Concreto armado: análise das resistências de seções transversais de elementos estruturais.

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Concreto armado: 
análise das resistências de seções transversais 
de elementos estruturais 
José Samuel Giongo 
jsgiongo@gmail.com 
São Carlos – SP, fevereiro de 2017 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentação 
 
Este texto começou a ser escrito na época em que o autor foi professor no 
Departamento de Engenharia de Estruturas (SET), Escola de Engenharia de São 
Carlos, Universidade de São Paulo, com o objetivo de atender a disciplina SET 409 – 
Estruturas de Concreto Armado I. 
Este trabalho considera nas análises os conceitos e termos apresentados na 
ABNT NBR 6118:2014. 
 Muitos alunos de graduação por meio de bolsas de monitoria, de iniciação 
científica, e alunos de pós-graduação participantes do PAE – Plano de 
Aperfeiçoamento de Ensino, na Escola de Engenharia de São Carlos – USP, 
contribuíram em várias fases de elaboração dos capítulos. A todos o autor agradece. 
 Ao final dos capítulos são apresentadas as referências bibliográficas 
consultadas e, também, sugeridas para melhorar o conhecimento do aluno de 
Engenharia Civil. 
O autor é Engenheiro Civil, formado pela Faculdade de Engenharia de Barretos 
(1975); Mestre em Engenharia Civil – Estruturas (1983) e Doutor em Engenharia Civil – 
Estruturas (1990), ambos pelo Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de 
Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 
Foi professor no Departamento de Engenharia de Estruturas na EESC – USP 
desde agosto de 1981 até maio de 2015. 
Foi professor na Faculdade de Engenharia de Barretos no período de abril de 
1977 a junho de 1981. 
Lecionou, também, na Faculdade de Ciências Tecnológicas, curso de 
Engenharia Civil, PUC Campinas, Faculdade de Engenharia Civil de Alfenas e 
Faculdade de Engenharia de Passos. 
Este texto tem sido revisado e, mesmo assim, erros podem ter sido cometidos, 
pelos quais o autor pede desculpas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
1 INTRODUÇÃO 1
1.1 Histórico 1
1.1.1 Generalidades 1
1.2 Importância do estudo das estruturas de concreto 4
1.3 Materiais constituintes das estruturas de concreto 4
1.3.1 Concreto simples 5
1.3.2 Concreto armado 6
1.3.3 Concreto protendido 7
1.3.4 A família das estruturas de concreto 7
1.4 Estruturas de concreto – vantagens e desvantagens 8
1.5 Normas técnicas para projeto e construções de concreto 10
 Referencias Bibliográficas 11
 
2 DEFORMABILIDADE DO CONCRETO 13
2.1 Considerações iniciais 13
2.2 Estrutura interna do concreto 14
2.3 Retração e expansão 17
2.3.1 Causas da retração e da expansão 17
2.3.2 Fatores que influem na retração 18
2.4 Deformações causadas por ações externas 19
2.4.1 Deformação imediata 19
2.4.2 Fluência 19
2.4.3 Relaxação 20
2.4.4 Deformações recuperáveis e deformação residual 21
2.5 Critérios para cálculo da retração e fluência 21
2.5.1 Preâmbulo 21
2.5.2 Deformações do concreto 22
2.5.2.1 Considerações iniciais 22
2.5.2.2 Fluência do concreto 22
2.5.2.3 Retração do concreto 27
2.5.2.4 Idade e espessura fictícias 29
2.5.2.5 Deformação total do concreto 30
2.5.3 Deformações na armadura 31
2.6 Exemplo de cálculo de deformações 32
 Referencias Bibliográficas 32
 
3 PROPRIEDADES MECÂNICAS DO CONCRETO 35
3.1 Resistência do concreto 35
3.1.1 Considerações iniciais 35
3.1.2 Fatores que influenciam a resistência 36
3.1.3 Evolução histórica da resistência do concreto 39
3.1.4 Conceito de resistência 40
3.1.5 Influência das formas e dimensões dos corpos-de-prova 41
3.1.6 Velocidade e duração da ação 43
3.2 Resistência à compressão do concreto 45
3.2.1 Resistência característica à compressão do concreto 45
3.2.2 Classes de resistência e consistência do concreto 48
3.2.3 Deformações de ruptura do concreto 50
3.2.3.1 Deformação de ruptura na compressão 50
3.2.3.1 Deformação na flexão simples 51
II 
3.2.3.2 Deformação na flexo-compressão 52
3.2.4 Diagrama tensão-deformação do concreto 52
3.3 Resistência à tração do concreto 55
3.3.1 Preâmbulo 55
3.3.2 Determinação da resistência à tração do concreto 55
3.3.2.1 Resistência por ensaios à tração direta 56
3.3.2.2 Resistência à tração por ensaios à flexão 56
3.3.2.3 Resistência à tração por ensaios à compressão diametral 57
3.3.3 Resistência característica à tração do concreto 59
3.3.4 Resistência à tração do concreto considerada em projeto 60
3.5 Módulo de elasticidade do concreto 61
3.6 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade 
transversal 62
3.7 Resistência no estado múltiplo de tensões 62
 Referencias Bibliográficas 65
 
 O capítulo 3 Propriedades mecânicas do concreto, foi 
publicado originalmente no livro editado pelo Instituto 
Brasileiro do Concreto (Isaia, G. C., Editor (2005), Concreto: 
ensino, pesquisas e realizações. São Paulo. IBRACON – 
Instituto Brasileiro do Concreto. 2v.) em co-autoria com Ana 
Elisabete P. G. de Ávila Jacintho, Professora Doutora no 
CEATEC - Centro de Ciências Exatas, Ambientais e de 
Tecnologias da Faculdade de Ciências Tecnológicas – PUC-
Campinas 
 
4 PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS BARRAS E FIOS DE 
AÇOS 67
4.1 Considerações iniciais 67
4.2 Processo de obtenção dos aços 68
4.2.1 Obtenção do produto siderúrgico 68
4.2.2 Tratamento industrial das barras e fios de aços 68
4.2.3 Propriedades mecânicas das barras e fios de aço 69
4.3 Barras e fios de aço para concreto armado 71
4.3.1 Barras de aço de dureza natural 72
4.3.2 Fios de aço encruados a frio 72
4.4 Propriedades das barras e fios de aço 73
4.4.1 Preâmbulo 73
4.4.2 Propriedades geométricas das barras e fios de aço 73
4.4.3 Propriedades mecânicas das barras e fios de aço 74
4.4.4 Propriedades das barras e fios de aço com relação à 
aderência 75
4.4.5 Propriedades das barras e fios para projetos 76
4.5 Uso das barras e dos fios de aço nas estruturas 78
4.5.1 Preâmbulo 78
4.5.2 Disposição de barras de armadura em vigas 78
4.5.3 Disposição de barras de armadura em lajes 79
 Referências bibliográficas 80
 
 
 
 
 
 
III 
5 
ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE ELEMENTOS 
ESTRUTRUAIS SOLICITADOS POR MOMENTO FLETOR 
81
5.1 Considerações iniciais 81
5.2 Estudo experimental de protótipo de viga de concreto 
armado 
83
5.2.1 Preâmbulo 83
5.2.2 Viga de concreto armado analisada experimentalmente 84
5.2.3 Etapas do ensaio do protótipo de viga de concreto armado 87
5.3 Estádios elásticos do concreto 93
5.3.1 Preâmbulo 93
5.3.2 
Estádios de comportamento de uma viga de concreto 
armado 
94
5.3.2.1 Estádio I 95
5.3.2.2 Estádio II 96
5.3.2.3 Estádio III 97
5.3.3 
Relações entre o módulo do momento resistente e a 
curvatura da viga 
97
5.3.4 Conclusão da análise 99
5.4 Equações para as verificações dos ELS 100
5.4.1 Preâmbulo 100
5.4.2 Homogeneização da seção transversal 101
5.4.3 Cálculo da medida da profundidade da linha neutra 104
5.4.4 Cálculo do momento de inércia 105
5.4.5 
Propriedades geométricas de seções transversais 
retangulares no estádio I 
105
5.4.5.1 Profundidade da linha neutra considerando o estádio I 105
5.4.2.1 Momento de inércia considerando o estádio I 106
5.4.6 
Propriedades geométricas de seções transversais 
retangulares no estádio II 
107
5.4.6.1 Profundidade da linha neutra considerando o estádio II 107
5.4.6.2 Momento de inércia considerando o estádio II 108
5.4.6.3 
Cálculo das tensões nas barras da armadura de tração 
considerando o estádio II 
108
5.5 Estádio III 109
5.6 Cálculo do momento de fissuração de seção retangular 109
5.7 Projetos propostos de viga de concreto armado 111
5.7.1 Projeto 1 111
5.7.2 Projeto 2 112
 Referências bibliográficas 113
 
6 
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
LINEARES SOLICITADOS POR AÇÃO DE MOMENTO 
FLETOR 
115
6.1 Considerações iniciais 115
6.2 Hipóteses de cálculo 116
6.3 Análise da resistência da seção transversal retangular 119
6.3.1 Equações de equilíbrio 119
6.3.2 Compatibilidade de deformações 122
6.3.3 Balanço do número de equações e incógnitas 122
6.3.4 Equações constitutivas dos materiais 122
6.3.5 Domínios de deformações 123
 
IV 
6.3.5.1 
Limites para os valores da linha neutranos três domínios 
de deformações 
124
6.4 Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade 127
6.5 Limites para redistribuição de momentos 128
6.6 Análise da necessidade de barras comprimidas 128
6.6.1 Exemplo 1 129
6.6.2 Exemplo 2 130
6.6.3 Considerações para projetos de vigas 130
6.7 
Limites para as áreas de armadura, armadura de pele e 
diâmetro das barras 
131
6.7.1 Preâmbulo 131
6.7.2 
Valores limites para as áreas das armaduras longitudinais 
das vigas 
131
6.7.2.1 Área mínima de armadura de tração 131
6.7.2.2 Área total de armadura 132
6.7.2.3 Área de armadura de pele 132
6.7.2.4 Diâmetro das barras da armadura longitudinal 133
6.8 Espaçamento entre as barras da armadura 133
6.9 Posição correta do centro geométrico das barras da 
armadura 135
6.10 Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto 
armado 136
6.10.1 Exemplo 1 136
6.10.2 Exemplos 2 139
6.10.3 Exemplo 3, 4 e 5 141
6.10.4 Exemplo 6 142
6.10.4.1 Cálculo da posição da linha neutra 142
6.10.4.2 Cálculo da área das barras da armadura longitudinal de 
tração 143
6.10.4.3 Cálculo do módulo do momento resistente mínimo 143
6.10.4.4 Arranjo das barras da armadura longitudinal na seção 
transversal 144
6.10.4.5 Cálculo da taxa de armadura longitudinal de tração 144
6.10.4.6 
Posição correta do centro geométrico das barras da 
armadura longitudinal 
145
6.10.4.7 Cálculo da área das barras da armadura de pele 145
6.10.4.8 Detalhamento das armaduras 146
6.10.4 Exemplo 7 147
6.11 
Dimensionamento de vigas solicitadas por momento fletor 
com armadura dupla 
148
6.11.1 Equações de equilíbrio 148
6.11.2 Balanço do número de equações e de incógnitas 149
6.11.3 Exemplo 8 149
6.12 
Dimensionamento de vigas de seção retangular mediante 
o uso de tabelas 
152
6.12.1 Armadura simples 152
6.12.1.1 
Equações para montagem das tabelas de kc e ks para 
concretos classe I 
153
6.12.1.2 
Equações para montagem das tabelas de kc e ks para 
concretos classe II 
154
6.12.2 Armadura dupla 155
 
