MÓDULO II - LÓGICA E FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
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MATRIZ 
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INTRODUÇÃO AOS ELEMENTOS 
DA 
LÓGICA MATEMÁTICA I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO............................................................................................................................................................. 3 
ELEMENTOS HISTÓRICOS I .................................................................................................................................... 5 
ELEMENTOS HISTÓRICOS II ................................................................................................................................. 11 
PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS III ................................................................................................. 16 
PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS IV ................................................................................................. 21 
AS PROPOSIÇÕES SIMPLES OU CATEGÓRICAS ............................................................................................... 27 
DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO ..................................................................................................................... 39 
LEITURAS DE UM ARGUMENTO .......................................................................................................................... 47 
PRINCÍPIOS LÓGICOS FUNDAMENTAIS ............................................................................................................. 62 
OS CONECTIVOS E, OU E A NEGAÇÃO NÃO ..................................................................................................... 68 
AS CONDICIONAIS .................................................................................................................................................. 81 
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................................... 93 
ATIVIDADE AVALIATIVA.................................................................................................................................93 
 
 
 
X = X 
~ ∧∧∧∧ X ∅∅∅∅ = X 
Y = X ≠≠≠≠ X ∨∨∨∨ Y 
 
 
 
 
 
 
 
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INTRODUÇÃO 
 
Desde tempos imemoriais observamos os acontecimentos naturais.. 
Milhares de anos ensinam que contar é comparar entre dois conjuntos qual é 
o que tem maior ou menor quantidade de objetos e a idéia de um conjunto de 
números naturais associado às necessidades da contagem faz parte de todas as 
culturas. 
Aprendemos a reconhecer sucessões naturais através de ciclos como o das 
estações do ano, a mudança das fases da lua, a disposição das folhas nas plantas, 
a freqüência dos batimentos cardíacos ou o ritmo da respiração. 
Das possibilidades de leituras do mundo e suas complexidades leituras 
binárias tais como dia ou noite, sim ou não, nascer e morrer, quente ou frio, certo ou 
errado, ou, verdadeiro ou falso. A apreensão da realidade qualifica-se sob dois 
estados mutuamente excludentes cujo fundamento é a constante mudança. 
No século IV a.C. a leitura das dualidades empreendida pelo filósofo grego 
Aristóteles sistematiza os procedimentos que orientam a razão na busca da verdade 
e da validade dos argumentos através de uma disciplina que veio a se denominar 
Lógica. 
Tida como criação do espírito helênico através dos filósofos Parmênides, 
Zenão de Eléia e os Sofistas, as raízes da ciência da lógica originam-se também na 
antiga Índia. Entretanto é a partir de Aristóteles, cujas idéias se mantiveram 
predominantes na construção do pensamento durante mais de vinte séculos, que a 
lógica toma forma de um corpo estruturado do conhecimento e forma de todas as 
ciências. 
A partir de Aristóteles os enunciados ganham em clareza e simplicidade. 
A conceituação aristotélica ensina que as sentenças que expressam um juízo 
devem ter a forma sujeito-verbo ser - predicado onde um termo, o sujeito – a idéia da 
qual se afirma algo, – liga-se ao outro, o predicado – a idéia que se afirma do sujeito 
– num nível de concordância tal que a asserção ou será verdadeira ou será falsa. 
Assim excluem-se concordância lógica as frases exclamativas, interrogativas ou 
imperativas, pois estas não podem se classificar em verdadeiras ou falsas. 
 
 
 
 
 
 
 
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A conceituação aristotélica vai se tornar a grande intermediária da 
linguagem matemática, pois sempre foi óbvio não só aos matemáticos que há 
uma mediação entre o que é verdadeiro ou falso nos modos de análise das 
regras do discurso e da demonstração. 
 
 
 
 
 
 
 
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ELEMENTOS HISTÓRICOS I 
 
Desde os tempos de Tales de Mileto e Pitágoras, Platão, Aristóteles e 
considerando a obra escrita em Alexandria pelo matemático grego Euclides por volta 
de 300 a.C. como início do processo de sistematização do estudo axiomático da 
matemática, as fronteiras entre a lógica e a matemática nunca foram delimitadas. 
Entre 600 e 300 a.C. o raciocínio como seqüência de deduções 
fundamentadas a partir de proposições tomadas como verdadeiras foi sendo 
assumido como legítimo pelos pensadores gregos. O conceito é simples: derivar o 
que é desconhecido daquilo considerado conhecido ou compor o todo se 
conhecendo as partes. O processo contrário, chamado análise, procura decompor o 
todo em seus elementos constituintes. A conseqüência desses procedimentos, 
tornada uma das bases de sustentação da fundamentação matemática 
contemporânea, ficou conhecida como Método Axiomático. 
Preconizado por Euclides o método axiomático foi problematizado como base 
de pesquisa fundamental respectivamente em 1882 e em 1889 pelos geômetras 
alemães Moritz Pasch (1862 - 1930) e David Hilbert (1862 - 1943). Entretanto, desde 
os tempos de Euclides, tornou-se intuitivo aceitar não só o raciocínio matemático, 
mas todo raciocínio axiomático como matemático. 
E é relativamente fácil dizer por que, pois para estabelecer uma proposição 
num sistema dedutivo é necessário mostrar que ela é conseqüência de certas 
afirmações previamente conhecidas ou assim admitidas. Mas cada uma destas 
afirmações está, por sua vez, na dependência de afirmações que também deverão 
estar estabelecidas. 
Entretanto, como o sistema que está sendo articulado não pode retroceder 
numa seqüência interminável de dependências, concluíram os gregos antigos, um 
número finito de afirmações tomadas como verdadeiros chamados axiomas, deve 
ser o ponto de partida para fundamentar as proposições que devem integrar o 
sistema. 
Esse modo de raciocínio, precursor do método axiomático contemporâneo, 
também chamado Axiomática, ao abstrair o significado inicial de certas afirmações 
ou das relações entre essas afirmações, conduz as conseqüências que podem ser 
deduzidas por um mesmo tratamento. A segunda importante razão, como 
 
 
 
 
 
 
 
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instrumento de trabalho matemático, permite pesquisar problemas acerca da 
interdependência ou independência das afirmações que compõe o sistema. 
§ 1. PRIMÓRDIOS I 
 
Do século VI ao século III a.C., durante os 300 primeiros anos de 
desenvolvimento da matemática grega, os conceitos matemáticos foram estudados 
através das razões lógicas neles contidas e das implicações entre os seus inter-
relacionamentos. 
Esse processo, iniciado com Tales e continuidade com Pitágoras, organiza-se 
por volta de 300 a.C com os Elementos, obra que procurou coligir todo o 
conhecimento sobre geometria e a teoria dos números grega. Sem se limitar por 
aspectos práticose pesquisando os princípios sobre o espaço, eles revelam a 
verdadeira natureza de uma demonstração: suas aplicações onde às afirmações não 
são tão evidentes. 
Tales, nascido em Mileto, é dos mais antigos dos grandes pensadores 
gregos. De volta a Mileto, após morar no Egito, indo além dos os conhecimentos que 
aprendera inicia uma transformação no pensamento quando ensina que as 
proposições devem ser demonstradas e não aceitas por algum aspecto prático ou 
utilitário. 
Responsável pelo estudo da geometria na Grécia antiga, as idéias de Tales 
tanto contribuem à compreensão da geometria que a ele é creditada a primeira 
demonstração da história da matemática: o diâmetro de um círculo divide o circulo 
em duas partes iguais. Essa demonstração, diga-se, contém mais do que a 
evidência: mostra que as demonstrações não só são possíveis, mas também 
necessárias. 
E mais ainda. Quando demonstra que a soma dos ângulos internos de 
qualquer triângulo é dois ângulos retos torna implícito tratar de uma propriedade de 
todos os triângulos que não decorre de medições em certos triângulos. Todo 
desenvolvimento matemático segue os procedimentos de Tales e Pitágoras, 
pioneiros do raciocínio dedutivo na matemática, e todo formalismo que exercitamos 
é originalmente euclidiano. 
 Ao conceito de Tales que toda verdade deve ser demonstrada, Euclides inclui 
verdades aceitas sem demonstração ao sistematizar a geometria: aquelas 
 
 
 
 
 
 
 
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chamadas axiomas, de enunciado evidente e comum a todas as ciências, como por 
exemplo, o todo é igual à soma de suas partes, e aquelas que se denominam 
postulados. 
Significando o que se pede ou está concedido, o que se supõe ou não é 
obrigado a demonstrar, os postulados foram usados para as questões da geometria. 
 Os axiomas, palavra grega que quer dizer juízo, dogma ou noções comuns, 
conceito introduzido no raciocínio lógico, segundo se acredita, por Aristóteles, foram 
utilizados para denominar todo principio aceito como evidente sobre comparações 
entre grandezas. 
 
§ 2. PRIMÓRDIOS II 
 
Para os gregos antigos era inconcebível que alguém duvidasse dos 
postulados, mas dúvidas em relação aos axiomas eram tacitamente consentidas. 
Quando afirmavam que a soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é 
igual a dois ângulos retos, não incluíam leis como existe o triângulo, pois entendiam 
tratar-se de uma propriedade válida e demonstrável para todos os triângulos. 
 Considerando aceitar a existência hipotética dos objetos geométricos, 
exigiam em relação às quantidades que elas se afirmassem pela existência e 
unicidade. Para ilustrar, observe que se x e y são dois números tais que xy = yx é 
intuitivo ponderar se tais números existem. Ou, se existe um número a tal que a + x 
= a, deve existir um objeto chamado elemento nulo que deve ser único. Enquanto as 
quantificações exigem que as questões da existência ou unicidade estejam 
resolvidas, as leis geométricas aceitam uma existência hipotética. 
Quando Euclides enuncia que o ponto é aquilo que não tem partes a 
existência de tal ob-jectum, ou o que está adiante, é solicitado evidente. O ponto 
assim imaginado não pode ser dividido, não tem espessura e nem dimensão. Pode-
se associá-lo às representações da marca da grafite de um lápis sobre uma folha de 
papel ou a visão que temos da Terra de uma estrela, mas o ponto não existe. O que 
existe é a idéia de ponto: uma abstração elementar da construção da estrutura 
conceitual da geometria. O espaço, imaginado conjunto de todos os pontos, surge 
como abstração decorrente onde a idéia de ponto é o elemento fundamental de 
construção. 
 
