trabalho e energia

Prévia do material em texto

Universidade de Santa Cruz do Sul 
Disciplina de Física – Mecânica Clássica e Ondulatória- 1º Semestre de 2020 
Profª. Cláudia Mendes Mählmann 
 
Trabalho e Energia 
 
Trabalho e Energia (grandezas escalares) estão entre os conceitos mais importantes da 
Física. Em Física, só há trabalho feito por uma força sobre um corpo quando o ponto de aplicação 
da força se desloca certa distância e há uma componente da força ao longo da trajetória do 
movimento. 
Ao conceito de trabalho está estreitamente associado o de energia, que é a capacidade de 
um sistema realizar trabalho. Quando um sistema realiza trabalho sobre outro, há transferência de 
energia entre os dois sistemas. 
Um dos princípios mais importantes da Ciência é o da conservação de energia: a quantidade 
de energia total de um sistema, mais as das suas vizinhanças não se alteram. Quando a energia 
de um sistema diminui, há sempre o aumento correspondente da energia das vizinhanças, ou de 
outro sistema. Em sistemas mecânicos a energia mecânica total é igual à soma da energia cinética 
e da energia potencial do corpo, e isto é igual a um valor constante (Lei da Conservação da Energia 
Mecânica). 
Há muitas formas de energia. A energia cinética está associada ao movimento de um corpo. 
A energia potencial é a energia armazenada em um sistema e associada à configuração do sistema, 
como por exemplo, a distância entre um corpo e a terra. 
 
Trabalho e Energia Cinética 
 
Define-se trabalho (W) realizado por uma força sobre um corpo como o produto da força pelo 
deslocamento do ponto de aplicação da força. Se a força e o deslocamento estiverem em direções 
diferentes, somente a componente da força na direção do deslocamento é que realiza trabalho. O 
trabalho é uma grandeza escalar que é positiva quando o deslocamento e a força têm mesmo 
sentido (força é a favor do movimento), e negativo quando tiverem direções opostas (força contrária 
ao movimento), e é nulo quando a força for perpendicular ao movimento. 
 
W = F.cos.x = Fx. x unidade: F (N) e x (m) ---N.m--- W (J) 
 
Quando uma força atua sobre um corpo causando um movimento deste, esta força está 
realizando trabalho, e como só esta força está atuando sobre o corpo no plano horizontal, e este 
corpo adquire certa velocidade v, este corpo adquire, portanto certa energia cinética Ec ou K (que 
é resultado do trabalho da força), portanto: 
 
W= Ec 
como 
v² = vo² + 2a x, e F = m.a 
chega-se a definição matemática: 
𝐄𝐜 =
𝟏
𝟐
. 𝐦. 𝐯𝟐 
 
Cada força, em um sistema, realiza um trabalho, que pode ser determinado para cada uma. 
Sendo uma grandeza escalar, em um sistema, o trabalho total pode ser determinado pela soma 
dos trabalhos realizados por cada força (cuidar sinais), ou ser determinada a força resultante, e 
então com esta determinar o trabalho total. 
Teorema da Energia Cinética (Teorema do Trabalho-Energia) 
“O trabalho total efetuado sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula” 
 
Wtotal= Ec= 1/2mvf²-1/2mvi² 
Exemplos: 
a) Trabalho realizado por diversas forças – Um fazendeiro engata um trenó carregado de 
madeira ao seu trator e puxa até uma distância de 20 m ao longo de um terreno horizontal (figura 
que segue). O peso total do trenó é de 14.700 N. O trator exerce uma força constante de 5.000 N, 
formando um ângulo de 36,9o acima da horizontal. Ainda, existe uma força de atrito de 3.500 N. 
Calcule o trabalho que cada força realizada sobre o trenó e o trabalho total realizado por todas as 
forças. 
 
 
b) Trabalho e energia para calcular a velocidade. Do exemplo anterior, suponha que a 
velocidade inicial é 2 m/s, qual é a velocidade do trenó após o deslocamento de 20 m? Usar g = 
9,8 m/s2. 
 
 
 
Trabalho de uma Força variável 
 
Muitas forças não são constantes, mas variam com a posição, como por exemplo, força em 
uma mola, força gravitacional, entre outras. 
Para uma força constante representa-se graficamente a sua 
atuação como apresentado na Figura ao lado, onde se verifica 
que o trabalho pode ser determinado pela área do gráfico. 
Para forças variáveis, Figura abaixo, como a exemplificada no 
gráfico abaixo, pode-se proceder pela determinação da área de 
pequenos intervalos, o trabalho total é a área total do gráfico. 
 