V 
6.13 
Dimensionamento de vigas de seção transversal em forma 
de mediante o uso de tabelas tipo k 
157
6.13.1 Considerações iniciais 157
6.13.2 Equações para o dimensionamento 161
6.13.2.1 Viga com seção T considerada como seção retangular 162
6.13.2.2 Viga de seção T 162
6.13.3 Exemplo de projetos de viga T 164
6.13.3.1 Exemplo 1 166
6.13.3.2 Exemplo 2 169
6.13.3.3 Exemplo 3 170
 Referências bibliográficas 171
 
7 
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRTURAIS 
LINEARES SOLICITADOS POR FLEXO-COMPRESSÃO 
NORMAL 
173
7.1 Considerações iniciais 173
7.2 Hipóteses de cálculo 175
7.3 
Análise de seções transversais solicitadas por flexo-
compressão normal 
177
7.3.1 Caso de duas armaduras tracionadas 178
7.3.2 Caso de uma armadura tracionada e uma comprimida 180
7.3.3 Caso de duas armaduras comprimidas 182
7.3.4 
Exemplos de dimensionamento de elementos lineares 
estruturais com armadura assimétricas 
185
7.3.4.1 Exemplo 1 185
7.3.4.2 Exemplo 2 186
7.3.4.3 Exemplo 3 187
7.3.4.4 Exemplo 4 188
7.3.4.5 Exemplo 5 190
7.3.5 
Solução dos problemas de dimensionamento com 
distribuição simétrica das barras 
191
7.3.5.1 Ábacos para cálculo das áreas de armaduras 191
7.3.6 Exemplo de dimensionamento utilizando ábacos 192
 Referências bibliográficas 196
 
8 
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
LINEARES SOLICITADOS POR FLEXÃO COMPOSTA 
OBLÍQUA 
197
8.1 Considerações iniciais 197
8.2 Equações de equilíbrio 198
8.3 Condições de compatibilidade de deformações 199
8.4 
Dimensionamento de seções transversais solicitadas por 
força normal e momentos fletores em duas direções 
200
8.5 
Ábacos para o dimensionamento de seções solicitadas por 
flexão oblíqua 
201
8.6 
Exemplo de dimensionamento de seção solicitada por 
flexão oblíqua 
206
 Referências bibliográficas 208
 
 
 
 
 
VI 
9 
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
LINEARES SOLICITADOS POR FORÇA CORTANTE 
 
209
9.1 Considerações iniciais 209
9.2 Tipos de ruína 213
9.3 Efeito de arco 215
9.4 
Critério do Código Modelo do CEB - FIP (1990) e da ABNT 
NBR 6118:2014 
217
9.4.1 Comentários iniciais 217
9.4.2 Condições para aplicação do modelo 219
9.4.3 Dedução das equações para o dimensionamento 219
9.4.3.1 Verificação da diagonal comprimida 220
9.4.3.2 
Dedução da equação para cálculo da área da armadura 
transversal 
222
9.4.3.3 
Contribuição dos mecanismos alternativos na capacidade 
resistente 
224
9.5 Deslocamento do diagrama de força no banzo tracionado 227
9.6 Critérios para o detalhamento das armaduras transversais 230
9.6.1 Armadura mínima 230
9.6.2 Limites de diâmetros e espaçamentos entre estribos 230
9.6.3 Elementos estruturais armados com barras dobradas 231
9.6.3.1 Ancoragem 231
9.6.3.2 Espaçamento longitudinal 231
9.7 
Expressões práticas para o dimensionamento de vigas 
submetidas à solicitação de força cortante com θ = 45o e 
α = 90o 
231
9.7.1 Equação para cálculo da força cortante mínima 231
9.7.2 
Equação para cálculo da área de armadura transversal 
mínima 
234
9.7.3 Equação para cálculo da força cortante última 234
9.7.4 
Equação para cálculo da área de armadura transversal 
relativa à força cortante de cálculo 
235
9.7.5 
Cálculo dos espaçamentos entre os estribos considerando 
a área da barra (ou fio) 
236
9.8 Exemplos de dimensionamento da armadura transversal 237
9.8.1 
Exemplo 1 – viga biapoiada com ação uniformemente 
distribuída 
237
9.8.1.1 Preâmbulo 237
9.8.1.2 Cálculos iniciais 237
9.8.1.3 Cálculo da área das barras da armadura longitudinal 239
9.8.1.4 Cálculo da área das barras da armadura transversal 241
9.8.2 
Exemplo 2 – viga biapoiada com ações uniformemente 
distribuída e concentrada 
244
9.8.2.1 Preâmbulo 244
9.8.2.2 Cálculo da força cortante resistente mínima 245
9.8.2.3 Cálculo da força cortante resistente última 245
9.8.2.4 Força cortante solicitante de cálculo 245
9.8.2.5 Cálculo da área dos fios da armadura transversal 245
9.8.3 
Exemplo 3 – viga biapoiada com ações uniformemente 
distribuída e concentrada 
248
9.8.3.1 Preâmbulo 248
9.8.3.2 Cálculo da força cortante mínima 248
VII 
9.8.3.3 Cálculo da força cortante resistente última 248
9.8.3.4 Seções nas quais a força cortante é igual a força cortante 
resistente mínima 248
9.8.3.5 Cálculo da força cortante solicitante de cálculo 249
9.8.3.6 Cálculo das áreas das barras (ou fios) da armadura 
transversal 249
9.8.4 
Exemplo 4 viga biapoiada com ações uniformemente 
distribuída e concentrada próxima de um dos apoios 
252
9.8.4.1 Preâmbulo 252
9.8.4.2 Cálculo da área da armadura transversal 255
9.9 Armadura transversal de suspensão 256
9.9.1 Análise teórica do problema 256
9.9.2 
Exemplo de projeto de viga com cálculo e detalhamento de 
armadura de suspensão 
261
 Referências bibliográficas 263
 
10 
ANÁLISE DA ANCORAGEM POR ADERÊNCIA DE 
BARRAS E FIOS DE AÇO 
265
10.1 Considerações iniciais 265
10.2 Aderência 265
10.2.1 Definições 266
10.2.2 Resistência de aderência 269
10.2.3 Resistência de aderência de acordo com a NBR 6118:2014 271
10.2.4 Barras transversais soldadas 274
10.3 Comprimento de ancoragem 274
10.3.1 Barras isoladas sem ganchos nas extremidades 274
10.3.1.1 Exemplo 1 de cálculo de comprimento de ancoragem 275
10.3.1.2 Exemplo 2 de cálculo de comprimento de ancoragem 276
10.3.1.2 Comprimento de ancoragem necessário 277
10.3.1.3 Armadura transversal na ancoragem 278
10.3.1.3.1 Barras longitudinais com ø < 32mm 278
10.3.1.3.2 Barras longitudinais com ø  32mm 278
10.3.2 Feixe de barras 279
10.3.3 
Ancoragem fora dos apoios de barras providas de ganchos 
nas extremidades 
280
10.3.3.1 Redução no comprimento de ancoragem 280
10.3.3.2 Tipos de ganchos 280
10.3.4 Ancoragem de barras dobradas 281
10.4 Ancoragem de barras comprimidas 282
10.5 Ancoragem de estribos 283
10.6 Emendas das barras 284
10.6.1 Generalidades 284
10.6.2 Emendas por traspasse 285
10.6.2.1 Proporção das barras emendadas 286
10.6.2.2 Comprimento de traspasse de barras tracionadas isoladas 286
10.6.2.3 Comprimento de traspasse de barras comprimidasisoladas 
287
10.6.2.4 
Armadura transversal nas emendas por traspasse em 
barras isoladas 
287
10.6.2.5 Emendas por traspasse de feixe de barras 288
10.6.3 Emendas por luvas rosqueadas 288
10.6.4 Emendas por solda 288
VIII 
10.7 Ancoragem por meio de dispositivos mecânicos 290
10.8 Comprimento das barras em elementos estruturais fletidos 290
10.8.1 Deslocamento do diagrama de força nas barras 290
10.8.2 Ponto de início de ancoragem da barra 290
10.8.3 Caso de barras alojadas nas mesas 292
10.8.4 Armadura de tração nas seções de apoio 293
10.8.4.1 Generalidades 293
10.8.4.2 Ancoragem da armadura de tração no apoio 293
10.8.5 Barras prolongadas até os apoios 294
10.8.5.1 Apoio de extremidade 294
10.8.5.2 
Barras adicionais nos apoios de extremidade (grampos 
horizontais) 
296
10.8.5.2 Viga engastada elasticamente em pilar de extremidade 298
10.8.5.3 Barras da armadura prolongadas até os apoios internos 299
10.8.5.4 Ancoragem de telas soldadas por aderência 300
 Referências bibliográficas 300
 
