ESTUDO DE IMAGEM GRAFICA DIGITAL

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Imagem Digital 1 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Imagem Digital 
 
 
Depois da cor, o segundo elemento fundamental da Computação Gráfica é a Imagem 
Digital. Mas, antes de discutirmos a versão digital, vamos conceituar melhor o que 
entendemos por imagem. No sentido comum, imagem é uma representação gráfica de 
objetos que nos cercam ou que criamos. No contexto deste capítulo, a imagem que nos 
interessa é aquela produzida por computador que se assemelha a uma foto – ou seja, é uma 
região retangular do espaço na qual em cada ponto percebemos uma cor ou uma intensidade 
de cinza. 
Por questão de simplicidade, vamos inicialmente tratar do modelo das fotos 
monocromáticas ou, como se diz comumente, fotos em preto e branco. A Fig. 3.1 (a) 
mostra uma foto de um passarinho num poste com uma linha marcada. O valor da 
intensidade de cinza, medida de 0 a 255, ao longo desta linha está indicado na Fig. 3.1(b). 
 
 
Fig. 3.1 – Valor da intensidade de cinza ao longo de uma linha da foto. 
Se considerarmos que, para cada valor no interior do retângulo da foto, temos uma 
intensidade de cinza de 0 a 255, podemos, abstratamente, pensar em uma imagem 
monocromática como sendo uma função do R2 em R ou uma superfície no R3, como ilustra 
a Fig. 3.2. 
 
Fig. 3.2 – Modelo matemático para uma imagem: função do R2 em R. 
0
50
100
150
200
250
0 100 200 300 400 500 600
(a) (b)
u
v
L
L(u,v)
Imagem Digital 2 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Se a foto for colorida, não podemos medir a cor por apenas um número real, sendo 
necessários mais valores. Uma maneira simples de evoluirmos o modelo monocromático 
descrito acima consiste em considerar, em vez de uma, três funções distintas: uma para 
cada canal RGB. A Fig. 3.3 ilustra esta decomposição, na qual para cada canal o valor da 
intensidade é convertido numa escala de preto (zero) para branco (255). 
 
RGB 
 
R (Vermelho) 
 
G (Verde) 
 
B (Azul) 
Fig. 3.3 – Decomposição de uma imagem colorida em três canais: RGB. 
Naturalmente, também podemos pensar na imagem colorida como sendo uma função que 
atribui a cada ponto do domínio retangular um ponto no espaço de cores. Como visto no 
capítulo anterior, este espaço pode ser RGB, RGBA, CMY, CMYK, etc. A Fig. 3.4 ilustra 
esta idéia para o espaço RGB. 
 
Fig. 3.4 – Imagem colorida como um mapeamento do R2 em R3. 
A conveniência de escolhermos este ou aquele modelo para imagens coloridas depende da 
aplicação e é, de certa forma, uma decisão arbitrária. 
 
R
G
B
u
v
Imagem Digital 3 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Aquisição de imagens 
A natureza de uma imagem digital pode ser melhor compreendida se analisamos o seu 
processo de aquisição. Numa máquina fotográfica digital, um sistema de lentes projeta a 
cena 3D no plano correspondente ao filme. Por enquanto, vamos desconsiderar o processo 
de projeção para estudar os passos fundamentais que se seguem: amostragem, 
quantização e codificação. 
Antes de discutirmos o processo de aquisição de uma imagem que trata de um domínio 
bidimensional, é interessante consideramos primeiro o estudo de uma função f(x) genérica 
que passe pelos mesmos processos de amostragem e quantização, como ilustra a Fig. 3.5. 
O processo de amostragem consiste em dividir o domínio (eixo x) em uma partição 
indicada pelas marcas na figura. Dentro de cada intervalo escolhemos um valor para 
representar a função naquele trecho. Isto pode ser tanto o valor da função naquele ponto 
quanto outro valor que leve em conta o comportamento da função no trecho todo, como 
uma altura média, por exemplo. 
 
(a) amostragem 
 
(b) quantização 
Fig. 3.5 – Amostragem e quantização de uma função f(x). 
Após a amostragem temos a quantização. O valor amostrado pode ser adquirido como um 
tipo ponto flutuante ou inteiro longo, que requerem mais bits do que podemos dispor. Para 
x
função original
f(x)
amostra
0
1
2
3
4
5
6
x
função original
f(x)
amostra
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
x
função original
amostra
quantizada
f(x)
×
×
× ×
×
× × ×
×
× ×
×
×
Imagem Digital 4 
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reduzir o tamanho da representação do número na memória do computador, dividimos o 
eixo y em classes e escolhemos um representante para cada classe. No exemplo da Fig. 3.5, 
o eixo é particionado uniformemente com um intervalo de 1.0. Valores no intervalo (0.5, 
1.5], por exemplo, são representados como 1. Assim, a função amostrada e quantizada pode 
ser representada através do vetor (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2). Este vetor representa, 
dentro das aproximações do nosso modelo, os infinitos pontos da função original. 
Para armazenar cada um dos valores quantificados como um tipo float de 4 bytes 
precisamos de 52 bytes. Podemos também codificar esta mesma informação com 4 bytes 
para indicar o tamanho do intervalo uniforme utilizado para quantização, 1.0, e armazenar o 
número do intervalo em que cada amostra quantizada está (3, 4, 5, 5, 4, 2, 2, 3, 5, 5, 4, 2). 
Este último vetor pode ser do tipo char em C, que consome apenas um byte por valor e o 
total de memória necessária seria 17 bytes, incluindo os quatro que definem o intervalo. Ou 
seja, neste caso a codificação reduziu razoavelmente a memória necessária sem nenhuma 
perda adicional de informação. Se admitirmos que o intervalo seja sempre 1.0 podemos 
omitir esta informação. Mais ainda, quando admitimos algum tipo de perda, a redução 
pode ser bem maior, como veremos na quantização de imagens. 
O processo de aquisição de uma imagem não difere fundamentalmente do exemplo da 
função f(x). A Fig. 3.5 ilustra as etapas de amostragem, quantização e codificação de uma 
imagem em tons de cinza. 
Amostragem 
A etapa de amostragem corresponde a definir uma cor para cada retângulo correspondente a 
um pixel. Como possivelmente a cor varia dentro da área do pixel, a cor uniforme 
escolhida deve gerar uma aproximação da percepção de cor que a variação original 
produzia. 
 
Fig. 3.5 – Amostragem, quantização e codificação. 
amostragem
Imagem de tons 
contínuos
55 55 55 55 55 55 55
55 20 22 23 45 55 55
55 55 10 09 11 55 55
55 55 43 42 70 55 55
55 55 28 76 22 55 55
55 55 55 55 55 55 55
5555 5555 5555 5555 5555 5555 5555
5555 2020 2222 2323 4545 5555 5555
5555 5555 1010 0909 1111 5555 5555
5555 5555 4343 4242 7070 5555 5555
5555 5555 2828 7676 2222 5555 5555
5555 5555 5555 5555 5555 5555 5555
64x54
64x54 - 16 cores
codificação
Imagem amostrada
Imagem amostrada e
quantizada
5*55, 1*55, 1*20, 1*22, ….
quantização
Imagem amostrada, 
quantizada e codificada
Imagem Digital 5 
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A Fig. 3.6, extraída de uma tela do Adobe PhotoShop™, ilustra os parâmetros de resolução 
espacial oriundos deste processo de amostragem. Devemos notar que, além da resolução 
medida em número de pixels na largura (width) e na altura (height), a imagem pode ter um 
tamanho de impressão que define uma resolução em pixels/polegada ou em 
pixels/milímetro. Os monitores de computadores geralmente trabalham na faixa de 75 
pixels/polegada e as impressoras geralmente trabalham com mais de 300 pixels/polegada. 
A imagem dos lírios da Fig. 3.6, por exemplo, tem uma boa resolução para aparecer no seu 
tamanho normal em um monitor mas não usaria todo o potencial de uma impressora, a 
menos que ela fosse exibida num tamanho menor. 
 
