Matematica - 2 Conjuntos numericos

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Aula 02
Matemática e Raciocínio Lógico p/ TJ-SP (Escrevente Técnico Judiciário) - Com
videoaulas
Professor: Arthur Lima
29779605894 - daniel kamio
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO Pっ TJどSP 
 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱ 
 
AULA 02: CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Teoria 01 
2. Resolução de questões 46 
3. Questões apresentadas na aula 94 
4. Gabarito 115 
5. Resumo da aula 116 
 
Olá! 
 Nesta SEGUNDA aula do nosso curso, trabalharemos os seguintes 
tópicos do seu edital: 
 
Operações com números reais; Sistemas de medidas usuais. 
 
 Introduziremos ainda a regra de três simples, para que você 
consiga resolver os exercícios. Tenha uma boa aula, e fique à vontade 
para me procurar através do fórum disponível na área do aluno! 
 
TEORIA 
 
 Para dominarmos as “operações com números reais”, é preciso 
conhecermos bem os diversos conjuntos numéricos (naturais, inteiros, 
racionais, irracionais e reais), bem como alguns elementos relevantes 
(frações, números decimais, números pares e ímpares etc). 
Trabalharemos estes assuntos ao longo desta aula. 
 
1.1 NÚMEROS NATURAIS 
 Os números naturais têm esse nome por serem aqueles mais 
intuitivos, de “contagem natural”. Isto é, são aqueles construídos com os 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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algarismos de 0 a 9. O símbolo desse conjunto é a letra N, e podemos 
escrever os seus elementos entre chaves: 
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 
20, 21, 22…} 
 
As reticências indicam que este conjunto não tem fim, ou seja, 
existem infinitos números naturais. 
 Apesar de incluído neste conjunto, o zero não é um número natural 
propriamente dito (pois não é um número de “contagem natural”). Por 
isso, utiliza-se o símbolo N* para designar os números naturais positivos, 
isto é, excluindo o zero. Vejam: N* = {1, 2, 3, 4…} 
 Alguns conceitos básicos relacionados aos números naturais: 
 
a) Sucessor: é o próximo número natural. Isto é, o sucessor de 2 é 3, 
e o sucessor de 21 é 22. E o sucessor do número “n” é o número 
“n+1”. 
 
b) Antecessor: é o número natural anterior. Isto é, o antecessor de 2 
é 1, e o antecessor de 21 é 20. E o antecessor do número “n” é o 
número “n-1”. Observe que o número natural zero não possui 
antecessor, pois é o primeiro número desse conjunto. 
 
c) Números consecutivos: são números em sequência. Assim, 
{2,3,4} são números consecutivos, porém {2, 5,4} não são. E {n-
1, n e n+1} são números consecutivos. 
 
d) Números naturais pares: {0, 2, 4...}. Número par é aquele que, ao 
ser dividido por 2, não deixa resto. Por isso o zero também é par. 
 
e) Números naturais ímpares: {1, 3, 5...}. Ao serem divididos por 2, 
deixam resto 1. 
 
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Sobre pares e ímpares, vale a pena perceber que: 
- a soma ou subtração de dois números pares tem resultado par. Ex.: 12 
+ 6 = 18; 12 – 6 = 6. 
- a soma ou subtração de dois números ímpares tem resultado par. Ex.: 
13 + 5 = 18; 13 – 5 = 8. 
- a soma ou subtração de um número par com outro ímpar tem resultado 
ímpar. Ex.: 12 + 5 = 17; 12 – 5 = 7. 
- a multiplicação de números pares tem resultado par: 4 x 6 = 24. 
- a multiplicação de números ímpares tem resultado ímpar: 3 x 5 = 15. 
- a multiplicação de um número par por um número ímpar tem resultado 
par: 2 x 3 = 6. 
 
1.2 NÚMEROS INTEIROS 
 Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos 
opostos (negativos). Isto é, 
 
Z = {..., -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10, 11...} 
 
Observem que todos os números Naturais são também Inteiros, 
mas nem todos os números inteiros são naturais. Assim, podemos dizer 
que o conjunto de números naturais está contido no conjunto de números 
inteiros, isto é, N Z, ou ainda que N é um subconjunto de Z. O diagrama 
abaixo explicita esta relação entre N e Z: 
 
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 Dentro deste conjunto, podemos destacar alguns subconjuntos de 
números. Vejam que os nomes dos subconjuntos são auto-explicativos: 
 
a) Números Inteiros não negativos = {0,1,2,3...}. Veja que são os 
números naturais. 
 
b) Números Inteiros não positivos = {… -3, -2, -1, 0}. Veja que o zero 
também faz parte deste conjunto, pois ele não é positivo nem negativo. 
 
c) Números inteiros negativos = { … -3, -2, -1}. O zero não faz parte. 
 
d) Números inteiros positivos = {1, 2, 3...}. Novamente, o zero não faz 
parte. 
 
1.3 NÚMEROS RACIONAIS 
 Os números racionais são aqueles que podem ser representados na 
forma da divisão de dois números inteiros. Isto é, são aqueles números 
que podem ser escritos na forma (A dividido por B), onde A e B são 
números inteiros. Exemplos: 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro 5 pelo número 
inteiro 4. 
 
 é Racional, pois é a divisão do número inteiro -15 pelo número 
inteiro 9, ou a divisão de 15 por -9. 
 
73 e -195 são Racionais, pois são a divisão dos números 73 e -195 
pelo número 1. 
 
 Observe este último exemplo. Já tínhamos visto que qualquer 
número natural é também inteiro. E agora vemos que todo número inteiro 
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é também racional! Isto porque qualquer número inteiro é o resultado da 
divisão dele mesmo por 1, podendo ser representado na forma (A 
dividido por 1, onde A é um número inteiro qualquer). Veja se este novo 
diagrama, contendo os números Naturais, Inteiros e Racionais, faz 
sentido para você: 
 
 O zero também faz parte dos Números Racionais (pode ser escrito 
na forma , concorda?). Porém, quando escrevemos um número racional 
na forma , o denominador (isto é, o número B) nunca é zero. Isto porque 
a divisão de um número por zero é impossível (exceto 0
0
, cujo valor é 
indeterminado). 
 No conjunto dos Números Racionais, temos basicamente 3 tipos de 
números: 
 
a) Frações. Ex.: , , etc. 
 
b) Números decimais. Ex.: 1,25 
 Veja que este número decimal tem escrita finita, isto é, um 
número definido de casas após a vírgula. Por isso, ele também 
poderia ser escrito na forma . Neste caso, poderíamos representá-
lo como , ou mesmo simplificá-lo para . 
 
c) Dízimas periódicas. Ex.: 0,33333... ou simplesmente (a barra 
indica que o algarismo 3 repete-se indefinidamente). 
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As dízimas periódicas são consideradas racionais porque 
também podem ser escritas na forma . O número deste exemplo 
poderia ser escrito na forma . Existem métodos que nos permitem 
encontrar qual fração é equivalente a uma determinada dízima 
periódica. Outro exemplo de dízima periódica: 1,352525252... ou 
.Antes de prosseguirmos, vejamos como obter as frações que dão 
origem a dízimas periódicas. Divida 1 por 3 e você obterá 0,333... , ou 
simplesmente 0,3. Assim, dizemos que a “fração geratriz” da dízima 0,3 é 
igual a 1
3
. Existem métodos que nos permitem, a partir de uma dízima 
periódica, chegar até a fração que deu origem a ela. 
 Em alguns casos, a parte que se repete já começa logo após a 
vírgula. Isto é o caso em: 
0,333... 
0,353535... 
0,215215215... 
 
 Em outros casos, existem alguns números entre a vírgula e o início 
da repetição. Veja esses números sublinhados nas dízimas abaixo: 
0,1333... 
0,04353535... 
0,327215215215... 
 
 Vamos começar trabalhando com os casos onde a repetição começa 
logo após a vírgula, para a seguir estender o método aos casos onde 
existem números entre a vírgula e o início da repetição. 
 
 Casos onde a repetição começa logo após a vírgula: 
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Vamos trabalhar com a dízima 0,333... . Chamemos de X a fração 
que dá origem a esta dízima. Ou seja, 
X = 0,333... 
 
 Como a repetição é formada por um único número (3), se 
multiplicarmos esta dízima por 10 conseguimos passar, para o outro lado 
da vírgula, o primeiro número da repetição: 
10X = 10 x 0,333... = 3,333... 
 
 Observe que 10X = 3 + 0,333... . Veja ainda a seguinte subtração: 
10X – X = 3,333... – 0,333... 
 
 Os dois números à direita da igualdade acima possuem infinitas 
casas decimais idênticas. Portanto, o resultado desta subtração é: 
9X = 3 
3 1
9 3
X   
 Assim, descobrimos que a fração geratriz da dízima 0,333... é 
1
3
X  . 
 Vejamos um segundo exemplo: vamos buscar a fração geratriz da 
dízima 0,216216216... . Repare que temos a repetição de 216, e não há 
nenhuma casa separando a vírgula e o início da repetição. Chamando de 
X a fração geratriz da dízima, temos: 
X = 0,216216216... 
 
