Apostila_Teoria das estruturas_Parte1_Final

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TEORIA DAS 
ESTRUTURAS I 
Parte 1 
Notas de Aula – CIV208 
 
 Ricardo Azoubel da Mota Silveira 
Colaboração: A ndréa R egina D ias da Silva 
B runo Palhares 
 
Departamento de Engenharia Civil 
 Escola de Minas 
Universidade Federal de Ouro Preto 
2008 
SUMÁRIO 
 
1. Introdução 
1.1. Engenharia Estrutural .................................................................................... 1 
1.2. Projetos de Engenharia ................................................................................ 16 
1.3. Análise Estrutural ......................................................................................... 16 
1.4. Importância: Teoria das Estruturas ............................................................... 17 
2. Fundamentos 
2.1. Sistema de Referência: Cartesiano .............................................................. 18 
2.2. Momento de uma Força/Regra da Mão Direita ............................................. 18 
2.3. Equações de Equilíbrio ................................................................................ 19 
2.4. Transmissão de Forças ................................................................................ 19 
2.5. Idealização: Modelos ................................................................................... 20 
2.6. Princípio da Superposição ........................................................................... 20 
2.7. Tipos de Esforços (Forças) Atuantes ........................................................... 20 
2.8. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 21 
2.9. Reações de Apoio ........................... ........................................................... 21 
2.10. Esforços (Forças) Seccionais ....................................................................... 22 
2.11. Convenção Clássica de Sinais ..................................................................... 22 
2.12. Classificação das Estruturas de Barras ........................................................ 23 
2.13. Vigas ............................................................................................................ 24 
2.13.1. Vigas Isostáticas .......................................................................................... 25 
2.13.2. Vigas Gerber ................................................................................................ 26 
3. Sistemas Estruturais 
3.1. Tipos de Apoio ............................ ............................................................... 27 
3.2. Vigas e Pórticos (Quadros) .......................................................................... 27 
3.3. Arcos ........................................................................................................... 31 
3.4. Treliças ........................................................................................................ 38 
3.5. Grelhas ........................................................................................................ 44 
4. Pórticos (Quadros) Isostáticos 
4.1. Introdução .................................................................................................... 49 
4.2. Pórticos Biapoiados ..................................................................................... 52 
4.3. Pórticos Engastados-Livres .......................................................................... 52 
4.4. Pórticos Triarticulados .................................................................................. 53 
4.5. Pórticos Biapoiados com Articulação e Tirante (Escora) .............................. 53 
4.6. Pórticos Compostos ..................................................................................... 54 
4.7. Estabilidade ................................................................................................. 59 
4.8. Grau de Indeterminação .............................................................................. 61 
4.9. Barras Inclinadas ......................................................................................... 63 
4.10. Pórticos com Barras Curvas (Arcos) ............................................................ 68 
4.11. Arcos Triarticulados ..................................................................................... 68 
4.12. Pórticos Espaciais ........................................................................................ 76 
Referências Bibliográficas ................................................................................. 79 
 