Fig. 3.6 – Resolução especial de uma imagem no Adobe PhotoShop™. 
Outro aspecto interessante na tela de diálogo é a caixa de diálogo que pergunta qual o 
método para redefinir a resolução da imagem: mais próximo, bilinear ou bicúbico. Esta 
escolha se refere ao fato de que, para mudar o número de pixels tanto na largura quanto na 
altura, precisamos re-amostrar a imagem. Para ilustrar o que está envolvido nesta re-
amostragem, consideremos novamente a função f(x) da Fig. 3.5 da forma ilustrada na Fig. 
3.7, onde as linhas verticais correspondem à nova discretização espacial. Precisamos saber 
que valores devemos atribuir a cadaum destes novos intervalos. Note que estes intervalos 
correspondem aos pixels no caso das imagens. 
 
(a) aumento de resolução. 
x
f(x)
×
×
× ×
×
× × ×
×
× ×
×
×função reconstruída
pelo vizinho mais 
próximo
função reconstruída
por interpolação 
linear
função original
0
1
2
3
4
5
6
Imagem Digital 6 
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(b) redução de resolução. 
Fig. 3.7 – Reconstrução e re-amostragem de f(x) em diferentes resoluções. 
Dois critérios geométricos simples podem ser usados para estimar o valor da amostra num 
novo intervalo: (a) o valor da função num ponto do intervalo, ou (b) um valor médio ao 
longo dele. Se a função for linear no intervalo todo, a interpolação no meio do intervalo é 
equivalente à altura média. Note, entretanto, que, apesar de termos mantido o gráfico da 
função original na Fig. 3.7, ela não é mais conhecida nesta etapa. Para fazermos as 
estimativas dispomos apenas dos valores amostrados quantizados (marcados com um × nas 
figuras). 
Para qualquer um dos critérios geométricos enunciados acima, precisamos reconstruir uma 
aproximação para a função original a partir das amostras quantizadas. Na Fig. 3.7 
apresentamos duas hipóteses: valor mais próximo e interpolação linear. A interpolação 
cúbica não está mostrada para não sobrecarregar a figura. Ela apenas permitiria uma 
aproximação mais suave que a linear. A janela do Adobe PhotoShop™ se refere às duas 
últimas interpolações como bilinear e bicúbica, uma vez que as interpolações no pixel são 
feitas simultaneamente nas direções x e y. 
Se examinarmos as reconstruções da função f(x), vemos que elas são pouco satisfatórias, 
incorrendo em grandes erros quando f(x) varia muito. Este fato advém da amostragem 
pobre em pontos nesta região de grande variação. A Fig. 3.8 ilustra uma função seno 
amostrada com uma amostragem ruim e outra boa. Para capturar corretamente as 
oscilações de freqüência ω de uma função, Nyquist estabeleceu que o intervalo de 
amostragem deve ser menor que 1/(2ω) . Funções amostradas em intervalos maiores que 
este valor, conhecido como limite de Nyquist, não podem ser adequadamente reconstruídas 
a partir apenas das amostras. 
 
(a) freqüência de amostragem muito baixa. 
x
f(x)
×
×
× ×
×
× × ×
×
× ×
×
×função reconstruída
pelo vizinho mais 
próximo
função reconstruída
por interpolação 
linear
função original
0
1
2
3
4
5
6
x
f(x)
x
f(x)
Imagem Digital 7 
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(b) freqüência de amostragem boa. 
Fig. 4.7 – Amostragens uniformes da função seno. 
Um último ponto a destacar na questão da re-amostragem da função f(x) é que, quando o 
intervalo de amostragem é reduzido (aumento da resolução espacial), os novos valores 
podem ser calculados por interpolação dos valores antigos. Quando o intervalo é 
aumentado, reduzindo a resolução espacial, precisamos combinar os valores dos intervalos 
antigos para estimar um novo valor. Ou seja: quando aumentamos a resolução, 
interpolamos; quando reduzimos, temos que fazer uma média ponderada. A estratégia de 
utilizar o valor mais próximo é a que mais induz a erros mas é a mais eficiente, por isso é 
comumente utilizada em animações de jogos, onde a qualidade é um fator secundário face à 
eficiência. 
A Fig. 3.8 ilustra a redução e o aumento do número de pixels do personagem Papa-Léguas 
da Hanna-Barbera™ em três resoluções. Primeiramente, as imagens de baixa resolução são 
obtidas a partir da imagem de resolução mais alta com reduções de 50%. Depois 
aumentamos a resolução para voltar a resoluções mais altas. As mudanças de resolução do 
lado inferior esquerdo da figura utilizam interpolação bicúbica e as do lado superior direito 
utilizam o valor mais próximo. Dois pontos são importantes de destacar. O primeiro é que, 
ao reduzirmos a resolução espacial de uma imagem, perdemos informações e 
conseqüentemente não temos como voltar à imagem original. Uma maneira simples de 
observarmos isto é contando o número de pixels. O segundo ponto é que nem sempre a 
interpolação bicúbica produz resultados significativamente melhores. Esta é uma imagem 
típica de desenho animado, na qual as cores não variam suavemente. A interpolação 
bicúbica é melhor quando, ao interpolarmos com suavidade, reconstruímos melhor a função 
original, o que não é o caso para esta imagem em particular. A imagem do Papa-Léguas é 
descontínua e a imposição de continuidade não melhora muito o processo de reconstrução, 
podendo inclusive atrapalhar. 
 
Fig. 3.8 – Mudanças de resolução espacial de uma imagem. 
x
f(x)
x
f(x)
312×194
156×97
78×48
312×194 312×192
78×49
156×97
312×194
312×194
bicúbica
mais 
próximo
Imagem Digital 8 
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Quantização 
Após o processo de amostragem, temos um conjunto finito de valores de tons de cinza (ou 
cores), mas estes valores podem estar na forma analógica ou representados por números em 
ponto flutuante com muitos bits. Portanto, o segundo processo importante na aquisição de 
uma imagem é a quantização. Este processo inicialmente seleciona um conjunto de tons 
(geralmente 256) para os valores de intensidade de cinza (ou de cada canal de cor RGB). A 
seguir, cada tom de cinza (ou cada intensidade de cada canal de cor) é trocado pelo seu 
representante no conjunto escolhido. Assim, por exemplo, podemos representar cada pixel 
de uma imagem monocromática com um byte e cada pixel de uma imagem colorida com 
três bytes (RGB). 
Por questões de alinhamento de palavras na memória, diversas placas de vídeo armazenam 
os 3 bytes de cor em uma palavra de 32 bits (long int). Alguns programas também 
complementam os canais RGB com um canal chamado Alfa, resultando em uma 
informação de 32 bits, RGBA. Este canal é geralmente associado à transparência do pixel e 
é utilizado para controlar a sobreposição de duas imagens, como será descrito 
posteriormente. 
Cores com 24 ou 32 bits são chamadas de true color porque normalmente se entende que 
224, ou 16 milhões de cores, são suficientes para representar os tons mais sutis que 
monitores e impressoras atuais são capazes de reproduzir. É interessante notarmos que um 
ser humano normal só é capaz de distinguir 400 mil cores diferentes de todo o espectro de 
cores visíveis, ou seja, menos que 219. O número de cores que um ser humano normal é 
capaz de distinguir na tela de um monitor depende de cada equipamento, mas é certamente 
bem menor que 400 mil. Em função disto, as placas gráficas costumam oferecer uma 
opção, chamada hi color, que armazena as cores em uma palavra de 2 bytes (short int, 
em C) utilizando 15 ou 16 bits e reproduzindo 32 ou 65 mil cores, respectivamente. Quando 
as placas utilizam 15 bits, cada canal R, G ou B utiliza 5 bits que reproduzem 32 tons 
daquela cor. Quando as placas utilizam 16 bits, é comum estender a representação do canal 
verde para 6 bits ou 64 tons1. 
O número de cores atualmente entendido como o mínimo para representar razoavelmente 
uma imagem complexa é 256. Nas placas de vídeo de 256 cores, cada pixel é representado 
por um byte e o significado de cada byte depende de uma tabela de cores. Ou seja, ao invés 
de armazenar a cor, este sistema armazena um índice de uma tabela. A cor é encontrada na 
linha correspondente da tabela de cores, como ilustra a Fig. 3.9. Note que a memória que 
armazena os índices de imagem de 800×600 pixels possui 64 mil bytes e a tabela de cores 
apenas 768 bytes. A tabela de cores é também denominada palheta de cores (em inglês 
“color table”, “look up table” ou “LUT”). Um ponto importante a destacar nestas imagens 
é que, se mudarmos a resolução espacial e quisermos utilizar uma reconstrução bilinear ou 
bicúbica, a nova cor gerada possivelmente não estará na palheta de cores. 
 
