Exercicios aprofundamento

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SI
ST
EM
A
S 
LI
N
EA
R
ES
EXERCÍCIOS APROFUNDADOS 2020 - 2022
SISTEMAS LINEARES
Nesta série de apostilas conheceremos o que são equações lineares, sistemas lineares 
e aprenderemos a resolver um sistema linear com duas ou mais equações.
Esta subárea é composta pelos módulos:
1. Exercícios Aprofundados: Sistemas Lineares
3www.biologiatotal.com.br
SISTMA LINEARES
1. (EPCAR (AFA) 2019) Considere o 
sistema abaixo
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 2 1 9
a b c
2 1 1 3
a b c
3 1 2 4
a b c

+ + =


+ − =


− − = −

Sabendo-se que a, b e c são números reais 
não nulos, é INCORRETO afirmar que 
a) |𝑎|+|𝑏|+|𝑐|∈(ℝ−ℚ)
b) 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 > 2
c) O determinante da matriz 
2
2
2
a 1 3
0 b 4
0 0 c
 
 
 
 
  é igual a 1.
6
 
d) 
2 2 2
1 1 1
a b c
+ + é par. 
 
2. (ITA 2019) Assinale a opção que 
identifica o lugar geométrico de todos os 
pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 que tornam 
impossível o sistema linear
2
2
x 5y 10
S : .a 5b x 10aby 1
5
− + =

  + + =  
 
 
a) Uma elipse 
b) Uma reta 
c) Uma parábola 
d) Uma hipérbole 
e) Um único ponto 
 
3. (FAC. ALBERT EINSTEIN - MEDICINA 
2018) Um parque tem 3 pistas para 
caminhada, X,Y e Z. Ana deu 2 voltas na 
pista X, 3 voltas na pista Y e 1 volta na 
pista Z, tendo caminhado um total de 
8.400 metros. João deu 1 volta na pista X, 2 
voltas na pista Y e 2 voltas na pista Z, num 
total de7.940 metros. Marcela deu 4 voltas 
na pista X e 3 voltas na pista Y, num total 
de 8.110 metros. O comprimento da maior 
dessas pistas, excede o comprimento da 
menor pista em 
a) 1.130 metros. 
b) 1.350 metros. 
c) 1.570 metros. 
d) 1.790 metros. 
 
4. (IME 2018) Seja o seguinte sistema de 
equações, em que s é um número real:
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0
2x x x 1
sx 2x 0
+ − =
− + + =
 − =
Escolha uma faixa de valores de s em 
que as soluções do sistema são todas 
negativas. 
a) s < ‒2
b) ‒2 < s < 0
c) 0 < s < 1
d) 1 < s < 2
e) s > 2
 
5. (G1 - CFTMG 2018) Se 4x y z 9+ + = e 
x y z 3,+ − = então o valor da expressão 
2 2 2x 2xy y z+ + − é 
a) 3 3. 
4
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o b) 3. 
c) 3. 
d) 0. 
 
6. (FAMERP 2018) As figuras indicam uma 
sequência de empilhamentos de cubos 
de 1cm3. Da primeira pilha em diante, os 
volumes das pilhas, em cm3, são iguais a 
1, 5, 14, 30, 55, e assim sucessivamente.
Sabe-se que a soma 1+22+32+42+52+...+x2 
é um polinômio do terceiro grau, dado por 
3 2P(x) mx nx px,= + + com m, n e p racionais. 
Portanto, P(1) 1,= P(2) 5,= P(3) 14,= P(4) 30= 
e assim por diante. Nas condições dadas, 
m é igual a 
a) 1
2
 
b) 5
6
 
c) 2
3
 
d) 1
6
 
e) 1
3
 
 
7. (ITA 2018) Se o sistema
2 4
3
x y z 0
2a y (2a a)z 0
x ay (a 1)z 0
+ + =
 + − =

+ + − =
admite infinitas soluções, então os 
possíveis valores do parâmetro a são 
a) 1 3 1 30, 1, , .
2 2
− − − +
− 
b) 1 3 1 30, 1, , .
2 2
− +
− 
c) 1 3 1 30, 1, , .
2 2
− + +
− 
d) 0, 1, 1 3, 1 3.− − − − + 
e) 0, 1,1 3,1 3.− − + 
 
8. (UEM 2018) Considere o sistema linear 
nas incógnitas x, y e z dado por meio da 
seguinte operação com matrizes AX = B, 
onde 
1 2 3
A 2 4 6 ,
3 6 9
 
 =  
 
 
 
x
X y
z
 
 =  
 
 
 e 
a
B b ,
c
 
 =  
 
 
 de 
forma que a, b e c sejam números reais 
dados e fixos. 
Assinale o que for correto. 
01) Se a b c 0,= = = isto é, se o sistema 
for homogêneo, então ele será possível 
e indeterminado. 
02) Se a e b forem nulos e distintos de c, 
então o sistema será impossível. 
04) O determinante da matriz A é não 
nulo. 
08) Se a =b = 1 e c = 0, então a terna 
(‒1, 1, 0) é uma solução do sistema. 
16) Se o sistema for homogêneo, então a 
terna (2, 1, 0) é uma solução do sistema. 
 
9. (UECE 2017) O produto dos valores 
dos números reais para os quais a 
igualdade entre pontos do ℝ2, 
 (2x y, x y) ( x, y)λ λ+ - = ocorre para algum 
(x, y) (0, 0)≠ é igual a 
a) ‒2.
b) ‒3.
c) ‒4.
d) ‒5.
 
10. (UEPG 2017) Num bazar, o preço 
total de 3 camisas, 7 calças e 1 sapato é 
R$ 31,50. Mudando-se as quantidades 
5www.biologiatotal.com.br
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opara 4 camisas, 10 calças e 1 sapato, o 
preço total passa para R$ 42,00. Se P é o 
preço total, em reais, de 1 camisa, 1 calça 
e 1 sapato, nesse mesmo bazar, assinale o 
que for correto. 
01) P é uma solução da equação 
22x 25x 42 0.− + = 
02) P é igual aos juros simples da 
aplicação de R$ 100,00, durante dois 
meses à taxa de 5,25% ao mês. 
04) P é igual ao montante produzido na 
aplicação a juros simples de R$ 10,00, 
durante três meses à taxa de 2% ao 
mês. 
08) P é maior que R$ 12,00. 
ANOTAÇÕES
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o
GABARITO
1: [B]
Fazendo 2 2
1 1x, y
a b
= = e 2
1 z,
c
=
x 2y z 9
2x y z 3
3x y 2z 4
+ + =
 + − =
 − − = −
Escalonado o sistema acima, 
x 2y z 9
y z 5
2z 4
+ + =
 + =
 =
x = 1, y = 3 e z = 2
Logo,
2 2 2
2 2 2
1 1a 1, b , c
3 2
1 1a b c 1 2
3 2
= = =
+ + = + + <
Portanto, a afirmativa [B] é INCORRETA. 
2: [B]
Uma condição necessária para que o 
sistema linear seja impossível é:
 
( )
2
2
2
2
2 2
2 2
2
1 5
0a 5b 10ab
5
a10ab 5 5b 0
5
10ab a 25b 0
a 10ab 25b 0
a 5b 0
a 5b
-
=
+
æ ö
- - × + =ç ÷ç ÷
è ø
- - - =
+ + =
+ =
= -
Verificação:
Como a = ‒5b,
 