11 
DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
FLETIDOS SOLICITADOS POR MOMENTO TORÇOR 
301
11.1 Considerações Iniciais 301
11.1.1 Análise da consideração da torção nas estruturas 301
11.1.2 Tensões principais no caso de torção simples 304
11.1.3 Torção com empenamento impedido 305
11.2 Modelo teórico no caso de torção simples 307
11.2.1 Analogia da treliça 307
11.3 Tipos de ruína em vigas submetidas à torção 308
11.3.1 Escoamento das barras da armadura 309
11.3.2 Ruptura por compressão do concreto 309
11.3.3 Ruína das quinas 309
11.3.4 Ruína das ancoragens 310
11.4 Expressões para verificação da segurança estrutural no 
ELU 
310
11.4.1 Torção uniforme 310
11.4.1.1 Condições gerais 310
11.4.1.2 Resistência do elemento estrutural – Torção pura 311
11.4.1.3 Geometria da seção resistente 312
11.4.1.4 
Análise do modelo de treliça espacial associado a 
elementos lineares de concreto armado 
313
11.4.2 Torção em perfis abertos de parede fina 318
11.4.2.1 Considerações gerais 318
11.4.2.2 Rigidez à flexo torção 318
11.4.2.3 Resistência à flexo torção 319
11.5 Estados-limites de fissuração inclinada da alma 320
11.6 Solicitações combinadas 320
11.6.1 Ações de momento fletor e momento torçor 320
11.6.1.1 Armadura longitudinal 320
11.6.1.2 Armadura longitudinal no banzo comprimido 320
11.6.1.3 Resistência do banzo comprimido 320
11.6.1.4 Resistência das diagonais comprimidas (bielas) 321
11.7 
Critérios para detalhamento das barras da armadura para 
torção 
 
321
IX 
11.8 
Exemplo de projeto de viga submetida a momento fletor, 
força cortante e momento torçor 
322
11.8.1 Preâmbulo 322
11.8.2 Projeto da laje em balanço 324
11.8.2.1 Ações na laje em balanço 324
11.8.2.2 Cálculos dos esforços solicitantes na laje 324
11.8.2.3 Verificação da resistência da laje com relação ao momento 
fletor 
325
11.8.2.4 
Verificação da resistência da laje com relação à força 
cortante 
328
11.8.2.5 Detalhamento das barras da armadura 329
11.8.2.6 Estados-limites de serviço 330
11.8.3 Projeto da viga 330
11.8.3.1 Ações na viga 330
11.8.3.2 Esforços solicitantes na viga 331
11.8.3.3 Esforços resistentes mínimos da viga 332
11.8.3.4 
Verificação da diagonal comprimida quanto à ação 
conjunta do momento torçor e força cortante 
334
11.8.3.5 
Verificação da ruptura da diagonal comprimida por ação do 
momento torçor 
336
11.8.3.6 
Cálculo da área da armadura transversal (estribos) para 
força cortante 
336
11.8.3.7 
Cálculo da área da armadura transversal (estribos) para 
momento torçor 
336
11.8.3.8 
Cálculo da área das barras longitudinais para momento 
torçor 
337
11.8.3.9 Cálculo da área da armadura de pele 338
11.8.3.10 Cálculo da área das barras da armadura longitudinal para 
momento fletor 338
11.8.4 Estado-limite de serviço 341
11.8.5 Detalhamentos das barras das armaduras 341
 Referências Bibliográficas 342
 
12 EXEMPLOS DE PROJETOS DE VIGAS 343
12.1 Considerações iniciais 343
12.1.1 Desenho inicial 344
12.1.2 Determinação das ações atuantes nos tramos das vigas 345
12.1.3 Cálculos dos esforços solicitantes 347
12.1.4 
Dimensionamento das áreas das barras das armaduras 
longitudinais 
347
12.1.5 
Dimensionamento das áreas das barras ou fios das 
armaduras transversais 
347
12.1.6 
Cálculos dos comprimentos de ancoragem das barras fora 
dos apoios 
347
12.1.7 
Verificações da quantidade de barras que precisam ser 
ancoradas nos apoios 
347
12.1.8 
Deslocamento do diagrama de momentos fletores de 
cálculo 
348
12.1.9 Detalhamento das barras das armaduras 348
12.2 Exemplo de projeto de uma viga biapoiada com força 
uniformemente distribuída e concentrada com armadura 
simples 
348
X 
12.2.1 Determinação dos esforços solicitantes limites de cálculo 348
12.2.1.1 Momento fletor resistente limite 349
12.2.1.2 Força cortante última 350
12.2.1.3 Força cortante mínima 350
12.2.1.4 Cálculo da área e do espaçamento dos estribos 351
12.2.2 Cálculo da área das barras da armadura longitudinal de 
tração 
352
12.2.3 
Cálculo das áreas das barras da armadura longitudinal de 
pele 
352
12.2.4 Deslocamento do diagrama de momentos fletores 354
12.2.5 Verificação das ancoragens juntos dos apoios 355
12.2.5.1 Ancoragem da armadura longitudinal junto ao pilar P01 355
12.2.5.2 Ancoragem da armadura longitudinal junto ao pilar P02 356
12.2.6 Comprimentos de ancoragem das barras fora dos apoios 357
12.2.7 Comprimentos das barras longitudinais de tração 357
12.2.8 Alojamento das barras na seção transversal 360
12.2.9 Determinação da altura útil efetiva 361
12.2.9.1 
Cálculo da ordenada do C. G. das barras da armadura de 
tração 
361
12.2.9.2 Cálculo da altura útil efetiva 362
12.2.9.3 Critério da ABNT NBR 6118:2014 362
12.2.10 Detalhamento das barras da armadura 363
12.3 
Exemplo de projeto de uma viga biapoiada com força 
uniforme-mente distribuída e força concentrada com 
armadura dupla 
364
12.3.1 Determinação dos esforços resistentes de cálculo limites 365
12.3.1.1 Momento fletor resistente limite 365
12.3.1.2 Força cortante resistente última de cálculo 365
12.3.1.3 Força cortante resistente mínima de cálculo 365
12.3.2 Cálculo das áreas das barras das armaduras longitudinais 366
12.3.2.1 Cálculos das áreas das barras da armadura longitudinal de 
tração 
366
12.3.2.2 
Cálculo da área das barras da armadura longitudinal de 
compressão 
367
12.3.3 Cálculo das áreas das armaduras transversais (estribos) 367
12.3.3.1 Regiões de armadura calculada e armadura mínima 367
12.3.3.2 Área de armadura transversal mínima 368
12.3.3.3 Área para armadura transversal para Vsd = 185,2 kN 368
12.3.3.4 Área para armadura transversal para Vsd = 215,2 kN 369
12.3.4 Cálculo do deslocamento do diagrama de Msd 369
12.3.5 Verificação das ancoragens das barras longitudinais nos 
apoios 
370
12.3.5.1 Ancoragem das barras longitudinais junto ao pilar P01 370
12.3.5.2 Ancoragem das barras longitudinais junto ao pilar P02 370
12.3.6 Comprimentos de ancoragens fora dos apoios 370
12.3.6.1 Barras da armadura posicionada junto a face tracionada 370
12.3.6.2 Barras da armadura posicionada junto a face comprimida 371
12.3.7 Determinação dos comprimentos finais das barras 371
12.3.7.1 Comprimentos das barras tracionadas 372
12.3.7.2 Comprimentos das barras comprimidas 372
12.3.8 Detalhamento da viga VT02 373
XI 
 
12.4 
Exemplo de projeto de uma viga contínua com força 
uniforme-mente distribuída com armadura simples 
374
12.4.1 Cálculo dos esforços solicitantes 374
12.4.1.1 Vigas contínuas 375
12.4.1.2 Cálculo dos vãos efetivos da viga VT03 376
12.4.1.3 
Cálculo dos comprimentos equivalentes dos tramos dos 
pilares P10 e P12 
379
12.4.1.4 
Cálculos dos momentos fletores atuantes nas 
extremidades da viga 
380
12.4.1.5 
Determinação do momento fletor negativo junto ao pilar 
P11 
382
12.4.1.6 
Verificação do momento fletor negativo na viga junto ao 
pilar P11 
384
12.4.1.7 
Verificação dos módulos dos momentos fletores positivos 
nas tramos da viga 
384
12.4.2 
Cálculo e detalhamento das barrasdas armaduras 
longitudinais de tração 
385
12.4.2.1 Cálculo áreas das barras das armaduras longitudinais 386
12.4.3 Cálculo áreas das barras ou fios das armaduras 
transversais 
387
12.4.3.1 
Força cortante de cálculo menor que a força cortante 
resistente mínima 
387
12.4.3.2 
Forças cortantes de cálculo maiores que a força cortante 
resistente mínima 
388
12.4.4 
Cálculo do deslocamento (aℓ) do diagrama de momentos 
fletores de cálculo (Msd) 
390
12.4.5 Cálculos dos comprimentos de ancoragem retos (ℓb) 390
12.4.6 
Barras da armadura junto a face inferior (positivas) que 
precisam ser prolongadas até os apoios 
391
12.4.6.1 
Verificação da área das barras ancoradas no apoio em 
função da relação entre os módulos dos momentos fletores 
negativo e positivo 
391
12.4.6.2 
Verificação da área das barras ancoradas no apoio em 
função da força cortante junto aos pilares 
392
12.4.6.3 
Comprimentos das barras negativas junto aos apoios de 
extremidade 
393
12.4.7 
Determinação dos comprimentos das barras da armadura 
longitudinal de tração 
394
12.4.7.1 Divisão proporcional por barra 394
12.4.7.2 Cálculos dos comprimentos de ancoragem necessários 396
12.4.8 Distribuições das barras da armadura transversal (estribos) 397
12.4.9 Detalhamento da viga 398
12.4.10 Anexo à memória de cálculo da viga VT03 400
14.4.10.1 Desenho do diagrama de momentos fletores 400
 Referências bibliográficas 402
 
13 ANÁLISE DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS LINEARES 
COM RELAÇÃO AOS ESTADOS-LIMITES SERVIÇO 403
13.1 Considerações iniciais 403
13.2 Estado-limite de formação de fissuras – ELS-F 404
13.3 Estado-limite de abertura de fissuras – ELS-W 404
XII 
13.3.2 
Critérios para cálculo das aberturas das fissuras de acordo 
com a ABNT NBR 6118:2014 
405
13.4 
Estado-limite de deformação de acordo com os critérios 
da ABNT NBR 6118:2014 
407
13.4.1 Avaliação aproximada da flecha em vigas 407
13.4.1.1 Flecha imediata em vigas de concreto armado 408
13.4.1.2 
Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto 
armado 
408
13.5 Exemplo de projeto de viga com relação aos ELS 410
13.5.1 Considerações iniciais 410
13.5.2 Estado-limite de formação de fissuras (ELS-F) 411
13.5.3 Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W) 412
13.5.3.1 Cálculo da abertura de fissura para a condição de 
fissuração sistemática 413
13.5.3.2 Cálculo da abertura de fissura para a condição de 
fissuração não sistemática 414
13.6 Verificação do estado limite de deformação excessiva 
(ELS-DEF) 
414
 Referências bibliográficas 417
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
INTRODUÇÃO 
 