1 O olho humano é mais sensível ao verde que aos outros canais, como está apresentado no capítulo sobre 
cores. 
Imagem Digital 9 
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Fig.3.9 – Esquema de representação de cores numa imagem indexada. 
O problema da quantização admite soluções simples ou complexas. Para aprofundarmos 
um pouco mais este assunto, vamos tratar da redução do número de cores de uma imagem 
true color para uma imagem indexada. A Fig. 3.10 mostra a janela de diálogo do Jasc Paint 
Shop Pro™ para esta redução. Nesta janela, o usuário deve fazer duas escolhas básicas 
para definir o método de quantização a ser adotado: como a palheta deve ser determinada e 
como as cores dos pixels devem ser substituídas. 
Vamos examinar primeiramente os métodos de escolha da palheta de cores. O diálogo da 
Fig. 3.10 oferece três opções: palheta determinada por um algoritmo baseado no corte 
mediano, palheta determinada por um algoritmo baseado na octree e o uso de uma palheta 
fixa, que é mais segura para uso na Web. 
 
Fig. 3.10 – Algoritmos de redução de cores no Jasc Paint Shop Pro™. 
A principal diferença entre as três opções de palhetas está na questão de usarmos uma 
palheta fixa para todas as imagens ou se o algoritmo deve calcular, para cada imagem, qual 
a palheta de cores que melhor se adapte a ela. 
Quando escolhemos a quantização uniforme ou uma palheta de cores fixa, o problema é 
razoavelmente simples. Para decidirmos qual cor da palheta (ri, gi, bi) melhor representa 
uma determinada cor (r, g, b) da imagem basta calcularmos a distância dessa tonalidade a 
cada uma das cores da palheta e escolher a menor. A distância neste caso pode ser 
simplesmente a distância euclidiana no espaço RGB: 
222 )()()( iii bbggrrd −+−+−= (3.1) 
000
BGR
000
BGR
Tabela de cores
Memória gráfica
Imagem Digital 10 
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Quanto, entretanto, deixamos em aberto a escolha das cores da palheta de modo a 
minimizar os erros da quantização, os algoritmos se tornam bastante mais complexos. Os 
algoritmos baseados no corte mediano e na octree pertencem a esta classe de palhetas 
adaptativas. A Fig. 3.11 ilustra a diferença de resultado que podemos obter com o 
algoritmo de corte mediano e de palheta fixa. Note que a imagem do avião fica muito mais 
deteriorada com a utilização da palheta fixa que a imagem dos lírios aquáticos. Isto ocorre 
porque as cores da imagem do avião têm muitos tons de azul e as palhetas fixas contêm 
amostras de todo o espectro de cores. 
 
Fig. 3.11 – Alguns resultados dos algoritmos de quantização. 
A idéia geral do algoritmo de corte mediano é que cada cor da palheta represente o mesmo 
número de cores da imagem original. A forma de implementá-lo consiste em dividir 
recursivamente as caixas envolventes das cores da imagem no espaço RGB na sua maior 
dimensão, de forma que cada sub-retângulo contenha o mesmo número de cores. O 
algoritmo abaixo descreve este procedimento: 
• Comece calculando a caixa envolvente alinhada com os eixos que melhor ajuste os pontos 
no espaço RGB que representam as cores da imagem. Quando dois pixels da imagem 
têm a mesma cor, então dois pontos estão na mesma posição. 
• Repita para cada nova caixa gerada: 
o Ordene os pontos que representam as cores de acordo com o eixo correspondente 
à maior dimensão da caixa; 
o Separe os pontos em dois grupos no ponto mediano. Ou seja, de cada lado do 
plano de corte, haverá aproximadamente o mesmo número de pontos. 
• Até que o número de caixas corresponda à quantização de cores (256, por exemplo). 
• Para cada caixa, calcule a cor correspondente ao seu centróide e atribua esta cor a todos 
os pixels que estão dentro dela. 
A Fig. 3.12 ilustra este processo. 
Imagem Digital 11 
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Fig. 3.12 – Passos do algoritmo de corte mediano. 
Uma questão subentendida no resultado dos processos de amostragem e quantização é o 
armazenamento dos valores dos pixels na memória do computador. Os pixels de uma 
imagem estão dispostos segundo um arranjo bi-dimensional e a memória do computador é 
entendida como linear. Este problema também aparece quando queremos armazenar uma 
matriz e a solução adotada pela linguagem C é bem parecida com um dos métodos mais 
utilizados em imagens. 
Uma solução consiste em armazenar inicialmente todos os valores da primeira linha, 
seguidos pelos valores da segunda e assim por diante até a última linha. A memória das 
placas gráficas geralmente segue a ordem de varredura dos monitores que é de cima para 
baixo e assim o primeiro pixel a ser armazenado é o superior esquerdo e o último o inferior 
da direita. A fig. 3.13a ilustra este endereçamento para uma imagem em RGB. O endereço 
na memória dos bytes correspondentes ao RGB do pixel (x,y) também está mostrado na 
figura. A fig. 3.13b mostra uma das formas de armazenamento de uma imagem no formato 
TARGA. Este formato armazena, além das componentes RGB, a componente alfa (A) que 
serve para definir a opacidade do pixel. É claro que estes dois modelos não são únicos, 
existem muitas outras maneiras de se organizar a informação de cores de uma imagem: a 
imagem pode ser armazenada em três vetores (um para cada componente RGB); cada cor 
pode ser colocada em um long int (32 bits), etc... 
 
