regressão 5

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REGRESSÃO E CORRELAÇÃO LINEAR
PROF. DR. EDMAN ALTHEMAN
CONCEITO
EM VÁRIOS ESTUDOS ESTATÍSTICOS, DESEJA-SE ESTABELECER RELAÇÕES QUE PERMITAM PREVER O VALOR DE UMA OU MAIS VARIÁVEIS EM TERMOS DO CONHECIMENTO QUE TEMOS DE OUTRA VARIÁVEL.
NÃO É RAZOÁVEL SE PREVER QUE, COM O CONHECIMENTO DESSAS RELAÇÕES, POSSA-SE OBTER O VALOR EXATO ESPERADO PARA A VARIÁVEL SOB ESTUDO. NA MAIOR PARTE DOS CASOS, CONSEGUIREMOS ESTABELECER VALORES MÉDIOS.
O MÉTODO MAIS UTILIZADO PARA O AJUSTE DE CURVAS NESSES ESTUDOS DE REGRESSÃO É O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
PASSO A PASSO PARA DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA QUE ESTABELEÇA A RELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS 
(OU SEJA, ESTUDO DO AJUSTE DE CURVAS PARA ESSAS VARIÁVEIS)
Devemos decidir que tipo de curva e, daí, que tipo de equação de previsão queremos utilizar
Devemos encontrar a equação particular que seja a melhor em algum sentido
Devemos investigar certas questões relativas aos méritos da equação escolhida e de previsões feitas a partir dela
PASSO A PASSO PARA DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA QUE ESTABELEÇA A RELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS 
O primeiro tipo de problema, em geral, é resolvido pela inspeção direta dos dados. Plotam-se os valores em gráficos de escalas convenientes ( métrica, logarítmica etc.) e verifica-se visualmente a adequação. 
PASSO A PASSO PARA DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA QUE ESTABELEÇA A RELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS 
Para os problemas seguintes, podemos introduzir o conceito de correlação entre variáveis, o qual procura explicar como as variações de valores em uma variável (chamada independente) pode afetar as variações de valores da outra variável (chamada dependente)
O coeficiente de correlação R, compreendido entre -1 < R < 1 , permite verificar a intensidade com as variáveis são afetadas. Em módulo, quanto maior o valor de R, maior o grau de correlação e maior a determinação da influencia da variável independente sobre a dependente
R é calculado pela fórmula: R = / √ * , com
 = nΣ
 = nΣ
 = nΣxx)*(
EXEMPLO Deseja-se verificar o grau de correlação existente entre o número de anos de estudo formal dos componentes com mais de 30 anos de uma pequena comunidade e o valor dos rendimentos mensais advindos do trabalho assalariado dessas pessoas. Os valores pesquisados foram:
	PESSOA	ANOS DE ESTUDO
	SALÁRIO (SM/MÊS) 			
	1	15	10	225	100	150
	2	11	9	121	81	99
	3	8	9	64	81	72
	4	8	7	64	49	56
	5	10	9	100	81	90
	6	4	5	16	25	20
	7	6	5	36	25	30
	8	11	8	121	64	88
	9	8	7	64	49	56
	10	8	6	64	36	48
	TOTAL	89	75	875	591	709
 = nΣ
	10*875 - = 829
 = nΣ
	10*591 - = 285
 = nΣxx)*(
	10*709 – 89*75 = 415 
R = / √ * = 415/√ 829*285 = 0,85 = 85% 
Portanto, verifica-se que há uma forte correlação entre os anos de escolaridade e a remuneração recebida pela pessoa
PASSO A PASSO PARA DETERMINAÇÃO DE UMA EQUAÇÃO MATEMÁTICA QUE ESTABELEÇA A RELAÇÃO ENTRE DUAS VARIÁVEIS 
A equação da reta que procura representar o gráfico linear obtido pela aplicação do método dos mínimos quadrados aos dados que relacionam as variáveis independente e dependente é a que segue:
X
Y
/ 
	
 => 
EXEMPLO: No exemplo anterior, determine a equação da reta de regressão linear para os dados 		 assinalados 
X
Y
/ 
	