 Para passar a primeira repetição (216) para a esquerda da vírgula, 
precisamos multiplicar X por 1000: 
1000X = 216,216216216... 
 
 Efetuando a subtração 1000X – X podemos obter a fração geratriz: 
1000X – X = 216,216216216... – 0,216216216... 
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999X = 216 
216 24
999 111
X   
 
 Assim, a geratriz de 0, 216 é a fração 24
111
. 
 
 Casos onde existem números entre a vírgula e o início da 
repetição: 
Vejamos como obter a fração geratriz da dízima 1,327215215215... 
. Veja que, neste caso, temos a repetição do termo 215. Entre a vírgula e 
o início da repetição temos 3 números (327). Deste modo, chamando de 
X a fração geratriz, temos: 
X = 1,327215215215... 
 
 Multiplicando X por 1000 conseguimos deixar, à direita da vírgula, 
apenas os termos que se repetem: 
1000X = 1327,215215215... 
 
 E multiplicando X por 1000000 conseguimos passar a primeira 
repetição “215” para o lado esquerdo da vírgula: 
1000000X = 1327215,215215215... 
 
 Assim, podemos efetuar a seguinte subtração: 
1000000X – 1000X = 1327215,215215215... - 1327,215215215... 
999000X = 1327215 – 1327 
999000X = 1325888 
1325888
999000
X  
 Temos, portanto, a fração geratriz da dízima 1,327215215215... . 
Poderíamos ainda simplificá-la, se quiséssemos. 
 
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1.3.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS 
 As quatro operações básicas que podemos efetuar com estes 
números são: adição, subtração, multiplicação e divisão. Vejamos em 
detalhes cada uma delas. 
 
a) Adição: 
 A adição de dois números é dada pela soma destes dois números. 
Isto é, a adição de 15 e 6 é: 
15 + 6 = 21 
 
 Você se lembra do método para se efetuar a soma de dois 
números? Vamos exercitar efetuando a soma 728 + 46. Primeiramente, 
você deve posicionar estes números um abaixo do outro, alinhados pela 
direita (casa das unidades): 
 728 
 +46 
 
 A seguir devemos começar a efetuar a soma pela direita. Somando 
8 + 6 obtemos 14. Com isto, devemos colocar o algarismo das unidades 
(4) no resultado e transportar o algarismo das dezenas (1) para a 
próxima soma: 
 1 
 728 
 +46 
 4 
 Agora, devemos somar os dois próximos números (2 + 4), e 
adicionar também o número que veio da soma anterior (1). Assim, 
obtemos 7. Devemos colocar este número no resultado: 
 728 
 +46 
 74 
 
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 Temos ainda o algarismo 7 na casa das centenas do número 728. 
Como o segundo número (46) não possui casa das unidades, podemos 
simplesmente levar este 7 para o resultado, obtendo: 
 728 
 +46 
 774 
 
 Chegamos ao nosso resultado final. Antes de conhecermos a 
próxima operação, vejamos as principais propriedades da operação de 
adição. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a adição de números racionais 
possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números não altera a 
soma. Isto é, 728 + 46 é igual a 46 + 728. 
 
- propriedade associativa: ao adicionar 3 ou mais números racionais, 
podemos primeiramente somar 2 deles, e a seguir somar o outro, em 
qualquer ordem, que obteremos o mesmo resultado. Logo, esta 
propriedade está presente na adição. Ex.: 
2 + 5 + 7 = (2 + 5) + 7 = 2 + (5 + 7) = 14. 
 
- elemento neutro: dizemos que o zero é o elemento neutro da adição, 
pois qualquer número somado a zero é igual a ele mesmo. Ex.: 2 + 0 = 
2; 45 + 0 = 45. 
 
- propriedade do fechamento: esta propriedade nos diz que a soma de 
dois números racionais SEMPRE gera outro número racionais. Ex: a soma 
dos números racionais 2 e 5 gera o número racional 7 (2 + 5 = 7). 
 
b) Subtração: efetuar a subtração de dois números significa diminuir, de 
um deles, o valor do outro. Isto é, subtrair 5 de 9 significa retirar 5 
unidades de 9, restando 4 unidades: 
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9 – 5 = 4 
 
 Acompanhe a subtração abaixo para relembrar o método para a 
subtração de números racionais (veja que, por simplicidade, estamos 
usando números inteiros nos exemplos, que não deixam de ser também 
racionais). Vamos efetuar a operação 365 – 97: 
 
365 
- 97 
 
 Observe que o primeiro passo é posicionar um número abaixo do 
outro, alinhando as casas das unidades. Começamos a efetuar a 
subtração a partir da casa das unidades. Como 5 é menor do que 7, não 
podemos subtrair 5 – 7. Devemos, portanto, “pegar” uma unidade da 
casa das dezenas de 365. Levando este valor para a casa das unidades, 
temos 10 unidades, que somadas a 5 chegam a 15 unidades. Agora sim 
podemos subtrair 15 – 7 = 8, e anotar este resultado: 
365 
- 97 
 8 
 
 Devemos agora subtrair as casas das dezenas. Devemos subtrair 5 
– 9, e não 6 – 9, pois já utilizamos uma unidade na primeira subtração 
acima. Como 5 é menor que 9, devemos novamente “pegar” uma unidade 
da casa das centenas de 365, e somar ao 5. Assim,teremos 15 – 9 = 6. 
Vamos anotar este resultado: 
365 
- 97 
 68 
 
 Agora devemos subtrair a casa das centenas. Veja que não temos 
mais um 3 na casa das centenas de 365, e sim 2, pois já usamos uma 
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unidade na operação anterior. Como 97 não tem casa das centenas, basta 
levarmos este 2 para o resultado: 
365 
- 97 
268 
 
 E se quiséssemos efetuar a subtração 97 – 365? Neste caso, como 
97 é menor que 365, devemos: 
- subtrair o menor número do maior, isto é, efetuar a operação 365 – 97; 
- colocar o sinal negativo (-) no resultado. 
 
 Desta forma, 97 – 365 = -268. Vejamos as principais propriedades 
da operação de subtração. 
 
- propriedade comutativa: dizemos que a subtração de números racionais 
NÃO possui a propriedade comutativa, pois a ordem dos números ALTERA 
o resultado. Como vimos acima, 365 – 97 = 268, já 97 – 365 = -268. 
 
- propriedade associativa: a subtração NÃO possui essa propriedade, pois 
(A – B) – C pode ser diferente de (C – B) – A 
 
- elemento neutro: o zero é o elemento neutro da subtração, pois, ao 
subtrair zero de qualquer número, este número permanecerá inalterado. 
Ex.: 2 – 0 = 2. 
 
- propriedade do fechamento: a subtração de números racionais possui 
essa propriedade, pois a subtração de dois números racionais SEMPRE 
gera outro número racional. 
 
- elemento oposto: para todo número racional A, existe também o seu 
oposto, com sinal contrário, isto é, -A. Exemplos de números opostos: 5 e 
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-5, 29 e -29 etc. Também podemos dizer que o elemento oposto de A é 
aquele número que, somado a A, resulta em zero: 
A + (-A) = 0 
 
c) Multiplicação: a multiplicação nada mais é que uma repetição de 
adições. Por exemplo, a multiplicação 15 x 3 é igual à soma do número 
15 três vezes (15 + 15 + 15), ou à soma do número 3 quinze vezes (3 + 
3 + 3 + ... + 3). Vejamos como efetuar uma multiplicação: 
 57 
x 13 
 
 Novamente alinhamos os números pela direita. Começamos 
multiplicando os números das unidades: 3 x 7 = 21. Deixamos o 
algarismo das unidades (1) no resultado, e levamos o algarismo das 
dezenas (2) para a próxima operação: 
 
 2 
 57 
x 13 
 1 
 
 Agora devemos multiplicar os números das unidades do segundo 
número (3) pelo número das dezenas do primeiro número: 3 x 5 = 15. 
Antes de colocar este valor no resultado, devemos adicionar o 2 que veio 
da operação anterior: 15 + 2 = 17. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 
 Agora devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das unidades do primeiro número (7): 1 x 7 = 
7. Devemos levar este número para o resultado, entretanto devemos 
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colocá-lo logo abaixo do algarismo das dezenas do segundo número (1). 
Veja: 
 57 
x 13 
 171 
 7 
 A seguir, devemos multiplicar o algarismo das dezenas do segundo 
número (1) pelo algarismo das dezenas do primeiro número (5): 1 x 5 = 
5. Assim, temos: 
 57 
x 13 
 171 
 57 
 
 Por fim, devemos somar as duas linhas de resultado, obtendo: 
 57 
x 13 
 171 
 570 
 741 
 
Veja que antes de efetuar a soma, colocamos um zero à direita do 
57, transformando-o em 570. Fazemos isto porque este resultado (57) 
surgiu da multiplicação do algarismo das dezenas do multiplicador (13). 
Se fosse do algarismo das centenas do multiplicador, colocaríamos 2 
zeros, e assim por diante. 
É importante relembrar as regras de sinais na multiplicação de 
números. Você deve se lembrar que: 
- a multiplicação de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
Ex.: 5 x 5 = 25, e (-5)x(-5) = 25. 
- a multiplicação de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
Ex.: 5x(-5) = -25. 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱヵ 
 
 Portanto, se tivéssemos multiplicado (-57) x 13, ou então 57 x (-
13), deveríamos obter -741. E se tivéssemos multiplicado (-57) x (-13) 
deveríamos obter 741. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de multiplicação: 
 
- propriedade comutativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois A 
x B é igual a B x A, isto é, a ordem não altera o resultado (ex.: 3 x 5 = 5 
x 3 = 15). 
 