 
 
 
 
 
 
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Segundo Proclo, filosofo grego do século V e primeiro historiador da 
matemática pela obra Comentário sobre Euclides, que descreve a geometria grega 
desde seus primórdios, elemento significava entre os gregos antigos, proposição de 
uso amplo e geral no desenvolvimento de um estudo dedutivo. Assim Aristóteles 
ensina no livro V da obra Metafísica: elemento é o primeiro componente imanente do 
qual é constituída uma coisa e que é indivisível em outras espécies. E diz: dentre as 
proposições geométricas chamaremos de elementos aquelas cujas demonstrações 
estão contidas nas demonstrações de todas ou quase todas essas proposições. 
Para Aristóteles, tudo aquilo entendido por ser um e pequeno pode servir a muitas 
coisas explica a certeza adquirida de que as idéias que são mais universais são 
mais elementos, pois estão presentes em muitas coisas ou na maioria delas. Dessa 
convicção decorre que o um e o ponto são elementos, pois são considerados de 
gêneros universais e indivisíveis. 
 
§ 3. PRIMÓRDIOS III 
 
A expressão todos os pontos, lida como tantos quantos puder imaginar, 
toma por evidente que o espaço se define através de infinitos pontos. 
Segundo os gregos antigos, desde que o espaço se constitui de infinitos 
pontos podem-se imaginar dois ou mais pontos sendo ligados de muitos modos 
através de linhas. Linhas são figuras que não tem espessura e largura, mas tem 
comprimento e podem se estenderem indefinidamente. Euclides considera e define 
as linhas retas, toda linha traçada uniformemente com os pontos sobre si e as 
superfícies planas, toda superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si 
como construções fundamentais para iniciar o processo de construção da 
geometria.. 
Desde que o espaço se constitui de infinitos pontos Euclides denominou 
figura geométrica ou simplesmente figura a tudo aquilo delimitado por qualquer 
fronteira ou fronteiras. Assim toda figura se compreende como um conjunto de 
infinitos pontos e o próprio espaço pode ser lido como uma figura geométrica. Na 
lógica euclidiana se um triângulo é definido como um polígono de três lados, então 
polígono deve ser entendido como uma figura e as figuras como objetos constituídos 
 
 
 
 
 
 
 
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por linhas. Como linha é uma construção fundamental, o processo de definição se 
interrompe aí. 
Embora Euclides tenha reconhecido pela necessidade das propriedades não 
demonstráveis, axiomas e postulados, ele não considerou a importância lógica dos 
termos não-definidos ou, de acordo com a concepção contemporânea dos 
matemáticos Bertrand Russel (1872-1970), e Giuseppe Peano (1858–1932) dos 
conceitos primitivos. Euclides procura definir todos os termos que utiliza e assim 
idéias como ponto, reta ou superfície estão na lista de definições. 
Como não se faz mais distinção entre postulados e axiomas, elas se tornaram 
sinônimas e se consideram no sentido euclidiano ou, como fizeram Peano e Russel, 
significando propriedades intuitivamente evidentes, aceitas independentes de 
qualquer comprovação, propriedades não – demonstráveis ou propriedades 
primitivas. 
No sentido que Aristóteles atribui às idéias que são mais universais são mais 
elementos, podem se destacar a idéia de ponto na geometria e a idéia de número na 
aritmética. Como também se aceita que os objetos matemáticos se organizem em 
conjuntos, a idéia de conjunto, um conceito tornado fundamental para todos os 
ramos da Matemática, tem o significado de coleção e os seus objetos, quaisquer que 
sejam, dizem-se elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ELEMENTOS HISTÓRICOS II 
 
A partir de cinco axiomas e cinco postulados Euclides organizou um 
sistema contendo 465 proposições distribuídas em 13 livros que correspondem aos 
conteúdos da geometria plana e espacial da escola média contemporânea. 
Segundo especialistas, embora não se conheça nenhum original dos 
Elementos, as cópias que nos chegaram parecem ter conservado a autenticidade 
original, pois as proposições e demonstrações foram essencialmente mantidas como 
foram escritos. 
A primeira tradução latina completa é de 1120 do filósofo inglês Adelardo de 
Bath a partir de uma versão que os árabes fizeram no século VIII das traduções dos 
manuscritos bizantinos dostrabalhos gregos. 
Desde a invenção da imprensa e até o século XX não só pelas suas mais de 
1000 edições, mas por ter sido mantido sem alterações substanciais por quase 23 
séculos, os Elementos é o mais influente livro de matemática editado. 
A impressão que os seus aspectos formais causaram fez dos Elementos 
modelo da forma de apresentação das idéias em ciências e matemática. 
Principalmente como idealização de uma estrutura sistêmica fundamentada 
pelos processos de raciocínio que se tornaram referência de construção da forma 
das teorias matemáticas e modelo do que deve orientar uma demonstração. 
Para se ter uma idéia do tratamento dado aos conteúdos desenvolvidos pelos 
gregos no estudo do espaço, no espaço geométrico definido por Euclides, 
contemporaneamente chamado espaço euclidiano, as figuras são estudadas num 
ambiente onde as distancias são preservadas e o movimento é tratado sem 
implicações: qualquer figura pode ser deslocada sem alteração de forma ou 
tamanho. 
Os objetos das experimentações espaciais como cordas esticadas, 
retângulos, quadrados, triângulos, círculos ou elipses interpretam-se considerando: 
I. As formas dos objetos convertidas em abstrações chamadas figuras; 
II. As relações entre as figuras são enunciadas através de axiomas e 
postulados; 
III. Definições, axiomas e postulados fixam um sistema ou modelo; 
 
 
 
 
 
 
 
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IV. Intermediada pela lógica uma teoria é construída contendo um conjunto de 
resultados compatíveis entre si. 
A teoria euclidiana consolida-se através das interações entre um conjunto de 
axiomas ou postulados e uma lógica de procedimentos. 
 
§ 1. ORIGENS I 
 
No espaço euclidiano, onde inexistem obstáculos e as relações de inclusão 
estão claramente estabelecidas, as proposições tem caráter universal, as 
demonstrações não lidam com experimentações e são dedutivas. 
Desde os tempos de Euclides as leituras da geometria procuram dar uma 
descrição do mundo justificadas por um modelo de estruturas dedutivas precisas. 
Nossas experiências diárias contribuem para autenticar o modelo, pois a primeira 
leitura que aprendemos do espaço ao nosso redor é conceitualmente euclidiana. 
A partir dos Elementos, duas importantes escolas passam a contribuir para 
construção do pensamento: aquelas representadas pelos modelos matemáticos do 
Egito, Babilônia, Oriente antigo e Índia, predominantemente algorítmica, e a escola 
estritamente lógica e dedutiva, originada com os gregos. Enquanto na matemática 
grega as estruturas são rigorosamente lógicas e os objetos se caracterizam por 
determinadas propriedades, na matemática algorítmica as regras operacionais 
podem variar de acordo com as técnicas, instrumentos ou a urgência de um 
problema. A matemática grega, organizada sob a forma de um sistema axiomático, 
trata fundamentalmente do estudo do espaço. A matemática algorítmica, 
apresentada sob a forma de coleções de regras computacionais, trata 
fundamentalmente dos números. 
A matemática dos números tem suas origens com os babilônios, hindus e os 
árabes. Os gregos deram aos problemas numéricos conotações geométricas: as 
comparações entre quantidades são associadas aos problemas sobre comprimentos 
de dois segmentos ou comparações entre áreas. Os babilônios, os hindus e os 
árabes, introduzindo símbolos e regras operacionais ao raciocínio tornam possível 
descrever e tratar das grandezas em outros níveis de abstração e eficiência da 
matemática grega. Mas, característica da cultura matemática oriental, os babilônios, 
 
 
 
 
 
 
 
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os hindus e os árabes, que não se preocupavam em demasia com demonstrações, 
não organizaram seus conhecimentos acerca dos números num modelo axiomático. 
Assim dos métodos e técnicas das culturas matemáticas gregas e orientais 
decorre, por respeito ou circunstância, uma tradição que se estende aos primórdios 
da era contemporânea: a geometria é ensinada sob o formato dado por Euclides nos 
Elementos e a matemática das quantidades é ensinada como uma coleção de leis e 
regras operacionais característicos do ensino da Álgebra ou do Cálculo. 
 
§ 2. ORIGENS II 
 
O processo de adoção dos procedimentos axiomáticos pelos gregos 
antigos, segundo se credita, está ligado à primeira das três grandes crises que a 
matemática experimentou ao longo de sua história. 
No século V a.C. se descobre que nem todas as grandezas geométricas da 
mesma espécie são comensuráveis: existem grandezas que não são múltiplas 
inteiras de uma outra tomada como unidade de medida. A diagonal d e o lado a do 
quadrado, por exemplo, não admitem uma unidade de medida comum, pois d = a 2 
e 2 não é um número racional. A descoberta da existência dos números irracionais 
pelos pitagóricos obrigou uma revisão que só foi superada por volta de 370 a.C. com 
a Teoria das Proporções de Eudoxo. É a leitura dos incomensuráveis que dá a base 
necessária para construção do sistema dos números reais no século XIX por Richard 
Dedekind e Karl Theodor Wilhelm Weierstrass 
A segunda grande crise advém da criação do Cálculo Diferencial e Integral, 
uma concepção de Leibnitz e do físico inglês Isaac Newton através de estudos 
independentes. Entretanto as origens do Cálculo estão no século V a.C. quando os 
paradoxos de Zenão, discípulo de Parmênides e considerado por Aristóteles o 
criador da dialética, procuram reduzir ao absurdo os conceitos de multiplicidade e 
movimento. 
A terceira grande crise é conseqüência dos paradoxos descobertos na teoria 
dos conjuntos. Desde 1872 quando Cantor começa a usar a idéia de conjunto para 
tratar das questões ligadas ao Infinito os conceitos da teoria dos conjuntos 
sistematicamente são absorvidos pela Lógica e pela Álgebra como meio de 
expressão da linguagem matemática. Intuitiva, a idéia de conjunto é associada a 
 
 
 
 
 
 
 
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tudo que percebemos como lista, coleção, grupo ou classes de objetos, 
genericamente denominados elementos, que podem ser números, pontos, pessoas, 
letras, fatos ou figuras. Exercendo papel unificador e influenciando concepções 
relativas aos fundamentos da matemática, a descoberta de paradoxos colocou sob 
suspeita os alicerces da própria matemática. 
A partir do final do século XIX, o advento de novas geometrias ou a 
descoberta da existência de outras estruturas lógicas e as possibilidades de leituras 
dos números naturais ou a geometria euclidiana como modelos fundamentais se 
consolidam através do século XX pela organização dos objetos matemáticos em 
denominações bem características: conjuntos, grupos, anéis, figuras, números, 
funções, espaços vetoriais ou espaços topológicos. 
 