 
1. INTRODUÇÃO1. INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 1
• Passarelas
1.1. ENGENHARIA ESTRUTURAL
INTERFACE COM DIVERSAS DISCIPLINAS
a) Exemplos de projetos que envolvem Engenharia Estrutural
• Concepção
• Projeto
• Construção do sistema estrutural
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I
(Av. Nossa Senhora do Carmo, BH)
2
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 3
INTRODUÇÃO
Termoelétrica de Cogeração Cemig – V&M Tubes do Brasil
Teoria das Estruturas I 4
• Termoelétricas
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 5
• Parque de Exposições
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 6
• Pontes
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 7
Teoria das Estruturas I 8
INTRODUÇÃO
• Galpões
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 9
• Edifícios Residenciais
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 10
• Edifícios Comerciais
• Escolas
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 11
• Barragens
• Estruturas Offshore
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 12
• Estruturas Offshore
• Veículos
INTRODUÇÃO
Catedral Metropolitana - DF
Oscar Niemeyer
Teoria das Estruturas I
Millenium Dome Greenwich
Tensoestrutura
13
• Outros
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I
Pavilhão de Exposições em Leipzig
14
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I
Terminal Marítimo de Ponta da Madeira – CVRD
15
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 16
• Concepção 
• Projeto preliminar 
� Importante participação do engenheiro estrutural.
� Definição da construção propriamente dita (aço, concreto, madeira, bambu, 
alvenaria, tenso-estruturas, etc).
• Seleção
� Escolha da alternativa com melhor relação custo/benefício.
� Papel importante do eng. calculista.
• Projeto Final
� Análise estrutural precisa.
� Detalhamento completo com desenhos e especificações.
• Construção
� Fabricação e transporte quando necessário.
1.2. PROJETOS DE ENGENHARIA
� Em conjunto com o cliente, arquitetos, planejadores e outros.
� Época de grandes transtornos.
Processo pelo qual o Engenheiro Estrutural determina a resposta da estrutura a
partir de determinadas ações ou cargas.
1.3. ANÁLISE ESTRUTURAL
INTRODUÇÃO
Teoria das Estruturas I 17
Conceitos Fundamentais
Disciplinas Eletivas
1.4. IMPORTÂNCIA: TEORIA DAS ESTRUTURAS I
• Matriciais: A partir da utilização e evolução dos computadores. Por exemplo,
Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas (MDF) e
Método dos Elementos de Contorno (MEC).
• Clássicos: Surgiram da necessidade da época, com certo avanço tecnológico 
(Método de Cross).
Métodos de AnáliseMétodos de Análise
Serão apresentados os métodos matriciais com as suas respectivas formas de
programação.
Serão obtidos através dos métodos clássicos aplicados a problemas de pequeno
porte que deverão ser resolvidos manualmente.
2. FUNDAMENTOS2. FUNDAMENTOS
Teoria das Estruturas I 18
2.1. SISTEMA DE REFERÊNCIA: CARTESIANO
2.2. MOMENTO DE UMA FORÇA / REGRA DA MÃO DIREITA
FUNDAMENTOS
a. No plano
∑ XF = 0
∑ YF = 0
b. No espaço
∑ ∑ ∑X Y ZF = 0, F = 0, F = 0
∑ ∑ ∑X Y ZM = 0, M = 0, M = 0
∑ AM = 0
Estrutura
coluna
viga
laje
Fundações
Teoria das Estruturas I 19
2.3. EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO
2.4. TRANSMISSÃO DE FORÇAS
externos
seccionais ou solicitantes internos
ativos
reativos
permanentes
acidentais
estáticos
dinâmicos
Teoria das Estruturas I 20
FUNDAMENTOS
2.5. IDEALIZAÇÃO:MODELOS
2.6. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO
2.7. TIPOS DE ESFORÇOS (FORÇAS) ATUANTES
+=
P P
F F
Representação unifilar
Eixo geométrico
Seção Transversal
R R
R R
p
p
Representação adotada nesta 
apostilageométrico deformado
Tangente ao eixo
Barra deformada
R R
p
RRepresentações Denominações Reações Deslocamentos Livres
Articulado móvel ou apoio de 
rolete (no espaço 
bidimensional)
Vertical Horizontal e rotação
Articulado fixo (no espaço 
bidimensional)
Horizontal e vertical Rotação
Engaste ou fixo (no espaço 
bidimensional)
Horizontal, vertical e 
momento
Nenhum
Engaste no espaço
