LIVRO ANTIGO - Problemas de Álgebra - 1964_Paulo Pessoa

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Com te. 
~AULO 
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ALGEBRA 
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1·0111pll'lC r , com Problemas 
ele• AHl'l'M 'fl 'A ( j á publi-
1•1ulol 1 com Problemas de 
<rno U:TIUA (hora no pre-
lo 1, 11 e• l <' ÍlO PROBJ,E.1\'IAS, 
11 ·1 quul ·s ló. r unido t udo o 
1111e• 1111 11ôbr assuntos no 
c •ur o GlN,A IAL. Os alunos 
ele· Ginásio, tõdas as séries, 
os candidatos do ART. 99, 
1." ICLO, alunos do NOR-
MAL, encontrarão nesta obra 
o que faltava em matéria de 
ctldática . 
As questões apresentadas 
nos diversos . concurso de 
admisão às escolas militares 
do país, realizados em vários 
anos consecutivos, bem como 
outros problemas, aqui reu-
nidos em volume, é o que nos 
apresenta êste trabalho do 
Comte. PAULO PESSOA . 
Iµipunha-se a necessidade 
de· um livro como o· que 
apresentamos, para orienta-
ção. dos interessados . 
Em capítulos esclarecidos 
pelas noções suficientes e 
impr:escindíveis à resolução 
dos problemas propostos em 
cada um, abrangendo t ôda a 
matéria, o autor oferece um 
• 
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( 
COM.TE PAULO PESSOA. 
PROBLEMAS 
DE 
.. 
ALGEBRA 
ADMISSÃO AO COLÉGIO NAVAL . CURSOS PREPARATóRIOO . MARINHA 
MERCANTE E CURSO NORMAL DOS INSTITUTO$ DE EDUCAÇÃO 
(PROBLEMAS PARA TODO O CURSO GINASIAL DE ACORDO 
COM O PROGRAMA OFICIAL) 
1 
1964 
lOZON+·eoIT®R 
Av. Marechal Floriano, !t2 • 1.0 
Telefone: 23-3943 
RI O 
R. Cap, Salomão, ·27 • Gr, 408/ 9 
Telefone: 32-881:l 
S , PAVLO 
... 
A minha Mãe com todo o carinho 
de seu filho. 
Paulo 
PREFÃCIO 
Face à aceitação que "Problemas de Aritmética" mere-
ceu por parte dos estudantes, animou-se o autor a lançar 
"Problemas de Algebra", nos mesmos moldes daquele. 
Contendo o programa completo de Algebra do primeiro 
!Ciclo, destina-se, particularmente, aos estudantes que se 
destinam às Escolas Preparatórias de Cadetes do Ar e do 
Exército; ao Colégio Naval; aos cursos normais do Insti-
tuto de Educação e à Marinha Mercante, dos quais espera 
o autor, a mesma acolhida . 
Embora destituído de qualquer caráter teórico, seus 
capítulos são precedidos dos conhecimentos necessários e 
indispensáveis à solução dos · inúmeros exercícios propos-
tos para resolução, tanto quanto possível idênticos aos re-
solvidos. 
Os problemas apresentados nos diversos concursos 
r alizados em diferentes anos, para aquelas escolas, figu-
ram no presente trabalho, fornecendo assim uma orienta-
ção aos futuros oficiais das Fôrças Armadas, bem como 
às professôras primárias de amanhã . 
O AUTOR 
EXPRESSÃO ALGÉBRICA-VALOR NUMÉRICO 
- ADIÇÃO - SUBTRAÇÃO - MULTIPLICAÇÃO 
E DIVISÃO 
Expressão algébrica é o conjunto de quantidades 
representadas por letras e números ligados pelos sinais 
de operações. 
As exp'l'!essões algébricas podem ser: 
Racionais: quando as letll'as que elas contêm estão 
submetidas somente às operações: soma, subtração, 
multiplicação, divisão e potenciação de exp-oente in-
teiro ou negativo. De um modo mai;s simples podería-
mos dizer que uma expressão algérbica é ro.cional, 
quando não contém letra debaixo do sinal de raiz ou 
devada a expoente fracionário. 
lr..i·acionais: quando contêm letra submetida à ex-
tração de raízes ou elevadas a expoentes fracionários . 
Inteiras: quando as l!etras só aparecem como par-
. las, fatôres ou potências positivas e inteiras. 
FraciJonárias: quando contêm\ letras em denomi-
11udorcs ou elevadas a expoentes inteiros e negativos. 
Uma expressão algébrica pode ser, ao mesmo 
1 mpo: racional e fracionária ou racional e inteira. 
Pode ser também irracional e inteira ou irracional e 
fracionária. 
Chnma-se valor numérico de uma exp ressão algé-
bricn, o resultado que se obtém quando se subs tituem 
10 COM.TE PAULO PESSOA 
as letras por v·alor.es numé11icos determinados e ef e-
tuam-se as operações indicadas. 
Duas expressões algébricas são eqLLivalentes quando 
têm o mesmo valor numérico pa•ra o mesmo sistema 
de valo1-.es atribuídos à·s sua letras. 
Têrmo é tôda a expires.são algébrtlcn cuias partes 
não estão separadas peJ.os sinais mais ( +) ou me-
nos (-). 
De acôrdo ' ·dom o número .de têrmos que uma 
expressão algébrica possue, ela se chama : 
Monômfo - quando tem 11:m têrmo. Ex.: -15a3b2y. 
na qnal - 11'5 é o coefiriente do monômio. 
Dois monômioc:: são senielhanfes quan<lo dif ercm 
apena.<: nelos coeficientes: Ex.: 3av2 e -14ay2. 
B;111ômio - quando tem ·aois têrmos. Ex.: 3a•b -
- 9a3b2 • 
Trinômin quando tem três têrmos. Ex.: 
a2 -2ab +b2 • 
Polinômio auan·<ln tem mais "de três têrmos: 
Ex.: a3 + ::la2b + 3ab2 + bª. 
Entende-se nor grau de u111 têrmo inteiro. a snmA 
clos expoentes do" fnMres rt.lçrélJricos <Hteri:tis) dêsse 
têrmo. Assim: - 15a3b2y é cl'o 6.0 grau (3 + 2 + 1 = 6). 
Se ronsiderarmoc:: anenas a letra a o l1rau "do têrmo f. 
n 3.0 . Se noc:: referirmos à letra b então o têrmo serii 
do 2. 0 gran•; finalmente o grau do têrmo em relação à 
!.J ser~1 o 1.0 • 
Se o têrmo é f ractonário, o seu grau é a diferell'ça 
que existe entre o grau do numerador e o do denomi-
5a2b8 
na dor. Por isso o grau do lêrmo ------ é o 3.0 
c2 
(2+ 3 - 2=3). 
Se o têrmo contém um radical, o grau da parte 
irracional é o~ quociente do grau da quantid'ade colo-
cada debaixo do radical (radicando), pelo índice do 
radical. Assim, o têrmo '{Yc2b4. é do 2.0 grau porque 
[ (2 + 4) -;- 3 = 2]. 
PROBT~EMAS DE ÁLGEBRA 11 
Grau de um potinômio rncion~l ~nt~iro é o grau do 
1 ·rmo de mais alto grau dêsse polmom10. 
Assim: . 
3ax4 -12a2x-115ax + 7a3x3 é do 6.0 grau, p01s o 
têrmo de maior grau (+7a3x3 ) é do 6.º grau. 
Se todos os têrmos do polinômio tiv~ssem o ~:sn~o 
grau, 0 polinômio seria homogêneo. Assim o polmom10 
aª+ 3a2b + 3ab2 + bª, cujos têrmos têm o mesmo• gra~1 
(3.º) .é um p1olinômio homogêneo do 3.0 grau (grarn de 
homógeneidade) . ~ 
Diz-se que um polinôhiio é completo em relaçao 
a uma letra, quando tem tê·rmos d'e todos. ?s graus em 
relação a essa letra do mais alto grau ate zero. 
O polinômio aª'+ 3a2b + 3ab2 + b3 é coml!let.o em 
1relação a a e b, pois nêle existem tôdas as potencias de 
a e b desde a 3.ª até a potência zero. , 
Por outro lado o polinômio 12a3 - 8a2 + 8ab e 
incompleto em relação a a, vois falta o têrmo n~ qua.l 
deveria aparecer a leira a com o expoente ze1'0, isto e, 
o têrmo independente de a. 
Diz-se que uma expressão algébrica eslá ordenada 
em relação às potências decrescentes ou crescentes ~e · 
uma determinada letra, denominada letra or~enatr1z 
ou pl'incipal, quando de um tênno para o segumte, os 
expoentes da letra principal vão dec:escendo ou cres-
cendo respectivamente, até o lêrmo. mdependente, que 
é o que não contém a letra ordenalrzz . 
EXERC1CIOS. RESOLVIDOS 
1) Determinar o valor numérico da seguinte ex-
pr ·ão 
1 ~ a2b - e 
- 7ab a~+ ab~ 
para a = 3, b = - 2 e c = - 1. 
12 COM.TE PAULO PESSOA 
Substituindo-se na expressão proposta a; b e e pelos 
seus valôres e oonsiderando sabidas as operações sôbre 
números relativos, vem: 
(3) 2 X (-2)3 X (-1) 
54 
1 
(3) 2 X (- 2) - (-1) 
(-7) X (3) X (-2) 
(3) 2 + (3) 
9X (-8) X (-1) 
(-2)2 
1 
54 
9 X (-2) +1 
7X3X2 9+3X4 ou 
72 1 
54 
-18+1' 
42 
--;.- -- ou 
21 
4 17 4 17 
-+-X21=-+---= 
3 42 3 2 
2) Calcular o valor numérico de 
59 
6 
= 9 ·~ 
3x2 - [4x- (5x-1) + (~x2-3x-l) - (2x-:-3)] 
para x = - 3. 
. Desembaraçando-se a expressão dada dos parên-
tesis e colchetes para simplificá-la antes da substituição 
de x por menos 3, vem: 
3x
2
-;--- [4x - 5x + 1 + 5x2 - 3x - 1 - 2x + 3] ou 
3x2 - [5x2 - 6x + 3] ou 3x2 - 5x2 + 6x - 3 ou 
-;x2 + 6x - 3, ou substituindo-se x por seu valor 
-2 (-3)2 + 6 (-3) -3 ou -18 - 18--:-3 .:_.,..,.:..39, 
, ?> Reduzir os têrmos semelhan lcs do seguinte poli-
11om10: 
2x - 4x2 + 5x - x2 - 6x - 5x2 - 7y + 8y2 - x + 
+ 6y - 4y2 • 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 13 
De1)ois do que foi .dito sôbre o que são têr:mos 
s melhantes, vamos gr1u.pá-los como se segue: 
2x + 5x -- 6x - x = O 
- 4x2 - x2 - 5x2 = -10x2 
- 7y+6y=-y 
8y2 - 4y2 = + 4y2 
Os resultados O; -10x2 ; -ye+ 4y2 foram obtidos 
aplicando-se os conhecimentos relativos às operações 
com os números relativos aos coeficientes dos diferen-
tes grupos. . . · 
Finalmente ten11os para o resultado procurado 
- 10x2 - y + 4y2 
4) Sendo: 
P1 = x2y - xy2 + 2xy; P 2 = - 3x2y - 4x2y 2 + 2xy2 
P 3 = 2x2y 2 - 4x2y + xy 
Calcular 
P1 + P2 + P3 
Podemos dispor os .polinômios como se segue, isto 
é, oom o aspecto de uma soma aritmética, figurando 
como pa1'Celas, os monômios semellhantes. 
Assim: 
P1 = ·X 2y - xy2 + 2xy 
P 2 = -3x2y + 2xy2 -4x2y2 
P3 = - 4x2y + xy + 2x2y 2 
= - px2y + xy2 +3xy - 2x2y2 
5) De -4x2y - xy~ + 5y8 subtrair + x2y + 
+ 3xy2 - 4y8 
Podemos escrever: 
(- 4x2y - xyfl + 5yª) - (xlly + Sxy2 - 4yª) ou 
(- 4x2y - xy2 + 5y3) 
- <+ x2y + Sxya - 4yª) 
14 COM.TE PAULO PESSOÀ 
Antes de fetuar a subtração retiraremos os pa-
rêntesis dos têrmos da diferença. 
Teremos então: 
-4x2y - xy2 + 5y3 
- x2y - 3xy2 + 4y3 
- 5x2y - 4xy2 + 9y3 
Vê-se assim que: para efetuarmos a subtração 
conservamos os sinais. dos têrm.os do minuendo e tro-
camos os sinais dos têrmos do subtraendo, para final-
mente efetuarmos a redução_ d'os têrmos semelhantes . 
6) Efe tuar a multiplicação: 
(a2P + 3mb) X (-2a2P - Gm) 
Convém recordar a reg.ra dos sinais para multipli-
cação de dois números relativos. O quadro abaixo 
esclarece o assunto: 
SINAIS DOS FATôRES SINAL DO PRODUTO 
+ + + 
+ - -
- + --
- - + 
A seguir vejamos a regra para multiplicação de 
monômios. 
"Multiplicam-se os coeficientes, somam-se os ex-
poentes das letras comuns e esCll'evem-se no produto as 
letras não-comuns com os exipoentes que tiverem." 
Teremos então para o caso: . 
1 X (- 2) a2P + 8m + 2p - ~m X b ou - 2a•P. 2m b, 
que é o pnoduto procurado. 
7) Multiplicar: 
xP + i X (2xP + 2 _ 4x P + 1 + 8:xP. i ) 
PnOBLEMAS DE ÂLGEBnA 15 
Cada lermo do polinàmio contido no parêntesis 
deve se r multiplicado por xP+1 e os resultados somados 
algebricamente. 
As im: 
2xv + 2 -4xv + 1 
XP+ 1 
.+ 8xv - 1 
2xP + 2 + P + 1 _ 4xv + 1 + P + 1 + 8xP - 1 + 11 + 1 
2x2v + 3 _ 4x2P + 2 + 8x2P · 
8) Efetuar o produto: 
ou 
(3a4b2 - 6a3b3 + 4a2b 4 + ab5) (2a2b - 5ab2 + 2b3) 
Devemos multiplicar cada têrmo do polinômio 
multiplicador pelos têrmos do polinômio multiplicando 
e somar os resultados parciais encon trad'os . 
Assim: 
3a4b2 - 6aªbª + 4a2bt + ab5 (multiplicando) 
2a2b - 5ab2 + 2b8 (multiplicador) 
6asba - 12a5b 4 + 8a4b5 + 2a<sbã 
- 1'5a5b4 + 30a4b5 - 20a3b6 - 5a2b7 
+ 6a4b5 - 12aªb6 + 8ia2b7 + 2ab/! 
6a6bª - 27a5b4 + 44a4b5 - 30a3b5 + 3a2b 7 + 2ab8 
NOTA - No caso dos polinômios 01 multiplicar não esta-
rem ordenados segundo o mesmo critério em relação à letra 
ordenatriz, é de tôda conveniência que assim sejam dispostos 
antes de efetuarmos o produto . 
9) Multipiicar 
(aa•b - 2a2b 3 + b5) X (5a3b - a 2b 2 + b8 ) 
Não sendo completos os polinômios a mutliplicar, 
deixam-se intervalos para os lf:êrmos que faltam no pro-
duto a fim de que possaimos colocar os têrmos seme-
lhantes un~ debaixo dos outros. 