§ 3. ORIGENS III 
 
Como mostra a experiência, as crises se revelam interessantes quando 
permitem que os conteúdos se reformulem pelos processos de reconstrução dos 
conceitos. 
O conhecimento é confrontado pela busca de sentidos e ordem ao caos em 
que às idéias parecem estar e todo caminho se assemelha à desordem natural da 
experiência. Mas, encontrando diferenças que normalmente não se percebe e 
relações entre os agentes da experiência, permite desenvolver raciocínios que se 
conformam como escolas do pensamento. 
Certamente os estudos para superação das crises na Matemática e as formas 
de visão do pensamento matemático estão de muitos modos conjugados. Assim, até 
por volta de 1930 os estudos da lógica e da fundamentação matemática foram 
compartilhados pelas escolas logicista, intuicionista e formalista, que muitas 
influências emprestaram ao pensamento. Daí em diante as três escolas se 
aproximam, inúmeras correntes surgem e as especialidades se multiplicam. Até 
porque na Matemática as dinâmicas das transformações parecem estar em sintonia 
com a percepção de Cantor quando ele afirma que a essência da matemática reside 
em sua liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
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Certamente Cantor solicita que procuremos ver o conhecimento matemáticocomo de fato ele é: falível, corrigível, tentativo e evolutivo. Numa definição 
apropriada dos dicionários a matemática é a ciência das quantidades e do espaço. 
Esta declaração, entretanto, apenas toca o cerne das preocupações de 
grande parte dos estudantes sobre o que é matemática ou qual é a finalidade da 
matemática, pois cada geração procura uma resposta e cada resposta é confrontada 
por elementos tanto individuais quanto coletivos. O matemático francês Jacques 
Hadamard (1865-1963) observava que a matemática não é só a mais simples de 
todas as ciências, mas também a mais perfeita e a mais antiga. 
Certamente a matemática é humanística enquanto arte. É científico-
tecnológico quando aplicada. É platônica se imaginamos que os seus objetos de 
estudo existem independentes das pessoas. 
É construtivista, quando consideramos como objeto matemático somente 
aqueles que podem ser obtidos por uma seqüência finita de construções. 
É formalista, quando se enuncia através dos conceitos primitivos, axiomas, 
postulados, definições e teoremas. 
 
 
 
 
 
 
 
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PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS III 
 
O filósofo grego Aristóteles é considerado o primeiro pensador a 
sistematizar as regras que orientam a razão na busca da verdade e da validade dos 
argumentos. 
Discípulo de Platão, com quem estudou dos 17 aos 37 anos, Aristóteles, 
fundou em Atenas no ano de 355 a.C. o Liceu, sistema educacional que ficava 
próximo ao templo dedicado ao deus Apolo Lício. As despesas do Liceu eram 
asseguradas pelas contribuições de particulares e da corte macedônica, pois dos 
discípulos nada se cobrava. Da corte macedônica, através de Alexandre o Grande, 
de quem Aristóteles foi tutor, em respeito e afinidade ao preceptor de sua juventude, 
chegavam também valiosas contribuições de materiais que os estudiosos que 
acompanhavam as campanhas de Alexandre iam recolhendo. 
Também chamada escola peripatética, pois Aristóteles costumava expor suas 
idéias ao ar livre passeando com os alunos sob a sombra das árvores das avenidas 
de que dispunha o local, o sistema educacional do Liceu, voltado para as pesquisas 
das ciências, ensinava a desenvolver a investigação dos fenômenos naturais com 
base na experimentação. O ensinamento de Aristóteles, que aborda vastos campos 
do conhecimento, é proveniente das anotações dos seus alunos organizados em 
quatro grandes grupos de obras. Uma delas, sob a denominação Organon, inaugura 
o estudo da disciplina que os séculos denominaram Lógica. 
Aristóteles organizou, sistematizou e ampliou o conhecimento cientifico da 
Antiguidade através de modelos que se tornaram as principais bases de visão do 
universo. A Lógica Matemática e as lógicas contemporâneas fundamentam-se ou 
surgiram como crítica a lógica aristotélica, também chamada Clássica. 
Embora todos tenham motivações para descobrir a verdade e uma aptidão 
natural que se revela como bom senso, através da lógica pode-se aprender a 
determinar a partir das informações disponíveis sobre um dado assunto, se as 
conclusões que inferimos são válidas e o que pode ser entendido como verdade. 
Melhor se temos como converter as informações para a linguagem que lhe é própria. 
Apesar da variedade dos elementos da lógica contemporânea, o estudo das 
estruturas lógicas da Matemática desenvolve-se através dos conceitos, juízos ou 
relações e o raciocínio. Estes, por sua vez, representam-se, quaisquer que sejam os 
 
 
 
 
 
 
 
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meios, como termo, proposição e argumento. Assim, enquanto a proposição é a 
expressão de um juízo, o argumento é a expressão de um raciocínio. 
 
§ 1. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA I 
 
A preocupação fundamental da Lógica foi compreender a análise do 
raciocínio desde a formação da idéia até a elaboração dos argumentos. 
Quando alguém afirma que a porta está aberta, está implícito que a idéia de 
porta e o conceito de estar aberto são evidentes. Mas, ao se afirmar que a medida 
da circunferência da Terra é, aproximadamente, 40.000 km ou, que toda função 
limitada e contínua por partes num intervalo fechado [a, b] é Riemann-Integrável 
neste intervalo, pressupõe que os conceitos constituintes estão claramente 
estabelecidos. 
Certamente algumas idéias são aceitas com tanta naturalidade que 
dispensam explicações ou definição. Entretanto, quando as sentenças procuram 
descrever ou argumentar, elas transmitem informações que podem exigir 
justificativas. Enquanto a sentença a porta está aberta pode dispensar qualquer 
explicação, a afirmação que declara o valor da medida da circunferência da Terra 
requer comprovação. 
Comprovar uma sentença é estabelecer uma conexão entre a afirmativa 
elaborada a partir de outras previamente conhecidas. Mais precisamente, é construir 
um conjunto de nome argumento, constituído de n+1 sentenças, cada uma delas 
chamada premissa, de modo que aquela que requer justificativa é chamada 
conclusão. Mais detalhadamente, designando por P1, P2, . . . , Pn e C, n + 1 sentenças 
dadas, um argumento é toda seqüência finita de premissas P1, P2, P3, . . . , Pn, onde C, 
conseqüência de P1, P2, P3,... é a conclusão. 
Para usar uma expressão do lógico matemático norte-americano Alfred Tarski 
(1902–1983), pode-se distinguir na elaboração de um argumento dois níveis de 
discurso: a linguagem da qual se fala, chamada linguagem-objeto, e a linguagem 
com a qual se fala, denominada metalinguagem. 
Na Matemática, onde as conclusões se apresentam como conseqüência de 
certas premissas admitidas como verdadeiras chamadas hipóteses [hypo (subjazer) 
+ thesis (idéia, teoria)] ou conjunto de dados, os pensamentos, expressos numa 
 
 
 
 
 
 
 
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linguagem própria e característica, necessitam de uma linguagem auxiliar, ou 
metalinguagem, para tornarem-se compreensíveis. 
A parte de uma linguagem usual como metalinguagem que apresenta 
interesse para expressar os conceitos matemáticos na construção de uma hipótese 
é exatamente aquela constituída por sentenças declarativas que podem ser 
classificadas, segundo um, e somente um, dos valores lógico verdadeiro ou falso. 
 
§ 2. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA II 
 
Nas vertentes do desenvolvimento da lógica, os megáricos, da escola de 
Mégara (Sicilia, 450 a.C–380 a.C), fundada pelo filósofo grego Euclides, o Socrático, 
e os estóicos, da escola Estóica, fundada por Zênon de Cítio (335 a.C - 264 a.C), 
discípulo de Euclides o Socrático, empregaram nomenclaturas e desenvolveram 
estudos considerados continuidade dos ensinamentos que não se encontravam em 
Aristóteles. 
 No entanto, rivalidades entre estóicos e aristotélicos impediram que essas 
abordagens se reunissem numa só teoria. Após o período estóico segue-se longo 
período ao qual se credita dedicado ao aperfeiçoamento das técnicas e ensino da 
Lógica com destaque aos elementos de união entre as lógicas aristotélica e estóica. 
 No período medieval ocidental as tradições se dão mais pelos conteúdos que 
as controvérsias teológicas significaram. Predominante até o século XVII, as 
tradições medievais dividiram o estudo da Lógica em dois grandes grupos: Lógica 
Menor ou Formal e Lógica Maior ou Material. A Lógica Menor, absorvida pelas 
ciências e filosofia, estuda a forma dos argumentos. A Lógica Maior se ocupa em 
determinar o conteúdo ou a veracidade das proposições contidas num argumento. 
Entretanto, às idéias de Aristóteles pouco se acrescentou até o século XVI. 
Coube ao matemático alemão Gottfried Wilhem Leibnitz (1646–1716) as 
primeiras antecipações dos estudos que viriam a se tornar no século XIX, 
fundamentalmente devido aos trabalhos do matemático inglês Geoge Boole (1815 - 
1864), do matemático inglês de origem hindu Augustus de Morgan (1806 - 1871) e 
do matemático alemão Gottlob Frege (1848 - 1925), uma nova forma de lógica: a 
Lógica Simbólica Clássica, Lógica Abstrata ou Lógica Matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
19
Leibniz, um dosprecursores do sistema binário, a partir de 1666 propõe idéias 
inovadoras às quais chamou lógica matemática e utilizou em vários trabalhos. Mas, 
como não as publicou, sua importância passou ignorada por seus contemporâneos. 
 Leibnitz construiu a primeira máquina calculadora que realizava 
multiplicações. Projetada para operar com números na base 10, não chegou a ser 
convertida para operar no sistema de base 2. 
Números na base 2, diga-se, comportam muitos algarismos 0 e 1. Por 
exemplo, o número 10 na base 2, (10)2, escreve-se como 1010 (leia-se um zero um 
zero), (100)2 =1100100; (533)2 =1011011101; (15752)2 = 1110110001000. 
 