 
A área da curva Fx contra x do gráfico da força variável pode ser 
determinada por: 
𝑊 = lim
∆𝑥→0
∑ 𝐹𝑥
𝑖
∆𝑥𝑖 
Este limite é a integral de Fx sobre x. 
𝑊 = ∫ 𝐹𝑥
𝑥2
𝑥1
𝑑𝑥 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝐹𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎 𝑥 
 
Em um gráfico da força em função da posição, o trabalho total realizado pela força é representado 
pela área abaixo da curva entre a posição inicial e a posição final. Uma interpretação alternativa 
para isto é que o trabalho é igual à força média no intervalo considerado, multiplicada pelo 
deslocamento. 
Para o caso de molas (força varia com o deslocamento da extremidade da mola) tem-se que a força 
aplicada é �⃗� = 𝑘. �⃗� (Lei de Hooke). Como para esticar ou comprimir uma mola se realiza trabalho, 
tem-se: 
W = ∫ Fx
x2
x1
dx = ∫ k. x dx =
x
0
1
2
. k. x2 onde x = x 
 
Esta equação representa que o trabalho realizado é a força média (k.x/2) multiplicada pelo 
deslocamento total (x). Pode-se também determinar a área do gráfico. 
Quando uma força é aplicada para esticar uma mola que está inicialmente em repouso, a força 
aplicada na extremidade da mola (que não é a aplicada pela mola) está no mesmo sentido do 
deslocamento, e o trabalho produzido por quem aplicou esta força, é positivo (F>0; x>0; W>0). E, 
por outro lado, o trabalho que a mola realiza sobre o corpo é negativo. Assim, ao puxar a mola ela 
realiza um trabalho negativo sobre quem a puxou. 
 
Trabalho e Energia em Sistemas de Partículas: Energia Potencial 
 
Em muitos casos, o trabalho feito sobre um sistema não provoca modificações da energia 
cinética do sistema, mas é armazenado na forma de energia potencial (U). 
Como a força da gravidade é uma força conservativa, em geral tem-se: Uma força é 
conservativa se o trabalho total que ela efetua sobre uma partícula, quando a partícula se desloca 
sobre qualquer trajetória fechada e retorna à sua posição inicial, for nulo. 
Conclui-se então: O trabalho efetuado por uma força conservativa sobre uma partícula não 
depende da trajetória da partícula ao passar de um ponto para outro. 
 
U= U1 - U2 
 
U= m.g.h Energia potencial gravitacional 
 
𝐔 =
𝐤.𝐱𝟐
𝟐
 Energia potencial elástica (onde x = x) 
 
A energia potencial gravitacional é uma espécie de energia capaz de existir em estado de 
reserva, é associada a um corpo devido à posição que ele ocupa em relação a um nível de 
referência, como por exemplo, a superfície da Terra. 
A energia potencial elástica é a forma de energia que se encontra armazenada em um corpo 
elástico deformado, como, por exemplo, em uma mola comprimida ou distendida, ou em uma tira 
de borracha. Onde k é a constante elástica da mola. 
 
Energia Mecânica 
Denomina-se energia mecânica total de um corpo a soma das energias cinética e potencial, 
isto é: 
 
EM = Ec + U 
 
 
Princípio da Conservação da Energia 
 
De uma forma geral, pode-se colocar que: 
 
“A energia não se cria nem se destrói, apenas se transforma de um tipo em outro, em 
quantidades iguais.” 
Potência 
 
Define-se potência como o trabalho realizado por uma força (máquina) no intervalo de tempo 
gasto para realizá-lo, assim: 
http://m.g.h/
 
𝐏 = 
𝐖
∆𝐭𝐞𝐦𝐩𝐨
 
Quanto menor for o intervalo de tempo em que o trabalho é realizado, maior será a potência 
e vice-versa. Unidade: 1 Watt é a potência desenvolvida por uma máquina que realiza um trabalho 
de 1 Joule em 1 segundo. 
Se a potência é dada em Watts e o tempo em segundos, a unidade do trabalho é Joules, 
mas esta não é uma unidade muito prática, para aparelhos elétricos. Por isso, costuma-se utilizar 
o quilowatt como unidade de potênciae a hora como unidade de tempo, obtendo-se o quilowatt-
hora como correspondente unidade de trabalho, sua relação com o Joule é: 
1,0 kWh= 3.600.000 J 
 
Para corpos movendo-se com velocidade constante, pode-se determinar a potência, por: 
𝐏 = 
𝐅. ∆𝐱
∆𝐭𝐞𝐦𝐩𝐨
 
 
e, portanto: 
𝐏 = 𝐅. 𝐯 
 
Obs.: 1 HP (horse power) = 1,0138 cv (cavalo vapor) = 745,69987 W 
Rendimento 
 
Define-se rendimento r ou de uma máquina pela razão da potência útil que ela fornece e 
a potência total que ela consome, ou seja: 
 
 =
𝑃ú𝑡𝑖𝑙
𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎
=
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 ú𝑡𝑖𝑙
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
 O resultado obtido será um valor de zero a 1, e deve ser escrito na forma de percentual. 
 