- propriedade associativa: a multiplicação possui essa propriedade, pois 
(A x B) x C é igual a (C x B) x A, que é igual a (A x C) x B etc. Ex.: (2 x 
3) x 4 = 2 x (3 x 4) = (4 x 3) x 2 = 24. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da multiplicação, 
pois ao multiplicar 1 por qualquer número, este número permanecerá 
inalterado. Ex.: 5 x 1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a multiplicação possui essa propriedade, 
pois a multiplicação de números racionais SEMPRE gera um número 
racional (ex.: 5 x 7 = 35, que é racional). 
 
- propriedade distributiva: apenas a multiplicação possui essa 
propriedade. Esta propriedade nos permite dizer que: 
Ax(B+C) = (AxB) + (AxC) 
 
Exemplificando: 
5x(3+7) = 5x(10) = 50 
ou, usando a propriedade: 
5x(3+7) = 5x3 + 5x7 = 15+35 = 50 
 
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d) Divisão: quando dividimos A por B, queremos repartir a quantidade A 
em partes de mesmo valor, sendo um total de B partes. Ex.: Ao 
dividirmos 10 por 2, queremos dividir 10 em 2 partes de mesmo valor. No 
caso, 10 2 5  . Vamos relembrar como efetuar divisões com o caso 
abaixo, onde dividimos 715 por 18: 
715 |18 
 
 Neste caso, chamamos o 715 de dividendo (número a ser dividido) 
e o 18 de divisor (número que está dividindo o 715). Como o divisor 
possui 2 casas (18), devemos tentar dividir as primeiras duas casas da 
esquerda do dividendo (71). Veja que 18x4 = 72 (que já é mais que 71). 
Já 18x3 = 54. Assim, temos: 
715 |18 
 3 
 
 Devemos multiplicar 3 por 18 e anotar o resultado abaixo de 71, e a 
seguir efetuar a subtração: 
715 |18 
 -54 3 
 17 
 
 
 Agora devemos “pegar” o próximo algarismo do dividendo (5): 
715 |18 
 -54 3 
 175 
 
 Dividindo 175 por 18, temos o resultado 9. Devemos anotar o 9 no 
resultado, à direita, e anotar o resultado da multiplicação 9 x 18 abaixo 
do 175, para efetuarmos a subtração: 
715 |18 
 -54 39 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΑ 
 175 
 -162 
 13 
 
 Agora temos o número 13, que é inferior ao divisor (18). Portanto, 
encerramos a divisão. Obtivemos o quociente (resultado) 39 e o resto 
igual a 13. Dizemos que esta divisão não foi exata, poisela deixou um 
resto. 
 
 Observe que o dividendo (715) é igual à multiplicação do divisor 
(18) pelo quociente (39), adicionada do resto (13). Isto é: 
715 = 18 x 39 + 13 
 
 Como regra, podemos dizer que: 
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto 
 
 As regras de sinais na divisão de números racionais são as 
mesmas da multiplicação: 
- a divisão de números de mesmo sinal tem resultado positivo. 
- a divisão de números de sinais diferentes tem resultado negativo. 
 
 Portanto, se tivéssemos dividido (-10) por 2, ou então 10 por (-2), 
deveríamos obter -5. E se tivéssemos dividido (-10) por (-2) deveríamos 
obter 5. 
 
Vejamos as principais propriedades da operação de divisão: 
 
- propriedade comutativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois A 
/ B pode ser diferente de B / A. Ex.: 2 / 5 = 0,4; e 5 / 2 = 2,5. 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΒ 
- propriedade associativa: a divisão NÃO possui essa propriedade, pois (A 
/ B) / C pode ser diferente de (C / B) / A. Ex.: (2/5)/3 é diferente de 
(3/5)/2. 
 
- elemento neutro: a unidade (1) é o elemento neutro da divisão, pois ao 
dividir qualquer número por 1, o resultado será o próprio número. Ex.: 5 / 
1 = 5. 
 
- propriedade do fechamento: a divisão possui essa propriedade, pois a 
divisão de números racionais SEMPRE gera um número racional (ex.: 2 / 
100 = 0,02; que é racional). 
 
Para sedimentar seus conhecimentos, segue uma tabela-resumo 
sobre as propriedades das operações com números racionais: 
 
Elem. 
Neutr
o 
Comut
. 
Assoc. 
Fecham
. 
Distributiva 
Adição zero Sim Sim Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
Multiplicaç
ão 
1 Sim Sim Sim 
Sim: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
Subtração zero Não Não 
Sim 
 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
Divisão 1 Não Não Sim 
Não: 
( ) ( ) ( )A B C A B A C      
 
1.3.2 Operações com frações 
Ao trabalhar com números racionais, recorrentemente estaremos 
lidando com frações, que nada mais são que operações de divisão. 
Escrever 
2
5 é equivalente a escrever 2 5 . As frações estão 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヱΓ 
constantemente presentes na resolução de exercícios, motivo pelo qual é 
essencial lembrar como efetuamos cada operação com elas: soma, 
subtração, multiplicação e divisão. 
 
a) Para somar ou subtrair frações, é preciso antes escrevê-las com o 
mesmo denominador, isto é, com um denominador comum. Este 
denominador é, simplesmente, um múltiplo comum entre os 
denominadores das frações originais. Falaremos sobre múltiplos adiante, 
de modo que aqui veremos apenas o básico. Vamos entender isto com o 
exemplo abaixo: 
1 3
6 8
 
 
 Veja o número 24 é um múltiplo de 6 (pois 6x4 = 24) e de 8 (pois 
8x3 = 24). 
 Para trocar o denominador da fração 1
6
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 6 por 4. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 1 por 4, para manter a fração. Portanto, 1 4
6 24
 . 
Já para trocar o denominador da fração 3
8
 para 24, é preciso 
multiplicar o denominador 8 por 3. Assim, também devemos multiplicar o 
numerador 3 por 3, para manter a fração. Portanto, 3 9
8 24
 . 
Agora sim podemos efetuar a soma: 
1 3 4 9 4 9 13
6 8 24 24 24 24

     
 
b) Para multiplicar frações, basta multiplicar o numerador de uma pelo 
numerador da outra, e o denominador de uma pelo denominador da 
outra. Veja nosso exemplo: 
1 3 1 3 3
6 8 6 8 48

  

 
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c) Para dividir frações, basta multiplicar a primeira pelo INVERSO da 
segunda. Veja isso em nosso exemplo: 
1
1 3 1 8 86
3 6 8 6 3 18
8
     
 
*** Dica importantíssima: trabalhando com frações, normalmente 
podemos substituir a expressão “de” pela multiplicação. Veja como: 
- quanto é um terço de 1000? Ora, simplesmente 1 1000
3
 ! 
- e quanto é dois sétimos de 25? A resposta é 2 25
7
 . 
- quanto vale um quarto da soma do número de homens (700) e de 
mulheres (600) presentes em um evento? Simplesmente 1 (700 600)
4
  . 
- por fim, quanto vale 5/9 da diferença entre os números X e Y? Aqui, a 
resposta é dada pela expressão 5 ( )
9
X Y  . 
 Certifique-se de que você entendeu isso. Usaremos bastante ao 
longo dos exercícios! 
 