§ 3. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA III 
 
É Leibnitz quem vê que a Lógica é uma Álgebra ou que a Álgebra é uma 
Lógica. 
Critico da lógica aristotélica ao considerar que ela mostra verdades 
conhecidas, mas não revela novas verdades, Leibnitz foi o primeiro pensador a 
perceber que as leis do pensamento contêm decodificações essencialmente 
algébricas ou que a lógica é uma espécie de álgebra ou que a álgebra é uma lógica. 
As preocupações de Leibnitz na busca de uma linguagem matemática 
logicamente universal iniciam procedimentos de criação de símbolos universais num 
simbolismo reduzido com o objetivo de orientar o processo do raciocínio formulando 
conceitos que facilitem as operações lógicas. 
Por tudo isso é importante que se note que até então, desde os tempos de 
Aristóteles, o raciocínio lógico era totalmente desenvolvido com o uso da linguagem 
corrente e Leibnitz foi o primeiro pensador a ter a idéia de usar uma linguagem 
artificial para significar a estrutura dos pensamentos. 
Para tanto observe que uma linguagem, ou todo sistema de símbolos 
utilizados como meio de comunicação, pode ser classificada em linguagens naturais 
ou línguas, como o português, o francês ou o inglês, em linguagens artificiais, como 
a linguagem da geometria, da álgebra ou as linguagens que comunicam instruções a 
uma máquina. 
Enquanto as línguas surgem e se desenvolvem a partir de um grupo de 
indivíduos e estão sempre em transformação, as linguagens artificiais, aquelas onde 
 
 
 
 
 
 
 
20
as palavras ou os conceitos são substituídos por símbolos, possuem uma gramática 
que não se altera com o passar do tempo. 
Para exemplificar mais de acordo com Tarski, considere o argumento: 
As raízes da equação x2 −−−− 3x + 2 = 0 são x = 1 ou x = 2. 
Os termos x2 −−−− 3x + 2 = 0, x = 1 e x = 2 são termos da linguagem matemática, 
que atua como linguagem – objeto, e a língua portuguesa, que contém a mensagem 
transmitida, atuam como metalinguagem. 
Como é grande o interesse contemporâneo pelas metodologias de construção 
e análise dos argumentos, o estudo das linguagens artificiais que atuem como 
linguagens-objeto, como é o caso próprio da Matemática, torna-se cada vez mais 
requisitado. 
 
§ 4. DESENVOLVIMENTO DA LÓGICA IV 
 
Desde o simbolismo de Leibnitz a idealização de uma álgebra da lógica 
começa a formar contornos em 1847 e 1848 quando, respectivamente, De Morgan e 
Boole publicam Lógica Formal ou Cálculo de Inferência e Análise Matemática da 
Lógica. 
Em Análise Matemática da Lógica Boole diz: Poderíamos, com justiça, tomar 
como característica definitiva de uma verdadeira Matemática, que é uma forma de 
raciocinar baseada no uso de símbolos, o uso combinatório destes como 
interpretação consistente do mundo em que vivemos. E é baseando-se nesse 
principio geral que eu pretendo estabelecer o Cálculo da Lógica e que reivindico 
para ele um lugar entre as formas reconhecidas da Análise Matemática. 
Boole percebeu que o estudo da Lógica se dividia em três estágios: lógica 
grega, lógica escolástica, ensino filosófico do século X ao século XVI que 
relacionava dogmas cristãos à filosofia tradicional, e lógica matemática. Em 1854, 
em Pesquisas sobre as leis do pensamento, Boole dá forma às percepções de 
Leibnitz . 
As preocupações de Leibnitz também se fazem presente entre 1879 e 1903 
nos estudos de Gottlob Frege, Cantor, Peano, e em 1910 na obra Principia 
Mathematica de Bertrand Russel e Alfred North Whitehead. Em 1880 Peano e sua 
escola desenvolvem uma linguagem artificial que dá uma visão universal dos 
 
 
 
 
 
 
 
21
mecanismos lógicos das teorias matemáticas. Com 3 conceitos primitivos e 5 
axiomas ampliam os domínios da axiomática matemática desenvolvendo a Teoria 
dos Números Naturais. Completando o ciclo axiomático fundamental Frege elabora 
um conjunto de princípios que orientem as regras da demonstração e caracterize o 
que é uma demonstração matemática. 
Certamente uma proposição está demonstrada se ela decorre de proposições 
cuja verdade esta estabelecida. A questão, a saber, é: o que garante a verdade das 
premissas? Embora estudantes de Matemática treinem para lidar com este dilema 
na geometria e aritmética, este treinamento, como Frege observou, não dá 
garantias, pois podemos acreditar ter demonstrado aquilo que não estava terminado. 
As idéias de Frege, baseada na simbologia matemática e na análise 
formal do discurso, organiza o raciocínio numa espécie de gramática 
empregada em diversas linguagens, como a proposicional, que estuda a 
relação dos juízos entre si ou a de predicados, que analisa a estrutura das 
sentenças. Favorecendo reavaliações no estudo da lógica, a partir daí a lógica 
aristotélica adquire a denominação Lógica Clássica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22
PRIMÓRDIOS PANORÂMICOS HISTÓRICOS IV 
 
Os trabalhos de Boole, De Morgan e Frege promovem a autonomia da 
Lógica Clássica destacando-a da Filosofia. 
Boole e De Morgan desenvolvem a álgebra da lógica, os trabalhos de Frege 
influenciam as pesquisas de Russel e Whitehead, que adotam o simbolismo de 
Peano, mais simples que o de Frege. Hilbert elabora os critérios que permitem 
separar nos sistemas lógicos a metalógica destes sistemas. 
Entretanto apesar da variedade dos elementos da lógica contemporânea, o 
estudo das estruturas lógicas da Matemática desenvolve-se através dos conceitos, 
juízos ou relações e o raciocínio. Estes, por sua vez, representam-se, quaisquer que 
sejam os meios, como termo, proposição e argumento. 
Enquanto termo é a expressão do conceito, a proposição expressa um juízo e 
o argumento é a expressão do raciocínio. A leitura de cada um desses seis 
elementos tem interesse para facilitar a compreensão das estruturas lógicas da 
Matemática. 
Segundo Aristóteles, a percepção de um objeto tal como ele é, como forma ou 
imagem, constitui o primeiro plano de expressão de uma idéia. É uma operação de 
simples apreensão que produz um conceito. A palavra idéia, do grego idea, forma, 
imagem, significa noção e conceito, do latim conceptium, aquilo concebido na mente. 
Quando o espírito, do latim spiritus, sopro, faculdade de compreender, 
conhecer, imaginar, apreende duas idéias de um conjunto de idéias e as aproxima, 
ele as compara. Conseqüentemente uma avaliação entre elas é estabelecida. Deste 
processo, segundo Jacques Maritain, professor do Instituto Católico de Paris (1882 – 
1973), decorre um juízo: ato do espírito pelo qual ele une quando afirma ou separa 
quando nega. Portanto, um juízo é uma operação pela qual formamos uma sentença 
afirmando ou negando algo a respeito de um sujeito. 
Para Aristóteles, a sentença que expressa um juízo deve ter a forma sujeito-
verbo ser - predicado num nível de concordância tal que a asserção ou será 
verdadeira ou será falsa. O sujeito e o predicado são termos que expressam um 
conceito portador de significado com determinada realidade. O verbo ser, ligando o 
sujeito ao predicado, indica a qualidade atribuída ao sujeito ou, qual comparação ou 
relação que está sendo estabelecida entre o sujeito e o predicado. 
 
 
 
 
 
 
 
23
A idéia de relação inclui-se na categoria dos conceitos que aprendemos a 
denominar como primitivos ouaqueles aceitos independentes de definição. 
 
§ 1. REPRESENTAÇÃO DE UM CONCEITO 
 
A representação material ou simbólica de um conceito ocorre através dos 
termos, partes ou sinais sensíveis da expressão de uma idéia. 
Por exemplo, números são idéias representadas através de símbolos 
chamados numerais. Assim 2, dois, II,..., - -, 8 - 6, deux, two,... , são numerais de 
um mesmo número: representam à mesma idéia de quantidade. Para outro exemplo, 
círculos, quadrados, triângulos também se representam naturalmente. Entretanto, 
idéias como infinito, existência ou eternidade, para as quais não há imagem interior, 
se representam pelo sentido ou significação de que são portadoras. 
Enquanto conceitos como liberdade, dignidade, sexualidade, propriedade ou 
divindade, variam de significado entre os povos ou se alteram no tempo, os 
conceitos matemáticos procuram a universalidade e perfeição. A versão original da 
demonstração do teorema de Pitágoras, a idéia de círculo ou o conceito de número 
primo, por exemplo, desde os tempos de Euclides jamais sofreram correções, mas 
extensões. 
Um conceito é tanto mais perfeito quando procura corresponder de forma 
exata ao objeto apreendido. Assim ele poderá ser claro ou distinto. Será claro se os 
elementos apreendidos pela mente são capazes de distingui-lo em qualquer outra 
classe de conceito. Enquanto a idéia de triângulo é clara, pois os elementos 
percebidos são suficientes para distingui-lo de qualquer outro conceito, como tigres 
ou círculos, a idéia de polígono está obscura, pois não oferece elementos distintivos 
para diferenciá-lo, já que um polígono pode ser um triângulo, um quadrado, um 
losango,... 
Um conceito será distinto quando apresenta todos os elementos necessários 
à sua individuação. Certamente, se um conceito é distinto, ele será claro. Mas nem 
todo conceito claro é necessariamente distinto. Enquanto a idéia de triângulo 
retângulo é distinta e clara, a idéia de triângulo é clara, mas não é distinta. 
Os conceitos podem ser singulares, particulares ou universais. Será singular 
se representa um só elemento distinto. Por exemplo, o conceito de número cinco ou 
 
 
 
 
 
 
 
24
Pitágoras é um matemático do século V a.C. Será particular quando representa 
alguns elementos de determinado conjunto. O conceito de número impar no contexto 
dos números inteiros positivos ou o conceito de triângulo retângulo no universo dos 
triângulos são exemplos. 
Será universal quando representar toda uma classe. 
 
