Livro - Funções

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Capítulo 1
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1.1 Definições e Exemplos
Neste capítulo estudaremos uma das noções fundamentais da Matemática, o conceito de fun-
ção. Uma função de uma variável real é uma regra que descreve como uma quantidade é
determinada por outra quantidade, de maneira única.
Existem várias alternativas para definir formalmente uma função. Escolhemos a seguinte:
Definição 1.1. Sejam A, B ⊂ R. Uma função f definida em A e com valores em B é uma regra que
associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B.
As notações usuais são: f : A −→ B tal que y = f(x) ou
f :A −→ B
x −→ f(x).
O número x é chamado variável independente da função e y variável dependente da função.
Exemplo 1.1.
[1] A seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água de uma represa, representa uma
função:
Dia 1 2 3 4 5 6 7
m3/seg 360 510 870 870 950 497 510
De fato, a tabela representa uma função, pois a cada dia fica associada uma única quantidade de
vazão. Note que, possivelmente, não existe uma fórmula matemática para expressar a função
do exemplo, mas, a definição de função é satisfeita.
[2] Foi feita uma pesquisa de preços (emR$) de produtos da cesta básica em três supermercados
de um determinado bairro, obtendo-se a seguinte tabela:
Produto Supermercado A Supermercado B Supermercado C
1 2.6 2.9 2.52
2 0.96 0.94 1.0
3 1.78 1.5 1.6
4 1.23 1.45 1.36
5 3.2 3.0 2.95
6 4.07 3.96 4.2
7 2.3 2.62 2.5
9
10 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Esta tabela não representa uma função, pois a cada produto correspondemais de um preço.
[3] A área de qualquer círculo é função de seu raio.
Se o raio do círculo é denotado por r, então:
A(r) = π r2.
Um círculo de raio igual a 5u.c., tem área A(5) = 25π u.a; um círculo de raio igual a 300u.c.,
tem área A(300) = 90000π u.a. (u.c.=unidades de comprimento) e (u.a.=unidades de área).
[4] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a forma de um cilin-
dro circular reto de 8m (m =metros) de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O
volume do tanque é descrito em função do raio r.
r
Figura 1.1: Tanque de raio r.
O volume do cilindro é 8 r2 π m3 e o dos dois hemisférios é
4 r3 π
3
m3; logo, o volume total é:
V (r) =
4 r2 (r + 6)π
3
m3.
Por exemplo, se o raio for r = 1m, o volume é V (1) =
28π
3
m3.
[5] Dois satélites artificiais estão circulando ao redor do Equador em uma órbita de raio igual a
4.23× 107 km. O comprimento s que separa os satélites, se eles tiverem uma separação angular
de θ (em radianos), é s = r θ, onde r é o raio.
s
θ
Figura 1.2: Satélites em órbita.
Logo, podemos descrever o comprimento s em função da separação angular:
s(θ) = (4.23 × 107) θ.
[6] Lei de Boyle: O volume de uma massa gasosa é inversamente proporcional à pressão a que
ela está submetida, isto é, o produto da pressão pelo volume é constante, se a temperatura do
1.1. DEFINIÇÕES E EXEMPLOS 11
gás é constante. Denotamos a pressão por P , o volume por V e a temperatura constante por C ;
então, P × V = C . Podemos escrever:
A pressão em função do volume: P = f(V ) =
C
V
, ou
o volume em função da pressão: V = f(P ) =
C
P
.
[7] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: (Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias
ou veias). Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos considerar que vasos tem
formato cilíndrico não elástico.
R
Figura 1.3: Vaso de raio R.
Denotemos porR o raio e l o comprimento. Devido a fricção nas paredes do vaso, a velocidade
v do sangue é maior ao longo do eixo central do vaso e decresce se a distância d do eixo à
parede cresce e é zero na parede. A relação entre a velocidade da circulação e d é dada por:
v(d) =
P (R2 − d2)
4 l η
,
onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão de entrada e a da saída do
sangue no vaso.
Experimentalmente, para o sangue humano numa veia: η = 0.0027, l = 2, R = 8 × 10−5 e
P = 4 × 103, logo:
v(d) = 0.001185185185 − 185185.1852 d2 cm/seg.
[8] Temos 1000metros de arame para fazer um curral de formato retangular. Podemos escrever
a área do curral em função de um dos lados.
De fato, se x e y são os lados do curral, seu perímetro é 2 (x + y) = 1000 e a área do retângulo é
A = x y; logo:
A(x) = x (500 − x) = 500x − x2.
[9] Fisiologistas desenvolveram uma fórmula para determinar a superfície corporal de animais
em função de seu peso. Se denotamos por S a superfície corporal, então:
S(p) = k 3
√
p2,
onde p é o peso em quilos do animal e k > 0 é uma constante que depende do animal. Experi-
mentalmente, é conhecido que k = 0.11 para humanos e k = 0.118 para primatas. Por exemplo,
um homem de 70 quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
S(70) = 0.11 × 3
√
702 = 1.868439m2 ;
12 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
uma criança de 20 quilos tem uma superfície corporal aproximada de:
S(20) = 0.11 × 3
√
202 = 0.81048m2 .
p S(p) = 0.11 × 3
√
p2
20 0.11 × 3
√
202 ∼= 0.81048 m2
54 0.11 × 3
√
542 ∼= 1.57152 m2
70 0.11 × 3
√
702 ∼= 1.86839 m2
90 0.11 × 3
√
902 ∼= 2.20912 m2
120 0.11 × 3
√
1202 ∼= 2.67616 m2
[10] Considere A = R e f a regra que associa a cada número real x ∈ A, o seu cubo, isto é:
y = f(x) = x3.
Por exemplo:
Ao número −1 associamos o número f(−1) = (−1)3 = −1; ao número 2 associamos o nú-
mero f(2) = (2)3 = 8; ao número
√
2 associamos o número f(
√
2) = 2
√
2, ao número t4 + 1
associamos o número f(t4 + 1) = (t4 + 1)3, etc.
x f(x) = x3
-1 (−1)3 = −1
2 (2)3 = 8√
2 (
√
2)3 = 2
√
2
t t3
t−1/4 t−3/4
6
√
m m1/2
(t4 − 4 7
√
t + 1)5 (t4 − 4 7
√
t + 1)15
[11] Seja A = [0,+∞) e f a regra que associa a cada número real x ≥ 0 sua raiz quadrada, isto
é:
y = f(x) =
√
x.
Por exemplo, ao número 0 associamos o número f(0) =
√
0 = 0; ao número t4 associamos o
número f(t4) =
√
t4 = t2 e ao número −4 não podemos associar nenhum número real, pois,√
−4 não é um número real.
x f(x) =
√
x
0 0
2
√
2
4 2
-4 indefinido
t4 t2
6
√
m 12
√
m
(t4 + 4 8
√
t + 1)10 (t4 + 4 8
√
t + 1)5
1.2. DOMÍNIO E IMAGEM 13
[12] Seja A = R e f a seguinte função :
f(x) =
{
x2 se x < 2
x3 se x ≥ 2.
Ao número −1 associamos o número f(−1) = (−1)2 = 1; ao número 2 associamos o número
f(2) = 23 = 8; ao número
√
2 associamos o número f(
√
2) = (
√
2)2 = 2, etc.
x 0 -1 -3 2
√
3
√
5
f(x) 0 (−1)2 = 1 (−3)2 = 9 (2)3 = 8 3 5
√
5
[13] Seja A = R e f a seguinte função :
f(x) =
{
1 se x ∈ Q
−1 se x /∈ Q.
Por exemplo, ao número −1 associamos o número f(−1) = 1; ao número 2 associamos o
número f(2) = 1; ao número
√
2 associamos o número f(
√
2) = −1, pois
√
2 é irracional;
f(π) = −1; f
(5
7
)
= 1.
x 0 -1 2 e
√
3
√
5
f(x) 1 1 1 −1 −1 −1
Nos exemplos [3], [4], [5], [6],[7], [8], [9], [10], [11] e [12] as funções são definidas por fórmulas
(que fornecem y quando são atribuidos valores a x). No exemplo [13], a função não é dada
por uma fórmula, mas, a definição de função é satisfeita. Em geral, nem todas as funções são
necessariamente, definidas de maneira explícita. Por exemplo:
[14] Se, durante o verão de 2012, no Rio de Janeiro, registrássemos a temperatura máxima
ocorrida em cada dia, obteríamos uma função.
De fato, a cada dia, está associado uma única temperatura máxima, isto é, a temperatura é
função do dia. Embora não exista uma fórmula explícita para expressar a função do exemplo,
a definição de função é satisfeita.
Em geral, a maioria das funções usadas nas aplicações são dadas por fórmulas ou equações.
Mas é preciso ter um pouco de cuidado, pois nem toda equação de duas variáveis define uma
função. Por exemplo, a equação y2 = x não define uma função, pois para x = 1 temos dois
valores para y, a saber: y = ±1; mas y2 = x dá origem a duas funções: y = f1(x) =
√
x e
y = f2(x) = −
√
x.
1.2 Domínio e Imagem
Podemos imaginar uma função como umamáquina que utiliza uma certamatéria prima (input)
para elaborar algum produto final (output) e o conjunto dos números reais como um depósito
de matérias primas. Fica evidente que é fundamental determinar, exatamente, neste depósito,
qual matéria prima faz funcionarnossa máquina; caso contrário, com certeza, a estragaremos.
14 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
x f(x)
Figura 1.4:
Esta analogia nos leva às seguintes definições:
Definição 1.2.
1. O conjunto de todos os x ∈ R que satisfazem a definição de função é chamado domínio da função
f e é denotado por Dom(f).
2. O conjunto de todos os y ∈ R tais que y = f(x), onde x ∈ Dom(f) é chamado imagem da
função f e é denotado por Im(f).
É claro que Dom(f) ⊂ R, Im(f) ⊂ R, e que Dom(f) é o conjunto dos valores da variável in-
dependente para os quais f é definida; Im(f) é o conjunto dos valores da variável dependente
calculados a partir dos elementos do domínio.
Definição 1.3. Duas funções f e g são ditas idênticas se tem o mesmo domínio D e:
f(x) = g(x), ∀x ∈ D.
Por exemplo, as funções f(x) = x2, x > 0 e g(x) = x2, x ∈ R são diferentes pois seus domínios
são diferentes.
Antes de apresentar alguns exemplos, voltamos a insistir que para estudar qualquer função,
devemos sempre determinar os conjuntosDom(f) e Im(f).
Exemplo 1.2.
[1] A área de um círculo de raio r é A(r) = π r2; r sendo o raio, temos: r > 0; logo,
Dom(A) = Im(A) = (0,+∞).
[2] Considere a função y = f(x) = x2; é claro que não existem restrições para o número real x;
logo, temos que:
Dom(f) = R
e y = x2 ≥ 0, para todo x ∈ R; então Im(f) ⊂ [0,+∞). Como todo número real não negativo
possui raiz quadrada real; então:
Im(f) = [0,+∞).
[3] Considere a função y = f(x) =
√
x. Uma raiz quadrada existe somente se x ≥ 0; então:
Dom(f) = [0,+∞).
Como todo número real x ≥ 0 possui raiz quadrada:
Im(f) = [0,+∞).
[4] Considere a função y = f(x) =
√
x2 − 1. Como no caso anterior,
√
x2 − 1 existe somente se
x2 − 1 ≥ 0; resolvendo a inequação temos:
Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) e, novamente, temos: Im(f) = [0,+∞).
1.3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 15
[5] Considere a função y = f(x) =
1
x
; é claro que f é definida se e somente se x 6= 0; logo temos
que:
Dom(f) = R − {0} = (−∞, 0) ∪ (0,+∞);
por outro lado, uma fração é nula se e somente se o numerador é nulo; então
Im(f) = R − {0}.
[6] Considere a função y = f(x) =
1
x2 − 1 ; como no caso anterior o denominador da fração não
pode ser nulo; logo x2 − 1 6= 0; então, x 6= ±1 e:
Dom(f) = R − {−1, 1}; Im(f) = R − {0}.
[7] Considere a função y = f(x) = 3
√
x; como a raiz cúbica de um número positivo ou negativo
é positiva ou negativa,
Dom(f) = Im(f) = R.
[8] Considere a função y = f(x) =
√
x +
√
x2 − 1. A função é definida se x ≥ 0 e x2 − 1 ≥ 0
simultaneamente. Resolvendo as inequações, obtemos x ≥ 1; logo,
Dom(f) = [1,+∞) e Im(f) = (0,+∞).
