Aplicações de Derivadas em Administração e Economia-10

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18/06/2020 Aplicações de Derivadas em Administração e Economia
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Lição 10
Aplicações de Derivadas em
Administração e Economia
Matemática
Começar a aula
1. Introdução
Já estudamos algumas das aplicações das derivadas; agora, porém, com o auxílio das regras de derivação,
estamos em posição de estudar as aplicações da derivação na área de Administração, Economia e
Contabilidade com maior profundidade. Aprenderemos como aplicar derivadas para obter o custo marginal,
receita marginal e Lucro marginal; além disso, utilizaremos o conceito de Máximo e Mínimo de uma função
como ferramenta para calcular custo máximo, receita máxima e lucro máximo. Mostraremos que muitos
problemas práticos das áreas de Administração, Contabilidade e Economia podem querer minimizar o custo
ou maximizar uma dada receita para obter o lucro máximo.
Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vamos revisitar alguns conceitos muito importantes, os
quais estão descritos no item a seguir.
2. Conceitos Fundamentais
Uma das aplicações de derivadas é a resolução de problemas de otimização que, em Administração,
Contabilidade e Economia, é o cálculo da taxa de variação do custo, da receita e do lucro.
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Exemplo 01:
O custo para produzir unidades de um certo produto é C(t)= t -3t + 4treais e o número de unidades
produzidas em horas de trabalho é t unidades de horas. Qual é a taxa de variação do custo com o tempo após
5 horas de trabalho?
Solução:
C′ (t) = 3t - 6t + 4
Agora, basta usar o t=5h e teremos o valor da variação do custo após 5 horas de trabalho.
C′ (5) = 3(5) - 6(5) + 4 = 75 - 30 + 4
C′ (5) = 49 unidades de reais.
Exemplo 02:
Suponha que o lucro total, ao se vender um certo tipo de brinquedo, seja dado pela expressão L(x)=x -3x,
onde L é medido em unidades monetárias e x é medido em dias de exposição do produto numa loja.
Determine a taxa de variação do lucro deste brinquedo após 10 dias de exposição.
Solução:
L′ (x) = 3x -3
Agora, basta usar o x=10 dias e teremos o valor da variação do lucro após 10 dias de venda.
L′ (10) = 3(10) - 3(10) = 300 - 30
L′(10) = 270 unidades de monetárias.
Exemplo 03:
 
Lembrando: considerando uma função y = f(x), a taxa de variação da variável y em relação à
variável xf′(x), isto é, esta taxa pode ser interpretada como uma forma de medir “quão rápido”
a variável y está mudando à medida em que a variável x muda.
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2.1. Custos, Receitas e Lucros
Como aprendemos nos tópicos anteriores, nos problemas apresentados no início deste tópico, os
procedimentos que usamos até agora em cálculo tinham o objetivo de determinar o maior ou menor valor de
uma função de interesse, como, por exemplo, a maior venda, o menor custo e o maior lucro. Nos problemas
de otimização, o objetivo principal era encontrar o máximo absoluto ou o mínimo absoluto de uma função
delimitada por um intervalo. Abaixo, relembramos as definições de máximos e mínimos.
Máximos e Mínimos Absolutos de uma Função. Seja f uma função definida em um intervalo I que contém o
número c, nesse caso:
1. f( c ) é o máximo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x pertencente ao intervalo I.
2. f( c ) é o mínimo absoluto de f em I se f(c) f(x) para todo x pertencente ao intervalo I.
Os máximos e mínimos absolutos são conhecidos pelo nome genérico de extremos absolutos da função.
Uma forma de calcular os extremos absolutos de uma função contínua no intervalo I, usando derivada
segunda, é executar os passos abaixo:
1. Determine a derivada primeira;
2. Calcule os valores críticos (x=c) que tornam a derivada primeira igual a zero;
3. Determine a derivada segunda;
4. Substitua cada um dos valores críticos na derivada segunda:
se f ″ (c)>0,então, f(c)é o mínimo absoluto de f(x)no intervalo;
se f ″ (c)<0,então, f(c)é o máximo absoluto de f(x)no intervalo.
Exemplo 01: 
Um fabricante de brinquedos estima que, quando x milhares de unidades de um certo brinquedo são
produzidas por mês, o custo total é C(x)= 4x + 30x + 400 milhares de reais e os x milhares de unidades
podem ser vendidas por um preço unitário p(x)=222-12x . Determine o nível de produção para o qual o
lucro é máximo. Quanto será esse lucro máximo?
