lista 2 lógica e programação (exercícios resolvidos)

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LISTA 2 - EXERCÍCIOS LÓGICA E PROGRAMAÇÃO 
CÁLCULO PROPOSICIONAL – TABELA VERDADE 
 
 
1) Sabendo que os valores lógicos das proposições p e q são respectivamente F e V, determinar o valor 
lógico da proposição. Apresente a descrição da solução. 
 
(𝑝 ⊕ (~𝑞 ↔ 𝑝)) ∧ ((𝑝 ↔ 𝑞) → 𝑞) = 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 (~q ↔ p) (p ⊕ (~q ↔ p)) (p ↔ q) ((p ↔ q) → q) (p ⊕ (~q ↔ p)) ∧ ((p ↔ q) → q) 
V V F F F V V V V 
V F F V V F F V F 
F V V F V V F V V 
F F V V F F V F F 
 
2) Construa a tabela-verdade da seguinte proposição: ((~𝒒 ∨ 𝒑) ∧ (𝒑 ↔ 𝒓)) → ~(𝒓 ⊕ 𝒑) 
 
𝑝 𝑞 𝑟 ~𝑝 ~𝑞 ~𝑟 (~𝑞 ∨ 𝑝) (𝑝 ↔ 𝑟) ((~𝑞 ∨ 𝑝) ∧ (𝑝 ↔ 𝑟)) (𝑟 ⊕ 𝑝) ~(𝑟 ⊕ 𝑝) 
V V V F F F V V V F V 
V V F F F V V F F V F 
V F V F V F V V V F V 
V F F F V V V F F V F 
F V V V F F F F F V F 
F V F V F V F V F F V 
F F V V V F V F F V F 
F F F V V V V V V F V 
 
((~𝒒 ∨ 𝒑) ∧ (𝒑 ↔ 𝒓)) → ~(𝒓 ⊕ 𝒑) 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
 
 
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CÁLCULO PROPOSICIONAL – TABELA VERDADE 
 
 
3) Interpretar e indicar os resultados das seguintes proposições: 
 
Proposições 
Resultados 
Tautologia Contingência Contradição Satisfatível 
(𝑏 ∧ 𝑐) → 𝑎 ( ) ( X ) ( ) ( X ) 
(𝑐 ∧ 𝑎) → 𝑏 ( ) ( X ) ( ) ( X ) 
𝑎 ∨ (𝑏 ∧ 𝑐) ( ) ( X ) ( ) ( X ) 
~𝑏 ∧ (𝑎 ↔ 𝑐) ( ) ( X ) ( ) ( X ) 
 
𝑎 𝑏 𝑐 (𝑏 ∧ 𝑐) (𝒃 ∧ 𝒄) → 𝒂 
V V V V V 
V V F F V 
V F V F V 
V F F F V 
F V V V F 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
 
𝑎 𝑏 𝑐 (𝑐 ∧ 𝑎) (𝒄 ∧ 𝒂) → 𝒃 
V V V V V 
V V F F V 
V F V V F 
V F F F V 
F V V F V 
F V F F V 
F F V F V 
F F F F V 
 
𝑎 𝑏 𝑐 (𝑏 ∧ 𝑐) 𝒂 ⋁ (𝒃 ∧ 𝒄) 
V V V V V 
V V F F V 
V F V F V 
V F F F V 
F V V V V 
F V F F F 
F F V F F 
F F F F F 
 
𝑎 𝑏 ~𝑏 𝑐 (𝑎 ↔ 𝑐) ~𝒃 ∧ (𝒂 ↔ 𝒄) 
V V F V V F 
V V F F F F 
V F V V V V 
V F V F F F 
F V F V F F 
F V F F V F 
F F V V F F 
F F V F V V 
 
4) Através da tabela-verdade, mostre a validade ou invalidade do seguinte argumento: 
 
Se Maria perder uma das avaliações, ela terá que fazer a prova final, se Maria tiver que fazer a prova final ela 
não poderá viajar. Portanto, se Maria não for viajar então perdeu uma das avaliações. 
 
 𝑝: Maria perder uma das avaliações. 
~𝑝: Maria não perder uma das avaliações. 
 