Agora que determinamos nos exemplos os domínios e imagens das funções, podemos avaliar,
sem perigo, estas funções.
[9] Se f(x) =
√
x, então f(5) =
√
5, f(π) =
√
π e f(x2 + 1) =
√
x2 + 1, pois x2 + 1 é sempre
positivo.
[10] Se g(x) =
1
x
, calculamos g
(1
t
)
= t, se t 6= 0 e g(x4 + 4) = 1
x4 + 4
.
1.3 Gráficos de Funções
A representação geométrica de uma função de uma variável real é dada por seu gráfico no
plano coordenado xy.
Definição 1.4. O gráfico de uma função y = f(x) é o seguinte subconjunto do plano:
G(f) = {(x, f(x))/x ∈ Dom(f)}
Geometricamente G(f) é, em geral, uma curva no plano. Nos exemplos [1], [13] e [14] da seção
2.1, G(f) não é uma curva. Nos casos em que G(f) é uma curva, intuitivamente podemos
pensar que os conjuntosDom(f) e Im(f) representam a “largura” e “altura” máxima da curva,
respectivamente. Inicialmente, a construção dos gráficos será realizada fazendo uma tabela,
onde as entradas da tabela são os elementos do domínio e as saídas, as respectivas imagens.
16 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Figura 1.5: Gráfico de uma função.
Este processo é demorado e ineficiente e será abandonado nos capítulos seguintes, quando
serão dadas técnicas mais eficientes para fazer o gráfico. É importante não confundir a função
com seu gráfico, pois o gráfico é um subconjunto do plano.
Exemplo 1.3.
[1] Esboce o gráfico da função dada pela seguinte tabela, que mostra a vazão semanal de água
de uma represa:
Dia m3/seg
1 360
2 510
3 870
4 870
5 950
6 497
7 510
O gráfico desta função não representa uma curva. A primeira coluna da tabela representa a
abscissa e a segunda coluna as respectivas ordenadas; logo, obtemos:
1 2 3 4 5 6 7
200
400
600
800
1000
Figura 1.6: Gráfico da vazão semanal de água da represa.
[2] Esboce o gráfico da função f(x) = x2. Note que Dom(f) = R e Im(f) = [0,∞). Fazendo a
tabela:
1.3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 17
x f(x) = x2
0 0
±1/4 1/16
±1/3 1/9
±1/2 1/4
±1 1
±2 4
±3 9
x2 ≥ 0 para todo x ∈ R, os pontos de abscissas x e −x tem a mesma ordenada y = x2. Logo, o
gráfico de f fica situado no primeiro e segundo quadrantes.
Observando a tabela, conclui-se que se o valor de |x| aumenta, os valores da correspondente
ordenada aumentam mais rapidamente. Se os valores de |x| aproximam-se a zero, os valores
correspondentes da ordenada aproximam-se mais rapidamente de zero.
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.7: Gráfico de f(x) = x2.
[3] Esboce o gráfico da função f(x) = x3. Note queDom(f) = Im(f) = R. Fazendo a tabela:
x f(x) = x3
0 0
±1/4 ±1/64
±1/3 ±1/27
±1/2 ±1/8
±1 ±1
±2 ±8
±3 ±27
Se x ≥ 0, então y ≥ 0 e se x < 0, então y < 0. Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro
quadrantes.
Observando a tabela, vemos que quando x > 0 e x cresce, os valores correspondentes da orde-
nada y também crescem e mais rapidamente. Quando x < 0 e x decresce, os valores correspon-
dentes da ordenada y decrescem e mais rapidamente. O gráfico de f é:
18 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 1.8: Gráfico de f(x) = x3.
[4] Esboce o gráfico da função f(x) =
1
x
. Note que Dom(f) = Im(f) = R − {0}. Fazendo a
tabela:
x f(x) = 1
x
0 0
±1/100 ±100
±1/4 ±4
±1/3 ±3
±1/2 ±2
±1 ±1
±2 ±1/2
±3 ±1/3
Se x > 0, então y > 0 e se x < 0, então y < 0. Logo, o gráfico está situado no primeiro e terceiro
quadrantes.
Observando a tabela, vemos que quando x > 0 e x cresce, os valores correspondentes da orde-
nada y aproximam-se de zero e à medida que x aproxima-se de zero, os valores corresponden-
tes da ordenada y aumentam muito.
Quando x < 0 e x cresce, os valores correspondentes da ordenada y decrescem e à medida que
x decresce, os valores correspondentes da ordenada y aproximam-se de zero. O gráfico de f é:
-4 -2 2 4
-2
-1
1
2
Figura 1.9: Gráfico de f(x) = 1/x.
1.3. GRÁFICOS DE FUNÇÕES 19
[5] Esboce o gráfico da seguinte função : f(x) =





x − x2 se x ≥ 12
x se − 12 < x < 12
x2 + x se x < −12 .
-2 -1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 1.10: Gráfico de f(x) do exemplo [5].
[6] Determine a função f cujo gráfico é:
1 2 3 4
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
Figura 1.11:
Claramente, f(x) = 0 se x < 1 e x > 3. Determinemos os segmentos de reta que ligam os
pontos (1, 0) e (2, 2), (2, 2) e (3, 0), respectivamente. A equação da reta que passa por (1, 0) e
(2, 2) é y = 2 (x − 1). A equação da reta que passa por (2, 2) e (3, 0) é y = −2 (x − 3); então:
f(x) =











0 se x < 1
2 (x − 1) se 1 ≤ x < 2
−2 (x − 3) se 2 ≤ x ≤ 3
0 se 3 < x
.
Observação 1.1.
Os gráficos de f(x) + c, f(x + c), c f(x) e f(c x) (c ∈ R) podem ser obtidos diretamente do
gráfico de f(x). De fato.
1. O gráfico de g(x) = f(x + c) pode ser obtido a partir do gráfico de f transladando-o ao
longo do eixo dos x em c unidades para a esquerda se c > 0, ou transladando-o ao longo
do eixo dos x em c unidades para a direita se c < 0.
20 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2. O gráfico de g(x) = f(x) + c, c ∈ R pode ser obtido do gráfico de f transladando-o ao
longo do eixo dos y em c unidades para cima se c > 0 ou c unidades para baixo se c < 0.
3. O gráfico de g(x) = c f(x), c > 1 pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de f vertical-
mente pelo fator c.
4. O gráfico de g(x) = f(c x), c > 1 pode ser obtido "comprimindo-se"o gráfico de f hori-
zontalmente pelo fator c.
5. O gráfico de g(x) = c f(x), 0 < c < 1 pode ser obtido "comprimindo-se"ográfico de f
verticalmente pelo fator c.
6. O gráfico de g(x) = f(c x), 0 < c < 1 pode ser obtido "esticando-se"o gráfico de f hori-
zontalmente pelo fator c.
7. O gráfico de g(x) = −f(x) pode ser obtido pela reflexão do gráfico de f em torno do eixo
dos x.
8. O gráfico de g(x) = f(−x) pode ser obtido pela reflexão do gráfico de f em torno do eixo
dos y. Em cada caso é conveniente especificar os domínios e imagens.
Exemplo 1.4.
[1] Os gráficos de f(x) = x (azul), de f(−2x) = −2x (vermelho) e 2 f(x+1) = 2 (x+1) (verde).
-3 -2 -1 1 2 3
-6
-4
-2
2
4
6
8
Figura 1.12: Gráficos do exemplo [1].
[2] Os gráficos de y = f(x) = x2 (azul), de y = f(x+1) = (x+1)2 (vermelho) e y = 2 f(x−1) =
2 (x − 1)2 (verde):
1.4. FUNÇÃOMÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 21
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
1
2
3
4
5
y
Figura 1.13: Gráficos do exemplo [2].
[3] Os gráficos de f(x) = x3 (azul), de f(x + 1) = (x + 1)3 (vermelho) e f(−3x) = −27x3
(verde):
-2 -1 1 2
-10
-5
5
10
Figura 1.14: Gráficos do exemplo [3].
A seguir daremos vários exemplos de funções, com seus respectivos domínios, imagens e grá-
ficos. A idéia é formar um "catálogo"das funções mais usadas, as quais serão utilizadas nos
exemplos e exercícios.
Exemplos de Funções
1.4 Função Módulo ou Valor Absoluto
Esta função é definida por:
y = f(x) = |x|
Note que Dom(f) = R e Im(f) = [0,+∞), pois o valor absoluto de um número real é sempre
não negativo.
O gráfico é constituido de duas semi-retas de coeficientes angulares 1 e −1, respectivamente,
que se intersectam em (0, 0).
22 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Figura 1.15: Gráfico de f(x) = |x|.
Observe que os gráficos de |f(x)| e de f(|x|) podem ser obtidos do gráfico de f(x). De fato,
g(x) = |f(x)| é obtido refletindo através do eixo dos x, no primeiro e segundo quadrantes a
porção do gráfico de f que esteja no terceiro e quarto quadrantes.
Como exercício, diga como pode ser obtido o gráfico de f(|x|).
Exemplo 1.5.
[1] Escreva a função f(x) = |x − 3| sem usar valor absoluto.
Primeiramente, note que f(x) = 0 se, e somente se x = 3. Pela definição do valor absoluto,
temos:
f(x) =
{
−(x − 3) se x < 3
x − 3 se x ≥ 3
=
{
−x + 3 se x < 3
x − 3 se x ≥ 3.
-4 -2 2 4 6 8 10
1
2
3
4
5
6
7
Figura 1.16: Gráfico de f(x) = |x − 3|.
[2] Escreva a função f(x) =
|x|
x
sem usar valor absoluto.
Primeiramente, note queDom(f) = R − {0}. Pela definição do valor absoluto, temos:
f(x) =







−x
x
se x < 0
x
x
se x > 0
=
{
−1 se x < 0
1 se x > 0.
1.4. FUNÇÃOMÓDULO OU VALOR ABSOLUTO 23
-2 -1 1 2
-1
1
Figura 1.17: Gráfico de f(x) =
|x|
x
.
[3] Esboce os gráficos de:
(a) g(x) = |x − 1| + 2.
(b) h(x) = |x3|.
Seja f(x) = |x|.
(a) Logo, g(x) = f(x − 1) + 2; então, o gráfico de g é obtido a partir do gráfico da função f
transladando-o ao longo do eixo dos x em 1 unidade para a direita e 2 unidades para cima. O
gráfico é constituido de dois segmentos de retas de coeficientes angulares 1 e −1, passando por
(1,2) e (0,3), respectivamente.
-2 -1 1 2 3 4
1
2
3
4
5
Figura 1.18: Gráfico de g.
(b) Por outro lado h(x) = f(x3).
24 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-4 -2 2 4
10
20
30
40
50
60
Figura 1.19: Gráfico de h.
1.5 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim
Esta função é definida por:
y = f(x) = m x + b
ondem, b ∈ R. Note queDom(f) = R e Im(f) = R.
Usando a definição de distância entre pontos do plano não é difícil provar que dados três pon-
tos no gráfico de f , estes são colineares; o gráfico de f é a reta de coeficiente angularm passando
por (0, b). E, reciprocamente, dados dois pontos que determinem uma reta não vertical existe
uma função afim cujo gráfico é a reta. (Verifique!).
Observe que:
f(c) − f(d)
c − d =
m c + b − m d − b
c − d =
m (c − d)
c − d = m =⇒ m =
f(c) − f(d)
c − d ,
para todo c, d ∈ R, c 6= d. Logo, f(0) = b, f(1) = m + b, f(2) = 2m + b = f(1) + m; em geral:
f(k + 1) = f(k) + m,
para todo k ∈ N. Logo, f(0), f(1), f(2) .., f(n), .. formam uma progressão aritmética de razão
m.
Fazendo h = c − d, temos:
m =
f(d + h) − f(d)
h
.
A propriedade que caracteriza as funcões polinomiais de primeiro grau é que:
f(x + h) − f(x)
depende apenas de h, isto é a acréscimos iguais dados a x correspondem acréscimos iguais
para f .
É esta característica que deve ser utilizada nas aplicações.
Quando m = 0, a função é chamada constante e seu gráfico é uma reta paralela ao eixo dos x
que passa pelo ponto (0, b).
1.5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU OU AFIM 25
Exemplo 1.6.
Usando as observações 1.1, temos:
[1] À esquerda, os gráficos de f(x) = x + 1 (negro), e
1
2
f(x) =
x + 1
2
(azul) e 2 f(x) = 2x + 2
(vermelho), respectivamente.