tridimensional
Forças e momentos 
segundo três eixos 
ortogonais
Nenhum
Articulado esférico fixo
Forças segundo três 
eixos ortogonais
Rotações
Articulado esférico móvel Vertical Horizontais e rotações
Luva ou com guia de 
deslizamento
Vertical e momento Horizontal
Patim
Horizontal e 
momento
Vertical
Teoria das Estruturas I 21
Denominações Reações
Articulado móvel (no plano XY)
Articulado fixo (no plano XY)
Engaste (no plano XY)
Engaste no espaço tridimensional
Articulado esférico fixo
Articulado esférico móvel
Luva
Patim
FUNDAMENTOS
2.8. TIPOS DE APOIO
2.9. REAÇÕES DE APOIO
• Esforço ou força normal N
• Esforço ou força cortante V
• Momento fletor M
• Momento de torção T
a) Deformações
Esforço normal Esforço cortante Momento fletor Momento de torção
Esforço normal
Momento fletor
Esforço cortante
Momento de torção
Teoria das Estruturas I 22
FUNDAMENTOS
Seção transversal
2.10. ESFORÇOS (FORÇAS) SECCIONAIS
2.11. CONVENÇÃO CLÁSSICA DE SINAIS
• Viga
• Pórtico (plano e espacial)
• Grelha
• Treliça (plana e espacial)
• Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos
(a) Viga biapoiada (b) Viga em balanço (c) Pórtico plano
(d) Pórtico espacial (e) Grelha
(f) Treliça plana (g) Treliça espacial
Teoria das Estruturas I 23
FUNDAMENTOS
2.12. CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS DE BARRAS
Em arco inferior
Em arco superior
(h) Mista com arcos, escoras, tirantes e/ou cabos
Em arco superior
Teoria das Estruturas I 24
FUNDAMENTOS
2.13. VIGAS
(a) Biapoiada (b) Em balanço
(c) Biengastada (d) Contínua de 2 vãos
P
P
p
p
pp
(e) Biapoiada com 1 balanço (f) Contínua de 2 vãos e 2 balanços
(g) Biapoiada com 2 balanços (h) Contínua de 3 vãos
P P
P
p
pp
p
a) Diagramas
Teoria das Estruturas I 25
FUNDAMENTOS
2.13.1. VIGAS ISOSTÁTICAS
(a) Biapoiada
P
(b) Em balanço
p
(c) Biapoiada com 1 balanço (d) Biapoiada com 2 balanços
p P
p
DMF DMF
DMF
Teoria das Estruturas I 26
FUNDAMENTOS
2.13.2. VIGAS GERBER
3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 3. SISTEMAS ESTRUTURAIS 
EM BARRASEM BARRAS
Articulado móvel 
(apoio do 1o gênero)
Articulado fixo
(apoio do 2o gênero)
Engaste
Teoria das Estruturas I 27
3.1. TIPOS DE APOIOS
3.2. VIGAS E PÓRTICOS (QUADROS)
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 28
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 29
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 30
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 31
3.3. ARCOS
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 32
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 33
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 34
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 35
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 36
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 37
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 38
3.4. TRELIÇAS
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 39
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 40
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 41
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 42
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 43
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 44
3.5. GRELHAS
(a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern(a) A grid derived from a three-way pattern (b) A grid derived from a four-way pattern
(c) Removal of dotted lines gives rise
to the pattern of the grid above
(d) Removal of dotted lines gives rise
to the pattern of the grid above
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 45
Open or grid type paving units which allows grass to grow up
through the regularly spaced openings
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 46
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 47
SISTEMAS ESTRUTURAIS EM BARRAS
Teoria das Estruturas I 48
4. PÓRTICOS (QUADROS) 4. PÓRTICOS (QUADROS) 
ISOSTÁTICOSISOSTÁTICOS
São estruturas reticuladas formadas por várias barras situadas num único
plano, com carregamento atuante no mesmo plano do sistema estrutural.
• Os nós entre as barras são LIGAÇÕES RÍGIDAS ou ROTULADAS.