Solução:
Seja R a receita obtida com a venda de x produtos pelo preço p(x), assim
R(x) = x.p(x) → R(x) = x(222 - 12x),R(x) = 222x - 12x
Representação gráfica dos valores extremos de uma função.
Fabrica de Brinquedos.
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Lembrando que Lucro, a grosso modo, é a diferença entre a receita e o custo.
L(x)=R(x)-C(x)
L(x)= 222x - 12x - ( 4x + 30x + 400)
L(x)= 222x - 12x - 4x - 30x - 400
L(x)= -16x + 192x - 400
Agora, derivando, temos:
L ′(x)= -32x+192
Calculando o valor crítico L ′ (x)=0
Vamos aplicar o teste da derivada segunda:
L″ (x)= -32
Observe que, independentemente do valor de x L″(x) < 0; Logo, a função L(x) tem um máximo absoluto em
x=6 e valor de L(6) é :
L(6)= -16(6) + 192(6) - 400= -576 + 1152 - 400= 1152 - 976
L(6)= 176 Milhares de reais
Resposta: para atingir lucro máximo, a empresa deverá produzir 6 milhares de brinquedos. Seu lucro
máximo, então, será de R$ 176 milhares de reais.
Exemplo 02:
Em uma indústria , o custo em reais, para produzir x unidades de televisores, é dado por C(x)= 0,02x - 6x
+ 900x + 10000. Obtenha a quantidade de televisores que devem ser produzidos para que o custo seja
mínimo.
Solução:
C(x)= 0,002x - 6x + 900x + 10000
Agora, derivando, temos:
C′(x)= 0,006x - 12x + 900
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Indústrias.
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Calculando o valor crítico C′ (x)= 0
0,006x - 12x + 900= 0
Vamos aplicar o teste da derivada segunda:
C″ (x)= 0,012x - 12
C″ (1912,9)= 0,012*1912,9-12= 10,95 → C″ (1912,9) > 0
C″ (78,33)= 0,012*78,33-12= -11,06 → C″ (78,33) < 0
De acordo com o teste da derivada segunda, temos que:
Em x= 78,33 C(x), tem um valor máximo de C(78,33)=44644,66 reais e, para x=1912,9, temos um valor
mínimo de C(1912,9)= - 6.230.778,5 reais.
Exemplo 03:
Seja R(x)=-2x + 1800x a função receita diária para a fabricação de fogões, onde é x o número de unidades
produzidas diariamente. Determine a quantidade produzida que dá a receita máxima em um certo dia.
Vamos aplicar o teste da derivada segunda:
R″ (x)= -4
Como R″ (x) < 0 , para todo x pertencente aos reais, concluímos que a receita será máxima em x= 450
unidades.
Exemplo 04:
A função demanda, para um determinado artigo, é
D(x)= -4x + 6x + 26, onde x representa a quantidade de produtos demandada. Determine o valor de x para
que a demanda seja máxima.
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Fábrica de Fogões.
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Solução:
D(x)= -4x + 6x + 26
Agora, derivando, temos:
D′(x)= -12x + 12x
Vamos aplicar o teste da derivada segunda:
D″ (x)= -24x
D″ (x) < 0 para x > 0 como x=1, temos que a função demanda possui um valor máximo em x=1.
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3. Análise Marginal
Se você está estudando Administração, Contabilidade, Economia ou algum outro curso nesta área, é muito
provável que já tenha algum conhecimento ou, pelo menos, já ouviu falar em análise marginal.
Contudo, é bom lembrar que a análise marginal é um conceito que tem origem na economia e é uma
ferramenta muito importante, no momento que se está elaborando o planejamento estratégico da empresa,
comparando custos e benefícios para melhorar a eficiência da empresa.
Em síntese, podemos dizer que, por meio da análise marginal, uma empresa pode comparar os custos
incorridos com os benefícios alcançados pelas estratégias financeiras adotadas. A estratégia dessa análise é
fazer uma comparação entre os custos de aplicação de várias medidas com os seus respectivos resultados,
com o objetivo de aumentar a lucratividade (HALL, 2017).
Iniciaremos nossos estudos de análise marginal com o custo.