[2] À direita, os gráficos de f(x) = x + 1 (negro), e f
(x
2
)
=
x
2
+ 1 (azul) e f(−2x) = 1 − 2x
(vermelho), respectivamente:
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
-2 -1 1 2
-2
-1
1
2
3
Figura 1.20: Gráficos de [1] e [2], respectivamente.
Quando b = 0, obtemos um tipo importante de função, chamada função linear. Portanto, a
função linear é definida por:
f(x) = m x, m ∈ R
e é modelo matemático para resolver problemas que envolvem proporcionalidade. Seu gráfico
é uma reta de coeficiente angularm passando pela origem.
Figura 1.21: O gráfico de f(x) = m x, para diversosm.
Proposição 1.1. Seja f uma função linear:
1. Para todo x1, x2 ∈ R, temos que:
f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).
26 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2. Como f(1) = m, f(2) = f(1) + f(1) = 2m; em geral:
f(n x) = n f(x)
para todo x ∈ R e n ∈ Z.
3. Quandom = 1, temos:
f(x) = x,
que é chamada função identidade. Seu gráfico é uma reta de coeficiente angular 1.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
Figura 1.22: O gráfico de f(x) = x.
Exemplo 1.7.
[1] Suponha que os seguintes dados foram coletados num experimento. Se a teoria subjacente
à experiência indica que os dados tem uma correlação afim, ache tal função afim.
x −10.3 −6.8 1.5 14.6 234.6
y −35.9 −25.4 −0.5 38.8 698.8
Seja y = f(x) = ax + b. Pelas propriedades das funções afins:
− 0.5 = f(1.5) = 1.5 a + b
− 35.9 = f(−10.3) = −10.3 a + b.
Resolvendo o sistema, obtemos: a = 3 e b = −5; logo, f(x) = 3x − 5.
-2 -1 1 2 3 4 5
-10
-5
5
10
Figura 1.23: A reta y = 3x − 5.
1.5. FUNÇÃO POLINOMIAL DO PRIMEIRO GRAU OU AFIM 27
Note que como o gráfico de uma função afim é uma reta, podemos tomar qualquer par de
pontos e obtemos a mesma função; por exemplo:
38.8 = f(14.6) = 14.6 a + b
698.8 = f(234.6) = 234.6 a + b.
[2] Sabemos que a pressão da água do mar é função da profundidade. Denotemos por P a
pressão e H a profundidade relativa ao nível do mar. Experimentalmente verifica-se que a
pressão da água ao nível do mar é de 1 atm, (atm =atmosfera) e que acréscimos iguais na
profundidade correspondem a acréscimos iguais na pressão. Logo, ao passar de um ponto do
mar para outro situado a 1m (m =metro) de profundidade, haverá um aumento da pressão
de aproximadamente 1 atm. Passando do nível do mar a uma profundidade deH m, a pressão
aumentará H × 0.1. A pressão da água, em atmosferas, é dada pela função polinomial do
primeiro grau:
P = f(H) = 0.1H + 1.
20 40 60 80 100
x
2
4
6
8
10
y
Figura 1.24: Gráfico de P = f(H).
A pressão da água a uma profundidade de 100m é P = f(100) = 0.1 × 100 + 1 = 11 atm. Se a
pressão da água é de 50 atm, a profundidade é 50 = 0.1 × H + 1; logo,H = 490m.
[3] Sabe-se que 100 g (g=gramas) de soja contem 35 g de proteínas e 100 g de lentilhas contem
26 g de proteínas. Um adulto médio, num clima moderado, necessita de 70 g de proteínas
diárias em sua alimentação. Uma pessoa deseja prover estas 70 g de proteínas somente com
soja e/ou lentilhas. Se x é a quantidade de soja e y a quantidade de lentilhas diárias (x e y
medidas em unidades de 100 g), qual é a relação entre x e y?
A quantidade de proteína na soja é 35x e a quantidade de proteína nas lentilhas é 26 y por dia
(ambas medida em gramas). O total de proteínas diário é 70; logo, temos a equação de primeiro
grau:
35x + 26 y = 70 =⇒ f(x) = −35x
26
+
70
26
.
28 CAPÍTULO 1. FUNÇÕESDE UMA VARIÁVEL REAL
0.5 1.0 1.5 2.0
x
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
y
Figura 1.25: Gráfico de 35x + 26 y = 70.
x, y ≥ 0. Os pontos do gráfico são as possíveis combinações de soja e lentilhas para fornecer 70
gramas de proteínas diárias.
[4] (Lei de Hooke): Se um peso de x unidades for pendurado em uma mola esta se alonga em
um valor y que é diretamente proporcional a x, isto é,
y = f(x) = k x.
A constante k depende da rigidez da mola (quanto mais rígida for a mola, menor será o valor
de k).
[5] O número de centímetrosA de água produzido pelo derretimento de neve varia diretamente
com P , o número de centímetros de neve. Os meteorologistas descobriram que 150 cm de neve
derretida da 16,8 cm de água. Determine quantos centímetros de água se obtem de 500 cm de
neve?
Note que temos: A(P ) = k P ; logo:
A(150) = k 150
16.8 = k 150 =⇒ k = 0.112 =⇒ A(P ) = 0.112P =⇒ A(500) = 56 cm.
1.6 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática
Esta função é definida por:
y = f(x) = ax2 + b x + c
onde a, b, c ∈ R; a 6= 0. Claramente Dom(f) = R.
Para todo h ∈ R, f(x + h) − f(x) é uma função afim em x.
A Im(f) e o gráfico de f dependem essencialmente do discriminante ∆ da equação do 2o grau
ax2 + b x + c = 0 e do coeficiente a do termo principal.
Não é difícil verificar que o gráfico da função f(x) = ax2 é uma parábola de foco (0, 1/4 a) e
diretriz:
y = − 1
4 a
.
Fazendo uma translação adequada dos eixos coordenados verifica-se que o gráfico da função
f(x) = ax2 + b x + c é uma parábola cujo eixo de simetria é paralelo ao eixo dos y, tem foco:
1.6. FUNÇÃO POLINOMIAL DE SEGUNDO GRAU OU QUADRÁTICA 29
(
− b
2 a
,
4 a c + b2 − 1
4 a
)
e diretriz:
y =
4 a c − b2 − 1
4 a
.
1.6.1 Vértice da parábola
O vértice da parábola y = ax2 + b x + c é o ponto onde a parábola intersecta seu eixo e é dado
por:
v = (− b
2 a
,− ∆
4 a
).
Se a > 0, então v é o ponto da parábola de menor altura, pois o ponto mais próximo da diretriz
é o vértice. Logo, a função f(x) = ax2 + b x + c atinge seu menor valor.
Se a < 0, então v é o ponto da parábola de maior altura. Analogamante ao caso anterior, a
função f(x) = ax2 + b x + c atinge seu maior valor.
Não é difícil ver que se v1 é a abscissa do vértice da parábola y = f(x), então:
f(v1 + x) = f(v1 − x)
para todo x ∈ R.
Usando completamento dos quadrados:
f(x) = a (x − v1)2 + q,
onde q = f(v1).
Gráficos da Função Quadrática
Figura 1.26: Gráficos para a > 0, ∆ > 0, ∆ = 0 e∆ < 0, respectivamente .
Figura 1.27: Gráficos para a < 0, ∆ > 0, ∆ = 0 e∆ < 0, respectivamente .
30 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Exemplo 1.8.
[1] Determine a função quadrática se seu gráfico passa pelos pontos (−1, 2), (1,−2) e (3, 4).
Seja f(x) = ax2 + b x + c, a função quadrática, então devemos ter:





f(−1) = 2
f(1) = −2
f(3) = 4
⇐⇒





a − b + c = 2
a + b + c = −2
9 a + 3 b + c = 4
Resolvendo o sistema, temos a =
5
4
, b = −2 e c = −5
4
; logo:
f(x) =
5x2
4
− 2x − 5
4
.
-2 -1 1 2 3 4
-2
2
4
6
8
10
Figura 1.28: A parábola do exemplo [1].
[2] A área de uma esfera é função quadrática de seu raio. De fato, S(r) = 4π r2.
[3] (Lei do fluxo laminar de Poiseuille): Fluxo sanguíneo através de um vaso, como artérias ou
veias. É uma função quadrática em d:
v(d) =
P (R2 − d2)
4 l η
.
Para o sangue humano numa veia: η = 0.0027, l = 2, R = 8 × 10−5 e P = 4 × 103, logo:
v(d) = 0.001185185185 − 185185.1852 d2 cm/seg.
0.00002 0.00004 0.00006 0.00008 0.0001
- 0.0005
0.0005
0.0010
Figura 1.29: A parábola do exemplo [3].
1.6. FUNÇÃO POLINOMIAL DE SEGUNDO GRAU OU QUADRÁTICA 31
[4] A trajetória de um corpo lançado obliquamente, desprezando a resitência do ar, é dada por
uma função polinomial do segundo grau. A partir de seu deslocamento horizontal (ao longo
do eixo dos x), obtemos sua altura y. Por exemplo, um objeto é lançado no ar. Se sua altura,
em metros, t segundos após o lançamento é dada por y = f(t) = 20 t − 10 t2, qual é a altura
máxima atingida pelo objeto e em que instante ele a atinge?
Determinemos o vértice da parábola y = 20 t−10 t2,∆ = 400, a = −10 < 0 e b = 20; v = (1, 10).
Logo, a altura máxima é de 10m, atingida 1 segundo após o lançamento.
0.5 1.0 1.5 2.0
2
4
6
8
10
Figura 1.30: A parábola do exemplo [3].
[5] A emissão de partículas de poluição produzida pelos ônibus, na atmosfera, de uma cidade
é dada por:
h(t) = −10 t2 + 300 t + 2.61
t em anos e h em milhares de toneladas, onde se utilizou como ano base 2000.
(a) De quanto foi a poluição no ano de 2007?
(b) Que ano a polução atingiu o máximo a poluição?
(a) Calculamos h(8) = 1762.61 milhares de toneladas.
(b) Como o fator da potência quadrática é negativo, temos que o valor máximo será atingido
na ordenada do vértice:
− b
2 a
= 15.
Logo, o máximo de poluição será atingido no ano de 2015.
0 5 10 15 20 25
500
1000
1500
2000
2500
Figura 1.31: A parábola do exemplo [3].
[6] Pelas observações 1.1, os gráficos de y = f(x) = x2 (azul), y = f
(
− 4x
3
)
=
16x2
9
(vermelha)
e y = f(2x) = 4x2 (verde), são:
32 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
Figura 1.32: As parábolas do exemplo [4].
1.7 Função Polinomial de Grau n
A função polinomial de grau n é definida por:
y = f(x) = an x
n + an−1 x
n−1 + ...... + a0
onde an, an−1, ......., a0 ∈ R; an 6= 0; Dom(f) = R, mas a Im(f) e o gráfico de f dependem es-
sencialmente do grau do polinômio e de an. Esta função é, claramente, a generalização natural
das funções anteriores.
Como exemplo, as funções: f(x) = x3 − x e g(x) = 24x4 + 1; Im(f) = R e Im(g) = [1,+∞).
Seus respectivos gráficos são:
1-1
-0.5
0.5
1-1
1
Figura 1.33: Gráficos de f e g, respectivamente.
Exemplo 1.9.
[1] O faturamento de uma empresa, num certo período, foi expresso em função do número x
de vendedores por f(x) = x3 − 3x2 − 18x reais por dia. Quantos eram os vendedores no dia
em que o faturamento atingiu 70 mil reais?
Estudemos as raizes inteiras de f(x) = 70, isto é, x3 − 3x2 − 18x− 70 = 0. Não é difícil ver que
7 é uma raiz do polinômio; de fato:
x3 − 3x2 − 18x − 70 = (x − 7) (x2 + 4x + 10);
1.8. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 33
logo, são 7 vendedores.
2 4 6 8 10
70
Figura 1.34: Gráfico de f(x) = 70.
[2] Suponha que foram introduzidos numa ilha, 144 indivíduos de uma certa espécie de maca-
cos. Inicialmente, a quantidade de indíviduos tende a crescer; após um certo tempo, o alimento
e a população de macacos decresce. Se o número de macacos no tempo t, em anos, é dado por:
P (t) = −t4 + 32 t2 + 144,
quando a população se extingue?
Estudemos as raizes inteiras de P (t) = 0, isto é, −t4 + 32 t2 + 144 = 0. Não é difícil ver que −6
e 6 são raizes do polinômio; de fato:
−t4 + 32 t2 + 144 = −(t − 6) (t + 6) (t2 + 4);
como t ≥ 0, temos que em 6 anos a população será extinta.