• Esforços solicitantes numa dada seção: MOMENTO FLETOR (M),
ESFORÇO CORTANTE (V) e ESFORÇO NORMAL (N).
• Pórticos simples ou compostos.
• Barras retilíneas ou curvas (arcos).
Observações
Teoria das Estruturas I 49
a) Definição a) Definição 
b) Exemplos
Pórticos com barras retilíneas
4.1. INTRODUÇÃO
(a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e 
P P P
p
(a) Biapoiado (b) Triarticulado (c) Atirantado, biapoiado e 
articulação interna
(d) Em balanço (e) De múltiplos vãos (f) De múltiplis andares
P
P
P
P
P
P
p
p
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 50
Pórticos com barras curvas
Pórticos compostos
(a) Biapoiado (b) Biengastado com articulação
p
p
(a) Biapoiado
(c) Triarticulado
(b) Biengastado com articulação
(d) Atirantado
pp
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
1. Momento Fletor (DMF)
Teoria das Estruturas I
2. Esforços Cortantes (DEC) e Esforços Normais (DEN)
51
Pórticos espaciais
c) Diagramas de esforços solicitantes
Obtenção imediata dos diagramas a partir do conhecimento das reações de
apoio.
Obter os momentos fletores atuantes nos nós das barras e, em seguida, ligá-los
por uma linha reta tracejada. A partir dessa linha reta, penduram-se os
diagramas de vigas biapoiadas referentes aos carregamentos que atuam sobre
cada uma das barras que constituem o quadro.
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Teoria das Estruturas I 52
4.2. PÓRTICOS BIAPOIADOS
4.3. PÓRTICOS ENGASTADOS-LIVRES
C D E
H
F
A
G
H
B
DE F
A
C
B
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Teoria das Estruturas I
N
N
Es
co
ra
N
N
Tirante
53
a) Escoras e tirantes
4.4. PÓRTICOS TRIARTICULADOS
4.5. PÓRTICOS BIAPOIADOS COM ARTICULAÇÃO E TIRANTE (OU ESCORA)
Definição: Uma barra biapoiada sem carregamento aplicado diretamente sobre
ela que funciona como uma ligação do primeiro gênero, na qual surgem apenas
forças na direção do seu eixo (esforço normal).
Quando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando estáQuando a barra está COMPRIMIDA, diz-se que é uma ESCORA. Quando está
TRACIONADA, diz-se que é um TIRANTE.
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
b) Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN)
a) Definição: São estruturas formadas através de associações de quadros simples.
Quadro Composto
Teoria das Estruturas I
Quadros Simples
54
4.6. PÓRTICOS COMPOSTOS
C
D
E F
A
C
D
B
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 55
b) Solução
1. Decompor o quadro composto original em quadros simples.
2. Verificar quais os quadros com e sem estabilidade própria.
3. Resolver primeiro os quadros simples sem estabilidade própria para o
carregamento atuante sobre eles.carregamento atuante sobre eles.
4. Resolver em seguida os quadros simples com estabilidade própria para o
carregamento atuante sobre eles, acrescidos das forças transmitidas pelas
rótulas.
Quadro Composto
Quadros Simples
Exemplos:
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOSTeoria das Estruturas I 56
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 57
Quadro Composto
Quadros Simples
Quadro Composto
Quadros Simples
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
c) Exemplo
Quadro Composto
Teoria das Estruturas I 58
: Pede-se as reações e os diagramas (DMF, DEC e DEN).
Quadro Composto
Quadros Simples
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
4.7. ESTABILIDADE
Está relacionado com as restrições impostas à estrutura (vigas, quadros,
pórticos, etc), ou se a estrutura é geometricamente instável ou estável.
Restrições Parciais
Restrições Inadequadas
Teoria das Estruturas I
r = número de incógnitas (reações e forças)
n = número de partes do sistema estrutural
As reações são concorrentes (as linhas de ação das reações se interceptam
um ponto em comum) ou são paralelas.
Situações
59
a) Conceito Básico
<r 3n
≥r 3n
Restrição Parcial
Restrição Inadequada
Restrição Inadequada
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 60
1. Restrições Parciais:
2. Restrições Inadequadas:
<r 3n
≥r 3n
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