(a) formato PPM 
 
 
(b) um dos formatos TARGA 
Fig. 3.13 – Dois modos de armazenamento de uma imagem. 
00 01 02 0807060503 04 1009 11
0 1 2
...
1312 14
w-1
15 16 17 18 ...
x
y Pixel (x,y)
unsigned char *rgb_vector;
…
offset=3*(w*y+x);
red = rgb_vector[offset];
green = rgb_vector[offset+1];
blue = rgb_vector[offset+2];
0
1
2
h-1
3
...
b g r a
b g r a bb arg
0 1 …
...
arg
w-1 x
unsigned char *bgra_vector;
…
offset=4*(w*y+x);
blue = bgra_vector[offset];
green = bgra_vector[offset+1];
red = bgra_vector[offset+2];
alpha = bgra_vector[offset+3];
0
1
2
h-1
3
Pixel (x,y)
Imagem Digital 12 
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Codificação 
A codificação de uma imagem estabelece quais cadeias de bits representam uma 
determinada cor, mais precisamente estabelece os bits que representam os níveis dos tons 
de cinza ou dos canais RGB. Como nas placas gráficas e na memória principal utilizamos 
uma codificação de tamanho fixo, isto é, todos os tons de cinza são armazenados com o 
mesmo número de bits, a etapa de codificação é intimamente ligada à etapa de quantização. 
Ou seja, a quantização de um canal em 256 tons variando de 0 a 255 implica na codificação 
do unsigned char da linguagem C. 
Na memória secundária, os requisitos de velocidade de armazenamento ou leitura são muito 
menores do que na memória principal, por isso os formatos como GIF e JPEG utilizam 
codificações mais demoradas que resultam em arquivos de imagens menores. Estas 
codificações mais eficientes em espaço são de tamanho variável, ou seja, cada tom de 
cinza, por exemplo, pode ser codificado com um número diferente de bits. A Tab. 3.1 
ilustra esta idéia para uma imagem 100×100 quantizada em oito tons de cinza. A segunda 
coluna da tabela mostra quantos pixels tem um determinado tom. 
 Tamanho fixo Huffman 
tons # pixels código tam. # bits código tam. # bits 
0 1900 000 3 5700 00 2 3800 
1/7 2500 001 3 7500 10 2 5000 
2/7 2100 010 3 6300 01 2 4200 
3/7 1600 011 3 4800 110 3 4800 
4/7 800 100 3 2400 1110 4 3200 
5/7 600 101 3 1800 11111 5 3000 
6/7 300 110 3 900 111101 6 1800 
1 200 111 3 600 111100 6 1200 
 TOTAL 30000 TOTAL 27000 
Tab. 3.1 – Codificações de uma imagem 100×100 com oito tons de cinza. 
As colunas 3 e 6 da Tab. 3.1 correspondem, respectivamente, à codificação dos tons de 
acordo com um código de tamanho fixo e o código de Huffman, que será explicado a 
seguir. Note que nenhum código de Huffman é prefixo de outro, o que permite uma 
decodificação sem ambigüidades. As colunas 3 e 7 apresentam o tamanho em bits dos 
códigos e as colunas 5 e 8 os números de bits necessários para armazenar aquele tom. 
Apesar deste exemplo ter apresentado uma redução modesta, de 10%, note que a 
codificação de Huffman é mais compacta. Reduções de 60% são comuns em imagens reais 
com tons muito preponderantes. Um ponto importante a destacarnesta codificação é que 
ela é feita sem perda de informação, ou seja, a imagem armazenada pode ser restaurada na 
memória principal sem nenhuma diferença. 
A codificação de Huffman é feita com base numa árvore binária na qual as folhas são os 
tons e, o código, o caminho para se chegar da raiz até elas, como ilustra a Fig. 3.14 para o 
exemplo da Tab. 3.1. 
Imagem Digital 13 
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Fig. 3.14 – Árvore de Huffman. 
A idéia básica para construir esta árvore consiste em colocar os tons mais freqüentes perto 
da raiz e os tons menos freqüentes mais distantes. O algoritmo de construção da árvore de 
Huffman para isto pode ser descrito da seguinte maneira: 
• Comece criando uma tabela dos tons e do número de vezes que eles aparecem na 
imagem (colunas 1 e 2 da Tab. 3.1). 
• Repita até que a tabela não tenha mais nenhuma linha: 
o Ordene a tabela de forma decrescente segundo o número de vezes que os tons 
aparecem na imagem; 
o Combine as duas últimas linhas da tabela (tons menos freqüentes) em uma única 
linha, somando o número de ocorrências dos tons combinados; 
o Armazene cada combinação como sendo um nó de uma árvore binária cujos filhos 
são as linhas combinadas. 
• Numere cada folha da árvore de acordo com o caminho para se chegar da folha até ele 
(Fig. 3.14). 
A Fig. 3.15 procura ilustrar os passos deste algoritmo. 
 
 
1 0
11 10 01
00
11
1 110
11
11 1110
11
11
1 11110
11
11
01
111100
000110
110
1110
11111
111100111101
n0
n1
n2
n3
n4n5
n6
6/7 1 
5/7
4/7
3/7
0 2/71/7
1 0
11 10 01
00
11
1 110
11
11 1110
11
11
1 11110
11
11
01
111100
000110
110
1110
11111
111100111101
n0
n1
n2
n3
n4n5
n6
6/7 1 
5/7
4/7
3/7
0 2/71/7
2001
3006/7
6005/7
8004/7
16003/7
19000
21002/7
25001/7
2001
3006/7
6005/7
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500n0
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500n0
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n0
6/7 1 
500n0
6005/7
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500n0
6005/7
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n0
6/7 1 
8004/7
1100n1
16003/7
19000
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8004/7
1100n1
16003/7
19000
21002/7
25001/7
5/7
n1
Imagem Digital 14 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
 
Fig. 3.15 – Passos da construção da árvore de Huffman. 
A codificação de Huffman é apresentada aqui como um exemplo simples de codificação 
com cadeias de bits de tamanho variável. Existem várias outras codificações que podem 
ser estudadas nas bibliografia de Teoria da Informação. 
 
Processamento de Imagens 
É comum utilizarmos programas do tipo do Adobe Photoshop™ e do Jasc Paint Shop 
Pro™ para melhorar a qualidade de fotos digitais. Esta seção procura ilustrar os algoritmos 
envolvidos neste tipo de processamento. 
Correção gama 
Consideremos, por exemplo, a imagem de um jogo de futebol ilustrada na Fig. 3.16 (a). 
Como a imagem está muito clara, podemos, por exemplo, utilizar um processo chamado de 
correção gama, que substitui o valor da luminosidade de cada pixel por outro obtida por: 
γ LL← (3.2) 
Se tomarmos o valor γ=0.42, obteremos o resultado indicado na Fig. 4.18(b). A Fig. 
3.16(c) mostra um diálogo do Jasc Paint Shop Pro™ relativa a esta correção gama. 
8004/7
1100n1
16003/7
19000
21002/7
25001/7
8004/7
1100n1
16003/7
19000
21002/7
25001/7
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1900n2
19000
21002/7
25001/7
16003/7
1900n2
19000
21002/7
25001/7
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
n2
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
n2
16003/7
1900n2
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25001/7
16003/7
1900n2
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21002/7
25001/7 3500n3
19000
21002/7
25001/7
3500n3
19000
21002/7
25001/7
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
n2 3/7
n3
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
n2 3/7
n3
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
n2
3500n3
19000
21002/7
25001/7
3500n3
19000
21002/7
25001/7
3/7
n3
4000n4
3500n3
25001/7
4000n4
3500n3
25001/7
n4
2/7 0 
n0
6/7 1 
5/7
n1 4/7
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n3
6000n5
4000n4
6000n5
4000n4 n4
2/7 0 
4000n4
3500n3
25001/7
4000n4
3500n3
25001/7 n5
1/7
n6
Imagem Digital 15 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
(a) imagem clara. 
 
(b) imagem transformada. 
 
(c) diálogo do Jasc Paint Shop Pro. 
Fig, 3.16 – Mudança da luminosidade de cada pixel. 
 
Uma característica que permite um melhor entendimento da distribuição de tons numa 
imagem digital é o seu histograma. O histograma de uma imagem é uma função que, para 
cada valor possível de cor, associa o número de pixels em que ela ocorre ou a sua 
freqüência na imagem. A Fig. 3.17 mostra os histogramas das imagens (a) e (b) da Fig. 
3.16. A média, o desvio padrão e a mediana dos valores destes histogramas estão mostrados 
na Tab. 3.1. A transformação gama com um valor de γ < 1.0 tende a reduzir a intensidade 
luminosa, enquanto as transformações com valores maiores que 1.0 fazem o inverso, ou 
seja, tornam a imagem mais clara. Note também a natureza não linear da transformação 
gama, que afeta mais os valores próximos de zero. 
 
Imagem Digital 16 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
Fig. 3.17 – Histogramas das imagens da Fig. 3.16. 
 
 Média 
Desvio 
Padrão Mediana 
Imagem clara 212 19 212 
Imagem transformada 166 33 164 
Tab. 3.1 – Valores característicos dos histogramas da Fig. 3.17. 
 
A correção gama é uma das transformações que atuam sobre o valor de cada um dos pixels 
individualmente. Outras correções que servem para ajustar o brilho e o contraste também 
modificam os valores dos pixels transformando o histograma da imagem. 
Eliminação de ruídos 
Para reduzir ruído, existem procedimentos que procuram atenuar as variações localizadas. 
Para ilustrar esta idéia considere a função da Fig. 3.18. Se substituirmos cada valor fi do 
interior do domínio por uma média ponderada do tipo: 
4
2 11 +− ++= iiii
fffh (3.3) 
obteremos a função hi também mostrada na Fig. 3.18. Note como após a aplicação da 
equação (3.3) a função se torna mais suave. Esta propriedade é geral nestas transformações 
que substituem o valor local por uma média ponderada da vizinhança. Os valores de 
máximos são naturalmente reduzidos, uma vez que fazem média com valores menores que 
eles. O mesmo raciocínio se aplica para explicar o aumento dos valores de mínimos. 
 
f
h 
f
h 
Imagem Digital 17 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Fig. 3.18 – Suavização de função. 
Uma maneira de sistematizar esta operação consiste em redefinir a equação (3.3) como: 
∑
−
=
−=
1
0
)(
n
k
iiki fgh (3.4) 
onde: 
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎨
⎧
+>
+=
=
−=
−<
=
10
14/1
04/2
14/1
10
lse
lse
lse
lse
lse
gl (3.5) 
 
Se considerarmos as funções f e g contínuas, a equação (3.4) seria: 
∫
∞=
−∞=
−=
t
t
dtxfxtgxh )()()( (3.6) 
que é a convolução da função f(x) com o a função g(x). Como, neste caso, a função g 
elimina as variações de maior freqüência da função f, ela é também designada de “filtro 
passa-baixa”. É comum utilizarmos filtros passa-baixa baseados na função de distribuição 
de Gauss: 
2
2
2
2
1)( σ
σπ
x
exG
−
= (3.7) 
onde σ é o desvio padrão da distribuição. O gráfico desta função está ilustrado na Fig. 3.19. 
 
