_metodos_computacionais_2011 CUBAGEM

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Métodos computacionais
Métodos Computacionais:
• Dependem de computadores para o 
cálculo de recurso/reserva e fazem uso de 
funções matemática de interpolação, as 
quais são aplicadas para o cálculo de teor 
tonelagem, densidade, espessura nos 
blocos de cubagem.
Modelo tridimensional de blocos
• Conjunto de blocos de 
cubagem que compõem 
o depósito.
• Dimensões compatíveis 
com a densidade média 
de amostragem nas 3D.
• Subdivisão ideal: 
metade do espaçamento 
médio entre os furos de 
sonda.
Métodos Computacionais
Principal diferença dos métodos 
convencionais:
• Fazer uso de métodos matemáticos de 
interpolação:
– Krigagem ordinária
– Inverso da potência da distância
Outras diferenças: geometria e dimensão 
dos blocos de cubagem.
Requisitos para avaliação dos blocos 
de cubagem
• Estarem no domínio do depósito
• Apresentar amostras de furos vizinhos, 
segundo critérios de seleção
• Passíveis de avaliação com o mínimo de 
informação, verificada a distância máxima 
de amostras.
Determinação da posição de um bloco 
em relação ao domínio do depósito
• Verificar se o bloco pertence à fronteira 
dos furos de sonda
• Se estiver, verificar se ele está dentro dos 
limites inferior e superior de mineralização
Vizinhança local
• Definir os pontos de amostragem que 
serão efetivamente utilizados pelos 
métodos de interpolação;
• Os critérios para seleção dos pontos 
vizinhos ao bloco e o número de pontos 
devem ser exibidos no início do processo 
de avaliação.
Vizinhança local
• Passo bem importante!
Vizinhança local
• Passo bem importante!
• Diferentes subconjuntos de amostras 
podem ser definidos e resultados distintos 
podem ser obtidos.
Vizinhança local
• Passo bem importante!
• Diferentes subconjuntos de amostras 
podem ser definidos e resultados distintos 
podem ser obtidos.
• A escolha de furos vizinhos deve garantir 
uma boa amostragem espacial.
Vizinhança local
• Passo bem importante!
• Diferentes subconjuntos de amostras 
podem ser definidos e resultados distintos 
podem ser obtidos.
• A escolha de furos vizinhos deve garantir 
uma boa amostragem espacial
• Ou seja, evitar subconjuntos com 
agrupamentos de pontos.
Vizinhança local
• Os agrupamentos de pontos ocorrem em 
arranjos aleatórios ou semi-circulares.
Localização dos 8 pontos mais próximos para arranjo aleatório
e semi-circular.
Ponto a ser
interpolado
Vizinhança local
• Em Nenhum caso a amostragem espacial 
foi representativa!
Ponto a ser
interpolado
Localização dos 8 pontos mais próximos para arranjo aleatório
e semi-circular.
NE
SW nada
Uma linha
só
Vizinhança local
• Critérios de seleção de pontos por 
quadrantes e octantes (aleatório):
Duas amostras + próximas por 
quadrante
Uma amostra + próxima por 
octante.
Vizinhança local
• Critérios de seleção de pontos por 
quadrantes e octantes (Semi-circular):
Duas amostras + próximas por quadrante, arranjo semi-circular. Já 
provocou a amostragem em duas linhas adjacentes de pesquisa.
Arranjos semi-circulares 3D em furos 
de sonda
• A densidade de amostragem ao longo dos 
furos é sempre maior que entre eles. 
Seleção de amostras sem imposição.
• Seleção de amostras de furo de sonda mais 
próxima por setor (octante tridimensional), em 
relação ao centro do bloco.
Arranjos semi-circulares 3D em furos 
de sonda
Os 4 furos foram amostrados!
Número de amostras de furos vizinhos
• Não deve ser excessivamente pequeno, 
com o risco de a interpolação resultar em 
valor semelhante ou muito correlacionado 
ao do ponto mais próximo.
Número de amostras de furos vizinhos
• Não deve ser excessivamente pequeno, 
com o risco de a interpolação resultar em 
valor semelhante ou muito correlacionado 
ao do ponto mais próximo.
• Não tão grande, que a interpolação resulte 
em valor bastante suavizado, perdendo a 
característica de interpolação local.
• Usa-se 8 em média, ou 4 na borda do 
corpo.
