MÓDULO I - INTRODUÇÃO À ALGEBRA

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
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MATRIZ 
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3
SUMÁRIO 
 
 
1. FUNÇÕES ..................................................................................................................... 4 
2. TIPOS DE FUNÇÃO ................................................................................................... 7 
3. LOGARITMOS COMUNS ....................................................................................... 32 
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................... 400 
5. EQUAÇÕES .............................................................................................................. 444 
REFERÊNCIAS ........................................................................................................... 765 
ATIVIDADE AVALIATIVA.........................................................................................77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
1. FUNÇÕES 
 
� Função do 1º. Grau 
� Função Constante 
� Função potência 
� Função Racional 
� Função Raiz 
� Função polinomial 
� Função logarítmica 
� Função trigonométrica 
 
O conceito de função sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, 
sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, 
séc. XVII) veio para revolucionar a Matemática. 
É importante apontarmos a origem da noção de função, lembrando desde 
o tempo dos gregos onde a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que 
tinha como elementos fundamentais: o ponto, a reta e o plano. 
Foi nessa época que a teoria do Cálculo Infinitesimal surgiu, e a noção 
de função tornou-se um dos fundamentos do Cálculo Infinitesimal. 
Há aspectos muito simples sobre este conceito, que podem ser 
encontrados em épocas anteriores, como operações de contagem. Mas o seu 
surgimento como conceito claramente individualizado, e como objeto de estudo 
corrente em Matemática, remonta apenas ao final do século XVII. 
A origem da noção de função confunde-se, então, com os primórdios do 
Cálculo Infinitesimal. Ela surgia de forma um tanto confusa nos "fluentes" e 
"fluxões" de Newton (1642 - 1727), aproximando-se bastante do sentido atual de 
função, com a utilização dos termos "relatia quantias" para designar variável 
dependente, e "genita" para designar uma quantidade obtida, a partir de outras, 
por intermédio das quatro operações aritméticas fundamentais. 
Leibniz (1646 - 1716) teve seu papel de importância nesta História, foi ele 
quem primeiro utilizou o termo "função", em 1673, no manuscrito Latino 
"Methodus tangentium". Leibniz usou o termo apenas para designar, em termos 
muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas, como 
 
 
 
 
 
 
5
as sub tangentes e sub normais. Introduziu, igualmente, a terminologia de 
"constante", "variável" e "parâmetro". 
Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos, 
tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes 
de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a 
palavra "função" foi adaptada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por 
Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748). 
O termo "função" não aparecia ainda no léxico matemático utilizado em 
1716, mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a 
ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável 
como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e 
constantes. 
Não podemos nos esquecer de Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de 
Bernoulli – que substituiu o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi 
também Euler quem introduziu a notação f(x). 
A noção de função era então identificada, na prática, com a “expressão 
analítica”, situação que haveria de vigorar pelos séculos XVIII e XIX, apesar de 
logo se perceber que conduzia a diversas incoerências e limitações do 
significado real do que era a expressão analítica. 
Esta noção, associada às noções de continuidade e de desenvolvimento 
em série, conheceu sucessivas ampliações e clarificações, que lhe alteraram 
profundamente a natureza e o significado. 
Com o desenvolvimento do estudo das funções foram surgindo 
numerosas aplicações da Matemática a outras ciências, pois os cientistas, 
partindo de observações, procuravam uma fórmula (uma função) para explicar 
os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático 
que explicava a relação entre as variáveis. 
Assim, o conceito de função, que hoje nos parece simples, é resultado de 
uma evolução histórica, conduzindo sempre, cada vez mais à abstracção, e que 
só no século XIX teve o seu final. 
 
 
Definição: 
 
 
 
 
 
 
6
 
Função é qualquer relação de A em B, que associa a cada elemento de A 
um único elemento de B. Ex: 
 
 
Fig. 1: Conceito de Função 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.1) Função do 1º. grau
2.1.1) Função Crescente e Decrescente 
A função é crescente quando
da imagem de x também aumenta. 
Ex: 
Fig. 2: Função crescente 
 
A função é decrescente quando na função, o valor de x 
imagem de x diminui. x2 > x
 
Fig. 3: Função decrescente 
 
 
 
2. TIPOS DE FUNÇÃO 
2.1) Função do 1º. grau 
Função Crescente e Decrescente 
A função é crescente quando, na função, o valor de x aumenta e o valor 
da imagem de x também aumenta. x2 > x1 → f(x2) > f(x1) 
 
A função é decrescente quando na função, o valor de x aumenta e o valor da 
> x1 → g(x2) < g(x1) Ex: 
 
7
na função, o valor de x aumenta e o valor 
aumenta e o valor da 
 
 
 
 
 
 
8
Estudos dos sinais de f(x) = ax +b 
 
Para fazermos o estudo dos sinais da função de 1º grau, precisamos 
estabelecer uma propriedade dessa função. 
 
Uma função de 1º grau, f(x) = ax + b: 
 
- é crescente se a > 0 
- é decrescente se a < 0 
 
Demonstração: 
 
Sejam x1 e x2 dois números reais quaisquer, com x2 > x1. Então, temos: 
 
1º) f(x) = ax + b e a > 0 
 
x2 > x1 
 
Multiplicando ambos os membros pelo número a positivo, o sentido da 
desigualdade se conserva. 
 
ax2 >ax1 
 
Somando b a ambos os membros desta desigualdade, teremos: 
 
ax2 +b >ax1 +b 
 
 
Ou seja, 
 
f(x 2 ) > f(x 1 ) 
 
2º) f(x) = ax + b e a < 0 
 
 
 
 
 
x2 > x1 
 
E, novamente, vamos multiplicar ambos os membros pelo número 
negativo, inverte-se o sentido da desigualdade. 
 
 
Neste momento, somaremos 
teremos: 
 
Ou seja, 
 
 
Desenhando apenas o eixo Ox, o gráfico da função 
 
F(x) = ax + b 
 
 
 Fig. 4
 
 
 
 
Por exemplo, para estudar
 
1º) Cálculo da raiz 
 
 
E, novamente, vamos multiplicar ambos os membros pelo número 
se o sentido da desigualdade. 
a * x2 > a* x1 
Neste momento, somaremos b a ambos os membros desta desigualdade, e 
ax2 + b < ax1 + b 
 
f(x2) < f(x1) 
Desenhando apenas o eixo Ox, o gráfico da função de 1º grau pode ser: 
 
Fig. 4: Gráficos das funções descritas acima. 
estudar os sinais de f(x) = -4x + 3 
9
E, novamente, vamos multiplicar ambos os membros pelo número a 
a ambos os membros desta desigualdade, e 
1º grau pode ser: 
 
 
 
 
 
f(x) = 0 → -4x + 3 = 0 → x =
 
2º) Como a = -4, a função é decrescente. 
 
Portanto, o gráfico de f (x) 
 
Fig. 5: Gráfico 
 
Assim temos: 
 
f(x) = 0 ↔ x =
4
3
 
 
f(x) > 0 ↔ x < 
4
3
 
 
f(x) < 0 ↔ x > 
4
3
 
 
 
Função constante é toda funçãoem que os elementos do domínio 
possuem uma mesma imagem. 
Ex: A, f(x) = k x 
4
3
 
 
 
→ x = 
4
3
 
4, a função é decrescente. 
(x) tem o seguinte aspecto: 
 
Função Constante 
Função constante é toda função em que os elementos do domínio 
possuem uma mesma imagem. 
10
Função constante é toda função em que os elementos do domínio 
 
 
 
 
Fig. 6: Diagrama de Função Constante
 
 
 
2.3) Função potência:
Toda função do tipo 
Função Potência. São exemplos de funções potências: 
y = x2 
y = x3 
y = x4 
 
O domínio de y = x
calcular x n, independente do valor de "x". 
Observemos o gráfico 
Fig. 7: Gráfico de f(x)=x 2 
 
 
 
 
 
Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo.
 
 
 
: Diagrama de Função Constante 
potência: 
Toda função do tipo y = x n, onde "n" é um número natural, é chamada 
Função Potência. São exemplos de funções potências: 
y = x n é o conjunto dos reais, porque sempre podemos 
, independente do valor de "x". 
Observemos o gráfico y = x2 abaixo, onde "n" é um número par:
 
• para "x" positivo, o 
crescimento da função é cada 
vez mais rápido: para "x" no 
intervalo [1,2] temos "y" no 
intervalo [1,4]; para "x" no 
intervalo [2,3] temos "y" no 
intervalo [4,9]; para "x" no 
intervalo [3,4] temos 
intervalo [9,16]; e assim por 
diante. 
• Observe que o gráfico para 
"x" negativo é uma reflexão do 
gráfico para "x" positivo. 
Para o caso "n" ímpar, temos o gráfico abaixo. 
11
, onde "n" é um número natural, é chamada 
é o conjunto dos reais, porque sempre podemos 
abaixo, onde "n" é um número par: 
para "x" positivo, o 
crescimento da função é cada 
vez mais rápido: para "x" no 
intervalo [1,2] temos "y" no 
intervalo [1,4]; para "x" no 
intervalo [2,3] temos "y" no 
intervalo [4,9]; para "x" no 
intervalo [3,4] temos "y" no 
intervalo [9,16]; e assim por 
Observe que o gráfico para 
"x" negativo é uma reflexão do 
gráfico para "x" positivo. 
 
 
 
 
 
Fig. 8: Gráfico de f(x) = x elevado à potência ímpar 
 
2.4) Função Racional: O Conceito de Proporcionalidade Inversa
 
Toda função do tipo y = a/x (
estabelece uma relação tal que y.x é constante. Dizemos
de "y" é inversamente proporcional à
Por exemplo: y = 
 
Onde a = 1. 
Observemos a função 
seguintes características: 
� Quando "x" cresce, tanto quanto quisermos em valor absolu
de "y" fica cada vez menor em valor
de zero, sem nunca alcançá
� Quando "x" se aproxima de zero, o valor de 
� Quando “x” assume valores cada vez mais negativo, o valor de 
tende a zero, e quando 
o valor de “y” tende a menos infinito.
 
 
 
f(x) = x elevado à potência ímpar 
Função Racional: O Conceito de Proporcionalidade Inversa
Toda função do tipo y = a/x (com "a" constante e x diferente de zero
estabelece uma relação tal que y.x é constante. Dizemos, então,
inversamente proporcional à variação de "x". 
x
1
 
Observemos a função y = a/x para "a" positivo. Podemos verificar as 
seguintes características: 
cresce, tanto quanto quisermos em valor absolu
fica cada vez menor em valor absoluto, aproximando-se cada vez mais
de zero, sem nunca alcançá-lo; 
se aproxima de zero, o valor de "y"fica bem grande.
assume valores cada vez mais negativo, o valor de 
e quando “x” chega, assume valores negativos, próximos a zero, 
tende a menos infinito. 
12
Função Racional: O Conceito de Proporcionalidade Inversa 
diferente de zero) 
, que a variação 
odemos verificar as 
cresce, tanto quanto quisermos em valor absoluto, o valor 
se cada vez mais 
fica bem grande. 
assume valores cada vez mais negativo, o valor de “y” 
assume valores negativos, próximos a zero, 
 
 
 
 
Figura 9: Gráfico da função a/x , com “a” positivo.
 
Como seria o comportamento desta função para "a" negativo? 
Uma análise similar para o caso 
Figura 10
2.4.1) 
 
Toda função do tipo 
particular de Função Racional. São exemplos dessas funções
� y = 1/x2 
� y = 1/x3 
� y = 1/x4 
O domínio de y = 1/x
está definido. 
 