1.1 HISTÓRICO (13 de junho de 2016) 
 
1.1.1 GENERALIDADES 
 
 As construções em pedra, naturais ou artificiais, existem, de acordo com relatos 
históricos, há quatro mil anos, tomando-se como exemplos as pirâmides de Gisé, 
construídas entre 2.650 aC. e 2.550 aC. 
As construções em madeira sobre palafitas se iniciaram no Período Neolítico da 
pré-história, entre 10.000 aC. e 4.000 aC. 
As edificações em estruturas metálicas começaram a ser construídas no século 
XVII, como por exemplo o Palácio do Kremlin, em Moscou, Rússia, sendo que os 
elementos da treliça eram em barras de ferro fundido justapostos. 
A utilização do concreto armado é mais recente. Os primeiros elementos de 
concreto armado foram construídos a partir da metade do século XIX, na França, 
porém a sua utilização em maior escala aconteceu no início do século XX. 
O concreto surgiu com o desejo de se criar uma pedra artificial, resistente, 
econômica e durável como aquelas extraídas das rochas naturais e que apresentasse 
como vantagens a possibilidade de ser moldada nas formas e dimensões necessárias 
à sua utilização. 
A associação do concreto com barras e fios de aço foi motivada pela necessidade 
de obter maior resistência dos elementos estruturais à tração, que por sua vez fica 
protegida com relação à corrosão por ação do meio ambiente. 
A pedra artificial (concreto) amplamente usado até nos dias atuais em inúmeras 
aplicações, só foi possível com o desenvolvimento do cimento (aglomerante) em 
virtude das pesquisas feitas por Smeaton e Parker, no século XVIII. A produção 
industrial do cimento ocorreu no século XX, decorrente de estudos e experiências 
realizadas por Vicat e Aspdin, no ano de 1824, na Inglaterra, passando o material 
aglomerante a ser chamado de cimento Portland. Johnson, em 1845, produziu um 
cimento com a mesma tipologia dos usados atualmente. 
2 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
O cimento armado, na época assim conhecido, foi usado pela primeira vez na 
França, no ano de 1849, quando Lambot construiu um pequeno barco, que foi 
mostrado na exposição de Paris em 1855. A França, confiando na data da origem do 
concreto armado, comemorou o seu centenário em 1949. De acordo com historiadores 
o barco encontra-se no museu de Brignoles (França). 
No Brasil diz-se que o material com o qual o barco de Lambot foi construído é a 
argamassa armada, material constituído por um compósito de agregado miúdo (areia) e 
pasta de cimento (cimento e água), com uma armação feita com fios de aço de 
pequeno diâmetro. A Escola de Engenharia de São Carlos – USP, por intermédio de 
professores e pesquisadores do Departamento de Engenharia de Estruturas, teve 
participação ativa e intensa no desenvolvimento do material argamassa armada, como 
pode ser visto no trabalho de, entre outros, Hanai (1981). 
François Coignet, na França, em 1861 obteve uma patente para a construção de 
elementos de cimento armado. 
Joseph Monier, também na França, horticultor e paisagista, construiu em 1861, 
vasos para plantas usando argamassa armada (cimento armado). Em 1867 ele obtém 
sua primeira patente para construção de vasos de cimento armado, requerendo outras 
patentes para a construção de tubos e reservatórios (1868), placas (1869) e pontes 
(1873). 
Ward, em 1873, em Nova Iorque (EUA), construiu uma casa em concreto armado, 
que de acordo com os historiadores existe até os dias atuais. 
Thaddeus Hyatt, advogado, também americano, motivado por uma série de 
ensaios experimentais com elementos de concreto armado iniciados em 1850, obtém 
em 1877 patente para a construção de um sistema de vigas de concreto e aço, com as 
barras nas posições corretas para absorver as tensões de tração oriundas das ações 
de momento fletor e força cortante (estribos e barras dobradas). 
São apresentadas, a seguir, outros feitos e datas importantes do desenvolvimento 
na fase pioneira do concreto armado: 
1880 – Hennebique, na França constrói a primeira laje armada com barras de aço 
de seção circular; 
1884 e 1885 – Empresas alemãs, entre elas Wayss e Freytag, adquirem as 
patentes de Monier para uso em construções na Alemanha e na Áustria; 
1886 – Koenen, na Alemanha, escreve a primeira publicação a respeito do tema 
concreto armado; 
1888 – Döhring, também na Alemanha, registra a primeira patente acerca do uso 
da protensão em placas e vigas de pequenas dimensões; 
1892 – Hennebique registra patente da primeira viga com armação semelhante as 
usadas atualmente, isto é, com barras longitudinais para absorver as tensões de tração 
oriundas da ação de momento fletor e estribos para absorver as tensões de tração por 
conta da ação de força cortante; 
1897 – Rabut, na França, inicia o primeiro curso a respeito de estruturas de 
concreto armado, na “École des Ponts et Chaussées”; 
1902 – Mörsch, engenheiro da firma Wayss e Freytag, publica a primeira edição 
de seu livro, apresentando resultados de pesquisas acerca de elementos estruturais 
em concreto armado e tornando-se um dos contribuintes para o conhecimento do 
comportamento e progresso das estruturas em concreto armado; 
1904 – Na Alemanha é escrita a primeira norma técnica a respeito de projeto e 
construção de estruturas de concreto armado. 
 
Analisando as datas dos principais eventos do iníciodo concreto armado, pode-se 
notar que na última década do século XIX, ocorreu um grande desenvolvimento no 
conhecimento e, por consequência, na utilização de estruturas de concreto armado que 
continuou no início do século XX. Construções de grande porte foram realizadas, 
podendo-se destacar uma delas que foi projetada e construída por Hennebique, que 
 Capítulo I - Introdução 
 
3
marcou época por muitos anos e foi recorde no gênero: a Ponte Del Risorgimento, em 
1911, em Roma, com 100 m de vão, com sistema estrutural constituído por um arco 
bastante abatido, com relação flecha/vão de 1/10. 
Se, na formulação inicial das teorias fundamentais do concreto armado, o Brasil 
não apresentou contribuições, face ao avanço tecnológico das nações citadas, pode-se 
afirmar que, nas aplicações do material, soube, com arrojo e criatividade, projetar e 
construir obras significativas, sendo a engenharia de estruturas brasileira reconhecida 
internacionalmente e respeitada. 
A origem do concreto armado no Brasil, de acordo com os estudos e análises 
feitas pelo Engenheiro Civil e Doutor em Engenharia Augusto Carlos de Vasconcelos, 
inicialmente publicado em Modesto dos Santos (1983), com o título “Histórico do 
Concreto Armado”, foi com François Hennebique, que já havia sido o primeiro na 
Europa a posicionar corretamente a armação em um elemento estrutural, prevendo 
barras dobradas, ancoradas na região comprimida de vigas, com a finalidade de 
absorverem as tensões de tração por causa da ação de força cortante. 
A primeira obra no Brasil foi uma ponte de 9 m de vão, construída no Rio de 
Janeiro, em 1908, com mão de obra do empreiteiro Echeverria, com projeto estrutural 
de Hennebique. 
Riedlinger, cidadão alemão, técnico de nível médio, fundou no Rio de Janeiro em 
1912, a Companhia Construtora de Concreto Armado, tendo construído obras 
importantes. Em 1913 a firma alemã Wayss e Freytag monta uma filial no Rio de 
Janeiro que, posteriormente, adquire a firma de Riedlinger, sendo que este passa a 
ocupar o cargo de “engenheiro chefe”. A empresa com essa incorporação contratou, no 
mercado internacional, diversos mestres de obras que transferiram suas experiências 
para técnicos nacionais. 
Um dos primeiros brasileiros que tiveram sua formação fortemente influenciada 
por Riedlinger foi Emílio Henrique Baumgart, que além de formar numerosos 
profissionais, deixou um imenso acervo de obras importantes, com diversos recordes 
mundiais em tamanho e originalidade. 
Exemplo de obra importante projetada por Baumgart é a ponte sobre o Rio do 
Peixe, em 1928, construída entre os municípios de Joaçara e Herval do Oeste, no 
Estado de Santa Catarina, inicialmente denominada Ponte do Herval e, posteriormente, 
Ponte Emílio Baumgart. Foi recorde mundial de dimensão do vão para viga reta em 
concreto armado com 68 m e construída por processo original na época e hoje 
conhecido como processo dos balanços sucessivos. A ponte foi tombada pelo 
patrimônio histórico nacional, pelo que representou de pioneirismo para a Engenharia 
do Brasil. Infelizmente, por causa das fortes chuvas do verão do ano de 1983 e, com a 
consequente enchente do Rio do Peixe, a famosa ponte teve perda de apoio para as 
suas estruturas de fundações e, portanto, foi levada pela águas, perdendo-se assim um 
patrimônio histórico. 
Obra de destaque do notável Engenheiro Baumgart, nascido em Blumenau – SC, 
foi o Edifício “A Noite”, construído no Rio de Janeiro, no período entre 1928 e 1930, 
com 22 andares, tendo sido na época o edifício mais alto em concreto armado no 
mundo. 
Muitos outros engenheiros brasileiros merecem destaque por suas obras, entre eles 
podem ser citados: Paulo Rodrigues Fragoso, projetista da estrutura em concreto do 
Pavilhão de São Cristóvão, no Rio de Janeiro, sendo que a cobertura em casca de 
concreto protendida teve a participação do Laboratório de Estruturas – EESC – USP, 
na pessoa do Professor Dante Ângelo Osvaldo Martinelli, nas medidas das 
deformações dos cabos de protensão (a cobertura não existe mais por causa de um 
incêndio); Antonio Alves Noronha, projeto da estrutura do Estádio do Maracanã (o 
primeiro), Rio de Janeiro – RJ; Joaquim Cardoso, projetista dos edifícios da região da 
4 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
Pampulha, em Belo Horizonte – MG e também dos principais edifícios públicos da 
Cidade de Brasília – DF. 
A estrutura de uma edificação só é arrojada se o projeto arquitetônico o for. 
Assim, há que se destacar o desenvolvimento dos projetos arquitetônicos da 
arquitetura brasileira, pelas formas e arrojo incomum, exigiu da Engenharia de 
Estruturas soluções inéditas que possibilitaram significativo avanço. O desenvolvimento 
da arquitetura adotando estrutura de concreto aparente permitiu que ambas se 
desenvolvessem transformando os edifícios em obras de arte. Figura proeminente é, 
portanto, Oscar Niemeyer. 
 