Exemplo hipotético
Depósito 
Estratiforme, 
teores 
compostos 
para a 
espessura, 
densidade 
aparente=
d = 3,2 t/m3
Exemplo hipotético
Malha não 
regular 
tem que se 
definir o 
passo e a 
tolerância 
do passo. 
Mapa de localização dos pontos de amostragem.
Exemplo hipotético-variogramas
Nuvem de variograma mostrando as diferenças ao 
quadrado entre todos os pares de pontos e os 
valores médios nas classes de passos para teor
(A), e pontos do variograma experimental com 
ajuste de modelo esférico (B).
Classes de passo
Exemplo hipotético-variogramas
Nuvem de variograma mostrando as diferenças ao quadrado 
entre todos os pares de pontos e os valores médios nas 
classes de passos para espessura (A), e pontos do 
variograma experimental com ajuste de modelo 
gaussiano (B).
►
Ex. hipotético - Blocos de cubagem
• Blocos calculados individualmente e depois 
compostos = recurso geológico.
24 blocos
62,5 x 62,5m
◄
Classe de recurso
• Os blocos de cubagem dentro dos domínios dos 
pontos dados podem ser classificados em 
recurso medido somente se houver 
continuidade da mineralização entre os pontos 
de amostragem.
Classe de recurso
• Os blocos de cubagem dentro dos domínios dos 
pontos dados podem ser classificados em 
recurso medido somente se houver 
continuidade da mineralização entre os pontos 
de amostragem.
• Na dúvida, principalmente em regiões sub-
amostradas, classificar em recurso indicado.
• Recursos classificados na periferia do depósito 
são classificados como recurso indicado. 
• Recursos classificados na periferia do 
depósito são classificados como recurso 
indicado. 
Classe de recurso
Localização e seleção de pontos 
de dados vizinhos
Localização e seleção de pontos 
de dados vizinhos
1 ponto mais próximo por quadrante.
Localização e seleção de pontos 
de dados vizinhos
1 ponto mais 
próximo por 
quadrante.
► ►
Cubagem de jazidas
Métodos Computacionais:
Krigagem ordinária
Krigagem Pontual
Krigagem de Bloco
Ponderação pelo inverso da potência da distância 
– IQD
Avaliação pontual pelo IQD
Avaliação de Bloco pelo IQD
Krigagem
• Estabelecer, a partir de expressões matemáticas, o
melhor estimador possível do valor médio (teor,
espessura, acumulação, densidade) na área de
influência de um furo de sonda ou de um bloco de
minério em serviço mineiro (galeria, chaminé).
Krigagem
• Estabelecer, a partir de expressões matemáticas, o
melhor estimador possível do valor médio (teor,
espessura, acumulação, densidade) na área de
influência de um furo de sonda ou de um bloco de
minério em serviço mineiro (galeria, chaminé).
• Em sondagem, no cálculo do valor médio e da
reserva em cada área de influência dos furos,
intervém não só o furo central mas os outros furos,
ponderando cada informação em função da
distância ao bloco que está sendo krigado.
Krigagem
• Melhor forma de avaliação de uma jazida mineral,
mas só se aplica a minério com modelos de
variogramas esféricos ou logarítmicos.
Krigagem
• Melhor forma de avaliação de uma jazida mineral,
mas só se aplica a minério com modelos de
variogramas esféricos ou logarítmicos.
• São técnicas superiores porque permitem o cálculo do
erro associado às estimativas, chamada variância de
krigagem.
Krigagem
• Melhor forma de avaliação de uma jazida mineral,
mas só se aplica a minério com modelos de
variogramas esféricos ou logarítmicos.
• São técnicas superiores porque permitem o cálculo do
erro associado às estimativas, chamada variância de
krigagem.
• A krigagem é o procedimento que permite calcular os
ponderadores para uma dada configuração (bloco x
disposição das amostras no espaço), com mínima
variância de krigagem.
Krigagem
• Para efetuar a krigagem de uma área é 
necessário primeiro efetuar a análise 
variográfica do minério.
• Os estudos geoestatísticos levam a definição 
de um modelo de variograma que servirá 
para inferir os valores da função variograma 
que serão utilizados pelos métodosgeoestatísticos de interpolação.
Relação variograma x krigagem
• O conhecimento da variabilidade natural do 
depósito, expressa por meio de um variograma, 
é a base da geoestatística que permite realizar 
estimativas precisas, bem como avaliar o erro 
cometido nessas estimativas.