 
Fig. 3.19 – Gaussiana de média 0 e desvio padrão 1. 
Esta função tem duas propriedades importantes para um filtro: é simétrica e a integral dela 
em todo o domínio é 1.0. 
Voltando à notação discreta, temos que a função g pode ser representada pela matriz: 
[ ]414241 (3.8) 
0.1
0.2
0.3
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Imagem Digital 18 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
entendendo que o ponto central 2/4 é o peso da amostra no local em que está sendo 
computada a função suavizada e os valores à direita e à esquerda da matriz correspondem a 
amostras à direita e à esquerda da função, respectivamente. Esta forma permite generalizar 
estas convoluções discretas, bastando para isto definir a matriz a ela associada. 
Note que (3.8) é uma forma discreta da distribuição gaussiana. Outras formas, de maior 
precisão, seriam: 
[ ]14641
16
1 (3.9) 
ou 
[ ]1615201561
64
1 (3.10) 
 
No caso de uma imagem, a função g é bidimensional e a matriz é geralmente quadrada. A 
escolha desta matriz depende doefeito desejado na imagem. Para suavização, podemos 
adotar a distribuição de Gauss no plano: 
2
22
2
2
1),( σ
σπ
yx
eyxG
+
−
= (3.10) 
cuja imagem para σ = 1 e média zero está ilustrada na Fig. 3.20. 
 
Fig. 3.20 – Gaussiana com media (0,0) e σ=1. 
Formas discretas desta função podem ser escritas como: 
 (3.11) 
ou 
0.1
0.2
0.3
0.4
0.1
0.2
0.3
0.4
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
121
242
121
16
1
Imagem Digital 19 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
14741
41626164
72641267
41626164
14741
273
1 (3.12) 
A suavização pode ser útil para retirarmos ruídos de uma imagem. Como, geralmente, o 
ruído tem uma média zero (tanto adiciona quanto subtrai), a média ponderada tende a 
reduzir mais o ruído que a informação da imagem. Note que, em contrapartida à 
diminuição do ruído, temos uma perda em nitidez, de modo que este processamento pode 
ser bom para um dada imagem e ruim para outras. Se aplicarmos a suavização à imagem 
da Fig. 3.21(a) obtemos a melhora mostrada na imagem da Fig. 3.21(b). 
 
(a) (b) 
 
Fig. 3.21 – Filtragem com a Gaussiana. 
 
Realce de bordas e arestas 
Para destacar bordas e arestas de uma imagem geralmente utilizamos operadores que 
procuram avaliar taxas de variação da intensidade luminosa. O cálculo de taxas de variação 
se faz com o uso de derivadas da função de luminosidade. Como numa imagem não 
dispomos da expressão analítica destas funções, mas sim de valores amostrados em 
intervalos iguais, os cálculos de derivadas seguem as aproximações de diferenças finitas. 
Para ilustrar como estas aproximações são obtidas, considere a série de Taylor de uma 
função f(x): 
)()(
2
)()()()()( 3"
2
' xOxfxxfxxfxxf Δ+Δ+Δ+=Δ+ (3.13) 
Com Δx=1, f(x)=fi e f(x+Δx)=fi+1 e a expressão (3.13) pode ser escrita como: 
iiii ffff
"'
1 2
1
++≅+ (3.14) 
Com Δx=-1, f(x)=fi e f(x+Δx)=fi-1 temos: 
Imagem Digital 20 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
iiii ffff
"'
1 2
1
+−≅− (3.15) 
A Fig. 3,22 ilustra estes valores discretos. 
 
Fig. 3.22 – Cálculo de derivada por diferenças finitas. 
 
Subtraindo a equação (3.15) da equação (3.14) podemos avaliar a derivada em xi como 
sendo: 
2/)( 11
'
−+ −≅ iii fff (3.16) 
Se somarmos as equações (3.14) e (3.15) podemos obter a seguinte aproximação para a 
segunda: 
)2( 11
"
−+ −+−−≅ iiii ffff (3.17) 
Como uma imagem é uma função de duas variáveis as derivadas mais comumente 
utilizadas no realce de arestas são o gradiente e o laplaciano. Dada uma função f(x,y) a 
expressão analítica do gradiente de f no ponto (x,y) é da dada por: 
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
∂
∂
=∇
y
f
x
f
yxf ),( (3.18) 
Na grade regular este gradiente pode ser estimado através de duas aplicações do operador 
(3.16), uma para x e outra para y: 
( )
( )
( )
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
=∇=∇
−+
−+
−+
−+
2/
2/
2/),(),(
2/),(),(
),(
)1()1(
)1()1(
11
11
jiji
jiji
jiji
jiji
jiij ff
ff
yxfyxf
yxfyxf
yxff (3.19) 
A magnitude deste vetor estima a taxa de variação de f no ponto (x,y) e é, pode ser escrita 
como: 
( ) ( )2)1()1(2)1()1(21 )−+−+ −+−=∇ jijijijiij fffff (3.20) 
Os algoritmos se baseiam em comparações deste valor de magnitude nos diversos pixels. 
Como o que interessa são os valores relativos e não absolutos, para reduzir o esforço 
computacional é comum estimar esta taxa de variação abandonando os quadrados, as raízes 
e o fator ½. Assim a estimativa de taxa de variação pode ser feita por: 
f(x)
x
fi-1
fi fi+1
i+1ii-1
f(x)
x
fi-1
fi fi+1
i+1ii-1
Imagem Digital 21 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
)1()1()1()1( −+−+ −+−=∇ jijijijiij fffff (3.21) 
Uma outra medida de taxa de variação importante é o Laplaciano, que analiticamente se 
escreve como sendo: 
2
2
2
2
2 ),(
y
f
x
fyxf
∂
∂
+
∂
∂
=∇ (3.22) 
A equação (3.17) nos permite escrever a fórmula de diferenças finitas para o Laplaciano 
como sendo: 
)(4 )1()1()1()1(
2
++−+ +++−=∇ jijijijiijij ffffff (3.23) 
Uma forma simples de escrever este fórmula, consiste em fornecer, em uma matriz, os 
coeficientes dos pixels, ou seja: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
010
141
010
 (3.24) 
O elemento central da matriz corresponde ao pixel ij e os demais elementos aos seus 
vizinhos correspondentes. 
Para exemplificar os algoritmos de realce de arestas, considere a fig. 3.23 onde na parte 
inferior está mostrada uma imagem bem simples que é composta apenas de três faixas de 
cinza. A função f(x), também mostrada na figura, representa os valores dos pixels ao longo 
do eixo que está sobre as faixas, acrescidos de um certo ruído sempre presente nas imagens 
reais. Como a faixa mais clara tem maior intensidade luminosa o valor da função f(x) é 
mais alto. Na borda entre o cinza escuro e o cinza claro temos uma variação alta num 
intervalo pequeno, ou seja uma taxa de variação grande. 
 