(c)
(a)
(b)
(d)
(e)
1. Estrutura Estaticamente Determinada
Teoria das Estruturas I
2. Estrutura Estaticamente Indeterminada
r = número de incógnitas (reações e forças)
n = número de partes do sistema estrutural
61
f) Aplicação
4.8. GRAU DE INDETERMINAÇÃO
a) Conceito Básico
=r 3n
>r 3n
Todas as forças (reações e esforços internos) podem ser avaliadas através das 
equações de equilíbrio da mecânica clássica.
As estruturas (vigas, quadros, pórticos, etc) têm mais forças incógnitas do que 
equações de equilíbrio da mecânica clássica.
Classifique cada uma das estruturas a seguir como estável ou instável. As
estruturas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e que podem
atuar em qualquer lugar.
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 62
b) Aplicação
Classifique cada uma das vigas a seguir como estaticamente determinada ou
estaticamente indeterminada. Se estaticamente indeterminada avalie o grau de
indeterminação. As vigas são submetidas a carregamentos externos conhecidos e
que podem atuar em qualquer lugar.
(e)
(a) (b)
(c)
(d)
(f) (g)
(h) (i)
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
a) CASO A: Força distribuída em uma barra inclinada 
Teoria das Estruturas I 63
4.9. BARRAS INCLINADAS
(j) (k)(j) (k)
(l)
1 x y
1
p p= �
� �
�
1
pp xy2 =Definição de p1 e p2:
Definição de p3 e p4: 3 1 2p p sen p cos= α + α
4 1 2p p cos p sen= − α + α
2
2
x
y2
2
y
x3 ppp
�
�
�
�
+=
2
yx
y2
yx
x4 ppp
�
��
�
��
+−=
e
�
� xcos =α
�
� y
sen =α
�
sen =α
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
b) CASO B: Força distribuída transversal em uma barra inclinada
c) Exemplo 1: Pórtico plano biapoiado com uma barra inclinada.
Teoria das Estruturas I
(i) Reações
∴ AR = 55,625 kN
∴ BR = 74,375 kN
64
cos 3 / 5 0,6α = =
sen 4 / 5 0,8α = =
�
� xcos =α
�
� y
sen =α
�
sen =α
�
� y
331 psenpp =α=Definição de p1 e p2:
�
� x
332 pcospp =α=
y
1x pp
�
�
=
x
2y pp
�
�
=
3
y
y
3
y
1x pppp ===
�
�
�
�
�
�
3
x
x
3
x
2y pppp ===
�
�
�
�
�
�
Definição de p3 e p4:
e
B AM 0 R 8 30(1,5 5) 20 5 2,5 0= ∴ ⋅ − + − ⋅ ⋅ = ∴∑
Y A BF 0 R R 30 20 5 0= ∴ + − − ⋅ = ∴∑
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
(ii) Esforços solicitantes
• Momento Fletor
• Esforço Cortantes e Normais
Teoria das Estruturas I 65
DMF (kNm)
DMF
Viga auxiliar
DMF
� Seção A:
� Seção Cd:
A AV R cos 55,625 0,6 33,375 kN= α = ⋅ =
A AN R sen 55,625 0,8 44,5 kN= − α = − ⋅ = −
C' AV V 30cos 33,375 30 0,6 15,375 kN= − α = − ⋅ =
N N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = −
cos 3 / 5 0,6α = =
sen 4 / 5 0,8α = =
� Seção Dd:
� Seção B:
D AV R 30 55,625 30 25,625 kN= − = − =
DN 0=
B D BV V 20 5 25,625 100 74,375 kN R= − ⋅ = − = − = −
BN 0=
DEC (kN)
DEN (kN)
C' AN N 30sen 44,5 30 0,8 20,5 kN= + α = − − ⋅ = −
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 66
d) Exemplo 2: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída 
na horizontal.
e) Exemplo 3: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída 
na vertical.
DMF DEC DEN
Viga auxiliar
DMF DEC DEN
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 67
DMF DEC DEN
f) Exemplo 4: Barra biapoiada inclinada sob força horizontal uniformemente distribuída
ao longo do comprimento da barra.
g) Exemplo 5: Barra biapoiada inclinada sob força vertical uniformemente distribuída
ao longo do comprimento da barra
DMF DEC DEN
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 68
4.10. PÓRTICOS COM BARRAS CURVAS (ARCOS)
4.11. ARCOS TRIARTICULADOS
Exemplo: Pede-se as reações e os diagramas de esforços (DMF, DEC e DEN).
P
s
A B
θ
R
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Arco: X,Y, A, B, VA, VB, MS, NS, VS
Viga: x, y, a, b, Va, Vb, Ms, Ns, Vs
Notação
Teoria das Estruturas I 69
a) Estudo
b) Viga biapoiada de substituição
1. Arcos triarticulados com carregamentos atuantes em todas as direções: princípios 
gerais da Estática já utilizados.
2. Arcos triarticulados com carregamentos verticais: Viga biapoiada de substituição.
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
= ⇒ α − α = ∴ = =∑ ' ' ' ' 'X A B A BF 0 H cos H cos 0 H H H
Y A B i
i
F 0 V V P 0
 