1.2 IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 As estruturas de concreto estão presentes em todas, ou praticamente todas as 
construções, mesmo que as estruturas sejam construídas com outros materiais, como 
madeira, metálica, alvenaria estrutural, pelo menos os elementos estruturais de 
fundação são em concreto. 
 Em obras hidráulicas e de saneamento as estruturas em concreto estão presentes 
nas construções de barragens, tubos de transporte de águas e esgotos, reservatórios, 
canais, galerias etc. 
 Nas construções de estradas as obras em concreto encontram-se nas pontes, 
viadutos, galerias, estruturas de contenção de encostas, túneis, e, também, nos 
pavimentos em concreto que por vezes precisa conter armadura para absorver as 
tensões de tração. Nas ferrovias, além das estruturas já citadas, têm-se as estruturas 
dos dormentes e demais instalações necessárias. 
 Nos aeroportos os pisos podem ser em concreto armado ou protendido, além de 
todas as outras instalações necessárias ao funcionamento dos mesmos, tais como 
torres de observação, garagens, reservatórios, hangares etc. 
 Em edificações industriais metalúrgicas, eletromecânicas, na agroindústria, em 
edificações religiosas, em clubes, estádios para a prática de esportes, as estruturas de 
concreto se fazem presentes nas construções de pavimentos, fundações de máquinas, 
chaminés, silos, muros de arrimo, reservatórios, piscinas, elementos de cobertura etc. 
 Nos equipamentos urbanos as estruturas de concreto constituem os postes de 
iluminação pública, as construções de praças, calçadas, espelhos de água, passarelas 
etc. 
 Nos edifícios residenciais ou comerciais as estruturas de concreto estão 
presentes nas construções do sistema estrutural constituído por elementos de 
fundação, pilares, vigas, lajes, como também nos reservatórios elevados e enterrados, 
piscinas (por vezes nas coberturas, ou uma em cada apartamento), muros de arrimo, 
rampas de acesso de veículos, guaritas etc. 
 O conhecimento do comportamento das estruturas de concreto armado ou 
protendido é de suma importância para os engenheiros que venham a trabalhar com 
projetos estruturais como também aqueles que optem pela área de produção de 
construções, pois é preciso entender as corretas posições das barras das armaduras 
nos vários elementos estruturais, os deslocamentos (flechas) dos elementos estruturais 
fletidos para poder decidir a retirada das fôrmas e cimbramentos das lajes e vigas. 
 
1.3 MATERIAIS CONSTITUINTES DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 As estruturas de concreto podem ter armaduras passivas (concreto armado) ou 
armaduras ativas (concreto protendido, que também tem armaduras passivas), que 
podem ser em forma de barras ou fios, no primeiro caso, ou fios e cordoalhas no caso 
de armaduras ativas. As armaduras ativas são as pré-tracionadas, por equipamentos 
próprios, e, depois da cura do concreto,as tensões são aliviadas e, portanto, os fios e 
 Capítulo I - Introdução 
 
5
ou as cordoalhas aplicam uma força de compressão no elemento estrutural. A 
aderência pode ser posterior à cura do concreto por meio de injeção de nata de 
cimento em bainhas metálicas ou plásticas que contém as cordoalhas de protensão. A 
aderência pode ser inicial quando não há bainha e os fios ou cordoalhas são pré-
tracionados e o concreto é lançado na fôrma, sendo que a força só é aliviada após a 
cura do concreto do elemento estrutural. 
 Atualmente têm sido construídas estruturas de concreto armado e protendido com 
barras não metálicas obtidas por processo industrial, constituídas por fios de fibra de 
vidro impregnadas com polímeros resistentes aos álcalis do cimento. 
 O advento do concreto armado só foi possível por causa da aderência por adesão 
entre esses materiais, que já existiam como materiais de construção independentes. A 
aderência permite que as deformações na estrutura na região de contato entre as 
barras de aço e o concreto sejam as mesmas nos dois materiais. A adesão é o 
fenômeno de ligação espontânea entre uma massa de concreto e uma barra ou fio de 
aço, como estudado no capítulo 10. 
 
1.3.1 CONCRETO SIMPLES 
 
 O concreto simples é um material composto obtido pela mistura, e dosagem 
conveniente, de agregados graúdos - pedra britada ou seixos roladas, agregados 
miúdos – areia natural ou artificial obtida pela moagem de agregados graúdos, cimento 
(aglomerante hidráulico) e água. 
Nos concretos podem ser usadas adições com as finalidades de melhorar 
algumas propriedades tais como: resistência à compressão (sílica ativa), à tração 
(fibras metálicas), resistência à abrasão, diminuição da retração (fibras plásticas), 
aumento da densidade (minério de ferro). Podem ser consideradas também a 
necessidade de usar aditivos químicos com finalidades específicas de: acelerador de 
pega, retardador de pega, incorporadores de ar, melhoria da trabalhabilidade com fator 
água/cimento pequeno. 
É denominado de aglomerante hidráulico aquele que reagindo com a água 
promove a ligação entre os agregados tornando-os participantes de um novo material 
com propriedades mecânicas diferentes. Assim, as resistências à compressão e a 
tração, o módulo de elasticidade, a densidade, a condutibilidade térmica, o 
comportamento químico etc., são diferentes daqueles dos materiais constituintes quer 
sejam a areia natural, a pedra britada, o cimento, os aditivos e adições. 
 Nas aplicações usuais adotam-se o cimento Portland comum, embora possam ser 
usados cimentos específicos, como por exemplo os resistentes a sulfatos quando se 
projeta uma estruturas de canal destinado a receber águas servidas (esgotos). 
 Os agregados graúdos são escolhidos em função da disponibilidade das rochas 
locais, podendo assim ser oriundos de rochas de granito ou de outras rochas. 
 Os agregados miúdos podem ser as areias naturais de fundo de rio ou 
provenientes da moagem de agregados graúdos. 
 Os chamados agregados leves, grãos de EPS (isopor) ou argila expandida, 
também são usados com a finalidade específica de diminuição do peso próprio dos 
elementos estruturais. 
 A ABNT NBR 7211:1983 Agregados para Concreto, considera agregado miúdo o 
material que passa pela peneira número 4, que tem malha quadrada com 4,8 mm de 
lado. Agregado graúdo é, portanto, o material que fica retido na peneira número 4. 
 Nas moldagens dos elementos das estruturais usuais costumam-se usar como 
agregado graúdo a pedra britada número 1. 
 As dimensões dos agregados graúdos são classificadas nas categorias indicadas 
na tabela 1.1, de acordo com as dimensões nominais. 
 
6 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
Tabela 1.1 - Dimensões nominais dos agregados graúdos (pedra britada) 
 
 
Tipo 
 
 
Número 0 
 
Número 1 
 
Número 2
 
Número 3
 
Número 4 
 
Número 5
 
Dimensões 
(mm) 
 
4,8 a 9,5 9,5 a 19 19 a 25 25 a 30 50 a 76 76 a 100 
 
 A dimensão máxima do agregado graúdo adotado para o concreto influi nas 
escolhas das dimensões mínimas dos elementos estruturais, nos espaçamentos entre 
as barras longitudinais de vigas medidos de acordo com os planos horizontal e 
transversal e os espaçamentos entre barras longitudinais de pilares medidos no plano 
vertical. 
 As estruturas de concreto podem ser em concreto simples que são aquelas que 
não contém armaduras ou as que as taxas geométrica de armaduras fiquem menores 
que os valores mínimos indicados em normas técnicas. Assim, as tensões de tração 
são absorvidas pelo concreto. Lembra-se que a resistência à tração do concreto é da 
ordem de 1/10 da resistência à compressão. Exemplos de aplicação de concreto 
simples em estruturas podem ser citados os blocos de fundação, os tubulões os muros 
arrimos de gravidade de concreto ciclópico, constituído por concreto com pedra britada 
número 1 e com o lançamento de pedras de grande diâmetro aparente com a finalidade 
de ocupar volume. 
 
1.3.2 CONCRETO ARMADO 
 
 Os elementos que compõem as estruturas em concreto armado são constituídos 
pela associação de concreto e barras ou fios de aço convenientemente posicionados 
para absorver as tensões de tração, embora também possa colaborar com a 
resistência do elemento absorvendo as tensões de compressão, tais como as atuantes 
em pilares e nas regiões (entre a borda mais comprimida e a linha neutra). Como já dito 
a adesão entre os dois materiais é fundamental para a aderência, que permite o 
trabalho conjunto. 
 A aderência, conforme estudado no capítulo 10, é constituída pela adesão, atrito e 
aderência mecânica, esta por causa das imperfeições das barras lisas e das nervuras 
nas barras. 
 O trabalho solidário entre aço e concreto é que permite o aumento da capacidade 
resistente de um elemento estrutural fletido (viga), quando se comparam vigas de 
mesma largura (bw) e altura (h) da seção transversal. 
 Para que se entenda esse trabalho conjunto consideram-se as vigas da figuras 
1.1 sem trabalho solidário entre concreto e as barras por haver uma bainha e figura 1.2 
com trabalho solidário por causa da aderência. 
 
 
Figura 1.1 - Viga com barras sem aderência Figura 1.2 - Viga com barras com aderência 
 
 Capítulo I - Introdução 
 
7
 Analisando a figura 1.1 ao se aplicar uma força uniformemente distribuída na 
direção eo sentido da força de gravidade, a viga se deforma de tal modo que as fibras 
superiores apresentam encurtamento (cc) e as fibra na borda tracionada tem 
alongamento (ct) e as fibras no centro geométrico das barras da armadura tem 
deformação igual a zero, pois não há aderência entre os materiais. A resultante das 
tensões nas barras da armadura longitudinal de tração é igual a zero. 
 Considerando agora a viga da figura 1.2, moldada com as barras longitudinais na 
região tracionada da viga e com aderência entre estas e o concreto, ao se aplicar uma 
força uniformemente distribuída no sentido da força de gravidade, a viga se deforma de 
tal modo que as fibras superiores apresentam encurtamento (cc) e as fibras no centro 
geométrico das barras da armadura tem alongamento (st). A deformação do concreto 
nessa região que envolve as barras de tração é a mesma que a das barras. Assim, os 
dois materiais trabalham solidariamente definindo, portanto, um elemento estrutural em 
concreto armado. 
 Supondo que no caso da viga da figura 1.1 as barras da armadura sejam fixadas 
em duas chapas metálicas posicionadas nas extremidades com porcas. Ao se aplicar a 
força uniformemente distribuída, pode-se perceber que o alongamento total das fibras 
tracionadas do concreto é igual ao alongamentototal das barras de aço, porém as 
deformações específicas em cada seção transversal da viga, constantes nas barras da 
armadura, são diferentes ao longo das fibras de concreto em contato com as barras. 
Assim, ocorre um deslizamento das barras da armadura em relação às fibras de 
concreto em todas as seções transversais intermediárias, definindo uma situação na 
qual não há trabalho solidário dos dois materiais. Esse comportamento é típico de 
estrutura mista aço e concreto. 
 