( )
( ) ( )2 2 2
x 5y 10 ix 5y 10
S :
10b x 50b y 1 10b x 5y 1 ii
ì - =- + =ìï ïÛí í
- = × - =ï ïî î
Das equações (i) e (ii),
( )210b 10 1⋅ − =
2 1b
100
= − (impossível)
Assim, o lugar geométrico de todos os 
pares ordenados (𝑎, 𝑏) ∈ ℝ2 que tornam 
impossível o sistema linear dado, é uma 
reta de equação a = ‒5b.
3: [A]
Calculando:
2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 x 820
x 2y 2z 7940 3x 4y 8900 9x 12y 26700 3x 4y 8900 y 1610
4x 3y 8110 4x 3y 8110 16x 12y 32440 7x 5740 z 1950
z x 1950 820 1130m
+ + = + + = + + = + + = =   
   + + = ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ + = ⇒ =   
   + = + = + = = =   
− = − =2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 x 820
x 2y 2z 7940 3x 4y 8900 9x 12y 26700 3x 4y 8900 y 1610
4x 3y 8110 4x 3y 8110 16x 12y 32440 7x 5740 z 1950
z x 1950 820 1130m
+ + = + + = + + = + + = =   
   + + = ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ + = ⇒ =   
   + = + = + = = =   
− = − =2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 x 820
x 2y 2z 7940 3x 4y 8900 9x 12y 26700 3x 4y 8900 y 1610
4x 3y 8110 4x 3y 8110 16x 12y 32440 7x 5740 z 1950
z x 1950 820 1130m
+ + = + + = + + = + + = =   
   + + = ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ + = ⇒ =   
   + = + = + = = =   
− = − =
2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 2x 3y z 8420 x 820
x 2y 2z 7940 3x 4y 8900 9x 12y 26700 3x 4y 8900 y 1610
4x 3y 8110 4x 3y 8110 16x 12y 32440 7x 5740 z 1950
z x 1950 820 1130m
+ + = + + = + + = + + = =   
   + + = ⇒ − − = − ⇒ − − = − ⇒ + = ⇒ =   
   + = + = + = = =   
− = − =
4: [D]
De 
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0
2x x x 1,
sx 2x 0
+ − =
− + + =
 − =
2
1 1 s
D 2 1 1 s 3s 2
s 2 0
−
= − = − +
−
De 2s 3s 2 0,− + =
s = 1 ou s = 2
Se s = 1,
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 3 2 3
1 2 2 3
x x x 0 x x x 0 x x x 0
2x x x 1 3x x 1 3x x 1 SI
x 2x 0 3x x 0 0 1
+ − = + − = + − = 
  − + + = ⇔ − = ⇔ − =  
  − = − + = = 
Se s = 2,
( )
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 2 3 2 3
1 2 1 2 2 3 2 3
x x 2x 0x x 2x 0 x x 2x 0 x x 2x 0
12x x x 1 2x x x 1 3x 3x 1 x x SI
3
2x 2x 0 x x 0 2x 2x 0 x x 0
+ − =+ − = + − = + − =  
   − + + = ⇔ − + + = ⇔ − = ⇔ − =   
   − = − = − + =    − =
( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 3 2 3
1 2 2 3
x x x 0 x x x 0 x x x 0
2x x x 1 3x x 1 3x x 1 SI
x 2x 0 3x x 0 0 1
+ − = + − = + − = 
  − + + = ⇔ − = ⇔ − =  
  − = − + = = 
Dessa forma, para s ≠ 1 e s ≠ 2,
7www.biologiatotal.com.br
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o
 
( )
( )
( )
1 2 3
1 2 3
1 2
x x sx 0 i
2x x x 1 ii
sx 2x 0 iii
ì + - =
ïï- + + =í
ï - =ïî
Da equação (i), 
1 3 2x sx x= −
Substituindo 1 3 2x sx x= − na equação ( )ii ,
( )
( ) ( )
3 2 2 3
3 2 2 3
2 3
2 sx x x x 1
2sx 2x x x 1
3x 1 2s x 1 iv
− − + + =
− + + + =
+ − =
Substituindo 1 3 2x sx x= − na equação ( )iii ,
( )
( ) ( )
3 2 2
2
3 2 2
2
2 3
s sx x 2x 0
s x sx 2x 0
x s 2 s x 0 v
⋅ − − =
− − =
⋅ − − + =
Da equação ( )v ,
( )
( )
2
3 2
2
3 2
x s 2
x
s
x s 2
x
s
− ⋅ − −
=
⋅ +
=
Substituindo ( )23 2
x s 2
x
s
× +
= na equação ( )iv ,
( ) ( )2 2 2
2
2 2
2
2
2
2
s 2
3x 1 2s x 1
s
sx
s 3s 2
x 0,
s 0
s 3s 2
s 3s 2 0
1 s 2
+
+ − ⋅ ⋅ =
=
− +
<
<
− +
− + <
< <
Substituindo 
2
2 2
sx
s 3s 2
=
− +
 na equação 
 ( )23 2
x s 2
x ,
s
× +
=
3 2
3
2
s 2x
s 3s 2
x 0,
s 2 0
s 3s 2
+
=
− +
<
+
<
− +
Como 2s 3s 2 0,− + <
s 2 0 s 2+ > ⇒ > −
Substituindo 
2
2 2
sx
s 3s 2
=
− +
 e 3 2
s 2x
s 3s 2
+
=
− +
 
na equação 1 3 2x sx x ,= −
1 2
1
2
2sx
s 3s 2
x 0,
2s 0
s 3s 2
=
− +
<
<
− +
Como 2s 3s 2 0,− + <
2s 0
s 0
>
>
Portanto, se 1 s 2,< < as soluções do 
sistema serão todas negativas. 
5: [C]
Desenvolvendo temos:
4 4 4
4
4
( 1)x y z 9 x y z 9 x y z 9
x y z 3 x y z 3 x y z 3
3 92z 3 9 z
2
  × −+ + = + + = − − − = −  ⇒ ⇒ +  
+ − = + − = + − =    
− +
− = − ⇒ =
Elevando a segunda equação ao quadrado, 
temos:
⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 3 + 2 3𝑧 + 𝑧2𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧2
= 3 + 2 3𝑧 ⇒ 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧2
= 3 + 2 3 ×
− 3 + 94
2
𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧2
= 3 − 3 + 3 × 324 = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑧2 = 3
 
6: [E]
Calculando:
m
m
m
P(1) m n p 1
P(2) 8m 4n 2p 5
P(3) 27m 9n 3p 14
Dm
D
1 1 1
D 8 4 2 12 54 72 108 24 18 12
27 9 3
1 1 1
D 5 4 2 12 28 45 56 15 18 4
14 9 3
D 4 1m
D 12 3
= + + =
= + + =
= + + =
=
= = + + − − − = −
= = + + − − − = −
−
= = =
−
http://www.biologiatotal.com.br
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m
P(1) m n p 1
P(2) 8m 4n 2p 5
P(3) 27m 9n 3p 14
Dm
D
1 1 1
D 8 4 2 12 54 72 108 24 18 12
27 9 3
1 1 1
D 5 4 2 12 28 45 56 15 18 4
14 9 3
D 4 1m
D 12 3
= + + =
= + + =
= + + =
=
= = + + − − − = −
= = + + − − − = −
−
= = =
−
 
7: [B]
Como o sistema dado é homogêneo e 
admite infinitas soluções, temos:
Daí,
 
( ) ( )
( )
2 3 4 2 4
4 2
3
2a a 1 2a a 2a a 2a a 0
2a 3a a 0
a 2a 3a 1 0
× - + - - - × - =
- - =
× - - =
a 0= ou 32a 3a 1 0− − =
Na equação 32a 3a 1 0,− − = verifica-se, por 
inspeção, que ‒1 é raiz.
Então,
Assim, as raízes da equação 22a 2a 1 0− − = 
também são raízes da equação 
32a 3a 1 0.− − =
Da equação 22a 2a 1 0,− − =
 