1.3.3 Operações com números decimais 
 Os números decimais são, em regra, aqueles que resultam da 
divisão não-exata de dois números inteiros. São os números que possuem 
“casas após a vírgula”. A manipulação deles é essencial para a resolução 
de diversas questões, motivo pelo qual você precisa saber somá-los, 
subtraí-los, multiplicá-los, dividi-los, elevá-los a potências e extrair raízes 
dos mesmos. Vejamos cada uma dessas operações em detalhes. 
 
a) Adição de números decimais: 
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 A adição de dois números decimais segue a mesma lógica da adição 
comum. Isto é: 
- os números devem ser posicionados um embaixo do outro, com a 
vírgula logo abaixo da vírgula do outro, e as casas correspondentes uma 
embaixo da outra 
- as casas correspondentes devem ser somadas, começando da direita 
para a esquerda. 
- à medida que forem sendo formadas dezenas, estas devem ser 
transferidas para a próxima adição (das casas logo à esquerda). 
 Vamos aplicar estes passos na adição de 13,47 e 2,9. Colocando os 
números um embaixo do outro, com a vírgula uma embaixo da outra, 
temos todas as casas correspondentes em uma mesma vertical: 
 
 13,47 
+ 2,9 
 
 Veja que a casa das unidades do primeiro número (3) está logo 
acima da casa das unidades do segundo número (2). A primeira casa 
decimal do primeiro número (4) está logo acima da primeira casa decimal 
do segundo (1). E assim por diante. Como não há casa decimal abaixo do 
7, podemos considerá-la igual a 0. Agora, basta começar a somar as 
casas correspondentes, começando pelas da direita, anotando o 
resultado. Quando houver a formação de dezenas (ex.: 4 + 9 = 13), a 
dezena (1) deve ser transferida para a próxima operação (3 + 2). Com 
isso, temos: 
 13,47 
+ 2,9 
 16,37 
 
b) Subtração de números decimais: 
 Aqui também devemos posicionar os números um abaixo do outro, 
com a vírgula do primeiro na mesma vertical da vírgula do segundo 
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número. A seguir devemos subtrair as casas correspondentes, da direita 
para a esquerda. Vejamos: 
 
 13,47 
- 2,9 
 10,57 
 Repare, neste exemplo, que no momento de efetuar a subtração 4 
– 9 foi preciso pegar uma unidade da casa à esquerda do 4 (no caso, o 3) 
e “transformá-la” em uma dezena, somando-a ao 4. Assim, subtraimos 14 
– 9, obtendo o resultado 5. A seguir, ao invés de subtrair 3 – 2, tivemos 
que subtrair 2 – 2 pois uma unidade do “3” já havia sido utilizada. 
 
c) Multiplicação de númerosdecimais: 
 Aqui aplicamos o mesmo procedimento da multiplicação comum, 
com duas observações: 
- devemos posicionar os números assim como fizemos na adição e na 
subtração, isto é, com a vírgula de um logo abaixo da vírgula do outro. 
- o número de casas decimais do resultado será igual à soma do número 
de casas decimais dos dois números sendo multiplicados. Assim você 
saberá posicionar a vírgula. 
 Vejamos o nosso exemplo: 
 
 13,47 
x 2,9 
 12123 
+ 26940 
39,063 
 
 Repare que a primeira linha abaixo do 2,9 refere-se à multiplicação 
de 13,47 por 9. Já a segunda linha refere-se à multiplicação de 13,47 por 
2. Nesta linha há um 0 à direita porque o 2 está uma casa decimal à 
frente do 9. Efetuando a soma das duas linhas, obtém-se 39063. E, 
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lembrando que existem 3 casas decimais nos números sendo 
multiplicados (duas em 13,47 e uma em 2,9), devemos ter 3 casas 
decimais no resultado, o que leva ao número 39,063. 
 
d) Divisão de números decimais: 
 Para efetuar a divisão de números decimais, devemos inicialmente 
multiplicar ambos os números (divisor e dividendo) por uma potência de 
10 (10, 100, 1000, 10000 etc.) de modo a retirar todas as casas decimais 
presentes. Após isso, é só efetuar a operação normalmente. 
 Para exemplificar, vamos dividir 3,5 por 0,25. Observe que o 
número que possui mais casas decimais é o divisor (0,25), possuindo 2 
casas decimais. Assim, devemos multiplicar ambos os números por 100, 
de modo a retirar ambas as casas decimais: 
 
3,5 x 100 = 350 
0,25 x 100 = 25 
 
 Agora, basta efetuar a divisão de 350 por 25, que você sabe fazer, 
tendo como resultado o número 14. 
 
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO – NÚMEROS DECIMAIS) Para fixar o que foi 
visto aqui, efetue as seguintes operações, cujo gabarito é fornecido em 
seguida. 
a) 2,25 + 1,7 
b) 2,25 – 1,7 
c) 2,25 x 1,7 
d) 2,25 / 1,5 
e) 0,898 + 1,12 
f) 0,898 – 1,12 
g) 0,898 x 1,12 
h) 0,898 / 0,01 
Respostas: 
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a) 3,95 
b) 0,55 
c) 3,825 
d) 1,5 
e) 2,018 
f) -0,222 
g) 1,00576 
h) 89,8 
 
1.3.4 REPRESENTAÇÃO NA RETA 
 Veja abaixo a reta numérica, onde podemos representar todos os 
números racionais. As setas nas extremidades denotam que a reta cresce 
infinitamente para ambos os lados: 
 
 
 É possível localizar a posição exata de um número racional na reta 
numérica, ainda que ele seja fracionário. Por exemplo, vamos localizar o 
número 3
4
, ou 0,75 (na forma decimal). Na reta numérica, basta 
dividirmos o espaço entre 0 e 1 em quatro partes, e colocar o número 
3
4
ao final da terceira delas: 
 
 
 Ainda observando a reta numérica acima, observe que a distância 
do 0 até o 1 é a mesma distância do 0 até o -1. Essa distância mede “1 
unidade”. Da mesma forma, a distância de 0 a 2 é a mesma distância de 
0 a -2. Aqui a distância é de “2 unidades”. 
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Chamamos de módulo de um número a distância entre esse número 
e o zero. Utilizamos o símbolo |A| para representar o módulo do número 
A. Assim, como vimos acima, podemos dizer que: 
|1| = 1 
|-1| = 1 
|2| = |-2| = 2 
 
 Repare que, se o número A é positivo (como no caso do 2), o 
módulo é ele mesmo. Se o número A é negativo (como no caso do -2), o 
módulo é o seu oposto (isto é, -(-2) = 2). De maneira mais formal, 
podemos dizer que: 
, se A 0
| |
, se A<0
A
A
A
 

 
 
1.4 NÚMEROS IRRACIONAIS 
 Os Números Irracionais são aqueles que, ao contrário dos 
Racionais, não podem ser obtidos da divisão de dois inteiros, ou seja, não 
podem ser escritos na forma (onde A e B são números inteiros). Isto 
porque esses números são formados por uma sequência infinita de 
algarismos. 
Exemplo: na obtenção da raiz quadrada do algarismo 2, nos 
deparamos com um número irracional: 
 
(as reticências indicam que este número é composto por infinitos 
algarismos) 
Da mesma forma, o conhecido número (“pi”), muito utilizado na 
trigonometria, possui infinitas casas decimais que não se repetem como 
em uma dízima periódica, o que faz dele um número irracional: 
 
 
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Antes de avançarmos, deixo uma observação a respeito da 
representação dos números irracionais na reta numérica: 
- não é possível localizar precisamente um número irracional na reta 
numérica. Isto porque esses números tem infinitas casas decimais que 
não se repetem, não sendo possível escrevê-los na forma A
B
e usar o 
mesmo método que vimos para localizar os números racionais. 
Obs.: existem formas indiretas para a localização desses números na reta 
com boa precisão. Ex.: sabemos que a diagonal de um quadrado de lados 
iguais a 1 mede exatamente 2 , que é um número irracional. Portanto, 
basta desenhar esse quadrado, pegar a sua diagonal e utilizá-la para 
medir, na reta numérica, a distância entre a origem (zero) e a posição 
onde deve estar o número 2 . 
 
1.5 NÚMEROS REAIS 
 O conjunto dos Números Reais é formado pela união dos números 
Racionais e Irracionais. Desta forma, podemos dizer que: 
 
(O conjunto dos Números Naturais está contido no dos Inteiros, que está 
contido no dos Racionais, que está contido no dos Reais) 
 E, além disso, 
 
(O conjunto dos Números Irracionais está contido no dos Números Reais) 
 
 Complementando o diagrama que desenhamos nos tópicos acima, 
agora temos: 
 
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 No diagrama acima, Q/R significa que aquele subconjunto pertence 
aos Números Racionais e Reais, e I/R significa que aquele subconjunto 
pertence aos Números Irracionais e Reais. 
 
1.5.1 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
 As propriedades das operações com números reais são as mesmas 
já vistas para os racionais. Falaremos a seguir sobre Potenciação e 
Radiciação, que são operações adicionais que podemos efetuar com os 
números reais. 
 
1.5.2 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS NA RETA 
 Dado que os números reais são formados por 2 subconjuntos 
(racionais e irracionais), sabemos que alguns números reais podem ser 
posicionados precisamente na reta numérica (os racionais) e outros não 
podem ser localizados exatamente (os irracionais). 
 