0 1 2 3 4 5 6
100
200
300
400
Figura 1.35: Gráfico de P = P (t).
1.8 Funções Pares e Ímpares
Definição 1.5.
1. Uma função f é dita par se, para todo x ∈ Dom(f) então −x ∈ Dom(f) e
f(−x) = f(x)
2. Uma função f é dita ímpar se, para todo x ∈ Dom(f) então −x ∈ Dom(f) e
f(−x) = −f(x)
34 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Pelas definições de função par e de função ímpar é fácil ver que o gráfico de uma função par
é simétrico em relação ao eixo dos y e o gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à
origem.
Exemplo 1.10.
[1] Seja y = f(x) = x2 +
1
x2
.
Dom(f) = R − {0}, a primeira parte das definições é verificada e:
f(−x) = (−x)2 + 1
(−x)2 = x
2 +
1
x2
= f(x);
logo, f é função par.
[2] Seja y = f(x) = x5 − x3.
como Dom(f) = R, a primeira parte das definições é verificada e:
f(−x) = (−x)5 − (−x3) = −(x5) + x3 = −f(x);
logo, f é função ímpar.
1-1
1
2
3
4
5
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-0.2
-0.1
0.1
0.2
Figura 1.36: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
1.8.1 Aplicação
Seja n ∈ N, tal que n > 1, definamos:
y = f(x) = xn.
A função é par se n é par e é ímpar se n é ímpar.
Para x ∈ (0, 1), tem-se:
x2 > x3 > x4 > x5 > x6 > .............,
isto é, quanto maior o valor de n,menor o valor da função. Consequentemente, o gráfico de
y = x5, está abaixo do gráfico de y = x4, que também está abaixo do gráfico de y = x3, e assim
sucessivamente. Para valores de x próximos de zero, as potências menores dominam e quanto
maior o expoente n, os gráficos ficam cada vez mais “planos” (quase paralelos ao eixo dos x).
Para x ∈ (1,+∞), tem-se:
x2 < x3 < x4 < x5 < x6 < .............,
ou seja para valores grandes de x, as potências de maior grau dominam as de menor grau.
1.8. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 35
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
1
1-1
1
-1
Figura 1.37: Gráficos de y = f(x) = xn para n = 2, 4, 6 e n = 1, 3, 5, respectivamente.
Algumas vezes, para esboçar o gráfico de uma função é conveniente verificar se a função é par
ou ímpar, pois a simetria presente nos gráficos destas funções facilitará o desenho. Note que
existem muitas funções que não são pares e nem ímpares.
Por exemplo, seja f(x) = x2 + x; como Dom(f) = R e f(−x) = x2 − x; logo, f(−x) 6= f(x) e
f(−x) 6= −f(x); então, f não é função par nem ímpar.
Achar os x tais que f(x) > b é equivalente a determinar os elementos do Dom(f) tal que os
pontos do gráfico de f , estão acima da reta y = b. Achar os x tais que f(x) < b é equivalente
a determinar os elementos do Dom(f) tal que os pontos do gráfico de f , estão abaixo da reta
y = b.
Exemplo 1.11.
[1] Se f(x) = x2, então, achar x tal que f(x) > 1 é equivalente a determinar os elementos do
Dom(f) tal que os pontos do gráfico de f , estão acima da reta y = 1.
[2] f(x) = x2 (x − 1); então, achar x tal que f(x) < 0 é equivalente a determinar os elementos
doDom(f) tal que os pontos do gráfico de f , estão abaixo da reta y = 0.
-1 1
1
Figura 1.38: Gráficos dos exemplos [1] e [2], respectivamente.
Podemos afirmar que o gráfico de uma função é, em geral, uma curva no plano coordenado; a
recíproca nem sempre é verdadeira, isto é, nem toda curva no plano coordenado (ou conjunto
do plano) é o gráfico de alguma função. Geometricamente uma curva no plano coordenado é
o gráfico de uma função se toda reta paralela ao eixo dos y intersecta a curva no máximo num
ponto (por que?). Por exemplo, a seguinte curva não representa uma função:
36 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Figura 1.39:
[3] O conjunto A = {(x, y) ∈ R2 /x2 + y2 = 1} não é o gráfico de uma função. De fato, temos
y = ±
√
1 − x2; logo, para todo x ∈ (−1, 1) existe mais de um y tal que (x, y) ∈ A.
-1 1
-1
1
Figura 1.40: O conjunto A.
1.9 Interseção de Gráficos
Sejam y = f(x) e y = g(x) tais que seus gráficos se intersectam no ponto P ; então, as coordena-
das de P são: P = (x1, f(x1)) = (x1, g(x1)), logo f(x1) = g(x1); equivalentemente, x1 é solução
do sistema:
{
y = f(x)
y = g(x).
Analogamente, para n funções:























y = f1(x)
y = f2(x)
y = f3(x)
...
...
...
...
y = fn(x).
1.9.1 Interseção de Retas
Se f(x) = m1 x + b1 e g(x) = m2 x + b2 são funções afins, então, o sistema:
{
y = m1 x + b1
y = m2 x + b2,
1.9. INTERSEÇÃODE GRÁFICOS 37
tem uma única solução se, e somente se as retas são não paralelalas, isto ém1 6= m2; logo, seus
gráficos se intersectam num único ponto:
P =
( b2 − b1
m1 − m2
,
b2 m1 − b1 m2
m1 − m2
)
.
Figura 1.41: Interseção de funções afins não paralelalas.
Exemplo 1.12.
[1] Achar o ponto de interseção dos gráficos de f(x) = 2x , f2(x) = 2 − x e f3(x) = x − 5.
Resolvemos o sistema:





(1) y = 3x
(2) y = 2 − x
(3) y = x − 5.
Fazendo (1)=(2), temos x =
1
2
e y =
3
2
; fazendo (2)=(3), temos x =
7
2
e y = −3
2
e finalmente
fazendo (1)=(3), temos x = −5
2
e y = −15
2
.
- 4 - 2 2 4
-10
- 5
5
10
Figura 1.42: Exemplo [1].
[2] Achar os pontos de interseção dos gráficos de f(x) = x e g(x) = x2. Resolvemos o sistema:
{
y = x
y = x2,
donde x2 − x = x (x − 1), logo x (x − 1) = 0 e x = 0 ou x = 1. Os pontos são (0, 0) e (1, 1).
38 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-1 1
1
Figura 1.43: Exemplo [2]
[3] Achar os pontos de interseção dos gráficos de f(x) = x3 − x e g(x) = x4 + x3. Resolvemos
o sistema:
{
y = x3 − x
y = x4 + x3,
donde x4 + x3 = x3 − x, logo x4 + x = x (x3 + 1) = 0 e x = 0 ou x = −1. Os pontos são (0, 0) e
(−1, 0).
-1 1
0.4
Figura 1.44: Exemplo [3]
[4] Os níveis de dois reservatórios de água são expressos em função do tempo t pelas seguintes
funções: h1(t) = 100 t3 +5 t− 1.8 e h2(t) = 50 t3 +2 t− 0.8. Determine os instantes em que cada
um dos níveis se reduz a zero, sabendo que alguma vez isto acontece simultaneamente.
Como existe t0 tal que h1(t0) = 0 e h2(t0) = 0, devemos resolver o sistema
{
h1(t0) = 0
h2(t0) = 0
⇐⇒
{
(1) 100 t30 + 5 t0 − 1.8 = 0
(2) 50 t30 + 2 t0 − 0.8 = 0
Multiplicando (2) por 2 e subtraindo de (1), temos que t0 = 0.2 é a raiz comum.
1.10. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 39
-0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
-4
-2
2
4
6
8
10
Figura 1.45: Exemplo [4]
Dividindo os polinômios (1) e (2), verificamos que não possuem outras raızes reais. Logo, o
único instante em quecada um dos níveis descem a zero é em 0.2u.t. (u.t.=unidades de tempo).
1.10 Álgebra de Funções
A seguir, veremos como construir novas funções a partir de outras já conhecidas.
Definição 1.6. Sejam y = f(x) e y = g(x) funções.
1. Adição e subtração de funções:
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
2. Multiplicação de funções:
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
3. Divisão de funções:
(
f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
, se g(x) 6= 0
Em particular, se k ∈ R, temos que (k · f)(x) = k · f(x). Antes de apresentar exemplos destas
definições, determinemos os respectivos domínios.
Dom(f ± g) = Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g),
Dom
(f
g
)
= (Dom(f) ∩ Dom(g)) − {x ∈ Dom(g)/g(x) = 0}.
Geometricamente o gráfico da soma, diferença, produto ou quociente de f e g tem, em cada
ponto uma ordenada que é respectivamente, a soma, diferença, produto ou quociente das or-
denadas de f e g nos pontos correspondentes.
A aplicação destas definições é, em geral, muito simples, como observaremos nos exemplos.
40 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Exemplo 1.13.
[1] A adição e a subtração de funções afins são funções afins. De fato, se f(x) = m1 x + b1 e
g(x) = m2 x + b2; então:
(f ± g)(x) = (m1 ± m2)x + (b1 ± b2).
Por exemplo, se f(x) = 2x−1 e g(x) = −3x+2; então, (f +g)(x) = 1−x e (f −g)(x) = 5x−3.
-2 -1 1 2
-10
-5
5
Figura 1.46: Gráficos de f , g, f + g e f − g.
[2] A adição e a subtração de funções polinomiais quadráticas são, em geral, funções polinomi-
ais quadráticas. De fato, se f(x) = a1 x2 + b1 x + c1 e g(x) = a2 x2 + b2 x + c2 tais que a1 6= a2;
então:
(f ± g)(x) = (a1 ± a2)x2 + (b1 ± b2)x + c1 ± c2.
Por exemplo, se f(x) = x2 − 2x + 1 e g(x) = 2x2 + x − 4; então, (f + g)(x) = 3x2 − x − 3 e
(f − g)(x) = −x2 − 3x + 5.
-4 -2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
Figura 1.47: Gráficos de f , g, f + g e f − g.
[3] Sejam f(x) =
√
x2 − 1 e g(x) = x3 + 1. Logo, (f ± g)(x) = f(x)± g(x) =
√
x2 − 1± (x3 + 1),
e (f · g)(x) = (
√
x2 − 1) · (x3 + 1); os domínios são:
Dom(f ± g) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞) = Dom(f · g).
(f
g
)
(x) =
f(x)
g(x)
=
√
x2 − 1
x3 + 1
; o domínio é Dom
(f
g
)
= (−∞,−1) ∪ [1,+∞).
1.11. FUNÇÕES RACIONAIS 41
1.11 Funções Racionais
Sejam P (x) e Q(x) polinômios de coeficientes reais. Podemos definir a função racional por:
f(x) =
P (x)
Q(x)
Da definição, temos que Dom(f) = R − {x ∈ R /Q(x) = 0}; em outras palavras, o domínio
de uma função racional é o conjunto dos números reais menos as raízes do polinômio que
aparece no denominador. Note que as funções polinomiais são um caso particular das funções
racionais; basta considerar Q(x) = 1 para todo x ∈ R.
A função:
f(x) =
k
x
, k ∈ R
é modelo matemático de problemas que envolvem quantidades inversamente proporcionais.
Por exemplo, a lei de Boyle.
Exemplo 1.14.
[1] O tempo T , necessário para fazer um trabalho varia inversamente proporcional ao número
P de pessoas que trabalham. Se leva 72 horas para 8 pessoas para fazer as paredes de uma
casa, quanto tempo vai levar 6 pessoas para completar a mesma tarefa?
Temos que T (P )=
k
P
, logo:
T (8) =
k
8
=⇒ 72 = k
8
=⇒ k = 648 =⇒ T (P )648
P
=⇒ T (6) = 108h.
5 10 15 20
50
100
150
Figura 1.48: Gráfico de T (P ) = 648P .
[2] Seja f(x) =
x2 + 1
x4 + x3 + 4x2 − x − 5 .
Fatorando Q(x) = x4 + x3 + 4x2 − x − 5 = (x2 − 1)(x2 + x + 5), tem-se: Q(x) = 0 se x = ±1;
logo,Dom(f) = R − {−1, 1}.
[3] Seja f(x) =
x + 8
x5 − 4x3 − x2 + 4 .
Fatorando Q(x) = x5 − 4x3 − x2 + 4 = (x3 − 1)(x2 − 4), tem-se: Q(x) = 0 se x = 1, x = 2 ou
x = −2; logo,Dom(f) = R − {−2, 1, 2}.