16 C OM.TE P AULO PESSOA 
Teremos então : 
3a4b - 2a2b3 + bG 
5a3b - a2b2 + b·1 
-------+ 15a7b2 - 10a5b4 + 5aªb6 
- 3a6b3 + 2a4b 5 
+ 3a4b5 
10) Multiplicar 
Teremos 
a2 - ab + b2 
a +h 
a3 - a2b + ab2 
+ a2b -ab2 +b3 
a3 +hª 
É conveniente assinalar que: 
1.º - Os têrmos extremos do produto de dois poli-
nômios ordenados em relação à mesma letra não se 
reduzem com nenhum outro. 
2.º - O grau do produto é apenas a soma dos g.raus 
dos fatôres. 
3.º - O produto de dois polinômios tem, no mínimo, 
dois têrmos. 
4.º - Quando não existe nenhuma redução possível 
no produto de dois polinômios, o número d'e têrmos do 
produto é igual ao produto do número de têrmos dos 
dois falôres . 
Assim, o produto de dois polinômios, de 3 e 4 
têrmos, respectivamente, terá no máximo 3 X 4 = 12 
têrmos. 
l 
lf) 
? 
1 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 17 
11) Dividir os monômios: 
Convém l!'ecordar a regra dos sinais para divisão 
de dois números relativos. O quadro seguinte esclarece 
o assunto. 
DIVIDENDO DIVISOR QUOCIENTE 
+ + + 
+ - -
- + -
- - + 
A segufo vejamos a regra para divisão de mo-
nômios.. 
"Divide-se o coeficiente do divid'endo pelo coefi-
ciente do divisor e dá-se a cada letra expoente igual 
ao seu expoente no dividendo, menos o seu expoente 
no divisor." 
Teremos então para o caso: 
( + -:- -+) a2m - 2 - (m ~ 1) bª. 2 ou 
f12 12 
- ........,_ a2m - 2 - m + 1 b ou - -- am - 1 b, 
35 35 
que é . o qoociente procurado. 
12) Dividir 
(4x3yª - 5x3y 2 + 6x2y 2 -7x2y) 
16 CoM:r2 PAuto PESSOA 
Dividindo-se cada lêrmo do polinômio dividendo 
pelo monômio divisor e somando-s os quocientes par-
ciais, :vem: 
4x3y3 ;-;- x2y ;::= 4.xy2 
- 5x3y2 + x2y = - 5xy 
+ 6x2y2 + x2y = + 6y 
- 7x2y + x 2y = - 7 
A soma dos quocientes pardais é: 4xy2 - 5xy + 
+ 6y- 7, que é o polinómio quociente. 
Normalmente procede-se como se segue: 
0-5x3y2 
+5x3y2 
O +6x2y 2 
-6x2y2 
0-7x2y 
+7x2y 
o 
13) Dividir 
l 4xy2 - 5xy + 6y - 7 
(9xG-12x4 + 4x3 +3x2 -3x+1) por (3x2 -2x+1) 
Para dividir dois polinômios devemos: 
1.0 - Ordená-los em relação às potêncais crescen-
tes ou decrescentes da mesma letra. 
2.0 -Dividir o primeiro têrmo do polinômio divi-
dendo pelo primeiro têrmo do polinômio divisor, 
obtendo-se assim o primiero têrmo do quociente. 
3.0 - Multiplicar o quociente por todo o divisor e 
subtrair o resultado do dividendo. 
4.0 -- Dividir o primeiro têrmo do resto encontrado 
pelo primeiro têrmo do divisor, achando-se ass.im o 
tSegundo tênno do quociente. 
1' 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 19 
5.0 - Multiplicar o segundo quociente achado, pelo 
divisor e subtrair o resultado do primeiro resto e assim 
ucessivamente até encontrar um resto zero, se a divisão 
se fizer exafamente, ou um resto de grau inferior ao 
do divisor, quando então não será mais possível conti-
nuar a divisão sem que apareça no quociente expoente 
negativo. . : 
Apliquemos a regra ao exemplo proposto: 
9x5 - 12x4 + 4x3 + 3x2 - 3x + 1 l 3x2 - 2x + 1 
- ·9xG + 6x4 - 3x3 
3x3 -d"x.2 - X + 1 
6x4 + x3 + 3x2 - 3x + 1 
+ 6x4 - 4x3 + 2x2 
-3xª +5x2-3x+ 1 
+3x3 -2x2 + x 
+ 3x2 -2x+l 
-3x2 +2x-1 ---
º NOTA - Os polinômios tanto podiam ter sido ordenados 
com.o foram (potências decre.o;centes de X) , como segundo as 
potências crescentes da mesma letra. 
14) Divid'ir: 
4x + 4x5 - x8 por 2x2 + 2 - 3x 
Como vemos o polinômio dividendo é incompleto 
e não está ordenado; por isso vamos completá-lo e 
ordená-lo: 
4x5 + Ox4 - x3 + Ox2 + 4x + O 
-4xll + 6x4 - 4xª 
6x4 -5x8 +0xll +4x+O 
-6x"+ 9x8 -6xi.i 
+ 4x8 - 6x1 + 4x +O 
..... ~~li + 6!.0 - 4lt 
o 
2x2 -3x+2 
2xª+3x11 +2x 
20 .COM.T~L P-AULO . PESSOA 
15) ·nividir: .. 
x5 + 3x4 + 12x2 - 16 p r x2 + 3x - 4 
Procedendo-se como no ex mplo anterior, vem: 
x5 + 3x4 + Oxª + 12x2 + Ox - 16 
-x5 -3x4 +4x8 
4x3 +12x!!+ Ox-16 
- <fx3 - 12x2 + 16x 
+ 16x-16 
x2 +3x-4 
x 8 +4x 
Não é possível continuar a divisão, uma vez que o 
segundo resto é de um grau menor que o grau do 
divisor. 
EXER.CtCIOS A RESOLVER 
1) Cal-cuJar o valor numérico de: 
. l 
aª--- · 
b 
/ 1 
y4a2+-. b 
1 
para a=-- e . 2 
4 
b---
3 
: 2) Calcular o valor numérico de: 
RESP.: 
5 
4 
ba · 9 - ah •2 • 
------ para a = - 2 e b - - 1 a2 --. (-b)•B 
E. N. e. Duft'A -111~1 :-\. - '1, hHSP.: "'i2 
PROBLEMAS · DE '. ÁLGEBRA 2i 
3) Calcular o valo1·. mun..érico .do ·polinômio: · 
8y2 - 18yz · 2 - 3y · 2 z -713 - 65, para y = 2 - 1 
ez=-3 · · 
l. E. --1953 RESP.: - 1 
4) Cafoular o valor munérico da expressão : 
a2 -b b3 - a• --+ ·+ 3a3b 1rnra a= - 1 e b = 2 2. .. 3 ... 
e. ·Naval-UJ53 1 RESP. : -4--
6 
5) Calcular o valor numérico da expressão: 
( 
2
2
xx -+ yy· .··- ) 2 _ 4x + y • · . l · 1 ·---,para X=-- e y=--
y 2 3 
27 
RESP.· ---. 4 
6) Calcula.r o valor numérico da expressão: 
( 
1- a )2 
l+a + 
9 2 
4a~ ---
a 
2a 
1 
a=---
2 -
para 
REsP.: 4 
~ _. 
7) Calcula:r o :v.::tlor numérico da expressão: 
z2 3x2+y2 __ _ 
2 ;J 
-~~---- - -- para 
y+z-x 6 
E. P. C. l'..xército - 1959 
l 
x=l;v=-- e z=2 
2 
REsP.: zero 
\ 
) 
8) Reduza os tênnos semcllhantes da expressão: 
2a 
2a2 - -. - - 4m - 3a2 + ah - 1 
u 
I.E.-1954 RESP.: 
-a2b-a+4bm 
b 
9) Reduzir os têrmos semelhantes: 
3a + 2b + [ - 5a + b - (-2a + 3b) ] 
I.E. - 1951 
10) Reduzir os têrmos semelhantes: 
RESP.: o 
2 1 3 1 2 
-x2 -4x---+--x2 ---x+ -
3 2 5 2 3 
19 9 1 
RESP.: l5x2 -2x+6 
11) Sendo: P = -- 3a2 + 5ab - 14b2 ; 
Q= - 9a2 - ah+ 6b2 e 
lR = 6a2 + 5ab -8b2 
calcule 
-P+ (-Q +R) 
I.E.-1001 ~sP.: 18a2 + ah 
112) Efetuar: 
(xª+2x2 -3x+l) + (2x3 -3x2 +4x- 2) + .·· 
+ (3x3 + 4x2 - 2x + 5) 
RESP.: 6x3 + 3x2 - X + 4 
13) De 
1 
2 
Pl\OBLEMAS DE ÁLGEBRA 23 
1 
4 
2 
ax2 + -- x:11 subtrair 
3 
3 . 1 5 
- -- a2x + -- ax2 - -- x8 4 . , _ 3 - 8 
. 5 1 31 
REsP •. : --a2x - ·- ax2 + --- v3 -· 4 - 12 - 24 ... 
14) Efetuar a muHiplicaÇão: 
7ab2c3 X 2a21be X 5a4b5c2 
RESP.: 70a7bBcll 
15) Efetuar a multiplicação: 
,.~-r ( 1 ) .,.,, 
_(5xm-2n) - -6- x2m+ny_'2 
5 
REsP.: - --xsm •ll y2 
6 
16) Efetuar a multiplicação: 
am (2am - Sam - i + 6am - 2 - am • ª) 
RESP.: 2a2m - 3a2m. l + 6a2m • 2 - a2m • 3 
117) Efetuar a multiplicação: 
(18m" .2y4-24m2x-4y5+1) X 75mõ - x y"· 4 
REsP.: 1350m3 yP - 1800m1 + x Y,1 '+ P + 75m5 · x yr1 - 4 
18) Efetuar a multiplicação: 
(x2 - 5x + 9) (x + 3) 
e. Naval-1962 R.EsP.: xª -2x2 ..... 6~ + 27_ 
r 
24 
19) E(etuar o produto: 
(x2 + 2- x) ( 2 -1) 
dando a ;resposta ordenada scgund as potências de-
orescentes de x. 
C.Naval - 1953 RESP : x• - xª + x2 + X - 2 
20) Multiplicar: 
(am + bP....:... 2c11) (2am - 3b) 
RESP.: 2a2m + 2am bP - 4amcn - 3amb -
-- 3bP + 1 + 6bcn 
21) Efetuar o produto: 
(5a2 + ah - 3b'2) X (3a2 - 2ab + b2 ) 
RESP.: 15a4 - 7a3b - 6a2b2 + 7abª-3b4 
22) Efetuar o produto: 
(3a5 - 2a2b3 + 9ab4 - 8b5) X (4a2 + 5ab -6ib2 ) 
REsP.: 12a7 + 15a6b - 18a5b2 - 8a4bª + 
+ 26a3b4 + 25a2b5 - 94ab6 + 48b7 
23) Efetuar o produto: 
(a5 - a~b + a3b2 - a2b3 + ab4 -b5) X (a+ b) 
REsP.: a6 - b6 
24) CalcuJe o valor da expressão : 
Aa2 - [B - (Ba - C)] + B, 
sendo 
A=a+1 ; B=l-a-a2 e C ·=a-1 
1. E--- _1952 R.EsP.: ~ 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
25) Dividir os monômios: 
2xm -p -7- x2m + 2p 
'l~ ; ....,, . 
RESP.: 2x - m - Sp 
26) Dividir: 
3x8P - m y2m -;-- 2x5P + 3m ym - p 
RESP.: 
3 
__ X • 2p - 4m y m + p 
2 
27) Dividir: 
RESP.: x2 + 2xy + y2 
28) Dividir: 
(2a4 - 13a3b + 31a2b2 - 38ab3 + 24b4) 
-;-- (2a2 - 3ab + 4b2) 
iRESP. : a2 - 5ab + 6b2 
29) Dividir: 
(4x11 - 13xª - 3x - 18) por (2x2 - x - 6) 
RESP.: 2x3 + x 2 + 3 
30) Dividir: 
(8a3 + 2a2b - 6ab2 + 2b8) -;-- (4a2 + 3ab - b2) 
R5:$.: Q=2a-b 
R=-ab2 + b3 
26 COM.TE PAULO PESSOA 
3i) Calcule o reSJlu <la divisão de: / 
x3 - 3x2 + 4 por .· - 2 
t. Naval-1958 RESP.: zero 
J2) Dar o quociente e o resto da divisão: 
(4x5 - 12x,( + 6x3 + 7x2 - 7x + 8) por (x2 - 3x + 2) 
e. Naval - 1959 RESP.: Q = 4x3 - 2x + 1 
R=+6 
33) Dividir: 
x 11 - x~ - 2x:i + x2 + 2x -- 1 por x2 - 1 
e.Naval - 1961 RESP.: X~ - 2x + 1 
Fatorar tun polinômio é decompô·lo em um pro· 
duto de fatôres primos ou expressões que sómente 
sejam divisíveis por si e pela unidade. 
Como só estudaremos os casos simples da fato. 
rnção de polinômios, diremos que para fatorá.los usa .. 
remos os processos de: 
EVIDENCIAÇÃO, 
AGRUPAMENTO e 
IDENTIFICAÇÃO 
Em muitos casos, na fator ação d'e um polinômio, 
eirnpregamos dois dos três processos indicados acima 
ou mesmo os três. 
Pôsto isto, vejamos em que consiste cada urm dos 
processos enumerados . 
EvmENCIAÇ.:iO é o processo em que os fatôres comuns, 
numéricos e literais, que por ventura existam nos têr· 
mos da expressão a fatorar, são postos em evidência. 
Assim o polinômio 5x3 + 15x2 - 10x, que tem cm 
lodos os. seus tênnos os fatôres comuns 5 e x, será 
fatorado como se segirn: 
5x (x2 + 3x - 2) 
j 
28 COM.TE PAULO PESSOA 
AGRUPAMENTO é o pro. SOS <tll \ grupa os lêrmos que 
têm fatôres comuns. colo undo-os m evidência, fa-
zendo com que um nôvo fnlor comum o.pareça cm todos 
os novos têrmos. permilin<l 'llltfo o emprêgo da Ev1-
DENCIAÇÃO. 
Assim o polinômio : 
+ t 
ab - x2 + ax - bx 
+ + 
poderá ter os seus têrmos grupados de acôrdo com as 
setas, indicativas e teremos: 
(ab+ ax) - (x2 +bx) e 
a (b + x) - x (b + x), · 
mostrando assiin e só então a existência do fator 
comum aos seus têrmos, (b + x) . 
O processo da EVIDENCIAÇÃO permite escrevermos 
(b + x) (a -x) 
Tal processo é geralmente aplicável aos polinô-
mios de número pari de têrmos: os grupos sãio, em1 geral, 
constituídos do mesmo número de têrnws, não sendo 
isso obrigatório . nem acons,elhável, em certos casos, 
como veremos oportunamente. 
IDENTIFICAÇÃO, processo que se baseia no estabele-
.cim.ento da semelhança entre o polinômio dado e um 
dos muitos conhecidos couno produtos notáveis e que 
devem ser memorizados pelos que pretendem ou ne-
cessitem efetu;ar fatorações. 
Os produtos dhamad'os notáveis, sãto: 
(a+b) 2 = 
(a-b) 2 = 
(a+b) (a-b) 
(a+ b)3 
(a - b) 3 
a2 + 2ab +b2 
a2 - 2ab +b2 
= a2 - b2 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b~ 
= a~ - 3a2h + 3ab2 - b 3 
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
1 n) (x + b) =x2 +(a+b)x+ab 
n) ( x - b) = x2 - (a + b) x + ab 
1 li) ( x - b) = x2 + (a - b) x - ab 
11) (x+b) =x2 -- (a-b) x-ab 
1 h) (a2 -ab+llY 1=aª+bª 
h) (a2 + ab + b2) =aª - bª 
(6) 
(7) 
(8) . 