( ) ( ) ( )22 2 4 2 1
a
2 2
- - ± - - × × -
=
×
1 3a
2
+
= ou 1 3a
2
−
=
Portanto, os possíveis valores do 
parâmetro a que fazem com que o sistema 
dado admita infinitas soluções são:
1 3 1 30, 1, ,
2 2
− +
− 
8: 01 + 02 = 03.
[01] CORRETA. Se o sistema for 
homogêneo então ele será possível e 
indeterminado. 
[02] CORRETA. Os coeficientes da 
matriz A são proporcionais entre si 
(L2=2⋅L1; L3=3⋅L1). Para que o sistema 
seja possível, os coeficientes dos termos 
independentes (matriz B) também devem 
ser proporcionais.
[04] INCORRETA. Calculando:
1 2 3
2 4 6 36 36 36 36 36 36 0
3 6 9
= + + − − − =
[08] INCORRETA. O sistema será 
impossível. Os coeficientes da 
matriz A são proporcionais entre si 
(L2=2⋅L1; L3=3⋅L1). Para que o sistema 
seja possível, os coeficientes dos termos 
independentes (matriz B) também devem 
ser proporcionais.
[16] INCORRETA. Se o sistema for 
homogêneo seus termos independentes 
serão iguais a zero, portanto a terna dada 
não será solução. 
9: [B]
De acordo com a igualdade acima, 
podemos escrever que:
 2x y x (2 ) x y 0
x y y x (1 ) y 0
λ λ
λ λ
+ = × - × + =ì ì
Ûí í- = × - + × =î î
Para que o sistema homogêneo admita 
outras soluções além da (0, 0) devemos 
considerar que seu determinante dos 
coeficientes seja nula:
 
2
2
2 1
0
1 (1 )
(2 ) (1 ) 1 0
(2 2 ) 1 0
3 0
λ
λ
λ λ
λ λ λ
λ λ
-
=
- +
- - × + - =
- + - - - =
- - =
Logo, o produto das raízes 1λ e 2λ será 
dado por:
9www.biologiatotal.com.br
Ex
er
cí
ci
os
 A
pr
of
un
da
do
s:
 E
xp
on
en
ci
al
 e
 L
og
ar
itm
o 1 2 3 31λ λ
-
× = = - 
10: 01 + 02 = 03.
Calculando:
3x 7y z 31,5 (I)
4x 10y z 42 (II)
x y z P (III)
+ + =
 + + =
 + + =
De (II) (I) :−
x 3y 10,5+ =
De (I) (III) :−
2x 6y 31,5 P+ = −
Assim:
x 3y 10,5 2x 6y 21
P 10,5
2x 6y 31,5 P 2x 6y 31,5 P
+ = − − = − 
⇒ ⇒ = + = − + = − 
 
Analisando as alternativas:
[01] CORRETA. Calculando:
 ( ) ( )222x 25x 42 0 2 10,5 25 10,5 42 0 220,50 262,5 42 0- + = Þ × - × + = Þ - + =
 ( ) ( )222x 25x 42 0 2 10,5 25 10,5 42 0 220,50 262,5 42 0- + = Þ × - × + = Þ - + =
 ( ) ( )222x 25x 42 0 2 10,5 25 10,5 42 0 220,50 262,5 42 0- + = Þ × - × + = Þ - + =
[02] CORRETA. Calculando:
5,25J 100 2 J 10,50
100
= ⋅ ⋅ ⇒ = 
[04] INCORRETA. Calculando:
2J 10 3 J 0,6
100
= ⋅ ⋅ ⇒ = 
[08] INCORRETA. P = 10,5.
ANOTAÇÕES
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Através dos cursos
M
Ó
D
U
LO
EXERCÍCIOS APROFUNDADOS 2020 - 2022
MÓDULO
1. Exercícios Aprofundados: Módulo
Conheça a definição de módulo e aprenda sobre função modular, equação e inequação 
modular.
Esta subárea é composta pelo módulo:
3www.biologiatotal.com.br
MÓDULO
1. (ESPM 2018) Num sistema de 
coordenadas cartesianas, considere 
que o caminho que liga dois pontos só 
poderá ser feito através de segmentos 
paralelos aos eixos coordenados. Dessa 
forma, teremos uma maneira diferente 
de calcular a distância entre dois pontos 
A e B. Vamos representá-la por d(AB) 
e calculá-la da seguinte maneira: 
A B A Bd(AB) | x x | | y y |,= − + − como no 
exemplo abaixo:
A B A Bd(AB) | x x | | y y |
d(AB) 4 2 6
= − + −
= + = 
De acordo com o texto acima, assinale a 
alternativa que representa o conjunto dos 
infinitos pontos P do plano que estão à 
distância d(OP) 5= do ponto O:
 
2. (G1 - CFTRJ 2017) Seja f uma função 
real que tem o gráfico abaixo, onde y f(x).= 
Por exemplo, para x 4,= y assume o valor 
6, como no ponto destacado. 
Determine x, de modo que a expressão 
| y | 5+ tenha valor mínimo. 
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o 3. (Ime 2017) Seja
 f(x) | x 1| | x 2 | | x 3 | | x 2.017 |.= − + − + − + + − 
O valor mínimo de f(x) está no intervalo: 
a) ( , 1.008]−∞ 
b) (1.008,1.009] 
c) (1.009,1.010] 
d) (1.010,1.011] 
e) (1.011, )+ ∞ 
4. (G1 - col. naval 2016) O conjunto 
solução da equação 2 2x 1 x 4x 4x 1+ = + + + 
em ℝ, conjunto dos números reais, é 
a) ℝ
b) [ 1, [.− ∞ 
c) ℝ - [-1, ∞ [. 
d) [0, [.∞ 
e) 1, .
2
 − ∞  
 