[4] Seja f(x) =
x4 + 6
x4 + 4x2 + 3
.
Fatorando Q(x) = x4 + 4x2 + 3 = (x2 + 1)(x2 + 3), tem-se: Q(x) não possui raízes reais; logo
Dom(f) = R.
42 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1.12 Composta de Funções
Definição 1.7. Sejam f e g funções tais que Im(f) ⊂ Dom(g). A composta das funções g e f é
denotada por g ◦ f e definida por:
(
g ◦ f)
(
x) = g(f(x))
Observe que a definição faz sentido, pois f(x) ∈ Dom(g). Por outro lado:
Dom(g ◦ f) = {x ∈ Dom(f)/f(x) ∈ Dom(g)}.
Esta definição produz, a partir de funções conhecidas, novas funções, como veremos mais adi-
ante. A definição de composta de funções é de fácil manejo, como veremos nos exemplos.
Exemplo 1.15.
[1] A composta de funções afins é uma função afim.
De fato, sejam f(x) = m1 x + b1 e g(x) = m2 x + b2; então:
(g ◦ f)(x) = (m1 m2)x + m2 b1 + b2
e
(f ◦ g)(x) = m1 m2 x + m1 b2 + b1.
Por exemplo, se f(x) = −2x−1 e g(x) = x+5, então, (g◦f)(x) = −2x+4 e (f◦g)(x) = −2x−11.
-6 4
-6 4
Figura 1.49: Gráficos de f , g, g ◦ f e f ◦ g.
[2] Sejam f(x) =
√
x2 − 1 e g(x) = x + 1; calcule g ◦ f, f ◦ g, f ◦ f , g ◦ g ◦ g e f ◦ f ◦ f ◦ f
respectivamente.
Im(f) = [0,+∞) eDom(g) = R:
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x2 − 1) =
√
x2 − 1 + 1.
Logo,
Dom(g ◦ f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞).
Im(g) = R e Dom(f) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞); logo, não podemos calcular f ◦ g a menos que
consideremos um domínio menor para g de modo que Im(g) ⊂ Dom(f).
De fato:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) =
√
(x + 1)2 − 1 =
√
x2 + 2x.
1.12. COMPOSTA DE FUNÇÕES 43
Temos:
Dom(f ◦ g) = (−∞,−2] ∪ [0,+∞).
-4 -2 2 4
-1
1
2
3
4
5
Figura 1.50: Gráficos de g ◦ f (azul), f ◦ g (vermelho).
(f ◦ f)(x) = f(f(x)) = f(
√
x2 − 1) =
√
(
√
x2 − 1)2 − 1 =
√
x2 − 2. Logo,
Dom(f ◦ f) = (−∞,−
√
2] ∪ [
√
2,+∞).
(g ◦ g ◦ g)(x) = g(g(g(x))) = g(g(x + 1)) = g(x + 2) = x + 3.
Dom(g ◦ g ◦ g) = R.
(f ◦ f ◦ f ◦ f)(x) = f(f(f(f(x)))) =
√
x2 − 4.
Dom(f ◦ f ◦ f ◦ f) = (−∞,−2] ∪ [2,+∞).
Dos exemplos anteriores podemos concluir que, em geral:
(f ◦ g)(x) 6= (g ◦ f)(x)
[3] Suponha que uma mancha de poluente que contamina uma lagoa tem a forma de um disco
de raio r (em cm) e sua área A (em cm2) é função do raio. Se o raio cresce em função do tempo
t (emmin) pela lei r = r(t) = (10 t+0.5) cm, determine a área da mancha em função do tempo.
A área é A(r) = π r2; devemos calcular A(t), por outro lado A(t) = (A ◦ r)(t) = A(r(t)); logo:
A(t) = A(r(t)) = A(10 t + 0.5) = π (10 t + 0.5)2 cm2.
[4] A função h(x) =
1√
x4 + x2 + 1
pode ser escrita como a composta de duas outras funções.
De fato, h(x) = (g ◦ f)(x), onde f(x) = x4 + x2 + 1 e g(x) = 1√
x
.
44 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
-2 -1 1 2
1
2
Figura 1.51: Gráficos de f (azul), g (vermelho) e h.
[5] Esboce o gráfico de y = |x2 − 1|.
A função h(x) = x2−1 pode ser escrita como a composta das funções f(x) = x2−1 e g(x) = |x|;
logo, h = g ◦ f . Pelas observações 1.1, o gráfico de h(x) = |f(x)| é
-1 1
-1
1
Figura 1.52: Gráfico de h(x) = |f(x)|.
[6] Determine fn(x), se:
(a) f0(x) =
1
2 − x e fn+1 = f0 ◦ fn, n = 0, 1, 2, 3, ......
(b) f0(x) = x2 e fn+1 = f0 ◦ fn, n = 0, 1, 2, 3, ......
(a) Se f0(x) =
1
2 − x , então:
f1(x) = (f0 ◦ f0)(x) = f0(f0(x)) = f0(
1
2 − x) =
1
2 − 12−x
=
2 − x
3 − 2x,
f2(x) = (f0 ◦ f1)(x) = f0(
2 − x
3 − 2x ) =
1
2 − 2−x3−2 x
=
3 − 2x
4 − 3x,
f3(x) = (f0 ◦ f2)(x) = f0(
3 − 2x
4 − 3x ) =
4 − 3x
5 − 4x.
Observando as expressões anteriores podemos afirmar que:
fn(x) =
(n + 1) − n x
(n + 2) − (n + 1)x.
1.13. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 45
(b) Se f0(x) = x2, então:
f1(x) = (f0 ◦ f0)(x) = f0(f0(x)) = f0(x2) = x4,
f2(x) = (f0 ◦ f1)(x) = f0(f1(x)) = f0(x4) = x8,
f3(x) = (f0 ◦ f2)(x) = f0(f2(x)) = f0(x8) = x16,
f4(x) = (f0 ◦ f3)(x) = f0(f3(x)) = f0(x16) = x32
Note que:
4 = 22 = 21+1, 8 = 23 = 22+1, 16 = 24 = 23+1 e 32 = 25 = 24+1.
Observando as expressões anteriores podemos afirmar que:
fn(x) = x
2n+1 .
1.13 Inversa de uma Função
Observe as seguintes tabelas:
a B = B(a)
0 25
1 28
2 31
3 35
4 38
5 41
6 44
B a = a(B)
25 0
28 1
31 2
35 3
38 4
41 5
44 6
A primeira tabela foi obtida num estudo sobre a população de baleias corcundas num certo
setor costeiro utilizado como ponto de reprodução pela espécie. O tamanho da população de
baleias é medido anualmente, durante 6 anos. O número B de baleias é função do ano a em
que é realizada a medição: B = B(a). Suponha que, em certo instante, os biológos mudam o
ponto de vista e ficam interessados no tempo estimado para que a população de baleias atinja
um certo número de indivíduos B, ou seja, desejam obter a em função de B: a = a(B). Tal
função é chamada de inversa de B = B(a). Veja a segunda tabela.
1 2 3 4 5 6
10
20
30
40
50
10 20 30 40
1
2
3
4
5
6
Figura 1.53: Gráfico da B = B(a) e a = a(B), respectivamente.
46 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Definição 1.8. A função g é dita função inversa de f se:
1. Im(g) = Dom(f) e Im(f) = Dom(g).
2. Para todo x ∈ Dom(g), (f ◦ g)(x) = x e para todo x ∈ Dom(f), (g ◦ f)(x) = x. Em tal caso f
é dita invertível.
Exemplo 1.16.
[1] f(x) = x − 4, −1 ≤ x ≤ 1 e g(x) = x + 4, −5 ≤ x ≤ −3 são inversas.
De fato,Dom(f) = Im(g) = [−1, 1], Dom(g) = Im(f) = [−5,−3] e:
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x + 4) = x, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(x − 4) = x.
[2] f(x) =
√
x, x ≥ 0 e g(x) = x2, x ≥ 0 são inversas.
De fato,Dom(f) = Im(g) = [0,+∞), Dom(g) = Im(f) = [0,+∞) e,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = x, (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(
√
x) = x.
Seja f uma função invertível. Denotemos por f−1 sua inversa.
Dizer que f−1 é a função inversa de f é equivalente dizer que f ◦ f−1 e f−1 ◦ f são a função
identidade. Em outras palavras, f é bijetiva, ou seja, a função f é invertível se, e somente se
para todo x1, x2 ∈ Dom(f), temos; se x1 6= x2, então f(x1) 6= f(x2) e para todo y ∈ Im(f),
existe x ∈ Dom(f) tal que f(x) = y .
Se f é invertível então f−1 é invertível e (f−1)−1 = f . Note que f−1(x) 6= (f(x))−1.
O gráfico de f−1 é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y = x.
Figura 1.54: Gráficos de f (azul) e f−1 (vermelho).
1.13.1 Método para Determinar a Inversa
Escreva a equação y = f(x) que define a função f . Resolva a equação y = f(x), para x em
função de y para obter x = f−1(y) e, a seguir, permute x por y. A equação obtida define f−1.
Note que, a rigor, a função f−1 toma valores nos y ∈ Im(f).
É possível determinar geometricamente se uma função possui ou não função inversa. Para isto,
desenhe qualquer reta paralela ao eixo dos x; se a reta intersecta o gráfico da função nomáximo
num ponto, então a função possui inversa.
1.13. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 47
Figura 1.55: Função sem inversa.
Exemplo 1.17.
[1] Funcionamento de um termômetro:
O volume de uma quantidade de mercúrio é função da sua temperartura. Usando a função
inversa, determinamos a temperatura através de seu volume.
[2] A inversa de uma função afim não constante é afim. De fato, se y = f(x) = m x + b; então:
f−1(y) =
1
m
(y − b).
Permutando x por y:
y = f−1(x) =
1
m
(x − b).
Figura 1.56: Uma função afim e sua inversa.
[3] Seja f(x) = xn, n ∈ N.
Sabemos que se n é par a função é par e se n é ímpar a função é ímpar. Logo f possui inversa
para x ≥ 0 se n é par:
48 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1
1
Figura 1.57: Desenho para n ímpar.
f possui inversa para todo x ∈ R se n é ímpar. A inversa para ambas é f−1(y) = n√y. Permu-
tando x por y, f−1(x) = n
√
x.
1
1
Figura 1.58: Desenho para n par.
[4] Seja f(x) =
ax + b
c x + d
, a d − b c 6= 0; fazendo: y = ax + b
c x + d
e resolvendo a equação em relação a
x, temos,x =
d y − b
a − c y ;
logo f−1(y) =
d y − b
a − c y se y 6=
a
c
ou, equivalentemente,
f−1(x) =
dx − b
a − c x
se x 6= a
c
, que é a inversa de f .
1.13. INVERSA DE UMA FUNÇÃO 49
-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.59: Desenho para f(x) = 2 x+1x+3 (azul) e f
−1(x) = 3 x−12−x
[5] Uma bola de borracha está sendo inflada e seu volume V é função do tempo t (em min)
sendo V (t) = (4 t + 5) cm3. Quanto tempo demora a bola até atingir o volume de 45 cm3?
Devemos determinar a função inversa de V . Como V = 4 t + 5 então t =
V − 5
4
e
t = V −1(V ) =
V − 5
4
e t = V −1(45) = 10min.
[6] É comum, em diferentes Ciências da Natureza, utilizar duas escalas para medir temperatu-
ras, Fahrenheit e Celsius.
(a) Determine a função f que relaciona a temperatura y em graus Celsius à temperatura x em
graus Fahrenheit, sabendo que seu gráfico é uma reta.
(a) Determine f−1.
(a) Se o gráfico é uma reta a função deve ser do tipo: y = f(x) = m x + b. Por outro lado,
sabemos que: y = f(32) = 0, pois a água se congela a 0 graus Celsius. y = f(212) = 100, pois a
água ferve a 100 graus Celsius. Portanto:
m =
f(212) − f(32)
212 − 32 =
5
9
e b = −160
9
;
logo f(x) =
5 (x − 32)
9
.
(b) Seja y =
5
9
(x − 32); então, x = 9 y
5
+ 32 e f−1(x) =
9x
5
+ 32. Logo, estas são as regras de
conversão entre temperaturas dadas em graus Celsius e graus Fahrenheit.
50 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Figura 1.60: Gráfico do exemplo [6].
[7] Calcule a inversa de uma função polinomial de segundo grau.
Seja f(x) = ax2 + bx + c, a 6= 0; observando o gráfico de f temos que fazer − b
2a
≤ x (ou
− b
2a
≥ x) para obter a inversa.