§ 2. EXTENSÃO OU COMPREENSÃO I 
 
Segundo Maritain, a extensão de um conceito é a sua amplitude em relação 
aos objetos do pensamento aos quais se aplica e agrupa em sua unidade. 
Em geral a extensão se dá pelos desdobramentos aos qual a idéia convém ou 
se aplica, sendo tanto maior de acordo com o número de objetos abrangidos. Assim 
ela é identificada com a quantidade. A idéia de número inteiro, por exemplo, têm 
extensão universal, pois abrange, citando algumas extensões, os números inteiros: 
positivos, negativos, não positivos, não negativos, não nulos, os pares, ímpares, 
primos, múltiplos, divisores, ou as operações algébricas. A idéia de triângulo também 
tem extensão universal, pois se compõe pelos triângulos: eqüiláteros, aqueles de 
lados iguais ou congruentes; isósceles, que tem dois lados iguais; escalenos, de 
lados com medidas diferentes; acutângulos, aqueles com ângulos internos agudos; 
obtusângulos, ângulo interno obtuso e dois agudos; retângulos, ângulo interno reto e 
dois agudos; triângulos inscritos, circunscritos, pitagóricos,... 
Quando dois conceitos têm a mesma extensão eles se dizem equivalentes. 
Os conceitos triângulo eqüilátero e triângulo eqüiângulo são equivalentes, pois o 
triângulo eqüilátero, tendo todos os lados de mesma medida, terá todos os ângulos 
iguais. 
A compreensão de um conceito, por sua vez, se dá pelos elementos nele 
contidos ou o conteúdo da idéia: é a amplitude do conceito em relação aos 
elementos que o caracterizam ou da identificação do seu significado quanto à 
qualidade. Por exemplo, uma restrição na extensão da idéia de polígono para figura 
poligonal triangular, aumenta a compreensão, pois diz que a figura é um triângulo. 
Uma nova redução para figura poligonal regular determina um triangulo eqüilátero. 
Através de sucessivas restrições na extensão, digamos figura geométrica, é possível 
passar para um conceito particular, digamos, triângulo eqüilátero. 
 
 
 
 
 
 
 
25
Enquanto a extensão torna-se cada vez menor, a compreensão em cada 
etapa é cada vez maior. Por exemplo, os conceitos número cinco, número impar, 
número inteiro, número racional, numero real estão em ordem crescente de 
extensão e em ordem decrescente de compreensão. 
Portanto, qualidade e quantidade relacionam-se do seguinte modo: quanto 
maior a extensão, menor será a compreensão e, quanto maior a compreensão, 
menor a extensão. 
 
§ 3. EXTENSÃO OU COMPREENSÃO II 
 
 Os conceitos matemáticos são de extensão infinita. 
Mas as propriedades que definem o objeto matemático, ou sua compreensão, 
são em número limitado e bem caracterizado. O conceito de figura geométrica (F), 
por exemplo, é mais extenso que o conceito de polígono (P). O conceito de polígono 
é mais extenso que o conceito de quadrilátero (Q) que é mais extenso que o 
conceito de retângulo (R). Assim Figura Geométrica tem compreensão menor que o 
conceito de polígono. Polígono tem compreensão menor que o conceito de 
quadrilátero que tem menor compreensão que o conceito de retângulo. Enquanto o 
conceito cresce em extensão ele decresce em compreensão. 
 
 
 
 
I 
 
 
Desde que as extensões de dois conceitos A e B estejam contidas em um 
conceito mais geral C, os conceitos A e B dizem-se coordenados em relação a C. 
Os conceitos de retângulo, quadrado, quadrilátero e paralelogramo, estão 
coordenados em relação ao conceito de polígono. 
Os conceitos de Número Par (P) e Número Ímpar ( I ) - veja Diagrama 1 - 
estão coordenados em relação ao conceito de Numero Inteiro Positivo. Os conceitos 
de triangulo retângulo (TR) e de triangulo isósceles (TI ) estão coordenados em 
relação ao conceito de triangulo. Ilustrado pelo Diagrama 2, pode existir um 
 F 
 P 
 Q 
 R 
 
 
 
 
 
 
 
26
triângulo retângulo e isósceles embora o triângulo isósceles não seja, 
necessariamente, retângulo. 
. 
 
 
 
 
 Diagrama 1 Diagrama 2 
 
§ 4. REPRESENTAÇÃO DE UM TERMO OU CONCEITO II 
O termo é a representação material ou simbólica de um conceito. 
O termo significa o conceito: ele o substitui. A idéia deixa de ser uma 
operação mental para se transformar num sinal através de palavras, sons ou figuras. 
Assim as idéias podem ser registradas, compartilhadas e comunicadas. 
O termo deve ser considerado segundo a compreensão, função e extensão. 
Segundo a compreensão, ele é unívoco quando substitui a idéia de um único 
objeto ou a idéia de uma classe de objetos. São exemplos: o desenho da figura de 
um círculo, a idéia de ponto e a idéia de conjunto quando representadas por uma 
letra maiúscula do alfabeto latino ou a idéia de reta representada por uma letra 
minúscula. 
Ainda segundo a compreensão será análogo se aplicado a idéias 
relacionadas por semelhança ou linguagem figurada e será equivoco se estiver se 
referindo, por exemplo, a conceitos como rosa, cor e rosa, flor. 
Segundo Aristóteles, o termo exerce a função sujeito ou função predicado de 
acordo com a extensão ou aos objetos aos quais se refere. Assim o sujeito é 
universal se ele identifica todos ou nenhum elemento de um conjunto. É particular se 
faz referência a apenas alguns elementos e singular quando trata apenas de um 
elemento. O predicado, segundo a extensão, depende da qualidade do enunciado 
ou dele ser afirmativo ou negativo. Assim, enquantoas sentenças afirmativas têm 
predicado particular, as sentenças negativas têm predicado universal. 
 
 
 
 
 
 P 
I 
 
 
 
 
 
 
 
27
 
 
 
Na sentença todos os triângulos (A) são triláteros (B), o sujeito triângulo é 
tomado em sentido universal. O predicado trilátero tem sentido particular, pois não 
se afirma todos os triláteros são triângulos, mas somente alguns triláteros são 
triângulos, conforme o Diagrama 1, abaixo a esquerda. 
 
 
 
 Diagrama 2 
Diagrama 1 
Na sentença negativa alguns triláteros não são triângulos, veja Diagrama 2, 
enquanto o sujeito é tomado em sentido particular, o predicado tem sentido 
universal, pois o ser triângulo é negado a todos os triláteros aos quais faz referência. 
Do mesmo modo se for dito que nenhum triangulo é trilátero, nega-se a todos 
os triângulos a possibilidade de pertencer ao conjunto dos triláteros. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 B 
 A 
A 
 B 
 
 
 
 
 
 
 
28
AS PROPOSIÇÕES SIMPLES OU CATEGÓRICAS 
 
 Aristóteles ensinava que a sentença que expressa um juízo deve ter a forma 
sujeito-verbo ser - predicado onde um termo, o sujeito, a idéia da qual se afirma 
algo, – liga-se ao outro, o predicado, a idéia que se afirma do sujeito, num nível de 
concordância tal que a asserção ou será verdadeira ou será falsa. 
Decorre da conceituação aristotélica que se excluem de concordância lógica 
as frases exclamativas, interrogativas ou imperativas, pois estas não se classificam 
em verdadeiras ou falsas. Também se devem excluir frases com mais de um 
sentido. 
De fato. A frase as rosas são vermelhas é ambígua, pois tanto pode significar 
que algumas rosas são vermelhas quanto todas as rosas são vermelhas. Deve se 
também evitar dizer frases como as rosas não são vermelhas, pois a ela tanto pode 
ser entendida como algumas rosas não são vermelhas quanto nenhuma rosa é 
vermelha. 
Toda proposição enuncia a inclusão ou exclusão do predicado no sujeito: se o 
atributo dado ao sujeito faz parte ou não da compreensão deste sujeito. O sujeito e o 
predicado são termos que expressam um conceito portador de significado com 
determinada realidade. O verbo ser, ou qualquer outro verbo que faz a ligação entre 
o sujeito e o predicado, indicando a qualidade atribuída ao sujeito ou, qual 
comparação ou, qual relação existe entre eles, é chamado conceito relacionante ou 
relação. 
Nos enunciados: 2 é número par; y = x2 - 3x + 2 ; x + y = 7; Guilherme 
François L′ Hospital escreveu em 1696 Analysis dês Infiniment Petits, o primeiro livro 
texto de Cálculo publicado no mundo, cada uma dessas sentenças contém um modo 
de relacionamento entre o sujeito e o predicado. Como Júlia e Luciana se 
relacionam? São primas. Qual relação existe entre x + y e 7? São iguais. 
A idéia de relação ocorre quando elementos de certos conjuntos, que podem 
ser números, idéias, pessoas, fatos,... , estão ligados por expressões do tipo... é 
prima de .., ... é igual a ..., ...é maior do que ..., ... é autor de ... , ... é elemento de ... 
Outras palavras relacionantes são: portanto, assim, ou, então, e, se, entre, 
nem, não, todo, há, existe,... 
 
 
 
 
 
 
 
29
Para Aristóteles, as sentenças que emitem um juízo devem ser declarativas, 
pois em nome da clareza e da precisão devem enunciar sem ambigüidades a 
inclusão ou a exclusão do predicado no sujeito. 
As sentenças assim entendidas vão se designar como sentenças 
declarativas, proposições simples, atômicas ou categóricas. 
 
EXEMPLO 1 - OS ELEMENTO DA CONCEITUAÇÃ ARISTOTÉLICA. 
 
E 1 A – Conceito / Termo: .................. Homem, país, grandeza, número, conjunto, 
função, função contínua, triângulo, triângulo retângulo, livro, função seccionalmente 
contínua, polígono regular, polígono regular convexo inscrito em um circulo,,,, 
 Juízo / Proposição: ................ Todo numero racional inteiro é racional; 
 f(x) = x2 é uma função contínua; 
 Pingüins são aves,... 
 
 
 Raciocínio / Argumento:... Toda função diferenciável é contínua. 
 f(x) = x2 é uma função diferenciável 
 Logo:.................................... f(x) = x2 é contínua. 
 