(9) 
(10) 
(11) 
0:-i produtos notáveis 6, 7, 8 e 9, são todos do 
1111 · 111 tipo e o ·Conhecimento do 6 permite enunciar 
• 11plicar os demais. 
EXERCíCIOS RESOLVIDOS 
1) Fatorar o polinômio: 
12a2b8 - 30a8b2 + 18ab4 - 42a"b 
01.nos que os !têrmos do polinômio contêm os fa-
1111 , • ., comuns 6, a e b. Empregando-se o processo de 
• 11idenciação, teremos: , 
6ab (2ab2 - 5a2b + 3bs - 7a8) 
2) Fatorar o polinômio: 
8ax - bx + 8ay - by 
Não . existindo um fator comum em todos os têr-
111os, e tendo o polinômio um número par de têrmos, 
11plicaremos o processo dos agrupamentos. 
cl 
Teremos então: 
(-8ax + 8ay) - (bx + by) ou 
8a (x + y) - b (x + y) 
Surgiu assim o fator comum (x + y) e o proces,so 
evidenciação deve ser empregado. 
Al!lsim teremos.: 
tiu (. 1- y) - b ( + y) = (x ~1- y) (Stt =- h} 
30 CoM.~~ PAULO PESSOA 
Há, muitas vêzes, diversas maneiras de ef e luar os 
agrupamentos . No polinômio que acabamos de f.ator~, 
poderiaimos adotar outro modo para grupar os termos, 
por exemplo : 
(8ax - bx) + (8a r - hy) ou 
x (8a - b) + y (8a - b) 
e finalmente 
(8a - b) (x + y), 
co.mo havíamos concluído anteriormente. 
3) Fatorar o polinômio: 
a2 +4ab +4h2 
Não ijlavendo fator comum para evidenciar e tendo 
0 polinômio um número ímpar de têrmos, ficam afas-
tadas as .possibilidades do emprêgo dos processos de 
-evidenciacão e agrupamento. • 
Estan°do 0 polinômio ordenado, segundo as pat:n-
cias decrescentes de a, verificamos que os 1.º e 
0
3.º. ter-
mos são os quadrados de a e 2b. No ca o do 2. ter~o 
ser 0 dôbro de a multiplicado por 2b, teremos um poli-
nômio semelhante ao apresentado como resultado do 
l.º produto notável e concluímos então que: 
a2 + 4ab + 4b2 = (a + 2b) 2 
Esquematizando o que foi dito: 
a2 + 4ab + 4b2 
: 1 ~ \ ./ 
+;dxax2b ........__,r--- ~ Então (a+ 2bP 
4~b 
Í1ROBL~M AS nn Â.LGEBRA 
9a2 - 12ab + 4b2 
l<;squ matizando como no caso anterior: 
9a2 -- 12ab + 4b2 
3t 1 ~) 
\i J, iL 
- 2 X 3a X 2b 
------,,------ ~Então (3a ~ 2bP 
- 12ab 
ó) Fatorar: 
x 2 -9 
ão havendo fator comurm para evidenciar, a ex-
P• •' uo não será fatorada por evidenciação. Havendo 
• pP11us dois têrmos, não há como grupá-Ios e conse-
q 111·11t mente não usaremos o agrupamento. Ficaremos 
• 11l110 reduzidos ao emprêgo da IDENTIFICAÇÃO. 
Tratando-se de uma diferença entre dois qua~h:a­
tl11 v mos que a expres.são é do tipo da assinalada com 
u 111'1mero 3. 
J•;squematizando-se como nos casos anteriores, vern: 
l1·1·<·mos que: 
x2 - 9 
"' "' (x - 3) (x + 3) 
(x2 - 9) = (x - 3) (x + 3) 
O) Falorar: 
5a2 -4õm2 
l r 1111<10- 'e a EVIDENCIAÇÃO, vem: 
5 (a2 - 9m2) 
CoM.'l'l!l PAULO PESSOA 
O fator contido no parêntesis é do tipodo exemplo 
anterior e teremos, esquematizando: 
5 (a2-9m2) 
i i 
5 (a - 3m) (a + 3m) 
Finalmente: 
5a2 - 45m2 = 5 (a - 3m) (a + 3m) 
7) Fatorar a expressão: 
x2 + 2x + 1 - y2 
Vê-se logo não ser aplicável a evidenciação. ~st~­
mos diante de um caso de AGRUPAMENTO q~e de acordlo 
com a advertência feita anteriormente, nao deve con-
ter o mesmo número de têrmos em cada grupo· neve 
ser grupado como se segue: 
(x2 + 2x + 1) - Y2 
isto é, um grupo constituído de x2 + 2x + 1, e o outro 
por y 2. -
Verifica-se a seguir a semelllhança da express~o con-
tida no parêntesis com a do núme:o 1 da relaçao dos 
produtos optáveis e que já foi focahzad~ ~o exem?[lo 3. 
Procedendo-se como naquele exerc1c10, ve:m. 
x2 + 2x + 1 
~~) 
+ 2 X X X 1 ~ Então (x + n:a 
2x 
1>ll0BLEMA S f.> E Â LGE'l3h,\ 33 
1 )(•pois disso podemos escrever: 
(x + 1) 2 - y 2 
l1 •11•111os, então, uma ex1)ressão do tipo da d'e nümero 3 
d 11 produtos notáveis e já empregada no exemplo 5. 
l•:n tão, vem: 
(x + 1) 2- y2 
i i 
[ (x + 1) - y] [ (x + 1) + y] 
•1111· poderá ser escrito: 
(x + 1 - y) (x + 1 + y) 
imos assim um exemplo em que o processo dos 
\1.r11 JPAMENTOs empregado, mostra outro modo de grupar 
11 '''.''mos do polinômio, demonstrando assim que a 
1111111<•11·a de girupar os têrmos da expressão depende de 
1111 natureza. 
8) Fatorar: 
(3a + b) 2 - (2a + 3b) 2 
Trata-se de nova expressão do tipo da fatorada no 
'''<'mpJo 5. 
Esquematizando, vem: 
(:ln + bP- (2a + 3b) 2 
i ~ 
1 (:ht + b) - (2a + 3b) ] [ (3a + b) + (2a + 3b) ] ou 
(3a + b - 2a - 3b) (3a + b + 2a + 3b) ou 
(a - 2b) (5a + 4b) 
// 
34 t oM.'I'E PAULO Pt::sso,ç PROBLEMAS DE ÁLGEBRA ~5 
9) Fatorar: Podemos, então, escrever: 
x2 y2 . 
---
a2 h~ 
- 2ab + b 2 + 2xy - x 2 - y2 = (a2 - 2ab + b)2 -
-(x2 -2xy+y2 ):::::: (a-b) 2 - (x-y)2 
Pode.mos escrever: 
1p11· esquematizando dá: 
(a - h) 2 - -(x - y)2 
,!, ,!, 
[ (a-b) -(x - y)] [a-b) + (x-y)] ou 
Expressão do tipo anterior. (a - b - x + y) (a -- b + x -y) 
Esquematizando, vem: 
f l) Fatorar: 
a2 - b2 + x2 - y2 + 2 (ax - by) 
Desembaraçando a expressão do parêntesis, vem: 
,!, 
Y )( X v ) - - + -b a b 
a2 - b2 + x2 - y2 + 2ax - 2hy 
1p11· poderen1os escrever: 
Então: a2 + 2ax + x2 - b2 - 2by - y 2 ou 
x2 y2 ( X 
-----= ---- -
a2 b2 a 
y )( X y ) - -+-
b a b 
(a~ + 2ax + x2 ) - (b2 + 2by + y2) 
10) Fatorar: 
s quantidades contidas nos parênteS'is, são: 
a2 - 2ab + b2 + 2xy - x2 - y2 
(a + x) 2 - (b + y) 2 
Grupemos o polinômio da seguinte maneira: 
produto notável (3) é o aplicável ao caso. 
Então, esquetnatitando, vem: 
(a2 - 2ab + b 2) - (x2 - 2xy + y2 ) (a+ x)ll - (b + y)ª 
~ . ~ 
Í (n +X) - (b + y)] [ (a + X) + (b + y)) GU O primeiro parêntesis dá: 
(a - b) 2 e o segundo (x - y) 2 (n + ~ - b - y) (a+~ + h + y) 
/ 
3G Co:r.:r.TE PA ULO PESSOA 
12) Fatorar: 
x2 + 5x + 6 
A expressão dada para falorr!I" é do tipo do pro-
duto notável x 2 + (a+ b) x + ab . 
Vemos que o seu primeiro lêrmo é quadrado mas 
o terceiro não é. 
Devemos então procurar dois números que multi-
plicados dêem 6 e que so.mad'os dêem. + 5 . 
Então, procuraremos êsses números: 
6 X 1 = ·6; 6 + 1 = 7 1.ª 
3 X 2 = 6; 3 + 2 = 5 2. ª 
(-6) X (- 1) = 6; (- 6) + (- 1) -7 3.ª 
(-3) X (-2) = 6; (- 3) + (-2) 1= -5 4.ª 
ConcluÍJmos. assim, qu.e os números procurados são 
2 e 3. 
Teremos então: 
x 2 + 5x + 6 ::::: (x + 2) (x + 3) 
13) Fatorar: 
x2 -5x + 6 
O trinômio acima difere daquele do exemplo 
anterior pêlo sinal do têrrno em x e por isso o produto 
notável que a êle se assemelha é o de número 7: 
x2 -l (a + b) x + ab. Dev·emos então procurar dois 
números que multiplicados dêem 6 e qu.e somados 
dêem -5. 
A quarta variação do exemplo anterior é a que 
satisfaz e por isso 
.·' ~ !Sx + 6 = (x - 2) (x - 3) 
14) F'atorRI' ' 
2x" - .-u - 24.x 
PnonLDlAS DE ÁLGEBRA 'J7 
. ·,. ,Hfo os fatores 2 e x comuns, Leremos: 
2x (x2 - 4x - 12) 
exprcss.ão encerrada no parêntesis é semelhanlc 
111 produto notável 9; x2 -·- (a - b) x - ab. 
Procurando números que multiplicados dão -- 12 
e 11111udos -4, teremos: 
f 
I~ - (- 12) X ( 1): (- 12) + (+ 1) = - 11 
1·> (+ 12) X (- 1); (+ 12)f · (-1) = + 11 
I'> (- 6) X ( + 2); (- 6) + (+ 2) ·= - 4 
I'' (+ 6) X (- 2); ( + 6) + (-2) =+ 4 
I~ (+ 4) X (-3);(+ 4)+(-3)=+ 1 
I~ (- 4) X (+3);(- 4)+(+3)=- 1 
\ ' 1•111os, assim, que a combinação 3." é a que salis-
l'lll1io: 
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x + 2) 
l 111111111< ntc: 
• 1 (x ~ - 4x - 12) = 2x (x - 6) (x + 12) 
1 1) Ft1lorar: 
a2 + 4a - 5 
1 pr·<•s. ão 8, x 2 + (a - b) x - ah, idenlifica o 
11 111111 do xercício. 
l'11d1 111os ler: 
1 .1) X (+ 1) 
1 I .1) X (- 1) 
(- 5) + ( + 1) = - 4 
(+5) + (-1) =+4 
111 1111 •i1·n nrrumação é a que serve, e teremos: 
11 1 •ln - 5 = (a + 5) (a - 1) 
1 f 1 ,. "' l 1' 111': 
, · 2 - 5xy + Gy2 
V' 
2.ª 
S8 COM.TE PAULO PESSOA 
O produto notável 7 nos mostra que devemos pro-
curar dois números que multiplicados dêem 6y~ e que 
somados dêem - 5y. 
Como nos exemplos a n ler iores: 
6y2 = (- 6y) (- y); (- 6y) + (- y ) + - 7y l." 
6y2 = <+ 6y) <+ y); ( 6y) + ( y) = + 7y 2." 
6y2 = (- 3y) (- 2y); (- 3y) + (- 2y) = - 5y 3." 
6y2 = <+ 3y) <+ 2y); <+ 3y) + <+ 2y) = + 5y 4.ª 
O arranjo é, portanto, o que serve, e assim teL"emos: 
x 2 - 5xy + 6y2 = (x - 3y) (x - 2y) 
17) Fatorar: 
xª +li. 
O exern.plo acima se assemelha ao produto notá· 
vel 10, (a + h) (a2 - ab + b2), para a identificação. 
Assim teremos: 
x3 + 1 
! ! 
(x + 1) {x2 - x + 1) 
Então: 
x3 + 1 = (x + 1) (x2 - x + 1) 
18) Fatorar: 
y3 + 64 
Teremos: 
y 3 + 64 = y 3 + 43 
! ! 
(y + 4) (y2 - 4y + 16) 
Então: 
y3 + 64 = (y + 4) _(y2 - -Jy + 16) 
19) Fatorar: 
x3 - 125 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
O x mplo assemelha-se ao produto notável 11, que 
p1·1·111 i l a identificação. 
Ter mos assim: 
' 11 - 125 = x3 - 53 
! i 
(x - 5) 
Então: 
(x2 + 5x + 25) 
":1 - 125 = (x - 5 ) (x2 + 5x + 25) 
20) Fatorar: 
(x+ y) 3 - a3 
O ·xemtllo se assemelha ao produto notável 11. 
'l'Pr mos então: 
( . y)ª - as 
L ! 
1 .v) - a ] [ (x + y) 2 + a(X: + y) + a2 ] = 
[X+ )' - aJ [x2 + 2xy + y 2 + ax + ay + a2 J 
»f Fatorar: 
(x + y) 3 + (x - y) 3 
O produto notável semelhante ao do exemplo dado 
• 11 1 O, qu e nos permite es.crever, esquematizando: 
( y)ª + (x - y) ª 
~ ~ 
( y) + (x - y) ] [ (x + y) 2 - (x + y) (x - y) + 
(x - y) 2 ] = [x+y+x - y ] [x 2 +2xy+y2 -
x:i + y2 + x 2 - 2xy + y2 ] = 2x (x2 + 3y2) 
·>~ ) Fatorar: 
x6 _ yG 
l'nd1,111os escrever: 
11 vº = (x3) 2 - (y3) 2 identifciando-o com o pro-
tl11l11 1111f 1'1vt'I :L rreremos então: 
(x3 + y3 ) (x8 - y3 ) 
40 COM.TE PA ULO PESSOA 
A seguir os produtos notáveis 10 e 11 aplicados 
nos 1.0 e 2.0 parêntesis, dão: 
/ 
x3 + y 3 = (x + v) (x~ - xy + y 2 ) 
(x3 - yª) = (x - )' ) (x~ + xy + y2 ) 
Então: 
xG - yG = (x3 + yª) (xª - y") 
(x + y) (x2 - xy + y 2) (x - y) (x2 + xy + y2) 
23) Fatorar: 
8a3 - 60a2b ·+ 150 aib2 - 125b3 
A expressão não contendo fator co,nunn para evi-
dencfa.r, não s.erá fatorada por evidênciação. Embora 
contendo nú.mero par de têrmos, também não s.erá 
transfonT1ada em um produto, por mei·o de agrupa-
mentos. 
Resta-nos compará-la com o produto notável 5 
para identificá-la. 
Estando ordenada, empreguemos a esquematização 
costumeira. Teremos então: 
8a3 
t 
2a 
60a2b + 
1 
t 
-3X (2a)2x5b 
150ab2 - 125b3 
1 t 
1 - 5b 
t 
+3x2aX(5b) 2 
-60a2b 
ConcJuímos então: 
+ 150ab3 ~então (2a-5b) 3 
8a3 - 60a2b + • 150ab~'· - 125b3 ·= (2a - 5h) 3 
• 
24) Fatorar: 
27x'; + 54x2y + 36xy2 + 8y3 
A semelihança do polinômio em questão com o 
produto notável (4) nos leva a concluir que devemos 
usar o processo da identificação. 