Resolvendo y = ax2 + bx + c ou ax2 + bx + (c − y) = 0, temos que:
x =
−b ±
√
b2 − 4ac + 4ay
2a
.
Então:
f−1(y) =











−b +
√
b2 − 4ac + 4ay
2a
se a > 0
−b −
√
b2 − 4ac + 4ay
2a
se a < 0.
Analogamente se − b
2a
≥ x; ou equivalentemente:
f−1(x) =











−b +
√
b2 − 4ac + 4ax
2a
se a > 0
−b −
√
b2 − 4ac + 4ax
2a
se a < 0.
1.14 Funções Definida por Partes
É comum aparecer nas aplicações, funções definidas por:
h(x) =



























f1(x) se x ∈ Dom(f1)
f2(x) se x ∈ Dom(f2)
f3(x) se x ∈ Dom(f3)
f4(x) se x ∈ Dom(f4)
...
...
fn(x) se x ∈ Dom(fn).
1.14. FUNÇÕES DEFINIDA POR PARTES 51
Note queDom(h) = Dom(f1) ∪ Dom(f2) ∪ . . . . . . ∪ Dom(fn) e que:
h(x) = fi(x) ⇐⇒ x ∈ Dom(fi), ∀i = 1, . . . , n.
Exemplo 1.18.
[1] Considere a função :
h(x) =























1
x2 + 1
se x ≤ 0
1
5x2
se 0 < x ≤ 1
√
1
x + 1
se x > 1.
Logo,Dom(h) = (−∞, 0] ∪ (0, 1] ∪ (1,+∞) = R, então:
h(−3) = 1
(−3)2 + 1 =
1
10
pois − 3 ∈ (−∞, 0]
h(1) =
1
5
pois 1 ∈ (0, 1]
h(3) =
√
1
3 + 1
=
1
2
pois 3 ∈ (1,+∞).
-4 -2 0 2 4
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.61: Gráfico do exemplo [1].
[2] Uma empresa de ônibus cobra 40 reais pela passagem unitária, se vende menos de 20 pas-
sagens, e cobra 50 centavos a menos pela passagem adicional. Denotemos por x o número de
passagens, então a função h = h(x), representa a quantidade de dinheiro que recebe a empresa
por x passageiros, e é dada por:
h(x) =
{
40x se x ≤ 20
[40 − (x − 20) 0.5]x se x > 20
=
{
40x se x ≤ 20
[50 − 0.5x]x se x > 20
Por exemplo, para saber quanto dinheiro recebe a empresa com 46 passageiros, calculamos:
52 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
h(46) = [50 − 0.5 × 46] × 46 = 1241 reais,
pois 46 > 20.
10 20 30 40
200
400
600
800
1000
1200
Figura 1.62: Gráfico do exemplo [2].
[3] Um atacadista vende um certo tipo de produto, por caixas, segundo a seguinte tabela de
preços, em dólares:
Preço 25.8 24.1 22.5 21.6 20.9 20
x x ≤ 20 20 < x ≤ 50 50 < x ≤ 100 100 < x ≤ 250 250 < x ≤ 400 400 < x
onde x é a quantidade de caixas; a tabela de preços pode ser modelada por:
p(x) =





















25.8x se 0 ≤ x ≤ 20
24.1x se 20 < x ≤ 50
22.5x se 50 < x ≤ 100
21.6x se 100 < x ≤ 250
20.9x se 250 < x ≤ 400
20x se x > 400.
20 40 60 80
500
1000
1500
Figura 1.63: Gráfico de p = p(x).
1.15. FUNÇÕES ELEMENTARES 53
Note que existem algumas compras erradas, por exemplo, p(20) = 516 e p(21) = 506.1; logo, é
melhor comprar 21 caixas.
1.15 Funções Elementares
A seguir apresentamos uma classe importante de funções que tem um papel fundamental nas
aplicações que serão tratadas nos capítulos posteriores. Este tipo de funções são ditas elemen-
tares pois não podem ser obtidas através de outras funções.
1.16 Função Exponencial
A função exponencial está associada a fenômenos de crescimento ou decrescimento, como por
exemplo, crescimento populacional e desintegração radioativa.
Exemplo 1.19.
Suponha que após 7 meses de observação foram obtidos os seguintes dados de uma população
de formigas:
M Q V
1 150000
2 159000 9000
3 168540 9540
4 178652 10112
5 189371 10719
6 200733 11362
7 212777 12044
M é o mês, Q é a quantidade de formigas em cada mês da observação e V é a variação mensal
da população. Dividindo a quantidade de formigas de um mês em relação ao mês anterior,
obtemos um fator constante 1.06, o que mostra que a população de formigas cresce, aproxima-
damente, 6% ao mês. Temos:
se x = 0, então 150000 = 150000 × (1.06)0;
se x = 1, então 159000 = 150000 × (1.06)1;
se x = 2, então 168540 = 150000 × (1.06)2;
se x = 3, então 178652 = 150000 × (1.06)3.
Em geral, decorridos xmeses após a primeira observação, a população de formigas é dada por:
f(x) = 150000 × (1.06)x.
54 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1 2 3 4 5 6 7
50000
100000
150000
200000
Figura 1.64: Gráfico de f(x) = 150000 × (1.06)x.
Definição 1.9. Seja a ∈ R tal que 0 < a 6= 1. A função exponencial de base a é denotada e definida
por:
y = f(x) = ax
Dom(f) = R, Im(f) = (0,+∞) e:
f(0) = a0 = 1
f(1) = a,
seu gráfico depende de ser a > 1 ou 0 < a < 1.
Se n ∈ N, então an = a× a× . . .× a, n vezes. Se n ∈ N, então a−n = 1
an
. Se x ∈ Q, então x = p
q
,
onde p ∈ Z e q ∈ Z − {0}, e:
ax = a
p
q = q
√
ap.
Se x /∈ Q, isto é, x é um número irracional como π,
√
3, que sentido tem a expresão aπ e a
√
3?
A resposta rigorosa a esta pergunta será respondida em níveis de estudos mais elevados que o
destas notas introdutórias. Por enquanto, vejamos uma idéia intuitiva:
Exemplo 1.20.
Considere 2
√
3; o número irracional
√
3 é aproximadamente
√
3 ∼= 1.732050807568 . . . Por outro
lado, os seguintes números são racionais: 1.7, 1.73, 1.732, 1.73205 =, etc. Logo, pela observação
anterior sabemos calcular 21.7, 21.73, 21.732, 21.73205, . . . e podemos obter um valor aproximado
para 2
√
3. Observe a tabela:
x 2x
1.7 3.249009
1.73 3.317278
1.732 3.321880
1.73205 3.321995
...
...√
3 2
√
3
Proposição 1.2. Seja f(x) = ax, a ∈ R tal que 0 < a 6= 1
1.16. FUNÇÃO EXPONENCIAL 55
1. f(x1 + x2) = f(x1) f(x2). Isto é:
ax1+x2 = ax1 ax2 ,
para todo x1, x2 ∈ R.
2. f(b x) =
(
f(x)
)b
=
(
f(b)
)x. Isto é:
ab x = (ax)b = (ab)x,
para todo x, b ∈ R.
Dada uma função exponencial f(x) = ax, os valores f(1), f(2), f(3), . . . . . . formam uma pro-
gressão geométrica (P.G.) de razâo a. Na verdade, para toda função exponencial f(x) = ax, as
razões
f(x + h)
f(x)
= ah
dependem apendas de h e não de x. Esta é uma propriedade característica das funções expo-
nenciais e significa que se consideramos a progressão aritmética de razão h:
x, x + h, x + 2h, x + 3h, x + 3h, . . . . . .
então, obtemos a progressão geométrica de razão ah:
f(x + h) = ah f(x),
f(x + 2h) = f((x + h) + h) = ah f(x + h) = a2h f(x)
...
f(x + n h) = anh f(x).
Pelas propriedades anteriores, cada vez que a abscissa aumenta uma unidade a ordenada é
multiplicada por a e cada vez que a abscissa diminui uma unidade a ordenada é multiplicada
por
1
a
.
Se a > 1, então, a distância da curva ao eixo dos x cresce quando x cresce e decresce quando x
decresce. Se a < 1 ocorre o contrário.
Um caso particular e importante de funçãoexponencial é quando a é a constante de Euler
e ≃ 2.718281.
Gráficos para 0 < a < 1:
-2 -1 1 2 3
1
2
3
4
Figura 1.65: a = 12 (verde) e a =
2
3 (azul).
56 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Gráficos para a > 1:
-2 -1 0 1 2
1
2
3
4
5
6
Figura 1.66: a = 2 (verde) e a = 3 (azul).
-2 -1 1 2
1
2
3
4
Figura 1.67: Gráficos para a = 12 (verde) e a = 2 (azul).
Exemplo 1.21.
[1] Um fabricante de certos componentes eletrônicos fez um estudo estatístico da confiabilidade
do seu produto. O estudo indicou que a fração dos componentes que após t anos de uso, ainda
estão em condições de funcionamento é, aproximadamente, f(t) = e−0.2 t.
(a) Que fração dos componentes deve funcionar pelo menos por três anos?
(b) Que fração dos componentes deve parar de funcionar durante o terceiro ano de uso?
(a) Devemos calcular: f(3) = e−0.6 ∼= 0.54, isto é, podemos esperar que aproximadamente 55%
dos componentes funcione pelo menos três anos.
(b) Para determinar a fração dos componentes que deve parar de funcionar durante o terceiro
ano de uso, basta calcular:
f(3) − f(4) = e−0.6 − e−0.8 ∼= 0.099.
Portanto, podemos esperar que, aproximadamente, 10% dos componentes parem de funcionar
durante o terceiro ano de uso.
1.17. APLICAÇÕES 57
2 4 6 8 10
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.68: Gráfico de f(t) = e−0.2t.
[2] Num dia de verão, um refrigerante gelado é retirado de uma geladeira cuja temperatura
é de 12oC e é colocada numa sala onde a temperatura é de 32oC . De acordo com uma lei da
Física, a temperatura do refrigerante, após tminutos mais tarde, é dada por T (t) = 32−Ae−k t,
onde A, k > 0. Supondo que a temperatura do refrigerante é 16oC após 20 minutos, qual será
a temperatura do refrigerante, após 40 minutos?
Primeiramente devemos determinas as constantesA e k. Sabemos que inicialmente a tempera-
tura do refrigerante é de 12oC ; logo, T (0) = 12 e 32 − A = 12, donde A = 20. Por outro lado,
após 20 minutos a temperatura é de 16oC , e:
T (20) = 16 ⇒ 32 − 20 e−20 k = 16 ⇒ e−20 k = 4
5
.
Finalmente:
T (40) = 32 − 20 e−40 k = 32 − 20 [e−20 k]2 = 32 − 20
[
4
5
]2
∼= 19.2oC.
0 10 20 30 40
5
10
15
20
Figura 1.69: Gráfico do exemplo [2].
1.17 Aplicações
As funções exponenciais ou compostas de exponenciais tem um importante papel emMatemá-
tica Aplicada. A seguir, apresentamos algumas destas aplicações.
1.17.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos
Se uma quantia inicial A0 em dinheiro for investida a uma taxa de juros compostos de r%, m
vezes ao ano, o montante do investimento, após t anos será dado por:
58 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
A(t) = A0
[
1 +
r
m
]mt
.
Por exemplo, suponha que 1000 reais são investidos a uma taxa de juros compostos de 7% ao
ano, o montante acumulado após 5 anos, se os juros forem capitalizados semestralmente é de
A = 1000
[
1 +
0.07
2
]
10,
logo A ∼= 1410.59 reais.
1.17.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial
Uma quantidade que cresce de acordo com a leiQ(t) = Q0 ekt;Q0, k > 0 é dita que experimenta
um crescimento exponencial com valor inicial Q(0) = Q0. Este modelo se aplica em diversas
situações.
Exemplo 1.22.
[1] Projeta-se que em t anos, a população de um estado será de P (t) = 10 e0.02t milhões de
habitantes. Qual é a população atual? Qual será a população em 20 anos, se a população
continuar crescendo nesta proporção?
A população atual é P (0) = 10milhões e:
P (20) = 10 e0.4 ∼= 14.918 milhões.