 
 
: Gráfico da função a/x , com “a” positivo. 
Como seria o comportamento desta função para "a" negativo? 
lar para o caso "a" negativo é mostrado no gráfico abaixo.
Figura 10: Gráfico da função a/x, com “a” negativo. 
2.4.1) Função Racional Particular 
Toda função do tipo y = 1/x n, com x diferente de zero, é um caso 
particular de Função Racional. São exemplos dessas funções: 
y = 1/x n é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não 
13
Como seria o comportamento desta função para "a" negativo? 
o gráfico abaixo. 
 
diferente de zero, é um caso 
é o conjunto dos reais, menos o zero, pois 1/ 0 não 
 
 
 
 
 
A função y = 1/x também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é 
um número ímpar. 
Figura 11: Gráfico da função y=
 
Para o caso "n" par, temos o gráfico abaixo.
 
 
 
Figura 12: Gráfico da função y= 1/x, com n par
 
 
 
 
 
 
também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é 
 
• podemos fazer "x" crescer 
tanto quanto quisermos 
(em valor absoluto) e 
teremos um "y" cada 
menor, aproximando
cada vez
sem nunca alcançá
• podemos também fazer "x" 
ter um valor muito próximo 
de zero (em valor 
absoluto), obtendo, nest
caso, um "y" tão grande 
quanto quisermos, sem 
limite. 
 
: Gráfico da função y=
n
x
1
com n ímpar 
Para o caso "n" par, temos o gráfico abaixo. 
 
: Gráfico da função y= 1/x, com n par. 
14
também é um caso particular de Função Racional, onde "n" é 
podemos fazer "x" crescer 
tanto quanto quisermos 
(em valor absoluto) e 
teremos um "y" cada vez 
menor, aproximando-se 
cada vez mais de zero, 
sem nunca alcançá-lo; 
podemos também fazer "x" 
ter um valor muito próximo 
de zero (em valor 
absoluto), obtendo, neste 
caso, um "y" tão grande 
quanto quisermos, sem 
 
 
 
 
 
Toda função do tipo y = x 1/n, onde "n" é um número natural, é chamada Função 
Raiz. São exemplos de funções raízes: 
e assim por diante. 
O domínio de y = x
ímpar o domínio será o conjunto dos reais; se "
será os reais positivos, pois a raíz de índice par
definida no conjunto dos números reais. 
Observe o gráfico 
 
Figura 13: Gráfico da função y= x
 
 
1- Anderson faz o trajeto de sua casa à escola a pé. 
mesmo trajeto, e percorre 1800m. Sai às 7:00 para chegar às 7:30, horário em 
que começam as aulas. 
No que segue, vamos falar em gráficos temp
velocidade: 
Gráfico tempo-distância 
registra a distância que Anderson 
encontra-se de casa, em função do 
tempo 
 
 
Função Raiz 
Toda função do tipo y = x 1/n, onde "n" é um número natural, é chamada Função 
Raiz. São exemplos de funções raízes: 
 
y = x 1/n depende do parâmetro "n": se "n" for um número 
ímpar o domínio será o conjunto dos reais; se "n" for um número par o domínio 
será os reais positivos, pois a raíz de índice par, e radicando negativo
definida no conjunto dos números reais. 
o gráfico y = x 1/2 abaixo, onde "n" é um número par:
 
• a função raiz é crescente e positiva,
para qualquer valor de "x".
 
• seu crescimento é mais significativo
para valores pequenos de "x"; à 
medida que aumentamos o valor de 
"x", diminuímos a velocidade de 
crescimento da função.
: Gráfico da função y= x 2
1
 
Exercício resolvido 1 
Anderson faz o trajeto de sua casa à escola a pé. Ele f
e percorre 1800m. Sai às 7:00 para chegar às 7:30, horário em 
 
No que segue, vamos falar em gráficos tempo-distância e tempo
 Gráfico tempo-velocidade
registra a distância que Anderson 
se de casa, em função do 
registra a velocidade com que 
Anderson faz o trajeto, em função do 
tempo 
15
Toda função do tipo y = x 1/n, onde "n" é um número natural, é chamada Função 
depende do parâmetro "n": se "n" for um número 
n" for um número par o domínio 
e radicando negativo, não está 
abaixo, onde "n" é um número par: 
a função raiz é crescente e positiva, 
para qualquer valor de "x". 
seu crescimento é mais significativo 
para valores pequenos de "x"; à 
medida que aumentamos o valor de 
"x",diminuímos a velocidade de 
crescimento da função. 
Ele faz sempre o 
e percorre 1800m. Sai às 7:00 para chegar às 7:30, horário em 
distância e tempo-
velocidade 
registra a velocidade com que 
Anderson faz o trajeto, em função do 
 
 
 
 
 
 
16
Observação: A variável tempo será representada no eixo x. 
 
 
a) Esboce o gráfico tempo-distância que representa o trajeto de Anderson. 
 
Figura 14: Gráfico da função f(t) = 1 t 
 
b) Esboce o gráfico do tempo-velocidade com que Anderson faz o trajeto. 
 
 
 
 
Figura 15: Gráfico da função f(t) = 1 (velocidade X tempo) 
 
 
 
 
 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
tempo(segundos)
di
st
ân
ci
a(
m
)
Distância X Tempo
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Tempo (segundos)
V
el
oc
id
ad
e 
(m
/s
)
Gráfico da função Velocidade X tempo
 
 
 
 
 
 
17
Funções polinomiais 
Polinômios 
Um polinômio de grau n é uma função da forma 
 
p(x) = anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0 
 
onde os coeficientes a0, a1,..., an são números reais conhecidos, an ≠ 0 e 
n é um número natural. 
A função linear afim y = ax + b, cujo gráfico é uma reta, e a função 
quadrática y = ax2 + bx + c, cujo gráfico é uma parábola, são exemplos de 
polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinômio 
de grau zero é uma função constante. Cada uma das parcelas aix
i de um 
polinômio, é chamada monômio de grau i. 
Dado um polinômio p(x) = anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0, 
verifiquemos qual o significado geométrico da constante a0 .Observemos o 
polinômio y = 2x4 - 3x3 -4x2 -1x + 2 cujo gráfico é dado abaixo, e somente foi 
alterado o valor da constante a0. Observe o efeito que esta mudança acarreta 
no gráfico da função, quando a0 = -20, ao = -10, ao= , ao= 10 e a=20. 
 
ao=2 
ao= - 20 
ao=10 
ao=20 
ao= - 10 
 
 
 
 
 
 
18
Figura 16: Gráfico da função f(x)= 2x4 - 3x3 -4x2 -1x + 2 
 
Os exemplos mais simples de polinômios são as funções de potências da 
forma 1, x, x2, ..., xn . 
Abaixo, estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguintes funções 
potência de grau ímpar: 
f(x) = x3 g(x) = x5 
 
Figura 17 Gráfico da função f(x)=x 3 Figura 18: Gráfico da função g(x)=x5 
 
Observemos que quando x tende a infinito, o y também aumenta. E 
quanto maior o n, temos essa característica mais atenuante. 
Tabelas 1 e 2: Valores de x e f(x) 
x F(x)=x^3 x g(x)=x^5 
-10 -1000 -10 -100000 
-9 -729 -9 -59049 
-8 -512 -8 -32768 
-7 -343 -7 -16807 
-6 -216 -6 -7776 
-5 -125 -5 -3125 
-4 -64 -4 -1024 
-3 -27 -3 -243 
-2 -8 -2 -32 
-1 -1 -1 -1 
0 0 0 0 
1 1 1 1 
2 8 2 32 
3 27 3 243 
4 64 4 1024 
5 125 5 3125 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
y
f(x)=x3
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
x
y
f(x)=x5
 
 
 
 
 
 
19
Abaixo, estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguintes funções potência 
de grau par: 
F(x)= x 2 g(x) =x 6 
 
Figura 19: Gráfico da função g(x)=x2 Figura 20: Gráfico da função g(x)=x4 
Estes gráficos foram feitos no software “ Matlab” : 
 
 
Figura 21: Tela inicial do Matlab 
 
À direita, vemos o prompt “ >>” esperando o nosso comando, para fazer 
o gráfico da função f(x) = x 3 . Por exemplo utilizamos o seguinte comando: 
 
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
x
y
f(x)=x2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
y
g(x)=x4
 
 
 
 
 
 
20
fplot('x^3',[-2 2]); 
 
Onde observamos que a potência é representada pelo acento circunflexo 
e o intervalo que x pertence é de -2 a 2. 
 
Para colocar nome nos eixos e o título do gráfico, abrirá uma janela 
mostrando o gráfico, clique no “Insert” (inserir), que abrirá outra janela, em que 
irá escolher Xlabel , Ylabel e Title. 
 
 
 
 
 
Figura 22: Tela do gráfico f(x) = x 3 
 
 
Um estudo completo de funções: 
 
 
 
 
 
 
 
21
A princípio, conhecendo-se o gráfico da função que modela o fenômeno 
que se quer estudar, é fácil localizar, visualmente, os seus máximos, ou 
mínimos, no intervalo considerado. Abaixo, o gráfico da função: 
 Fig. 23: Gráfico da função f(x)= 4x xx 40080 23 +− 
 
Um ponto (x0, f(x0)) é um ponto máximo (mínimo) relativo, ou local de uma 
função f, quando f(x0) é o maior (menor) valor da função, em qualquer intervalo 
em torno de x0 .Por outras palavras, (x0, f(x0)) é um ponto de máximo (mínimo) 
relativo da função f, se f(x0) é o maior (menor) valor da função, numa certa 
vizinhança de x0. 
 Vamos determinar inicialmente o domínio desta função: 
 
D(f) = R 
 
Determinemos, agora, o intercepto x ( x, 0) 
Para isso, deveremos igualar a função a 0: 
 
4x 040080 23 =+− xx 
 
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
100
200
300
400
500
600
x
y
Determinação dos extremos da função 4*x3-80*x2+400*x
 
 
 
 
 
 
22
 
Nesse caso, podemos colocar o x em evidência para acharmos as raízes 
reais: 
0)10020(4 2 =+− xxx 
 
4x=0 x=0 
 
Ou 0)40020( 2 =+− xx 
Onde tiramos que x = 10 
 
As raízes reais são 0 e 10. 
 
• Derivando a primeira, teremos: F´(x) = 12x 2 -160 x+ 400 
 
• Onde igualaremos a 0 para estudarmos o sinal da função 
 
• O discriminante será = (-160) 2 - 4*12*400 =6400 
 
• E as raízes desta equação serão x 1 = (160 +80)/24=240/24 = 10 
 
• A outra raiz será x 2 = (160-80)/24 = 3,3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig. 24: Gráfico da função f(x)= 12x 2 -160 x+ 400 
 
 
 
 
 
 
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
y
x
Estudo do sinal da derivada primeira
 
 
 
 
 
 
23
� O que observamos é que antes de 3 e depois de 10 temos a função 
positiva e, entre eles, a função fica negativa. 
Assim, 
F é crescente em ]- 3,3,∞ [ e ]10, ∞ [ 
F é decrescente em ] 3,3 ; 10[. 
 