= ⇒ + − = 
 
∑ ∑
( ) ( ) = ⇒ + − + − = ∴ ∑ ∑M 0 V l l P l l x 0
(1)
(2)
( ) ( )
( )
( )
 = ⇒ + − + − = ∴ 
 + − 
=
+
∑ ∑
∑
B A 1 2 i 1 2 i
i
i 1 2 i
i
A
1 2
M 0 V l l P l l x 0
P l l x
V
l l
(3)
Substituindo (3) em (1):
( )
( )
i 1 2 i
i
B i A B i
i i 1 2
P l l x
V P V V P
l l
 + − 
= − ∴ = −
+
∑
∑ ∑ (4)
( )
( )
e
A 1 i 1 i
' ' i
A 1 i 1 iG
i
V l P l x
M 0 V l H cos f P l x 0 H
f cos
 − − 
 = ⇒ − α − − = ∴ =  α
∑
∑ ∑ (5)
y a b i
i
F 0 V V P 0
 
= ⇒ + − = 
 
∑ ∑ (6)
(7)
Substituindo (7) em (6):
( ) ( )
( )
( )
b a 1 2 i 1 2 i
i
i 1 2 i
i
a
1 2
M 0 V l l P l l x 0
P l l x
V
l l
 = ⇒ + − + − = ∴ 
 + − 
=
+
∑ ∑
∑
Teoria das Estruturas I
Substituindo (7) em (6):
(8)
( )g a 1 i 1 i
i
M V l P l x = − − ∑ (9)
Momento fletor no ponto g:
( )
( )
i 1 2 i
i
b i a b i
i i 1 2
P l l x
V P V V P
l l
 + − 
= − ∴ = −
+
∑
∑ ∑
70
c) Equações de equilíbrio
Arco
Viga de substituição
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Comparações: Arco x Viga de Substituição
Equações (3) e (7): VA = Va
Equações (4) e (8): VB = Vb
Equações (5) e (9): = g'
M
H
f cosα
(10)
(11)
(12)
Conclusão
Teoria das Estruturas I
Simplificando as expressões (14) e (15), tem-se:
71
d) Esforços solicitantes numa seção genérica S
Arco
As reações do arco triarticulado podem ser obtidas analisando-se apenas
a viga de substituição.
( ) 'S A i i
i
M V x P x x H cos y= − − − α∑
' '
S A i
i
V V cos P cos H cos sen Hsen cos= ϕ − ϕ − α ϕ + α ϕ∑
' '
S A iN V sen P sen H cos cos Hsen sen= − ϕ + ϕ − α ϕ − α ϕ∑
(13)
(14)
(15)
( ) 'S A i i
i
M V x P x x H cos y= − − − α∑
( )'S A i
i
V V P cos H sen
 
= − ϕ − ϕ − α 
 
∑
( )'S A i
i
N V P sen H cos
 
= − − ϕ − ϕ − α 
 
∑
(16)
(17)
(18)
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Análise dos esforços VA e H’:
( )s a i i
i
M V x P x x= − −∑
s a i
i
V V P= − ∑
sN 0=
Comparações: Arco x Viga de Substituição
(19)
(20)
(21)
Teoria das Estruturas I
Observação: essas expressões permanecem válidas se ocorrerem também 
cargas verticais distribuídas. 
72
Viga
VA
Seção S
N
V
ϕ
ϕ
ϕ VA
N = - V sen ϕ
V = V cos ϕ
A
A
H’
H’ cos αααα:
Seção S
H' cos α
ϕ
NN V
ϕ N = - H' cos α cos ϕ
V = - H' cos α sen ϕ
H’ sen αααα:
H' sen α
N
V
ϕ N = - H' sen α sen ϕ
V = H' sen α cos ϕϕ ϕ
H’
Seção S
= − 'S sM M H cos yαααα
( )= − −'S sV V cos H senϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α
( )− − −'S sN = V sen H cosϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ αϕ ϕ α
(22)
(23)
(24)
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Solução: Na expressão (22), fazendo-se MS = 0, chega-se a:
= ssss''''MMMMyyyy H cosH cosH cosH cosαααα (25)
Demonstraçãoque VS = 0
Derivando-se (25): 
E levando-se em conta que:
(26)
Teoria das Estruturas I
(27)
Chega-se, após a substiuição de (27) em (23), a:
73
e) Linha de Pressões: determinação e definição
Problema: Qual a forma de um triarticulado AGB tal que, para um dado
carregamento, todas as seções tenham MF nulo (MS = 0). Isto é,
adotando-se a notação empregada, obter a ordenada y para cada
seção S tal que MS = 0. São dados l1, l2, f e α.
'
S sM M H cos y 0= − α =
s
s
' '
dM
Vdy dx
dx H cos H cos
 