Exercícios 
1 Uma força de 12 N atua sobre uma caixa, formando um ângulo de 20° com a horizontal. Qual o 
trabalho feito pela força ao deslocar a caixa sobre uma mesa, cobrindo a distância de 3 m? 
2 Uma menina de 50 kg corre a 3,5 m/s. Qual sua energia cinética? 
3 Uma caixa de 4 kg é suspensa a uma altura de 3m, a partir do repouso, por uma força aplicada 
de 60 N. Usar g = 10 m/s2. Achar: a) o trabalho feito pela força aplicada. b) a velocidade final da 
caixa. 
4 Se a massa de um trenó for de 5 kg e se um rapaz puxá-lo com uma força de 12 N, formando 30° 
com a horizontal, qual o trabalho feito pelo rapaz e a velocidade final do trenó depois de percorrer 
3 m, com a hipótese de partir do repouso e de inexistir atrito? 
5 Qual o fator de variação da energia cinética de um carro quando a sua velocidade for duplicada? 
6 Um automóvel com massa de 800 kg tem velocidade de 36 km/h quando é acelerado e, 
depois de percorrer um determinado deslocamento, está com velocidade de 108 km/h. 
Determinar: 
a) Sua energia cinética inicial; 
b) Sua energia cinética final; 
c) Qual o trabalho da força resultante que atua sobre o automóvel? 
7 Uma bala com 20g de massa atinge uma parede com velocidade de 600m/s e penetra, 
horizontalmente, 12 cm. Determine o valor médio da força de resistência exercida pela 
parede, para frear a bala. 
8 Um bloco de 4 kg está sobre uma mesa sem atrito e 
preso por uma mola horizontal que obedece à lei de 
Hooke e exerce sobre ele uma força F = - k.x; a 
constante da mola é 400 N/m. A mola está comprimida 
em x1 = - 5 cm. Achar: 
a) o trabalho feito pela mola sobre o bloco à medida que 
o bloco se desloca de x1 até sua posição de equilíbrio x2 = 0; b) a velocidade do bloco em x2 = 0. 
 
9 Uma força varia conforme a figura ao lado. a) Achar o trabalho efetuado 
pela força sobre uma partícula quando esta se desloca de 0 até 6m. b) 
Determinar a velocidade ao atingir o ponto 6m, para um corpo de 3 kg que 
sofre a ação desta força, e inicia o movimento a partir do repouso. 
 
 
10 Uma garota de 55 kg está no terceiro piso de um edifício, que fica 8 m acima do nível do 
solo. Qual a energia potencial do sistema garota-terra se: 
a) U for nulo no térreo; 
b) U for nulo no segundo piso, que está a 4m do nível do solo. 
11 Uma garrafa, de massa 0,35 kg, cai do repouso de uma prateleira que está a 1,75 m do piso. 
Achar a energia potencial inicial do sistema garrafa-terra, em relação ao piso, e a sua energia 
cinética ao atingir o solo. 
12 Uma mola de constante elástica k = 400N/m é comprimida 5 cm. Determine sua energia potencial 
elástica. 
13 Uma mola de constante elástica k= 600 N/m tem energia potencial elástica de 1.200 J. Calcule 
a sua deformação. 
14 Um ponto material de massa 5 kg é abandonado de uma altura de 45 m num local onde 
g=10 m/s². Calcule a velocidade do corpo ao atingir o solo. 
15 Uma esquiadora de massa 60 kg desliza em uma encosta, partindo do repouso de uma altura 
de 50 m. Sabendo que sua velocidade ao chegar ao fim da encosta é de 20m/s, calcule a perda de 
energia devido ao atrito. 
16 Um corpo de massa 2 kg e velocidade 5m/s se choca com uma mola de constante elástica 
20.000 N/m, conforme figura. O corpo comprime a mola até parar. Despreze os atritos. 
a)Qual a energia potencial armazenada na mola? 
b) Calcule a variação de comprimento da mola? 
 
 
17 Um móvel, inicialmente em repouso, parte de uma altura h em uma pista sem atrito, conforme 
figura abaixo. Sabendo que sua velocidade é de 20 m/s na altura h/2, calcule a altura h, em metros. 
 
18 Um automóvel desenvolve uma potência de 80 cv quando em trajetória retilínea, com velocidade 
constante de 108 km/h. Qual a intensidade da força de resistência do ar?( como o movimento é 
retilíneo uniforme, a força da resistência do ar é igual à força exercida pelo automóvel) 
19 Um automóvel com massa de 1.200 kg te velocidade de 144 km/h quando desacelerado e, 
depois de percorrer certo trecho, está com velocidade de 36 km/h. Determine: 
a) a sua energia cinética inicial. 
b) a sua energia cinética final. 
c) o trabalho realizado sobre o automóvel. 
d) se o automóvel percorreu 100 m nesse trecho, qual a intensidade da força resultante que atua 
sobre ele? 
20 Uma bala com 50 g de massa atinge uma parede a uma velocidade de 400 m/s e nela penetra, 
horizontalmente, 10 cm. Determine o valor médio da força de resistência exercida pela parede, para 
frear a bala. 
21 Suponha que um automóvel de massa 1.000 kg desenvolve uma potência de 60 cv, 
quando percorre uma trajetória retilínea com velocidade constante. Se a intensidade da 
resistência do ar que atua sobre o automóvel é de 1.471 N, qual a sua velocidade? 
22 Suponha que o conjunto mecânico de um automóvel de 1.000 kg tem um rendimento de 25%. 
Se o carro parte do repouso e atinge uma velocidade de 108 km/h em 10 s, qual a potência total 
que ele consome, em cavalos-vapor? 
 