0 20 40 60 80
10
20
30
40
50
Figura 1.70: Gráfico de [1] .
[2] Biólogos determinaram que em condições ideais uma colônia de bactérias cresce exponen-
cialmente. Se, inicialmente existem 3000 bactérias e após 30 minutos estão presentes 9000,
quantas bactérias estarão presentes após uma hora?
Note queQ(t) = 3000 ekt, poisQ(0) = 3000; por outro lado 9000 = Q(30) = 3000 e30k e e30k = 3.
Logo,
Q(60) = 3000 e60k = 3000
(
e30k
)2
= 3000 × 9 = 27000 bactérias.
1.18. FUNÇÃO LOGÍSTICA 59
10 20 30 40 50 60
5000
10 000
15 000
20 000
25 000
30 000
Figura 1.71: Gráfico de[2].
Uma quantidade que decresce de acordo com a lei Q(t) = Q0 e−kt; Q0, k > 0 é dita que experi-
menta um decrescimento exponencial com valor inicial Q(0) = Q0.
[3] Em Farmacologia, sabe-se que a concentração de penicilina e outras drogas tem um decres-
cimento exponencial, em relação ao tempo da aplicação da droga.
O modelo utilizado é Q(t) = Q0 e−kt, onde k > 0 é uma constante que depende da droga.
Outras aplicações serão vistas nos próximos parágrafos.
1.18 Função Logística
O modelo exponencial é interessante, pois é simples e serve como base para outros modelos
mais complexos que estudam situações mais gerais. Por outro lado, crescimentos exponenciais
não acontecem na natureza, pelo menos por tempo ilimitado. No entanto, durante breves inter-
valos de tempo populações crescem com este modelo. Observa-se que os níveis de natalidade
de uma população diminui quando a população aumenta. Os motivos podem ser variados,
como fatores sociais, econômicos ou suprimento limitado de alimentos e de espaço. A popu-
lação eventualmente se estabilizaria num nível compatível com o que o meio ambiente pode
sustentar, sem a extinção da espécie. Um ótimo modelo para o estudo deste tipo de situação é
a função logística, definida por:
L(t) =
A
1 + B e−Ct
,
onde A, B, e C são constantes positivas. Este modelo também é usado no estudo da propaga-
ção de epidemias, da propagação de doenças infecciosas e na propagação de boatos ou notícias.
Exemplo 1.23.
[1] Uma população de moscas drosófilas num ambiente limitado é dada por:
L1(t) =
400
1 + 39 e−0.4t
,
onde t denota o número de dias transcorridos. Qual é a população inicial? Qual é a população
no 10o dia?
Note que inicialmente, temos L1(0) = 10 moscas; L1(10) = 233.33; aproximadamente 233
moscas.
60 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
10 20 30 40 50
100
200
300
400
Figura 1.72: Gráfico de L1.
[2] Durante uma epidemia de dengue, o número de pessoas que adoeceram após t dias, num
certo bairro, é dada por:
L2(t) =
10000
1 + 99 e−0.2t
.
Quantas pessoas ficaram doentes após o primeiro dia? Quantas pessoas ficaram doentes após
25 dias?
Note que inicialmente, temosL2(1) = 121.87; aproximadamente 121 doentes eL2(25) = 5998.6;
aproximadamente 5998 doentes.
10 20 30 40 50 60
2000
4000
6000
8000
10 000
Figura 1.73: Gráfico deL2.
1.19 Função Logarítmica
Como qualquer reta paralela ao eixo dos x intersecta o gráfico da função exponencial y = ax no
máximo num ponto, ela possui uma inversa denominada função logarítmica de base a, que é
denotada por:
f(x) = loga(x)
e definida por:
y = loga(x) ⇐⇒ ay = x
onde a ∈ R é tal que 0 < a 6= 1.
Note queDom(f) = (0,+∞), Im(f) = R, f(1) = 0, f(a) = 1 e seu gráfico depende de ser a > 1
ou 0 < a < 1.
1.19. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 61
Gráficos para 0 < a < 1:
1 2 3 4 5
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
Figura 1.74: a = 15 (verde) e a =
1
3 (azul).
Gráficos para a > 1:
1 2 3 4 5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Figura 1.75: a = 5 (verde) e a = 3 (azul).
1 2 3 4
-3
-2
-1
1
2
3
Figura 1.76: Gráficos para a = 2 (azul) e a = 12 (verde).
Usando novamente o fato de y = loga(x) ser a inversa da exponencial temos as seguintes
identidades: loga(ax) = x, para todo x ∈ R e aloga(x) = x para todo x ∈ (0,+∞).
Proposição 1.3. Seja y = loga(x), a ∈ R e tal que 0 < a 6= 1:
1. f(x1 · x2) = f(x1) + f(x2), para todo x1, x2 ∈ (0,+∞), isto é:
loga(x1 · x2) = loga(x1) + loga(x2), para todo x1, x2 ∈ (0,+∞).
62 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
2. loga(xb) = b · loga(x).
3. loga
(x1
x2
)
= loga(x1) − loga(x2).
4. loga(b) =
1
logb(a)
.
5. ax = bx logb(a).
Amudança de base da função logarítmica é dada por:
loga(x) =
logb(x)
logb(a)
Um caso particular e importante de função logarítmica é quando a é a constante de Euler, o
número e ≃ 2, 718281. Em tal caso a notação usual é y = f(x) = loge(x) = ln(x), chamado
logaritmo natural de x. Veja o capítulo V.
1
x
y
Figura 1.77: Gráfico de f(x) = ln(x).
A relação entre ax e ex é:
ax =
(eln(a)
)x
= ek x
onde k = ln(a).
Exemplo 1.24.
[1] Determine o domínio da função f(x) = ln(ln(x)).
Note que ln(u) é definido se u > 0; logo, para que f(x) = ln(ln(x)) esteja definido é necessário
que ln(x) > 0; logo x > 1 eDom(f) = (1,+∞).
2 4 6 8 10
-1.0
-0.5
0.5
Figura 1.78: Gráfico de f(x) = ln(ln(x)).
1.20. DESINTEGRAÇÃO RADIOATIVA 63
[2] Determine a inversa da função f(x) = 81 ×
(
6561
)x.
Fazendo y = 81 × (6561)x = 38x+4 e aplicando logaritmo de base b = 3 a ambos os lados:
log3(y) = 8x + 4 e x =
log3(y) − 4
8
ou,
f−1(y) =
log3(y) − 4
8
.
Equivalentemente, f−1(x) =
log3(x) − 4
8
, (x > 0) que é a inversa da função dada.
[3] Uma floresta possui, aproximadamente, 24000m3 de madeira comercializável, a qual au-
menta na razão de 3.5% ao ano. Outra floresta possui, aproximadamente, 48000m3 de madeira
comercializável com a mesma razão de crescimento da primeira.
(a) Quantos anos devem trascorrer para que a primeira floresta tenha a mesma quantidade de
madeira da segunda?
(b) Quantos anos são necessários para que ambas as florestas tripliquem a quantidade de ma-
deira?
Denotemos por f(t) = 24000 × 1.035t e g(t) = 48000 × 1.035t as funções exponenciais que
modelam cada floresta. Então:
(a) Devemos ter f(t) = 48000; logo, 24000 × 1.035t = 48000, então 1.035t = 2. Aplicando
logaritmo natural a ambos os lados:
t =
ln(2)
ln(1.035)
∼= 20.14 anos.
(b) Devemos ter f(t0) = 72000 e g(t1) = 144000, então 1.035t0 = 3 e 1.035t1 = 3. . Aplicando
logaritmo natural a ambos os lados: :
t = t0 = t1 =
ln(3)
ln(1.035)
∼= 31.93 anos.
10 20 30 40 50 60
24 000
48 000
200 000
Figura 1.79: Gráfico de f(x) e g(x).
1.20 Desintegração Radioativa
Considere uma amostra de material que contém uma certa quantidade de isótopo radioativo.
Foi experimentalmente observado que uma fração constante desse material radioativo decairá
64 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
espontaneamente (em outro elemento ou em outro isótopo do mesmo elemento) durante uma
unidade de tempo. A meia-vida de um isótopo radioativo é o tempo necessário para a metade
dele decair.
Por exemplo, a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos, a do Tório-234 é de 24.5 dias, aproxi-
madamente.
Esta é a chave do método para a determinação da idade de objetos orgânicos utilizando Car-
bono-14. Este isótopo é acumulado durante toda a vida e começa a decair com a morte. Como
a meia-vida do Carbono-14 é de 5730 anos aproximadamente, quantidades mensuráveis de
Carbono-14 estão presentes muitos anos após a morte do objeto orgânico.
Por exemplo, umosso após 5700 anos possui ametade da quantidade deCarbono-14 que existia
quando estava vivo; após 11000 anos possui uma quarta parte da quantidade de Carbono-14
que existia quando estava vivo; após 16000 anos possui uma oitava parte de Carbono-14 que
existia quando estava vivo.
Para determinar a função que representa o exemplo, consideramos 5730 anos como unidade.
Seja C0 a quantidade inicial de Carbono-14; então a quantidade C de Carbono-14 após t unida-
des de tempo é calculada por:
C(t) = C0
[
1
2
]
t
5730
.
Em geral, se a meia-vida de um isótopo radioativo é h anos, então a quantidade de isótopo
após t unidades de tempo é determinada por:
Q(t) = Q0
[
1
2
]
t
h
,
ondeQ0 é a quantidade inicial.
Escrevamos a função que representa o decaimento radioativo do Carbono-14 utilizando a fun-
ção exponencial: f(t) = et. Devemos deteminar k tal que C0
(1
2
)
t
5730 = C0 e
k t. Aplicando
logaritmo a ambos os lados: k = − ln(2)
5730
= −0.0001216 e:
C(t) = C0 e
−0.0001216 t.
0 5000 10 000 15 000 20 000
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.80: Gráfico de C = C(t) para C0 = 1.
1.20. DESINTEGRAÇÃO RADIOATIVA 65
Exemplo 1.25.
[1] Se uma amostra de carvão vegetal achada contem 63 % de Carbono-14, em relação a uma
amostra atual de igual massa, determine a idade da amostra achada.
C0 × 0.63 = C(t) = C0 e−0.000121 t; aplicando logaritmo a ambos os lados:
t = − ln(0.63)
0.0001216
∼= 3799.63,
que é igual, aproximadamente, a 3800 anos.
[2] O elemento radioativo polônio-210 tem uma meia-vida de 140 dias aproximadamente. Sa-
bendo que uma amostra pesa 20miligramas inicialmente, quanto restará após duas semanas?
Q(t) = 20 e−kt; como a meia-vida do polônio-210 é de 140 dias, então, Q(140) = 10; logo,
20 e−140k = 10 e k =
ln(2)
140
∼= 0.004951; portanto,
Q(t) = 20 e−0.004951t
e Q(14) = 18.66 miligramas.
[3] A população de uma cidade é de 20000 habitantes, de acordo com um censo realizado em
1990 e 25000 habitantes de acordo de um censo realizado em 1995. Sabendo que a população
tem um crescimento exponencial, pergunta-se:
(a) qual era a população no ano de 1980?
(b) quando a cidade atingirá uma população de 40000 habitantes?
(a) Q(t) = 20000 ekt; por outro lado, 25000 = Q(5) = 20000 e5k e k =
1
5
ln
(5
4
) ∼= 0.044628; logo,
Q(t) = 20000 e0.044628t
e Q(−10) = 12800 habitantes.
(b) Se Q(t) = 40000, então t = 15.531; aproximadamente, 15 anos.
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15
10 000
20 000
30 000
40 000
Figura 1.81: Gráfico da evolução da população.
[4] Se a população de uma certa espécie de peixes num ambiente limitado é dada por:
L(t) =
50000
1 + 199 e−t
,
66 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
onde t denota o número de semanas transcorridas, quanto tempo será necessário para a popu-
lação atingir 20000 peixes?
Devemos determinar t = L−1(y), onde y = L(t); logo, t = L−1(y) = ln
( 199 y
50000 − y
)
. Então,
para y = 20000, temos
t = ln
(398
3
) ∼= 4.88 semanas.
0 2 4 6 8 10 12 14
50 000
30 000
10 000
0 10 000 20 000 30 000 40 000 50 000
2
4
6
8
10
Figura 1.82: Gráficos de L e L−1, respectivamente.
1.21 Funções Trigonométricas
Fenômenos de natureza cíclica ou periódicos são associados às funções trigonométricas. Por
exemplo, o batimento cardíaco, as ondas de rádio, o ritmo oscilatório dos braços durante uma
corrida, o movimento periódico dos planetas e a vibração de átomos em cristais.