 
 = =
α α
*
* dy dY dy dyy Y y tg tg= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴*
dy dY dy dy
y Y y tg tg
dx dx dx dx
= − ∴ = − ∴ = ϕ − α∴
( ) 's s'
Vdy
tg tg V tg tg H cos
dx H cos
= ϕ − α = ∴ = ϕ − α α
α
( ) ( )' 'SV tg tg H cos cos H sen= ϕ − α α ϕ − ϕ − α ∴
(28)( ) ( )' 'SV H sen H sen 0= ϕ − α − ϕ − α =
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Inclinação da tangente ao eixo do arco
triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):
(29)
triarticulado na seção S (ver figura ou Eq. 27):
Conclusão: quando um arco triarticulado AGB, para um dado carregamento, está
submetido apenas a esforços normais, dizemos que sua forma é a da linha de
pressões desse carregamento.
(30)
Observações Finais:
Teoria das Estruturas I
2. Arcos triarticulados com concavidade voltada para baixo e carregamento de cima 
para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de 
3. Arcos triarticulados com concavidade voltada para cima e carregamento de cima 
para baixo: ESFORÇOS NORMAIS sempre de TRAÇÃO (caso dos CABOS
74
1. No caso da reta AB ser horizontal:
COMPRESSÃO.
).
( ) ( )= + +
2 2' '
S sN V H sen Hcosα αα αα αα α
+
=
'
s
'
V H sen
tg
Hcos
αααα
ϕϕϕϕ
αααα
Avaliação de NS
g'
M
H
f
=
s
'
M
y
H
=
sVtgϕ =
(32)
(31)
(33)
'
tg
H
ϕ =
2 '2
S sN V H= +
(33)
(34)
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Teoria das Estruturas I 75
4. Linha de pressões: forma ideal para um arco triarticulado (forma mais econômica de 
trabalho estrutural). 
5. Linha de pressões para carregamento uniforme: PARÁBOLA do 2º GRAU. 
6. Construtores da antiguidade: notável intuição estática (venceram grandes vãos com 
arcos e abóbadas de alvenaria de pedra).
7. Arcos triarticulados: encontrados em várias construções.
Arcos biengastados (hiperestáticos): mais utilizados na prática.
f) Aplicação
Deseja-se construir uma estrutura cujo eixo coincida com a linha de pressões do
carregamento indicado na figura a seguir. Pede-se:
a. A linha de pressões.
b. Os esforços normais máximo e mínimo atuantes.
c. A inclinação da tangente ao eixo da estrutura na seção de abscissa x = 2,5 m.
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Viga de substituição…??
Viga de substituiçãoArco triarticulado
Calcule as reações e os esforços internos do pórtico espacial mostrado abaixo:
Teoria das Estruturas I 76
Solução
4.12. PÓRTICOS ESPACIAIS
a) Aplicação
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Solução 1: Reações
Forças
Momentos
Solução 2: Esforços Internos
Elemento 3, Nó 3 ao Nó 4 Elemento 2, Nó 2 ao Nó 3
Teoria das Estruturas I 77
x
y
z
F 0
F 0
F 0
=
=
=
∑
∑
∑
x
y
z
M 0
M 0
M 0
=
=
=
∑
∑
∑
PÓRTICOS (QUADROS) ISOSTÁTICOS
Elemento 1, Nó 1 ao Nó 2
Teoria das Estruturas I 78
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
Süssekind, J.C., Curso de Análise Estrutural, Vol. 1, 12ª edição, Editora Globo, Porto 
Alegre, 1994. 
Soriano, H.L. Estática das Estruturas, 1ª Edição, Editora Ciência Moderna, 2007. 
Hibbeler, R.C., Structural Analysis, 7ª edição, Prentice Hall, 2008. 
Gonçalves, P.B, Conceitos Básicos de Análise Estrutural, Notas de aula, Departamento 
de Engenharia Civil, PUC-Rio, Rio de Janeiro, 2003. 
 
Teoria das Estruturas I 79