Momento Linear 
 
Todo corpo que possui uma massa (m) e uma velocidade (v) possui momento linear (p). O momento 
linear, também chamado de Quantidade Movimento, é uma grandeza vetorial, de mesma direção 
e mesmo sentido do vetor velocidade. Momento linear é um conceito que foi criado para dar uma 
noção da dificuldade que se tem em parar um corpo em movimento. A unidade de medida do 
momento linear é kg m/s. 
𝑝 = 𝑚 . �⃗� 𝑬𝒄 = 
𝒑𝟐
𝟐.𝒎
 
Define-se o vetor força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que constitui a 
expressão da segunda lei de Newton. 
�⃗� = 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
 
Explicitando dp na definição de força 
𝑑𝑝 = 𝐹. 𝑑𝑡 
 
A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular da definição 
de força. 
�⃗� =
𝑑(𝑚. 𝑣)
𝑑𝑡
= 𝑚.
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 𝑚. 𝑎 
Substituindo (m.a) por Fres, obtém-se: 
�⃗�res = 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
 
Pela equação acima se pode afirmar que a força resultante que atua sobre uma partícula (corpo) é 
igual à taxa de variação, no tempo, do momento linear da partícula. O enunciado original de Newton 
para a segunda lei do movimento foi feita, na realidade, desta forma. 
O conceito de momento é importante, pois se não houver uma força externa atuando (modificando 
o estado de movimento) sobre um sistema de partículas, o momento total do sistema se conserva; 
isto é, permanece constante no decorrer do tempo. Assim, o momento total (P) do sistema é igual 
à soma dos momentos de cada partícula: 
𝑃 = ∑ 𝑚𝑖 
𝑖
. 𝑣𝑖 = ∑ 𝑝𝑖
𝑖
 
𝑬𝒄𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 = ∑
𝟏
𝟐
. 𝒎. 𝒗𝟐 = ∑
𝒑𝟐
𝟐. 𝒎
 
 
Pode-se dizer ainda que o momento total de um sistema é igual à: massa total (M) vezes a 
velocidade do centro de massa: 
 
𝑃 = ∑ 𝑚𝑖 
𝑖
. 𝑣𝑖 = 𝑀. 𝑣𝑐𝑚 
 
A definição física de centro de massa de um conjunto 
de partículas (m1 e m2), cujas posições podem ser 
representadas pelos pontos (x1 e x2) respectivamente, 
em relação a um referencial inercial (posições relativas 
a um observador que seja ele próprio uma partícula ou 
sistema livre). Centro de massa é a posição definida 
por: 
𝑥𝑐𝑚 = 
𝑚1.𝑥1+𝑚2.𝑥2
𝑚1+𝑚2
 
 
Quando se tem duas partículas de massas m1 e m2, sendo m1 maior que m2, a posição do centro 
de massas do sistema estará mais próxima da massa maior.Em geral, a posição rcm do centro de massa de um sistema de N 
partículas, em uma dimensão, é: 
onde mi = M 
 
 
O centro de um sistema de mais partículas dispostas no plano cartesiano é obtido pela 
determinação de cada coordenada separadamente. Para a definição do centro de massa de um 
sistema, de N partículas distribuídas em um plano, considera-se que: 
 
Ainda, o vetor posição do centro de massa (rcm) pode ser expresso pela equação: 
 
Exemplo 1: Quais são as coordenadas do centro de 
massa das três partículas que aparecem no desenho a 
seguir? 
 
 
A velocidade do centro de massas vcm é obtida derivando a equação da posição com relação ao 
tempo, obtendo-se: 
𝑣𝑐𝑚 =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑣𝑖
𝑁
1
∑ 𝑚𝑖
𝑁
1
=
𝑃
𝑀
 
No numerador tem-se o momento linear total e no denominador a massa total do sistema de 
partículas. 
A aceleração do centro de massa é obtida derivando a equação da velocidade em relação ao 
tempo, obtendo-se: 
𝑎𝑐𝑚 =
∑ 𝑚𝑖 . 𝑎𝑖𝑖
∑ 𝑚𝑖𝑖
=
𝐹𝑟𝑒𝑠
𝑀
 
O centro de massas de um sistema de partículas se move como se fosse uma partícula de massa 
igual a massa total do sistema sob a ação da força externa aplicada ao sistema. 
Em um sistema isolado Fres = 0 o centro de massas se move com velocidade constante vcm=cte, 
pois a aceleração é nula. 
 
