Função afim e Função quadrática

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MATEMÁTICA
Matemática
contexto e aplicações
Luiz Roberto Dante – 1º ano Ensino Médio
2º Bimestre – Função afim e Função quadrática
Neste bimestre foram trabalhados os temas:
Função afim
Gráfico da função afim
Inequações e sistemas de inequações do 1° grau
Função modular
Função quadrática
Gráfico da função quadrática
Vértice, imagem, valor máximo e valor mínimo da função quadrática
Matemática | CONTEXTO E APLICAÇÕES | Volume 1 | 2º Bimestre
Capítulo 3 – função afim e função modular
Função afim
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Valor numérico
f: ℝ→ℝ 
f(x) = ax + b, com a ∈ℝ, b ∈ℝ , para todo x ∈ℝ
O valor numérico de uma função afim f(x) = ax + b para 
x = xo é dado por f(xo) = axo + b
Na função afim f(x) = 5x + 1, o valor numérico da função quando x é igual a 1 é:
f(1) = 5 ⋅ 1 + 1 = 6
∴ f(1) = 6
Exemplo:
Professor, a partir da definição de função afim, comente os casos particulares: função constante, função linear e função identidade. Comente também que quando a ≠ 0, a função é denominada do 1° grau.
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Capítulo 3 – função afim e função modular
Gráfico de uma função afim f(x) = ax + b no plano cartesiano é sempre uma reta.
a = taxa de variação da função f ou declividade ou coeficiente angular da função em relação ao eixo horizontal Ox.
b = valor inicial da função ou coeficiente linear dessa reta.
Traçado de gráficos da função afim
Por se tratar de traçados de retas no plano cartesiano, basta conhecermos dois pontos distintos pertencentes a ela. Obtidos esses pontos, traçamos a reta.
Gráfico da função afim f(x) = ax + b
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Professor, lembre seus alunos que se atribuirmos o valor x = 0, encontramos y sobre o eixo das ordenadas e se atribuirmos o valor y = 0, encontramos x sobre o eixo das abscissas, ou seja, encontramos a intersecção da reta com os eixos coordenados.
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Capítulo 3 – função afim e função modular
É o valor de x para o qual a função f(x) = ax + b se anula, ou seja, para o qual f(x) = 0.
Para determinar o zero de uma função afim basta resolver a equação ax + b = 0.
Exemplo:
O zero da função f(x) = 2x − 5 é 
pois 2x − 5 = 0 2x = 5 x = 
Zero da função afim
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X = (zero da função)
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Professor, comente com seus alunos que o zero da função é também chamado de raiz da função.
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Capítulo 3 – função afim e função modular
Quando a função afim f(x) = ax + b tiver o valor a ≠ 0, dizemos que f(x) é uma função do primeiro grau.
Uma função do primeiro grau é crescente quando a > 0 e decrescente quando a < 0.
Estudo do sinal da função afim
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a < 0
a > 0
Dispositivo prático
f(x) = ax + b, a ≠ 0
Capítulo 3 – função afim e função modular
Utilizamos o estudo do sinal para resolver sistemas de inequações do 1º grau em ℝ. Por exemplo:
Sistema de inequações do 1º grau
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Devemos resolver simultaneamente as inequações 3x − 4 > 0 e −x + 5 ≥ 0. Assim, a solução do sistema será dada pela intersecção das soluções dessas duas inequações.
, para x ∈ℝ
3x − 4 > 0 ⇒ S1 =
−x + 5 ≥ 0 ⇒ S2 = {x ∈ℝ| x ≤ 5}
S1 ∩ S2 = S = ou
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Capítulo 3 – função afim e função modular
Dadas as funções f(x) e g(x)
São inequações produto dessas funções: f(x) ⋅ g(x) > 0; f(x) ⋅ g(x) ≥ 0; f(x) ⋅ g(x) < 0; f(x) ⋅ g(x) ≤ 0
Algumas inequações quocientes das funções: > 0; ≥ 0; < 0; ≤ 0, (g(x) ≠ 0)
Acompanhe a resolução da inequação produto (x − 2) ⋅ (1 − 2x) ≤ 0 
Inequações produto e inequações quociente
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I. f(x) = x − 2 II. g(x) = 1 − 2x
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Capítulo 3 – função afim e função modular
Precisam ocorrer simultaneamente:
I. f(x) ≥ 0 para x ≥ 2 e g(x) ≤ 0 para x ≥
II. f(x) ≤ 0 para x ≤ 2 e g(x) ≥ 0 para x ≤ 
A determinação do conjunto solução é obtida usando o quadro de sinais a seguir.
Inequações produto e inequações quociente
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S = 
 