Podemos verificar se existe ponto de inflexão, ou seja, se há um ponto 
que mude a concavidade da função. Para isso, observemos a segunda 
derivada da função estudada: 
 
• f ’’(x)= 24x-160 
• Igualemos a f ’’(x) =0 
• Teremos: 24x-160=0 e x=6,66. 
• O que significa que encontramos o ponto de inflexão, pois f é côncava para 
baixo em ]- 6,6;∞ [ e côncava para cima em ]6,6 ; ∞ [ 
 
Resolvendo equações polinomiais 
 
I) Raízes complexas e irracionais 
• Se o número complexo a + bi é uma raiz da equação racional inteira P(x)=0, 
com coeficientes reais, então o número complexo conjugado a-bi também é uma 
raiz. Sendo assim, toda equação racional inteira de grau ímpar com coeficientes 
reais têm pelo menos uma raiz real. 
• Se a equação racional inteira P(x)=0, com coeficientes racionais, tem a+ b
como raiz, onde a e b são racionais e b é irracional, então a- b também é 
uma raiz. 
 
II) Teorema da raiz racional 
 
• Se b/c , uma fração racional irredutível, é uma raiz da equação: 
 
anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 com an ≠ 0 
 
com coeficientes inteiros, então b é um fator de a0 e c é um fator de an. 
 
 
 
 
 
 
 
24
 Assim, se b/c é uma raiz racional de 6x 3 +5x 2 -3x+2=0 , os valores de b 
são limitados aos fatores de 2, que são ,2,1 ±± e os valores de c são limitados 
aos fatores de 6 que são 6,3,2,1 ±±±± . 
 As raízes racionais possíveis são .3/2,6/1,3/1,2/1,2,1 ±±±±±± 
 
III) Teorema da raiz inteira. 
 
• Segue-se que, uma equação P(x)=0 tem coeficientes inteiros e o coeficiente 
líder é 1: 
 
 anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 
 
teremos que toda raiz racional d P(x) =0 é um inteiro e um fator de ao. 
 Desse modo, as raízes racionais de uma equação como: 
x 3 +2x 2 -11x-12=0 
 
se existirem, estão limitadas a .12,4,3,2,1 ±±±±± 
 
IV) Teorema do Valor intermediário: 
 
 Se P(x) =0 é uma equação polinomial com coeficientes reais, então os 
valores aproximados para as raízes reaisde P(x)+0 podem ser encontrados 
esboçando-se o gráfico de y=P(x) e determinando-se os valores de x nos pontos 
onde o gráfico intercepta o eixo x. 
 O importante deste processo é o fato de que, se P(a) e P(b) têm sinais 
opostos, então P(x)=0 tem pelo menos uma raiz entre x=a e x=b; 
 
Exercício resolvido 2: 
 
Encontre o(s) intervalo(s) em que estão as raízes de P(x)= 2x 3 -5x 2 -6x+4 
 
Solução: 
Vamos iniciar pelo intervalo [-4,4] 
P(-4) = -180 
P(-3) = -77 
P(-2) = -20 
 
 
 
 
 
 
25
P(-1)=3 
P(0)=4 
P(1)=-5 
P(2)=-12 
P(3)=-5 
P(4)=28 
 
Observe que P(-2) e P(-1), P(0) e P(1) e P(3) e P(4) têm sinais opostos 
Ou seja, existe uma raiz entre -2 e -1, outra entre 0 e 1 e a terceira entre 
3 e 4. 
Nem sempre é possível localizar todas as raízes reais através deste 
procedimento, porque poderia haver mais de uma raiz entre dois inteiros 
consecutivos. Quando existe um número par de raízes entre dois inteiros 
consecutivos, o Teorema do Valor Intermediário não vai revelá-las, pois 
utilizamos apenas valores inteiros para x. O Teorema do Valor Intermediário não 
nos diz quantas raízes reais existem no itervalo, mas apenas que existe pelo 
menos uma raiz no intervalo. 
V. Cotas, inferior e superior, para raízes reais 
 
Um número a é denominado cota superior, ou limite superior, para as 
raízes reais de P(x)=0 se nenhuma raiz é maior que a. 
Um número b é denominado cota inferior, ou limite inferior, para as raízes 
reais de P(x)=0 se nenhuma raiz é menor que b. 
 
Seja: 
 anx
n + an-1x
n-1 +...+ a2x
2 + a1x + a0=0 
 
com an, an-1, .. a2, a1, a0 reais e an>0 
 
 
 
 
 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
26
(1) Se pela divisão sintética de P(x) por x-a, com a ≥ 0, todos os números 
obtidos na segunda linha são positivos ou nulos, então a é uma cota superior 
para todas as raízes reais de P(x)=0. 
(2) Se pela divisão sintética de P(x) por x-b, com b ≤ 0, todos os números 
obtidos na segunda linha são alternadamente positivos e negativos (ou nulos), 
então b é uma cota inferior para todas as raízes reais de P(x)=0. 
 
Exercício resolvido 3: 
 
Encontre um intervalo através das cotas, inferior e superior, que contenha 
todas as raízes de P(x)= P(x)= 2x 3 -5x 2 +6. 
 
Vamos iniciar fazendo a divisão pelos inteiros 1,2, 3,... 
 
 
 
 
 
 Na 1ª. linha colocamos os coeficientes 1,-5 0 e 6 
 Na 2ª. linha colocamos o número 1 para iniciar a divisão. 
 
 Fazemos a operação: Abaixa o número 2 
 Fazemos 1 * 2+ (-5) = -3 
 1 * (-3) + 0 =-3 
 1*(-3) + 6 = -3 
 
Como não conseguimos todos os números da 2ª. linha, positivos ou nulos, 
vamos tentar com o número 2: 
 
 
 
 
 2 -5 0 6 
2 2 -1 -2 2 
 (multiplica) 
 2 -5 0 6 
1 
 
2 -3 -3 -3 
soma 
 
 
 
 
 
 
27
 
Quando dividimos por 3, a linha do quociente é toda positiva, de modo que 3 é o 
menor inteiro, que é uma cota superior para todas as raízes. 
 
 2 -5 0 6 
3 2 1 3 15 
 
Cota superior = 3 
 
Vamos fazer a divisão sintética com -1: 
 
 2 -5 0 6 
-1 2 -7 7 -1 
 
Quando dividimos por -1 , a linha do quociente alterna o sinal, assim, -1 é o 
maior inteiro que é uma cota inferior para as raízes de P(x). 
 
Cota inferior = -1 
 
Portanto, as raízes reais de P(x) = 2x
3
-5x
2
+6 estão no intervalo (-1,3). 
 
VI) Regra de Sinais de Descartes 
 
 Se os termos de um polinômio P(x) com coeficientes reais forem listados 
em ordem decrescente das potências de x, dizemos que ocorre uma variação de 
sinal, pois dois termos consecutivos diferem em sinal. 
 A Regra de Sinais de Descartes diz que: 
 “ O número de raízes positivas de P(x)=0 é igual 
ao número de variações de sinal de P(x) ou menor que 
este número, diferindo deste por um número par, e o 
número de raízes negativas de P(x)=0 é igual ao número 
de variações de sinal de P(-x) ou menor que este 
número.” 
 
 
 
 
 
 
 
28
Por exemplo: x
9
-2x
5
+2x
2
- 3x+12=0 
 
Existem 4 variações de sinal de P(x), portanto pode ter 4, (4-2) ou (4-4) 
raízes positivas. 
Quando P(-x) = (-x)
9
-2(-x)
5
+2(-x)
2
- 3(-x)+12 
 P( - x) = -x
9
+2x
5
+2x
2
+ 3x+12 
Apenas 1 variação de sinal, ou seja, 1 raiz negativa. 
 
E as outras raízes? 
Elas são raízes complexas !!! 
 
Exercício resolvido 4: 
 
I) Encontre uma raiz real de x 3 +3x 2 +8=0, com uma precisão de 2 casas 
decimais. 
 
Solução: 
Pela Regra de Descartes, temos: 
 
Não há raízes positivas, não há variação de sinal em P(x) 
 
Quando P(-x) = (-x) 3 +3(-x) 2 +8 
 P(-x)= -x 3 +3x 2 +8 
 
Há 1 variação de sinal, portanto, 1 raiz negativa. 
Então, vamos verificar onde está esta raiz: 
 
P(-4) P(-3) P(-2) P(-1) 
-68 -28 -6 4 
 
Teremos uma raiz entre -2 e -1, onde há variação de sinal. 
E ainda teremos que verificar o intervalo de comprimento de um décimo, que 
contém a raiz: 
 
 
 
 
 
 
29
 
x -1 -1,1 -1,2 -1,3 -1,4 -1,5 -1,6 -1,7 -1,8 
P(x) 4 3,369 2,672 1,903 1,056 0,125 -0,896 -2,013 -3,232 
 
 Podemos verificar que a mudança de sinal de P(x) ocorre quando x=-1,5 e x= -
1,6 
 A procura da nova raiz entre -1,6 e -1,5, então, teremos que tentar -1,51; -1,52; -
1,53,... 
 -
1,51 -1,52 -1,53 
0,027049 -0,07181 -0,17158 
 
Temos, então, uma raiz entre -1,52 e -1,51. 
 
I) Dado que uma raiz de x 3 + 2x 2 -23x -60=0 é 5, resolva a equação. 
 
Pela divisão sintética, temos: 
 
 1 2 -23 -60 
5 1 7 12 0 
 
 
 
Assim, a equação derivada (mas não é a P’(x))= x 2 +7x +12=0, cujas 
raízes são: -3 e -4. 
Assim, as três raízes são: -4,-3 e 5. 
II) Determine as raízes racionais de 4x 3 + 15x-36=0 
 
Sabendo que b é um fator de a0= -36 
E c é um fator de an,=4 
 
Assim, os valores de b são limitados em .36,12,9,6,3,2,1 ±±±±±±± 
Os valores de c estão limitados a 4,2,1 ±±± 
E as raízes racionais possíveis são: 
 
 
 
 
 
 
30
Raízes negativas: -36 , -18, -12, -9, -6, -9/2, -4, -3, -9/4, -2, -1,-3/4, -1/2, -1/4 
Raízes positivas: 1/4, 1/2, 3/4, 1,2,9/4, 3,4,9;2, 6, 9, 12, 18, 36. 
 
Teste para cota superior: 
 4 0 15 -36 
1 4 4 19 -17 
Ainda há um termo negativo 
 
 4 0 15 -36 
2 4 8 31 26 
 
Todos os números da 2ª. linha são positivos, portanto, não há raiz (real) maior 
que 2. 
 
Teste para cota inferior: 
 4 0 15 -36 
-1 4 -4 19 -55 
 
Determinamos que não há raiz (real) menor que -1. 
Assim, as únicas raízes racionais possíveis, maiores que -1 e menores que 2, 
são: 
-3/4, -1/2, -1/4, ¾, 3/2. 
 
 
Assim, teremos: 
x P(x) 
-0,75 
-
48,9375 
-0,5 -44 
-0,25 
-
39,8125 
0,75 
-
23,0625 
1,5 0 
 
 
 
 
 
 
 
31
Descobrimos, portanto, que 3/2 é a única raiz racional. 
E as outras são as raízes da equação: 4x 2 +6x +24=0 
 
 4 0 15 -36 
1,50 4 6 24 0 
 
 
As outras raízes são soluções desta equação, e são: x=- i
4
87
4
3
± 
 
Função logarítmica 
 
Logaritmo 
 
 Se b x =N, onde N é um número positivo e b é um número positivo distinto 
de 1, então o expoente x é o logaritmo de N na base b e é escrito da seguinte 
forma: 
X=log b N 
 O logaritmo tem algumas aplicações muito importantes, principalmente no 
que diz respeito à transformação de números que estão sendo multiplicados 
para a operação de adição e à transformação de números de potência para a 
multiplicação. Devido a essas facilidades, o logaritmo tem sido muito utilizado 
em operações, como na Matemática Financeira. 
 