Relação variograma x krigagem
• O conhecimento da variabilidade natural do
depósito, expressa por meio de um variograma,
é a base da geoestatística que permite realizar
estimativas precisas, bem como avaliar o erro
cometido nessas estimativas.
• Variância de krigagem permite determinar o erro
associado à configuração espacial das amostras
consideradas para a estimativa.
Relação variograma x krigagem
• A krigagem, como método de interpolação na
avaliação de recurso/reserva, só deve ser
utilizada quando o variograma experimental for
estruturado, ou seja se a variabilidade não for
totalmente aleatória (efeito pepita puro).
Relação variograma x krigagem
• A krigagem, como método de interpolação na
avaliação de recurso/reserva, só deve ser
utilizada quando o variograma experimental for
estruturado, ou seja se a variabilidade não for
totalmente aleatória (efeito pepita puro).
• Com o modelo de variograma se reconhece
anisotropias e se tem uma idéia da variabilidade
a pequenas distâncias dada pelo
comportamento próximo a origem.
Pepita
Pepita puro
Krigagem Ordinária
• As técnicas geoestatísticas de estimativa 
baseiam se no estudo da variabilidade 
espacial do corpo do minério.
• São superiores porque permitem o cálculo 
do erro associado as estimativas –
variância de krigagem.
Krigagem Ordinária
• A krigagem é um procedimento que permite
calcular os ponderadores para uma dada
configuração (bloco x disposição das amostras
no espaço), com mínima variância de krigagem.
Krigagem Ordinária
• A krigagem é um procedimento que permite
calcular os ponderadores para uma dada
configuração (bloco x disposição das amostras
no espaço), com mínima variância de krigagem.
• A krigagem é feita após os estudos
geoestatísticos, que podem indicar a sua não
aplicação, se a variável regionalizada for
totalmente aleatória.
Krigagem Ordinária
• A krigagem é um procedimento que permite
calcular os ponderadores para uma dada
configuração (bloco x disposição das amostras
no espaço), com mínima variância de krigagem.
• A krigagem é feita após os estudos
geoestatísticos, que podem indicar a sua não
aplicação, se a variável regionalizada for
totalmente aleatória.
• O modelo de variograma servirá para inferir os
valores da função variograma utilizados pelos
métodos geoestatísticos de interpolação.
Krigagem
• Método que permite estimar o valor
desconhecido Z* (Xo) associado a um ponto,
área ou volume a partir de um conjunto de n
dados { Z (Xo), i = 1,n} disponíveis.
Z* (Xo) = λi . Z (Xi)
Os ponderadores (λi, i=1,n) são obtidos da
resolução de um sistema linear de equações
denominado sistema de equações de krigagem.
n
i=1
Krigagem de malha 
quadrada de sondagem
O teor na área de influência
do furo A, depende não
apenas dos valores em A,
mas sofre influência de B1
B2 B3, furos de primeira
auréola C1 C2 C3, furos de
segunda Auréola.
Krigagem de malha quadrada de 
sondagem
Teor na área de influência de A:
Ta = (1 - λ - μ) . a + λ . b + μ . c 
λ e μ coeficientes matemáticos
a teor do furo A
b média aritmética dos teores dos furos de 1ª 
auréola (b = Σ bi / 4)
c média aritmética dos teores dos furos de 2ª 
auréola (c = Σ ci / 4)
Variância do erro de krigagem
• Como toda técnica de estimativa, a 
krigagem procura estimar com a mínima 
variância.
• Variância do erro de krigagem:
σ2E = Var { Z (Xo) - Z* (Xo) }
Variância do erro de krigagem
• Como toda técnica de estimativa, a 
krigagem procura estimar com a mínima 
variância.
• Variância do erro de krigagem:
σ2E = Var { Z (Xo) - Z* (Xo) }
O objetivo da krigagem é buscar o melhor 
conjunto de ponderadores para que a 
variância do erro seja a mínima possível.
Domínio da estimativa
Conforme o domínio que se estima tem-se:
• Krigagem pontual
• Krigagem de bloco
Krigagem pontual
• Usada para estimar qualquer variável 
(teor, espessura) em um ponto não 
amostrado
• A aplicação prática da krigagem pontual é 
de representação gráfica de dados 
geológicos, por mapas de isovalores ou 
superfícies 3D, obtidas pela projeção 
pespectiva da malha regular.