1.3.3 CONCRETO PROTENDIDO 
 
 As estruturas em concreto protendido, ou com armadura ativa, são aquelas em 
que fios ou cordoalhas formadas por fios trançados, são inicialmente tracionados por 
equipamento próprio e, posteriormente, com a cura parcial ou total do concreto as 
forças de tração são liberadas ocorrendo, portanto, força de compressão no elemento 
estrutural, aumentando a sua capacidade resistente. 
 A protensão pode ser adotada para vigas de pontes com grandes vãos, lajes de 
edifícios, painéis de fechamento, sendo que os elementos podem ser pré-fabricados ou 
moldados no local. 
 Os fios são de aço para concreto protendido têm propriedades mecânicas 
diferentes daqueles usados em elementos de concreto armado com amadura passiva. 
 
1.3.4 A FAMÍLIA DAS ESTRUTURAS DE CONCRETO 
 
 Com o advento dos aditivos e adições, que melhoram certas propriedades das 
estruturas de concreto, pode-se obter os concretos de alta resistência com a adição de 
sílica ativa e redução do fator a/c por causa dos aditivos superplastificantes. 
 Quando se procura um concreto resistente a abrasão ou resistente a sulfatos, o 
que se espera é que ele tenha um desempenho diferente do que um concreto comum, 
independente do valor da resistência, então eles podem ser chamados de concretos de 
alto desempenho. 
 Se os concretos têm resistências características menores do que 50 MPa eles 
são ditos de pequena resistência. Essa definição é de acordo com normas da ABNT. 
 Ao se adotarem em um projeto elementos estruturais de pequena espessura, não 
é possível usar na mistura do concreto agregados graúdos e nem barras e fios de 
grandes diâmetros. Portanto, é necessário adotar fios de pequeno diâmetro, 
normalmente em forma de telas soldadas, que é posicionada ao longo da alma do 
8 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
elemento. Esse material é chamado, no Brasil, de Argamassa Armada, ou elementos 
estruturais em concreto com pequena espessura. 
 Como foi visto podem ser adotadas estrutura de concreto protendido. E as 
estruturas podem ser moldadas no local ou pré-fabricadas. 
 Desse modo pode-se entender que as variações nas estruturas de concreto 
levam todas a pertencerem à família dos concretos, de tal modo que a escolha de um 
tipo para uma dada solução estrutural depende de fatores técnicos e econômicos. 
 
1.4 ESTRUTURAS DE CONCRETO – VANTAGENS E DESVANTAGENS 
 
 A escolha por um processo construtivo para uma edificação depende de fatores 
técnicos e econômicos, tais como disponibilidades de materiais e mão de obra, tempo 
previsto de construção, aporte de recursos pelos investidores etc. 
 A estrutura de uma edificação pode ser escolhida, de acordo com o projeto 
arquitetônico, entre as opções de estruturas: concreto – moldadas no local, pré-
moldada, em concreto armado ou protendido, alvenaria estrutural – armada ou não 
armada, metálicas e madeira. 
 Nos dias atuais em que se pensa na manutenção do que resta do meio ambiente, 
e até na sua recuperação, há que se analisar o consumo de energia para se obter os 
elementos necessários para se construir com um determinado processo estrutural. 
Assim, é necessário avaliar os custos ambientais na coleta e industrialização dos 
elementos estruturais em aço, tanto as barras e fios/cordoalhas para construções em 
concreto quanto para estruturas metálicas, os custos para obtenção do cimento, da 
extração da pedra britada e de areias em minas próprias; os custos para obtenção dos 
elementos para as construções de estruturas em madeira e para os elementos de 
blocos para alvenaria estrutural. Em uma análise inicial, do ponto de vista ambiental, a 
construção de estruturas em madeira é a que menos consome energia no processo de 
obtenção dos elementos e, se usar madeira de reflorestamento o meio ambiente é 
menos onerado, na sequência encontram-se as estruturas de concreto e, por fim, as 
estruturas metálicas. 
 Nos dias atuais nota-se um número significativo de edifícios, e destinados a 
moradia, construídos com a tecnologia da alvenaria estrutural. Alguns edifícios 
industriais e comerciais têm sido construídos em estruturas metálicas. 
 A opção pelo tipo de estrutura a ser adotado pela firma construtora e ou 
incorporadora depende de diversos fatores técnicos e econômicos que precisam ser 
analisados com cuidado. 
 A quantidade de estruturas de concreto armado existentes no Brasil atesta a 
viabilidade técnica e econômica como material de construção de obras com pequeno e 
grande volume de concreto. Embora usado com intensidade pelo mercado da 
construção as estruturas de concreto apresentam qualidades e deficiências. As 
vantagens e deficiências na adoção de um determinado material estrutural, têm sempre 
um caráter relativo, dependendo de um padrão de referência. 
 As estruturas de concreto, por sua larga utilização, apresentam algumas 
vantagens em relação a outros materiais estruturais, entre elas: 
 
a- é um material que apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação, 
porém a análise do comportamento estrutural precisa ser cuidadosa visando a 
segurança estrutural, atentando-se para os cuidados de detalhamento da 
armaduras e suas condições favoráveis de construção; 
 
b- economia na construção, pois na maioria das situações os materiais para 
concreto (agregados miúdos e graúdos) encontram-se em quantidade 
suficientes na região da construção, com custos favoráveis, portanto; 
 Capítulo I - Introdução 
 
9
 
c- considerando as estruturas de concreto moldadas no local, o meio técnico 
dispõe de conhecimento para construir com facilidade e rapidez; 
 
d- considerando estruturas pré-moldadas de concreto, a viabilidade econômica 
depende, também, dos seguintes fatores: transporte, equipamentos 
necessários para içamento, posicionamento, solidarização e outros; 
 
e- o concreto é considerado um material durável, porém por ser poroso e com o 
meio ambiente quimicamente agressivo por causa da poluição ambiental, é 
preciso prever revestimentos protetores e manutenção periódica. Esse fato 
fica agravado em edificações construídas em regiões marítimas em virtude da 
maresia. As barras das armaduras precisam de proteção dada pelo concreto 
do cobrimento; 
 
f- as formas arquitetônicas previstas pelos arquitetos são atendidas com o 
correto projeto dos elementos estruturais e verificação da segurança da 
edificação e conveniente projeto das fôrmas; 
 
g- a estrutura é monolítica, se moldada no local, possibilitando que toda a 
estrutura trabalhe permitindo a redistribuição dos esforços solicitantes; 
 
h- os gastos com manutenção são reduzidos, porém é necessário um programa 
de inspeção e manutenção periódica; 
 
i- o concreto é pouco permeável à água, necessitando que sejam atendida boas 
condições de plasticidade, adensamento e cura. A permeabilidade pode ser 
melhorada com a adição de polímeros; 
 
j- as estruturas de concreto apresenta segurança relativa contra fogo, para tanto 
cuidados especiais precisam ser tomados com relação aos cobrimentos das 
barras das armaduras; 
 
k- quando convenientemente projetadas as estruturas são resistentes a choques, 
vibrações, efeitos térmicos e a desgastes mecânicos. 
 
As estruturas de concreto têm alguns fatores inerentes ao seu comportamento 
que podem ser entendidas como deficiências, e precisamser consideradas na fase de 
projeto estrutural e arquitetônico. Entre outras podem ser citadas: 
 
a- o peso próprio é considerado elevado, quando comparado com outros 
materiais estruturais e a massa específica aparente é adotada igual a 
25 kN/m3. Para o concreto leve estrutural, no qual se adota como agregado 
graúdo argila expandida ou esferas de EPS (isopor), considera-se massa 
específica aparente de 12 kN/m3 a 20 kN/m3; 
 
b- as reformas e adaptações são trabalhosas e de difícil construção, tornando-se, 
em alguns casos, inviáveis. Como opção podem ser adotada no projeto 
estruturas pré-fabricadas de concreto; 
 
c- as estruturas de concreto apresentam fissuras em virtude da pouca resistência 
do concreto à tração em relação à de compressão. Nas análises das 
resistências dos elementos estruturais esse fato é considerado por meio das 
10 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
hipóteses de cálculo. As aberturas das fissuras precisam ser controladas para 
evitar a ação nefasta do meio no interior do concreto com possível ataque 
químico às barras das armaduras. Em estruturas de reservatórios, piscinas e 
outras destinadas a conter líquidos, cuidados especiais de impermeabilização 
precisam ser adotados; 
 
d- os ambientes arquitetônicos quando a estrutura é de concreto são 
desconfortáveis com relação aos comportamentos térmicos e acústicos 
necessitando, portanto, de adequado projeto de ventilação e escolha de 
materiais que minimizem estes problemas. 
 
Como em qualquer outra decisão econômica, a escolha por um determinado 
material para compor uma edificação precisa ser feita após análise das disponibilidades 
dos materiais no local da obra, de mão de obra, dos custos financeiros dos aportes 
mensais, entre outros. 
 