Propriedades do logaritmo: 
 
I) log b (M*N)= log b M+ log b N 
Exemplo: log (10 * 10) = log10+log10=1+1 =2 
II) log b
N
M
= log b M - log b N 
Exemplo: log 





10
100 =log100-log10=2-1=1 
III) log b M
n =n log b M 
 Exemplo: log 10 2 = 2* log10= 2*1 = 2. 
 
 
 
 
 
 
32
 
3. LOGARITMOS COMUNS 
 
O sistema de logaritmos cuja base é 10 é chamado de sistema de 
logaritmo comum. Quando a base é omitida , subentende-se que a base é 10. 
Por exemplo, log 12=1,07918 pois 10 07918,1 =12. 
 
N o1 2 3 4 5 6 7 8 9 
10 0000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 0294 0334 0374 
11 0414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 0682 0719 0755 
12 0792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 1038 1072 1106 
13 1139 1173 1206 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 
14 1461 1492 1523 1553 1584 1614 1644 1673 1703 1732 
15 1761 1790 1818 1847 1875 1903 1931 1959 1987 2014 
16 2041 2068 2095 2122 2148 2175 2201 2227 2253 2279 
17 2304 2330 2355 2380 2405 2430 2455 2480 2504 2529 
18 2553 2577 2601 2625 2648 2672 2695 2718 2742 2765 
19 2788 2810 2833 2856 2878 2900 2923 2945 2967 2989 
20 3010 3032 3054 3075 3096 3118 3139 3160 3181 3201 
21 3222 3243 3263 3284 3304 3324 3345 3365 3385 3404 
22 3424 3444 3464 3483 3502 3522 3541 3560 3579 3598 
23 3617 3636 3655 3674 3692 3711 3729 3747 3766 3784 
24 3802 3820 3838 3856 3874 3892 3909 3927 3945 3962 
25 3979 3997 4014 4031 4048 4065 4082 4099 4116 4133 
26 4150 4166 4183 4200 4216 4232 4249 4265 4281 4298 
27 4314 4330 4346 4362 4378 4393 4409 4425 4440 4456 
28 4472 4487 4502 4518 4533 4548 4564 4579 4594 4609 
29 4624 4639 4654 4669 4683 4698 4713 4728 4742 4757 
30 4771 4786 4800 4814 4829 4843 4857 4871 4886 4900 
31 4914 4928 4942 4955 4969 4983 4997 5011 5024 5038 
32 5051 5065 5079 5092 5105 5119 5132 5145 5159 5172 
33 5185 5198 5211 5224 5237 5250 5263 5276 5289 5302 
34 5315 5328 5340 5353 5366 5378 5391 5403 5416 5428 
35 5441 5453 5465 5478 5490 5502 5514 5527 5539 5551 
36 5563 5575 5587 5599 5611 5623 5635 5647 5658 5670 
37 5682 5694 5705 5717 5729 5740 5752 5763 5775 5786 
38 5798 5809 5821 5832 5843 5855 5866 5877 5888 5899 
39 5911 5922 5933 5944 5955 5966 5977 5988 5999 6010 
40 6021 6031 6042 6053 6064 6075 6085 6096 6107 6117 
41 6128 6138 6149 6160 6170 6180 6191 6201 6212 6222 
42 6232 6243 6253 6263 6274 6284 6294 6304 6314 6325 
43 6335 6345 6355 6365 6375 6385 6395 6405 6415 6425 
44 6435 6444 6454 6464 6474 6484 6493 6503 6513 6522 
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 O dígito que precede a parte decimal do número é a característica do 
logaritmo, e a fração decimal é a sua mantissa. Portanto, nesse exemplo: 
 
 
 
 
 
 
33
 
Característica=1 
Mantissa= 0,7918 
 
 A mantissa do logaritmo de um número é encontrada em tabelas, na 
quais subentende-se que cada mantissa seja precedida por vírgula, uma vez 
que ela é sempre inferior a 1. 
 A característica é determinada por uma análise do número, de acordo 
com as condições: 
 
a)Para um número maior que 1 , a característica é positiva e igual à quantidade 
de dígitos antes da vírgula menos um. Por exemplo: 
 
Número: 4.768 Característica: 3 
Número: 346 Característica: 2 
Número: 567 Característica: 2 
 
b) Para um número menor que 1, a característica é negativa e igual à 
quantidade de zeros, após à vírgula, mais 1. O sinal negativo da característica é 
representado da seguinte maneira: 
_
1 , um traço em cima do numeral, que 
mostrará apenas uma casa antes da vírgula, como o número:0,3485. 
 
Tabela de logaritmos comuns 
 
 Vamos utilizar a tabela de logaritmos. Suponha que queiramos encontrar 
o logaritmo de 456. Assim, descemos na coluna de N até 45, deslocamo-nos 
para a direita até o coluna 6 e anotamos o número: 6590. 
 Sabemos que a característica de 456 é 2, então o log456 = 2,6590. 
 
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
45 6532 6542 6551 6561 6571 6580 6590 6599 6609 6618
46 6628 6637 6646 6656 6665 6675 6684 6693 6702 6712
47 6721 6730 6739 6749 6758 6767 6776 6785 6794 6803
48 6812 6821 6830 6839 6848 6857 6866 6875 6884 6893
49 6902 6911 6920 6928 6937 6946 6955 6964 6972 6981
 
 
 
 
 
 
34
50 6990 6998 7007 7016 7024 7033 7042 7050 7059 7067
51 7076 7084 7093 7101 7110 7118 7126 7135 7143 7152
52 7160 7168 7177 7185 7193 7202 7210 7218 7226 7235
53 7243 7251 7259 7267 7275 7284 7292 7300 7308 7316
54 7324 7332 7340 7348 7356 7364 7372 7380 7388 7396
55 7404 7412 7419 7427 7435 7443 7451 7459 7466 7474
56 7482 7490 7497 7505 7513 7520 7528 7536 7543 7551
57 7559 7566 7574 7582 7589 7597 7604 7612 7619 7627
58 7634 7642 7649 7657 7664 7672 7679 7686 7694 7701
59 7709 7716 7723 7731 7738 7745 7752 7760 7767 7774
60 7782 7789 7796 7803 7810 7818 7825 7832 7839 7846
61 7853 7860 7868 7875 7882 7889 7896 7903 7910 7917
62 7924 7931 7938 7945 7952 7959 7966 7973 7980 7987
63 7993 8000 8007 8014 8021 8028 8035 8041 8048 8055
64 8062 8069 8075 8082 8089 8096 8102 8109 8116 8122
65 8129 8136 8142 8149 8156 8162 8169 8176 8182 8189
66 8195 8202 8209 8215 8222 8228 8235 8241 8248 8254
67 8261 8267 8274 8280 8287 8293 8299 8306 8312 8319
68 8325 8331 8338 8344 8351 8357 8363 8370 8376 8382
69 8388 8395 8401 8407 8414 8420 8426 8432 8439 8445
70 8451 8457 8463 8470 8476 8482 8488 8494 8500 8506
71 8513 8519 8525 8531 8537 8543 8549 8555 8561 8567
72 8573 8579 8585 8591 8597 8603 8609 8615 8621 8627
73 8633 8639 8645 8651 8657 8663 8669 8675 8681 8686
74 8692 8698 8704 8710 8716 8722 8727 8733 8739 8745
75 8751 8756 8762 8768 8774 8779 8785 8791 8797 8802
76 8808 8814 8820 8825 8831 8837 8842 8848 8854 8859
77 8865 8871 8876 8882 8887 8893 8899 8904 8910 8915
78 8921 8927 8932 8938 8943 8949 8954 8960 8965 8971
79 8976 8982 8987 8993 8998 9004 9009 9015 9020 9025
80 9031 9036 9042 9047 9053 9058 9063 9069 9074 9079
81 9085 9090 9096 9101 9106 9112 9117 9122 9128 9133
82 9138 9143 9149 9154 9159 9165 9170 9175 9180 9186
83 9191 9196 9201 9206 9212 9217 9222 9227 9232 9238
84 9243 9248 9253 9258 9263 9269 9274 9279 9284 9289
N O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
 
 
Exercício resolvido 5: 
Calcule log 5,638 
 
Vamos até à tabela de logaritmos na linha de 56 e na coluna 3: 
 
Mantissa de log 5,630=0,7505 
Mantissa de log 5,640=0,7513 
 
 
 
 
 
 
 
35
Fazemos a diferença tabular: 0,7513 – 0,7505 = 0,0008 
 
Assim, teremos: 0,8 * 0,0008 = 0,00064 
 
Como queremos log 5,6380, fazemos: 
 
Log 5,630 + 0,00064 = 0,7505+ 0,00064 = 0,7511 (aproximando para 4 casas 
decimais) 
Comentário adicional: A mantissa de log 5638 , log 563,8 , log 56,38, etc... é 
0,7511, mas as características diferem: 
 
Assim: log 5638 =3,7511 log 0,5638 = 751,1
_
 
 Log 563,8 = 2,7511 log 0,05638 = 1751,2
_
 
 Log 56,38 =1,7511 
 Log 5,638 = 0,7511 
 
Antilogaritmo é o número que corresponde a um logaritmo. O antilogaritmo de 
0,7511 “significa” o número cujo logaritmo é 0,7511, esse número é 5,6380. 
 
Logaritmos naturais 
 
O sistema de logaritmos cuja base é a constante é chamado de sistema 
logarítmico natural. 
A indicação de um logaritmo com base“ e” (2,718...) é ln Assim, ln25 = loge 25. 
 