1.6 POTENCIAÇÃO 
Observe o exemplo abaixo: 
35 5 5 5 125    
(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes 
cinco”) 
 
 Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a 
uma determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele 
mesmo, “n” vezes. Outro exemplo, para não deixar dúvida: 
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42 2 2 2 2 16     
(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4 
vezes”) 
 Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma 
base (número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito 
básico, podemos analisar algumas propriedades das potências. Essas 
propriedades facilitarão bastante o manuseio de equações que envolvam 
potências: 
a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1. 
Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos 
dizer que: 
0
0
0
5 1
( 25) 1
0,3 1

 

 
b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero. 
Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado 
por ele mesmo, “n” vezes. Ex.: 
30 0 0 0 0    
 
c) Multiplicação de potências de mesma base (X): 
A questão aqui é como multiplicar 2 34 4 . Normalmente você faria 
assim: 
      2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024 
Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas 
potências têm a mesma base 4: 
   2 3 2 3 54 4 4 4 1024 
 
d) Divisão de potências de mesma base (X): 
Como você faria a divisão 
5
3
4
4
? Provavelmente seria assim: 
5
3
4 4 4 4 4 4 4 4 16
4 4 4 4
   
   
 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヲΓ 
Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o 
numerador e denominador da divisão tem a base 4. Veja: 
5
5 3 2
3
4 4 4 16
4
   
 Analogamente, observe que 33
1 4
4
 . Isto porque: 
0
0 3 3
3 3
1 4 4 4
4 4
    
 O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador 
para o denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente 
trocando o sinal da potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 
3 54 4  . Temos duas formas: 
 Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, 
somando os expoentes: 
3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16      
 Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34 para o 
denominador e, a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma 
base: 
5
3 5 5 3 2
3
44 4 4 4 16
4
      
 
e) Potência de potência: 
A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 
à segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à 
terceira potência (ao cubo): 
2 3 3(2 ) (4) 64  
Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da 
multiplicação entre os dois expoentes: 
2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64   
 
f) Raiz de potência: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ンヰ 
 Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que 
trata-se de uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz 
quadrada de um número é equivalente a elevá-lo a 1
2
, obter a raiz cúbica 
é equivalente a elevá-lo a 1
3
, e assim por diante. 
 Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer 
simplesmente assim: 
62 2 2 2 2 2 2 64 8        
 Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 1
2
, 
podemos fazer: 
 
11 66 6 3222 2 2 2 8

    
 Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) 
para resolver este caso. 
 
g) Potência de produto: 
Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3) , podemos 
fazer de algumas formas: 
 2 2(2 3) (6) 36   
 2(2 3) (2 3) (2 3) 36      
 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36      
Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B elevado a 
uma potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB . 
 
h) Potência de base 10: 
Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número 
natural “n”, fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 
1 seguido de “n” zeros: 
3
6
10 1000
10 1000000


 
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 Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, 
basta usar as propriedades que vimos acima. Veja exemplos: 
3
3
6
6
1 110 0,001
10 1000
1 110 0,000001
10 1000000


  
  
 
i) Potência de base negativa: 
Quando a base da potência é um número negativo, devemos 
analisar qual será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ? 
Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é 
positivo. Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, 
como 3 é ímpar, o resultado correto é -8. Você pode visualizar isso 
melhor fazendo a conta em etapas: 
3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8      
 Veja um exemplo com expoente par: 
4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16      
 
j) Fração elevada a um expoente: 
Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde 
numerador e denominador estão elevados àquele expoente. Veja: 
3 3
3
2 2
3 3
   
 
 
 Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas: 
3 3
3
2 2 2 2 2 2 2 2 8
3 3 3 3 3 3 3 3 27
            
 
 
1.7 RADICIAÇÃO 
Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à 
potenciação. Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa 
que 3 elevado ao quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode 
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ser escrita usando-se o símbolo n ou elevando o número em questão ao 
expoente 1
n
. Veja alguns exemplos: 
1
3 327 27 3  , pois 33 27 
1
2 216 16 4  , pois 24 16 
 
 Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o 
símbolo 2 ou simplesmente . 
 
As principais propriedades da radiciação são: 
 
a) Qualquer raiz de zero é igual a zero: 
Isto é, 0 0n  . Isto porque zero elevado a qualquer número também 
resulta em zero. 
 
b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1: 
Ou seja, 1 1n  . Isto porque 1 elevado a qualquer número também 
resulta em 1. 
 
c) 
a
b a bx x 
 Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 
6
3 6 234 4 4 16   . 
 
d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”: 
Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B: 
n n nA B A B   
Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o 
mesmo radical “n”. Ilustrando, temos que: 
25 16 25 16 5 4 20      
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e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes: 
A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B: 
n
n
n
A A
B B
 
Veja esse exemplo: 
25 25 5
16 416
  
 
f) Raiz de raiz: 
Por essa propriedade, temos que n m n mA A . Exemplificando: 
3 3 2 62 2 2  
 Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência: 
1
1 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2
 
    
 
 
 
Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele 
consiste em 2 passos: 
1. Decomposição do número em fatores primos 
2. Aplicação da propriedade 
a
b a bx x 
A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os 
números primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou 
seja: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23etc. Assim, iremos começar dividindo 
216 pelo menor número primo (2) e, quando não mais for possível, 
passamos para o número primo seguinte (3), e assim sucessivamente. 
Teremos: 
 
 
 
 
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Número Fator primo 
216 2 
108 2 
54 2 
27 3 (pois não é mais possível usar o 2) 
9 3 
3 3 
1 Logo, 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 23 x 33 
 
 Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte 
forma: 
1 1 13 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6
 
         
 Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de 
Potenciação e revisar as propriedades que estudamos. 
 Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em 
fatores primos, temos: 
Número Fator primo 
7056 2 
3528 2 
1764 2 
882 2 
441 3 
147 3 
49 7 
7 7 
1 Logo, 4 2 27056 2 3 7   
 
Portanto: 
1 1 14 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84
  
          
 
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 Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem 
raiz exata. Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos 
calcular, por exemplo, a raiz quadrada de 32. 
Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que: 
32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25 
Assim, 
532 2 
 Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2  : 
5 4 432 2 2 2 2 2 4 2       ou, simplesmente, 4 2 
 
 
Na maioria dos casos você não encontrará a raiz EXATA de um 
determinado número. Nesta situação, pode ser necessário que você 
obtenha um valor aproximado desta raiz. Suponha, por exemplo, que 
pretendemos calcular a raiz quadrada do número 30. Veja que não existe 
nenhum número inteiro que, elevado ao quadrado (isto é, multiplicado 
por ele mesmo), resulte em 30. Neste caso, devemos buscar os números 
inteiros que, elevados ao quadrado, mais se aproximam de 30. Veja que: 
42 = 4 x 4 = 16 (menor que 30) 
e 
52 = 5 x 5 = 25 (menor que 30) 
e 
62 = 6 x 6 = 36 (maior que 30) 
 
Pela análise acima, podemos observar que a raiz quadrada de 30 
deve ser um número entre 5 e 6, pois 52 é menor que 30, porém 62 já é 
maior que 30. Assim, podemos agora “testar” um número entre 5 e 6. 
Sugiro sempre testar o número do meio, ou seja, 5,5. Assim: 
5,52 = 5,5 x 5,5 = 30,25 
 
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Veja que 5,52 ainda resulta em um valor ligeiramente superior a 30. 
Isto significa que a raiz quadrada de 30 deve ser um número ligeiramente 
inferior a 5,5 (e, obviamente, superior a 5). Note que na maioria das 
questões você já vai poder usar o número 5,5 como um valor aproximado 
para a raiz quadrada de 30. Mas, se você quiser tentar se aproximar 
ainda mais, basta testar um número ligeiramente inferior a 5,5. Veja que: 
5,4 x 5,4 = 29,16 
 
Como 5,42 é ligeiramente menor que 30, e 5,52 é ligeiramente 
superior a 30, fica claro que a raiz quadrada de 30 é um número entre 
5,4 e 5,5. Podemos testar o número 5,45, que nos dará uma boa 
aproximação. Veja que: 
5,452 = 5,45 x 5,45 = 29,7025 
 
Pelo valor acima, note que a raiz quadrada de 30 deve estar entre 
5,45 e 5,5. Dificilmente você precisará ser tão exato assim. Por 
curiosidade, o valor exato desta raiz quadrada é o número irracional 
5,4772... 
 
Para exercitar mais um pouco, tente obter a raiz quadrada de 71. 
Comece fazendo uma aproximação mais “grosseira” e depois tente chegar 
mais próximo do resultado exato. Ao final, faça o cálculo em uma 
calculadora para comparar com o valor encontrado por você. 
 
Finalizando, é bom lembrar que no conjunto dos números racionais 
não existe raiz par de números negativos (ex.: não existe 2 16 ), mas 
existe raiz ímpar ( 33 27 3, pois ( 3) 27      ). 
 