PllOBLEMAS DE ÁLGEBRA 41 
. Esqu matizando como fizemos no exemplo ante-
1·1or, ve~n: 
'27 ':i + 54x2y + 
1 
J, 
:1 X (3x) 2 X 2y 
--v---
f- 54x2y 
36xy2 
1 
J, 
+ 8yª 
t 
+ 2y 
3 X 3x X (2y) 2 
+ 36xy2 
Conseqüentemente: 
~ então (3x + 2y)3 
27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3 = (3x + 2y)'' 
25) Fatorar: 
a4 + h4 + a2b2 
Teata-se de uma expressão que não se enquadra 
1·111 n 1:hu,m dos processosanteriormente indicados <le 
l u 101·uçao. 
·Para .fatorá-la .podemos somar a ela a 2b 2 e depois 
1il1l ruir a mesma quantidade, isto é, a2b2. 
ssim teremos: 
a4 + b4 + a 2bt + a2b2 - a~b 2 ou 
a 4 + b4 + 2a2h2 - a2b2 ou 
(a2 + b2)2 _ a2b2 
' l_'(' I' mos assim.ª expressão primitiva transformada 
11 11 d1f ·~cnça de dois quadrados, recaindo assim numa 
1 pn:ssno sernelihante ao produto notável 3. 
S11i11 fatoração s.e!'á: 
(a2 + h 2 - ab) (a~ + h 2 + ah) 
''ti) Fnlorar: 
a~+ bi 
( > polinômio em questão é do tipo do anterior, is.lo 
1 11 111 1· ·•Htuadra em nenhum dos p·rocessos de fato-
42 Coy.n PAuLo PEsso• 
ração indicados. Podemos, entretanto, somar à ex-
pressão 2ab e, a seguir, subtrair do resultado 2ab. 
Teremos então: 
a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 
E depois: 
(a + b) 2 - 2ab 
Se considerarmos que 2ab é o quadrado de ~ 
vem: 
(a+ b) 2 - ( ~2ah ) 2 
e o mesmo pliOduto notável aplicado anteriormente per-
mit·e escrever: 
,- r-
a2 + b 2 = (a + b + y 2ab) (a + b - y 2ab) 
27) Fatorar: 
4a2 - 4ax - 15x2 
O polinômio dado pode ser escrito: 
(2a) 2 - 2a X 2x - 15x2 
Temos agora que procurar duas quantidades que 
multiplicadas dêem - 15x2 e somadas dêem -- 2x. 
Vem: 
- 15x2 = x X (- 15x); x -- 15x = - 14x 
- 15x2 = (-x) X 15x; - x + 1fix = + 14x 
- 15x2 1= (-3x) X (5x); - 3x + 5x = + 2x 
- 15x2 = (3x) X (- 5x); 3x: - 5x= - 2x 
Vemos que a 4.ª arrumação é a que serve; então: 
4a2 - 4ax - 15x2 = (2a + 3x) (2a - 5.x) 
PRO.BLEMAS DIZ ÁLGEBRA 4'3 
EXERCiCIOS A RESOLYEil 
Fatorar: 
1) 2a3b 4c4d - 3ab4c5 + 7a2b2c4d2 
iRESP.: ab2c4 (2a2b 2d - 3b2c + 7ad2) 
2) xm + n y'11 _ x 2n ym + n _ xn y 2m 
RESP.: X 11 ym (xm - x" yn - ym) 
:~) 12a5b 8 - .6a6b 7 + 180aBb 6 - 9a7bº 
RESP.: 3a5b6 (4b2 -2ab + 60as ~ 3a2b 3) 
C:. utra - 1948 
4) 8z (x-y) -3 (x - y) 
e. aval -1952 
5) ah- ac+ b 2 - hc 
C. Dutra-1948 
6) 2-b-2a +ah 
J. K - 19M 
7) x2 + ax + bx + ah 
8) ap + ax-2bx-2bp 
RESP.: (x -y) (8z - 3) 
RESP.: (b -c) (a+b) 
RESP.: (1- a) (2- b) 
RESP.: (x +a) (x +- h) 
RESP. : (a - 2h) (p + x) 
!)) ux + bx - ex - ay - by + cy 
RESP.: (x - y) (a+b-c) 
41 COM.TE PA ULO P ESSO,\ 
JO) xõ + X4 +X+ 1 
11) x 3y3 -2x2y -- 2xy2 + 4 
RESP.: (x2y - 2) (xy2 - 2) 
12) x4 - 3xª-7x2 +27x - 18 
(Sugestão: decompor 27x em 21x + 6x) 
C.Dutra - 1953 RESP.: (x - 1) (x - 2) (x+3) (x - :1) 
13) (x~y~ + x 2 + y~)2 -· (x~ + y~) 2 - x 2y2 (x ~ + y~) 
E. P. C. Exército - 1953 
14) x2 +2x+1 
15) a2x2 + 2ax + 1 
16) 256 + 32a + a2 
17) 1 a2 +a+---'-
4 
a2 3 
18) w+-2 ab+9b2 
HESP.: (x+l)2 
RESP.: (ax + 1)2 
RESP.: (16 . t- a)2 
RESP.: 
RESP.: 
19) Em 25a2 - * + 36b2, substitua o asterisco por 
uma expressão tal que o resultado obtido "eja 
um quadrado perfeito. 
E. P. C. Exército - 1959 RESP.: 60ab 
20) 
21) 
22) 
23) 
24) 
PnOBLEM:AS DE ÁLGEBRA 45 
x2 - 38x + 361 
a2 -6a + 9 
9a4 - 30a2b 2 + 25b4 
x6y6 - 6x3y3 + 9 
9a6b10 - 12a8b5x2 - 4x4 
R.EsP.: (x -19)2 
RESP.: (a -- 3) 2 
RESP.: (3a2 - 5b2 ) 2 
REsP.: (x3y 3 - - 3) 2 
REsP.: (3a3b5 -2x2 ) 2 
RESP.: (2a - 3x) (2a + 3x) 
4x2 
26) - - 1 y2 
27) (b - c) 2 - cl2 
C. Dutra-1958 RESP.: (b ~ e + d) (b - e - d) 
28) _4_ x2ys - 25a2y 
9 
RESP.: y X ( - }-xy-5a )( +xy + 5a ) 
1. E. - - 1954 
2!)) 
:IO) 
!.H) 
REsr.: (a+ 2 + x) (a+ 2 --'x) 
(x + y) 2 - (x-y)2 
(3a + 2b + c}ll - (a. + 2b + 3c)2 Resr.: 4xy 
' " J>. C. Exército - 1959 RESP. : 8 (a+h+c) (a-e) 
!12) (~ .. + y)ll ~- (8y. • ) :: 
Ht;;sr.: 4 (x + 2y) (2x ··- y) 
4'6 COM.TE PAULO PESSOA 
33) 16x{ - 1 
e. Naval RESP. : (4x2 + 1) (2x + 1) (2x-1) 
34) a8 -b8 
RESP.: (a4. + b~ ) (a2 + h 2) (a+ b) (a - b) 
35) 256y8 - Z 8 
REsP.: (16y4 + z4') (4y2 + z2) (2y + z) (2y - z) 
C. Dutra -1951 
36) a8 - 81b12 
RESP.: (a4 + 9b6 ) (a2 - 3b3 ) (a2 + 3b3 ) 
37) 7x2 - 28y6 
RESP.: 7 (x - 2y3 ) (x + 2y3 ) 
38) 4x5 - 4x 
RESP.: 4x (x2 +1) (x + 1) (x -1) 
39) x2 -2xy +y2 - a2 
e. Naval - 1951 R.ESP.: (x - y +a) (x - y- a) 
40) x3 + 2x2 -4x-8 
RESP.: (x + 2) (x + 2) (x ~2) 
41) xª +x2~ x - 1 
e. Naval - 1958 R.ESP.: (x - 1) (x + 1) (x + 1) 
42) 2ah + 1-a2 ~ b2 
R~sP. : (1 - a+b) (1+a - b) 
43) x2 + 2xy + y<J. - z9 
RBSP.: (x + y + z) (X.+ y - z) 
41) n2 --- c2 ~"' 2cd ...,.. d' 
RêsP.: (a + e+ d) (a ..;;:.. .e· ~ d)_ 
Pn9nLEMAS DÊ ÁLGEBrtA 47 
45) 4a~ + 9b~ - :.>.5 -:- 12a1J 
C. Dutra - 1951 REsP.: (2a - 3b + 5) (2a -3b - 5) 
46) x2 -y2 + 2yz - z2 
I.E. - 1951 RESP.: (x + y - z) (x - y + z) 
47) x3yz + y3xz - z3xy + 2x2y 2z 
C. Naval - 1961 RESP.: xyz (x + Y + Z) (x + Y - z) 
48) a2 + d2 - b2 - c2 + 2hc - 2ad 
RESP.: (a+b - c -- d) (a+ c - h - d) 
49) x2 +11x +24 
REP.: (x + 8) (x + 3) 
50) y2 + 12y +35 
(y+5) (y+7) RESP.: 
51) a2 + 6a-7 
E. P. C. Exército - 1953 RESP.: (a+ 7) (a -1) 
52) a2 + 6ab + 8b2 ' 
RESP.: (a+ 2b) (a+ 4b) 
53) a2 -5ab + Õb2 
RESP.: (a - 2b) (a-3b) 
54) a2 ~ 1la+28 
RESP.: (a-7) (a - 4) 
55) x2 -12x + 35 
RESP.: (x - 7) (x+ 5) 
56) y2 -3y-10 
RESP.: (y+2) (y - -5) 
57) x2 -3~-4 
RESP.: (x+1) (x - 4) 
4g CoM.1'E PAuto PESSOA 
58) x2 -- 13x -· 68 
RESP.: (x - 17) (x+4) 
59) x2 + 6x-16 
RESP.: (x + 8) (x ---., 2) 
60) x2 + 4x - 2t 
RESP.: (x + 7) (x - 3) 
RESP.: x (x+ 1) (x-8) 
62) x3 -- 5x2y + 6xy2 
RESP.: X (x-3y) (x-2y) 
63) a2 + 6ab + 8b2 
RESP.: (a+ 2h) (a+ 4b) 
64) 3x3 + 15x2 + 18x 
RESP.: 3x (x+2) (x+3) 
65) 9b~ - 9by - 4y2 
RESP.: (3b + y) (3b - y) 
66) a3 + 8 
RESP.: (a+ 2) (a2 - 2a + 4) 
67) xª+ 27 
REsP.: (x + 3) (x2 - 3x + 9) 
68) y 3 + x0 
RESP.: (y + x 2) (y2 - x2y + x 4 ) 
69) (a - b)3-c3 
REsP.: (a - b -c) [ (a - b) 2 + (a-b) c+c2] 
70) a4 + b2 - a2b2 
RESP. : (a2 + b2 + ab y 3) (a2 + b 2 - ab y 3) 
71) a4 + b4 
RESP.: (a2 + b2 + ab y2) (a2 + b2 - ah y' 2) 
M.D.C. E M.M.C. 
O m d. e. de polinômios é o produto dos fatôres 
primos, comm1s, elevados aos menores expoentes. O 
111. m. c. <le vários polinômios é o produto de fatôres 
primos comuns e não comuns, elevados aos maiores 
c•xpocntes . Segue-se, pois, que para calcuiar o m. d. c. 
1111 o m. m. e. de vários polinômios torna-se i~ecessário 
clcTompô-los em seus falôres primos isto é, fatorá-los. 
No capítulo anterior mostrá.mos como fatorar poli-
111'1míos. No presente capítulo, depois de fatorá-los, pre-
1· 1 nmos selecionar os fatôres comuns e não comuns 
1·11111 os 1n~nores ou ma~o.res expoentes segundo pre-
l1•11dumos calcular o m. d. c. ou o m. m. c. 
EXERCíCIOS RESOLVIDOS 
1) Calcular o m. d. c. e o• m . m. c. dos seguintes mo-
11c1111ios: 
18a4b2c3 ; 24a3b4c e 48a5b3d 
Por se tratar de monômios já estão fatorados; 
11· ln-nos portanto escol•her os fatôres primos comuns 
1·11111 os menores expoentes, para ternnos o m. d. c., e os. 
111161· s primos comuns e não comuns com os maiores 
1 1poentes para ter1mos o m. m. e. 
Assim 
m. d. c. = 6a3b2 e 
m. m. c. = 144a5b4c3d 
2) Calcular o m. d. c. e o m. m. c. dos seguintes 
jl• lf i nôrnios: 
x2 - 1; x2 + x - 2 e x2 - 2x + 1 
50 CoM:.TE PAULO PESSOA 
Fatoremos os polinômios: 
x2 - 1 = (x - 1) (x + 1) 
x2 + x - 2 = (x + 2) (x - 1) 
x 2 - 2x + 1 = (x - 1) 2 
Teremos então, de acôrd'o com as definições: 
m. d. e.= (x -1) 
m.m.c.= (x-1) 2 (x+ l) (x+2) 
3) Calcular o m. <l. e. e o m. m. e. dos seguintes 
binômios: 
x2 - y 2 ; x + y e x - y 
Os dois últimos binômios não admitem( fatoracão. 
Fatoremos o primeiro: · 
x2-y2 = (x -y) (x + y ) 
Vemos que não existem fatôres comuns aos três 
binômios. Concluímos então que êles são primos e por-
tanto o 
m. d. e.:::::= 1 e o 
m.m.c. = (x+y) (x-y) =x2-y2 
EXER,Ci CIOS A RESOLVER 
1) Calcular o m. d. e. e o m. m. e. dos monômios: 
16a3b4 ; 40a2c2 e 56a3d 
RESP.: m. d. e. = 8a2 
2) Calcular o m. d. e. de: 
m. rn. c. = 560a8b4c2d 
5xy2; 1:5x8 e 17x5y4 
C. Naval-1956 RESP.: X 
3) Calcular o rn. d. e. e o m. m. e. dos polinômios 
x
2 
+ xy; x2 -y2; x2 + 2xy + y2; ax - x - y + ay 
iRESP.: rn. d. e. =X +Y 
m.m.c. = x (x+y)2 (x-y) (a-1) 
PnoBLEM:AS DE ÁLGEBRA 51 
•I) O mesmo exercício para: 
11 + y2 + y + 1; y2 - 1; 3ay + 3a; y2 - 4y - 5 
RESP.: m. d.e.= y + 1 
m. m. e. = 3a (y2 + 1) (y + 1) X 
X (y-1) (y-5)r: ) O mesmo exercido para: 
xªy'l + 1 ; :X:8y2 - x; x8y8 + 2x2y2 + xy 
RESP.: m. d.e.= xy + 1 
m.m.c. = xy (xy + 1) 2 (xy - 1) X 
X (x2y2 - xy + 1) 
H) O mesmo exercício para: 
x2 + 2x - 3 e x2 + 7x + 12 
RESP.: m. d. e. :::::= x + 3 
m.m.c. = (x-11) (x + 3) (x + 4) 
7) · O ;mesmo exercício par-a: 
~ - 4x - 80; 2x2 - 18x + 40 e 2x2 - 24x + 70 
RESP.: m. d. e. = 2 (x - 5) 1 
m. m. e. = 4 (x - 5) (x - 4) X 
X (x - 7) (x + 4) 
8) O mesmo exercício para: 
9as -12a2p + 4ap2 e a5p:a + 6a8p + 9a 
REsP.: m. d. e. = a 
· m.m.c. =a (3a - 2p) 2 (a2p +3) 2 
O) O mesmo exercício para: 
3a2 + 24a + 45 e a' + 4aª - 5a11 
REsP.: m. d. e. = (a + 5) 
.. ·tu. m, ~:. ~ 3n.a (t\ -·· ... l) (u · :l) X x <a.+ 5) 
52 
10) O mesmo exercício para: 
a2x - 2a2 + 2ax - 4a + x - 2 e 
XY
2 
- Y3 + 2xy - 2y2 + x _ y 
RESP. : m. d. c. = 1 
m. m. c. = (x - 2) (a + 1) 2 (x - ) 
X (y + 1)2 y X 
11) O mesmo exercício para: 
- 3 
aº - a -- a2 + 1 e a2 - 2a + 1 
REsP.: m. d. e. = (a _ l) 2 
m. m. c. ·= (a - 1)2 (a+ 1) (a2 + a+ 1) 
12) Achar o m. d. c. entre: 
xª + 2x:2 - 3x e 2x3 + 5x2 - 3x 
C. Naval - 1959 
REP.: 
13) Acliar 0 m. d. e. e 0 m. m. e.: 
4xs - 12x2; 2x2 - 18; 3x3 - l8x2 + 27x 
RESP. : m. d'. c. = x _ 3 
X 
m. m .. c. = 12x2 (x + 3) (x -- 3)2 
14) Mesmo exercício para: 
a ª - ab2· a 2b ' a - a e aª - 2a2b + ab2 
REsP.: m. d. c. a (a_ b) 
m. m. e. = a 2 (a + b) (a b) :z 
15) Mesmo exercício para: 
4x• - 36x2; 6x:i - 36x + 54 e 8xª - 8x2 - 48:x 
RESP. : m. d. e.= 2 (. - 3) 
m. m. e. = 2'! .·:i (. + :J) (x . a) c X 
X (. + 2) 
FRAÇÕES ALGÉBRICAS 
Fração algébrica é o quociente indicado de duas 
• prc sões algébricas, cuja divisão não se faz exata-
1111•nt . 