Utilização de tabelas com logaritmos naturais 
Abaixo, uma parte da tabela de logaritmos naturais: 
N 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
1 0 0,01 0,0198 0,0296 0,0392 0,0488 0,0583 0,0677 0,077 0,082 
1,1 0,0953 0,1044 0,1133 0,1222 0,131 0,1398 0,1484 0,157 0,1655 0,174 
1,2 0,1823 0,1906 0,1989 0,207 0,2151 0,2231 0,2311 0,239 0,2469 0,2546 
1,3 0,2624 0,27 0,2776 0,2852 0,2927 0,3001 0,3075 0,3148 0,3221 0,3293 
 
 
 
 
 
 
36
1,4 0,3365 0,3436 0,3507 0,3577 0,3646 0,3716 0,3784 0,3853 0,392 0,3988 
1,5 0,4055 0,4121 0,4187 0,4253 0,43]8 0,4383 0,4447 0,4511 0,4574 0,4637 
1,6 0,47 0,4762 0,4824 0,4886 0,4947 0,5008 0,5068 0,5128 0,5188 0,5247 
1,7 0,5306 0,5365 0,5423 0,5481 0,5539 0,5596 0,5653 0,571 0,5766 0,5822 
1,8 0,5878 0,5933 0,5988 0,6043 0,6098 0,6152 0,6206 0,6259 0,6313 0,6366 
1,9 0,6419 0,6471 0,6523 0,6575 0,6627 0,6678 0,6729 0,678 0,6831 0,6881 
2 0,6931 0,6981 0,7031 0,708 0,713 0,7178 0,7227 0,7275 0,7324 0,7372 
2, 1 0,74]9 0,7467 0,7514 0,7561 0,7608 0,7655 0,7701 0,7747 0,7793 0,7839 
2,2 0,7885 0,793 0,7975 0,8020,8065 0,8109 0,8154 0,8198 0,8242 0,8286 
2,3 0,8329 0,8372 0,8416 0,8459 0,8502 0,8544 0,8587 0,8629 0,8671 0,8713 
2,4 0,8755 0,8796 0,8838 0,8879 0,892 0,8961 0,9002 0,9042 0,9083 0,9123 
2,5 0,9163 0,9203 0,9243 0,9282 0,9322 0,9361 0,94 0,9439 0,9478 0,9517 
2,6 0,9555 0,9594 0,9632 0,967 0,9708 0,9746 0,9783 0,9821 0,9858 0,9895 
2,7 0,9933 0,9969 1,0006 1,0043 1,008 1,0116 1,0152 1,0188 1,0225 1,026 
2,8 1,0296 1,0332 1,0367 1,0403 1,0438 1,0473 1,0508 1,0543 1,0578 1,0613 
2,9 1,0647 1,0682 1,0716 1,075 1,0784 1,0818 1,0852 1,0886 1,0919 1,0953 
3 1,0986 1,1019 1,1053 1,1086 1,1119 1,1151 1,1184 1,1217 1,1249 1,1282 
3,1 1,1314 1,1346 1,1378 1,141 1,1442 1,1474 1,1506 1,1537 1,1569 1,16 
3,2 1,1632 1,1663 1,1694 1,1725 1,1756 1,1787 1,1817 1,1848 1,1878 1,1909 
 
Para determinação do logaritmo natural de um número entre 1 e 10 tal 
como ln 3,26 =1,1817 
Se desejarmos determinar o logaritmo natural de um número natural de 
um número maior que 10 ou menor que 1.escreveremos o número em notação 
científica, aplicaremos as regras dos logaritmos, e usaremos a tabela de 
logaritmos naturais e o fato de ln10=2,3026. 
Exemplo: ln 326 = ln (3,26 * 10 2 ) = 
 ln 3,26 + 2*ln10= 
 1,1817 + 2 *2,3026 = 
 5,8769 
 
Exercício resolvido 6: 
 
I. Calcule, utilizando logaritmo: 
P = 3,81 * 43,4 
Solução: 
logP= log (3,81 * 43,4) 
log P = Log 3,81 + log 43,3 
log P =0,5802 + 1,6364=2,2166. 
MUDANÇA DE BASE: 
 
 
 
 
 
 
37
Na HP12 C, não encontramos logaritmo decimal, somente ln, como 
podemos observar na figura abaixo: 
 
Fig. 25: Calculadora HP 12c 
 
Essa é uma das razões porque devemos saber mudar a base do 
logaritmo, caso queiramos fazer alguma operação com os logaritmos. 
A mudança de base do logaritmo obedece a seguinte condição: 
 
log c b = 
c
b
a
a
log
log
 
 
Por exemplo, se queremos saber log 100 e não temos em mãos a tábua de 
logaritmo comum, ou nenhuma calculadora científica, podemos fazer: 
 
10ln
100ln
 
 
No caso da HP 12 C, aplica-se o algoritmo: 
100 (g) (ln) (enter) 
 
10 (g) (ln) 
 
 
 
 
 
 
38
 
 
O resultado sera igual a 2. 
 
Algumas outras aplicações de logaritmos: 
I) O volume L de um som (em decibéis), percebido pelo ouvido humano 
depende da relação entre a intensidade I do som e o limiar Io de audição da 
media do ouvido humano. 
II) Os químicos utilizam o potencial de hidrogênio, pH de uma solução 
para medir sua acidez ou basicidade. O pH da água destilada é cerca de 7. Se o 
pH da solução for superior a 7, diz-se que é ácida, se for inferior, diz-se que é 
básica. Se [ H + ] é a concentração de íons de hidrogênio em mols por litro, o pH 
é dado pela fórmula (Spegel & Moyer, 2004): 
 
pH = -log [ H + ] 
 
Determine o pH da solução cuja concentração de íons de hidrogênio é 4,65 X 
10 5− mols por litro. 
pH= -log [4,65 X 10 5− ] 
pH= -log 4,65 + 5log 10 
pH= - 0,6674 + 5 =4,3326 
 
III) O número e está envolvido em muitas funções que ocorrem na natureza. A 
curva de crescimento de vários materiais podem ser descritas pela equação 
exponencial: 
A=Ao* e rt 
 
A população de um país era 1.200.000 em 1990, e tinha uma razão anual de 
crescimento de 3%. Se o crescimento é exponencial, qual será a população em 
2008? 
 
A=1.200.000 e 18*03,0 
 A= 1.200.000 * 1,7160 =2.059.208 pessoas 
 
 
 
 
 
 
 
39
IV ) Sabemos que o montante calculado em operações que estão sob o regime 
de juros composto segue a seguinte regra: 
 
FV = PV * (1 + i ) n 
Onde FV = valor futuro ou montante 
PV= valor presente 
i= taxa de juros 
n= período 
 
Determine o período que dobrará um capital que é investido sob regime 
de juros compostos a uma taxa de 1 % am. 
2PV=PV*(1+0,01) n 
 
2 = 1,01 n 
Log 2 = n *log 1,01 
0,3010 = n* 0,0043 
n= 70 meses. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
40
4. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
1) Observe a função do gráfico de f(x) = log x 
 
 
 
Fig. 26: Gráfico de f(x)= log x 
 
Perceba que quando x=1 temos log1, e qualquer número elevado a 0 será 1. 
 
2) Quando temos f(x)= - log x 
 
 
Fig. 27: Gráfico da função f(x)=- log x 
 
Obteremos valor da função somente no 4º. Quadrante (x >0 e y<0) 
 
 
 
 
 
Gráfico da função logarítmica
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
x
y=
lo
g
x
Gráfico da função f(x) = - log x
-1,4
-1,2
-1
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
x
 y
 =
 -
lo
g
 x
 
 
 
 
 
 
41
Capítulo 2 
 
Funções trigonométricas 
 
Para relembrar algumas funções trigonométricas e alguns gráficos destas 
funções, é necessário lembrarmos a Relação fundamental da trigonometria: 
 
1cos22 =+ xxsen 
 
A partir daí, podemos determinar outras relações: 
* Podemos dividir toda a função por sen x, e teremos: 
 
xsenxsen
x
xsen
xsen
22
2
2
2 1cos
=+ 
 
1+ cotg 2 = cossec 2 x 
 
Deste modo, obtemos outras relações entre as funções trigonométricas. 
Se dividirmos a relação fundamental da Trigonometria por cos 2 x, teremos: 
xx
x
x
xsen
22
2
2
2
cos
1
cos
cos
cos
=+ 
 
tg 2 x+1 = sec 2 x 
 
Exercício resolvido 7: 
1- Dado um triângulo retângulo, no qual o cateto oposto ao ângulo α 
mede 20 cm, e o cateto adjascente mede 15 cm. Determine as funções 
trigonométricas deste triângulo: 
 
sen
hipotenusa
opostocat.
=α 
 
Como não temos a hipotenusa, aplicamos o Teorema de Pitágoras: 
Hip 2 = (cat. Op) 2 + (cat. Adj) 2 
Hip2= (20) 2 + (15) 2 
Hip2=400+225=625 
 
 
 
 
 
 
 
42
Hip= =625 25 
Assim, sen 8,0
25
20
==α 
 
cos
hipotenusa
adjascentecat.
=α = 6,0
25
15
= 
 
tg 33,1
15
20
.
.
===
adjascentecat
opostocat
α 
 
cotg
α
α
tg
1
= = 75,0
33,1
1
= 
 
sec 66,1
6,0
1
cos
1
===
α
α 
 
cossec 25,1
8,0
11
===
α
α
sen
 
 
Construção de gráficos de funções trigonométricas: 
Utilizamos o comando no Matlab: 
>> fplot('sin(x)', [-2*pi 2*pi -1 1]); 
E obtemos o gráfico: 
 
 Fig. 28: Gráfico da função f(x)= sen x 
 
Observamos que o gráfico é uma função periódica com período de 2π . 
O próximo gráfico será f(x) = cos x.É importante observar que quando x=0, 
cosx=1. 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
 
 
 
 
43
E também é uma função periódica com período de 2π . 
 
 Fig. 29: Gráfico da função f(x)= cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
-6 -4 -2 0 2 4 6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
 
 
 
 
 
44
5. EQUAÇÕES 
 
� Equações lineares 
� Equações de retas 
� Equações lineares simultâneas 
� Equações quadráticas a uma variável 
� Seções Cônicas 
 
Equações Lineares 
 
Uma equação linear de uma variável tem a forma ax+b=0, onde a e b são 
constantes com a diferente de zero. A solução desta equação é x= - 
a
b
. 
Ainda nesse tópico, é importante abordarmos as equações literais, as 
quais são encontradas através de fórmulas. 
Exercício: Solucione a = 2*(b-w) para w 
Teremos: 
2
a
=b-w 
W = b -
2
a
 
Problemas Literais 
 
A maior parte dos problemas de aprendizagem em Matemática estão 
relacionados à interpretação de exercícios, ainda mais envolvendo problemas 
literais. Aqui, vamos abordar esses tipos d eproblemas. 
Segundo Moyer & Spiegel (2004) , na solução de um problema literal, o 
primeiro passo é decidir o que buscamos e traduzir as condições em uma 
equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
45
Exercício resolvido 8: 
 
I. Se o perímetro de um retângulo é 68 metros e o comprimento é 10 metros 
maior do que a largura, quais são as dimensões do retângulo? 
Solução: 
Perímetro: 2 a+ 2b = 68 
A = b+10 
2(b+10) + 2b= 68 
2b+20+2b=68 
4b=48 
b=12 
 
a=b+10 
a=22 
 
O retângulo tem 22 cm de comprimento e 10 cm de largura. 
 
I) Se uma bomba enche uma piscina em 16 horas e se duas bombas podem 
encher a piscina em 6 horas, em quanto tempo a segunda bomba pode encher a 
piscina?Sendo h o tempo em horas para a segunda bomba encher a piscina: 
 
6
1
16
11
=+
h
 (observemos que é uma grandeza inversamente proporcional) 
48h 





=





+
6
1
48
16
11
h
h
 
48+ 3h =8h 
H=9,6 horas 
 
II) Quanto um funcionário deve receber de bônus de forma que lhe restem $ 
500,00 após deduzir 30% de impostos? 
 
 
 
 
 
 
 
46
Solução: 
 
Salário – impostos = 500,00 
Salário – 30%salário = 500,00 
0,7* salário = 500,00 
Salário = $ 714, 29 
 
III) Um homem tem 41 anos e seu filho tem 9. Em quantos anos, o pai 
será três vezes mais velho que o filho? 
 
Solução: 
X é o tempo a ser determinado: 
 
41+x = 3* (9+x) 
41+ x = 27 + 3x 
-2x= -14 
X= 7 anos 
 
 
Equações de retas 
 
Declividades de reta 
 
A equação ax+by=c, onde a , b e c são números reais a e b não são 
nulos, é a forma padrão para a equação de reta. 
 