 𝑞: Maria terá que fazer a prova final. 
~𝑞: Maria não terá que fazer a prova final. 
𝑟: Maria poderá viajar. 
~𝑟: Maria não poderá viajar. 
Notação simbólica: ((𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → ~𝑟)) → (~𝑟 → 𝑝), onde 𝐏: ((𝑝 → 𝑞) ∧ (𝑞 → ~𝑟)) 𝑒 𝐐: (~𝑟 → 𝑝) 
 
 Premissas Conclusão Condicional 
 𝒑 𝒒 𝒓 ~𝒑 ~𝒒 ~𝒓 (𝒑 → 𝒒) (𝒒 → ~𝒓) ((𝒑 → 𝒒) ∧ (𝒒 → ~𝒓)) (~𝒓 → 𝒑) 𝑃 → 𝑄 
1 V V V F F F V F F V V 
2 V V F F F V V V V V V 
3 V F V F V F F V F V V 
4 V F F F V V F V F V V 
5 F V V V F F V F F V V 
6 F V F V F V V V V F F 
7 F F V V V F V V V V V 
8 F F F V V V V V V F F 
 
O argumento é válido (tautológica), pois ao verificarmos as linhas 2 e 7, as premissas são verdadeiras e a 
conclusão também é verdadeira. 
 
 
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CÁLCULO PROPOSICIONAL – TABELA-VERDADE 
 
 
5) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é logicamente 
equivalente à afirmação: 
 
a) É verdade que ‘Pedro está em Roma e Paulo está em Paris’. 𝑝 ∧ 𝑞 
b) Não é verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. ~(𝑝 ∨ ~𝑞) ⇔ ~𝑝 ∧ 𝑞 
c) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris’. ~(~𝑝 ∨ ~𝑞) ⇔ 𝑝 ∧ 𝑞 
d) Não é verdade que ‘Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris’. ~(~𝒑 ∨ 𝒒) ⇔ ~𝑝 ∧ 𝑞 
e) É verdade que ‘Pedro está em Roma ou Paulo está em Paris’. 𝑝 ∨ 𝑞 
 
Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris 
[ Não é verdade que, ( se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris ) ] 
 
𝑝: Pedro está em Roma 
𝑞: Paulo está em Paris 
 
[ ~ que, ( p → q ) ] ⇔ ~ ( p → q ) 
 
Como ~(𝑝 → 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então o que está 
entre os parênteses será resolvido primeiro: 
~(𝑝 → 𝑞) ⇔ ~(~𝑝 ∨ 𝑞) 
 
~(~𝑝 ∨ 𝑞) é uma resposta que aparece nas alternativas. 
 
6) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer que: 
 
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. 𝑝 ⟷ ~𝑞 
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. 𝑝 → ~𝑞 
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. ~𝑝 → 𝑞 
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. 𝑞 → 𝑝 
e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. ~𝑝 ∧ 𝑞 
 
André é artista ou Bernardo não é engenheiro 
( André é artista ou Bernardo não é engenheiro ) 
 
 𝑝: André é artista 
~𝑝: André não é artista 
 𝑞: Bernardo é engenheiro 
~𝑞: Bernardo não é engenheiro 
 
( p ∧ ~q ) 
 
Como 𝑝 ∨ ~𝑞 não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicando a 
propriedade comutativa da disjunção, temos: 
𝑝 ∨ ~𝑞 ⇔ ~𝑞 ∨ 𝑝 
 
Como ~𝑞 ∨ 𝑝 não é uma resposta que aparece nas alternativas, continuamos resolvendo, aplicando a 
equivalência: 
~𝑞 ∨ 𝑝 ⇔ 𝑞 → 𝑝 
 
Chegamos em uma resposta que aparece entre as alternativas. 
 
 
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CÁLCULO PROPOSICIONAL – TABELA-VERDADE 
 
 
7) Dizer que não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a dizer que é 
verdade que: 
 
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto. ~𝑝 ∨ ~𝑞 
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto. ~𝑝 ∧ ~𝑞 
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto. 𝑝 ∨ ~𝑞 
d) Se Pedro não é pobre, então Alberto é alto. ~𝑝 → 𝑞 
e) Se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto. ~𝑝 → ~𝑞 
 
Não é verdade que Pedro é pobre e Alberto é alto 
[ Não é verdade que ( Pedro é pobre e Alberto é alto ) ] 
 
𝑝: Pedro é pobre 
𝑞: Alberto é alto 
 
[ ~ que ( p ∧ q ) ] ⇔ ~ ( p ∧ q ) 
 
Como ~(𝑝 ∧ 𝑞) não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, aplicando a negação 
da conjunção: 
~(𝑝 ∧ 𝑞) ⇔ ~𝑝 ∨ ~𝑞 
 
Chegamos em uma resposta que aparece entre as alternativas. 
 