E 1 B - A sentença cinco é maior do que 2, simbolizada 5 > 2 
Através da relação ... é maior do que... , de símbolo “>”, ao comparar as 
quantidades 5 e 2, estabelece uma verdade onde o numeral 5 desempenha o papel 
de sujeito e o numeral 2 significa o predicado. O esquema abaixo ilustra os 
elementos da proposição 5 > 2: 
 
 
 
s 
 
 
 
E 1 C - São sentenças declarativas ou proposições: 
 Idéia = número Idéia = número 
Termo Sujeito Termo Predicado 
 Relação entre o sujeito e o predicado 
Proposição (juízo) 
Valor lógico verdadeiro 
5 > 2 
 
 
 
 
 
 
 
30
P1: 5 é um número inteiro P2: 
4
3
 é um número racional P3: 7 > 3 P4: 12 – 3 = 
1 
Comentário: 
Adotaremos a notação L(P) = V para indicar o Valor Lógico Verdadeiro de 
uma proposição ou, L(P) = F, para significar sua falsidade. Assim, L(P 1 ) = V, L(P 2 ) 
= V, L(P 3) = V e L(P4) = F. 
Outra notação conveniente é 1 para designar uma proposição verdadeira e 0, 
se a proposição é falsa. Assim, L(P 1 ) = 1, L(P 2 ) = 1, L(P 3) = 1 e L(P4) = 0. 
 
EXEMPLO 2 – SENTENÇAS ABERTAS I 
 
E 2 A SÃO SENTENÇAS DECLARATIVAS : 
Q1: Existe um número inteiro x tal que x > 3 Q 2 : Existem rosas vermelhas 
Q 3 : Qualquer que seja x, x
2 − 3x + 2 = 0 Q4: Para todo x, − (−x) = 
x 
R1: Se um metal é aquecido, ele se dilata. R2: Se a = 3, b = 3 e c = 3 então a = b = 
c. 
R3: Duas retas se interceptam em um e apenas um ponto. 
R4: Qualquer figura pode ser deslocada sem alteração de forma e tamanho. 
S 1 : Todos os triângulos são triláteros S 2 : Nenhum triângulo é 
quadrilátero 
S 3 : A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180 graus. 
S 4 : Todos os triláteros são triângulos. 
Comentário: 
 L(Q 1 ) = V, L(Q2) = V, L(Q4) = V. L(Q 3 ) = F, pois uma equação do segundo grau tem 
no máximo dois valores que a satisfazem. Entretanto, se tais números referem-se ao 
conjunto A = {1, 2} então, em relação a este conjunto, a propriedade é verdadeira. 
 L(R1) = V, pois trata de uma propriedade característica dos metais. L(R2) = V, 
L(R 3 ) = V, L(R4) = V, L(S1) = V, L(S2) = V, L(S 3 ) = V, L(S4) = F. 
 
E 2 B - NÃO SÃO SENTENÇAS DECLARATIVAS: 
 
 
 
 
 
 
 
31
X 1 : Que dia é hoje? X 2 : Proibido ultrapassar. X 3 : Feche a porta. X 4 : Ah! 
X 6: Esplendido! X 7 : As rosas são vermelhas. W 1 : x + 5 = 7 W 2 : x + 3 > 
5 
W 3 : x
3 = 5 x2 W 4 : x
2 – 3x + 2 ≥ 0 W 5 : sen x = 2
3
, W 6: sen x = 
0,866025403 
Comentário: 
 Decorre da conceituação aristotélica que se excluem de concordância lógica 
frases interrogativas (X 1 ), exclamativas (X 4 e X 6), imperativas (X 2 e X 3) e 
ambíguas (X 7 ). 
 As sentenças W 1 , W 2 , W 3 , W 4 , W 5 e W 6 , chamadas sentenças abertas ou 
sentenças abertas simbolizadas, também se excluem de concordância lógica, pois 
elas representam grandezas variáveis como igualdades ou desigualdades, e assim 
não são susceptíveis de se classificarem em verdadeiras ou falsas. 
 
§ 1. SENTENÇAS ABERTAS I 
 
As grandezas podem ser constantes ou variáveis. 
 São simbolizadas pelas letras iniciais do alfabeto, se elas conservam sempre 
o mesmo valor, ou pelas últimas letras se elas são variáveis, segundouma tradição 
iniciada, pode-se dizer, pelo matemático, físico e filósofo francês René Descartes 
(1596 – 1650), que costumava representar as incógnitas ou variáveis de um 
problema pelas últimas letras do alfabeto latino, sempre utilizando a letra x 
minúscula. 
Na Matemática as sentenças abertas representam-se sob a forma de 
equações ou inequações. A palavra equação, do latim aequatio, designando toda 
sentença aberta que expressa uma igualdade, tem a mesma raiz de igual, do latim 
aequalis, e igualdade, do latim aequalitas, aequalitatis. Por igual deve-se entender 
tudo aquilo que tem a mesma natureza, qualidade ou quantidade. 
Numa sentença aberta, um ou mais símbolos, cada deles denominado 
variável, guardam o lugar onde certos elementos podem ser colocados. Algumas 
substituições dão afirmativas verdadeiras e outras, afirmativas verdadeiras. O 
 
 
 
 
 
 
 
32
conjunto de todos os números, ou de um modo geral, elementos de um dado 
Conjunto Universal U, também chamado Conjunto Universo, que podem ser 
substituídos numa sentença aberta é chamado Domínio D de definição da sentença. 
O conjunto de todos os números, ou elementos, de D que satisfazem a sentença 
aberta – isto é, aqueles que a tornam uma sentença verdadeira - constituem o 
conjunto Solução, de símbolo S. 
Na pesquisa do conjunto-solução S de uma sentença aberta em relação a um 
dado conjunto universo U pode ocorrer que nenhum elemento do conjunto U satisfaz 
a sentença, e neste caso S é chamado conjunto vazio e simbolizado por S = ∅ ou S 
= { }. Pode ocorrer também que S se constitui de apenas um elemento de U ou S se 
constitui mais de um elemento conjunto U. Se todos os elementos, ou números, de U 
satisfazem à sentença, isto é S = U, então ela se diz uma identidade, uma lei ou uma 
tautologia. 
Por exemplo, dado U = {1, 2}, observa-se que todos os elementos de U 
podem ser substituídos na sentença x + 5 = 7. Assim o domínio D de definição da 
sentença é D = U e para x = 2 obtemos uma sentença declarativa verdadeira, que é 
falsa para o outro valor de D. Assim S = {2}. Analogamente, substituindo x por 1 ou x 
por 2 na sentença x2 − 3x + 2 = 0, observamos que cada um deles produz uma 
sentença verdadeira. Como S = U= {1.2} essa equação se diz uma identidade. 
 
§ 2. SENTENÇAS ABERTAS II 
 
Quer represente fatos, conceitos ou idéias, determinar os elementos que satisfazem 
uma sentença aberta ou resolvê-la em relação a um dado conjunto universo U é 
procurar expressões mais simples e equivalentes à situação original. 
Assim a resolução de uma sentença acarreta substituições de termos por 
outros que lhe são equivalentes numa seqüência tal que os elementos que a 
satisfazem, ou que transformam numa sentença verdadeira, tornam-se 
perfeitamente identificáveis. 
Portanto x + 5 = 7 equivale a x + 5 – 5 = 7 – 5 ou x = 2. Logo x + 5 = 7 é 
verdadeira para x = 2 e falsa para qualquer outro valor atribuído à variável x. 
Analogamente a equação x2 - 3x +2 = 0, através de manipulações 
algébricas adequadas, pode ser substituída por (x – 2)(x – 3) = 0. De acordo 
 
 
 
 
 
 
 
33
com o principio: se o produto entre duas quantidades é nulo então pelo menos 
uma das quantidades é nula, segue-se que (x – 2)(x – 3) = 0 equivale a 
afirmar que x – 2 = 0 ou x – 3 = 0. Daí decorre ser x = 2 ou x = 3 os 
elementos que satisfazem a sentença x2 - 3x +2 = 0 e pode-se observar que 
qualquer que seja o conjunto universo U, D = U e S = { 2, 3 }. 
 Muitas deduções, entretanto, podem ser simplificadas através de uma 
fórmula: toda equação que expressa uma regra, principio ou fato geral. 
É o que ocorre com a equação do 1º grau a x + b = 0, com a ≠ 0. O elemento 
que a satisfaz é dado pela da fórmula x = -
a
b . 
Analogamente a determinação dos elementos que satisfazem a equação do 
2º grau ax2 + bx + c = 0, é simplificada pela fórmula 
a
acbb
x
2
42 −±−
= , onde a ≠ 0, 
b e c são números quaisquer. 
 
EXEMPLO 3 - SENTENÇAS ABERTAS II 
 
E 3 A – 
A Sentença 5x - 8 = 4 (2x - 6) - 3x + 7 é falsa para qualquer valor de x. 
De fato. De 5x - 8 = 8x - 24 - 3x + 7 decorre 5x - 8 = 5x – 17. 
Daí, 5x - 5x = -17 + 8 ou 0 = -11. A equação é chamada Contraditória, pois 
nenhum número, qualquer que seja, jamais a verifica. 
Em termos do conjunto-solução S diz-se que ele é vazio: S = ∅ 
E 3 B - 
A sentença 5x - 8 = 4 (2x - 6) - 3x + 16 é verdadeira para qualquer x. De fato. 
De 8 = 8x - 24 - 3x + 16 decorre 5x - 8 = 5x – 8. Daí 5x - 5x = 8 – 8 ou 0 = 0. 
A equação é chamada uma identidade. Ela sempre se verifica qualquer que 
seja o valor de x em qualquer conjunto numérico U: S = U. 
E 3 C – 
Verifica-se que nenhum número x do conjunto N = {0, 1, 2, 3,...} satisfaz a 
equação x2 - 3x + 1 = 0. De fato. 
Através da fórmula de resolução da equação ax2 + bx + c = 0, onde a ≠ 0, b e 
c são números quaisquer e
a
acbb
x
2
42 −±−
= , temos a = 1, b = - 3 e c =1. Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
34
549)1).(1.(4)3(4 22 =−=−−=− acb . Portanto, os valores de x que tornam a 
sentença dada numa sentença verdadeira são dados por 
2
53 +
=x ou 
2
53 −
=x , 
que não são elementos do conjunto N. Assim S = ∅. 
E 3 D - 
Considerando que o conjunto universo da equação 
5
161
−x
 = 7 é o conjunto N, 
N = {1, 2, 3, 4,...}, observamos: 
(1) x = 5 não pode ser substituído na equação, pois gera a indeterminação 
0
161 = 7. Assim, o valor x = 5 deve ser excluído do domínio D de definição da 
equação. 
(2) Qualquer valor diferente de 5 gera afirmativas que podem ser classificadas 
em verdadeiras ou falsas; 
(3) O domínio D de definição da equação vai se constituir, portanto, de todos 
os valores de x diferentes de 5: D = N – { 5 }. 
(4) Resolvendo a equação encontramos que o único elemento de D que torna 
a sentença aberta numa sentença verdadeira é x = 28. Daí S = {28}. 
E 3 E – 
São Exemplos de Identidades: 
I) x + 2x = 3x II) 2x + 5 = 5x +10 – 3x – 5 
III) (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 IV) (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 
V) x2 – 4 = (x – 2) (x + 2) 
VI) x3 - 32 = (x – 3) (x2 + 3x + 9) VII) x5 – 25 = (x – 2) (x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16) 
VIII) – (–x) = x 
 
§ 3. QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS 
 
Embora as sentenças abertas jamais se classifiquem como verdadeiras ou falsas, 
se quantificadas elas podem ser qualificadas ou tornarem-se sentenças declarativas. 
Os quantificadores matemáticos são o quantificador universal, de símbolo “∀∀∀∀”, 
lido como para todo... ou qualquer que seja..., o quantificador existencial “∃∃∃∃”, que se 
 
 
 
 
 
 
 
35
lê existe..., existe algum..., têm o sentido de mais de um ou muitos, mas não todos e 
o quantificador existencial especial “ ∃∃∃∃! ” que é lido como existe apenas um .... 
 