5. (PUCRJ 2016) Sejam 𝑓:ℝ→ℝ e 𝑔:ℝ→ℝ 
as funções definidas por f(x) | 3x 1|= − e 
g(x) 1 3x.= − 
a) Esboce os gráficos de f e g no mesmo 
sistema de coordenadas cartesianas.
b) Para quais valores de x, temos 
f(x) g(x) 28?− ≤ Justifique sua resposta.
c) Determine a área do triângulo ABC, 
onde A (0, f(0)),= B (3, g(3))= e C (3, f(3)),= 
justificando sua resposta. 
6. (PUCPR 2018) Considere os seguintes 
dados. 
Pode-se dizer que quando duas variáveis 
x e y são tais que a cada valor de x 
corresponde um único valor de y,segundo 
uma lei matemática, diz-se que y é função 
de x. Considere uma função 𝑓:ℝ→ℝ+ que é 
representada pelo gráfico a seguir. 
Analisando o gráfico, julgue as proposições 
a seguir.
I. f é ímpar. 
II. f é injetora. 
III. A lei matemática de f é f(x) | x | 1.= −
IV. f é crescente se, e só se, x 1.> 
V. (f f )( 1) (f f )(1).− =  
a) Somente II é correta. 
b) Somente I é correta. 
c) Somente III e V são corretas. 
d) Todas as proposições são corretas. 
e) Todas as proposições são falsas. 
7. (G1 - CFTMG 2018) Seja f(x) uma 
função real com três raízes não nulas e 
g(x) uma função definida por 
xg(x) .
| f(x) |
= 
O número de raízes reais que g(x) possui é 
a) 0. 
b) 1.c) 2. 
d) 3. 
8. (IME 2018) Resolva a inequação abaixo, 
onde x é uma variável real.
3 22 | x | 6x 3 | x | 2 0− + + < 
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o9. (FGV 2017) 
a) Escreva um pequeno texto para 
verificar se a proposição: 
x2| x | ,
x
> para 
todo número real x < 0, é verdadeira ou 
falsa. 
b) O lucro obtido por uma livraria foi 
x por cento mais em 2014 do que em 
2013 e y por cento menos em 2015 do 
que em 2014. É correto afirmar que o 
lucro da livraria em 2015 foi maior do 
que em 2013, sabendo que xyx y ?100− > Justifique a sua resposta. 
10. (UEM 2017) Considerando o módulo 
de números reais e as funções envolvendo 
módulo, assinale a(s) alternativa(s) correta(s). 
01) |𝑥| ≠ −𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ. 
02) Se f e g estão definidas no mesmo 
domínio e no mesmo contradomínio, 
então o gráfico de f(x) | x 2 | 2= + − é igual 
ao gráfico de g(x) | x |,= mas deslocado 
em duas unidades para a esquerda no 
eixo x e duas unidades para baixo no 
eixo y. 
04) A função 𝑓:ℝ+→ℝ+, definida por 
f(x) | x |,= é injetora e sobrejetora. 
08) A solução da equação 
| cos (x 4) sen (x 1) x 2 1 | 5 0+ − − + + − + = é 
k ,π para 𝑘∈ℤ+. 
16) A equação | x 1| | x 1| 0+ − − = não 
possui solução real. 
11. (PUCRJ 2017) Sejam g0, 𝑔1:ℝ→ℝ as 
seguintes funções:
0
| x 2 | | x 2 |g (x)
2
+ − −
=
0 0
1
g (4x 6) g (4x 6)
g (x)
2
+ + −
=
a) Faça o esboço do gráfico de g0.
b) Faça o esboço do gráfico de g1.
c) Resolva a inequação 1
xg (x) .
2
≤ 
12. (ITA 2017) Sejam 𝑆1= {(𝑥, 𝑦)∈ℝ2 : 𝑦≥ ||𝑥|−1|} 
e 𝑆2= {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 : 𝑥2 + (𝑦+1)2 ≤ 25}. A área da 
região 1 2S S∩ é 
a) 25 2.
4
π −
b) 25 1.4 π − 
c) 25 .
4
π 
d) 75 1.
4
π − 
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e) 
75 2.
4
π − 
13. (IFSC 2017) Analise as afirmações 
a seguir e assinale a soma da(s) 
proposição(ões) CORRETA(S). 
01) A função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
xf(x) 10 2 ,= − é decrescente e sobrejetiva. 
02) A área da região plana fechada, 
pertencente ao 1º quadrante e limitada 
pela função f(x) 12 2x,= − é igual a 72 u.a. 
04) A imagem da função 𝑓:ℝ→ℝ, 
definida por 2f(x) x 4x 20,= − + é dada 
pelo conjunto lm [16, [.= + ∞ 
08) Se g:ℝ→ℝ é definida por g(x) 2x 11,= − 
então g(2x 3) 4x 5.+ = − 
16) Se a função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
2f(x) x bx 10= + + e com b ∈ ℝ, tem valor 
mínimo igual a 1, então o único valor 
possível para b é 6. 
32) A função 𝑓:ℝ→ℝ definida por 
f(x) | x 2 | 1 ,= − − possui três raízes reais 
distintas. 
 
14. (Espcex (Aman) 2016) O gráfico que 
melhor representa a função real definida 
por 2
4 | x 4 |, se 2 x 7
x 2x 2, se x 2
− − < ≤

− + ≤
 é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
ANOTAÇÕES
GABARITO
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1: [B]
Vamos supor que O é a origem do sistema 
cartesiano.
Seja P(x, y).
Assim, do enunciado, temos:
5 x 0 y 0
x y 5
= − + −
+ =
Daí,
( )
( )
( )
( )
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
x y 5 x 0, y 0
 + = ≥ ≥

− = ≥ ≤

− + = ≤ ≥
− − = ≤ ≤
O sistema acima é representado pelo quadrado da 
alternativa [B]. 
2: Aplicando a definição de módulo no gráfico da 
função y f(x)= e fazendo uma translação vertical 
de 5 unidades, temos o seguinte gráfico.
O valor mínimo que a função | y | 5+ assume é 5, 
já que o menor valor para o modulo de y é zero. 
Portanto, os valores de x para os quais a função 
| y | 5+ assume valor mínimo são x 1= ou x 3.= 
3: [B]
Supondo que x (1008,1009] :∈
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1008 | | x 1009 | | x 2017 | x k= − + − + + − + + − + + − = − +  
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1008 | | x 1009 | | x 2017 | x k= − + − + + − + + − + + − = − +  
S será decrescente.
Supondo que x (1009,1010] :∈
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1009 | | x 1010 | | x 2017 | x k '= − + − + + − + + − + + − = +  
( ) ( )S(x) | x 1| | x 2 | | x 1009 | | x 1010 | | x 2017 | x k '= − + − + + − + + − + + − = +  
S será crescente.
( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
 
 
( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
  ( ) ( ) ( )
mín mín
2 1 1008 1008
x 1009 f(x) 1008 1007 1 0 1 2 1008
2
f(x) 1009 1008 1008 f(x) 1009
⋅ + ⋅
= → = + + + + + + + + =
= ⋅ → < <
 
4: [E]
( )
{ }
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
4x 4x 1 0 x
x 1 x 4x 4x 1 x 4x 4x 1 0 x
x 1 0 x 1
x 1 x 4x 4x 1 x 2x 1
x 1 x 2x 1 2x 1 2x 1
1f(x) f(x) f(x) 0 2x 1 0 x 2
11S x / x ,2 2
 + + ≥ ∀ ∈

+ = + + + → + + + ≥ ∀ ∈
 + ≥ → ≥ −
+ = + + + = + +
+ = + + → + = +
= → ≥ → + ≥ → ≥ −
 = ∈ ≥ − = − ∞  
�
�
�
 
5:
a) Desde que 
13x 1, se x
3f(x) ,
13x 1, se x
3
 − ≥= 
− + <

 temos f(x) g(x),= 
para 1x .3< Assim, os gráficos de f e de g são dados 
pela figura abaixo. 
8
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o b) De (a), sabemos que f(x) g(x) 28− ≤ para todo 
x real menor do que 1.3 Ademais, para 
1x ,
3
≥ temos 
3x 1 (1 3x) 28 6x 30 x 5.− − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤
Portanto, a resposta é {𝑥 ∈ ℝ |𝑥 ≤ 5}.
c) Sendo f(0) 1,= g(3) 8= − e f(3) 8,= temos
0 3 3 01(ABC)
1 8 8 12
1 | 24 3 3 24 |
2
24 u.a.
=
−
= + − +
=
 
6: [C]
[I] Falsa. A função é par, pois o gráfico é simétrico 
em relação ao eixo y.
[II] Falsa, pois f(1) f( 1) 0.= − =
[III] Verdadeira.
[IV] Falsa. f(x) também é crescente para valores 
de x entre 0 e 1.
[V] Verdadeira. f(f( 1)) f(0) 1− = = e f(f(1)) f(0) 1.= = 
7: [B]
Seja f(x) função descrita como uma função real 
com três raízes não nulas.
Note que, f(x) f(x) ou f(x)= − e dessa maneira
 