8) Dizer que "Américo não é médico ou Lucas é dentista" é o mesmo que dizer: 
 
a) Se Américo é médico, então Lucas é dentista. 𝑝 → 𝑞 
b) Se Américo não é médico, então Lucas é dentista. ~𝑝 → 𝑞 
c) Se Lucas é dentista, então Américo é médico. 𝑞 → 𝑝 
d) Se Américo é médico, então Lucas não é dentista. 𝑝 → ~𝑞 
e) Se Américo não é medico, então Paulo não é dentista. ~𝑝 → ~𝑞 
 
Américo não é médico ou Lucas é dentista 
( Américo não é médico ou Lucas é dentista ) 
 
 𝑝: Américo é medico 
~𝑝: Américo não é médico 
 𝑞: Lucas é dentista 
~𝑞: Lucas não é dentista 
 
( ~ p ∨ q ) 
 
Como ~p ∨ q não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicando a 
equivalência: 
~𝑝 ∨ 𝑞 ⇔ 𝑝 → 𝑞 
 
Chegamos em uma resposta que aparece entre as alternativas. 
 
 
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CÁLCULO PROPOSICIONAL – TABELA-VERDADE 
 
 
9) Uma sentença equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é: 
 
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. 𝑝 ∨ 𝑞 
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. 𝑝 ∨ ~𝑞 
c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. ~𝑞 → 𝑝 
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. ~𝑝 → ~𝑞 
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. ~𝑞 → ~𝑝 
 
Pedro é economista, então Luísa é solteira ⇔ p → q 
 
 𝑝: Pedro é economista 
~𝑝: Pedro não é economista 
 𝑞: Luísa é solteira 
~𝑞: Luísa não é solteira 
Como 𝑝 → 𝑞 não é uma resposta que aparece nas alternativas, resolvemos por etapas, então aplicamos a 1ª 
equivalência: 
𝑝 → 𝑞 ⇔ ~𝑝 ∨ 𝑞 
 
Como ~𝑝 ∨ 𝑞 não é uma resposta que aparece nas alternativas, faremos uma outra abordagem: 
Por eliminação, as alternativas a) e b) não se encaixa na resposta encontrada até o momento e o resultado das 
outras alternativas c), d) e e) então utilizando a condicional. Logo faremos outra equivalência para descobrir 
a alternativa correta. 
 
Temos a proposição composta: 𝑷:( 𝒑 → 𝒒 ) e sabendo que existem proposições associdas a P: 
• Recíproca de P ⇔ 𝑞 → 𝑝 
• Contrária de P ⇔ ~𝑝 → ~𝑞 
• Contrapositiva de P ⇔ ~𝑞 → ~𝑝 
 
Das equivalências apresentadas acima, duas delas aparecem como resposta. 
 
10) Um exemplo de tautologia é: 
 
a) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. 𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) 
b) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞) 
c) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑞 
d) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞) 
e) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. (𝑝 ∨ ~𝑝) → 𝑞 
 
Temos apenas 2 proposições nesta questão: 
 𝑝: João é alto 
~𝑝: João não é alto 
 𝑞: Guilherme é gordo 
~𝑞: Guilherme não é gordo 
 
Resolvendo os parênteses de cada alternativa primeiro: 
 
𝑝 𝑞 ~𝑝 ~𝑞 𝑝 ∨ 𝑞 𝑝 ∧ 𝑞 𝑝 ∨ ~𝑝 
V V F F V V V 
V F F V V F V 
F V V F V F V 
F F V V F F V 
 
Agora resolvemos o operador condicional de cada sentença: 
 
a) b) c) d) e) 
𝑝 → (𝑝 ∨ 𝑞) 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑞) (𝑝 ∨ 𝑞) → 𝑞 (𝑝 ∨ 𝑞) → (𝑝 ∧ 𝑞) (𝑝 ∨ ~𝑝) → 𝑞 
V V V V V 
V F F F F 
V V V F V 
V V V V F