Impulso e quatidade de movimento 
 
O impulso de uma força, devido à sua aplicação em certo intervalo de tempo, é igual a variação da 
quantidade de movimento do corpo ocorrida neste mesmo intervalo de tempo. 
I⃗ = F⃗⃗. ∆t ou ainda I⃗ = ∆p⃗⃗ = p⃗⃗final − p⃗⃗inicial = m. ∆v 
O impulso pode ser determinado pela área de um gráfico F x t. Unidade a ser usada: mesma do 
momento ou N.s. 
Exemplo 2: Quanto tempo deve agir uma força de intensidade 100N sobre um corpo de massa 
igual a 20kg, para que sua velocidade passe de 5m/s para 15m/s? 
 
Lei da conservação do momento 
 
Se a força externa resultante que atua sobre uma sistema for nula, a velocidade do centro de massa 
do sistema é constante e o momento total do sistema se conserva, isto é, permanece constante. 
𝑃 = ∑ 𝑚𝑖 𝑖 . 𝑣𝑖 = 𝑀. 𝑣𝑐𝑚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
 
 
Esta lei é uma das mais importantes da física. Tem aplicação mais ampla que a lei da conservação da 
energia mecânica, pois as forças exercidas por uma partícula do sistema sobre as outras podem 
não ser conservativas. Assim, estas forças internas podem alterar a energia mecânica total do 
sistema, mas não podem alterar o momento total do sistema, pois sempre ocorrem aos pares. A 
conservação do momento é especialmente útil na análise das colisões. Esta pode ser analisada 
em x e em y separadamente. 
Em uma colisão o momento linear é conservado, mas a energia cinética depende do tipo de colisão: 
Colisões elásticas - Em uma colisão elástica a energia cinética, a energia total e o momento linear 
do sistema de corpos permanecem os mesmos antes e depois da colisão. Diz-se que houve 
conservação de momento linear e energia. A velocidade relativa de aproximação dos corpos é igual 
à velocidade relativa de afastamento. 
Colisões parcialmente elásticas (inelásticas)- A Energia cinética do sistema não se conserva. Na 
natureza é difícil de encontrar colisões perfeitamente elásticas, encontramos normalmente as 
parcialmente elásticas. Isto ocorre devido à existência de forças dissipativas durante o processo de 
colisão, como o atrito ou a deformação dos corpos, que sempre consomem uma parte da energia 
cinética original. Ainda, se ocorrer conversão de energia potencial em cinética durante a interação, 
aumentando a energia cinética total final do sistema. A velocidade relativa de aproximação dos 
corpos é diferente da velocidade relativa de afastamento. 
Colisões perfeitamente inelásticas - Em uma colisão perfeitamente inelástica a energia cinética do 
sistema não se conserva, e os corpos seguem com a mesma velocidade (unidos) após a colisão. 
Ainda existem os choques superelásticos, onde a velocidade relativa de afastamento entre os 
corpos é maior que a de aproximação. Nesta caso, há aumento de energia no sistema, e como 
exemplo tem-se reações atômica ou nucleares. 
 
Exemplo 3: Um homem de massa 70 kg e um menino de 35 kg estão de pé sobre uma superfície 
gelada lisa, na qual o atrito é desprezível. Quando um empurra o outro, afastando-se, o homem 
adquire uma velocidade de 0,3 m/s em relação ao gelo. Qual o afastamento entre os dois depois 
de 5 s? Achar a energia cinética do sistema homem-menino? 
Exemplo 4: Uma bala de massa 0,01 kg está com velocidade horizontal de 400 m/s e penetra em 
um bloco de massa 0,39 kg, que estava inicialmente em repouso sobre uma mesa sem atrito. 
Determinar: a) a velocidade final da bala e do bloco? b) a energia mecânica inicial e final do sistema 
bala-bloco. 
 
 
Existem duas formas simples de movimentos para um sistema rígido, translação e rotação, 
e qualquer outra forma de movimento possível, pode sempre ser considerada como a superposição 
de uma rotação e uma translação. 
Translação - é o movimento de um corpo, no qual qualquer linha reta desenhada no mesmo 
permanece paralela a si mesma. 
Rotação - No movimento de rotação todos os pontos do corpo se movem em circunferências, 
cujos centros estão numa mesma reta, chamada de eixo de rotação. 
 