Fig. 3.23 – Detecção de bordas. 
Nesta figura o valor do módulo da derivada de f(x) é estimado por: 
2/)( 11
'
++ −= iii fff (3.25) 
E a parte positiva da segunda derivada também pode ser calculada pela fórmula: 
f(x)
|f '(x)|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
|f ''(x)|
Imagem Digital 22 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
⎩
⎨
⎧
<−+−
>−+−−+−
=
+−
+−+−
0)2(0
0)2(2
11
1111''
iii
iiiiii
i
fffse
fffsefff
f (3.26) 
Note na fig. 3.23 que o gráfico das derivadas tem um valor quase nulo nas regiões 
homogêneas e um valor alto na posição do pixel da borda. 
A fig. 3.24 ilustra um exemplo do uso dos operadores para destacar as arestas de uma a 
imagem do prédio ilustrado na fig. 3.24a. As fig. 3.24b e 3.24c mostram resultado da 
aplicação do gradiente e do laplaciano, respectivamente, após a aplicação de uma correção 
gama. Note nestes resultados que as regiões de maior taxa de variação estão representadas 
por um valor mais preto, ou seja, de menor intensidade luminosa. Isto ocorre porque as 
cores nas figuras b e c estão invertidas, ou seja, para cada pixel a intensidade do canal de 
luminosidade foi transformada por: 
LL −← 255 (3.27) 
transformando preto em branco e claro em escuro. O resultado “preto sobre branco” gasta 
menos tinta na impressão e fica melhor visualmente. 
 
(a) foto 
 
(c) gradiente 
 
(d) laplaciano 
Fig. 3.24 – Gradiente e laplaciano no uso de detecção de arestas. 
 
A fig. 3.25 ilustra o processo de realce dos pixels que estão sobre as linhas de campo no 
sistema JuizVirtual2. Este processo de aplicar o filtro Gaussiano antes do Laplaciano é tão 
comum que os operadores combinados recebem o nome de “LoG”. Note que nesta figura a 
imagem colorida é transformada em preto e branco através do operador de luminosidade: 
BGRL 11.059.030.0 ++= 
 
 
2 http://www.visgraf.impa.br\juizvirtual 
Imagem Digital 23 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
Fig. 2.25 – Um exemplo de aplicação do filtro LoG. 
Transformações e composição 
A fig. 2.26 mostra três imagens: um circo, o personagem Papa-Léguas da Hanna-Barbera™ 
e, o circo com o Papa Léguas em frente. Este aplicação simples apresenta dois problemas 
interessantes: transformação e composição de imagens. A imagem do personagem precisa 
ser reduzida e colocada sobre outra. 
 
 
(a) 
 
(b) 
 
(c) 
Fig. 2.26 – Composição de imagens com redução. 
 
Transformações de imagens 
O tamanho de uma imagem está intimamente ligado sua resolução. Se queremos que o 
Papa Léguas seja reduzido em 20% para ser colocado sobre a imagem do circo, precisamos 
na realidade de uma outra imagem do personagem com uma resolução menor. Ao invés de 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
121
242
121
16
1
filtro
gaussiano
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
010
141
010
filtro 
laplaciano
LL −← 255BGRL 11.059.030.0 ++=
Imagem Digital 24 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
termos uma imagem 320×200 precisamos de outra reduzida com a resolução 256×180. Em 
uma outra situação poderíamoster o problema de ampliação e não de redução. O problema 
de ampliação e redução da resolução de uma imagem já foram discutido na seção de 
amostragem deste capítulo. 
Ao animarmos um personagem ou objeto sobre uma imagem de fundo poderíamos ter 
outras transformações que representassem o movimento. Conceitualmente os algoritmos de 
transformação geométrica (ou warping) de uma imagem são simples: 
1. Para cada pixel da imagem transformada. 
1.1. Utilizando a transformação inversa, determine a região da imagem original 
correspondente a este pixel. 
1.2. Determine a cor que melhor representa as cores contidas nesta região. 
A fig. 2.27 mostra a região do passo 1.1 para duas transformações: uma de ampliação e 
outra de redução. Como mencionado na seção de amostragem, quando aumentamos a 
resolução de uma imagem caímos num problema de interpolação. Quando reduzimos 
temos um problema de taxa de amostragem. Se a imagem tem uma freqüência muito alta a 
redução pode causar um sério problema de aliasing. 
 
Fig. 2.27 – Regiões associadas na imagem original e na transformada. 
 
A fig. 2.28 mostra o resultado da amplificação de um passarinho por três métodos de 
interpolação: vizinho mais próximo, bi-linear e bi-cúbica. 
 
 
(a) Original 75×85 
 
12×8
36×2436×24
ampliaçãoampliação
3×23×2
reduçãoredução
Imagem Digital 25 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
(b) vizinho mais próximo 
(300×340) 
 
(b) bi-linear 
(300×340) 
 
(b) bi-cúbica 
(300×340) 
Fig. 2.28 – Resultados de diferentes interpolações. 
 
Na imagem desta figura a interpolação pelo vizinho mais próximo não produziu resultados 
ruins. Este algoritmo pode ser implementado de maneira bastante simples: 
Image imageResize(Image img0, int w1, int h1) 
{ 
 Image img1 = imageCreate(w1,h1); 
 int w0=imageGetWidth(img0); 
 int h0=imageGetHeight(img0); 
 int x0,y0,x1,y1; 
 unsigned char r,g,b,a; 
 
 for (y1=0;y1<h1;y1++) 
 for (x1=0;x1<w1;x1++) 
 { 
 x0=ROUND((w0-1)*x1/(w1-1)); 
 y0=ROUND((h0-1)*y1/(h1-1)); 
 imageGetPixel(img0,x0,y0,&r,&g,&b,&a); 
 imageSetPixel(img1,x1,y1,r,g,b,a); 
 } 
 return img1; 
} 
 
Nesta função a macro ROUND faz o arredondamento e é definida por: 
#define ROUND(_) (int)floor( (_) + 0.5 ) 
 
A fig. 2.29 mostra um exemplo onde a redução da imagem introduz um efeito de alias. As 
linhas introduzem freqüências muito altas. Na figura é mostrada que se aplicamos um filtro 
Gaussiano, eliminando as freqüências mais altas, e depois aplicamos o algoritmo de 
redução baseado no vizinho mais próximo o resultado final é bem melhor. 
Imagem Digital 26 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
Fig. 2.29 – Alias na redução da resolução. 
É importante notarmos que geralmente as imagens normais não têm freqüências tão altas 
quanto as mostradas na fig. 2.29. Os resultados do algoritmo de ampliação e redução são 
normalmente bem melhores, como ilustra a fig. 2.30. 
 
Fig. 2.30 – Caso geral da redução de resolução. 
Além da translação e da escala, a rotação também é uma transformação importante. Os 
algoritmos para a rotação também seguem o esquema enunciado acima, com otimizações 
particulares para cada caso. 
Os algoritmos de transformações geométricas das imagens têm que satisfazer os seguintes 
requisitos: 
1. Translação por zero tem que ser a identidade; 
2. Seqüência de translações deve produzir o mesmo efeito que uma composta da 
origem ao destino; 
3. Escalar por um fator λ, maior que 1, e depois escalar por 1/λ deve produzir a 
identidade; 
4. Rotação por uma seqüência de ângulos que totalizem 360o deve produzir a 
identidade. 
O requisito 3, exige que uma ampliação seguida de redução correspondente produza a 
identidade. Isto é, a imagem volte a ter a mesma informação de cor. O requisito não fala 
da ordem inversa, redução seguida de ampliação. Neste caso não teríamos como reproduzir 
a identidade. Isto porque depois de uma redução, perdemos parte das informações que 
tínhamos sobre a imagem e uma posterior ampliação não tem como recuperar esta perda. 
256×256
150×150
100×100
Gauss
300×225
200×150
100×100
Imagem Digital 27 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Uma discussão mais detalhada dos algoritmos de transformação de imagens foge aos 
objetivos introdutórios deste capitulo e pode ser encontrada nos bons livros sobre 
Processamento de Imagem que tenham um enfoque de algoritmos. 
De qualquer forma, a animação de um personagem sobre uma imagem de fundo pode ser 
mais bem feita se preparamos com antecedência uma seqüência de quadros que 
correspondam à animação desejada. A imagem mostrada na fig. 3.31 ilustra 8×12 de 
posições do pequeno índio. Se os quadros de uma linha são apresentados em uma 
seqüência rápida temos a impressão de movimento do tipo caminhar. Os 8 quadros de cada 
coluna correspondem à animação do personagem se virando em torno da vertical. 
 