P
E
R
F
IS
 T
O
P
O
G
E
O
L
Ó
G
IC
O
S
Modelagem de um corpo de minério 
C:/Documents and Settings/Maria José Mesquita/Meus arquivos recebidos/arex.gvp
Krigagem pontual
◄ Estimar o ponto no centro do bloco.
• A organização do sistema de krigagem começa 
com o cálculo da matriz dos termos (xi – xj) 
• que é a função do semivariograma (h) ou 
variograma 2 (h) 
2 (h)= 1/n . { [ Z (x + h) – Z (x) ]2}
n
i=1
n – números de pares de 
pontos separados por 
uma distância h;
Z(x) valor da variável no 
ponto x
Z(x + h) valor da variável 
no ponto x +h
Localização e seleção de pontos 
de dados vizinhos
1 ponto mais 
próximo por 
quadrante.
► ►
Krigagem pontual – exemplo hipotético
Dados selecionados pelo critério de 
quadrantes para a estimativa do bloco B2:
furo X(m) Y(m) Espessura (m) Teor (g/t)
1 100 50 1,5 5
4 150 100 1,9 15
5 100 150 1,73 18
9 150 187,5 2,63 20
• Para o cálculo da função semivariograma, 
entre as amostras 1 e 4, determina-se 
primeiro a distância entre elas:
d (x1, x4)= (100 – 150)
2 + (50 – 100)2 = 70,71
furo X(m) Y(m) Espessura (m) Teor (g/t)
1 100 50 1,5 5
4 150 100 1,9 15
5 100 150 1,73 18
9 150 187,5 2,63 20
Krigagem pontual – exemplo hipotético
• A distância encontrada é convertida em 
função semivariograma, usando as equações 
dos modelos, para teor: ◄
(x1 – x4)= 40 1,5 (70,71) - 0,5(70,71)
3 =20,23
200 200
furo X(m) Y(m) Espessura (m) Teor (g/t)
1 100 50 1,5 5
4 150 100 1,9 15
5 100 150 1,73 18
9 150 187,5 2,63 20
Krigagem pontual – exemplo hipotético
Pontos do variograma experimental para teor com 
ajuste de modelo esférico (B).
(h)= C0+C 3 h - 1 h 
2 a 2 a
(h)= C0+C para h a
h distância 
a amplitude
Variograma do exemplo hipotético
Krigagem pontual
• A distância encontrada é convertida em 
função semivariograma, usando as 
equações dos modelos: para espessura
(x1 – x4)= 0,35 1- exp 
70,71 = 0,138 
100
furo X(m) Y(m) Espessura (m) Teor (g/t)
1 100 50 1,5 5
4 150 100 1,9 15
5 100 150 1,73 18
9 150 187,5 2,63 20
2
Exemplo hipotético-variograma 
Pontos do variograma experimental para espessura 
com ajuste de modelo gaussiano (B).
►
(h)= C0+C 1 – exp - h
a
2
Krigagem pontual
• O procedimento é repetido para todos os pares de 
amostras e se obtém as matrizes dos valores da 
função semivariograma 
(xi – xj) para teor e :
0 20,33 27,5 36,06
20,33 0 20,33 24,58
27,50 20,33 0 18,14
36,06 24,58 18,14 0
Krigagem pontual
• O procedimento é repetido para todos os pares de 
amostras e se obtém as matrizes dos valores da 
função semivariograma 
(xi – xj) para teor e :
0 20,33 27,5 36,06
20,33 0 20,33 24,58
27,50 20,33 0 18,14
36,06 24,58 18,14 0
Ao longo da diagonal,
em que as distâncias
são nulas, os valores
das funções
semivariograma serão
também nulos,
independente da
presença ou ausência
do efeito pepita. A
função semivariograma
é descontínua na
origem!
Krigagem pontual
• O procedimento é repetido para todos os pares de 
amostras e se obtém as matrizes dos valores da 
função semivariograma 
(xi – xj) para espessura e :
0 0,138 0,221 0,309
0,138 0 0,138 0,187
0,221 0,138 0 0,113
0,309 0,187 0,113 0
Ao longo da diagonal,
em que as distâncias
são nulas, os valores
das funções
semivariograma serão
também nulos,
independente da
presença ou ausência
do efeito pepita. A
função semivariograma
é descontínua na
origem!
• O vetor dos valores das funções 
semivariograma (xo – xi), entrea amostra 
e o ponto estimado, também é calculado 
da mesma forma.