A fração algébrica, como a arillnética é cons tituída 
rl1 • numerador e denominador, denominad'os têrmos da 
l 111 ~·1io e estão .sujeHos às mesmas propriedades que 
11 qu las. Podem ser simplificadas, somadas, subtraídas, 
11111lliplicadas, divididas, elevadas à potência e sofrerem 
,. l 1·n . ões de raízes, obedecendo às mesmas regras se-
HllÍ dns nas frações aritméticas, es tudadas em outra 
111 •11 H i IÍIO • 
S as expressões algébricas que constituem a fra-
1•11n f'ôr m racionais a fração é dita raciona[. No caso 
de• ~ t· r <·m expressões irracionais o numerador ou o deno-
111i11ndor da fração, ou ambos, a fração é dita irracional. 
o presente capítulo trataremos, apenas, das fra-
, 01 ·.~ <tlqébrica~ racionais . 
EXERCíCIOS RESOiLVIDOS. 
1) Tornar irredutível a fração: 
1-1a2bc 
7abcd 
Co~r.TE PA ULO PESSOA 
O m. d. e. dos lêrmos d f -
mos dividir os seus têrmos a ra~lao, sendo 7abc, podc-
por e e e teremos: 
2ac 
d 
que é a fração irredutível equivalente 
2) Sim_plificar a fração: 
ax + x2 
. ab2 + b2x 
à proposta. 
. O m. d. e. dos têrmos da fração send 
mos, Qomo no exercício anterior: o (a + x), ter e-
x (a + x) 
b 2 (a + x) 
3) Simplificar a fracão · . . 
X 
1J2 
ac + bc + ad + bd 
a2 ,+ ab 
Como vimos no · · m d e dJos t • sd exercic1os anteriores, a procura do . . . emno.s a fira - . têrmos: · çao ·exige a fatoração de seus 
Fatoremos 0 t• s ·ermos da fração proposta. 
Teremos: 
ac + bc + ad + bd' 
a2 + ab 
e (a + b) +d (a· + h) 
a (a + b) 
(a + b) (e + d) 
a (a + b) a 
4) Simplificar a fração: 
(a2 + b2 - c2)2 - (a2 - b2 + c2)2 
4ab2 + 4abc 
PROBLEMAS DE -ÁLGEBRA 
omo no exercício anterior teremos: 
(a:.i + b2 _ c2)2 _ (a2 _ b2 + c2)2 
4ab2 + 4abc 
n~+ b2- c2 + a2- b2+ c2) (a2+ h2- c2- a2+ h2- c2) 
4ab (b +e) 
2a2 (2b!l - 2c2) 
- 4ab (b +e) 
4a2 (o - e) (b + e)~ 
4ab (h +e) 
4a2 (h2 - c2 ) 
4ab (h+ e) 
a (h-c) 
b = 
Reduzir ao mesmo 'denomina-dor as frações: 
3a 5a 2c 
4b' Tc' 3b 
O m.m._c. dos 'denominad'ores é 12 hc. 
Teremos então: 
3aX3c 5a X2h 2c X4c 
12hc l 12hc 
e 
12bc 
QU 
9ac fOan 8lc2 
--- .e 
12b'c 12bc tibc 
6) Reduzir ao mesmo 'denominador as frações: 
ax' 
a+x 
2a2x2 2a2 + x2 
e -----
a2 - ax + x2 a3 + x3 
55 
Os denominadores da 1.ª e 2.ª fracões são primos. 
'1 j lllllOS O denominador da 3.ª que, como sabemos é: 
(11 1 /) (a2 - ax + x 2)" 
m. m, ·C. dos denominadores é pois: (a + x) X 
' (u2 - ax + x 2) ' = (a8 + x 8). 
56 COM.TE PAULO PESSOA 
Então: 
ax (a2-ax + x2) 
a 3 +x3 
2a2x2 (a+ x) 
- e a3 + x3 
1 X (2a2 + x2) 
aª + x3 
ou 
a3x - a2x2 + axª 
a3 + x 3 
2aªx2 + 2a2x3 
a8 + x3 e 
2a2 + x 2 
a3 + x3 
7) Reduzir ao mesmo denominador as frações: 
a+ 1 a ·-1 a2 + 1 } a2 - 1 
' ' e a-1 a+ 1 a2 -1 , a2+1 
Os denominadores da 1.ª, 2.ª e 4.ª frações são pri-
mos, e o da 3.ª, a2 -1 pode ser decompos.to e (a+ 1) X 
X (~ -1). Nessas condições o m. m. c. dos denominado-
res e: 
m.m. ,c.= (a+ 1l) (a-1) (a2 +1) (a2 -1) X 
X (a2 + 1) = (a4 - 1) . 
Teremos então: 
(a+ 1) (a2 + 1) (a+ 1) (a-1) (a - 1) (a2 + 1) 
a4 -1 a4 -l 
(a2+1) (a2 +1) (a2 -1) (a2 -1) e 
a 4 -1 a4 -1 
ou 
(a+ 1) 2 (a2 + 1) (a - 1) 2 (a2 + 1) 
a4 -l a 4 -l 
(a2 + 1)2 (a~- 1) 2 
a4 - l 
e -----
a 4 - 1 
8) Somar as fr ações : 
2a 3a 5a 7a 
3x + :l x + ôx + 12x 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
O m. m c. P.os denominadores é 12x. 
Teremos então: 
2a X 4 + 3a X 3 + 
12x 12x 
8a + 9a + lOa + 7a 
12x 
9) Somar as f,rações: 
2a 3x ---+---
a+x a-x 
5a X 2 7a X 1 
12x + 12x 
34a 17a 
= 12x = 6;-
3x2 + a2 
+ a2-,x2 
O m. m. c. dos denominadores é a2 - x2 ; então: 
2a (a - x) 3x (a+ x) 3x2 + a2 
a2-x2 + a2-x:2 + a2-x2 
2a2 - 2ax 3ax + 3x2 3x2 + a2 
----+--- + + ----
. a2-x2 a2-x2 a2-x2 
57 
ou 
2a2 _,2ax + 3ax + 3x2 + 3x2 + a2 
a2-x2 
3a 2 + ax + 6x2 
a2-x2 
10) Efetuar as operações: 
1 1 1 
+ + 
(11 - b)(a-c) (b-a)(b-c) (c- a) (c-b) 
Observando-se os denomina·dores das frações veri-
fi "nmos que uma t'l'loca de posição entre o~ , têrmos b e a 
do fator (b- a) do denominador da segunda fração 
1'11r{l om que êle se torne igual a um dos fatàres do 
d< nominador da primeira fração. Procedendo-se do 
111<•s.mo modo com os têrmos dos fatôres do denomi-
1111dor da terceira) 'fraçãio, conseguiremos qUie êles se tor-
111•111 os mesmos que um dos fatôres do denominador 
d11 prirnC'ira fra ção (a - c) e outro do denominador da 
•' tt 111d n fra ção (b - e). 
58 COM.TE PAULO PESSOA 
Essa troca de posição será possível mediante a 
colocação do sinal. menos (- ) em evidência, no fator 
(b-:- a) do denommador da 2.ª fração e também nos 
fa1ores (e - a) e (e - b) do denominador da 3.ª fracão 
Teremos então: · · 
1 1 
(a - b) (a - e) + - (a - b) (b - c) + 
1 1 
+ - (a-lc) X- (b-c) (a-b) (a - e) 
1 1 
(a-b) (b-c) + (a-e) (li-e) 
O m. m. c. dos denominadores sendo (a - b) X 
X (a - e) (b - e), teremos: 
1 X (b-c) 
(a-b)(a-c)(b - c) 
+ 1 X (a-b) 
(a - b) (a - ,c) (b - e) 
b-c-a+c+a- b 
(a- h) (a- e) (b- c) 
lX(a-c) 
(a - b)(a-c)(b - c) 
(b-c)-(a-c)+(a---,-b) 
(a-b) (a - -c) (b-c) 
o 
(a- b) (a- e) (b- c) 
11) Efetuar as operações: 
x+1 7~ x - 1 
----- -L ----- -
x - 3 x2 - 5x + 6 x - 2 
+ 
o 
Os den01ninadores da 1.ª e 3.ª frações são primos; 
fatoremos o da 2.ª, para que possamos achar o m .. m. e. 
dos denominadores. Teremos: x2 - 5x + 6 = (x - 3) x 
X (x - 2). Então, 10 m. m . e. é (x - 2) (x - 3) e 
teremos: 
(x + 1) (x - 2) 7x 2 X 1 
(x - 2} (x - 3) + (x - 2) (x - 3) 
(x - 1) (x - 3) 
(x - 2) (x - 3f -
PROBLEMA~ DE ÁLOEBRt~ 
.-2 - x -- 2 7x2 x~ - 4x + 3 _ 
(x - 2) (x - 3) + (x - 2) (x - 3) - (x - 2) (x - 3) -
x2 - x - 2 + 7x2 - (x2 - 4x + 3) _ 
(x -2) (x - 3) 
x2 - x - 2+ 7x2 - x2 + 4x-3 
(x - 2) (x - 3) 
7x2 + 3x-5 
(x-2) (x - 3) 
12) Efetuar: 
3x 
x+l 
x2 2x3 
1-x + 1-x2 
Observando-se o denominador da tel'ceira fração 
vemos que ela pode ser decomposta no prod~to (1+x> X 
X (1 - x), que será o m. m. e. dos. de~1ommadores ~as 
frações, pois o denominador da pnme1ra (x + 1) e o 
mesmo que (1 + x) . 
2x3 3x-.3x
2 
Jx (1 - x) x 2 (1 + x) 
1-x2 + 1-x2 1 - x2 1-x2 · 
x2 + x3 2x3 3x - 3x2 -(x2 + x3 ) + 2x~ 
1 ·2 + -X 1-x2 
3x - 3x2 - x2 - x3 +,2x3 
1 ·-- X 2 
x (x2 - 4x + 3) 
1-x2 
x (x - 1) (x -3) 
(1- x) (1 + x) 
1-x2 
x3 - 4x2 + 3x 
1-x2 
x (x - 1) (x - 3) 
1 - x 2 
-
-
Vemos que o numerador da fração contém o fator 
( x -tl),enquanto que o denominador o fator (1 - x) . 
A colocação em evidência no numerador ou no de· 
11ominador, do sinal menos (-) igualará os fatores 
considera<los, permitindo a f'Ua simplificação. 
CD Col\I,,.E PAULO PESSOA 
Teremos: 
x X - (1 - x) (x - 3) 
(1 - x) (1 + x) 
-X (x -3) 
- x (1 - x) (x - 3) 
(1 - x ) (1 + x) 
3x - x2 ------
13) Reduzir à fração: 
14 
3+3x+--
x-3 
Podemos escrever: 
14 
(3 + 3x) + --
x-3 
Trata-se de s1omar um inteiro (3 + 3x) com uma 
14 
fra-ção , 3 e para isso basta multiplicar o inteiro pelo X- , 
denominador e somar o produto ao numerador. 
Teremos_pois. 
(3 + 3x) + 14 (3 + 3x) (x - 3) + 14 
x-3 x-3 
3x - 9 + 3x2 - 9x + 14 
x - 3 
14) Reduzir à fração: 
2 - 3x 
5 
Podemos escrever: 
-2+x 
3x2 -6x + 5· 
x - 3 
2-3x (2 - 3x) + 5 (x - 2) --- + X - 2 = ---------5 5 
2 - 3x+5x - 10 
5 
2x-8 
5 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 61 
15) Efetuar as operações: 
3xy2 5x2yz 
4ab X -7b~ 
Como no caso de multiplicação de frações aritmé-
ticas, tere1nos: 
3xy2 
4ab 
X 
16) Efetuar as operações: 
4x2 -9 
4-x2 X 
2+x 
2x-3 
Antes de efetuar qualquer operação, fatoremos os 
tê-rmos das frações que f ôrem fatoráveis. 
Teremos então: 
(2x-3) (2x + 3) 
(2 -x) (2 + x) X 
2+x 
2x-3 
Vê-se agora a possibilidade de simplificações que 
deverão ser feitas: 
2x + 3 d . d Assim ficaremos i'eduzidos a , epo1s as 
2-x 
simplificações e que é o resultado. 
17) Efetuar as operações: 
a8 -bll 
X 
a2 + ab + b2 
a8 +bª 
X 
3a+3 
2a+2 
a2-b2 
Como no exemplo anterior, fatoremos as expressões 
futoraveis: 
(li - b) (ali+ ah +h:a) (a+ b) (a11 - ah+ h 11). 