Se (x 1 ,y 1 ) e (x 2 ,y 2 ) são dois pontos de uma reta m é a declividade da 
reta, então: 
 
M=
12
12
xx
yy
−
−
 
 
E assim, teremos a equação da reta na forma y = mx+b 
 
 
 
 
 
 
 
47
Exercícios resolvidos 9; 
 
A - Qual a declividade da reta 6x – 8y = 24? 
Solução: -8y= 24 – 6x 
 Y = -3 + 0,75 x 
 
E teremos m = 0,75; ou seja a declividade da reta é 0,75. 
B - Qual a declividade da reta que passa pelos pontos (5, -8) e (3,2)? 
M= 5
53
)8(2
−=
−
−−
 
 
Retas paralelas 
 
Duas retas não-verticais são paralelas se, e somente se, suas 
declividades são iguais. 
Exercício: Prove que a figura PQRS com vértices P(0,-2), Q(-2,3), R(3,5) 
e S(5,0) é um paralelogramo. 
O quadrilátero PQRS é um paralelogramo se PQ
______
 e RS são paralelas. 
 
Declividade ( PQ
___
)=
2
5
02
)2(3
−=
−−
−−
 
 
Declividade ( RS
____
)=
2
5
35
50
=
−
−
 
 
Declividade ( PS
____
)=
5
2
05
)2(0
=
−
−−
 
 
Declividade(QR
_____
)=
5
2
)2(3
35
=
−−
−
 
 
Como PQ
___
 e RS
____
 têm a mesma declividade, elas são paralelas, e como PS
____
e 
QR
_____
 também têm a mesma declividade, também são paralelas. 
 
 
 
 
 
 
48
 
 
Figura 30: Paralelogramo PQRS 
 
Forma intersecção para a equação da reta: 
Se uma reta intercepta o eixo x em a e o eixo y em b, ela passa pelos pontos (a, 
0) e (0, b). A equação da reta é: 
y-b= )0(
0
0
−
−
−
x
a
b
 se a 0≠ 
 
Ao simplificar, teremos: bx + ay = ab 
Quando a e b são não-nulo s, obtemos: 1=+
b
y
a
x
 
 
Exercício resolvido 10 
I) Encontre as intersecções da reta 4x-3y=12 com os eixos coordenados. 
Teremos então: 
374.227.901-72 
1
43
=−
yx
 
 
A reta que intercepta o eixo x em 3 e o eixo y em -4. 
 
Exercício resolvido 11: 
 
II) Verifique se a reta que contém os pontos P e Q é paralela, perpendicular 
ou não a presenta nenhuma destas condições quando comparada à reta que 
contém os pontos R e S. 
Gráfico do paralelogramo
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
-4 -2 0 2 4 6
x
y
P
Q
R
S
 
 
 
 
 
 
49
 
P (4,2) , Q (8,3), R (-2,8) S(1,-4) 
 
M ( PQ
___
)= 4
23
48
=
−
−
 
 
M( RS
____
) =
4
1
12
3
84
21
−=
−
=
−−
+
 
 
São retas perpendiculares. 
 
Equações lineares simultâneas 
 
4.1) Sistemas de 2 equações lineares: 
Temos conhecimento desde o nosso ensino fundamental do sistema de 
equações, e é nesse instante que precisamos recordar : 
 
I) Solução por adição e/ou subtração - Vamos operar as 2 equações, para 
que uma de suas variáveis possam sumir. 
 
Exemplo: 
(1) 4x- y = 8 (* 2) 
(2) x+2y= - 7 
(1) 8x -2y = 16 
(2) X+2y = -7 
______________ 
9x= 9 
X = 1 
Retomando: 8x-2y=16 
 8*1-2y=16 
 - 2y = 16 – 8 
 -2y = 8 
 Y =-4 
S= ( ){ }4;1 − 
 
 
 
 
 
 
 
50
II) Método por substituição: ao isolar uma das variáveis e subsituir na 
outra equação: 
 
Como no exemplo, temos: 
Vamos isolar x na segunda equação: 
X+2y = -7 
X= -7 – 2y 
 
E substituindo em 8x- 2y = 16 
 8 *(-7-2y) – 2y =16 
 -56 -16y – 2y = 16 
 -18y= 72 
 Y= 4
18
72
−=
−
 
E voltando, temos x = -7-2y 
 X= -7 -2* -4 
 X= -7+ 8 = 1 
 
Chegamos, então, na mesma solução x= 1 e y = -4. 
 
 
Exercício resolvido 12: 
 
O tanque A contém mistura de 10 galões de água e 5 galões de álcool 
puro. O tanque B tem 12 galões de água e 3 de álcool. Quantos galões devem 
ser retirados de cada tanque e misturados de forma a obter 8 galões de uma 
solução contendo 25% de álcool por volume? 
 
Solução: 
Observemos que teremos no final 25% X 8 galões = 2 galões de álcool. 
Observando o tanque A, teremos 
3
1
15
5
= álcool (* o número x de galões 
retirados do tanque A) 
 
 
 
 
 
 
51
No tanque B: 
5
1
15
3
= álcool ( vezes o número y de galões retirados no 
tanque B) 
 
Então: 
2
5
1
3
1
=+ yx 
x + y = 8 
x = 8 –y 
 
Substituindo: 
2
5
1
)8(
3
1
=+− yy 
5
102
15
30
15
3
15
5
15
40
2
5
1
3
1
3
8
=
−=−
=+−
=+−
y
y
yy
yy
 y= 5 galões de B 
Portanto, x=3 galões de A. 
 
 
Sistemas de 3 equações lineares: 
 
São resolvidos através da eliminação de uma variável em quaisquer duas 
das equações e também de outro par de equações. 
Equações lineares a três variáveis representam planos que podem 
resultar em dois ou mais planos paralelos, e deste modo, o sistema é 
inconsistente. 
Se os três planos coincidirem, ou todos os três se interseccionarem em 
uma reta comum, ocorrerá uma dependência entre os planos. 
Os três planos também podem se interseccionar em um único ponto (teto 
e duas paredes)e este sistema é consistente. 
 
A forma das equações lineares de três variáveis: Ax+By+Cz = D 
 
 
 
 
 
 
52
E os sistemas são da forma: 
 A 1 x+ B 1 y+ C 1 z = D 
 A 2 x+ B 2 y+ C 2 z = D 
 A 3 x+ B 3 y+ C 3 z = D 
 
Exercício resolvido13: 
 
 I) Resolva o sistema de equações: 
 
 
Vamos eliminar x da 1ª. e da 2ª. equações: 



−=++
=++
)2(*134
4452
yyx
zyx
 
 



−=−−−
=++
2682
4452
zyx
zyx
 
-3y -2z =2 ( Equação IV) 
 
Eliminemos x da 2ª. e da 3ª equações:: 



−=++−
=++
523
134
zyx
zyx
 
7y+ 5z = -4 (Equação V) 
 
Eliminemos y das equações (IV) e (V)



−=+
=−−
457
223
zy
zy
 



−=+
=−−
121521
141421
zy
zy
 
 z = 2 
 
Substituamos nas equações (IV) ou (V): 





=−−
=++
=++
523
134
4452
zyx
zyx
zyx
 
 
 
 
 
 
53
 
7y+5z = -4 
7y + 5 * 2 = -4 
7y = -14 
Y = -2 
 
Vamos substituir na equação (III) 
x-3y-2z=5 
x- 3* (-2) – 2* (2)= 5 
x + 6 – 4 = 5 
x + 2 =5 
x= 3 
 
Portanto, a solução é S= {(3,-2,2)}. 
Podemos também utilizar outros métodos como Gauss com pivô 1: 
 
x y Z Resultado 
2,0000 5,0000 4,0000 4,0000 (divide por 2) 
1,0000 4,0000 3,0000 1,0000 
1,0000 -3,0000 -2,0000 5,0000 
 
x y Z Resultado 
1,0000 2,5000 2,0000 2,0000 
1,0000 4,0000 3,0000 1,0000 
 Linha 2 
copiada 
1,0000 -3,0000 -2,0000 5,0000 Linha 3 copiada 
 
1,0000 2,5000 2,0000 2,0000 linha 1 copiada 
0,0000 1,5000 1,0000 -1,0000 L2 = (-1)*L1+L2 
0,0000 -5,5000 -4,0000 3,0000 L3= (-1)*L1+L3 
 
1,0000 2,5000 2,0000 2,0000 L1 copiada 
0,0000 1,0000 0,6667 -0,6667 L2 dividida por 1,5 
0,0000 -5,5000 -4,0000 3,0000 L3 copiada 
 
1,0000 0,0000 0,3333 3,6667 L1= -2,5*L2+L1 
0,0000 1,0000 0,6667 -0,6667 L2 copiada 
0,0000 0,0000 -0,3333 -0,6667 L3=5,5*L2+L3 
 
1,0000 0,0000 0,3333 3,6667 L1 copiada 
0,0000 1,0000 0,6667 -0,6667 L2 copiada 
0,0000 0,0000 1,0000 2,0000 L3 = L3/(-0,3333) 
 
 
 
 
 
 
 
54
1,0000 0,0000 0,0000 3,0001 L1= L3*(-0,3333)+L1 
0,0000 1,0000 0,0000 -2,0001 L2=L3*(-0,6667)+L2 
0 0 1 2 L3 copiada 
 
Equações quadráticas a uma variável 
 
Uma equação quadrática a uma variável tem a forma ax 2 +bx+c=0, onde 
a, b e c são constantes e a ≠ 0. 
Por exemplo, x 2 -4x+3. 
Uma equação quadrática incompleta é aquela em que b=0 e/ou c=0, 
como 3 x 2 =0 ou 2x 2 -1=0 
 
Métodos de resolução de equações quadráticas: 
1) Solução por raiz quadradaComo no exemplo: 2x 2 -1=0 
 2x 2 =1 
 X=
2
1
± e depois racionaliza o denominador. 
 
 
1) Solução por fatoração: 
Como no exemplo: 
 x 2 -5x+6=0 
 Pode ser escrita: (x-3)(x-2)=0 
 O produto de dois fatores =0 , ou seja, x-3=0 ou x-2=0 
 Obtendo x=3 e x=2. 
 
2) Solução por completamento de quadrado 
 Um exemplo: 
 x 2 -6x-2=0 
 x 2 -6x = 2 
 Adicionando 9 de ambos os membros. 
x 2 -6x+9= 2+9 
 
 
 
 
 
 
55
x 2 -6x+9=11 
(x-3) 2 =11 
(x-3)= 11± 
X=3 11± 
 
3) Solução por fórmula quadrática 
• Através da fórmula de Bhaskara: 
X=
a
acbb
2
42 −±−
 
Onde: acb 42 − é o discriminante da equação quadrática 
Tal fórmula surgiu através do completamento de quadrado: 
 
ax 2 +bx+c=0 ( a÷ ) 
x 2 + 0=+
a
c
x
a
b
 (- )
a
c
 
 
a
c
x
a
bx −=+
2
 (Adicionando 
2
2
1














a
b
=
2
2
4a
b
 
 
2
2
2
2
44
2
a
b
a
c
a
b
x
a
bx +−=++ 
2
2
22
2
44
4
4
2
a
b
a
ac
a
b
x
a
bx +−=++ 
(x+ 2)
2a
b
=
2
2
4
4
a
acb −
 
X+
2
2
4
4
2 a
acb
a
b −
±= 
X= 
a
acb
a
b
2
4
2
2
−
±− = 
a
acbb
2
42 −±−
 
 
4) Solução gráfica 
 
 
 
 
 
 
56
 Os zeros, ou raízes reais, de ax 2 +bx+c=0 são os valores de x 
correspondentes a y=0 no gráfico da parábola y=ax 2 +bx+c. Portanto, as 
soluções são as abcissas dos pontos onde a parábola corta o eixo x. Se a curva 
não intercepta o eixo x, as raízes são imaginárias. 
 