x
f(x)
xg(x) ou
| f(x) |
x
f(x)
−

= = 



 
Nesse sentido, f(x) f(x)= ± e é sabido que 1
f(x)±
 
não possuem raízes.
Dessa maneira, reescrevendo a função g(x) temos:
1g(x) x
f(x)
= ± ⋅
±
Para calcular sua raiz, devemos igualar a zero, isto 
é: 1g(x) 0 g(x) x 0
f(x)
= ⇒ = ± ⋅ =
±
Resgatando o fato de f(x) função descrita como 
uma função real com três raízes não nulas podemos 
realizar a seguinte operação:
1x 0 x 0
f(x)
± ⋅ = ⇒ ± =
±
 e assim, a função g(x) possui 
somente uma raiz. Como queríamos demonstrar. 
8: 3 22 x 6x 3 x 2 0⋅ − + ⋅ + <
Fazendo x t,=
3 22 t 6t 3 t 2 0⋅ − + ⋅ + <
Por inspeção, verifica-se que 2 é raiz da equação 
3 22 t 6t 3 t 2 0.⋅ − + ⋅ + =
Então,
Então, as raízes da equação 22t 2t 1 0− − = também 
são raízes da equação 3 22t 6t 3t 2 0.− + + =
De 22t 2t 1 0,− − =
1 3t
2
+
= ou 
1 3t
2
−
=
Portanto,
( )3 2 1 3 1 32t 6t 3t 2 2 t 2 t t .
2 2
      + −
− + + = ⋅ − ⋅ − ⋅ −                  
Voltando à inequação 3 22t 6t 3t 2 0,− + + < temos:
( ) 1 3 1 32 t 2 t t 0
2 2
      + −
⋅ − ⋅ − ⋅ − <                  
Logo,
1 3t
2
−
< ou 1 3 t 2
2
+
< <
Assim,
( ) 1 3i x
2
−
< (sem solução, pois 
1 3 0)
2
−
<
( ) 1 3ii x 2
2
+
< <
De 
1 3x ,
2
+
>
1 3x
2
+
> ou 
1 3x
2
+
< −
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o| cos(x 4) sen(x 1) x 2 1 | 5.+ − − + + − = −
Absurdo, pois |α| ≥ 0 para todo α ∈ ℝ.
Observação: Provavelmente houve erro de 
digitação onde se lê x 2 1.+ − 
[16] Falsa. É fácil ver que x = 0 é solução da 
equação. 
11: a) De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )0
2 se x 2
g x x se 2 x 2
2 se x 2
− ≤ −
= − ≤ ≤
 ≥
b) De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )
( )
( )
( )
+ + − + −
+ =
+ − +
+ =
+ − +
+ =
+ = + − +
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 8 4x 4
g 4x 6
2
4 x 2 4 x 1
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 2 2 x 1
De ( )0
x 2 x 2
g x ,
2
+ − −
=
( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 4 4x 8
g 4x 6
2
4 x 1 4 x 2
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 1 2 x 2
− + − − −
− =
− − −
− =
− − −
− =
− = − − −
De x 2,<
2 x 2− < <
Dessa forma,
1 32 x
2
+− < < − ou 
1 3 x 2
2
+
< <
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ: −2 < 𝑥 < −
1 + 3�
2
 𝑜𝑢 
1 + 3�
2
< 𝑥 < 2 . 
9: a) Verdadeira. Calculando:
x
x
x 0
2Se x 0 x2 x0
x
>
< ⇒ ⇒ >
<
 
b) Sim, é correto afirmar que o lucro da livraria em 
2015 foi maior do que em 2013. Calculando:
( )
2014 2013
2015 2013
2015 2014
2015 2013 2 2
100 xL L 100 x 100 y100 L L
100 y 100 100L L
100
100 x y xyL L 1
100 100
+
= ⋅
+ −
⇒ = ⋅ ⋅
−
= ⋅
 ⋅ −
= ⋅ + −  
 
( )
2014 2013
2015 2013
2015 2014
2015 2013 2 2
100 xL L 100 x 100 y100 L L
100 y 100 100L L
100
100 x y xyL L 1
100 100
+
= ⋅
+ −
⇒ = ⋅ ⋅
−
= ⋅
 ⋅ −
= ⋅ + −  
 
Mas,
( )xyx y 100 x y xy
100
− > ⇒ ⋅ − >
Logo,
( )
2015 20132 2
100 x y xy 0 L L
100 100
⋅ −
− > ⇒ >
 
10: 02 + 04 = 06.
[01] Falsa. Tem-se que | 0 | 0 0.= − =
[02] Verdadeira. De fato, o gráfico de h(x) | x 2 |= + 
corresponde ao gráfico de g deslocado de duas 
unidades no sentido negativo do eixo das abscissas. 
Ademais, o gráfico de f corresponde ao gráfico de 
h deslocado de duas unidades no sentido negativo 
do eixo das ordenadas.
[04] Verdadeira. Com efeito, pois para quaisquer 
𝑥1, 𝑥2 ∈ ℝ+, com 1 2x x ,≠ tem-se que 1 2| x | | x | .≠ 
Logo, a função f é injetiva.
Por outro lado, é fácil ver que para todo 𝑦 ∈ ℝ+ 
existe pelo menos um 𝑥 ∈ ℝ+ tal que y | x | .= Em 
consequência, f é sobrejetiva.
[08] Falsa. A equação possui solução real se, e 
somente se,
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( )
( )
( )
( )
0
0
0
0
4x 6 2 4x 6 2
g 4x 6
2
4x 4 4x 8
g 4x 6
2
4 x 1 4 x 2
g 4x 6
2
g 4x 6 2 x 1 2 x 2
− + − − −
− =
− − −
− =
− − −
− =
− = − − −
Assim,
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
1
1
1
g 4x 6 g 4x 6
g x
2
2 x 2 2 x 1 2 x 1 2 x 2
g x
2
g x x 2 x 1 x 1 x 2
+ + −
=
+ − + + − − −
=
= + − + + − − −
( )1
2 se x 2
2x 2 se 2 x 1
g x 0 se 1 x 1
2x 2 se 1 x 2
2 se x 2
− ≤ −
 + − ≤ ≤ −= − ≤ ≤
 − ≤ ≤
≥
c) Teremos:
Do gráfico, ( )1
xg x ,
2
≤
44 x
3
− ≤ ≤ − ou 
40 x
3
≤ ≤ ou x 4≥
Portanto, 
𝑆 = 𝑥 ∈ ℝ: −4 ≤ 𝑥 ≤ −
4
3
 𝑜𝑢 0 ≤ 𝑥 ≤
4
3
 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 4
12: [A]
Esboçando o gráfico de y || x | 1|≥ − e a 
circunferência definida por 2 2x (y 1) 25,+ + ≤ a 
região 1 2S S∩ será a apresentada em amarelo na 
figura a seguir.
Calculando sua área, tem-se que essa será igual a 
um quarto da área do círculo menos a área de um 
quadrado de lado 2, ou seja:
( )
2 2
1 2
5 25S S 2 2
4 4
ð ð⋅
∩ = − = −
 
13: 04 + 08 = 12.
[01] Falsa. A função não é sobrejetiva, pois seu 
conjunto imagem é de ] , 10[− ∞ não coincidindo 
com o seu contradomínio (conjunto dos números 
reais).
[02] Falsa. Sabemos que os pontos A(0,12) 
e B(6, 0) pertencem ao gráfico desta função, 
portanto, a área do triângulo formado será dada 
por:
6 12A 36
2
⋅
= =
[04] Verdadeira. Determinando o valor da ordenada 
do vértice, temos:
2 2
V
b 4 a c ( 4) 4 1 20y 16
4 a 4 1
− ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅
= − = − =
⋅ ⋅
(valor mínimo da função).
Logo, seu conjunto imagem será lm [16, [.= + ∞
[08] Verdadeira.
( )g(2x 3) 2 2x 3 11 4x 5.+ = ⋅ + − = −
[16] Falsa.
2
2
2
b 4 a c 1
4 a
4 1 10 b 4 1
b 36 b 6
− ⋅ ⋅
− = −
⋅
⋅ ⋅ − = ⋅
= ⇒ = ±
25 .
4
π
25 .
4
π
π π
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2
2
b 4 a c 1
4 a
4 1 10 b 4 1
b 36 b 6
− ⋅ ⋅
− = −
⋅
⋅ ⋅ − = ⋅
= ⇒ = ±
[32] Falsa.
 