(n~+ ah + b~) X~- 8(n 1~~1) X 
62 COM.TI!: PAULO PESSO.\ 
2 (a+ 1) 
X 
(a+b) (a-b) 
As simplificações possíveis reduzem o produto das 
frações dadas a 
2 (a2 - ab + b2 ) 
3 
18) Efetuar as operações: 
4ab 8a4 
---
5xy 15x2 
Como no caso de divisão de frações, aritméticas, 
teremos.: 
4ab 
5xy 
8a4 
15x2 
4a:b 
5xy 
X 
15x2 
8a4 
19) Efetuar as operações: 
b 2 +9b+18 
a2 -4 
De início teremos : 
b 2 +9b+18 
a2 ~4 X 
ah +2b + 3a + 6 
a3 + 4a2 + 4a 
a3 + 4a2 + 4a 
ab +2b + 3a + 6 
Fatorando os têrmos das frações, vem: 
3bx 
2a3y 
(b + 3) (b + 6) a (a+ 2) 2 
-(a---2)_(_a_+_2_) X (a+ 2) (b + 3) 
a (b + 6) 
(a-2) 
20) Efetuar as operações: 
x - y ( x2 
~2 +-2-x;r + t + Y2 
J?ROntJ-.:M AS DE ÂLGEBRÁ 
'r ·r '11 10 · : 
x - y --;- ( yx22 X 
(x + y)2 
xy2-y3 ) 
x4 - x2y2 = 
x-y 
(x + y)2 [ 
X 2 y2 (X - y) J 
--;- 7 X x2(x2 - y2) -
x-y x-y x-y (x2- y2) . x~~~~ 
(x+y)2 · (x2 - y2 ) (x+y) 2 x-y 
x-y (x+y) (x-y) x-y_: 
----X 
(x+y) 2 x-y x+y 
21) Resolver: 
1 y 
x+y x2 +xy 
1 1 
x-y x+y 
Teremos: 
i1 y 
x+y x(x-y) 
= 1 1 
x-y x+y 
l Xx yXl 
X (X+ y) X (X+ y) 
- lX(x+y) 1 X (x-y) 
(x - y) (x+y) (x - y) (x + y) 
x - y X-Y; 
X (X+ y) X (x+ y) 
(x + y) - (x-y) x+y-x+y 
(x. y) (x +y) (x-y) (x +Y) 
" 
CoM.'rE PAuto PESSOA 
x-y 
X (X+ y) 2y 
2y 
x-y 
X (X+ y) (x + y) (x-y) 
(x-y) (x + y) 
= x-y X (x+y) (x - y) 
X (X+ y) 2y 
(x - y) 2 
2xy 
EXiERCf CIOS .1\ RESOLVER 
Tornar irredutíveis as frações: 
1) 
2a2b3c4 
7abc 
RESP.: 
2ab2c3 
7 
4a4b5c2 
6a3b 8c4d2 
2) 
RESP.: 
2a 
3b3c2d2 
3) 
16abxy 
42x2y2 
RESP.: 
8ab 
x2 + 2ax + a2 
21xy 
4) 
mx+ma 
RESP.: 
x+a 
m 
(a +ib) 2 (ai3- b 3 ) 
(a2- b2)2 
5) 
RESP.: 
a2 + ab + b2 
a-bl 
()) 
PROBLEMAS DE ÁLGEBM 
x~ - ax4 - a4x + a5 
x 4 - ax3 - a~x2 + a3 x 
RESP.: 
7) Simplificar: 
6x3 - 30ax2 + 36a2x 
2x4 - 8a2x2 
x2 + a2 
X 
(\5 
3 (x - 3a) 
RESP.: -----
X (x + 2a) 
8) Simplificar: 
C. Dutra - 1948 
35 + 5x + 7y +- xy 
5+y 
RESP.: 7 +X 
9) Simplificar: 
x 3 - 2x2 - x + 2 
x 2 -1 
C Naval - 1958 RESP.: x-2 
10) Simplificar: 
(a2 - b2 - c2 - 2bc) (a + b - e) 
(a+ b + c) (a2 + c2 - 2ac - b2 ) 
C. Naval-1959 RESP.: 1 
11) Reduzir ao mesmo denominador as fü:ações: 
a2 ab 3a2 - 2ab 
---· . 
a+b' a-b' a2 - b2 
12) Mesmo exercício que o anterior, para: 
X + ~ I 
-- ; 
x +2 
X~ - 2X + 1 
X~+ 5x + 6 
x 2 + ·1x + ,l x2 + 6x + 9 
RESP. : ; ., ~ 
6 
; 
X~+ 5x + 6 x- + ~X + 
13) Mesmo exercido para: 
1 a+2 a 2 - 1 
a - 2' e a2 + 2a + 4 a3 - 8 
RESP.: 
a 2 + 2a + 4 a 2 - 4 
aª - 8 a3 - 8 
14) Efetuar as operações e simplificar: 
m+n 
2 
15) Somar as frações: 
2x 
x - 3 
+ 
+ 
m - n 
3 
RESP.: 
4x 
x - 2 
x 2 - 2x+ 1 
X~+ 5x + 6 
a2 - l 
e ----
a:1 - 8 
5 m+n 
6 
6x2 -16x 
RESP.: 6 
x 2 -5x+ 
16) Efetuar as operações: 
a a 2a2 4a2b 2 
-- + + + ----ª - b a + b a2 +.b2 a4 - )J 4 
4a2 
RESP.: ----
a2- b 2 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
l7) Efetuar e simplificar: 
b 
ab - a2 
a 
b2- ab 
67 
b+a 
REsP.: --a-
1
-) - -
18) Efetuar e simplificar: 
1 2 l 
~-- + 3 6x+6 3x- 3-3x2 
5 
REsP.: 6 (x -- l)-
19) Efetuar e simplificar: 
X x2 + y + 
--y- x+y x2+xy 
20) Efetuar e simplificar: 
3 7 
l - 2a 1+2a 
21) Efetuar e simplificar: 
RESP.: 
4 - 20a 
4a2 - l 
x+y 
y 
RESP.: o 
b e 
a + )(b ) + (c-a)(c-b) (a-b)(a-c) (b ~ c · ~ a 
C. Naval ~ il.959 
22) Ef etua·r e simplificar: 
yª - 9 y - yª 
..l.. 
y2 - 5y + 6 2y2 - 6y+ 4 
J. r;. - i~.53 RESP.: 
RESP.: 0 
·Y+6 
2y - 4 
68 CoM.TE PAULO PESSOA 
23) Ef etu·e e simplifique: 
1 1 
6x - 12 + 2x _ x2 
+ 2+x 
3x~ -12 
2-1) Efetue e simplifique: 
a+b a-b 
a-b 
25) - Efetue e simplifique: 
X 
4x-8 
26) Efetuar: 
1 
x-1 
+ 2x -x2 
X 
RESP.: 
4b2 
a2-b2 
RESP.: 
RESP.: 
x2 -1 x2 - 2x + 1 
1 
2x 
·4b 
a+b 
x-2 
4x 
C. Naval - 1953 RESP.: 
- (x2 +1) 
27) Efetuar: 
x 2 + 3x + 2 
x 3 ..._ 8 
28) Efetuar: 
3a+b 
4a - b 
(x + 1) (x -·- 1)2 
+ x-6 
x2 +2x+4 
1 
REsP.: 
x-2 
x-5 
x2 +2x+ 4 
3a-b 
.4a + b + 
10ab-b2 
b2 -16a2 
RESP.: 
b 
4a ~ Li 
PROBLEMAS DE ÁLGEBHA 69 
29) Efetuar: 
3x2 +5 
x3 +8 
30) Efetuar: 
x+y 
y 
31) Efetuar: 
x+y 
y-x 
32) Efetuar: 
2 
x+y 
33) Efetuar: 
2-x 
3-x 
+ 
1 
2x 
x+y 
x+y 
y 
1 
y-x 
+ 
+ 
x-3 
x2 -2x + 4 
RESP.: 
x 2 + 3x + 7 
x3 -x2y 
y~ -XBy 
RESP: 
x3 + 8 
y 
x+y 
2x2-xy + y2 
xy-y~ 
RESP.: 
x -y 
y 
2y 
+ x2-y2 
1 
R.ESP.: 
x+y 
x2 -x-6 
x -- 2 
fuSP.: 
70 COM .TE PATJLO PESSOA 
34) Efeluar: 
Y" 
(y - z)" 
Y" . t 
(y · z)11-1 
HESL'.: 
Y" -1z 
(y . z)" 
36) Simplificar o mais possivcl a xwessiio: 
X -
C. Naval - 1959 
1 
1 
1 
x+ - -
x 
1 
1 
X -j- - --1-
X ---
Hmw.: 
2 
xs 
36) Efetuar as operações alrnixo fodkadas dando 
o resultado na sua expressão mui. sin1pl s: 
1 
I.,E. -1951 
37) Efetuar: 
3x 
U · X 
l 
x - 1 
2x. 
X~ J 
x~ - :lux 
2 
RESP.:---
1 - x 
RESP.: 
4x2 
a2 ·- x2 
PROBLEMAS DE ÁLGEBHA 71 
38) Efetuar: 
a-1 
1-
a+l 
1 1 
--- -
a+l a-1 
l.E. - 1955 REsP.: 1-a 
39) Efetu·ar: 
a+x 
a+l + 
E. N. C. Dutra - 1954 
40) Efetuar: 
a+x 
a-1 
2a+2x 
+ a2 -1 
RESP: 
1 1 
1 + ~---------
41) Efetuar: 
a+b 
ab 
1 
-+ a2 
E. N. C. Dutra - 1955 
+ b2 
1 1 
ab + b2 
2 (a+ x) 
a-1 
+ 
R.EsP.: 1 
REsP.: a 
72 COM.TE PAULO PESSOA 
42) Efetuar: 
x2-x 
l - 2x + x2 
E. P. C. Ar. - 1952 
43) Efetuar: 
a a 
a-b + + 
Especialistas de Aer. - 1945 
44) Efetuar : 
y+l 
y+4 
45) Efetu_ar: 
1 
a 
2 
1+ --
a 
4-0) Efetua·r: 
y-4 
y+l 
ax2 - a 
RESP.: 
ax-1 
ax-a 
2a2 4a2b 2 
a2 + b2 + a4-b4 
4a2 
REsP.:---
a2-b2 
1 - 6y-y2 
y2 + 5y + 4 
1 
a 
3 
1+ -
a 
RESP.: 
RESP.: 
1 
y -- 4 
y+l 
( a2 - x + a22~2x ) (a~ + x) 
REsP. : a4 + x2 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 73 
47) Efetuar: 
( 
1-x 
1-x2 + 
RESI'.: 
1 
X 
48) Efetuar: 
[ (1 + x)2- (1- x)
2 J[3 + x 2 -4x2 J 
(1-x) X (1 + x) 4x 
RESP.: 3 
49) Efetuar: 
[ 
x-y 
x+y 
x+y 
x-y ][ 
x2 + y2 + 1] 
2xy 
50) Efetuar: 
a3 +8 
---
a2-10a + 16 
51) Efetuar: 
X 
RESP.: 
- a2 +9a-8 
X 
a3 - 4 
(1 ++)(a·--+ ) 
( 1 - ~ )2 
2 (x + y) 
x - y 
a2 - 4a + 4 
a3 -2a2 + 4a 
1 - a 
RESP.: --
a 
REsP.: 
(a + 1) 2 
a-1 
74 COM.TE PAULO PESSOA 
52) Efetuar: 
1 -
a - b 
a+b a 
a-b 
X 
b 1 _j_ 
a+b 
REsP.: 1 
53) Efetuar: 
X x 2 -1 X 
X X x-1 X 
RESP.: X 
54) Efetuar: 
a 
( 1 _ a ) + _ b - (l h ) a+b a -a+b b 
55) Efetuar: 
xª-4xy2 
xy + 2y2 
56) Efetuar: 
1+ 
2y 
X (- x-- 1)x - 2y 
X-Y . 
X (x2 - xy) 
1 -l-
y 
X 
RESP.: 1 
RESP.: 2x 
RESP.: x2 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
57) Efcluar: 
2 
1+ -- + 
58) Efetuar: 
59) Efetuar: 
a 
1 
a+ --- 1 
a 
1 
ª2 
75 
RESP.: a - l 
RESP.: a+ l 
x3 -x x2 + 3x - 4 
REsP.: a 
60) Efetuar: 
(x2 - xy) X ( 1 + : ) (X - :2 ) 
61) Efetuar: 
(x-+) 6 x-- - -x~ +X 
3x -3 
x3 
RESP.: X 
j:\ESP.: 2~ 
76 COl\I.TE PAULO PESSOA 
62) Efeluar: 
2x2 -xy 
4x2 -4xy + y2 
63) Efetuar: 
( 
x2 
x2_ 4y2 
64) Efetuar e simplificar: 
y2 ) 
1x2 -y2 
2x+y 
RESP.: ---
4x 
2xy-6y2 
x 2 -5xy + 6y2 
RESP. : 
2y 
X +2y 
[ 
2x 
x+y 
y y2 J [ 1 --+-- -'- + y - X y2 - X 2 • X + y 
C. Naval - 1961 
65) Efetuar: 
2y 
+ 
y2-1 
y-1 
E. N. C. Dutra - 1951 
66) Efetuar: 
x' - y4 
E. P. C. Exército - 1959 
y 2 + 4y + 3 
6 
x2 + xy 
x.- .y 
RESP.: X 
RESP.; 2 
x2 + y~ 
RESP.: ---
X 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 77 
67) Simplificar a expressão: 
a2 -1 a2 -3a+2 
----
x2-y2 3x+3y 
I. E. - 1951 
3 (a+ 1) 
RESP.: -- ) (----2) (x -y a-
68) Reduzir à expressão mais simples.: 
r. E. - 1952 
a - a2 
a2 - l 
69) Efetuar: 
[ ~~: 
I. E. - 1955 
70) Efe'tuar: 
[ 
a+b 
a-b 
E. N. C. Dutra - 1955 
a - b] 
a+b 
8 
1 
RESP.: --
ª 
6-3a 
3a 
RESP.: ---
2+ a 
6 
5a+5b 
10ab 
REsP.: 3 (a-b) 
71) Efetua·r: 
x:l+9x+20 
x:i-25 
X (x-5):1 
xª-4x-5 
E. Acron{1uticn -- 1918 x+4 RESP.: ---1 
'+ 
78 COM.TE PAULO PESiOA 
72) Efetuar: 
( ~ y-2 2y2 - ----y2_ 4 
E. Aeronáutica - 1948 
73) Efetuar: 
x+ 
1 -
E. P. C. Exército - 1953 
74) Efetuar: 
(x + y)2 
x-y 
E. N. C. Dntra - -- 1948 
75) Efetuar : 
a - h 
1 + 
a + b 
a - b 
1 -
a + b 
C. Naval - 1959 
y - x 
1 +xy 
xy-x2 
1 +xy 
x+y 
(x - y)~ 
8 
y+2 
1 
RESP.: ---
y-2 
RESP.: y 
RESP.: x2 ~ y2 
a2 - b2 
1 + a2 + b2 
+ aª - b2 
1 
a2 + b2 
b 
Rf:SP.: 
a 
IDENTIDADE - EQUA:ÇÃO 
Identidade é a igualdade entre duas expressões 
algébricas, que têm o mesmo valor numérico, qualquer 
que sejam os valores atribuídos às letras que nela fi-
guram. 
Representa-se uma igualdade pelo sinal (=) e uma 
jdentida<le pelo sinal (-). 
Equação é uma igualdade entre duas expressões. 
algébricas que apenas se verifica, isto é, se torna uma 
identidade, para determinado ou determinados valô,res 
das letras que nela aparecem, algumas das quais se 
denominam incógnitas. Equação é, portanto, uma igual-
dade condicional. 
As expressões que figuram em uma equação ou em 
uma identidade chamam-se membros da equação ou da 
identidade. 
(1) (a+ b)2- a3 + 3a2b + 3ab3 + b3 e 
(2) 11x -- 4 = X + 66 
Assim, nas igualdades 
(a+ b) 3 é o primeiro membro da identidade (1) e 
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, o segundo membro da mesma 
identidade. 
Do mesmo modo 11x -4 é o primeiro membro da 
equação (2) e x + 66, o segundo memb110 da mesma 
equação. 
80 Col\r.TE PAULO PESSOA 
Como dissemos acima, (1ualqucr valor de a e b 
verifica a igualdacie (1), que por isso é uma idenlidade, 
enquanto que somcn Le o valor 7 de X satisfaz a igual-
dade (2), que é uma equação. 
