10 8 7 10
0 175
223 71 10 223 71
6 4 4
3
,
,
, . , kkN m.
Finalmente, com todos os dados, podemos determinar o ângulo 
de torção:
φ = =
×( ) ( )
×( ) ×( ) =−
TL
JG
N m m
m Pa
rad
223 71 10 50
8 7 10 80 10
0 16
3
4 4 9
, .
,
,
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Para calcular o ângulo de torção, podemos 
utilizar a seguinte equação: φC D
CD CDT L
JG−
= .
Para isso, sabemos que o comprimento é L mCD = 0 4, e o módulo 
de elasticidade transversal é G GPa= 75 . Precisamos determinar o 
momento polar de inércia e o torque, assim temos:
J c m m2
4 4 7 41
2
1
2
0 025 6 14 10= ( ) = ( ) = × −π π , , .
O torque em C será:
T T T N m N m N mCD A C= + = − = −300 500 200. . . (considerando o sentido anti-
horário positivo).
Finalmente, com todos os dados, podemos determinar o ângulo de 
torção:
φC D
CD CDT L
JG
N m m
m Pa− −
= =
( )( )
×( ) ×( ) = ×
200 0 4
6 14 10 75 10
174 1
7 4 9
. ,
,
, 00 3− rad
3. Alternativa C.
Resposta comentada: Para resolver esse problema, devemos utilizar 
a equação de condição de equilíbrio estático ∑ =Mx 0 , assim temos: 
T T N mA B+ = 300 . .
Por apresentar duas incógnitas, temos uma condição estaticamente 
indeterminada. Dessa forma, devemos admitir uma condição de 
compatibilidade, onde temos:
T L
JG
T L
JG
A AC B BC− = 0 ⇒ T
L
L
T m
m
T TB AC
BC
A A A= = =
0 40
0 80
0 50,
,
,
U4 - Estudo de torção no regime elástico19
Substituindo essa última expressão na primeira equação, temos:
T T N mA B+ = 300 . ⇒ 150 300, .T N mA =
Portanto, T N mA = 200 . e T N mB =100 . .
Para determinar a tensão de cisalhamento máxima, utilizaremos o 
maior torque, com isso temos:
τ
π
AT c
J
N m m
m
Pa MPa= = ( )( )
( )
= × =
200 0 02
1
2
0 02
15 9 10 15 9
4
6. ,
,
, ,máx
Gabarito 3. Faça valer a pena - Seção 4.3
1. Alternativa D.
Resposta comentada: Para calcular a tensão de cisalhamento máxima 
do eixo de transmissão, podemos utilizar a seguinte equação: 
τ Tc
J
=máx . Para isso, primeiro devemos determinar o torque com as 
informações apresentas no enunciado. Sabendo que a potência 
é igual a 50 103× W e a frequência é igual a: f Hz= =600
60
10 , podemos 
então calcular o torque:
T P
f
W
Hz
Nm= = ×( ) =2
50 10
2 10
795 8
3
π π
,
Agora, podemos determinar a tensão de cisalhamento máxima:
τ
π
Tc
J
Nm m
m
Pa MPa= = ( ) ( )
( )
= × =
795 8 0 02
0 02
2
63 3 10 63 34
6, ,
,
, ,máx
2. Alternativa A.
Resposta comentada: Para calcular o ângulo de torção no eixo 
apresentado, podemos utilizar a seguinte equação: φ = TL
JG
Para isso, primeiro devemos determinar o torque, mas antes iremos 
calcular o momento polar de inércia:
J m m m= ( ) − ( )⎡⎣ ⎤⎦ = ×
−π
2
0 03 0 0125 1234 104 4 6 4, , ,
Agora, podemos calcular o torque:
= =T J
c
Pa m
m
Nm
×( ) ×( )
=
−
τ 50 10 1234 10
0 03
2056 7
6 6 4,
,
,máx 
Com isso, podemos calcular o ângulo de torção:
φ = =
( )( )
×( ) ×( ) =−
TL
GJ
Nm m
Pa m
rad
2056 7 5
80 10 1234 10
0 1
9 6 4
,
,
,
U4 - Estudo de torção no regime elástico20
3. Alternativa D.
Resposta comentada: Para dimensionar o diâmetro do eixo CD, 
podemos obter o raio do eixo utilizando a equação a seguir:
τ Tc
J
=máx
Podemos isolar o raio dessa equação:
τ Tc
J
=máx ⇒ τ π π
Tc
J
Tc
c
T
c
= = =4 3
2
2
máx ⇒ c T3 2=
πτmáx
 ⇒ c T= 23 πτmáx
.
A tensão de cisalhamento máxima já foi dada no enunciado 
( )τ MPa= 60máx . Devemos determinar o torque que atua no sistema. 
Para calcularmos o toque do motor A, podemos utilizar a equação 
a seguir:
T P
f
W
rpm
NmAB = =
×
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
2
100 10
2 1200
60
795 8
3
π π
, 
Para obter o torque que atua no eixo CD, devemos utilizar as 
equações de condição de equilíbrio a seguir:
∑ =MC 0 ⇒ − − =T FrCD C 0 ⇒ 
∑ =MB 0 ⇒ T F rAD B− =' 0
Igualando as forças, temos: T r
r
T
m
m
Nm NmCD C
B
AB= =
( )
( ) ( ) =
0 125
0 075
795 8 1326 3
,
,
, , . 
Assim, temos:
c
Nm
m mm= ( )
×( ) = =
2 1326 3
60 10
0 0241 24 1
63
,
, ,
π
 ∴ d c mm mm= = × =2 2 24 1 48 2, ,