Fig. 2.31 – Imagem com a animação de um personagem. 
Composição de imagens 
Existem muitas maneiras de compor duas ou mais imagens de forma a produzir uma 
imagem final com conteúdo de cada uma delas. Vamos abordar aqui apenas as três formas 
mais usadas de sobreposição de imagens: código de cores (color key), máscara de bits e 
canal alfa. Na sobreposição de imagens uma imagem, chamada “origem”, é colocada sobre 
outra, denominada “destino”. 
A técnica de código de cores é muito simples e consiste em definir uma das cores da 
imagem origem cor como sendo transparente. No pequeno índio da fig. 2.31 a cor azul 
(0,0,255) faz este papel. Notem que nenhum pixel do personagem pode ter este valor sob 
pena do personagem ficar “vazado”. A função imageCombineColorKey, mostrada a seguir, 
faz esta composição. 
void imageCombineColorKey(Image origem, Image destino, 
 int x0, int y0, unsigned char rt, 
 unsigned char gt, unsigned char bt) 
Imagem Digital 28 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
{ 
 int x,y; 
 
 for (y=0; y<imageGetHeight(origem); y++) 
 for (x=0; x<imageGetWidth(origem); x++) 
 { 
 unsigned char r,g,b; 
 imageGetPixel(origem,x,y,&r,&g,&b,NULL); 
 if ((r!=rt)||(g!=gt)&&(b!=bt)) 
 imageSetPixel(destino,x0+x,y0+y,r,g,b,0); 
 } 
} 
Esta técnica funciona melhor quando a imagem origem é indexada, ou seja, suas cores são 
obtidas a partir de um índice de uma tabela. Assim, podemos distinguir a cor transparente 
pelo índice e não pelo valor RGB. Além de mais preciso esta escolha permite que, por 
exemplo, o personagem tenha na sua definição um azul (0,0,255), basta que esta cor seja 
correspondente a um outro índice da tabela de cores. 
A técnica de máscara de bits utiliza uma outra imagem de mesmas dimensões contendo a 
chave para decidir se um pixel da origem deve ou não ser colocado na imagem destino. 
Assim, por exemplo, a máscara em preto na fig. 2.32 indica quais os pixels da imagem do 
Papa Léguas deve ser colocado na imagem destino. No OpenGLTM esta técnica corresponde 
ao uso do “stencil buffer”. 
 
Fig. 2.32 – Uso de máscara para controlar a transparências de regiões da imagem origem. 
 
Finalmente a composição com o canal alfa é uma técnica bastante flexível que permite uma 
série de efeitos. Nesta técnica, cada pixel da imagem tem, além das componentes RGB, 
uma informação sobre um valor chamado de alfa. No nosso caso este alfa representa a 
opacidade ou a transparência do pixel. A cor do pixel da imagem destino, (rdst, gdst, bdst, 
255adst), depois que o pixel da imagem origem, (rsrc, gsrc, bsrc, 255asrc), for colocado sobre 
ela pode ser dada por: 
)1( srcdstdstsrcsrcdst rrr ααα −+← (3.28a) 
)1( srcdstdstsrcsrcdst ggg ααα −+← (3.28b) 
)1( srcdstdstsrcsrcdst bbb ααα −+← (3.28c) 
0
1
AND
Imagem Digital 29 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
)1( srcdstsrcdst αααα −+← (3.28c) 
onde: 
 255/a←α 
Podemos entender esta equação imaginando que a imagem origem é um vidro colorido. A 
cor em cada ponto é a cor do vidro mais a cor do que está atrás reduzida pelo fator(1- asrc) 
que representa a transparência do vidro. A opacidade resultante também segue este 
raciocínio. É a opacidade do vidro mais a opacidade do que está atrás reduzida pela 
quantidade de luz que atravessa. 
Note que, se o valor de alfa for 0 (transparente) então o pixel da imagem destino não é 
alterado. Se o valor for 1 (opaco) então a cor do pixel da imagem origem substitui 
completamente a cor correspondente da imagem destino. Num caso intermediário temos 
uma mistura das duas cores. 
Note também que, seguindo este raciocínio, as componentes RGB da cor de um pixel são 
calculadas multiplicando-se as componentes armazenadas RGB originais pelo fator alfa. 
Assim um pixel de componentes (255, 255, 0, 127) é o amarelo RGB=(127, 127, 0) e não o 
RGB=(255, 255, 0). 
Existe uma opção um pouco mais eficiente para compor pixels em RGBA onde os canais 
RGB já armazenam as cores multiplicadas pelo canal alfa. Neste caso o valor de cada uma 
das componentes R, G ou B é necessariamente menor ou igual a componente A. Como os 
valores já estão multiplicados a equação (3.28) pode ser escrita por: 
)1( srcdstsrcdst rrr α−+← (3.29a) 
)1( srcdstsrcdst ggg α−+← (3.29b) 
)1( srcdstsrcdst bbb α−+← (3.29c) 
)1( srcdstsrcdst αααα −+← (3.29d) 
O operador das equações (3.28) e (3.29) é chamado de over porque a imagem origem é 
colocada sobre a imagem destino. Existem outras combinações possíveis. Poderíamos, 
por exemplo, ter a imagem origem sendo colocado por trás da imagem destino. Neste caso 
a equação correspondente as componentes RGB já forem pré-multiplicadas seria dada por: 
)1( dstsrcdstdst rrr α−+← (3.30a) 
)1( dstsrcdstdst ggg α−+← (3.30b) 
)1( dstsrcdstdst bbb α−+← (3.30c) 
)1( dstsrcdstdst αααα −+← (3.30d) 
Imagem Digital 30 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Exercícios resolvidos 
1. Explique os processos de reconstrução e amostragem que ocorrem nos algoritmos para 
aumentar o tamanho de uma imagem. De duas opções de estratégias de calcular a cor 
do pixel “A” mostrado na figura abaixo? 
 
 
Resp.: 
Para aumentar a resolução de uma imagem precisamos conhecer o valor de cor em 
pontos do plano onde não temos amostras. Para estimar estes valores temos que 
reconstruir a função de cor da imagem original para então podermos amostrá-la. No 
caso do ponto A da figura temos podemos seguir diversas estratégias. Uma seria 
simplesmente atribuir ao ponto A’ a cor do pixel mais próximo de A. Outra seria 
utilizar uma interpolação linear obtendo a cor em A em função das quatro amostras 
mais próximas dele. 
 
 
 
2. Considere a imagem 6×6 com 9 tons de luminosidade mostrada abaixo. 
 
i. Calcule e desenhe abaixo o histograma de probabilidades de um pixel desta 
imagem ter uma determinada luminosidade. 
 
 
 
A’A
Imagem Digital 31 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Resp.: 
Valor	
   Freq.	
   Prob.	
  
0	
   9	
   0.25	
  
1	
   7	
   0.1944	
  
2	
   4	
   0.1111	
  
3	
   3	
   0.0833	
  
4	
   2	
   0.0556	
  
5	
   2	
   0.0556	
  
6	
   3	
   0.0833	
  
7	
   3	
   0.0833	
  
8	
   3	
   0.0833	
  
	
  
36	
   1	
  
 
 
 
 
ii. Calcule pelo método de Otsu o valor da variância interior das classes b e f para 
um valor de limiar t=4 (i.e. b tem tons 0,1,2 e 3 enquanto f tem os tons 4,5,6,7 e 
8). 
 
