Prof_ERA_Apont_de Aula_Cálculo Numérico_Erros Numéricos_Parte_1

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Cálculo Numérico 
1. Introdução 
O cálculo numérico corresponde a um conjunto de ferramentas ou métodos usados para se obter 
a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Aplicamos esses métodos 
principalmente em problemas que não apresentam uma solução exata. 
Encontram-se larga aplicação valendo-se do advento das tecnologias. 
Então, vamos descrever o processo de determinação da solução de um problema físico, por meio 
de métodos numéricos. 
 
 
 
 
 
 
1.1 Noções elementares de Erros 
➢ Erro de arredondamento ou Erro Absoluto: 𝐸𝑎 
 𝐸𝑎 = |𝑣𝑒(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜) − 𝑣𝑎(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑟𝑟𝑒𝑑𝑜𝑛𝑑𝑎𝑑𝑜)| 
➢ Erro de truncamento: 𝐸𝑡 
 𝐸𝑡 = |𝑣𝑒(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜) − 𝑣𝑡(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐𝑎𝑑𝑜)| 
 
➢ Erro Relativo: 𝐸𝑟 
 𝐸𝑟 = |
𝐸𝑎(𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜)
𝑣𝑒(𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑒𝑥𝑎𝑡𝑜)
| 
 
➢ 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙: 𝐸𝑝 
 
 𝐸𝑝 = 100 𝑥 𝐸𝑟 
1.2 Aritmética do Ponto Flutuante 
Exata 
Aproximada 
Refinamento 
 Solução 
 aproximada 
Obtém-se o modelo matemático 
que descreve o comportamento 
do problema físico. 
Obtém-se a solução numérica do 
modelo matemático através da 
aplicação de métodos numéricos. 
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Um computador ou calculadora representa um número real no sistema denominado Aritmética 
do Ponto Flutuante. 
𝑋 = ±( , 𝑑1𝑑2 … 𝑑𝑡) 𝑥 𝛽
𝑒 
 obtenção por truncamento ou arredondamento 
Onde: 
✓ 𝛽: 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑚á𝑞𝑢𝑖𝑛𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎. 
✓ 𝑡; 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑í𝑔𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑡𝑖𝑠𝑠𝑎. 
(0 ≤ 𝑑𝑗 ≤ (𝛽 − 1) 𝑒 𝑗 = 1,2,3, … , 𝑡; 𝑑1 ≠ 0) 
✓ 𝑒: 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 [𝑚 , 𝑀] 
 
 maior expoente 
 menor expoente 
Notação: 𝐹(𝛽 , 𝑡 , 𝑚 , 𝑀) ; {
𝑠𝑒 𝑒 < 𝑚: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑟𝑓𝑙𝑜𝑤
𝑠𝑒 𝑒 > 𝑀: 𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑜𝑣𝑒𝑟𝑓𝑙𝑜𝑤
 
Exercícios 
1. Calcular os erros 𝐸𝑎 , 𝐸𝑟 𝑒 𝐸𝑝, que se comete quando tomamos como valor exato o log5 e como 
valor arredondado o mesmo log5 até a quarta casa decimal. 
2. Calcular os erros 𝐸𝑎 , 𝐸𝑟 𝑒 𝐸𝑝, que se comete quando tomamos como valor exato o log6 e como 
valor arredondado o mesmo log6 até a quarta casa decimal.. Resp. 𝐸𝑎 = 0,00005 ; 𝐸𝑟 = 0,00006 
e 𝐸𝑝 = 0,006% 
3. Calcular uma cota de erro, que se comete adotando como valor aproximado de 𝜋 a soma 
√2 + √3. 
4. Calcular os erros 𝐸𝑎 , 𝐸𝑟 𝑒 𝐸𝑝, que se comete quando tomamos como valor exato o ln4 e como 
valor arredondado o mesmo ln4 até a quinta casa decimal. 
 Resp. 𝐸𝑎 = 0,000004 ; 𝐸𝑟 = 0,000003 e 𝐸𝑝 = 0,0003% 
5. Calcular os erros 𝐸𝑎 , 𝐸𝑟 𝑒 𝐸𝑝, que se comete quando tomamos como valor exato o sen7 e 
como valor arredondado o mesmo sen7 até a quinta casa decimal. 
6. Calcular uma cota de erro, que se comete quando tomamos como valor exato o cos5 e como 
valor arredondado o mesmo cos5 até a quinta casa decimal. 
 Resp. 𝐸𝑎 = 0,000005 ; 𝐸𝑟 = 0,000005 e 𝐸𝑝 = 0,0005% 
7. Dados x = 235,21 x 10 e y = 0,5342 x 103, obter os resultados que se pede em notação de 
Ponto Flutuante, com 4 cda e 4 cdt. 
7.1 x + y 7.2 x . y 
8. Dados x = 0,937 x 104 e y = 0,1272 x 102, obter os resultados que se pede em notação de 
Ponto Flutuante, com 4 cda e 4 cdt. 
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Resp: 8.1 0,9383 . 104 e 0,9382 . 104 e 8.2 0,1192 . 106 e 0,1191 . 106 
9. Dados x = 1,8034 x 105 e y = 0,2134 x 104, obter os resultados que se pede em notação de 
Ponto Flutuante, com 4 cda e 4 cdt. 
9.1 x + y 9.2 x . y 
10. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definida por 𝛽 = 10 ; 
t = 6 , m = - 7 e M = 7. Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina? 
Resp: menor = 0,100000 x 10−7 = 0,00000001 e maior = 0,999999 x 107 = 9.999.990 
11. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definida por 𝛽 = 10 ; 
t = 5 , m = - 6 e M = 6. Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina? 
12. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definida por 𝛽 = 10 ; 
t = 4 , m = - 5 e M = 5. Qual o menor e o maior número em módulo representados nesta máquina?