 
 
 
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1.8 EXPRESSÕES NUMÉRICAS 
 Uma expressão numérica é uma sequência de números dispostos de 
acordo com sinais matemáticos, que indicam as operações a serem 
efetuadas. Veja um exemplo: 
 ( 25 2) (9 3) 7 4        
 A resolução desse tipo de expressão é muito simples, desde que 
você se lembre das seguintes regras: 
1. Primeiro resolver o que está dentro dos parênteses, depois o que está 
entre colchetes, e a seguir o que está entre chaves. 
2. Primeiro resolver operações de radiciação ou potenciação, a seguir 
multiplicação ou divisão, e a seguir resolver operações de soma ou 
subtração. 
 Utilizando o nosso exemplo, veja que devemos inicialmente resolver 
as duas operações que encontram-se entre parênteses. Dentro desses 
parênteses, veja que há uma operação de radiciação ( 25 ), que é a 
primeira a ser resolvida: 
  (5 2) (9 3) 7 4      
 A seguir, resolvemos as demais operações dentro dos parênteses, 
obtendo: 
  7 6 7 4    
 Agora devemos resolver a multiplicação dentro dos colchetes: 
 42 7 4   
 Em seguida resolvemos a subtração dentro das chaves: 
35 4  
 Por fim, resolvemos a divisão que se encontrava fora das chaves, 
obtendo: 
35 4 8,75  
Vale a pena lembrar aqui que uma fração é uma operação de 
divisão como outra qualquer, e se houver uma fração em sua expressão 
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numérica, basta resolvê-la no momento que você resolveria aquela 
operação de divisão. 
 
1.9 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
A regra de três simples é uma ferramenta essencial na resolução de 
várias questões. Apesar de a aula 03 ser dedicada ao estudo da 
proporcionalidade, vamos neste momento relembrar os conceitos mais 
básicos para já começar a resolver exercícios requeiram este assunto. 
Imagine uma empresa onde o salário dos profissionais é 
diretamente proporcional ao tempo de serviço. Isso quer dizer que, à 
medida que o tempo de serviço aumenta, o salário do profissional 
também aumenta, e vice-versa. Esse crescimento ocorre de maneira 
proporcional, isto é, de maneira a manter a mesma razão entre o salário 
e o tempo trabalhado. Assim, se S1 é o salário de um empregado e T1 é o 
tempo trabalhado por ele atualmente, e S2 é o salário de outro 
empregado que já trabalhou pelo período T2. 
 Neste caso, podemos montar uma regra de três simples para 
relacionar essas grandezas: 
 
Tempo...........................................Salário 
T1 S1 
T2 S2 
 
 Uma vez montada essa regra de três, basta usar a “multiplicação 
cruzada”, isto é, multiplicar os termos das diagonais para obter a seguinte 
igualdade: 
 
1 2 2 1T S T S   
 
Vamos usar números para entender melhor esse exemplo: nessa 
empresa onde salários e tempos de serviço são diretamente 
proporcionais, João tem 5 anos de serviço e ganha R$1000 por mês. Se o 
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salário de Kléber é de R$1500 por mês, há quanto tempo ele trabalha 
nesta empresa? 
Temos duas grandezas envolvidas (tempo trabalhado e salário). Para 
encontrar o tempo trabalhado por Kléber (que chamaremos de T), 
montamos a seguinte regra de três: 
 
Tempo (anos)...........................................Salário (reais) 
5 1000 
T 1500 
 
Assim, basta multiplicar os termos de uma diagonal (5 x 1500) e 
igualar à multiplicação dos termos da outra diagonal (T x 1000): 
5 1500 1000
7500 1000
7500 7,5
1000
T
T
T
  
 
 
 
 Portanto, Kléber trabalha na empresa há 7,5 anos. 
 
1.10 SISTEMAS DE MEDIDAS USUAIS 
 Uma unidade de medida é uma quantidade de uma grandeza física 
que é usada como um “padrão” para a medida de outras quantidades da 
mesma grandeza. Por exemplo, o “metro” é uma quantidade específica da 
grandeza física “comprimento”, sendo utilizado para medir o comprimento 
de outros corpos. Para cada grandeza física, o Sistema Internacional de 
Unidades define uma unidade padrão de medida. 
 Para efetuar os cálculos de comprimento, área, volume, massa e 
tempo que faremos ao longo desta e de outras aulas, você precisa 
conhecer: 
- qual a unidade padrão de medida daquela grandeza no Sistema 
Internacional de Unidades; 
- quais os principais múltiplos e submúltiplos da unidade padrão de 
medida; 
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- como converter uma medida de um múltiplo para outro. 
 
Medidas de comprimento 
 A unidade padrão de medida de comprimento é o metro, 
representado pela letra m. Um metro é dividido em 10 decímetros, que 
por sua vez é dividido em 10 centímetros, que por sua vez é dividido em 
10 milímetros. Assim, podemos dizer que 1 metro é dividido em 
100centímetros (10x10), ou em 1000milímetros. Por outro lado, podemos 
dizer que 1 decímetro é igual a 1
10
 metro (0,1 metro), 1 centímetro é 
igual a 1
100
 metro (0,01 metro), e 1 milímetro é equivalente a 0,001 
metro. 
Por sua vez, 10 metros equivalem a 1 decâmetro. 10 decâmetros 
equivalem a 1 hectômetro, e 10 hectômetros equivalem a 1 quilômetro. 
Veja isso na tabela abaixo: 
Milímetro 
(mm) 
Centímetro 
(cm) 
Decímetro 
(dm) 
Metro 
(m) 
Decâmetro 
(dam) 
Hectômetro 
(hm) 
Quilômetro 
(km) 
1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km 
 
 Portanto, se tivermos o valor de um comprimento em qualquer 
dessas unidades, vejamos como obtê-lo em outra unidade. Pela tabela 
acima, repare que para “andar” para a direita, basta dividir o número por 
10 (por ex.: 10dm/10 = 1m). E, para “andar” para a esquerda, basta 
multiplicar por 10 (por ex.: 0,001km x 10 = 0,01hm). 
Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros na unidade 
hectômetros. Veja que precisamos andar 4 “casas” para a direita 
(passando por dm, m, dam e chegando em hm). Portanto, precisamos 
dividir por 10 quatro vezes em sequência: 15cm / 10 = 1,5dm 
1,5dm / 10 = 0,15m 
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0,15m / 10 = 0,015dam 
0,015dam / 10 = 0,0015hm 
 
 Portanto, 15 centímetros equivalem a míseros 0,0015 hectômetros. 
Da mesma forma, se quiséssemos escrever 15 hectômetros em 
centímetros, precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, 
precisaríamos multiplicar o número 15 por 10 quatro vezes seguidas, 
obtendo a quantia de 150000cm. 
 
Medidas de área 
 A unidade padrão de medida de área é o metro quadrado, 
representado pelo símbolo 2m . Veja a tabela de conversão do metro 
quadrado em seus múltiplos e submúltiplos: 
Milímetro 
quadrado 
(mm2) 
Centímetro 
quadrado (cm2) 
Decímetro 
quadrado 
(dm2) 
Metro 
quadrado 
(m2) 
Decâmetro 
quadrado 
(dam2) 
Hectômetro 
quadrado 
(hm2) 
Quilômetro 
quadrado 
(km2) 
1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2 
 
 Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos 
dividir por 100, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos 
multiplicar por 100, para garantir que obtenhamos a conversão correta. 
 Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros quadrados na 
unidade hectômetros quadrados. Precisamos andar 4 “casas” para a 
direita (passando por dm2, m2, dam2 e chegando em hm2). Portanto, 
precisamos dividir por 100 quatro vezes em sequência: 
15cm2 / 100 = 0,15dm2 
0,15 dm2 / 100 = 0,0015m2 
0,0015m2 / 100 = 0,000015dam2 
0,000015dam2 / 100 = 0,00000015hm2 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヲ 
 
 Portanto, 15 centímetros quadrados equivalem a apenas 
0,00000015 hectômetros quadrados. Da mesma forma, se quiséssemos 
escrever 15 hectômetros quadrados em centímetros quadrados, 
precisaríamos andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos 
multiplicar o número 15 por 100 quatro vezes seguidas, o que equivale a 
escrever o número 15 seguido de 8 zeros (4 x 2), obtendo a quantia de 
1500000000cm2. 
 