 
EXEMPLO 4 - QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS ABERTAS EM 
U = ΝΝΝΝ = { 0, 1, 2, 3, ...} 
 
E 4 A SENTENÇAS QUANTIFICADAS VERDADEIRAS I 
i) ∀x, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 : para todo x, (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 
ii) ∃x ∈ N / x + 2 = 5 : existe pelo menos um x ∈ N tal que x + 2 = 5 
iii) ∃|x ∈ N / x + 2 = 5 : existe apenas um x ∈ N tal que x + 2 = 5 
iv) ∀x ∈ N, x2 + 1 > 0 : qualquer que seja x, x2 + 1 > 0 
v) ∀x ∈ N, − (−x) = x : para cada x, − (−x) = x 
vi) ∃x ∈ N / x3 = 5x2 : existe algum x ∈ N tal que x3 = 5x2. 
Se o conjunto universo U não for explicitado, como em (i), conjeturamos que a 
sentença tem validade qualquer que seja o conjunto universo. 
 
E 4 B SENTENÇAS QUANTIFICADAS VERDADEIRAS II 
i) ∀x ∈ N, x + 2 = 5 ii) ∀x ∈ N, x3 = 5x2 
iii) ∃|x ∈ N / x3 = 5x2 iv) ∃x ∈ N / (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 
v) ∃x ∈ N / x2 + 1 > 0 vi) ∃x ∈ N / −(−x) = x 
 
E 4 C AVALIAÇÃO LÓGICA DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS 
i) ∃x ∈ N/ x + 3 = 10 (F) ii) ∃x ∈ N / x + 3 = 5 (V) 
iii) ∀x ∈ N / x + 3 < 10 (V) iv) ∃x ∈ N / x + 3 ≤ 5 (V) 
v) ∀x ∈ N / x + 3 ≤ 7 (F)vi) ∀x ∈ N / x2 = 4 (F) 
vii) ∃x ∈ N / x2 = 4 (V) 
 
EXEMPLO 5 - QUANTIFICAÇÃO DE SENTENÇAS PARA U = ΝΝΝΝ = { 0, 1, 2, 3, ...} 
 
E 5 A – As soluções da sentença x2 −−−− 3x + 2 = 0 são x = 1 ou x = 2. Assim: 
i) ∀x ∈ N, x2 − 3x + 2 = 0 (F) 
 
 
 
 
 
 
 
36
ii) ∃ x ∉ N / x2 − 3x + 2 = 0 : Existe elemento que não pertence ao conjunto N que é 
solução da equação x2 − 3x + 2 = 0 (F) 
iii) ∀ x ∉ N, x2 − 3x + 2 = 0 (F) iv) ∃| x ∈ N / x2 − 3x + 2 = 0 (F) 
v) ∃x ∈ N / x2 − 3x + 2 = 0 (V). 
E 5 B – A sentença 5x + 2 ≤≤≤≤ 12 
i) ∀x ∈ N, 5x + 2 ≤ 12 (F) ii) ∃x ∈ N / 5x + 2 ≤ 1 
(V) 
iii) ∃|x ∈ N / 5x + 2 ≤ 12 (F) iv) ∀x ∉ N , 5x + 2 ≤ 12 
(F) 
Note-se: 
(1) Adicionando-se −2 a ambos os membros da desigualdade 5x + 2 ≤ 
12, decorre 5x + 2 − 2 ≤ 12 − 2 e ela se preserva como 5x ≤ 10; 
(2) Dividindo-se ambos os membros de 5x ≤ 10 por 5, segue-se x ≤ 2. 
Portanto, os números x de N que satisfazem x ≤ 2 são S = {0, 1, 2}. 
Note-se que está implícito neste raciocínio, como em todo raciocínio 
matemático, um interessante lema matemático: o melhor modo de resolver um 
problema novo é procurar reduzi-lo a um, ou mais problemas já conhecidos. 
Assim através das conseqüências técnicas decorrentes dos Axiomas que 
Euclides enuncia nos Elementos, 5x + 2 ≤ 12 tornou-se equivalente a x ≤ 2. 
 E 5 C - 
i) ∀x ∈ N, x (x + 1) = x2 + x (V) ii) ∃x ∈ N / x (x + 1) = x2 + x (F) 
 iii) ∃|x ∈ N / x (x + 1) = x2 + x (F) iv) ∃x ∈ N / 3 
2
1
 x ≥+ (V) 
v) ∃|x ∈ N / 
1 x 
1
+
 ∈ N (V). Note-se que esta expressão só é verificada para x = 0. 
i) ∀x ∈ N, 
5
x
 
3
x
 
2
x
≠+ (F). Note-se que se x = 0, encontramos 0 ≠ 0. 
ii) ∃x ∈ N / 
5
x
 
3
x
 
2
x
≠+ (V) 
iii) ∃|x ∈ N / 
5
x
 
3
x
 
2
x
≠+ (F). Observe-se que a expressão não se verifica para x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
37
§ 3. O CONTEÚDO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES I 
 
As proposições simples, chamadas por Aristóteles de categóricas, 
classificam-se quanto a extensão ou quantidade e a qualidade. 
A qualidade de uma proposição é identificada pela forma como é enunciada: 
se é afirmativa ou negativa. Assim as proposições qualitativas ou são afirmativas, se 
o sujeito e o predicado concordam entre si, ou negativas, quando o predicado é 
negado ao sujeito. 
São exemplos de proposições categóricas quanto à qualidade: 
 
AFIRMATIVAS Todos os triângulos são triláteros 
 Alguns triângulos são retângulos. 
NEGATIVAS Nenhum triangulo é quadrado 
Alguns triângulos não são isósceles. 
 
As proposições quantitativas são do tipo Universal se o sujeito é afirmado em 
toda a sua extensão. Se o sujeito se afirma em extensão restrita as proposições 
quantitativas são chamadas Particulares. Se estiverem se referindo a um só 
elemento são chamadas Singulares. 
Como a extensão de uma proposição está subordinada à extensão do termo 
sujeito, isto significa que para determinar a extensão de uma proposição, basta 
analisar os quantificadores do sujeito. 
Assim, são exemplos de proposições categóricas quanto à extensão: 
 
 
 
UNIVERSAIS Todos os triângulos são triláteros 
 Nenhum triângulo é quadrado. 
PARTICULARES Alguns triângulos são retângulos 
Alguns triângulos não são isósceles. 
SINGULARES O Triangulo ABC é retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
38
 O Triangulo ABC não é isósceles. 
 
§ 4. O CONTEÚDO DAS PROPOSIÇÕES SIMPLES II 
 
Desde que a conceituação aristotélica formulou os quatro modos de apresentação 
das proposições lógicas, convencionou-se classificá-las de acordo com a 
combinação dos critérios da qualidade e da extensão em A, E, I, O. 
A e I são as duas primeiras vogais da palavra afirmo. 
E e O são as vogais de nego. 
Os quadros abaixo resumem os quatro tipos de proposições categóricas da 
formulação aristotélica 
TIPO EXTENSÃO QUALIDADE FORMA GERAL 
A UNIVERSAL AFIRMATIVA TODO A É B 
E UNIVERSAL NEGATIVA NENHUMA A É B 
I PARTICULAR AFIRMATIVA ALGUM A É B 
O PARTICULAR NEGATIVA ALGUM NÃO É B 
 
A partir do quadro geral acima se pode observar como o termo sujeito e o 
termo predicado é distribuído para cada tipo de proposição. 
A partir do quadro geral abaixo pode-se verificar a distribuição o sujeito e do 
predicado para cada tipo de proposição: 
1. As proposições do tipo A e E tornam o sujeito universal e as sentenças do 
tipo E, O torna o predicado universal; 
2. As proposições do tipo I e O não distribuem o sujeito e as proposições do 
tipo A e I não distribuem o predicado. 
 
TIPO EXTENSÃO QUALIDADE EXTENSÃO 
DO SUJEITO 
EXTENSÃO DO 
PREDICADO 
A UNIVERSAL AFIRMATIVA UNIVERSAL PARTICULAR 
E UNIVERSAL NEGATIVA UNIVERSAL UNIVERSAL 
I PARTICULAR AFIRMATIVA PARTICULAR PARTICULAR 
O PARTICULAR NEGATIVA PARTICULAR UNIVERSAL 
 
 
 
 
 
 
 
39
 
EXEMPLO 6 - PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS 
E 6 A - 
AFIRMAÇÃO 
UNIVERSAL Todos os astronautas são matemáticos. 
Nenhum astronauta é matemático 
PARTICULAR Alguns astronautas são matemáticos Alguns astronautas não são matemáticos 
SINGULAR Pedro é astronauta. Pedro não é um astronauta. 
 
Comentário: Segundo Aristóteles, proposições singulares podem se 
considerar universais, pois o predicado aplica-se ao sujeito, que é único, de 
um modo total. 
E 6 B 
AFIRMAÇÃO 
UNIVERSAL Toda função é uma equação. Toda função não é uma equação 
PARTICULAR Algumas funções são equações Algumas funções não são equações 
SINGULAR f(x) = x2 é uma função. f(x) = x2 não é uma função. 
 