Momento de uma força - Rotação 
 
Define-se momento de uma força como a tendência de uma força F fazer girar um corpo rígido em 
torno de um eixo fixo. Depende do módulo de F e da distância de F em ao eixo fixo. Considera-se 
uma força F que atua em um corpo rígido fixo no ponto O como indicado na figura. 
A força F é representada por um vetor que define seu 
módulo, direção e sentido. O vetor d é a distância 
perpendicular de O à linha de ação de F. Define-se o 
momento escalar do vetor F em relação a O, como sendo: 
MO = Fxd 
onde: MO = momento escalar do vetor F em relação ao ponto 
O. O = pólo ou centro de momento. d= distância 
perpendicular de O à linha de ação de F, também chamada 
de braço de alavanca. 
 
O momento MO é sempre perpendicular ao plano que contém o ponto O. O sentido de MO é definido 
pelo sentido de rotação imposto pelo vetor F. 
Convenciona-se momento positivo se a força F tender a girar o corpo no sentido 
anti-horário e negativo, se tender a girar o corpo no sentido horário. Isto precisa 
ser cuidado quando se tem mais forças (que concorrem entre si) agindo em um 
mesmo corpo. 
 
No SI a força é expressa em newtons (N) e a distância em metros (m), portanto, o momento é 
expresso em newtons × metros (N × m). 
 
Momento de um sistema de forças coplanares 
Chama-se Momento de um sistema de forças coplanares S={(F1,A1),....,(Fn,An)} em relação ao 
ponto O, à soma algébrica dos Momentos de cada força em relação ao mesmo ponto O. 
 
 
 
Momento de um binário 
Duas forças de mesma intensidade, mesma direção, sentidos 
opostos e aplicada em pontos distintos de um mesmo corpo 
formam um binário. A soma das componentes das duas forças 
em qualquer direção é zero. 
 
Entretanto, a soma dos momentos das duas forças em relação a um dado ponto não é zero. Apesar 
de as duas forças não transladarem o corpo no qual atuam, tendem a fazê-lo girar. 
 
Equilíbrio Estático de um Corpo Extenso 
As condições necessárias e suficientes para que um corpo extenso, isto é, de dimensões não 
desprezíveis, se mantenha em equilíbrio estático são: 
Condição 1ª - A resultante de todas as forças que nele agem é nula. Esta condição faz com que o 
corpo não tenha movimento de translação. FR = 0, FRx = 0 e FRy= 0; 
Condição 2ª - A soma algébrica dos momentos de todas as forças que nele atuam em relação a 
um mesmo ponto é nula. Esta condição faz com que o corpo não tenha movimento de rotação. 
 M = 0 
Exemplos 
1 Considerado a distância entre os pontos, A e B, de aplicação das forças (para cada caso) de 16 
cm. Determine o momento do binário nas situações apresentadas: 
a) b)2 Determinar o momento em A devido ao binário de forças 
ilustrado na figura. 
 
 
 
Máquinas Simples 
 Máquinas são dispositivos criados pelos homens com o objetivo de auxiliar na execução de tarefas. 
Utensílios, ou ferramentas, como alicate, pinça, martelo, torneira, saca-rolhas, polias, ajudam na 
realização de tarefas do dia a dia. Esses utensílios são também chamados de máquinas simples. 
As máquinas, em geral, têm como objetivo diminuir a força aplicada, facilitando a execução de uma 
tarefa. 
As máquinas simples mais comuns são a talha exponencial (associação de polias móveis) e a 
alavanca. 
Talha exponencial – consiste na associação de polias móveis com apenas uma fixa. Neste caso a 
força motriz que uma pessoa deve exercer para sustentar um peso R (força resistente), com n 
polias móveis, fica: 
Fm = R 
 2n 
 
Vantagem mecânica da talha é a relação entre 
a força resistente e a força motriz: 
 
vantagem mecânica = R 
 Fm 
 
 
 
 
Alavanca – É uma barra rígida que pode girar em torno de um ponto fixo chamado ponto de apoio. 
Nas alavancas podemos identificar três elementos: a força potente ou motriz (a que a pessoa 
exerce), a força resistente (a do objeto que se quer deslocar ou quebrar) e o ponto de apoio. O tipo 
da alavanca depende da posição relativa desses três elementos. 
Os três tipos de alavancas existentes são: interfixa, interpotente e inter-resistente. 
• Na alavanca interfixa o ponto de apoio fica entre a força potente e a força resistente. Exemplo de 
alavanca interfixa (associação de duas alavancas): alicate e tesoura. 
• Na alavanca inter-resistente a resistência fica entre o ponto de apoio e a força potente. Exemplo: 
carrinho de mão e quebra nozes. 
• Na alavanca interpotente a força potente fica entre o ponto de apoio e a resistência. Exemplo: 
vassoura e pegador de gelo. 
 