• Determina-se a distância entre a amostra 
e o ponto a ser estimado, obtém-se o 
valor da função semivariograma:
Krigagem pontual
Localização do ponto Xo
► ►
furo X(m) Y(m) Espes 
sura 
(m)
Teor 
(g/t)
1 100 50 1,5 5
4 150 100 1,9 15
5 100 150 1,73 18
9 150 187,5 2,63 20
Exemplo para a amostra 1:
d (xo, x1)= (100 – 131,35)
2 + (50 – 118,75)2 = 75,52
Para teor:
(xo – x1)= 40 1,5 (75,52) - 0,5(75,52) = 21,58
200 200
Para espessura:
(xo – x1)= 0,35 1- exp 
(75,52) = 0,152
100
Krigagem pontual
3
2
Exemplo para a amostra 1:
calcula-se os valores das funções 
semivariograma para todas as amostras, tem-se 
o vetor (xo – x1) entre amostras e o ponto a ser 
estimado:
21,58 0,152
7,91 0,024
13,04 0,062
20,47 0,139
Krigagem pontual
Teor espessura
Assim se tem todos os elementos para os sistemas 
de equações de krigagem para estimativa do 
ponto de coordenadas (131,25; 11,75), para 
teores e espessura:
0 20,33 27,5 36,06 1 λ1 21,58
20,33 0 20,33 24,58 1 . λ4 = 7,91
27,50 20,33 0 18,14 1 λ5 13,04
36,06 24,58 18,14 0 1 λ9 20,47
1 1 1 1 0 μ 1
Krigagem pontual
Teor
Assim se tem todos os elementos para os sistemas 
de equações de krigagem para estimativa do 
ponto de coordenadas (131,25; 11,75), para 
teores e espessura:
0 0,138 0,221 0,309 1 λ1 0,152
0,138 0 0,138 0,187 1 . λ4 = 0,024
0,221 0,138 0 0,113 1 λ5 0,062
0,309 0,187 0,113 0 1 λ9 0,139
1 1 1 1 0 μ 1
Krigagem pontual
espessura
O teor no centro do bloco B2 então é: ◄
Tc=(5.0,047)+(15.0,572)+(18.0,317)+(20.0,064) = 15,801g/t
Resolvendo o sistema de equações obtêm-
se os ponderadores:
amostra Teor 
(g/t)
λ1,i=1,4 Espess
ura (m)
λ1,i=1,4
1 5 0,047 1,5 -0,04
4 15 0,572 1,9 0,676
5 18 0,317 1,73 0,392
9 20 0,064 2,63 -0,028
A espessura no centro do bloco B2 então é: ◄
Ec=(1,5.0,04)+(1,9.0,676)+(1,738.0,392)+(2,63.0,028) = 
1,829g/t
Resolvendo o sistema de equações obtêm-
se os ponderadores:
amostra Teor 
(g/t)
λ1,i=1,4 Espess
ura (m)
λ1,i=1,4
1 5 0,047 1,5 -0,04
4 15 0,572 1,9 0,676
5 18 0,317 1,73 0,392
9 20 0,064 2,63 -0,028
Krigagem pontual
• Este procedimento é então repetido para 
cada ponto que se quer estimar!
Krigagem de bloco
Krigagem de bloco
• Técnica de estimativa de teor médio em 
painéis ou blocos de cubagem.
Krigagem de bloco
• Técnica de estimativa de teor médio em 
painéis ou blocos de cubagem.
• Desenvolvida exclusivamente para 
mineração.
Krigagem de bloco
• Técnica de estimativa de teor médio em 
painéis ou blocos de cubagem.
• Desenvolvida exclusivamente para 
mineração.
• Diferente da pontual porque áreas ou 
volumes devem ser representados pelos 
pontos de amostragem.
Krigagem de bloco
• Técnica de estimativa de teor médio em 
painéis ou blocos de cubagem.
• Desenvolvida exclusivamente para 
mineração.
• Diferente da pontual porque áreas ou 
volumes devem ser representados pelos 
pontos de amostragem.
• A diferença composicional entre o ponto 
estimado e a unidade lavrada é 
denominada erro de estimativa.
Krigagem de bloco
• O erro de estimativa associado a krigagem 
de bloco será menor que para krigagem 
pontual.
Krigagem de bloco
• O erro de estimativa associado a krigagem 
de bloco será menor que para krigagem 
pontual.