Equações radicais 
 
Uma equação radical tem uma ou mais incógnitas sob um radical. 
Assim, 13 =−+ xx é uma equação radical. 
Na resolução, basta isolarmos um dos termos com radical e um dos lados 
da equação e passarmos todos os demais para o outro lado. Se os dois 
membros da equação forem então elevados a uma potência igual ao índice do 
radical isolado, o radical será removido. E assim, sucessivamente, até que não 
restem mais radicais. 
 
Exemplo: 
13 =−+ xx 
( ) ( )
( )
1
44
)2(2
213
1*23
13
13
22
22
=
=
=
=−
++=+
+=+
+=+
x
x
x
x
xxx
xx
xx
 
 
Equações do tipo quadráticas 
 Uma equação do tipo quadrática tem a forma: 
02 =++ cbxax nn 
Onde 0,,, ≠ncba 
Fazendo-se x un = 
Teremos: au 2 +bu+c=0 
E continuamos a resolver... 
 
 
 
 
 
 
57
 
Exemplo: 
I) Resolva (2x-1) 2 +7(2x-1)+12=0 
2x-1 =u 
 
u 2 +7u+12=0 
4''3'
2
17
14849
−=→−=→
±−
=
=−=∆
uuu 
Retornando: 
 
2x-1 =u 
2x-1 = -3 2x-1 = -4 
2x = -2 2x=-3 
X=-1 x = -1,5 
 
Equações quadráticas gerais 
 
A equação quadrática geral nas variáveis “x” e “y” tem a forma: 
 
022 =+++++ feydxcybxyax 
Lembrando que a, b, c, d,e, f são constantes dadas: 
E que, a,b,c .0≠ 
 
Por exemplo: 
xy
yxyxyx
xyx
4
032
253
2
22
2
=
=+++−
=+
 
 
 Os gráficos de tais equações formam figuras, e se a, b, c,d,e,f, 
pertencerem ao conjunto dos números reais, tais gráficos dependerão do valor 
de acb 42 − . 
 
 
 
 
 
 
58
(1) Se acb 42 − <0 em geral, o gráfico é uma elipse. 
Mas, se b=0 e a=c, o gráfico pode ser um círculo , um ponto ou não existir, 
nestes dois últimos casos são chamados “Casos degenerados”. 
(2) Se acb 42 − =0, o gráfico pode ser uma parábola, duas retas paralelas ou 
coincidentes, ou não existir. As três últimas situações também são chamadas 
“casos degenerados”. 
(3) Se acb 42 − >0, o gráfico é uma hipérbole ou duas retas concorrentes, se 
ocorrer estas últimas também será chamado de “caso degenerado”. 
 
Exemplo: Identifique o tipo de figura que pode ocorrer em cada situação: 
 
(1) 2x 2 -y 2 =7 
 
Solução a=2 b=0 c=-1 f=-7 
acb 42 − 
= 0-4 * 2 * (-1) = 8 
 
Temos que acb 42 − > 0, portanto este gráfico pode ser uma hipérbole ou um 
caso degenerado. 
 
(2) 04342 =+++ yxy 
Solução a=0 b=0 c=1 
acb 42 − 
=0 – 0 = 0 
Temos que acb 42 − =0, portanto este gráfico pode ser uma parábola ou um caso 
degenerado. 
 
Seções Cônicas 
 
As figuras que estes gráficos podem formar , podem ser seções cônicas: 
Conjunto de todos os pontos que satisfazem um determinado conjunto de 
condições. 
 
 
 
 
 
 
59
O conjunto de pontos podem ser descritos por meio de uma equação. 
Quando existe alguma simetria em relação à origem, a figura é 
denominada seção cônica central. 
Uma equação geral utilizada para descrever uma seção cônica é 
denominada equação padrão. 
As seções cônicas são: 
• Círculos; 
• Parábolas; 
• Elipses; 
• Hipérboles. 
Nosso intuito é abordar tais assuntos de maneira simplificada, já que a 
Geometria Analítica também aborda este assunto. 
 
Círculos: 
 
 Equação padrão: 222 )()( rkyhx =−+− 
 Onde: “h” e “k” são as coordenadas do centro do círculo, 
 “r” é o raio; 
 
 Coordenadas do centro (h, k) 
Figura 31: Gráfico do círculo 
 
Exercício resolvido 14 
 
Dada a equação (x-3) 2 +(y-4) 2 =1, determine o centro e o raio. 
raio 
 
 
 
 
 
 
60
 
Possui centro em (3, 4) e raio = 1 unidade. 
 
Exercício resolvido 15: 
 
Escreva a equação do círculo na forma padrão: 
01006422 =++−+ yxyx 
 
 
Solução: 
Separando as coordenadas x e y: 
0100)6()4( 22 =+++− yyxx 
 xx 4( 2 − +4)+ ( yy 62 + + (-3) 2 )+87=0 
 (x-2) 2 +(y-3) 2 =-87 
Neste caso r 2 =-87, o que ocorre a não existência: caso degenerado. 
 
Parábolas: 
 
Uma parábola é o conjunto de todos os pontos do plano que se 
eqüidistam de uma reta fixa, a diretriz, e de um ponto fixo, o foco. 
Parábolas centrais têm o vértice, a origem e o foco sobre um dos eixos 
coordenados e a diretriz paralela ao outro eixo coordenado. 
A distância do foco ao vértice, ou deste à diretriz, é denotada por |p|. 
 
As equações das parábolas centrais são: 
 (I) pxy 42 = 
O foco está sobre o eixo y, portanto F= (p,0) 
A diretriz é paralela ao eixo y. 
Se p> 0 , diretriz: x=p 
 
 
 
 
 
 Figura 32: Gráfico de paábola com p>0
 
 
 
Se p<0, diretriz: x = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 32: Gráfico da parábola com p<0.
 
A outra equação da parábola é: (II) 
O Foco está sobre o eixo y , portanto F= (0, p)
A diretriz é paralela ao eixo x, se p> 0, teremos diretriz y=p 
 
 
 
Figura 32: Gráfico de paábola com p>0 
Se p<0, diretriz: x = -p. 
áfico da parábola com p<0. 
A outra equação da parábola é: (II) pyx 42 = . 
sobre o eixo y , portanto F= (0, p). 
A diretriz é paralela ao eixo x, se p> 0, teremos diretriz y=p 
61
A diretriz é paralela ao eixo x, se p> 0, teremos diretriz y=p 
 
 
 
 
Figura 33:Gráfico da parábola com p>0
 
E se p< 0, teremos diretriz y = 
Figura 34: Gráfico da parábola com p<0
 
Se as parábolas não forem centrais,
 
 III) Vértice (h, k) 
 
 
 
parábola com p>0 
E se p< 0, teremos diretriz y = -p. 
 
Figura 34: Gráfico da parábola com p<0 
Se as parábolas não forem centrais, suas equações serão: 
 
 
62
 
 
 
 
 
 
63
Foco ( h+p , k) 
Diretriz: x= h-p 
Eixo: y = k 
 
Figura 35: Gráfico da parábola com p>0 
 
 
Figura 36: Gráfico da parábola com p>0 
 
IV) ( ) )(42 kyphx −=− 
 Vértice (h, k) 
 Foco: (h, k+p) 
 Diretriz: y= k-p; 
 Eixo: x=h 
 
 
 
 
 
 
64
 
Figura 37: Gráfico da parábola p>0 
 
Figura 38: Gráfico da parábola p<0 
 
Exercício resolvido 16 
 
Determine o vértice, o foco, a diretriz e o eixo de cada parábola: 
(x-1) )4(42 +−= y 
Solução: Equação padrão: ( ) )(42 kyphx −=− . 
 
Assim, h=1 , p = -1 k =-4 
 Vértice: V(h, k) →V(1, -4) 
 Foco: (h, k+p)→F(1,-5) 
 Diretriz: y= k-p; →y=-3 
 
 
 
 
 
 
65
 Eixo: x=h →x=1 
 
a) x y62 = 
Solução : 
 
Sabemos que x py42 = 
Então 4p=6 
P=3/2 
Vértice (0,0 ) 
Foco (0; 3/2) 
Diretriz y=-
2
3
 
Eixo y=0 
 
5.5.3. Elipses 
 
Uma elipse é o conjunto de todos os pontos do plano, tais que a soma 
das distância de cada um desses pontos, a dois pontos (os focos) é uma 
constante. 
As elipses centrais têm o centro na origem, os vértices e focos estão 
situados em um dos eixos coordenados os co-vértices se encontram sobre o 
outroeixo coordenado. 
Onde: 
a= distância de um vértice ao centro; 
b = distância de um co-vértice ao centro; 
c = distância de m foco ao centro c. 
 
Na elipse: 
a 222 cb += 
Formas padrão para elipses centrais: 
 
(1) 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
 
 
 
Na equação (1), temos:
• vértices com coordenadas V (a,0) e V’ (
• focos com coordenadas F(c,
• Co-vértices com coordenadas B( 0, b) e B’ (0, 
Figura 39: Gráfico da elipse
 
 (2) 
2
2
2
2
+
b
x
a
y
Na equação (2), temos:
• Vértices com coordenadas V(0,a) e V’(0, 
• Focos com coordenadas F(0, c) e F’ (0,
• Co-vértices com coordenadas B(b,0) e B’(
 Figura 40: Gráfico da elipse
 
 
 
Na equação (1), temos: 
vértices com coordenadas V (a,0) e V’ (-a,0); 
focos com coordenadas F(c, 0) e F’ (-c, 0) 
vértices com coordenadas B( 0, b) e B’ (0, -b) 
 
Figura 39: Gráfico da elipse 
1= 
Na equação (2), temos: 
Vértices com coordenadas V(0,a) e V’(0, -a); 
Focos com coordenadas F(0, c) e F’ (0,-c) 
coordenadas B(b,0) e B’(-b, 0). 
 
Figura 40: Gráfico da elipse 
66
 
 
 
 
O maior denominador é sempre a
Se numerador de a 2 é x
Se o numerador de a 2 é y
 
Pode ocorrer que o centro
assim, as formas padrão para as elipses serão:
 
(I) 
()(
2
2
+
− y
a
hx
 
E, teremos: 
• O eixo maior paralelo ao eixo “x”
• Vértices com coordenadas V(h+a, k) e V’(h
• Focos com coordenadas F(h+c,k) e F’ (h
• Co-vértices com coordena
 Figura 41: Gráfico da elipse
 
Outra equação da forma padrão é escrita:
 
 (II) 
()(
22
2
−
+
−
b
x
a
ky
 Teremos: 
 
 
O maior denominador é sempre a 2 em uma elipse. 
2 , então o eixo maior está sobre o eixo x.
é y 2 , então o eixo maior está sobre o eixo y.
Pode ocorrer que o centro da elipse não seja a origem e seja em C(h, k), 
assim, as formas padrão para as elipses serão: 
1
)
2
2
=
−
b
ky
 
eixo maior paralelo ao eixo “x”, e o eixo menor paralelo ao eixo “y”.
Vértices com coordenadas V(h+a, k) e V’(h-a, k); 
Focos com coordenadas F(h+c,k) e F’ (h-c, k); 
vértices com coordenadas B(h, k+b) e B’(h, k-b). 
 