Em Administração e em Economia, a variação de uma quantidade em relação à outra também pode ser
calculada por intermédio da Média ou, então, por meio do cálculo de Marginal. Porém, convém lembrar que
o cálculo da média mostra a variação de uma quantidade em consideração a um conjunto específico de
valores de uma segunda quantidade; por outro lado, o cálculo de marginal revela que uma mudança
instantânea na primeira quantidade provoca alterações na segunda quantidade (VANBAREN, 2017).
Definiremos a função custo marginal como a derivada da função custo. (STEWART, 2013).
Exemplo 01:
Suponha que o custo total ao se fabricar x unidades de brinquedos seja de C(x)=3x + 18x + 10. Determine o
custo marginal para se fabricar 50 unidades do produto.
Solução:
Vamos derivar a função custo.
C′(x)=6x+18
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Agora, basta substituir x por 50 na função derivada.
C′ (50)= 6*50 + 18= 300 + 18
C′ (50)= 318
Logo, o custo marginal procurado é 318 unidades monetárias.
Exemplo 02:
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de canetas, eC(x)= 3x + 2x -6x + 10.
Determine:
a) A função custo médio, lembrando que o custo médio é o custo total dividido pela quantidade de
unidades produzidas, ou seja, é o custo médio ou custo unitário. Mesmo tendo algumas unidades mais
caras e outras mais baratas, teremos um média deste custo.
Solução:
Para determinar a função custo médio para se produzir x unidades, basta dividir a função custo total por x.
b) A função Custo Marginal
Solução:
Para determinar a função custo marginal, basta derivar a função custo total em relação a x.
C′(x)= 9x + 4x - 6
Exemplo 03:
Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x unidades de borrachas, eC(x)= 20x - 60x + 10.
Determine o custo médio e o custo marginal para se produzir 15 borrachas.
Solução:
Calculando o custo marginal:
C′(x)= 40x - 60
C′ (15)= 40*15 - 60= 600 - 60
C′ (15)= 540 unidades monetárias
Outras aplicações de derivada em Administração, Economia e Contabilidade são os conceitos de receita
média, isto é, a função receita total dividida pela quantidade de produtos vendidos e a função receita
marginal, que definiremos como a derivada da função receita.
Exemplo 04:
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Suponha que R(x)=-x + 3x + 4 seja a receita total recebida da venda de mesas. Determine a função receita
marginal.
Solução:
Basta derivar a função receita que teremos a função receita marginal.
R′(x)= -3x + 3
Exemplo 05:
Suponha que R(x)= -2x + 1800x seja a receita total diária recebida na fabricação de fogões, onde x é o
número de unidades produzidas diariamente. Atualmente, o fabricante está produzindo 400 fogões e
pretende elevar este número para 401. Determine a receita marginal na produção de 401 fogões.
Solução:
Vamos derivar a receita total:
R“(x)= -4x + 1800
Calculando a receita marginal na produção de 401 fogões:
R′ (401)= -4*401 + 1800
R′ (401)= -1604 + 1800
R′ (401)= 196 unidades de reais
Resposta: a receita marginal será de R$ 196,00 por fogão produzido.
Exemplo 06 (adaptado de Hoffmann e Bradley):
Um empresário estima que, se x unidades de um certo produto forem produzidas e vendidas, o receita
obtidoa será de R(x) milhares de reais, onde R(x)= -2x + 68x - 128. Determine:
a) A função receita médio;
b) A função receita marginal;
c) A receita média e a marginal para se produzir 5 unidades;
d) O nível de produção para o qual a receita média é igual ao lucro marginal.
Solução:
a) Para determinar a função receita média para se produzir x unidades, basta dividir a função receita
total por x
b) Determinando a função receita marginal:
R“(x)= -4x + 68
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Outra aplicação de derivada em Administração, Economia e Contabilidade são as funções lucro médio que é
divisão entre a função lucro total e a quantidade de produtos vendidos e a função lucro marginal, que
definiremos como a derivada da função lucro.
Exemplo 07:
A função lucro de um produto é dada por L(x)= 200 - 0,02x com 0 ≤ x ≤ 10 (em milhares de unidades
vendidas). Determine a função lucro médio e a função lucro marginal.
Solução:
a) Para determinar a função lucro médio na venda de x unidades, basta dividir a função lucro total por x.
