Resumo semana 2 calculo 3 dp calculo 2 univesp

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INTEGRAIS TRIPLAS
Interpretações
 massa de D com densidade 
⇒ é o volume de D.
Exemplo:
Teorema:
 f contínua em D e D um domínio que possui volume, então f é integrável em D. 
Propriedades básicas:
1) 
2) 
Atenção: 
VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO
Em uma variável: o valor médio de é ou ainda 
Em duas variáveis: o valor médio de é ou ainda
 
Em três variáveis: o valor médio de é ou ainda 
 
O cálculo de uma integral tripla será feito através da chamada “integração iterada”. Serão 3 integrais de uma variável, sendo uma para cada uma das variáveis x, y e z.
Por exemplo, sendo e ,
TEOREMA DE FUBINI
CÁLCULO DE INTEGRAIS DUPLAS
Teorema de Fubini ⇒ Integração iterada, duas integrações simples (uma variável) uma em cada variável.
RETÂNGULOS
D Produto Cartesiano de intervalos
 D
D 
Teorema de Fubini: contínua em D 
 
 
Calcular sendo D
CÁLCULO DE INTEGRAIS TRIPLAS
Teorema de Fubini ⇒ Integração iterada
Três integrações simples (uma variável) uma em cada variável
Seja uma função de três variáveis
INTEGRAIS TRIPLAS E CÁLCULO DE MASSA
Domínio D 
Paralelepípedo reto retângulo de lados paralelos aos planos coordenados
Teorema de Fubini: contínua e D paralelepípedo (como acima); então 
Outras ordens são possíveis: 
 São 6 ordens diferentes!
Logo 
Teorema de Fubini. Caso Geral.
), }
 
Podemos trocar a ordem:
TEOREMA DE FUBINI (parte 2)
O Teorema de Fubini nos fornece a estratégia para o cálculo de integrais duplas e triplas.
Transforma uma integral múltipla numa integral em várias integrais simples iteradas.
Teorema de Fubini. Caso Geral.
), 
 }
Calcular sendo dado por 
O volume de D pode ser calculado por
 
E podemos obter o valor médio de em D é :
Sendo D o tetraedro de vértices escreva a integral em duas ordens distintas
Equação do plano:
 
outra ordem possível 
ou ainda