Figura 41: Gráfico da elipse 
Outra equação da forma padrão é escrita: 
1
)
2
2
=
h
 
67
, então o eixo maior está sobre o eixo x. 
, então o eixo maior está sobre o eixo y. 
da elipse não seja a origem e seja em C(h, k), 
e o eixo menor paralelo ao eixo “y”. 
 
 
 
 
• Eixo maior paralelo ao eixo “y”
• Focos com coordenadas F(h, k+c) e F’(h, k
• Vértices com coordenadas V(h, k+a) e V’(h, k
• Co-vértices com coordenadas B(h+b, k) e B’(h
 
 
 
Determine o centro, os focos, os vértices e os co
 
a) 1
1625
22
=+
yx
 
 
Solução: 
a 2 =25, então a=5 
b 2 =16, então b = 4 
 
Como 
 1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
 
 
• vértices com coordenadas V (a,0) e V’ (
• V(5,0) e V’(-5,0)
 
 
 
Eixo maior paralelo ao eixo “y” e o menor paralelo ao eixo “x”;
Focos com coordenadas F(h, k+c) e F’(h, k-c); 
Vértices com coordenadas V(h, k+a) e V’(h, k-a); 
coordenadas B(h+b, k) e B’(h-b, k). 
 
Figura 42: Gráfico da elipse 
Exercício resolvido 17 
Determine o centro, os focos, os vértices e os co-vértices das elipses.
vértices com coordenadas V (a,0) e V’ (-a,0); 
5,0) 
68
paralelo ao eixo “x”; 
vértices das elipses. 
 
 
 
 
 
 
69
Determinaremos c, através de : a 222 cb += 
 25=16+c 2 
 c=3 
• focos com coordenadas F(c, 0) e F’ (-c, 0) 
F(3,0) e F’(-3,0) 
 
• Co-vértices com coordenadas B( 0, b) e B’ (0, -b) 
B(0, 4) e B’(0,-4) 
 
Exercício resolvido 18 
 
Dada a equação: 1
289
)4(
225
)3( 22
=
−
+
− yx
 
 
Solução: 
 
Ou seja; h=3; k=4; a=17 e b=15 
 
 1
)()(
2
2
2
2
=
−
+
−
b
hx
a
ky
 
 Teremos: 
• Eixo maior paralelo ao eixo “y” e o menor paralelo ao eixo “x”; 
 
Determinaremos c, através de: a 222 cb += 
 289-225=c 2 
 C = 8 
• Focos com coordenadas F(h, k+c) e F’(h, k-c); 
F(3, 12) e F’(3, -4) 
 
• Vértices com coordenadas V(h, k+a) e V’(h, k-a); 
Portanto: V(3, 21) e V’(3, -13) 
 
 
 
 
 
 
 
70
• Co-vértices com coordenadas B(h+b, k) e B’(h-b, k). 
Portanto, B(18, 4) e B’ (-12, 4) 
 
E, para finalizar a nossas seções cônicas, abordaremos aqui as equações de 
Hipérboles: 
 
Hipérboles 
 
 Definição: conjunto de todos os pontos do plano, tais que a diferença das 
distâncias de um tal ponto a dois fixos, os focos, é uma constante. 
 As Hipérboles centrais têm o centro na origem e os vértices sobre um dos 
eixos coordenados, sendo simétrica em relação ao outro eixo coordenado. 
 
 As equações nas “formas padrão” são: 
 (1) 1
2
2
2
2
=−
b
y
a
x
 
Onde: “a” é distância do centro a um vértice; 
 “c” é a distância do centro a um foco; 
 
Também teremos a relação: 
222 bac += , onde b é um número positivo. 
Podemos traçar uma reta pelos pontos R e C e pelos pontos S e C, teremos as 
assíntotas da hipérbole. A assíntota é uma reta da qual o gráfico da hipérbole 
se aproxima, sem nunca tocá-la. 
 
Nesta equação (1): 
• o eixo transverso 'VV estão sobre o eixo “x”; 
• vértices terão coordenadas V(a,0) e V’(-a,0); 
• Os focos terão coordenadas F(c,0) e F’(-c,0) 
 
 
 
 
 
 
 
71
 
Figura 43: Gráfico da hipérbole 
 
 Outra equação de forma padrão será: 
 
 (2) 1
2
2
2
2
=−
b
x
a
y
 
 
 Na equação (2), teremos: 
• O Eixo transverso 'VV está sobre o eixo y; 
• Vértices com coordenadas V(0,a) e V’(0, -a) 
• Focos com cordenadas F(0, c) e F’(0, -c). 
 
 
 
 
 
 
 
72
Figura 44: Gráfico da hipérbole 
 
Se o centro da hipérbole é (h, k) as formas padrão são: 
 
 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
 
 
 Onde teremos: 
• Eixo transverso paralelo ao eixo x; 
• Vértices com coordenadas V(h+a, k) e V’(h-a, k); 
• Focos com coordenadas: F(h+c,k) e F’(h-c,k); 
• Pontos R e S têm coordenadas R(h+a, k+b) e S (h+a, k-b); 
• Retas passando por R e S e S e C são assíntotas da hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73
 
Figura 45: Gráfico da hipérbole 
 
Outra equação da forma padrão: 
 
1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
 
 
Teremos: 
• O eixo transverso é paralelo ao eixo y; 
• Vértices com coordenadas V(h, k+a) e V’(h, k-a); 
• Focos com coordenadas F(h, k+c) e F’(-h, k-c); 
• Pontos R e S têm coordenadas R(h+b, k+a) e S (h-b, k+a); 
 
 
 
Figura 46: Gráfico da hipérbole 
 
Exercício resolvido 19: 
 
 Encontre as coordenadas do centro, dos vértices, dos vértices e dos 
focos das hipérboles: 
 
 
 
 
 
 
 
74
a) 1
16
)5(
9
)4( 22
=
−
−
− yx
 
 
 Solução: 
 1
)()(
2
2
2
2
=
−
−
−
b
ky
a
hx
 
 
Teremos a=3 ; b= 4 e c =5; h=4 e k=5 
 
• Centro (4, 5) 
 
• Vértices com coordenadas V(h+a, k) e V’(h-a, k); 
V(7, 5) e V’(1, 5) 
 
• Focos com coordenadas: F(h+c,k) e F’(h-c,k); 
F(9, 5) e F’(-1, 5) 
 
Exercício resolvido 20: 
 
Escreva a equação da hipérbole na forma padrão: 
 
25x 2 -9y 2 -100x-72y-269=0 
 
Solução: 
 
25x 2 -9y 2 -100x-72y-269=0 
Teremos, então: 
 
25x 2 -100x -9y 2 - 72y =269 
25(x 2 -4x ) -9(y 2 +8y) =269 
25(x 2 -4x+4 ) -9(y 2 +8y+16) =269+100 – 9 * 16 
25(x-2) 2 2 -9(y+4) 2 =225 
 
 
 
 
 
 
75
25
225
25
)4(9
25
)2(25 22
=
+
−
− yx
 
1
25
)4(
9
)2( 22
=
+
−
− yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76
REFERÊNCIAS 
 
FRANK AYRES JR. - Álgebra Moderna - - Mcgraw-Hill do Brasil Ltda. - 1971 
 
GELSON IELZZI e OSVALDO DOLCE - Álgebra III - Editora Moderna - 1973 
 
HIGINO H. DOMINGOS - Fundamentos da Aritmética - Capítulos I, II e III - Atual 
Editora - São Paulo 1991. 
 
NACHBIN,L. - Introdução à Álgebra. McGraw-Hill do Brasil, 1971 
 
SPIEGEL, Murray e. MOYER Robert. Álgebra. São Paulo: Ed.Bookman, 2002. 
 
 
 
 
 
 
 
77
ATIVIDADE AVALIATIVA 
INTRODUÇÃO À ALGEBRA 
Aluno:________________________________________________________Data:___/___/____Curso:________________________________________Pólo:___________________________ 
 
QUESTÃO 01 
Determine as raízes da equação: (x-1) 2 * (x+2)*(x+4)=0 
(a) 1 como raiz dupla, -2, -4 
(b) 1, 2 e -4; 
(c) -1,2 e -4; 
(d) -1, -2 e -4; 
(e) 1, -2 e 4. 
 
QUESTÃO 02 
Escreva uma equação que tenha apenas as raízes 5, 1 e -3: 
a) (x+5)(x-1)(x+3)=0 
b) (x-5)(x-1)(x+3)=0 
c) (x-1)(x+5)(x+3)=0 
d) (x-1)(x-5)(x-3)=0 
e) Nda 
 
 
QUESTÃO 03 
Duas raízes de x 4 -2x 2 -3x-2=0 são -1 e 2. Quais são as outras 2 raízes? 
a) 1 e -2 
b) i e -2i 
c) - ;3
2
1
i+ e 2 
d) 3
2
1
2
1
i−− e 3
2
1
2
1
i+− 
e) Nda 
 
QUESTÃO 04 
Qual é a equação polinomial de menor grau com coeficientes racionais que têm como 2 
de suas raízes: -1+ 5 e -6: 
a) x 3 + 8x 2 +8x-24=0 
b) 2x 3 - 8x 2 +8x-24=0 
 
 
 
 
 
 
78
c) - x 3 + 8x 2 +8x-24=0 
d) x 3 - 8x 2 -8x-4=0 
e) nda 
 
QUESTÃO 05 
Dada a equação 0410822 =−+−+ yxy , determine o centro e o raio do círculo: 
a) C (4,-5) e R= 3 5 
b) C(-4, 5) e R=3 
c) C(4, 5) e R= -3 
d) C (0,0) e R= 8 
e) Nda 
 
QUESTÃO 06 
Ao construir o gráfico da equação: 4x 369 22 =+ y , obtemos: 
a) Um círculo 
b) Uma parábola 
c) Uma hipérbole 
d) Uma elipse 
e) Nda 
 
 
QUESTÃO 07 
Qual é forma padrão da equação da hipérbole: 16x 01449 22 =+− y ? 
a) 1
1916
22
=
−
−
xy
 
b) 1
96
22
−=
−
−
xy
 
c)- 2
916
22
=
−
−
xy
 
d) 1
9
2
16
22
=
−
−
xy
 
e) 1
916
22
=−
xy
 
QUESTÃO 08 
A definição de hipérbole: 
a) conjunto de todos os pontos do plano tais que a soma das distâncias de cada um desses 
pontos a dois pontos fixos (os focos ) é constante. 
 
 
 
 
 
 
79
b) conjunto de todos os pontos do plano tais que a diferença das distâncias de cada um 
desses pontos a dois pontos fixos (os focos ) é constante. 
c) conjunto de todos os pontos do plano tais que a divisão das distâncias de cada um 
desses pontos a dois pontos fixos (os focos ) é constante. 
d) conjunto de cinco pontos do plano tais que a diferença das distâncias de cada um 
desses pontos a dois pontos fixos (os focos ) é constante. 
e) Nda 
 
QUESTÃO 09 
Dada f(x) = x 65
2
+− x , assinale a alternativa verdadeira: 
a) O gráfico desta função tem um ponto de máximo com coordenada (0, -2); 
b) O gráfico desta função tem um ponto de mínimo com coordenada (2,5; -0,25); 
c) O gráfico desta função tem um ponto de máximo com coordenadas (2,5; 0,25); 
d) O gráfico desta função não tem ponto de máximo; 
e) Nda 
 
 
QUESTÃO 10 
A solução da equação log )1(log)1( 3
2
3 +=− xx é: 
a) 2,5 
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) Nda