Portanto, a equação possui duas raízes. 
14: [C]
Construindo o gráfico da função f(x) 4 4 x ,= − − 
para 2 x 7.≤ ≤
x 4 0 x 4− = ⇒ =
Construindo o gráfico para 2 x 7,≤ ≤ temos:
Construindo agora o gráfico da função 
2f(x) x 2x 2,= − + para x 2.≤
Intersecção com o eixo y : (0, 2)
Não intercepta o eixo x, pois 4.Ä = −
x 2 1 0 x 2 1 0 x 2 1
x 2 1 ou x 2 1 x 3 ou x 1
− − = ⇒ − − = ⇒ − = ⇒
− = − = − ⇒ = =
Vértice
V
V
b ( 2)x 1
2 a 2 1
( 4)y 1
4 a 4 1
V(1,1)
Ä
−
= − = − = −
⋅ ⋅
−
= − = − =
⋅ ⋅
2f(2) 2 2 2 2 2= − ⋅ + =
Portanto, o gráfico da função pedida será:
 
Δ
Δ
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Através dos cursos
FU
N
ÇÕ
ES
EXERCÍCIOS APROFUNDADOS 2020 - 2022
FUNÇÕES
1. Exercícios Aprofundados: Função e Função do 1º Grau
2. Exercícios Aprofundados: Função do 2º grau
3. Exercícios Aprofundados: Função Composta e Inequações
4. Exercícios Aprofundados: Função Inversa
Aprenda sobre funções: domínio, imagem, gráfico, função do 1º e 2º grau, função 
composta, inequações, paridade e classificação de funções e função inversa!
Esta subárea é composta pelo módulo:
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FUNÇÃO E FUNÇÃO DO 1º GRAU
1. (UFPR 2018) Considere os conjuntos 
de pares ordenados 
C = {(-2,2), (-1,1), (-1,4), (1,1), (1,5)} e 
Q = {(4,6), (5,0), (5,3), (6,5), (7,1)}.
Diremos que a reta r separa os pontos 
dos conjuntos C e Q quando nenhum 
elemento de C está à direita da reta r e 
nenhum elemento de Q está à esquerda 
da reta r.
Na figura abaixo, podemos ver que a reta de 
equação y = 3x - 2 separa os pontos de C e 
Q. Por outro lado, a reta de equação y = -x + 
4 não separa os pontos de C e Q, pois o par 
ordenado (1,5) pertence ao conjunto C e está 
à direita dessa reta.
a) A reta de equação y = 2x +1 separa os 
pontos dos conjuntos C e Q? Justifique 
sua resposta. 
b) Para quais valores de 𝑎 ∈ ℝ a 
reta de equação 𝑦 = 𝑎𝑥 − 3 separa os 
pontos dos conjuntos C e Q. 
 
2. (FUVEST 2018) Considere a função 
real definida por
 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1𝑥
�
+ 1 −
1
𝑥
�
− 𝑥 . 
a) Qual é o domínio de 𝑓? ?
b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) 
qual(is) 𝑓(𝑥) = 0.
 
3. (UEL 2015) ViajeBem é uma empresa 
de aluguel de veículos de passeio que 
cobra uma tarifa diária de R$160,00 
mais R$1,50 por quilômetro percorrido, 
em carros de categoria A. AluCar é uma 
outra empresa que cobra uma tarifa diária 
de R$146,00 mais R$2,00 por quilômetro 
percorrido, para a mesma categoria de 
carros.
a) Represente graficamente, em um 
mesmo plano cartesiano, as funções 
que determinam as tarifas diárias 
cobradas pelas duas empresas de 
carros da categoria A que percorrem, 
no máximo, 70 quilômetros.
b) Determine a quantidade de 
quilômetros percorridos para a qual 
o valor cobrado é o mesmo. Justifique 
sua resposta apresentando os cálculos 
realizados. 
 
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4. (UEM-PAS 2015) Dadas a função afim𝑓? e 
a função afim 𝑔 definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 3 
e 𝑔(𝑥) = 15𝑥 + 𝑚 − 3, em que 𝑎, 𝑚 ∈ ℝ e 
𝑎 ≠ 0, assinale o que for correto. 
01) Se m = 3, então o gráfico de 𝑔 
passa pela origem. 
02) As funções 𝑓? e 𝑔 são crescentes. 
04) A função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é crescente, 
para todo 𝑚 ∈ ℝ e 𝑎 > 0. 
08) Se 𝑎 = 15 e 𝑚 ∈ ℝ, então os gráficos 
de 𝑓? e 𝑔 são duas retas paralelas e distintas. 
16) Se 𝑎 = 𝑚 = 5, então os gráficos de 𝑓? 
e 𝑔 interceptam-se no ponto 𝑃 − 12 , −
11
2 . 
 
5. (UEM 2017) Considerando as propriedades 
de funções, assinale o que for correto. 
01) O gráfico de uma função afim, cujos 
domínio e contradomínio são ℝ, é uma 
reta. 
02) Sejam A um conjunto formado por 
10 crianças e B um conjunto formado por 
20 adultos, sendo os adultos as 10 mães 
e os 10 pais destas crianças. Então, a lei 
que associa cada criança a seu casal de 
pais é uma função de A em B.
04) Se 𝑓? e 𝑔 são funções reais, sendo 𝑓? 
crescente e 𝑔 decrescente, então 𝑓 − 𝑔 
é uma função constante. 
08) Quaisquer que sejam os conjuntos 
distintos A e B, e funções 𝑓: 𝐴 → 𝐵 e 
𝑔: 𝐴 → 𝐵 , é possível definir a função 
𝑔 ∘ 𝑓: 𝐴 → 𝐵 .
16) Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora 
se todo elemento de 𝑦 ∈ 𝐵 possui um 
correspondente 𝑥 ∈ 𝐴 de tal forma que 
𝑓(𝑥) = 𝑦. 
 
6. (FGV 2014) A quantidade de cópias 
vendidas de cada edição de uma revista 
jurídica é função linear do número de 
matérias que abordam julgamentos de 
casos com ampla repercussão pública. 
Uma edição com quatro matérias desse 
tipo vendeu 33 mil exemplares, enquanto 
que outra contendo sete matérias que 
abordavam aqueles julgamentosvendeu 
57 mil exemplares. 
a) Quantos exemplares da revista seriam 
vendidos, caso fosse publicada uma 
edição sem matéria alguma que abordasse 
julgamento de casos com ampla repercussão 
pública? 
b) Represente graficamente, no plano 
cartesiano, a função da quantidade (Y) de 
exemplares vendidos por edição, pelo número 
(X) de matérias que abordem julgamentos de 
casos com ampla repercussão pública. 
c) Suponha que cada exemplar da revista 
seja vendido a R$ 20,00. Determine 
qual será o faturamento, por edição, 
em função do número de matérias que 
abordem julgamentos de casos com ampla 
repercussão pública. 
 
7. (UERJ 2014) O reservatório A perde 
água a uma taxa constante de 10 litros 
por hora, enquanto o reservatório B ganha 
água a uma taxa constante de 12 litros 
por hora. No gráfico, estão representados, 
no eixo y, os volumes, em litros, da água 
contida em cada um dos reservatórios, em 
função do tempo, em horas, representado 
no eixo x.
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Determine o tempo 𝑥0 em horas, 
indicado no gráfico. 
 
8. (G1 - CFTRJ 2014) Sabendo que r é 
o inverso de s e que f é uma função tal 
que 𝑓(𝑥) = 𝑟 ⋅ 𝑥 − 3 ⋅ 𝑠 − 𝑥 ,quem são 
a abscissa e a ordenada do ponto de 
intersecção do gráfico de f com o eixo dos y? 
 
9. (UFMG 2013) A fábula da lebre e da 
tartaruga, do escritor grego Esopo, foi 
recontada utilizando-se o gráfico abaixo 
para descrever os deslocamentos dos 
animais.
Suponha que na fábula a lebre e a 
tartaruga apostam uma corrida em uma 
pista de 200 metros de comprimento. As 
duas partem do mesmo local no mesmo 
instante. A tartaruga anda sempre com 
velocidade constante. A lebre corre por 
5 minutos, para, deita e dorme por certo 
tempo. Quando desperta, volta a correr 
com a mesma velocidade constante de 
antes, mas, quando completa o percurso, 
percebe que chegou 5 minutos depois da 
tartaruga.
Considerando essas informações,
a) DETERMINE a velocidade média da 
tartaruga durante esse percurso, em 
metros por hora.
b) DETERMINE após quanto tempo da 
largada a tartaruga alcançou a lebre.
c) DETERMINE por quanto tempo a lebre 
ficou dormindo. 
 