 
 
Na alavanca atuam três forças: 
Fm = força motriz ou força potente (esforço) 
R = força resistente (carga) 
N = força normal ao apoio. 
Sendo dAO = braço da força motriz e dOB = braço da força resistente. 
Para que uma alavanca permaneça em equilíbrio deve-se ter:  M = 0, para alavancas chega-se 
que o produto da força resistente pelo seu braço é igual ao produto da força motriz pelo seu braço. 
Fm x dAO = R x dOB 
 
Exercícios 
 
23 Achar o centro de massa das três partículas que aparecem na figura abaixo. 
 
24 Um haltere de massa desprezível possui uma haste de 30 cm de comprimento onde anilhas 
(pesos) podem ser fixadas. Se colocarmos uma anilha de 2,0 kg na extremidade esquerda do 
haltere e uma de 1 kg na extremidade direita, qual será o centro de massa do haltere? 
 
 
 
 
 
 
25 Determine as coordenadas do centro de massa dos sistemas de partículas que seguem. 
a) 
 
 
 
b) 
 
26 A distância entre o centro da Terra e o centro da Lua mede 3,8 x 105 km. A massa da Terra é 
82 vezes maior que a massa da Lua. A que distância do centro da terra encontra-se o centro de 
massa do sistema Terra-Lua. 
27 Um vagão aberto de Estrada de ferro tem 20 ton e rola sem atrito, sobre os trilhos, com a 
velocidade de 5 m/s, quando inicia uma chuvarada. Depois de o vagão ter colhido 2.000 kg de 
‘agua, qual a sua velocidade? 
28 Uma garota, de 50 kg, pula fora de uma canoa de 250 kg, que estava em repouso. Se a 
velocidade do pulo for 7,5 m/s para a direita, qual a velocidade da canoa logo após o pulo? 
29 Em um modelo de estrada de ferro, um vagão de 250 g, com velocidade de 0,5 m/s, engata em 
outro, de 400g, que estava inicialmente em repouso. Qual a velocidade dos dois vagões 
engatados? Qual a energia cinética total inicial dos dois vagões? 
30 Uma caldeira explode, partindo-se em três pedaços. Dois, de massas iguais, são arremessados 
em trajetórias perpendiculares entre si, com a mesma velocidade de 30 m/s. O terceiro pedaço tem 
uma massa três vezes à de um dos outros pedaços. Qual o módulo, direção e sentido de sua 
velocidade logo após a explosão? 
31 Dois corpos de massas m1= 2 kg e m2= 8kg se movimentam na mesma direção e sentido, com 
velocidades respectivamente igual a 10 m/s e 5 m/s. Admitindo que colidam elasticamente, calcular 
suas velocidades após o choque. 
http://www.infoescola.com/wp-content/uploads/2010/02/centro-de-massa9.jpg
32 Um projétil de 200g e velocidade de 150 m/s colide 
inelasticamente com um bloco de 3,8 kg e velocidade de 10 m/s 
(figura). Determinar: a) a velocidade do corpo após a colisão. B) 
a variação da energia cinética do sistema. 
 
 
33 Um projétil de massa m1 = 100g tem velocidade 200m/s quando encontra um pêndulo balístico 
(sistema usado para medir a velocidade de uma bala) de massa 1,9 kg, penetrando nele. 
Determine: a) a velocidade do conjunto após a colisão; b) a energia cinética dissipada; c) a altura 
que o pêndulo alcança após a colisão. 
 
34 Um projétil de 40 g atinge um bloco de 10 kg suspenso por 
dois fios de massas desprezíveis, e nele se encrava (figura). O 
bloco, recebendo o projétil, eleva-se de 20 cm (h) em relação à 
posição inicial. Qual a velocidade do projétil ao atingir o bloco? 
 
 
 
35 Um corpo A, de massa 3 kg e velocidade de 15 m/s, choca-se com outro de massa 2 kg e de 
velocidade 20 m/s, que se movia na mesma direção e sentido. Sabendo que os corpos passam a 
se mover juntos, determine a velocidade após o choque e a energia mecânica perdida. 
36 Um carro de 1.000kg está se deslocando de sul para norte com velocidade de 15 m/s quando 
colide com um caminhão de 2.000 kg que se desloca de oeste para leste a 10 m/s. Os dois veículos 
ficaram engavetados e passaram a se deslocar como um único corpo após a colisão. Qual a 
velocidade e a direção do movimento dos veículos após a colisão. 
37 Um corpo de massa 4kg, se desloca com velocidade constante igual a 10m/s. Um outro corpo 
de massa 5kg é lançado com velocidade constante de 20m/s em direção ao outro bloco. Quando 
os dois se chocarem ficarão presos por um velcro colocado em suas extremidades. Qual será a 
velocidade que os corpos unidos terão? 
38 Sobre uma partícula de 8 kg, movendo-se à 25 m/s, passa a atuar uma força constante de 
intensidade 2x102N durante 3 s no mesmo sentido do movimento. Determine a quantidade de 
movimento desta partícula após o término da ação da força. 
39 Com base no gráfico, determine o impulso produzido pela 
força no intervalo de tempo de 0 a 5s. 
40 Um corpo de massa 2,0kg é lançado verticalmente para cima, 
com velocidade escalar inicial de 20 m/s. Despreze a resistência 
do ar e considere a aceleração da gravidade com módulo g = 10 
m/s2. Qual o módulo do impulso exercido pela força-peso, desde 
o lançamento até atingir a altura máxima, em unidades do 
Sistema Internacional? 
 