Definição 1.10. Uma função f é periódica de período t, t > 0, quando para todo x ∈ Dom(f),
x + t ∈ Dom(f) e f(x) = f(x + t).
O gráfico de uma função periódica de período t se repete em cada intervalo de comprimento t.
Veja os exercícios.
1.21.1 Função Seno e Função Co-seno
As funções trigonométricas podem ser estendidas para todos os números reais de modo que
sejam preservadas todas as suas propriedades básicas.
A forma de estender é a seguinte: considere um círculo centrado na origem de raio 1 e fixe
o ponto A = (1, 0) em tal círculo; considere como sentido positivo, o sentido anti-horário;
analogamente, o sentido negativo é o sentido horário.
Para cada x ∈ R associamos um ponto P de modo que:
Se 0 < x < 2π, partimos de A e percorremos o círculo no sentido positivo até obter um arco
cujo comprimento seja x. O ponto onde o arco termina é P .
Se −2π < x < 0, partimos de A e percorremos o círculo no sentido negativo até obter um
arco cujo comprimento seja |x|. O ponto onde o arco termina é P . Assim a cada número real
corresponde um ponto P .
Se x > 2π será necessario dar mais uma volta no círculo, no sentido positivo, para atingir a
extremidade P do arco. Idem para x < −2π. Assim a cada número da forma x + 2 k π (k ∈ Z)
corresponderá um ponto do círculo.
1.21. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 67
Definição 1.11.
1. Função Seno É a ordenada de P :
f(x) = sen(x) .
2. Função Co-seno É a abscissa de P :
f(x) = cos(x) .
Por exemplo sen(2003) indica que estamos calculando o seno de 2003 radianos. Nas duas
funções temos que Dom(f) = R e Im(f) = [−1, 1]; seno é uma função ímpar e co-seno é uma
função par; ambas são periódicas de período 2π.
x
-1
1
y
Figura 1.83: Gráfico do Seno.
Observe que se f(x) = sen(x), então f
(
x +
π
2
)
= cos(x); logo, o gráfico do co-seno é uma
translação de
π
2
do gráfico do seno.
x
-1
1
y
Figura 1.84: Gráfico do Co-seno.
1.21.2 Função Tangente e Função Secante
Definição 1.12. Se cos(x) 6= 0, definimos:
1. Função Tangente :
f(x) = tg(x) =
sen(x)
cos(x)
2. Função Secante :
f(x) = sec(x) =
1
cos(x)
68 CAPÍTULO1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Nas duas funções temos que Dom(f) = {x ∈ R/x 6= π
2
+ n π, n inteiro}, Im(tg) = R e
Im(sec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞); tangente é uma função ímpar e secante é uma função par;
ambas são periódicas de períodos π e 2π, respectivamente. Seus gráficos são:
-4 -2 2 4
x
-4
-2
2
4
y
Figura 1.85: Gráfico da Tangente.
-4 -2 2 4
x
-1
1
4
2
3
-3
-2
-4
y
Figura 1.86: Gráfico da Secante.
1.21.3 Função Co-tangente e Função Co-secante
Definição 1.13. Se sen(x) 6= 0, definimos:
1. Função Co-tangente :
f(x) = cotg(x) =
cos(x)
sen(x)
2. Função Co-secante :
f(x) = cosec(x) =
1
sen(x)
Nas duas funções temos queDom(f) = {x ∈ R/x 6= nπ, n inteiro}.
Por outro lado, Im(cotg) = R e Im(cosec) = (−∞,−1] ∪ [1,+∞); co-tangente e co-secante são
funções ímpares; ambas são periódicas de períodos π e 2π, respectivamente.
1.21. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 69
-6 -4 -2 2 4 6
x
-4
-2
2
4
y
Figura 1.87: Gráfico da Co-tangente.
-6 -4 -2 2 4 6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
Figura 1.88: Gráfico da Co-secante.
Observe os gráficos de seno e co-secante, co-seno e secante:
1 2 3 4 5 6
x
-2
-1
1
2
y
1 2 3 4 5 6
x
-2
-1
1
2
y
Figura 1.89:
Tangente e co-tangente:
70 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1 2 3
-2
-1
1
2
Figura 1.90:
Exemplo 1.26.
[1] O fluxo de ar através da traquéia é uma função periódica do tempo x e se dá em ambos os
sentidos dos pulmões (inspiração e expiração). O fluxo pode ser representado pela função:
f(x) = Asen(w x),
onde A é o fluxo máximo durante a expiração e inspiração; w é o período respiratório, tal que
w =
2π
T
,
onde T é o tempo que o indivíduo leva para fazer um ciclo completo. A função f(x) é, certa-
mente, uma aproximação, pois T varia de indivíduo a indivíduo. Mas, estudos experimentais
mostram que é uma "boa"aproximação da realidade.
0.2 0.4 0.6 0.8 1
-2
-1
1
2
Figura 1.91: Gráfico para A = 1 e T = 14 , A = 2 e T =
3
10 .
[2] O ritmo oscilatório dos braços durante uma corrida pode ser representado por:
y = f(x) =
π
9
sen
(8π
3
[
x − 3
4
])
=
π
9
sen
(8π x
3
)
,
onde y é o ângulo compreendido entre a posição do braço e o eixo vertical e x é o tempomedido
em segundos. O período é
3
4
segundos por ciclo, isto é, uma oscilação completa, obtida quando
o braço descreve o ciclo para frente e para trás, é concluida em
3
4
segundos.
1.21. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 71
1 2 3 4
-0.3
0.3
Figura 1.92: Gráfico de f(x) =
π
9
sen(
8π x
3
) para x ∈ [0, 4].
[3] O movimento harmônico simples descreve a posição das oscilações regulares em torno de
uma posição de equilíbrio e que variam suavemente, como um pêndulo que oscila continua-
mente na vertical sem nehum tipo de restrição, como por exemplo, a fricção. Estas posições são
muito bem descritas pelas funções:
f(t) = k sen(w t + b) ou g(t) = k cos(w t + b),
onde k, b ∈ R e w > 0.
O período é o tempo
2π
w
necessário para uma oscilação completa e a frequência
w
2π
é o número
de oscilações por unidade de tempo.
O movimento harmônico amortecido descreve fenômenos de oscilação onde são impostas res-
trições, como por exemplo, um pêndulo que oscila com fricção. Tal tipo de movimento é des-
crito por:
f(x) = e−ax sen(b x) a, b > 0.
1 2 3 4
-0.4
-0.8
0.4
0.8
Figura 1.93: Gráfico para f(x) = e−ax sen(b x).
[4] Se f é uma função periódica de período l, então a função definida por g(x) = f(k x + m) é
periódica de período
l
k
, se k > 0.
De fato:
g
(
x +
l
k
)
= f
(
k
(
x +
l
k
)
+ m
)
= f(k x + m + l) = f(k x + m) = g(x).
Por exemplo, as funções f(x) = sen(k x) e g(x) = cos(k x) são periódicas de período
2π
k
.
72 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
Determinemos o período da função g(x) = sen
(
2x +
π
3
)
. Seja f(x) = sen(2x) que é periódica
de período π; g(x) = sen
(
2x +
π
3
)
= sen
(
2
(
x +
π
6
))
= f
(
x +
π
6
)
; logo, a função g é periódica
de período π.
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
Figura 1.94: Gráfico de g (vermelho) e de f (azul).
[5] Esbocemos o gráfico de f(x) = |sen(x)|.
ComoDom(f) = R, Im(f) = [0, 1], f é uma função par e periódica de período 2π; então, basta
estudar f(x) no primeiro quadrante. sen(x) ≥ 0 se 0 ≤ x ≤ π.
-6 -4 -2 2 4 6
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 1.95: Gráfico de f(x) = |sen(x)|.
1.22 Funções Trigonométricas Inversas
É claro que a função y = sen(x) não possui uma inversa, pois para cada y existem infinitos x
que satisfazem a relação y = sen(x). Geometricamente, qualquer reta paralela ao eixo dos x de
equação y = b com b ∈ [−1, 1], intersecta o gráfico da função infinitas vezes. Para evitar esta
situação, restringimos o domínio de sen(x) para obter uma nova função que não apresentará
este problema. A rigor estas duas funções são diferentes, pois tem domínios diferentes. Isto
será feito para cada função trigonométrica.
1.22.1 Função Arco seno
Definamos a função :
f :
[
− π
2
,
π
2
]
−→ [−1, 1]
tal que f(x) = sen(x). Esta nova função possui inversa chamada função arco seno.
f−1 : [−1, 1] −→
[
− π
2
,
π
2
]
é denotada por y = f−1(x) = arcsen(x) e definida por:
y = arcsen(x) ⇐⇒ sen(y) = x
1.22. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 73
Para representar graficamente a função f−1(x) = arcsen(x), usamos a simetria de f e f−1 em
relação a y = x. O gráfico é:
-1.0 -0.5 0.5 1.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Figura 1.96: Gráfico de f(x) = arcsen(x).
O domínio usado para definir a função arco-seno, poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes:
[π
2
,
3π
2
]
,
[3π
2
,
5π
2
]
, ..., etc.; esta observação também será válida para as
outras funções trigonométricas.
Exemplo 1.27.
[1] Calcule arcsen
(
√
2
2
)
.
Devemos resolver a equação y = arcsen
(
√
2
2
)
, que é equivalente a calcular sen(y) =
√
2
2
. A
solução desta equação é y =
π
4
; então arcsen
(
√
2
2
)
=
π
4
.
[2] Calcule arcsen
(
sen
(13π
6
))
.
Observe primeiramente que
13π
6
/∈ [−π
2
,
π
2
]; então, não podemos escrever
arcsen
(
sen
(13π
6
))
=
13π
6
.
Mas sen
(13π
6
)
= sen
(
2π +
π
6
)
= sen
(π
6
)
e
π
6
∈ [−π
2
,
π
2
]; então,
arcsen
(
sen
(13π
6
))
= arcsen
(
sen
(π
6
))
=
π
6
,
pois sen e arcsen são inversas.
[3] Verifique que cos(arcsen(x)) =
√
1 − x2, |x| ≤ 1.
Se y = arcsen(x), então sen(y) = x, y ∈
[
− π
2
,
π
2
]
; de sen2(y) + cos2(y) = 1, segue que
cos2(y) = 1 − sen2(y) = 1 − x2; logo, cos(y) =
√
1 − x2, pois y ∈
[
− π
2
,
π
2
]
e
cos(arcsen(x)) =
√
1 − x2.
74 CAPÍTULO 1. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
1.22.2 Função Arco co-seno
Como no caso anterior, definamos a função : f : [0, π] −→ [−1, 1] tal que f(x) = cos(x); esta
nova função possui inversa chamada função arco co-seno:
f−1 : [−1, 1] −→ [0, π]
é denotada por y=f−1(x) = arccos(x) e definida por:
y = arccos(x) ⇐⇒ cos(y) = x
Para representar graficamente a função f−1(x) = arccos(x), usamos a simetria de f e f−1 em
relação a y = x.
-1 1
1.5
Figura 1.97: Gráfico de f(x) = arccos(x).
O domínio usado para definir a função arco co-seno poderia ser substituido por qualquer dos
intervalos seguintes: [π, 2π], [2π, 3π], ..., etc.
Exemplo 1.28.
[1] Calcule arccos(−1).
Devemos resolver a equação y = arccos(−1), que é equivalente a calcular cos(y) = −1. A
solução desta equação é y = π; logo arccos(−1) = π.
[2] Calcule arccos
(
√
2
2
)
.
Devemos resolver a equação y = arccos
(
√
2
2
)
, que é equivalente a calcular cos(y) =
√
2
2
. A
solução desta equação é y =
π
4
; logo, arccos
(
√
2
2
)
=
π
4
.
[3] Determine o domínio da função f(x) = arccos
( 2x
x + 1
)
.
A função arccos(u) é definido se, e somente se u ∈ [−1, 1], logo para que arccos
( 2x
x + 1
)
esteja
definido é necessário que
2x
x + 1
∈ [−1, 1]. Então: −1 ≤ 2x
x + 1
≤ 1; resolvendo as inequações
temos que x ≤ 1 e x ≥ −1
3
; logo,Dom(f) =
[
− 1
3
, 1
]
.
[4] Verifique que arcsen(x) + arccos(x) =
π
2
.
1.22. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 75
Como cos
(π
2
− y
)
= sen(y). Logo, cos
(π
2
− arcsen(x)
)
= sen
(
arcsen(x)
)
= x;