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Capítulo 3 – função afim e função modular
f: ℝ→ℝ
f(x) = |x|, em que |x| = 
Função Modular
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Observação: Para 
x < 0, temos o gráfico da função afim f(x) = −x e, para x ≥ 0, temos o gráfico da função afim f(x) = x
Gráfico da função f(x) = |x|
Gráficos das funções: f(x) = |x|; g(x) = |x| +2 e h(x) = |x| − 2
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Capítulo 3 – função afim e função modular
Construção do gráfico da função MODULAR
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Se x ≥ 0 ⇒ f(x) = |x| = x
Se x ≤ 0 ⇒ f(x) = |x| = −x
Colocando as duas condições em um só gráfico, temos o gráfico de f(x) = |x|
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Capítulo 4 – função quadrática
Função quadrática
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onde x’ e x’’ são as raízes da equação ax² + bx + c = 0
f: ℝ→ℝ
 + bx + c, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0
Forma fatorada do trinômio
 
Zeros (ou raízes) da função quadrática
Fatorar significa escrever sob a forma de produto.
 e , onde - 4ac
 + b + c = a ( - ’) . ( - ”), a 
Professor, comente com seus alunos que a função quadrática também recebe o nome de função do 2° grau.
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Capítulo 4 – função quadrática
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Gráfico da Função quadrática f(x) = ax2 + bx + c
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
O parâmetro b indica onde a parábola intersecta o eixo y. 
O parâmetro a é responsável pela concavidade e abertura da parábola.
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Professor, comentar que se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas (corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos); se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (corta o eixo das abscissas num único ponto); se Δ < 0, a função não possui raízes reais não intercepta o eixo das abscissas).
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Capítulo 4 – função quadrática
Exemplo:
O gráfico seguinte é o da função f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 
Gráfico da Função quadrática f(x) = ax2 + bx + c
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O vértice V de uma parábola é seu ponto mais baixo quando a > 0 (ponto mínimo) ou seu ponto mais alto, quando
 a < 0 (ponto máximo) e é dado por: 
I. a < 0, pois a concavidade está para baixo.
II. c > 0 pois f(0) = c e a parábola corta o eixo vertical em sua parte positiva.
III. A abscissa do vértice é dada por .Portanto a e b têm sinais iguais quando a abscissa do vértice é negativa e têm sinais diferentes quando a abscissa do vértice é positiva.
Então, nesse caso, a e b têm sinais contrários pois a abscissa do vértice é positiva. Como a < 0, temos b > 0 
V, 
Professor, comentar que se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas (corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos); se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (corta o eixo das abscissas num único ponto); se Δ < 0, a função não possui raízes reais não intercepta o eixo das abscissas).
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Capítulo 4 – função quadrática
f(x) = ax2 + bx + c , a ≠ 0 intersecta o eixo y no ponto (0, c)
Se Δ = 0, f(x) possui uma raiz real dupla (a parábola intersecta o eixo x num só ponto).
Se Δ > 0, f(x) possui duas raízes reais distintas (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos).
Se Δ < 0, f(x) não possui raízes reais (a parábola não intersecta o eixo x).
Determinação algébrica das intersecções da parábola com os eixos
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Capítulo 4 – função quadrática
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
Vértice da parábola, imagem e valor máximo ou mínimo da função quadrática
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Professor, comentar que se Δ > 0, a função possui duas raízes reais e distintas (corta o eixo das abscissas em dois pontos distintos); se Δ = 0, a função possui duas raízes reais e iguais (corta o eixo das abscissas num único ponto); se Δ < 0, a função não possui raízes reais não intercepta o eixo das abscissas).
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Capítulo 4 – função quadrática
ESTUDO DAS FUNÇões quadráticas
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1º caso: Δ > 0
f(x) = 0 para x = x” ou x = x’ 
f(x) > 0 para x < x” ou x > x’
f(x) < 0 para x” < x < x’ 
 
f(x) = 0 para x = x” ou x = x’
f(x) > 0 para x” < x < x’
f(x) < 0 para x < x” ou x > x’
 
Imagens: Banco de imagens/Arquivo da editora
Capítulo 4 – função quadrática
ESTUDO DAS FUNÇões quadráticas
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2º caso: Δ = 0
f(x) = 0 para x = x” = x				f(x) = 0 para x = x” = x’
f(x) > 0 para x ≠ x					f(x) < 0 para x ≠ x’
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Capítulo 4 – função quadrática
ESTUDO DAS FUNÇões quadráticas
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3º caso: Δ < 0
f(x) > 0 para todo x real 			f(x) < 0 para todo x real 
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Capítulo 4 – função quadrática
Dispositivo prático
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