Diz-se nesse caso que 7 é a raiz da equação (2) ou 
a sua solução. Sendo a equação uma igualdade en tre 
duas expressões algébricas, pod m ser classificadas 
como foram as expressões algébricas, j ·Lo é: algébricas 
ou transcendentes; inteiras ou fracionárias; racionais ou 
irracionais,· numéricas OUi literais. Podem, ainda ser do 
l.º, 2.º; 3.º, etc., grau e conter uma, duas ou mais in-
cógnitas. 
Resolver uma equação é acihar suas raízes ou solu-
ções que são tantas quantas forem as unidades do seu 
grau. 
Quando duas ou mais equações admitem as mes-
mas raízes diz-se que elas são equivaienles . Assim: 
llx - 4 = x + 66 e 
5x + 40 = 9x + 12 
são duas equações equivalentes, pois ambas admitem 7 
para raiz ou solucão. 
PROPRIEDADE DAS EQUAÇÕES 
1) Somando-se ou subtraindo-se a iffiesma quanti-
dade aos dois membros de uma equação, o resultado 
obtido é uma equação equivalente à equação primitiva. 
Como conseqüência dessa propriedade conclui-se que 
é possível passar um ou mais têrmos de um membro 
de uma equa1ção p·ara o outro, desd'e que Ilhes troque-
mos o sinal. 
2) MuHiplicand'o-se ou dividindo-se ambos os mem-
bros de uma equação por uma mesma quantidade di;e-
rente de zero, obtém-se uma equacão equivalente à 
primitiva. Esta propriedade nos perinite: 
a) trocar os sinais dos têrmos dos dois membros 
da equação; 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 81 
b) eliminar os denominadores dos Lêrmos de Ulllla 
equação, multiplicando-se os numeradores de 
seus têrmos, pelos quocientes respectivos das 
divisões do m. m. c. dos denominadores pelos 
denominadores das diversas frações. 
No presente capítulo trataremos, apenas, da resolu-
ção das equações do primeiro grau, com uma incógnita, 
numéricas ou literais; inteiros ou fracionários, para o 
que seguiremos a regra abaixo; 
1) Retiram-se os parêntesis se os houver. 
2) Transpõe-se para um dos ni.e.rnbros da equação 
os têrmos que contêm a incógnita e para o outro 
os têrmos independentes da incógnita (trocan-
do-lhes os sinais de acôrdo com a cons.eqüência 
da propriedade 1). -
3) Elimina.m-se os denominadores, se os houver, 
d'e acôrdo com a conseqüência b da segunda 
propriedade da sequações. 
4) Redllizem-se os têrmos semelhantes em cada 
me;mbro. 
5) Dividem-se ambos os membros pelo coeficiente 
d'a incógnita. 
Tratando-se de uma equação fracioná.ria, porém, é 
indispensável, após encontrar a sua raiz, verificar se 
ela anula qualquer dos denominadores, pois em tal caso 
a equação não tem solução por ser impossível a divisão 
por zero. 
A multiplicação dos membros d'e uma equação fra-
cionária por um fat,or contendo incógnitas, pod·e, em 
certos casos, introduzir sdluções estr(ljlhas à equação 
primitiva, daí a necessidade de verificar, como foi dito 
acima, se a raiz achada anula qualquer dos denomina-
82 COM.TE PAULO PESSOA 
dores. As soluções cs lrall li as i.nl roduzidas são as da 
equação que se obtém igualando-se a zero o multipli-
cador. 
Se a equaçã0i a resolver fôr li~eral, torna-se neces-
sário analisar a solução encontrada ou a raiz achada, 
sob todos os aspectos possíveis. Tal análise é o que se 
chama discussão da equação . 
1\ fa~e 4 da regra pa.ra resolução de uma equação 
do pri?1eiro gr?u 3: uma incógnita, reduz tôda e qualquer 
equaçao do pnmeiro grau, co111 uma incógnita, à forma 
ger.a[ ai'= b, que tem par~ raiz X = __ b_. 
a 
~s .difereAntes ihip 6teses que forem feitas quanto aos 
posSJ.ve1s valores de a e b, constituem a discussão da 
equa9~0: Elas (h~póteses) dirão da possibilidade; im-
posszbzlzdade ou mdetcrminação da equação. 
_ O quadro que se segue mostra como discutir a equa-
çao geral ax = b e quais as conclusões a tirar. 
/7' 
b =!= o -~ equação possível 
raiz: x =!=o 
a=!= o 
~...,. b o -~ equação possível 
raiz: x = o 
b =!= o 
o -~ 
equação impossível 
equação idêntica ou 
indeterminada. 
PnoBLEMAS DE ÁLGEBHA 83 
EXFJRCtCIOS RESOLVIDOS 
1) Resolver a equação 
3x - ,14 + 5x - 9 = 19x + 2x - 1 
Não havendo parêntesis a tirar, nem denominado-
res a eliminar, basta que apliquemos os itens 2, 4 e 5 
da regra apresentada para resolução de equações do 
1.0 grau. Teremos então: 
3x + 5x - -· 19x ·- 2x = 1 + 44 + 9 ou - 13x ;::::: G2 ou 
52 
X 
- 1t3 
;:::= - 4 
2) Resolver a equação: 
3x - 2 (1 -- x) - 4 = - [3x - (2x + 1) 
- 2x + 2 ('1 - x)] 
Havendo parêntesis e colchetes a tirar, mas não 
existindo denominadores a eliminar, basfa aplicarmos 
os ítens 1, 2, 4 e 5 da regra. 
Assim teremos : 
3x - 2 + 2x -1 = -- [3x - 2x - 1 -- 2x + 2 - 2x ] ou 
3x - 2 + 2x - 4 = -- 3x + 2x + 1 + 2x - 2 + 2x ou 
3x + 2x + 3x - 2x - 2x - 2x = 1 - 2 + 2 + 4 ou 
2x =5 ex= 
5 
2 
1 
2 2 
3) Achar a raiz da equação: 
z+t z-1 z-1 
2 + 3 - 6 = 0 
C0tno vemos, a equayão tem denominaadores nnmé-
ricós a eliminar. A aplicação dos itons 2, ·s, 4 e 5 da 
reerra çonduz à i;olu.ção da equação, 
84 CmLTE PAULO PESSOA 
Assim teremos : 
3 (z + 1) 2 (z - 1) 
6 + 6 
(z-1) 
() 
=Ü 
Aplicando-se a 2." propriedade das equações, vem, 
semultiplicarmos os seus m embros por 6: 
3z + 3 + 2z - 2 - z + 1 = O ou 
3z + 2z - z = ~ 3 + 2 - 1 ou 
2 1 
4z = ·-2 ou z = ·--- = - ~ 4 . 2 
4) Resolver a equação : 
__!__ (2x - 1) - - 1- (~ - s) = 2 X 
3 2 2 
X [ x - + (2x - 3) J 
A equação tem parêntesis e colchetes para tirar 
e denominadores para eliminar. 
O emprêgo de todos os itens citad'os na regra pro-
posta, conduzirá à solução da equação. 
Assim: 
4X 2 X 3 [ 3 J ~-------1----2 x-x+--
3 3 4 1 . 2 - 2 
ou 
4x 2 X 3 
- 3- - - 3- - 4 + T - 2x - 2x + 3 ·ou 
4x X 2 . 3 
3-4- 2x + 2x:= 3 +-
3
-- 2 ou 
16x 3x 21.x 21x 36 8 18 
' íi" - 12 ~ 12 + 12=12 + 12 - 12 
ou 
PH.OBLEMAS DE ÁLGEBflA 
16x - 3x-24x + 24x 
12 = 
36 + 8-18 
12 
13x 
12 
26 
12 
13x = 26 e 
26 
x=----=2 
13 
ou 
5) Resolver a equação: 
ou 
(x - 7) (x - 8) = (x - 5) (x - 4) - 18 
85 
A retirada dos parêntesis implica na efetuação das 
multiplicações por êles indicados. Efetuando-se as. mul-
tiplicações, vem: 
x2 - 15x + 56 = x2 - 9x + 20 - 18 
Os itens 2, 4 e 5 da regra para resolver equações do 
1.º grau, dá: 
x2 - 15x - x2 + 9x = 20 - 18 -- 56 ou 
-6x = -54 e 
-54! 
x= 
-6 
6) Resolver a equação: 
2 3 1 x-GO 
--- - --- - --- =15 - --~ 
2x 3x 6x X 
Como a equação proposta contém incógnita nos de-
nominadores, é do tipo fra.cioná•rio. 
Em principio o procedimento a adaptar para sua 
resolução é o con1ido na regra citada. 
Assim: 
2 12 
6x 
--------
ôx Gx 
90x 
6x 
x - 90 
6x 
Olli 
86 COM.TE PAVI,O PESSOA 
12 - fJ - 2 !JOx - X + no 
6x 6x 
ou 
1 89x + 90 
6x ------ ou, 6x 
de acôrdo com a 2.ª propriedade das ('quações,, 
1 = 89x + 90 ou 1 - 90 = 89x ou - 89 = 89 x e 
- 89 
X = _ _ 8_9_ = - l 
l. 
Como o valor achado i;ara x foi diferente de zero 
concluímos que a 2.ª propriedade não introduziu rai;, 
estranrhas à equação, cuja soluçãro é: x = - 1. 
7) Hesolver a equação: 
2y~ - y - 14 y - 2 
y~ + 5y + 6 y + 3 
_Y_-_3 =O 
Y + 3 
O denominador do primeiro Lermo do primeiro 
m~mbro pode ser fatorado e a equação então será es-
crita: 
2_y:2 -y-14 y - 2 y - 3 ---- --- =o ou 
(y + 3) (y + 2) y + 3 y + 2 
2y~ - y :---- 14 (y --- 2) (~ + 2) (y - 3) (y + 3) 
(y + 3) (y + 2) - (y + 3) (y + 2) - (y + 3) (y + 2) = º 
ou 
2y2 - y - H - (y2 - 4) - (y2 - 9) 
(y + 3) (y + 2) o ou 
2y2 - y ·- 14 - y2 + 4 - y2 + 9 
----~(_y_+_3_) ~(-y_+_2_) _:____:_ __ = o ou 
-- y - 1 
(y + 3) (y + 2) = Ü Oll - )' · 1 = Ü Oll 
y+1=0 e Y= ·- 1 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 87 
Como o valor achado para y não anula os denomi-
nadores dos têrmos da equação dada, concluímos que a 
multiplicação dos memocos da equação por fatôres con-
tendo incógnitas não introd'uziu raízes estranhas à 
equação: 
8) Resolver a equação: 
x+1 x+2 ----+----
1-x x-1 
x-6 
5-5x 
A equação dada pode ser escrita: 
x+2 x-6 x+1 
1-x + x-1 5 (ll' - x) 
Obser\ra-se então que o denominador da 2.ª fração 
do primeiro membro é o mesmo que o da primeira fra-
ção do primeiro membro e uma parte do denominador 
do segundo membro, apenas com o sinal contrário. Por 
isso podemos escrever a equação acima, do modo se-
guinte: 
x+l x+2 x-6 
ainda + 5 (1- x) 
ou 
1-x -(1-x) 
x+1 x+2 x-6 
1-x 1-x 5 (1-x) 
Teremos então: 
5 (x+ll) 5 (x+2) x-6 
ou 
5 (1-x) 5 (1-x) 5 (1 - x) 
5 (x + 1) - 5 (x + 2) x - 6 
(A) ou 
5 (1 - x) 5 (1 - ,") 
88 COM.TE PAULO PESSOA 
ainda, depois da segunda propriedade: 
5 (x + l) - 5 (x + 2) = x -- 6 (B) ou. 
5x + 5 - 5x - 10 = x - 6 ou 
5x -5x - x = - 6 - 5 + 10 ou 
-x= - 1 e x=l 
O valor de x, entretanto substituído na equação 
dad'a, anula seus denominador'es 
( 
1+1 
1-1 
1+1 
1-1 
1-6- 2 3 -5 ) 
5(1-1> ou o-o-=o-
Concluimos então, depois do que foi dito, que a 
valor achado x = 1 é llillla raiz estranha à equação e 
nela introduzida em virtude da multiplicação dos mem-
bros da equação pelo fator (1 - x), que igualado a zero 
e resolvido 
1- x=O e x=l 
dá o valor da raiz estranha introduzida na equação, 
fato para o qual havíamos chamado a atencão, ante-
riormente. ·· 
Trata-se assim de uma equação impossível, isto é, 
que não tem raíz·es. 
9) !Resolver a equação: 
2x - 1 - x - 2 = x - 2 (x - 1) 
A equação proposta pode ser escrita: 
2 1 x- 1 
----
X x2 x2 
2x 1 x- 1 --- ---x:2 x2 x2 
2x-1 x - 1 
x2 xz 
ou 
ou 
ou 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
2x -1 =X -1 OU 
2x - X= - 1 + 1 OU 
x=O 
89 
É fácil verificar que a raiz achada, x = o, anula os 
denominadores da equação e portanto, pelas razões 
expostas no problema anterior, trata-se de uma raiz 
estranha à equaçãio que por êsse motivo não tem 
raízes. 
10) Resolver a equação: 
+ 
x-3 
4-x 
x-7 
x2 -x-12 
A equação dada pode ser escrita: 
x+4 x-3 
+ x+3 -(x-4) 
x-7 
(x + 3) (x-4) 
depois de colocar o sinal menos em evidência no deno-
minador da segunda fração do primeiro membro e 
fatorar o denominador da fração que constitui o segundo 
membro da equação. 
Podemos então escrever: 
(x + 4) (x-4) 
(x-4) (x + 3) 
(x-3) (x + 3) 
(x -4) (x + 3) 
(x + 4) (x - 4) - (x - 3) (x + 3) 
(x -4) (x + 3) 
x-7 
ou 
(x-4) (x + 3) 
. x-7 
-----ou 
(x-4) (x +3) 
x2 -16-x2 + 9 
(x-4) (x + 3) 
x-7 
- ------~ ou 
(x-4) (x + 3) 
COM.TE PAULO PESSOA 
-7 x - 7 
(x - 4) (x + 3) -------- ou (x - 4) (x + 3) 
- 7 = X - 7 OU X = Ü 
que é raiz da equação, uma vez que não anula os deno-
minadores das frações que eonstiluem a equação. 
11) Resolver a equação: 
3a + ax + ex = 2ax + 2a + e 
O e:mprêgol dos itens 2, 4 e 5 da regra nos dá: 
ax + ex - 2ax = 2a + e - 3a ou 
ex - ax = e - a ou 
x (e - a) = c - a e 
X= 
c-a 
c-a 
=1 
É conveniente assinalar porém que tal solução só 
ocorrerá para e diferente de a (a # e), pois em caso de 
igualdade teríamos: 
o 
x=---
0 
que traduz identidade ou indelermniação, para a 
equação. 
12) Resolver a equação: 
X X 
-- + --- = c 
a b 
T eremos, de acôrdo com a regra: 
bx 
ah + 
ax --- = c ou 
ab 
ax + Lx 
ab 
PROBLEMAS fJE ÁLGEBfü 
c ou 
(a+ b) X 
ah 
= c ou 
(a+ b) x = abc e 
abc 
X= --- - -
a+b 
91 
Tal solu.cão só terá cabimento se a + b for diferente 
de zero (a + b # 0), qualquer que seja o valor de abc. 