41 Todo caçador, ao atirar com um rifle, mantém a arma firmemente apertada contra o ombro 
evitando assim o “coice” da mesma. Considere que a massa do atirador é 95 kg, a massa do rifle 
é 5 kg, e a massa do projétil é 15 g o qual é disparado a uma velocidade escalar de 3 x 104 cm/s. 
Nessas condições, a velocidade de recuo do rifle (vr) quando se segura muito afrouxamento a arma 
e a velocidade de recuo do atirador (va) quando ele mantém a arma firmemente apoiada no ombro 
terão módulos respectivamente iguais a: a) 0,90m/s; 4,7 x 10-2m/s; b) 90,0m/s; 4,7m/s; c) 90,0m/s; 
4,5m/s; d) 0,90m/s; 4,5 x 10-2m/s; e) 0,10m/s; 1,5 x 10-2m/s. 
42 De acordo com um locutor esportivo, em uma cortada do Marcelo Negrão (ex-jogador da Seleção 
Brasileira de Voleibol), a bola atingia a velocidade de 108 km/h. Supondo que a velocidade da bola 
imediatamente antes de ser golpeada seja desprezível e que a sua massa valha aproximadamente 
270 g, então o valor do impulso aplicado pelo Negrão à bola vale, em unidade do S.I., 
aproximadamente: a) 8,0 b) 29 c) 80 d) 120 e) 290. 
43 Um carrinho de massa igual a 1,50 kg está em movimento retilíneo com velocidade de 2 m/s 
quando fica submetido a uma força resultante de intensidade 4 N, na mesma direção e sentido do 
movimento, durante 6 s. Ao final dos6 s, a quantidade de movimento e a velocidade do carrinho 
têm valores, em unidades do SI, respectivamente, iguais a: a) 27 e 18; b) 24 e 18; c) 18 e 16; d) 6 
e 16; e) 3 e 16. 
44 Uma régua de 30 cm de comprimento é fixada numa parede no ponto 
O, conforme figura ao lado, em torno do qual ela pode girar. Calcule os 
momentos das forças F1 = 50N, F2 = 60N e F3 = 40N, em relação ao 
ponto O. 
45 A figura abaixo indica a posição de um braço humano que tem na 
palma da mão uma esfera de 4N. Calcule o momento dessa força em 
relação ao ponto O. 
 
 
 
 
46 Considerem-se as forças atuantes sobre a 
barra AB, de peso desprezível, indicadas na 
figura. Dados: F1 = 8N, F2 = 6N, F3 = 10N e F4 = 
20N. 
Determine: a) O momento de cada uma das 
forças em relação ao ponto O; b) O momento 
resultante em relação ao ponto O. 
 
47 Cada uma das forças exercidas pelo polegar e pelo indicador 
no fechamento de uma torneira tem intensidade de 6N. As forças 
são aplicadas em dois pontos distantes entre si 5 cm. Qual o valor 
do momento deste binário? 
 
 
48 Um homem e um menino se propõem a transportar um pedaço de madeira de 9m de 
comprimento e 500N de peso, cujo centro de gravidade está situado a 2m de uma das 
extremidades. Se o homem se colocar no extremo mais próximo do centro de gravidade, determine 
a posição que o menino deverá ocupar, a contar do outro extremo, para que faça um terço da força 
do homem. 
49 O corpo de 16.000N indicado na figura ao lado está em equilíbrio 
estático. Determine a intensidade de F e a vantagem mecânica da 
associação de roldanas. 
50 Um homem de massa 80kg quer levantar um objeto usando uma 
alavanca rígida e leve. Os braços da alavanca têm 1,0m e 3,0m. Qual 
a maior massa que o homem consegue levantar usando a alavanca 
e seu próprio peso? 
 
 
 
51 Os diagramas a seguir mostram pesos colocados sobre uma tábua apoiada em um pivô 
triangular. Podem ocorrer três situações: 
A – a tábua permanecer em equilíbrio na horizontal; 
B – a tábua tombar para o lado direito; 
C – a tábua tombar para o lado esquerdo. 
Para cada um dos 8 diagramas abaixo, verifique qual das situações ocorrerá: A, B ou C. 
a) 
 
e) 
 
b) 
 
f) 
 
c) 
 
g) 
 
d) 
 
h) 
 
 
52 Considerando as forças aplicadas na através da 
ferramenta da figura no parafuso, e Considerando as forças 
F1 = 10N, F2 = 20 N e F3 = 10 N, em relação ao ponto O. 
Determine: 
a) O momento de rotação de cada uma das forças em 
relação ao ponto O; 
b) O momento de rotação resultante em relação ao ponto 
O.