Determinando a função lucro marginal:
L′(x)=-0,08x3
Exemplo 08:
O lucro total em reais para vender x unidades de um certo bem é modelado pela função L(x)= 8000 + 200x -
0,2x em centenas de reais. Determine:
a) A função lucro marginal;
b) O lucro marginal ao se vender 200 peças.
Solução:
a) Para determinar a função lucro marginal, basta derivar função lucro total.
L′ (x)= 200 - 0,4x
b) Para determinar a função lucro marginal de 200 unidades, basta trocar x por 200 na função lucro
marginal.
L′ (x)= 200 - 0,4x
L′ (x)= 200 - 0,4*200
L′ (x)= 200 - 80
L′ (x)= 120
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Estabelecendo o critério de análise marginal para o lucro máximo: 
Lembre-se que L(x)= R(x) - C(x) é máximo para um nível de produção x, no qual a receita marginal é igual
ao custo marginal; a taxa de variação do custo marginal é maior que a taxa de variação da receita marginal,
ou seja, a derivada segunda da receita total é menor que a derivada segunda da função custo total.
R′ (x)= C′ (x) e R′′ (x) < C′′(x)
Exemplo 01:
Um fabricante estima que, quando x milhares de uma certa mercadoria são produzidos por mês,o custo
total é C(x)= 0,3x - 3x + 40 milhares de reais e as x milhares de unidades podem ser vendidas por um preço
unitário R(x)= 22,2 - 1,2x reais. Calcule:
a) O valor de x para o qual o custo marginal é igual à receita marginal;
b) O valor de x para o qual R′′ (x) < C′′(x).
Solução:
a) Vamos derivar as funções custo total e lucro total:
b) Vamos derivar as funções custo marginal total e lucro marginal:
C″(x) - 0,6
R″(x) = -2,4
R″(x) < C″(x)
Ao estabelecer o critério de análise marginal para o custo médio minimo, lembre-se que o custo médio é
minimo para o nível de produção, então, o custo médio é igual ao custo marginal para um nível de produção
x, tal que C (x) C′(x).
Exemplo 2:
Um fabricante estima que, quando x milhares de uma certa mercadoria são produzidos por mês, o custo
total é C(x) = 0,3x - 3x + 120 milhares de reais e os x milhares de unidades. Determine o nível para o qual o
custo médio é igual ao custo marginal.
Solução:
Calculando o custo médio: 
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A leitura sobre assunto discutido neste tópico é sempre fundamental para fortalecimento do
aprendizado e melhor entendimento seu, portanto, consulte capítulo 09 do livro:
BONETTO, Giacomo; MUROLO, Afranio Carlos. Matemática aplicada à Administração,
Economia e Contabilidade. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
4. Conclusão
No tópico 10, estudamos as Aplicações de derivadas em Administração, Contabilidade e Economia.
Revisamos os caminhos para calcular o valor máximo e mínimo de uma função, em particular, no cálculo de
custo, venda e lucro marginal. Além disso, aprendemos também a fazer a análise marginal para o custo
médio e também para o lucro máximo.
Com as aprendizagens adquiridas neste tópico, terminamos nossos estudos sobre Matemática aplicada à
Administração, Contabilidade e Economia. Esperamos que você aplique o que aprendeu com estes estudos
na sua vida profissional.
5. Referências
BONETTO, Giacomo; MUROLO, Afranio Carlos. Matemática aplicada à Administração, Economia e
Contabilidade. 2 ed. São Paulo: Cengage Learning, 2012.
HALL, Shane. Por que a análise marginal é importante na economia?Disponível
em:https://www.ehow.com.br/analise-marginal-importante-economia-sobre_74295/ Acesso em 17 de set
de 2019.
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio
de Janeiro: LTC, 2010.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo: Cengage Learning, 2013.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil.Receita marginal e
custo marginal.Economia.10min36. Disponível em: http://bit.ly/2m3VGED
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YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Otimização:Lucro. Economia.08min14.
Disponível em: http://bit.ly/2kx4X7V.
YouTube. (2017, Agosto, 15). Khan Academy Brasil. Custo marginal e custo médio total. 10 min08.
Disponível em: http://bit.ly/2mujT7n.
VANBAREN, Jennifer.Explicando um benefício marginal.. Disponível em:
https://www.ehow.com.br/explicando-beneficio-marginal-info_257493/.