10. (UEPG 2013) Considere a equação 
𝑓 1 − 𝑔 𝑥
𝑓 𝑔 2
=
𝑓 2
𝑓 0
onde 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 5x − 6 e 
𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1 . Quanto à raiz dessa equação, 
assinale o que for correto. 
01) É um número primo. 
02) É um número situado entre -10 e 10. 
04) É um número decimal. 
08) É um número par. 
16) É um número maior que 10. 
 
11. (UEG 2012) A figura representa no 
plano cartesiano um triângulo ABC, com 
coordenadas A (0,5), B (0,10) e C (x,0), em 
que x é um número real positivo. 
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Tendo em vista as informações 
apresentadas,
a) encontre a função F que representa a 
área do triângulo ABC, em função de sua 
altura relativa ao lado AB;
b) esboce o gráfico da função F. 
 
12. (UFJF 2012) Uma construtora, para 
construir o novo prédio da biblioteca de 
uma universidade, cobra um valor fixo 
para iniciar as obras e mais um valor, que 
aumenta de acordo com o passar dos 
meses da obra. O gráfico abaixo descreve 
o custo da obra, em milhões de reais, em 
função do número de meses utilizados 
para a construção da obra.
a) Obtenha a lei 𝑦 = 𝑓 𝑥 , para 𝑥 ≥ 0, 
que determina o gráfico.
b) Determine o valor inicial cobrado pela 
construtora para a construção do prédio 
da biblioteca.
c) Qual será o custo total da obra, 
sabendo que a construção demorou 10 
meses para ser finalizada? 
 
13. (UFG 2012) Um estudante observa 
a construção de dois prédios, A e B, 
marcando em um gráfico a altura de cada 
edifício, em cada semana de observação. 
O progresso das construções mantém um 
ritmo constante, de modo que o estudante 
obtém os gráficos a seguir:
Em uma determinada semana, o estudante 
constata, de um ponto da rua onde se 
encontra, que os topos dos prédios 
alinham-se a uma elevação de 45°, como 
indica a figura a seguir.
Com base nos dados apresentados, 
determine em qual semana ocorreu essa 
observação. 
 
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u14. (UFF 2012) Esboce, no sistema de 
eixos coordenados abaixo, o gráfico de uma 
função real cujo domínio é o intervalo [1,2] 
e cuja imagem é o conjunto [-2,-1]∪[2,3].
 
15. (FGV 2011) Nos últimos anos, o salário 
mínimo tem crescido mais rapidamente 
que o valor da cesta básica, contribuindo 
para o aumento do poder aquisitivo da 
população. O gráfico abaixo ilustra o 
crescimento do salário mínimo e do valor 
da cesta básica na região Nordeste, a 
partir de 2005.
Suponha que, a partir de 2005, as 
evoluções anuais dos valores do salário 
mínimo e dos preços da cesta básica, na 
região Nordeste, possam ser aproximados 
mediante funções polinomiais do 1º grau, 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 , em que x representa o 
número de anos transcorridos após 2005.
a) Determine as funções que expressam 
os crescimentos anuais dos valores do 
salário mínimo e dos preços da cesta 
básica, na região Nordeste.
b) Em que ano, aproximadamente, um 
salário mínimo poderá adquirir cerca de 
três cestas básicas, na região Nordeste? 
Dê a resposta aproximando o número de 
anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
16. (UFRJ 2011) Um ponto P desloca-se 
sobre uma reta numerada, e sua posição 
(em metros) em relação à origem é dada, 
em função do tempo t (em segundos), por 
P(t) = 2(1− t) + 8t.
a) Determine a posição do ponto P no 
instante inicial (t = 0).
b) Determine a medida do segmento 
de reta correspondente ao conjunto dos 
pontos obtidos pela variação de t no 
intervalo 0, 32 . 
 
17. (UEPG 2011) Sobre uma função afim 
f(x) = ax + b, assinale o que for correto. 
01) Se a > 0 e b < 0 então f(x) é crescente 
e possui raiz negativa. 
02) Se o gráfico de f(x) passa pelos 
pontos, (–1, 1) e (3, 5) então f(f(–3)) = 1. 
04) Se f(x) + f(x – 3) = x então f(x) = 
1
2 𝑥 +
3
4 . 
08) Se b = – 3 e f(f(–2)) = – 5 então a = 3. 
16) Se a.b > 0 a raiz de f(x) é um número 
positivo. 
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ANOTAÇÕES
18. (UFRJ 2011) Considere o programa 
representado pelo seguinte fluxograma:
a) Determine os valores reais de x para os 
quais é possível executar esse programa.
b) Aplique o programa para x = 0, x = 4 e x = 9.
 
19. (UFJF 2011) Uma função 𝑓: ℝ → ℝ é dita 
estritamente crescente quando 𝑓(𝑥2) > 𝑓(𝑥1)
sempre que x2>x1, com x2, x1∈ ℝ .
a) Dê exemplo de uma função 𝑓: ℝ → ℝ
estritamente crescente.
b) Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função estritamente 
crescente. Para 𝑎 ∈ ℝ fixado, considere a 
função 𝑔: ℝ → ℝ dada por:
𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) (𝑥 − 𝑎). 
Mostre que 𝑔(𝑎) < 𝑔(𝑥) , para todo 𝑥 ≠ 𝑎 . 
 
20. (UFPR 2010) Sabe-se que a 
velocidade do som no ar depende da 
temperatura. Uma equação que relaciona 
essa velocidade v (em metros por segundo) 
com a temperatura t (em graus Celsius) 
de maneira aproximada é v = 20 𝑡 + 273� . 
Com base nessas informações, responda 
às seguintes perguntas:
a) Qual é a velocidade do som à 
temperatura de 27 ºC? (Sugestão: use 
3� = 1,73 )
b) Costuma-se assumir que a velocidade 
do som é de 340 m/s (metros por 
segundo). Isso ocorre a que temperatura?
 
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uGABARITO
b) Sendo 𝑥 ≠ 0, 𝑥 − 1𝑥
�
≥ 0 e 1 −
1
𝑥
�
≥ 0, e 1 −
1
𝑥
�
≥ 0,
podemos concluir que a igualdade
𝑥 −
1
𝑥
�
+ 1 −
1
𝑥
�
− 𝑥 = 0 se verifica apenas se x for 
positivo. Logo, vem
𝑥 −
1
𝑥
�
= 𝑥 − 1 −
1
𝑥
�
⇒ 𝑥 −
1
𝑥 = 𝑥
2 − 2𝑥 1 −
1
𝑥
�
+ 1 −
1
𝑥
  ⇒ 2 𝑥2 − 𝑥� = 𝑥2 − 𝑥 + 1.
Tomando 𝑥2 − 𝑥 = 𝜑, obtemos
2 𝜑� = 𝜑 + 1 ⇔ 𝜑2 − 2𝜑 + 1 = 0
  ⇔ 𝜑 = 1.
Portanto, lembrando que x>0, encontramos
x2-x = 1 ⇔ x2-x-1 = 0
    ⇒ 𝑥 =
1+ 5�
2 .
Fazendo a verificação, temos
1 5 1 1 1 5 2 1 51 1
2 2 21 5 1 5 1 5
2 2
1 1
0.
+ + +
− + − − = + −
+ + +
= −
=
A resposta é 𝑥 =
1 + 5�
2 .
3: a)Sejam 𝑓, 𝑔: [0,  70] → ℝ, com 𝑓(𝑥) = 1,5𝑥 + 160 e 
𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 146, cujos gráficos estão representados 
na figura abaixo. 
1: a) A reta de equação y = 2x + 1 está representada 
em azul no gráfico a seguir. Ela não separa os 
pontos C e Q pois o ponto (1,1) ficou à direita da 
reta, junto com os pontos do conjunto Q. 
b) A reta em questão deve passar entre os pontos 
(4,6) e (1,1). Assim, pode-se calcular:
𝑦 = 𝑎𝑥 − 3
 (1,1) ⇒ 1 = 1𝑎 − 3 ⇒ 𝑎 = 4
 (4,6) ⇒ 6 = 4𝑥 − 3 ⇒ 𝑎 =
9
4
� ⇒ 𝑆 = 𝑎 ∈ ℝ|
9
4 ≤ 𝑎 ≤ 4
2: a) O maior subconjunto dos números reais para 
o qual a função 𝑓 está definida é tal que
 𝑥 −
1
𝑥 ≥ 0
 1 −
1
𝑥 ≥ 0
⇔
 