 
Resp.: 
 
Imagem Digital 32 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Fundo (background) 
Val	
   Freq	
   Prob	
  
0	
   9	
   0.25	
  
1	
   7	
   0.1944	
  
2	
   4	
   0.1111	
  
3	
   3	
   0.0833	
  
Σ	
   23	
   0.6389	
  
 
1.0435
23
33241709
=
⋅+⋅+⋅+⋅
=bµ 
1.0851
23
)0435.13(3)0435.12(4)0435.11(7)0435.10(9 22222 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=bσ
 
 
Frente (foreground) 
Val	
   Freq	
   Prob	
  
4	
   2	
   0.0556	
  
5	
   2	
   0.0556	
  
6	
   3	
   0.0833	
  
7	
   3	
   0.0833	
  
8	
   3	
   0.0833	
  
Σ	
   13	
   0.3611	
  
 
6.2308
13
8373635242
=
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅
=fµ 
1.8698
13
)6.23088(3)6.23087(3)6.23086(3)6.23085(2)6.23084(2 222222 =−⋅+−⋅+−⋅+−⋅+−⋅=fσ
 
 
Variância interior das classes: 
1.368451.86983611.00851.16389.0222 =⋅+⋅=+= ffbbW ww σσσ 
Imagem Digital 33 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
3. A uma imagem 6×6 mostrada abaixo, ilustra os dois tipos de ruídos mais comuns nas 
imagens capturadas. Pergunta-se que tipo de ruído são eles e que tipo de processo se 
utiliza para reduzi-los? De um exemplo de aplicação para cada um deles. 
 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
211920192021
201920222018
191822211920
211920182022
1820255191820
201820212019
 
Resp.: 
 
A imagem apresenta um ruído branco (pequenas variações oscilatórias com média 
zero) e um pixel com ruído impulsivo, tipo “sal e pimenta” (o que tem valor 255). 
A maneira de reduzir os ruídos seria aplicarmos filtros. 
Um filtro apropriado para o ruído branco é o filtro Gaussiano. Para o pixel de valor 18 
no canto superior esquerdo da imagem o filtro Gaussiano 3×3 o transformaria para: 
( ) 19375.1918202221921842022120219
16
1
≅=+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+=v 
se aproximando mais do valor 20. 
 
Um filtro para atenuar o ruído impulsivo é o filtro de mediana. O pixel com valor 255 
submetido a este filtro numa janela 3×3 se transforma em 20 pelo algoritmo. 
Vizinhos em ordem = (18, 18, 19, 19, 20, 20, 21, 255). Mediana = 19.5 
 
 
 
 
4. Considere uma imagem em tons de cinza representada pela matriz abaixo: 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
30202210
2681610
54401815
50452020
 
 
Determine qual o valor do pixel indicado na figura, atualmente de valor 16, depois de 
passarmos o filtro de Sobel, para acharmos arestas na imagem. 
Imagem Digital 34 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
Resp.: 
 
75.7
4
31
4
201016204015
2010101
820102
4010151
4
1
−=
−
=
−+−+−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×−×
×−×
×−×
=Δ x 
 
25.4
4
17
4
204410403615
201222101
000
401182151
4
1
==
−−−++
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
×−×−×−
×××
=Δ y
 
 
Novo valor = 839.825.475.7 22 =+ 
 
5. Considere a imagem em tons de cinza representada pela matriz abaixo: 
 
 
 
132	
   206	
   255	
   255	
   255	
   255	
   255	
  
123	
   123	
   165	
   255	
   255	
   255	
   255	
  
123	
   123	
   123	
   132	
   255	
   255	
   255	
  
123	
   123	
   123	
   125	
   206	
   255	
   255	
  
123	
   123	
   123	
   123	
   123	
   173	
   255	
  
123	
   123	
   123	
   123	
   123	
   123	
   132	
  
123	
   123	
   123	
   123	
   123	
   123	
   123	
  
 
Que operador você utilizaria para indicar se um pixel está sobre uma aresta? Qual o 
valor deste operador aplicado aos pixels de valor 132 e 123, marcados na matriz em 
negrito e sublinhado? 
 
Resp: 
 
Utilizaria o operador de Sobel (ou de Prewitt) buscando o máximo do modulo do vetor 
resultante como indicador da aresta. Poderia também utilizar o Lapaciano buscando os 
valores de zero como indicadores da aresta. 
Imagem Digital 35 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
 
a) No pixels 132: 
109.25
4
8326490)123206)123255(2165255(
4
1
=
++
=−+−+−=Δ x 
 
5.108)123255)125255(2123165(
4
1
=−+−+−=Δ y 
 
Módulo do vetor = 97.1535.10825.109 22 =+ =>Está sobre uma aresta 
 
b) No pixel 123: 
0=Δ=Δ yx 
Módulo do vetor = 0. => Não está sobre uma aresta. 
 
 
6. Considere uma imagem em tons de cinza representada pela matriz abaixo. Aplique um 
filtro de realce de arestas utilizando um dos filtros mostrados na folha de fórmulas. Ou 
seja, calcule o valor dos pixels correspondentes a sub-matriz 4×4 (sem levar em conta 
os pixels da borda) que realcem onde está a aresta presente na imagem. 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
100100100202020
100100100202020
100100100202020
100100100202020
100100100202020
100100100202020
 
Resp.: 
Utilizando os filtros de Sobel (ou Prewitt) para capturar uma linha vertical temos: 
80
10010020
10010020
10010020
101
202
101
4
1
1002020
1002020
1002020
101
202
101
4
1
0
100100100
100100100
100100100
101
202
101
4
1
202020
202020
202020
101
202
101
4
1
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
resultando em: 
 
 
Imagem Digital 36 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
20 20 20 100 100 100 
20 0 80 80 0 100 
20 0 80 80 0 100 
20 0 80 80 0 100 
20 0 80 80 0 100 
20 20 20 100 100 100 
 
onde a aresta vertical aparece nas duas colunas de pixels que fazem fronteira com ela. 
Utilizando o Laplaciano temos: 
80
10010020
10010020
10010020
010
141
010
,80
1002020
1002020
1002020
010
141
010
0
100100100
100100100
100100100
010
141
010
202020
202020
202020
010
141
010
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⊗
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−
 
20 20 20 100 100 100 
20 0 -80 80 0 100 
20 0 -80 80 0 100 
20 0 -80 80 0 100 
20 0 -80 80 0 100 
20 20 20 100 100 100 
A aresta está no cruzamento de zero entre -80 e 80. 
 
Imagem Digital 37 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
Exercícios 
 
1. A matriz mostrada abaixo com elementos que variam de 0 à 255 representa uma 
imagem de luminância 6×6. Qual seria a luminância do pixel de valor 118 marcado 
por [ ]’s, se sobre a imagem fosse aplicado: 
i) um filtro Gaussiano 3×3; 
ii) um filtro de Mediana. 
 
 
[ ]
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
15911976556369
172150105736371
179169134926258
1831791581187456
18218317615212071
16518418116913485
 
 
2. Dada função 
)8/cos(2.0)(3)( xxsenxf ππ += 
qual o maior intervalo de amostragem Δx de forma a podermos reconstruí-la 
corretamente? 
 
 
3. Explique 3 métodos de codificação de um vetor de valores inteiros de 0 a 255. 
4. Que problemas ocorrem nos algoritmos para aumentar e reduzir o tamanho de uma 
imagem quando eles percorrem os pixels da imagem origem e não os da imagem 
destino? 
5. Considere uma imagem em tons de cinza representada pela matriz abaixo: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
30202210
2681610
24281815
21202020
 
Sem modificar os pixels da borda, calcule a matriz que representa a imagem: 
a) Suavizada pelo filtro Gaussiano (3.11). 
b) Filtrada pelo filtro de Sobel horizontal. 
6. Explique o que é resolução espacial de uma imagem. 
7. O que é quantização e quando este processo ocorre na aquisição de uma imagem 
digital? 
8. Explique os processos de reconstrução e amostragem que ocorrem quando 
mudamos a resolução espacial de uma imagem. 
Imagem Digital 38 
Marcelo Gattass 17/9/2015 
9. Que tipo de codificação de cores existe no formato BMP? 
10. Explique 3 métodos para combinar duas imagens. 
11. Explique quais são os 3 tipos de redundâncias que normalmente existem numa 
imagem. Cite pelo menos 1 algoritmo para reduzir cada uma destas redundâncias. 
12. Explique o que é Run-Length Encoding. 
 
Bibliografia do capítulo 
1. Foley, J. D., Van Dam, A., Feiner, S. K., e Huhes, J. F., Computer 
Graphics: Principles and Practices, (Systems Programming), 2nd 
edition in C, Addison-Wesley, 1995, ISBN 0-201-84840-6. 
2. Gomes, J.M. e Velho, L., Image Processing for Computer Graphics, 
Springer, 1997, ISBN 0-387-94854-6 
3. Gonzalez, R.C., and Woods, R.E, Digital Image Processing, Addison-Wesley, 
1992. 
4. Baxes, G. A., Digital Image Processing: principles and applications, John Wiley 
& Sons, New York, 1994, ISBN 0-471-00949-0