Medidas de volume 
 Já a unidade padrão de medida de volume é o metro cúbico, 
representado pelo símbolo 3m . Veja a tabela de conversão do metro 
cúbico em seus múltiplos e submúltiplos: 
Milímetro cúbico 
(mm3) 
Centímetro 
cúbico (cm3) 
Decímetro 
cúbico (dm3) 
Metro 
cúbico 
(m3) 
Decâmetro 
cúbico 
(dam3) 
Hectômetro 
cúbico (hm3) 
Quilômetro 
cúbico (km3) 
1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 
 
 Repare que agora, ao andar uma casa para a direita, devemos 
dividir por 1000, e ao andar uma casa para a esquerda, devemos 
multiplicar por 1000, para obter a conversão correta. 
 Sabendo disso, vamos escrever 15 centímetros cúbicos na unidade 
hectômetros cúbicos. Precisamos andar 4 “casas” para a direita (passando 
por dm3, m3, dam3 e chegando em hm3). Portanto, precisamos dividir por 
1000 quatro vezes em sequência: 
15cm3 / 1000 = 0,015dm3 
0,015dm3 / 1000 = 0,000015m3 
0,000015m3 / 1000 = 0,000000015dam3 
0,000000015dam3 / 1000 = 0,000000000015hm3 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴン 
 
 Portanto, 15 centímetros cúbicos equivalem a apenas 
0,000000000015 hectômetros cúbicos. Da mesma forma, se quiséssemos 
escrever 15 hectômetros cúbicos em centímetros cúbicos, precisaríamos 
andar 4 casas para a esquerda, portanto, precisaríamos multiplicar o 
número 15 por 1000 quatro vezes seguidas, o que equivale a escrever o 
número 15 seguido de 12 zeros (4 x 3), obtendo a quantia de 
15.000.000.000.000cm3 (quinze trilhões de centímetros cúbicos). 
 Para finalizar o estudo de unidades de volume, é importante você 
conhecer outra unidade muito utilizada: o litro. Sabendo que 1 litro é 
igual a 1dm3 (decímetro cúbico), você consegue descobrir outros valores 
facilmente. Veja que, como 1000dm3 = 1 m3, podemos dizer que 1000 
litros = 1m3. 
 
Medidas de tempo 
 A unidade padrão de medida de tempo é o segundo, representado 
pelo símbolo s. Aqui não trabalharemos da mesma forma que as demais 
unidades de medida, pois normalmente não contamos o tempo em 
múltiplos de 10. De qualquer forma, é importante você conhecer o 
milissegundo (ms): 1 segundo corresponde a 1000ms.As principais unidades de tempo que utilizamos, além do segundo, 
são o minuto, a hora e o dia. Veja-os na tabela abaixo 
Milissegundo 
(ms) 
Segundo 
(s) 
Minuto 
(min) 
Hora (h) Dia 
1.000ms = 1s 1s 
1 min = 
60s 
1 h = 60 min 1 dia = 24 h 
 
 Note que 1 hora equivale a 3600 segundos (60 x 60). E 1 dia 
corresponde a 1440 minutos (24 x 60). Para exercitar-nos, vamos 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヴ 
escrever 2 horas na unidade segundos. Para isso, podemos utilizar 
algumas regras de três: 
1 hora ------------------------------- 60 minutos 
2 horas ----------------------------- X minutos 
1 2 60
120minutos
X
X
  

 
 Continuando, temos: 
1 minuto ---------------------- 60 segundos 
120 minutos------------------ Y segundos 
1 120 60
7200segundos
Y
Y
  

 
Medidas de massa 
 A unidade padrão de medida de massa é o grama (e não o 
quilograma!), representado pelo símbolo g. Veja a tabela de conversão do 
grama em seus múltiplos e submúltiplos: 
Miligrama 
(mg) 
Centigrama 
(cg) 
Decigrama 
(dg) 
Grama 
(g) 
Decagrama 
(dag) 
Hectograma 
(hg) 
Quilograma 
(kg) 
1.000mg 100cg 10dg 1g 0,1dag 0,01hg 0,001kg 
 
 Assim como no caso das medidas de comprimento, ao andar uma 
casa para a direita, devemos dividir por 10, e ao andar uma casa para a 
esquerda, devemos multiplicar por 10, para obter a conversão correta. 
 Sabendo disso, observe que 15 centigramas corresponderão a 
0,0015 hectogramas (basta dividir por 10 quatro vezes seguidas). Da 
mesma forma, 15 hectogramas corresponderão a 150.000 centigramas 
(multiplique por 10 quatro vezes seguidas, ou coloque 4 zeros após o 15). 
Você já deve ter ouvido falar na tonelada métrica, ou simplesmente 
tonelada (ton). Uma tonelada equivale a 1.000 quilogramas. Portanto, 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヵ 
para obter o valor de 1 tonelada em gramas, basta multiplicar 1.000 por 
10 três vezes seguidas (de kg para hg, de hg para dag, e de dag para g), 
chegando a 1.000.000 gramas. 
 
Exercício de fixação – Unidades) Efetue as conversões de unidades 
solicitadas: 
a) 5litros para m3 
b) 10dam em cm 
c) 40hm2 em km2 
d) 2 dias em minutos 
e) 36 horas em dias 
f) 150 milissegundos em segundos 
g) 20 cm3 em m3 
h) 15dag em hg 
Respostas: 
a) 0,005m3 
b) 10000cm 
c) 0,40km2 
d) 2880minutos 
e) 1,5dias 
f) 0,150s 
g) 0,000020 cm3 
h) 1,5hg 
 
 
 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴヶ 
RESOLUÇÃO DE QUESTÕES 
 
 
 
1. FCC – CETAM – 2014) O número que corresponde ao resultado da 
expressão numérica: (3100 ÷ 69) ÷ (0,001ڄ5 +0,01ڄ4 +0,1ڄ) é igual a 
(A) 50. 
(B) 5. 
(C) 0,05. 
(D) 2. 
(E) 0,5 
RESOLUÇÃO: 
 Resolvendo essa expressão: 
 = (100 ÷ 69) ÷ (0,001ڄ5 +0,01ڄ4 +0,1ڄ3)
(0,3+ 0,04+ 0,005) ÷ (0,69) = 
(0,345) ÷ (0,69) = 
345 / 690 = 
5 x 69 / 690 = 
5 x 1 / 10 = 
5 / 10 = 
0,5 
RESPOSTA: E 
 
2. FCC – CETAM – 2014) Analise as três afirmações relativas a 
operações com inteiros não negativos: 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 
7. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΑ 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao 
divisor, o maior resto é igual a 7. 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três 
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
Está correto o que se afirma APENAS em 
(A) I e II. 
(B) I e III. 
(C) II e III. 
(D) II. 
(E) III. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos avaliar cada uma das afirmações. Vale lembrar que estamos 
tratando apenas de números inteiros não negativos, ou seja: 0, 1, 2, 3, 
4, ... Note que este é simplesmente o conjunto dos números naturais. 
 
I. Em uma divisão em que o maior resto possível é 8, o divisor é igual a 
7. 
 ERRADO, pois o resto sempre deve ser menor que o divisor. 
 
II. Em uma divisão em que o dividendo é 88, e o quociente é igual ao 
divisor, o maior resto é igual a 7. 
 Lembrando que: 
Dividendo = divisor x quociente + resto, 
 
 Como o divisor é igual ao quociente, podemos escrever: 
Dividendo = divisor x divisor + resto 
88 = divisor x divisor + resto 
 
 Veja que o divisor por igual a 8, teríamos: 
88 = 8 x 8 + resto 
88 = 64 + resto 
resto = 22, 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΒ 
o que é impossível, pois o resto deve ser menor que o divisor. 
 
 Por outro lado, se tivermos divisor igual a 9, ficamos com: 
88 = 9 x 9 + resto 
88 = 81 + resto 
7 = resto 
 
 Veja que, de fato, o maior resto é 7. Item CORRETO. 
 