• O princípio da krigagem de bloco é 
baseado na subdivisão do bloco de 
cubagem em sub-blocos, que são 
avaliados individualmente e compostos 
para o bloco original.
Krigagem de bloco
• O erro de estimativa associado a krigagem 
de bloco será menor que para krigagem 
pontual.
• O princípio da krigagem de bloco é 
baseado na subdivisão do bloco de 
cubagem em sub-blocos, que são 
avaliados individualmente e compostos 
para o bloco original 
• Usa-se teorema da Combinação das 
Estimativas de Krigagem.
Krigagem de bloco
• Bloco B2 a ser estimado por meio da sua subdivisão em 2 
x 2 sub-blocos e os 4 pontos de dados próximos.
A matriz será a mesma 
mas o vetor (xo – xi) será 
(xo – xi)
Krigagem de bloco
Limite da mineralização aproximado pelo conjunto de 
blocos e sub-blocos de cubagem pertencentes à 
fronteira dos dados. Na fronteira se divide os sub-blocos 
e sub-blocos ainda menores.
Krigagem de bloco
• A krigagem de bloco permite obter uma 
estimativa mais representativa do bloco, 
principalmente em casos em que há 
grande variabilidade dos teores.
Bloco Área 
(m2)
Espessura 
(m)
Teor 
(g/t)
Recurso (g)
A1
B1
976,56
2929,6
1,570
1,747
6,56
10,56
32184,92
172947,83
Ponderação pelo Inverso da Distância 
– IQD ou IPD
• Primeiro método analítico para interpolação
de valores de variáveis de interesse em
pontos não amostrados (1964).
• Base do método: Os teores de amostras de
furos vizinhos, em relação a um
determinado ponto ou bloco do depósito,
são proporcionais ao inverso das
respectivas distâncias ou a uma potência
desta.
Ponderação pelo Inverso da Distância 
– IQD ou IPD
• Assim, amostras de furos próximos
contribuem com grande peso e amostras de
furos distantes com pequeno peso.
• Há uma melhor aproximação da noção da
zona de influência, igual a meia distância
entre furos adjacentes, como no método
dos polígonos.
Ti = teor na i-ésima amostra
localizada no ponto de coordenada
(Xi, Yi, Zi)
Wi = ponderador = ao inverso de uma 
potência da distância entre a i-ésima amostra e o ponto 
a ser interpolado
Ponderação pelo inverso da Potência 
da Distância - IQD
• Equação geral para se interpolar o teor de um
ponto ou bloco do depósito de coordenada (x, y,
z):
Ti . Wi
Wi
n
i=1
n
i=1
n = número de
Pontos do sub-
conjunto.
T = 
IQD
• O ponderador Wi é calculado:
Wi = 1
d Pi
A distância é calculada:
di= (xi – x)
2 + (yi – y)
2 + (zi – z)
2
P é a potência e di é a 
distância entre a i-ésima 
amostra de coordenada
(Xi, Yi, Zi) e o ponto a 
ser interpolado (X, Y, Z).
IQD
• A aplicação deste método requer a
definição da potência a ser utilizada na
ponderação, além do sub-conjunto de
amostras de furos vizinhos, comum a
todos os métodos computacionais.
IQD
• A aplicação deste método requer a
definição da potência a ser utilizada na
ponderação, além do sub-conjunto de
amostras de furos vizinhos, comum a
todos os métodos computacionais.
• Potências baixas tendem a suavizar os
valores extremos,
• Potências altas tendem a realçá-los.
IQD
Efeito da potência na interpolação de teores entre dois 
pontos adjacentes de amostragem (Barnes, 1980).
IQD
Efeito da potência na interpolação de teores entre dois 
pontos adjacentes de amostragem (Barnes, 1980).
• Com o 
aumento da 
potência da 
distância de 
interpolação de 
teores entre 
dois pontos 
passa do 
princípio das 
mudanças 
graduais (p=1)
para dos 
pontos mais 
próximos p>10)
IQD
Efeito da potência na interpolação de teores entre dois 
pontos adjacentes de amostragem (Barnes, 1980).
• Dificilmente uma
concentração na
natureza se
explica por uma lei
linear (mudanças
graduais) e muito
menos por
variações bruscas
(pontos mais
próximos).
Se usa para cálculo de recurso P = 2,
Por isso o inverso do quadrado da 
distância.