1.5 NORMAS TÉCNICAS PARA PROJETO E CONSTRUÇÕES DE CONCRETO 
 
 Os projetos, as construções, as durabilidades e as manutenções periódicas das 
estruturas, particularmente as de concreto, são regidas por normas técnicas que 
procuram atender as condições de segurança das estruturas quando em uso. 
 A primeira norma técnica editada no Brasil foi a “Normas para execução e cálculo 
de concreto armado”, publicada em 1937, pela Associação Brasileira de Cimento 
Portland, para suprir as necessidade do meio técnico com relação ao projeto e 
construção de estruturas de concreto armado. A sociedade técnica brasileira percebeu 
com a publicação dessa norma a necessidade de criar fórum de discussão de critérios 
e normas técnicas para projeto e uso de produtos comercializados por uma emergente 
indústria nacional. 
 Foi criada, em 24 de Setembro de 1940, a Associação Brasileira de Normas 
Técnicas (ABNT) sendo a norma de estruturas de concreto, anteriormente publicada 
pela Associação Brasileira de Cimento Portland (ABCP), a receber o número 1 
constituindo-se, portanto, na Norma Brasileira número 1 (NB 1). As edições sucessivas 
são dos anos de 1950, 1960, 1978, 2003, 2007 (que teve ajustes com a finalidade de 
inserção no meio técnico internacional) e atualmente tem-se a norma ABNT NBR 
6118:2014 – Projeto de Estruturas de Concreto, que é uma norma de Procedimento. A 
sigla ABNT indica que é uma norma brasileira e a sigla NBR significa Norma Brasileira 
Registrada, nomenclatura adotada pelo Instituto Nacional de Metrologia (INMETRO). 
 O Brasil, em 1973, criou o Sistema Nacional de Metrologia Normalização e 
Qualidade Industrial (SINMETRO), com a finalidade de reger as atividades normativas, 
subordinado ao Ministério da Industria e do Comércio (na época). Esse sistema é 
composto por dois órgãos: Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e 
Qualidade Industrial (CONMETRO), que tem a finalidade de normalizar, coordenar e 
supervisionar e o Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial 
(INMETRO) que é órgão executivo. 
 A ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, criada pela iniciativa 
privada em 1940, em caráter permanente, na condição de Fórum Nacional de 
Normalização pela resolução 14/83, de 30 de Dezembro de 1983, do Ministério da 
Industria e Comércio (na época). A ABNT, assim, integrou-se definitivamente ao 
SIMETRO, passando a fazer parte do CONMETRO. 
 A ABNT produz os seguintes tipos de normas técnicas: Procedimento (NB), 
Especificação (EB), Método de Ensaio (MB), Padronização (PB), Terminologia (TB), 
Simbologia (SB), Classificação (CB). Quando um projeto de norma é aprovado pelo 
meio técnico com direito a voto, ela é registrada no INMETRO, denominada de Norma 
 Capítulo I - Introdução 
 
11
Brasileira Registrada (NBR), esta sigla é seguida pelo número de registro e do ano de 
publicação, separado por dois pontos (:), por exemplo como a já citada a ABNT NBR 
6118:2014. 
 As atividades de projetos e construção são, portanto, regidas por normas 
técnicas, que na maioria dos casos são explicitadas em contratos de prestação de 
serviços e norteiam todas as atividades econômicas. 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) Projeto de estruturas 
de concreto. ABNT NBR 6118:2014. Rio de Janeiro, ABNT, 2014. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT) Agregados para 
concreto. ABNT NBR 7211:1983. Rio de Janeiro, ABNT, 1983. 
 
HANAI, J.B. Construções de argamassa armada: fundamentos tecnológicos para 
projeto e execução. São Paulo, Pini, 1992. 
 
SANTOS, L.M. Cálculo de concreto armado. 2v. São Paulo, LMS, 1983 (v.1), primeira 
edição publicada no ano de 1976, 1981 (v.2). 
 
VASCONCELOS, A. C. O concreto no Brasil – Recordes, Realizações, História. São 
Paulo, Edição Patrocinada por Camargo Corrêa S. A., 1985 
 
VASCONCELOS, A. C. O concreto no Brasil – Professores, Cientistas, Técnicos. São 
Paulo, Editora Pini Ltda., 1992 
 
VASCONCELOS, A. C. O concreto no Brasil – Pré-fabricação – Monumentos - 
Fundações. São Paulo, Studio Nobel. 2002. 
 
VASCONCELOS, A. C. O concreto no Brasil – Obras Especiais – Contos Concretos. 
São Paulo, Edição do Autor. 2011. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
DEFORMABILIDADE DO 
CONCRETO 
 
2.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS (16 de janeiro de 2017) 
 
 Como estudado no capítulo 1 o material concreto é composto de cimento, 
agregados graúdo e miúdo e água. Recentemente, como visto, existem os concretos 
com adições e aditivos, com a finalidade de melhorar uma ou várias propriedades 
específicas tanto no estado fresco como no endurecido. 
 A reação química entre o cimento (aglomerante) e água, a produção e cura do 
concreto justificam as condições de deformações que ocorrem inclusive sem ação de 
força externa aplicada ao elemento estrutural. 
 A data escolhida como referência da resistência do concreto é 28 dias. Nessa 
data o concreto apresenta resistência da ordem de 60% a 90% do valor de referência, 
no caso de concreto feito com cimento de resistência normal. 
 A estrutura interna do concreto tem influência significativa tanto na resistência 
mecânica como na deformabilidade dos elementos estruturais em concreto armado. 
 No processo de mistura dos agregados graúdos e miúdos com cimento e água, 
começa a se processar a reação química do cimento com a água, resultando a 
formação de gel de cimento. 
 A pasta de cimento corresponde à massa coesiva de cimento hidratado, incluindo 
os poros do gel, sendo a porosidade característica de aproximadamente 28%. De 
acordo com NEVILLE (1997), a origem da resistência do gel não está completamente 
esclarecida, mas, provavelmente, deriva de dois tipos de forças de coesão. O primeiro 
tipo é a atração física entre superfícies sólidas, separadas somente pelos diminutos 
poros de gel (1,5 nm a 2,0 nm). O segundo tipo tem origem nas ligações químicas e 
são muitomais fortes que as forças do primeiro tipo. 
 Durante a mistura do concreto, o gel envolve os grãos dos agregados, 
endurecendo gradualmente e formando cristais, os quais vão se associando com o 
14 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
 
tempo. O gel, ao endurecer, liga os agregados resultando um material resistente e 
monolítico, ou seja, o concreto. 
 A quantidade de água necessária para dar suficiente trabalhabilidade ao 
amassamento do concreto é da ordem do dobro da quantidade consumida na reação 
química de hidratação do cimento. Uma parte da água excedente entra em combinação 
química com componentes menos ativos do cimento. Outra parte forma os numerosos 
poros e capilares do gel do cimento; esta parte pode evaporar-se. 
 Os poros do concreto ocupam cerca de um terço do volume de cimento. 
 Para diminuir a quantidade de água pode-se incorporar ao concreto aditivos 
superplastificantes que permitem reduzir a quantidade de água de amassamento, 
aumentando, por conseguinte, a resistência do concreto. 
 A estrutura interna do concreto é heterogênea: tem a forma de retículos espaciais 
de cimento endurecido, de grãos de agregados graúdo e miúdo de várias dimensões e 
formas, envoltos por grande quantidade de poros e capilares portadores de água que 
não entrou em reação química, e, ainda, vapor de água e ar. Fisicamente, o concreto 
representa um material capilar poroso, sem continuidade da massa, no qual se acham 
presentes os três estados de agregação – sólido, líquido e gasoso. Não havendo 
comunicação dos capilares com o meio externo, a água fica retida gerando pressão 
interna. 
 O concreto é, portanto, um material heterogêneo, de comportamento mecânico 
não elástico e não linear. 
 
2.2 ESTRUTURA INTERNA DO CONCRETO 
 
 O concreto é um material composto, portanto o seu comportamento depende dos 
comportamentos e propriedades dos materiais constituintes e, principalmente, como 
eles se associam por meio da pasta de cimento, isto é da mistura de cimento e água. 
 O concreto tem uma microestrutura altamente complexa e heterogênea. (Mehta e 
Monteiro, 2008) Estudos e análises experimentais tem sido feitas em vários centros de 
pesquisa no Brasil e em outros países com a finalidade de entender o comportamento 
do concreto. 
 A microestrutura do concreto é constituída pelo tipo, pela quantidade, pelo 
tamanho, pela forma e a distribuição das fases presentes. 
 Os elementos macroscópicos do concreto são aqueles que podem ser visto sem 
auxílio de equipamentos óticos de aumento. 
 O conhecimento da estrutura interna do concreto é de suma importância e justifica 
as propriedades tais como: resistência, elasticidade, retração, fluência, fissuração e 
durabilidade. 
 Analisando um corpo-de-prova de concreto depois de desintegrado em ensaio 
para determinar a resistência à compressão, conforme figura 3.5b, é possível notar 
duas fases do concreto: as partículas de agregado graúdo e o meio que as liga, isto é a 
argamassa, que por sua vez é constituída por agregados miúdos e a pasta de cimento. 
Essa observação permite considerar o concreto como um material bifásico, constituído 
de agregados dispersos em matriz de pasta de cimento. 
 A distribuição da pasta de cimento na massa de concreto não é homogênea; pode 
se apresentar densas em algumas regiões, semelhante aos agregados, e, em outras 
regiões apresentar-se porosa. 
 As propriedades dos agregados graúdos são de importância na massa unitária, 
no módulo de elasticidade e na estabilidade dimensional do concreto. Essas 
propriedades dependem da densidade e da resistência do agregado, que são definidas 
pelas propriedades físicas que preponderam em relação às propriedades químicas. As 
propriedades físicas que intervém na qualidade do concreto são o volume, tamanho e a 
 Capítulo 2 - Deformabilidade do concreto 
 
 
15
distribuição dos poros. Além dessas propriedades a forma e a textura do agregado 
graúdo afetam a qualidade do concreto. 
 Os agregados naturais podem ser as pedras britadas de rochas ou os seixos 
rolados. Os seixos rolados (pedregulhos) são arredondados e apresentam superfície 
lisa. Os agregados provenientes da britagem de rochas podem ser lamelares ou 
achatados, ou com formato próximo de um cubo. Essas formas ocorrem em função do 
tipo de rocha e do processo de britagem. As pedras britadas alongadas ou achatadas 
(a área superficial é maior) afetam negativamente algumas propriedades do concreto. 
 Nos casos usuais de concretos com agregados graúdos provenientes de rochas 
sãs a fase agregado não tem influencia direta na resistência do concreto. No caso de 
concreto de resistência característica à compressão de até 35 MPa, em termos, a 
ruptura ocorre na fase argamassa. Nos casos de concretos com maior resistência a 
ruptura ocorre na fase agregado, pois a fase argamassa é mais resistente. 
 Nos concretos, o volume de agregado graúdo (retido na peneira de malha 
4,8 mm) é da ordem de 70% do volume total do concreto endurecido. A estrutura 
interna do concreto pode, então, ser imaginada como sendo formada pelo agregado 
graúdo envolvido pela matriz de argamassa. A argamassa é constituída pelo cimento 
hidráulico, agregado miúdo e água. 
 Mehta e Monteiro (2008) indicam que agregados de forma lamelar alongada e 
achatada, em maior número na massa de concreto, maior será a tendência de ocorrer 
acúmulo de água junto a superfície do agregado (exsudação interna), enfraquecendo a 
interface pasta-agregado. 
 Os agregados miúdos podem ser as areias naturais, encontradas em minas, ou 
as artificiais, obtidas pela britagem em grãos mais finos dos agregados graúdos. 
 A pasta de cimento hidratada, constituída por cimento Portland e água, apresenta 
uma microestrutura que evolui como resultado das reações químicas entre os 
compostos do cimento e a água. 
 O cimento anidro é um pó cinza obtido pela moagem de um clínquer com 
pequena quantidade de sulfato de cálcio. O clinquer é uma mistura de compostos 
produzidos a alta temperatura entre óxido de cálcio e sílica, alumina e óxido de ferro. 
(Mehta e Monteiro, 2008) 
 Os principais componentes aglomerantes do cimento são o silicato tricálcio 
(3Cao.SiO2) e o silicato dicálcio (2CaO.SiO2), os quais por hidratação formam 
microcristais de dissilicato tricálcio hidratado (2CaO.SiO2.3H2O), principal elemento 
responsável pela resistência do concreto. 
 A figura 2.1 mostra de modo esquemático o modelo da estrutura interna do 
concreto, em que se vê o agregado graúdo envolvido pela matriz de argamassa. 
 