III. O produto de um número de quatro algarismos por outro de três 
algarismos terá, no máximo, 7 algarismos. 
 Para verificarmos essa afirmação, basta multiplicar o maior número 
de 4 algarismos (9.999) pelo maior número de três algarismos (999): 
9.999 x 999 = 
9.999 x (1000 - 1) = 
9999x1000 - 9999x1 = 
9.999.000 - 9.999 = 
9.999.000 - 10.000 + 1 = 
9.989.000 + 1 = 
9.989.001 
 
 Veja que esse número tem 7 algarismos, o que confirma a 
afirmação deste item. CORRETO. 
RESPOSTA: C 
 
3. FCC – CETAM – 2014) O quociente entre a menor e a maior fração do 
conjunto C = 1 2 3 5 1, , , ,
2 5 4 6 3
 
 
 
 , nessa ordem, é igual 
(A) ao triplo de uma fração pertencente à C. 
(B) à metade de uma fração pertencente à C. 
(C) ao dobro de uma fração pertencente à C. 
(D) a uma fração pertencente à C. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヴΓ 
(E) à terça parte de uma fração pertencente à C. 
RESOLUÇÃO: 
 A menor fração do conjunto é 1/3, e a maior é 5/6. O quociente é: 
(1/3) / (5/6) = 
(1/3) x (6/5) = 
6/15 = 
2/5 
 
 Veja que 2/5 é uma fração que pertence ao conjunto C. 
RESPOSTA: D 
 
4. FCC – SABESP – 2014) Somando-se certo número positivo x ao 
numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da 
fração 2
3
 obtém-se como resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52
25
 
(B) 13
6
 
(C) 7
3
 
(D) 5
2
 
(E) 47
23
 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
2 5
3
x
x



 
 
 Veja que o termo (3 – x) está DIVIDINDO. Ele pode ser transferido 
para o outro lado da igualdade invertendo-se esta operação, ou seja, 
MULTIPLICANDO. Ficamos com: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヰ 
2 + x = 5 . (3 – x) 
2 + x = 15 – 5x 
x + 5x = 15 – 2 
6x = 13 
x = 13/6 
RESPOSTA: B 
 
5. FCC – SABESP – 2014) A propaganda de uma tinta para paredes 
anuncia que uma lata de 3,6 litros de tinta é suficiente para fazer a 
pinturade uma superfície de 120 m². Supondo verdadeira a informação 
da propaganda, a quantidade de tinta, em litros, para fazer a pintura de 
50 m² é igual a 
(A) 1,2. 
(B) 2,4. 
(C) 1,5. 
(D) 0,5. 
(E) 0,36. 
RESOLUÇÃO: 
 Utilizando a informação fornecida podemos montar a seguinte regra 
de três: 
120 metros quadrados ------------- 3,6 litros de tinta 
50 metros quadrados --------------- N litros de tinta 
 
120 x N = 50 x 3,6 
N = 1,5 litros 
RESPOSTA: C 
 
6. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado dessa expressão numérica: 
 
22 2
2
2 2 2
2 2 22 2
2 (2 ).
(2 )2 ) 
29779605894
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヱ 
é igual a 
(A) 256. 
(B) 128. 
(C) 64. 
(D) 512. 
(E) 1. 
RESOLUÇÃO: 
 Vamos utilizar as propriedades das operações com potências para 
resolver essa questão. Acompanhe a seguir: 
 
22 2
2
2 2 2
2 2 22 2
2 (2 ).
(2 )2 )

 
42 2 4
4 2 4 2
2 (2 ).
(2 ) (2 )

 
16 8
8 8
2 2.
2 2
 
16 8 12 .
1
  
82  
256 
RESPOSTA: A 
 
7. FCC – METRÔ/SP – 2014) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente 
deve ser acrescido 17. Se o número sorteado for ímpar, ele deve ser 
dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 15. Após 
esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヲ 
Sabendo que os números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida 
ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
RESOLUÇÃO: 
 Os números pares sorteados foram 40 e 66. Devemos dividir cada 
um deles por 2 e acrescentar 17 unidades no resultado, ficando com: 
40/2 + 17 = 37 
66/2 + 17 = 50 
 
 Os números ímpares sorteados foram 35 e 27. Os maiores divisores 
deles são eles mesmos, ou seja, 35 e 27. Assim, dividindo cada número 
por seu maior divisor e subtraindo 15 unidades do resultado, ficamos 
com: 
35 / 35 - 15 = -14 
27 / 27 - 15 = -14 
 
 Assim, a soma obtida ao final é igual a: 
37 + 50 - 14 - 14 = 59 
RESPOSTA: B 
 
8. FCC – METRÔ/SP – 2014) Se P e Q são números distintos do 
conjunto 9 2 3, ,
20 3 5
    
 
, então o maior valor possível de P−Q é: 
(A) 3
20
 . 
(B) 13
60
 . 
(C) 21
20
 . 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵン 
(D) 19
15
 . 
(E) 3
10
 . 
RESOLUÇÃO: 
 Para que uma subtração do tipo P - Q tenha o maior valor possível, 
é preciso que P o maior número possível, e Q seja o menor número 
possível. Observe que o conjunto é formado apenas por números 
negativos. Assim, o maior deles é -9/20, que é o "menos negativo" (veja 
que ele é o único onde o numerador é menor do que a metade do 
denominador). Para saber qual o número é menor, -2/3 ou -3/5, 
podemos escrevê-los na forma decimal: 
-2/3 = - 0,666... 
-3/5 = -0,6 
 
 Assim, observe que o menor desses números é -2/3 (ele é o "mais 
negativo"). Portanto, temos a subtração: 
P - Q = 
-9/20 - (-2/3) = 
-9/20 + 2/3 = 
-27/60 + 40/60 = 
13/60 
RESPOSTA: B 
 
9. FCC – METRÔ/SP – 2014) O resultado da expressão: 
           2 3 4 2 3 54 7 . 4 6 . 4 5 5 8 . 5 7 . 5 6       
é igual a 
(A) 144. 
(B) − 192. 
(C) 0. 
(D) − 144. 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヴ 
(E) 192. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos: 
           2 3 4 2 3 54 7 . 4 6 . 4 5 5 8 . 5 7 . 5 6        
           2 3 4 2 3 53 . 2 . 1 3 . 2 . 1        
     9. 8 .1 (9). 8 . 1     
72 9.8   
72 72   
144 
RESPOSTA: D 
 
10. FCC – METRÔ/SP – 2014) O algarismo da milhar do resultado da 
soma 
6+66+666+6666+66666+666666+6666666+66666666+666666666 
 é igual a 
(A) 0. 
(B) 6. 
(C) 4. 
(D) 8. 
(E) 7. 
RESOLUÇÃO: 
 Temos a soma: 
6 
+66 
+666 
+6.666 
+66.666 
+666.666 
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 TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; に A┌ﾉ; ヰヲ 
 
 
Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヵ 
+6.666.666 
+66.666.666 
+666.666.666 
 
 Podemos começar esta soma, a partir da casa das unidades 
(direita). Somando as casas das unidades, temos 9 x 6 = 54. Deixamos o 
4 no resultado, e levamos o 5 para a próxima soma. Somando as casas 
das dezenas, temos 8 x 6 = 48. Somando o 5 que veio da operação 
anterior, temos 48 + 5 = 53. Deixamos o 3 no resultado e levamos o 5 
para a próxima operação. Somando as casas das centenas, temos 7 x 6 
= 42. Somando as 5 unidades que vieram da operação anterior, ficamos 
com 47. Deixamos o 7 no resultado e levamos o 4 para a próxima 
operação. Somando as casas da milhar, temos 6 x 6 = 36. Somando 
com o 4 que veio da operação anterior, temos 36 + 4 = 40. Portanto na 
casa da milhar vai ficar um 0, indo o 4 para a próxima operação. 
Podemos parar esta soma por aqui, pois chegamos na casa da milhar. 
RESPOSTA: A 
 
11. FCC – METRÔ/SP – 2014) A lei de formação de uma sequência de 
números é a partir do primeiro termo, um número qualquer diferente de 
zero, multiplicá-lo por −4 (quatro negativo) para obter o segundo termo. 
O terceiro termo é obtido a partir do segundo termo dividindo-o por 2. 
Alternam-se esses cálculos na obtenção dos termos seguintes, assim o 4º 
termo é obtido a partir do 3º termo multiplicado por −4 e segue. A soma 
dos 13 primeiros termos dessa sequência quando o número inicial for 3 
será igual a 
(A) 381. 
(B) −192. 
(C) 48. 
(D) −395. 
(E) 183. 
RESOLUÇÃO: 
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Pヴﾗaく Aヴデｴ┌ヴ Lｷﾏ; ┘┘┘くWゲデヴ;デWｪｷ;IﾗﾐI┌ヴゲﾗゲくIﾗﾏくHヴ ヵヶ 
 Podemos escrever esta sequência de números utilizando a regra 
fornecida pelo enunciado, ou seja, alternando uma multiplicação por -4 
com uma divisão por 2. Dessa forma, partindo do número 3, os 13 
primeiros termos são: 
3, -12, -6, 24, 12, -48, -24, 96, 48, -192, -96, 384, 192 
 
 Somando esses termos, veja que vários deles se anulam: 
3 + (-12) + (-6) + 24 + 12 + (-48) + (-24) + 96 + 48 +(-192) + (-96) + 
384 + 192 = 
3 + (-6) + 384 = 
381 
RESPOSTA: A 
 
12. FCC – TRF/3ª – 2014) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na 
segunda, 16 grãos na terceira, 64 grãos na quarta, 256 na quinta, e 
assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser colocado 
na 64a casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 2256. 
(B) 264. 
(C) 2126. 
(D) 266. 
(E) 2128. 
RESOLUÇÃO: 
 Veja que na primeira casa colocamos 40 grãos (ou seja, 1), na 
segunda casa colocamos 41 grãos (isto é, 4), na terceira 42 grãos (ou 16), 
na quarta 43 grãos (ou 64), e assim por diante. Na 64ª casa colocaremos, 
portanto, 463 grãos, ou: 
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