Avaliação pontual pelo IQD
• Aplicado na interpolação de malhas
regulares para visualização gráfica de
dados geológicos.
• Aplicado também para avaliação de bloco,
atribuindo o teor interpolado no seu centro
para todo o domínio (com um erro de
estimativa associado).
Avaliação pontual pelo IQD
• O procedimento de cálculo dos
ponderadores do IQD é mais simples que
na krigagem ordinária.
Avaliaçãopontual pelo IQD
• O procedimento de cálculo dos
ponderadores do IQD é mais simples que
na krigagem ordinária.
• Os procedimentos de seleção de
amostras por quadrante e octante são
importantes, pois o método não reconhece
agrupamento de pontos, sendo os pesos
proporcionais ao inverso da distância.
Avaliação de bloco pelo IQD
• São utilizados extensivamente quando os
métodos geoestatísticos não funcionam,
pela impossibilidade de se obter
variogramas representativos.
Avaliação de bloco pelo IQD
• São utilizados extensivamente quando os
métodos geoestatísticos não funcionam,
pela impossibilidade de se obter
variogramas representativos.
• Contudo a aplicação direta para avaliação
de bloco, com base na estimativa de um
único ponto, não é recomendada.
• Erros de estimativa muito altos.
Modelagem geológica
Desenvolvidos de 4 décadas para cá:
Programas:
• Datamine
• Vulcan
• Gencom
• Surpack
Modelagem geológica
As tarefas de estimativa de reserva
projeto de mina
planejamento de lavra
são altamente complexas e de alto risco!
Os sistemas de softers mais avançados de
mineração são ditos integrados,
Contudo integrado dentro de um mesmo
sistema e não entre sistemas.
Modelagem geológica - datamine
Atividades sequenciais:
- Entrada de dados e processamento inicial
- Estruturação do banco de dados
- Validação dos dados (intefacies GPS)
- Interpretação geológica
- Modelagem de superfícies (topografia e 
estruturas geológicas)
- Modelagem geométrica do depósito
Modelagem geológica - datamine
Atividades sequenciais:
- Modelagem de teores
- Estimativa de reservas
- Determinação dos limites ótimos de lavra
- Projeto da mina
- Estimativa das reservas lavráveis
- Planejamento de lavra
- Programação e controles de produção
Apresentação e interpretação seccional de 
dados
Apresentação e interpretação seccional de 
dados
• Dados mostrados na figura anterior apresentados 
aqui em vista isométrica, as cores representam os 
litotipos e o diâmetro o teor proporcional.
Representação
tridimensional
de sondagens.
• poligonais fechadas, cada uma representa um corte 
da jazida de acordo com a interpretação do geólogo, 
a partir dos dados originais de sondagem fig. 7.2
Modelagem de superfície - MDT
• Vista tridimensional de uma superfície triangulada (mina de 
mármore Ledmore, Escócia). Modelo digital do terreno, 
utilizada em modelagem de superfície topográfica e feições 
geológicas como falhas, fraturas.
• Mostram apenas a superfície dos corpos 
minerais, não armazenam a variação de 
teor.
Modelagem de superfície - wireframe
Modelo sólido triangulado tipo wireframe
Modelagem de superfície – wireframe em 
vista geométrica
Vista tridimensional de modelos triangulados (mina subterranea de Caraíba).
• Antes da informatização da modelagem de 
jazidas e de minas era comum o emprego de 
modelos de madeira para representar a 
geologia, os trabalhos de lavra da mineração.
• Desempenhou importante papel na 
visualização da jazida.
• No início dos softers: blocos equidimensionais
Modelagem de superfície – wireframe em 
vista geométrica
Modelos de blocos e sub-blocos de uma 
jazida de cobre
Vista tridimensional de modelos triangulados (mina subterranea de Caraíba).
Processo estima
• Operação de ponderadores de atributos, 
teores e variáveis.
• Pode ponderar por métodos diferentes,
• Busca de amostras para cálculos dos teores 
nos blocos,
• Busca por octantes ou como definido,
• Anisotropia em elipsóides
• Ferramenta unfold de desdobramento
• Modelo de camadas estratiformes dobradas. Permite 
desdobrar antes de construir os variogramas e krigar. 
• Considerando a linha reta, daria efeito pepita, com 
baixa correlação entre as amostras. Consideram a 
distância da curva pontilhada.
Programação orientada por objetos
Modelagem geológica - datamine