 => 
 = 415/829 = 0,50
 = 75/10-0,50*89/10 = 3,05 
 
Assim, por essa equação, uma pessoa com 11 anos de estudo formal (cursou até o ensino médio, por exemplo, teria remuneração de 8,55 SM.
Com a mesma equação, verificamos que, para ter uma remuneração de 12 SM, a pessoa deveria ter desenvolvido 18 anos de estudo formal.
Exemplo 1:
	Semana	Altura (m)
	1	5
	2	12
	3	16
	4	22
	5	34
	6	38
	7	41
	8	45
	9	50
Determine o coeficiente de correlação linear e interprete os resultados.
Determine a equação da reta de regressão que define o crescimento do pé de feijão.
Determine a altura que o pé de feijão tinha com 3,5 semanas de vida. 
Exemplo 2:
É esperado que a massa muscular de uma pessoa diminua com a idade. Para estudar essa relação, uma nutricionista selecionou 18 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos, e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa muscular (Y).
	Massa muscular (Y)	Idade (X)
	82.0	71.0
	91.0	64.0
	100.0	43.0
	68.0	67.0
	87.0	56.0
	73.0	73.0
	78.0	68.0
	80.0	56.0
	65.0	76.0
	84.0	65.0
	116.0	45.0
	76.0	58.0
	97.0	45.0
	100.0	53.0
	105.0	49.0
	77.0	78.0
	73.0	73.0
	78.0	68.0
Exemplo 2:
	Massa muscular (Y)	Idade (X)
	82.0	71.0
	91.0	64.0
	100.0	43.0
	68.0	67.0
	87.0	56.0
	73.0	73.0
	78.0	68.0
	80.0	56.0
	65.0	76.0
	84.0	65.0
	116.0	45.0
	76.0	58.0
	97.0	45.0
	100.0	53.0
	105.0	49.0
	77.0	78.0
	73.0	73.0
	78.0	68.0
a) Construa o diagrama de dispersão e interprete-o.
b) Calcule o coeficiente de correlação linear entre X e Y.
c) Ajuste uma reta de regressão para a relação entre as variáveis Y: massa muscular (dependente) e X: idade (independente). 
d) Considerando a reta estimada dada no item (c), estime a massa muscular média de mulheres com 50 anos
Exemplo 3:
Os dados a seguir correspondem à variável renda familiar e gasto com alimentação (em unidades monetárias) para uma amostra de 25 famílias.
Construa o diagrama de dispersão da variável gasto com alimentação (Y) em função da renda familiar (X). 
b) Calcular o coeficiente de correlação entre essas variáveis
c) Obtenha a equação de regressão do gasto com alimentação em função da renda familiar. 
d) Qual o significado prático do valor da inclinação da reta de regressão do item (c)?
	Renda Familiar (X)	Gasto com Alimentação (Y)
	3	1,5
	5	2,0
	10	6,0
	10	7,0
	20	10,0
	20	12,0
	20	15,0
	30	8,0
	40	10,0
	50	20,0
	60	20,0
	70	25,0
Exemplo 4:
Durante certo período, foram feitos investimentos numa empresa. A Tabela 12.17 mostra os benefícios colhidos nos períodos que correspondem aos investimentos realizados na empresa. 
Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
Estabeleça uma função matemática (reta de ajuste) que explique a dependência existente entre os investimentos e os benefícios obtidos
Exercícios de correlação e regressão linear
5- Determine o grau de correlação e a equação da reta de regressão linear simples para os dados abaixo:
	Gastos em treinamento (*U$1000)	Receita após treinamento (*U$1000)	 XY	X2	Y2
	2,4	225	 	 	 
	1,6	184	 	 	 
	2,0	220	 	 	 
	2,6	240	 	 	 
	1,4	180	 	 	 
	1,6	184	 	 	 
	2,0	186	 	 	 
	2,2	215	 	 	 
					
Exercícios de correlação e regressão linear
6- Dados o tempo de serviço de 10 funcionários de uma companhia de seguros e o número de clientes que cada um possui, verifique se existe uma associação entre estas variáveis: 
	Anos de serviço (x)	No. De clientes (y)	XY	X2 	 Y2
	2	48	 	 	 
	3	50	 	 	 
	4	56	 	 	 
	5	52	 	 	 
	4	43	 	 	 
	6	60	 	 	 
	7	62	 	 	 
	8	58	 	 	 
	8	64	 	 	 
	10	72	 	 	 
		 	 	 	 