 
E 6 C 
AFIRMAÇÃO 
UNIVERSAL Toda função diferenciável é continua. Nenhuma função diferenciável é contínua 
PARTICULAR Existem funções diferenciáveis 
contínuas. 
Algumas funções diferenciáveis não são 
contínuas. 
SINGULAR f(x) = x2 é diferenciável. f(x) = x2 não é uma função diferenciável. 
 
E 6 D 
AFIRMAÇÃO 
UNIVERSAL Todos os triângulos são triláteros. Todo triângulo não é trilátero 
PARTICULAR Existem triângulos que são triláteros Existem triângulos que não são triláteros 
SINGULAR O triângulo T é isósceles. O triângulo T não é isósceles. 
 
 
 
 
 
 
 
40
DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO 
 
Esquematicamente, as proposições da conceituação aristotélica abreviam-se 
como: 
 
 AFIRMAÇÃO UNIVERSAL AFIRMAÇÃO PARTICULAR 
I. TODO X É Y III. ALGUM X É Y 
II. NENHUM X É Y IV. ALGUM X NÃO É Y 
 
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) no livro Lettres à une 
Princese d’Allemagne sur divers sujets de Physique et de Philosophie, dedicado à 
princesa alemã Anhalt Desssau, desenvolveu um método simples que se tornou de 
uso corrente para explicar as quatro proposições básicas da concepção aristotélica. 
O método de Euler, aprimorado por John Venn (1834-1923), procura 
reconhecer os conjuntos envolvidos nas proposições e representá-los por desenhos 
constituídos de curvas fechadas e não entrelaçadas. Segundo Euler-Venn, as quatro 
proposições fundamentais da conceituação aristotélica podem representar-se como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Através dos diagramas de Euler-Venn, muitas proposições se traduzem em 
proposições equivalentes sobre conjuntos, pois os objetos, em termos matemáticos, 
assim se organizam. Estas representações permitem, em muitos casos, avaliar a 
validade de um argumento. 
Entretanto, deve-se observar, a simplicidade dos propósitos pretendidos é tão 
somente ajudar a visualizar o conteúdo de certas proposições, particularmente de 
algumas frases matemáticas, elevando a possibilidade de se exercitar raciocínios. 
 
X 
Y 
X 
Y 
X Y X Y 
Todos os X são Y 
Nenhum X é Y 
Algum X é Y Algum X não é Y 
 
 
 
 
 
 
 
 
41
§ 1 – LEITURA DOS DIAGRAMAS DE EULER- VENN 
 
Seja E o conjunto dos estudantes. 
Procurando visualizar o conjunto E imaginamos noconjunto P de todas as 
pessoas duas classes distintas de pessoas: aquelas que compartilham a 
propriedade comum ser estudante e outra, das pessoas que não são estudantes. 
O conjunto E pode ser representado por uma curva fechada simples de modo 
que cada ponto no interior desta região indica um elemento de E. Os pontos 
exteriores a esta região formam o conjunto dos elementos que não são estudantes 
representados por ~E, E’ ou Ē, lidos como não E. O diagrama 1, abaixo a esquerda, 
ilustra tudo isto. 
 
g 
 
 
 
 Diagrama 1 Diagrama 2 Diagrama 3 
O conjunto P, considerado o mais próximo como referência por conter o maior 
interesse de alcance acerca da proposição enunciada, é escolhido para atuar como 
Conjunto Universo U. O conjunto E, que está contido no conjunto P de todas as 
pessoas, é dito subconjunto de P. Os conjuntos E e Ē devem ser vistos como 
conjuntos disjuntos: conjuntos que não tem nenhum elemento em comum e tais que 
U pode ser lido como E ∪ (∼ E), E união com não E. Em geral, e para todos os 
efeitos, como ilustra o diagrama 3, quando uma proposição A é enunciada, 
imediatamente a sua negação não A, se manifesta num dado universo U. 
Deve-se notar, e é importante que se note, qual é o objetivo das 
representações através de diagramas: ilustrar a idéia geral de uma proposição a fim 
de inferir conseqüências intuitivamente aceitáveis. Senão, pode-se questionar se 
existiriam pontos que não estão nem no interior do conjunto E e nem no exterior de 
E? Como ilustra o diagrama 2 figura acima, existiriam elementos que estão sobre a 
linha demarcatória do conjunto E ? Neste caso o que estaria representando um 
elemento sobre esta linha? 
E 
P 
 Ē 
E 
P 
~E 
x 
A 
U 
A
 
 
 
 
 
 
 
42
As especulações podem ser afastadas se a linha da região plana que delimita 
o conjunto E for imaginada tão somente como uma demarcação do alcance da idéia 
que está enunciando E. 
 
EXEMPLO 7 – DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO I 
 
Seja A conjunto dos astronautas e M o conjunto dos matemáticos. 
Os conjuntos A e M relacionam-se de acordo com uma das 
formulações: 
 
E 7 A Todos os astronautas são matemáticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 7 B Alguns astronautas são matemáticos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8– DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO II 
 
Na proposição Todos os astronautas (A) são matemáticos (M) observamos: 
A 
M 
E 6 D Alguns astronautas não são Matemáticos. 
 
 
 A M 
A M 
E 6 B Nenhum astronauta é Matematico 
 
 
 
 
 
M 
A 
 
 
 
 
 
 
 
43
1. Representações decorrentes: 
(1) Identificando o conjunto dos matemáticos que não são astronautas. 
(2) Identificando o conjunto das pessoas que não são matemáticos. 
(3) Identificando o conjunto das pessoas que não são astronautas. 
 (1) (2) (3) 
 
 
 
 
 
 
 
2. Questionamentos: 
Pergunta 1: Existem astronautas que não são matemáticos? 
Pergunta 2: Existem matemáticos que não são astronautas? 
Pergunta 3: Se uma pessoa não é matemático então ela não é astronauta? 
Pergunta 4: Se uma pessoa não é astronauta então ela não é matemático ? 
 Para avaliar cada pergunta formulada sejam os diagramas: 
 
 Diagrama 1 Diagrama 2 Diagrama 3 
 
 
 
 
 
 
 Diagrama 4 Diagrama 5 
 
 
 
 
 
3. Avaliação dos questionamentos: 
I. Resposta à Pergunta 1: 
O diagrama1, representando o conjunto dos matemáticos, ilustra que todo 
elemento de A é também elemento de M. Portanto a resposta à pergunta (I) é não. 
A 
M 
A 
M 
A 
M 
A 
M 
A 
M 
A 
M 
 
A 
M 
A 
M 
 
 
 
 
 
 
 
 
44
II. Resposta à Pergunta 2: 
O diagrama 2, representando o conjunto dos matemáticos que não são 
astronautas, ilustra que a resposta a Pergunta 2 é sim. 
III. Resposta à Pergunta 3: 
O diagrama 3, representando o conjunto das pessoas que não são 
matemáticos e nem astronautas, ilustra que a resposta à pergunta 3 é sim. 
IV. Resposta à Pergunta 4: 
O diagrama 4, representando o conjunto das pessoas que não são 
astronautas, ilustra que a resposta à pergunta 4 é não. 
O diagrama 5, representando o conjunto dos matemáticos que não são 
astronautas, ilustra também que a resposta à pergunta 4 é não. 
 
EXEMPLO 9 – DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO III 
 
Seja F o conjunto das funções, E o conjunto das equações, P o 
conjunto das funções Polinomiais, R o conjunto das funções racionais e A o 
conjunto das funções Algébricas. 
O conjunto A , conjunto das funções que não são algébricas, é chamado 
conjunto das funções transcendentais: é o conjunto daquelas funções cuja 
construção transcende os métodos algébricos. 
Considere as proposições que, diga-se, são todas verdadeiras: 
E 9 A Toda função (F) é uma equação (E). 
Nessa proposição os objetos matemáticos de nome função estruturam-se como 
equações. 
 
 
 
 
 
 
 
E 9 B Toda função polinomial (P) é uma função racional (R). 
 
 E 
F 
Ē 
Algumas Conclusões: 
(1) Nem toda equação é uma função 
(2) Existem relações matemáticas que não se 
descrevem como equações 
 
 
 
 
 
 
 
45
 
 
 
 
 
E 9 C Toda função racional (R) é algébrica (A). 
 
 
 
 
 
 
R 
P 
Algumas Conclusões: 
 
(1) Nem toda função racional é polinomial 
(2) Existem funções que não são racionais 
A 
R 
Algumas Conclusões: 
 
(1) Nem toda função algébrica é racional 
(2) Existem funções que não são algébricas 
 
 
 
 
 
 
 
46
E 9 D 
Se toda função polinomial (P) é racional (R) e toda função racional é algébrica 
(A), então toda função polinomial é algébrica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 10 - DIAGRAMA DE UMA PROPOSIÇÃO IV 
 
E 10 A Toda função diferenciável é contínua 
Esta proposição diz que se uma dada função f tem a propriedade ser 
diferenciável, então f tem (herda) a propriedade ser contínua. 
Outra leitura é: Se f é uma função diferenciável, então f é contínua. 
 
Sejam: 
F 
F : Conjunto das Funções 
C: Conjunto das FunçõesCcontínuas. 
D: Conjunto das Funções Diferenciáveis. 
Algumas conclusões decorrentes: 
(1) Se f não for diferenciável então f poderá ser contínua ou não ser contínua. 
(2) Se f não for contínua, então f não é diferenciável. 
(3) Se f é contínua, a condição f diferenciável não é suficientemente 
verdadeira. 
 
A 
A 
R 
P 
 C 
D 
 
 
 
 
 
 
 
 
47
Outra leitura é: 
 
Toda função continua em um intervalo [a,b] é 
Riemann – Integrável em [a,b]. 
 
E 10 B 
Se f é uma função contínua num intervalo fechado I = [a, b] (C), então f é 
 Riemann – Integrável ( R ) em [a,b]. 
 
 
 
 
 
 
 
E 10 C Toda função polinomial (P) é Riemann-Integrável em [a, b] (R). 
 
Outra leitura é: 
Se f é uma função polinomial, então f é 
 Riemann - Integrável em qualquer intervalo fechado [a, b]. 
 
E 10 D Todos os triângulos são triláteros. 
 
Essa proposição diz que todos os triângulos estão contidos na classe das figuras 
que têm três lados. 
 
Conjuntos Envolvidos: 
G 
T: Conjunto dos Triângulos. 
L: Conjunto dos objetos triláteros. 
G: Conjunto dos objetos geométricos.