13) Resolver a equação: 
a -
m + n 
X 
111 - 11 
= h ---
X 
Podemos escrever: 
ax m+n bx lll - 11 
X X X X 
ax - m - n = bx - m + 11 ou 
ax - bx = m + n - m + n ou 
x (a - b) = 2n e x = 2n 
a - h 
ou 
É conveniente não esquecer que a equação só é pos-
sível se (a - b) for diferente de zero ou. a # b. 
rJ.4) Resolver a equação: 
(a + x) (b + x) - a (b + c) 
Teremos: 
a2c - -- + x2 
b 
a2c 
n 1 --- + x·2 ou ah + ax + bx + x- - a) - ac = b 
a2c 
ax + hx + x2 - x2 = --b - - nb + ab + ac ou 
92 CoM:.'rE PAULO PESSOA 
( b a
2c a2c + abc 
a+ ) x = -- + ac ou (a + b) x = ou 
b L 
ac (a+ b) ac (a + b) 
(a+ b) x = e x = --- -
b b (a+ b) 
des.de que (a + b) =f= O. 
15) Resolver a equação: 
X X 1 
Teremos: 
ax bx 
ac 
e X=--
b 
1 
ou 
ax - bx = am - bD• ou (a -b) X= am -· bm e 
am-bm 
X=-----
a-b 
possível para a diferente de b (a =f= b) . 
16) Resolver a equação: 
2y-7 
10 
4-y ..L _ _ _ 
6 
Podemos escrever: 
6y-21 
30 
20-5y 
30 
y+9 
30 
y+9 
30 
6y - 21 + 20 - 5y = y + 9 
6y - 5y - y = 9 + 21 - 20 
ou 
ou 
ou 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 
Oy = 10 e y = 
10 
o 
93 
que de acôrdo com o quadro síntese da discussão, traduz 
impossibilidade. A equação é, p ois, i:m.possível. 
17) Resolver a equação: 
2 (2x + 5) - 14x + 5 
6 
Teremos: 
5x+1 
3 
5 +8-
6 
4x + 10 _ 14x + 5 = 5x + 1 + 
6 3 
53 
6 
ou 
24x 60 14x + 5 
- 6-+ 6 6 
10x + 2 53 - -- + --- ou 
6 6 
24x + 60 - 14x - 5 = 10x + 2 + 53 ou 
24x - 14x - 10x = 2 + 53 -- 60 + 5 ou 
o 
Ox =O e x = ---
0 
que de acôrd'o com o quadro da discussão, .traduz iden-
tidade 1ou indeterminação. A equação é, pois, indeter· 
minada. 
18) Discutir a equação: 
a (bx - a - 3) + 10 ::::: 5x (a ............ b + 5) 
Resolvamos a equação: 
abx - a2 - 3a + 10 = 5ax - 5bx + 25x ou 
abx - 5ax + 5bx - 25x = aª + 3a - 10 ou 
ax (b - 5) + 5x (b - 5) = (a+ 5) (a - 2) ou 
(b ~ G) (ax + 5x) = (a + 5) (a - 2) ou 
94 COM.TE PAULO PESSOÃ 
(b - 5) (a + 5)x = (a + 5) (a - 2) e 
(a+ 5) (a - 2) 
X = ---~~--
( b - 5) (a + 5) 
Será possivel ou determinada desde que: a =l= - 5 e 
a - 2 
b + 5 e sua raiz será : x = 
1 
· 
) - 5 
Será impossível se b = 5; a =l= 2 e a + - 5. 
Será indeterminada para a = - 5 ou a = 2 e 
b = 5. 
19) Discutir a equação: 
b [x (a - 3) - a ] = 3 [x (a - 3) - b ] 
Resolvamos a eqnação: 
b [ax - 3x - a] = 3 [ax - 3x - b ] ou 
abx - 3bx - ah = 3ax - 9x - 3b on 
abx - 3bx - 3ax + 9x = ab - 3b ou 
bx (a - 3) - 3x (a - 3) = b (a - 3) ou 
(a - 3) (bx - 3x) = h (a - 3) ou 
(a - 3) (b - 3) x = b (a - 3) ou 
b (a - 3) 
X =: -------
(a - 3) (b - 3) 
Será possível ou determ.irwcla, para a =I= 3 e b =;':- 3 
. ' b e sua raiz sera x = - -. 
b-3 
Será impossivel para b = 3 e a ~ 3. 
Sel'á indetermillada para a= 3. 
2()) Calcular m, de modo que a equação 
(2m -1) (x + 3) = (2x + 5) ( 3;1 - 1) 
j!-dmjt.~ a raiz ~~O, 
l:HOBU~MAS DE ÂÜlEi:mA 
Se a equação deve admitir a raiz x = O, ela se tor-
nará em uma identidade quando nela substiluirmos 
x, por zero. 
Façamos a substituição: 
( 
3.111 ) (2m - 1) (O+ 3) - (2 X ~ + 5) - 2 - 1 ou 
(2m - 1) X 3 = 5 ( 3m - 1) 2 
12m 
2 
6m -3 = 
15m 
-5 ou 
2 
6 15m 10 
---
2 2 2 
12m - 6 = 15m - 10 on 
12m - 15m = - 10 + 6 ou 
- 4 4 
ou 
ou 
3m = -4 em= --- ---= 1 
-3 3 
21) Determinar a, de modo que a equação: 
1 
- --
3 
: (3a - 7) = + (llx - 5ax) + x ( 3a + +) 
tenha uma só solução. 
Uma equação do primeiro grau oom uma incógnita 
para ter uma só solução precisa ser possível. 
Será então a condição de possibilidade ou determi-
nação que deve ser estabelecida. 
Podemos escrever: 
(3a-7) X 
3 
(11 - 5a) x (18a + 11) x 
2 +· 6 
96 CoM.'l'E PA u to PESSOA 
Dividindo-se ambos os memh'.ros por x, vem: 
3a/-7 
3 
ll - 5a 18a + 1 
6 + - --6-. - ou 
~ 
6a - 14 = 33 - 15a + 18n + 1 ou 
6a + 15a - - 18a = 33 + 1 + 14 ou 
3a = 48 e a = 16 
Para a= 16, qualquer valor de x atisf az a equação, 
que nesse caso será indeterminad'a. 
Como queremos que a equação admita u.ma solução, 
isto é, sejai determinada, segue-se que a deve ser dife-
i'ente de 16 (a =j= 1.6). 
22) Determinar o valor de c para que a equação 
(3c + 1)2x = b (3c-1), tenha uma ó alução. 
Resolvendo, vem: 
X= 
b (3c - 1) 
(3c + 1) 2 
. 1 
É bastante que c =j= - --, pois o denominador 
3 
da fração que exprim ua raiz não s anulando, a 
equação é possível, qualquer qu j a o valor do nume-
rador. 
23) Determinar p na equaçã 
2px -17 9 (2x - 1) 
----
10 20 
de modo que ela seja impo sível. 
Resolvamos a equação: 
4px - 34 9(2x - li.) 
20 20 
7px + 13 
5 --, 
28px + 52 
20 
ou 
4px - 34 - 18x + 9 = 28px + 52 ou 
PHOBLEMAS DE ÂLGEBH A 
4px - 18x - 28px = 52 + 34 -- 9 ou 
-24px-18x=77 ou -6(4p+3)x=77 e 
77, 
x=---
-6 (4p+3) 
97 
Para que o denominador da fra1ção, que repTesenta 
o valor de x, seja zero e a equação seja irmpossivel, 
torna-se necessário que: 
3 
p=-----
4 
24) Determinar m de modo que a equação 
2m (x-1) x (4m + 9) 3 (mx + 4) 
5 10 10 
s.ej a indeterminada. 
4m (x -1) 
10 
x(4m+9) 
10 
3 (mx + 4) 
10 
4mx - 4m - 4mx - 9x = 3mx + 12 ou 
4mx -- 4mx - 9x - 3mx = 12 + 4m ou 
- x (9 + 3m) = 12 + 4m ou 
12+ 4m 12+ 4m 
X=-----
9+am --(9 + 3m) 
ou 
Para que a equação seja indeterminada, deve-
mos ter: 
(a) 12 + 4m = O e (b) 9 + 3.m = O, isto é, 
m=-3 e m=-3 
Como o valor de m foi o mesmo para as duas con-
dições (a) e (b), segue-se que o valor de m que torna 
a equação indeterminada é - 3- Se os valôres de m, 
C'o M.TE t>Aui.o PESSOA 
aohados nas condições a e fJ , não fossem o nwsmo, o 
problema não podia ser sali sfeilo. 
25) Determinar m. e p d modo que seja indetermi-
nada a equação: 
X 
2m (5x - 1.6) - -- (4p - 1) = 
2 
Resolvendo a equação, vem: 
32 - 5x 
2 
4m (5x-16) ·- x (4p - 1) = 32 - 5x ou 
20mx - 64m - 4px + x = 32 - 5 x ou 
20mx - 4px + 5x + x = 32 + 64rn ou 
20mx - 4px + 6x = 32 + 64m ou 
x (20m - 4p + 6) = 32 + 64m ou 
32 + 64m 
x =------
20m - 4p + 6 
Para que a equação seja indeterminada, deve-
mos ter: 
(a) 32 + .64111 = O e (b) 20m - 4p + 6 = O 
A condição (a), dá: 
1 
m = 
2 
Substituindo-se êsse valor em m, na condição b, 
teremos: 
20 X ( - -~-) = 4p + 6 = O ou 
- 10 - 4p + 6 = O ou - 4p = - 6 + 10 on 
~ P= ·p - 1 - 4 ' - -
PnOBLEMAS DE ÁLGEBRA 99 
A condição é, pois: 
1 
e p = - 1 m = - 2 
26) Determinar m. e p de modo que a equação 
1 25p-2px + 20x 
2m (5x - 4) -
3 
(px + m) - ' 6 ~~ 
ej a impossível. 
Resolvendo a equação, vem: 
6 X 2m(5x - 4) - 6 X _!__ (px + m) = 2õp - 2px + 20x 
3 
60mx -- 48m - 2px - 2m = 25p - 2px + 20x 
60mx -- 2px + 2px - 20x = 25p + 48m + 2rn 
(60m - 20) X = 25p + 50m 
25p + 50m 
x= 
60m-20 
ou 
ou 
Para que haja impossibilidade torna-se necessá-
rio que: 
(a) 60m - 20 =O e (b) 25p + 50m =I= O. 
A primeira condição da: 
20 1 
m = ou m = 
60 3 
Empregando êsse valor de m, na condição (b), fica· 
mos em condições de ealcula.r p . 
Assim: 
1 
;25p + 50 X - - =I= O 
3 
100 COM.TE PAULO PESSOA 
50 
p =/= 
3 
25 
ou 
-50 2 
p =/= 
3X25 
ou p =/= -
3 
27) Qual o número que se deve escrever no lugar 
de m, na equação mx - 8 = 3x - 5, para que a mesma 
seja equivalente à equação:· 
X 1 
4 
x-1 
3 12 
Como foi dito no inicio do presente capítulo, duas 
equações são equiva~1entes quando se satisfaziem para as 
rn esm.as raizes. 
Resolvamos então a segunda equação do problema: 
3x 4x-4 1 
- -- -
12 12 l~ 
3x - 4x + 4 = 1 ou 
3x - 4x = 1 - 4 ou 
X=3 
ou 
Substituindo-se êsse valor, na primeira equação, 
vem: 
m X 3 - · 8 = 3 X 3 - 5 ou 
3m = 9 -5 + 8 ou 
3m = 12 e n1 = 12 
3 = 4 
PnOBLEMAS DE ÁLGEBRA 101 
EXERCíCIOS A RESOLVER 
Resolva as equações: 
1) 2x - 3- x + 18x + 41- 2- 6 + 20 + 6 =O 
RESP.: x=-1 
2) 2x - [3 - 2 (x + 1) 
-2 (3x + 1) 
(1 - 3x)] = 3 -
RESP.: X= 
1 
7 
X 2x-1 x+1 
3) -----
4 3 6 
2 
C. Naval - 1953 RESP.: x= 
7 
1 X 2 (5-2x) 
3 X 4) -(2--) 2 3 . 3 
[ 
1 . J 1 X 2x - -
4
- (2x + 3) + 3 -
4
-
REsP.: x = - 1 
5) +(X -- +) + ~- ( -~ - +) = 
8 
= 4---
9 
RESP.: x=5 
x-1 1 (X 4~- 14-2x) 6) 
4 8 5 
x-9 7 
2 8 , 
C. Naval - 1961 RESP.: X= 17 
102 
7) 
x + 1 
2 
Cül\f.TE PAtlLO PESSOA 
x - 1 
4 
= 1 
3 
4 
I. E. - 195'1 fuSP.: X= 4 
8) 
x+3 
2 
x+4 
+---+ 
3 
E. P. C. Exército - 1954 
x+ 5 = 16 
4 
REsP.: x=11 
l 1 . [ 1 J 9') ~ (x - 2) - S - x - g (2x - 1) = O 
12-x 
10) 2 - + 1 - x-2 
3 
RESP.: x=- 6 
5x-36 
=2 ----
4 
RESP.: X= 8 
11) 7(x-2) -[4+3x - 3(2 - x) ] = - 5 
RESP.: X= 7 
1 
12) x + -
3
- - 5 (x + 2) = 2x + 7 
25 
RESP. : X= - - - -. 9 
13) (x + 5) (x + 3) = (x - 1 ) (x + 12) 
REsP.: x = 9 
14) (3x + 1) (2x + 1) - 5 = .(3x + 2) .(2x - 1) 
RESP.: X= 
1 
2 
PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 103 
1 
1 1 
16) 
x - 3 3-x 
4 2 
17) 
:X:+ 3 x+1 
C. Naval - 1959 
1 
18) 7x -
3 
3 
9x -
4 
G. P. C. Ar. - 1952 
X 
- (x - 1) 19) 
2 
1 
- X 
2 
E. Aeronáutica - 1948 
20) 
x-3 
x+3 
x+3 
x - 3 
8 
5 
2 
x-2 
REsP.: x = 1 
2 
3 
1 
2 
RESP.: X= 6 
5 
2x+6 
1 
2 - 2-
2x+2 
RESP.: X= 1 
RESP.: X = 
2 
3 
13 
111 
RESP.: X= -4 
2 
x."l-9 
1 
REsP.: x = - ----"~ 
6 
104 COM.TE PAULO PESSOA PROBLEMAS DE ÁLGEBRA 105 
2x-1 x+l bx d a ex 29) ----21) = 1 h d x-3 x+3 a e 
9 ad 
RESP.: X= - RESP.: x--
bc 7 
22) 
y-:1 y+1 lly+ 8 X 3-2x2 3 
y -3 y+3 3y2 - 27 
30) 
2 6-4x 2x-3 
RESP.: y = 8 RESP.: X= - 1 
5x-1 5x-3 
23) 2 a 1 
(a =F O) 2x+3 2x-3 31) 
6 4-a2 x2 2+ax ax-2 
RESP.: X= ---
2 13 
3 2 6x RESP.: X= a-1 24) ----
x-2 x +2 x2 - 4 
RESP.: Impossível (x = 2) a-2x2 ax 2x (a =F O) 32) 
a2-ax x-a a 
y-1 1-y 2 
1 25) =1-
y+l y2+2y+1 (y + 1)2 RESP.: x ---· - 2-a 
RESP.: Lrnpossível (y =- 1) 
x2 - 3 4 - .x2 x-1 
26) (y-2) -1 - 3 = 3 (y + 1) - 1 
33) 
2x-2 3-3x 6 yz - y - 2 
RESP.: Impossível (y=2) 
RESP.: Impossível (x = 1) 
27) y (y - 1) . 1 = 1 -- 2y -1 a: a+2 2 =0 <a =F O) 34) + + ') x2 -ax a2 -ax ax 
RESP.: Y= 
3 R:EsP.: x=a - 2 
a b e 
+ + d 5 ~ 5 2 X X X 35) + + =0 
a+b+c 
x2 -3x 9-3x 3x 
RESP.: X= RESP.: Impossível (x = 0) d 
106 CoM.u PAULO PESSOA 
1