Calcule as medidas descritivas destas duas variáveis; 
b) Construa o diagrama de dispersão e anote os valores mínimo e máximo de X e Y que aparecem no gráfico; 
c) Trace no diagrama de dispersão as retas y =X e x =Y e analise o gráfico; 
d) Calcule e interprete o coeficiente de correlação.
Maior valor de x=10, maior valor de y =72
Menor valor de x=2, menor valor de y= 43
No. De clientes (y)	2	3	4	5	4	6	7	8	8	10	48	50	56	52	43	60	62	58	64	72	
Maior valor de x=10, maior valor de y =72
Menor valor de x=2, menor valor de y= 43
No. De clientes (y)	2	3	4	5	4	6	7	8	8	10	48	50	56	52	43	60	62	58	64	72	
Exercícios de correlação e regressão linear
7- Uma pesquisa de perfil feita com investidores de um grande fundo, dentre outras questões, perguntou a idade dos aplicadores e o percentual de suas rendas utilizado para investimentos. Os dados obtidos foram:
	IDADE	20	25	30	35	40	45	50	55	60
	%INVESTIIM.	10	15	24	30	40	43	36	41	41
Pode-se estimar se há correlação entre estas variáveis? Em qual grau?
Qual seria a equação da reta media que expressaria esta correlação?
Qual a estimativa de % de investimento de uma pessoa com 47 anos?
Qual seria a idade esperada para um % de investimento de 28%?
	36,703
	X= 47
	
	Y=28
	36,0803
AJUSTE DE CURVA EXPONENCIAL
Equaçãoda curva exponencial		y = b
y = b
log y = log b 		=> 	log y = log b + log
 
log y = log b + xloga 	=> 	Y= logy B=logb A=loga 
Y = B + Ax => 	Y = Ax+B	equação da reta
AJUSTE DE CURVA EXPONENCIAL
Equação da curva exponencial		y = b
AJUSTE DE CURVA EXPONENCIAL
Equação da curva exponencial		y = b
AJUSTE DE CURVA EXPONENCIAL
Equação da curva exponencial		y = b
AJUSTE DE CURVA EXPONENCIAL
EXERCÍCIO: Pretende-se fazer uma estimativa do número de pessoas contaminadas por um vírus, com a finalidade de guiar as politicas publicas para disponibilização de equipamentos, e pessoal médico para atendimento dos futuros pacientes. Os dados de que se dispõe permitem inferir que essa projeção deve ser baseada em um modelo exponencial de crescimento (pelo menos até seu pico). Com base nos dados, determine a equação de projeção dessa curva. Qual a estimativa de contaminados no 100º dia.
	DIA	CONTAMINADOS X 1000	X2	Y2	XY
	1	0,01			
	10	0,10			
	20	1			
	30	4			
	40	12			
	50	20			
	60	35			
Elabore o diagrama dos dados e a curva da equação de regressão
Gastos em 
treinamento 
(*U$1000) X
Receita após 
treinamento 
(*U$1000) Y
 XYX2Y2
2,4
2255405,7650625
1,6
184294,42,5633856
2
220440448400
2,6
2406246,7657600
1,4
1802521,9632400
1,6
184294,42,5633856
2
186372434596
2,2
2154734,8446225
15,816343289,832,44337558
Sxy=501,2
Sxx=9,88R=0,912905285
91%
Syy=30508
a=50,72874494
y=50,72a +104,06
b=104,0607287
Anos de 
serviço (x)
No. De 
clientes (y)
XYX2  Y2
2489642304
35015092500
456224163136
552260252704
443172161849
660360363600
762434493844
858464643364
864512644096
10727201005184
57565339238332581
Sxy=1715
a=2,951807
Sxx=581R=0,87679521
87,60%b=39,6747
Syy=6585
y=2,95x+39,67
4543193520251849
5036180025001296
5541225530251681
6041246036001681
36028012395159009908
Sxy=10755
Sxx=13500R=0,891857
89,20%
Syy=10772
a=0,79666667
y=0,797x-0,756
b=-0,7555556
ANO 
X
LUCRO 
LÍQUIDO Y
Y = logyX2Y2XY
11122,04921814,1992952,049218
21492,17318644,7227394,346373
32382,37657795,6481187,129731
43542,549003166,49741810,19601
55802,763428257,63653413,81714
68672,938019368,63195617,62811
21230014,849439137,3360655,16659
Sxy=6*55,167-21*14,85019,161
B=19,161 =0,1825
Sxx=6*91-21*21105105
A=14,849 -0,1825 * 21 =1,8362
66
A=loga => a =65,58y=65,58 *
B=logb => b = 1,522
ͳǡͷʹʹ௫
ANO X
LUCRO 
LÍQUIDO Y
1
99,81
2
151,92
3
231,21
4
351,91
5
535,61
6
815,19