 
Figura 2.1 - Modelo da estrutura interna do concreto 
 
 No estudo da deformabilidade do concreto, porém, precisa ser considerada a 
heterogeneidade da matriz de argamassa. A argamassa é constituída principalmente 
16 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
 
pelo agregado miúdo (que passa na peneira de malha 4,8 mm) envolvido pela matriz 
de pasta de cimento (figura 2.2). 
 O cimento que constitui a pasta é um pó cinza composto de partículas angulares 
com dimensões que variam de 1 μm a 50 μm. 
 As propriedades referentes à deformabilidade do concreto decorrem 
essencialmente da constituição da matriz pasta de cimento, cuja heterogeneidade é 
condicionada pelas reações de hidratação do cimento. 
 Na pasta de cimento endurecida encontram-se uma rede capilar, preenchida por 
água e por ar, poros cheios de ar e hidrogel rígido com dimensões entre 10 μ a 100 μ. 
 A parcela de água fixada quimicamente An é denominada água não evaporável, a 
qual sofre uma contração de volume de cerca de 25% do volume original. Esse 
fenômeno de retração química provoca o aparecimento de poros cheios de ar, cujo 
volume é em torno de 7,5% do volume total da pasta endurecida. 
 Para a reação química de hidratação do cimento, seriasuficiente uma relação 
água/cimento (a/c), em massa, da ordem de a/c = 0,28. A trabalhabilidade do concreto, 
no entanto, exige muito mais, resultando usualmente fatores a/c entre 0,45 a 0,60. É 
possível considerar-se o uso de aditivo superplastificantes que permitem reduzir o fator 
água/cimento, obtendo-se boa trabalhabilidade. 
 Uma parte do excesso de água é fixada por adsorção aos micro-cristais (ligações 
físico-químicas), resultando um hidrogel rígido de estrutura muito complexa. Essa 
parcela de água adsorvida constitui a chamada água evaporável Ae, pois pode ser 
removida em estufa a 105 °C. 
 O restante da água de amassamento, chamada de água capilar Ac, permanece 
dispersa na matriz de hidrogel rígido, formando uma rede capilar. Essa água capilar 
pode evaporar, em função do equilíbrio higrométrico da massa de concreto com o meio 
ambiente, produzindo-se forças capilares equivalentes a uma compressão isotrópica da 
massa do concreto (ver figura 2.2). 
 
 
Figura 2.2 - Tensão capilar na massa do concreto. 
 
 Essas forças capilares aumentam à medida que se processa a evaporação da 
água, pois os meniscos caminham para capilares de diâmetros cada vez menores. 
Além dos micro-cristais de dissilicato tricálcio hidratado, também são formados 
cristais de outros compostos químicos presentes no cimento. 
 De particular importância são os cristais de hidróxido de cálcio Ca(OH)2, que em 
contato com os gás carbônico dão origem ao carbonato de cálcio (expressão 2.01), 
com redução do volume da massa, chamada de retração por carbonatação. Este 
fenômeno de retração por carbonatação, embora ainda não totalmente esclarecido, não 
pode ser desprezado, pois além do hidróxido de cálcio, também os silicatos de cálcio 
hidratados reagem com o gás carbônico. 
 
 OHCaCOCO)OH(Ca 2322  [2.01] 
 Capítulo 2 - Deformabilidade do concreto 
 
 
17
 
 Em resumo, para o estudo da deformabilidade do concreto, a matriz que envolve 
os agregados pode ser imaginada como composta por um hidrogel rígido, no qual 
existem poros decorrentes da contração química da água não evaporável, existindo 
também nesta matriz uma rede de poros capilares preenchidos por água e por ar, 
podendo haver permuta desses elementos com o meio ambiente. 
 Esse modelo estudado é suficiente para justificar a maioria dos fenômenos 
ligados à ruptura do concreto, nos chamados ensaios rápidos, cuja duração máxima é 
da ordem de 10 min a 20 min. Os ensaios para a determinação da resistência do 
concreto são feitos em prensas hidráulicas por meio corpos-de-prova cilíndricos, 
usualmente cilindros com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é o padrão 
adotado no Brasil. 
 Os elementos estruturais de concreto apresentam deformações dependentes do 
tempo, que podem ocorrer sem solicitação (retração) e com solicitação (fluência). 
 Os comportamentos em serviço dos elementos estruturais em concreto armado 
precisam levar em conta esses fenômenos. 
 
2.3 RETRAÇÃO E EXPANSÃO 
 
 Denomina-se retração a redução de volume que ocorre no concreto, mesmo na 
ausência de ações mecânicas e de variações de temperatura. Embora seja mais 
comum a redução de volume, também pode ocorrer o fenômeno inverso, de expansão 
quando o elemento estrutural estiver em presença de água. A figura 2.3 mostra o 
progresso da retração com a idade, notando-se que ela é mais intensa no início, depois 
tende assintoticamente a um valor final. 
 
 
Figura 2.3 - Progresso da retração e da expansão com a idade 
 
 A figura 2.3 mostra também o progresso da expansão com a idade, no caso de 
elementos estruturais submersos. Nota-se que, no início, ocorre retração. Somente 
depois que as tensões causadas pelo fluxo de água no sentido oposto ficam maiores 
do que as tensões de retração é que ocorre a expansão. 
 
2.3.1 CAUSAS DA RETRAÇÃO E DA EXPANSÃO 
 
 Nas elementos estruturais de concreto curados ao ar livre, existem basicamente 
três causas distintas da retração: a retração química provocada pela contração da água 
não evaporável que vai sendo combinada com o cimento durante todo o processo de 
endurecimento, a retração decorrente da evaporação parcial da água capilar que 
18 Concreto armado: análises das resistências das seções transversais de elementos estruturais 
 
 
permanece no concreto após o seu endurecimento e a eventual retração por 
carbonatação dos produtos decorrentes da hidratação do cimento. 
 No caso das peças curadas em tanque com água, a expansão pode ser 
justificada pela absorção de água, que vai ocupar, pelo menos parcialmente, os vazios 
decorrentes da retração química ocorrida durante o período de pega do concreto e os 
vazios preenchidos pelo ar incorporado durante a mistura mecânica do concreto e que 
não puderam ser eliminados durante o seu adensamento. 
 
2.3.2 FATORES QUE INFLUEM NA RETRAÇÃO 
 
 A quantificação da deformação por retração em elementos estruturais de concreto 
são estudadas no item 2.5. 
Os fatores que influem na retração ao longo do tempo são os seguintes: 
 
a- composição química do cimento 
 
Os cimentos mais resistentes e os de endurecimento mais rápido apresentam 
maior retração. 
 
b- quantidade de cimento 
 
A retração também aumenta com a quantidade de cimento, fundamentalmente 
por causa da retração química. 
 
c- água de amassamento 
 
Quanto maior a relação água/cimento (a/c), maior será o número de capilares, 
resultando, portanto, maior retração. 
 
d- finura do cimento e das partículas dos agregados 
 
Quanto mais fino o grão de cimento maior é a sua superfície específica, 
necessitando assim de maior quantidade de água de amassamento; além disto, 
mais finos são os capilares. Resultam, portanto, capilares mais numerosos e mais 
finos, aumentando a retração. 
 
e- umidade ambiente 
 
O aumento da umidade ambiente dificulta a evaporação, diminuindo a retração. 
Pode até provocar expansão, no caso de peças imersas em água. 
 
f- espessuras dos elementos 
 
A retração aumenta com a diminuição da espessura do elemento, por ser maior a 
superfície de contato com o ambiente em relação ao volume do elemento 
estrutural, possibilitando maior evaporação. 
 
g- temperatura do ambiente 
 
O aumento de temperatura favorece a evaporação, aumentando a retração. 
 
h- idade do concreto 
 
O aumento da resistência do concreto com o tempo dificulta a retração. 
 Capítulo 2 - Deformabilidade do concreto 
 
 
19
 
i- quantidade de armadura 
 
As barras da armadura se contrapõem à retração, sendo uma das soluções 
empregadas para minorar os efeitos da retração. 
 
2.4 DEFORMAÇÕES CAUSADAS POR AÇÕES EXTERNAS 
 
 As deformações em elementos estruturais de concreto são efeitos causados pelas 
ações, por exemplo, as ações relativas às forças atuantes nas estruturas, como as 
gravitacionais (forças relativas aos pesos próprios dos elementos), as forças atuantes 
relativas ao uso da estrutura (os veículos em uma estrutura de ponte ou viaduto, o 
mobiliário e as pessoas que usam um ambiente arquitetônico, por exemplo uma sala de 
estar, em um apartamento). 
 As deformações causas por ações externas podem ser consideradas de dois 
tipos: 
 
a- deformação imediata – que são as que ocorrem quando se aplica uma força, 
correspondendo ao comportamento do concreto associado a um sólido 
verdadeiro; 
 
b- fluência – que corresponde ao acréscimo de deformação com o passar do 
tempo se a força causadora da fluência for mantida. 
 
Nos elementos estruturais também ocorrem o fenômeno da relaxação que é a 
diminuição da tensão atuante no elemento estrutural quando submetido a deformação 
constante. 
 
2.4.1 DEFORMAÇÃO IMEDIATA 
 
 A deformação imediata é causada pela acomodação dos cristais que formam o 
material. Os vazios entre os