𝑥 − 1)(𝑥 + 1
𝑥 ≥ 0
 
𝑥 − 1
𝑥 ≥ 0
   ⇔ �
 −1 ≤ 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 ≥ 1
 ∧
 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 ≥ 1
   ⇔ −1 ≤ 𝑥 < 0 ∨ 𝑥 ≥ 1.
Portanto, temos 𝐷𝑓 = [−1,  0[ ∪  [1, +∞[.
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u b) Queremos calcular o valor de x para o qual se 
tem 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). Logo, segue que 
1,5x + 160 = 2x + 146 ⇔ x = 28 km.
4: 01 + 04 + 16 = 21.
[01] Verdadeira, pois 0 = 15 . 0 + 3 - 3.
[02] Falsa. Depende do valor de 𝑎.
[04] Verdadeira. 
𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑎 ⋅ (15𝑥 + 𝑚 − 3) − 3 = 15𝑎𝑥 + (𝑚 − 3) ⋅ 𝑎 − 3, 
pois com 𝑎 > 0, temos 15𝑎 > 0.
[08] Falsa. Se 𝑎 = 15 e m = 0 , elas serão paralelas 
iguais.
[16] Verdadeira, pois resolvendo o sistema 
� 𝑦 = 5𝑥 − 3𝑦 = 15𝑥 + 2
, temos 𝑥 = −
1
2
e 𝑦 = − 11
2
. 
5: 01.
[01] Verdadeira. De fato, seja 𝑓: ℝ → ℝ uma 
função afim, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 
com 𝑎,  𝑏 ∈ ℝ. Tomando quaisquer reais x1, 
x2 e x3, com x1< x2 < x3 , tem-se que os pontos 
𝑃 = (𝑥1, 𝑎𝑥1 + 𝑏),  𝑄 = (𝑥2,  𝑎𝑥2 + 𝑏) e 𝑅 = (𝑥3, 𝑎𝑥3 + 𝑏) 𝑄 = (𝑥2,  𝑎𝑥2 + 𝑏) e 
𝑅 = (𝑥3, 𝑎𝑥3 + 𝑏) estão alinhados. Basta mostrar 
que a maior distância entre dois desses pontos é 
igual à soma das distâncias entre os outros dois 
pontos, isto é, 𝑑(𝑃,  𝑅) = 𝑑(𝑃,  𝑄) + 𝑑(𝑄,  𝑅).
[02] Falsa. Sejam 𝐴 = {𝑓1, … ,  𝑓10} e 
𝐵 = {𝑝1, 𝑚1, … ,  𝑝10, 𝑚10}, em que pi e mi são, 
respectivamente, o pai e a mãe da criança 𝑓𝑖 , 
com 1 ≤ 𝑖 ≤ 10 e 𝑖 ∈ ℕ. Seja ainda 𝑔: 𝐴 → 𝐵 
a relação que associa cada 𝑓𝑖 , de A aos seus pais 
em B.
A relação g não pode ser uma função de A em B, 
pois pelo menos um elemento de A possui mais de 
um correspondente distinto em B.
[04] Falsa. Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ, definidas por 
 𝑓(𝑥) = 𝑥 e 𝑔(𝑥) = −𝑥. É imediato que 𝑓
é crescente e g é decrescente. Porém, temos 
(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 2𝑥 , que é uma função crescente. 
Contradição.
[08] Falsa. Sejam 𝑓, 𝑔: {1} → {−1}, definidas 
por 𝑓(𝑥) = −𝑥 e 𝑔(𝑥) = ℓ𝑛 𝑥. A função 
𝑔 ∘ 𝑓: {1} → {−1} não está definida.
[16] Falsa. Essa é a definição de função sobrejetiva. 
6: Seja 𝑓: ℕ → ℕ a função afim definida por 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, em que 𝑓(𝑥) é o número de 
cópias vendidas e x é o número de matérias 
que abordam julgamentos de casos com ampla 
repercussão pública.
Sabendo que o gráfico de 𝑓 passa pelos pontos 
(4, 33000) e (7, 57000), tem-se que
𝑎 =
57000 − 33000
7 − 4 = 8000.
Logo, 33000 = 8000 ⋅ 4 + 𝑏 ⇔ 𝑏 = 1000.
a) O valor inicial da função 𝑓 , definida acima, é 
igual a 1000.
b) O gráfico pedido é
c) Seja 𝑔: ℕ → ℕ a função definida por 
𝑔(𝑥) = 20 ⋅ 𝑓(𝑥), em que 𝑔(𝑥) é o faturamento 
por adição e 𝑓(𝑥) é o número de cópias vendidas, 
conforme definido em (a).
Portanto, segue-se que
𝑔(𝑥) = 20 ⋅ (8000𝑥 + 1000) = 160000𝑥 + 20000.
7: De acordo com as informações do problema, 
temos:
yA = 720 - 10x
yB = 60 + 12x
O valor x0 indicado no gráfico é o valor de x quando 
yA = yB, ou seja:
720 - 10x = 60 + 12x
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u-22x = -660
x = 30
Logo, x0 = 30 horas. 
8: 𝑟 ⋅ 𝑠 = 1
O ponto de intersecção com o eixo 𝑦 = (0, 𝑓(0)).
Calculando 𝑓(0), temos:
𝑓(0) = 𝑟 ⋅ (0 − 3) ⋅ (𝑠 − 0) = 𝑟 ⋅ 𝑠(−3) = 1. (−3) = −3
Portanto, abscissa do ponto é x = 0 e a ordenada 
do ponto é 𝑓(0) = −3.
9: a) Velocidade média da tartaruga é o coeficiente 
angular da reta que representa seu deslocamento:
200 − 0
240 − 0 =
20
24 =
5
6 ⋅
𝑚
1
60 ℎ
= 50 𝑚 ℎ⁄
b) Equação da posição y da tartaruga (m) em 
função do tempo x (minutos): 𝑦 = 56 ⋅ 𝑥
Equação da posição y (m) da lebre no instante do 
encontro: y = 50
Resolvendo a igualdade 5
6
⋅ 𝑥 = 50, temos x = 60 min = 1 hora
Portanto, a lebre e a tartaruga se encontrarão 1 
hora após o início da corrida.
c) As velocidades são iguais, portanto os 
coeficientes angulares das duas retas são iguais:
200 − 50
245 − 𝑡
=
50 − 0
5 − 0
⇒
150
245 − 𝑡
= 10 ⇒ 𝑡 = 230 min
(tempo em que a lebre voltou a correr depois que 
acordou).
Portanto, a lebre ficou dormindo: 
230 – 5 = 225 min = 3 horas e 45 min. 
10: 04 + 16 = 20. 
𝑓 1 = 12 + 5 ⋅ 1 − 6 = 0
𝑓 2 = 22 + 5 ⋅ 2 − 6 = 8
𝑔 2 = 2 ⋅ 2 − 1 = 3
𝑓 𝑔 2 = 32 + 5 ⋅ 3 − 6 = 18
𝑓 0 = 02 + 5 ⋅ 0 − 6 = −6
𝑓 1 − 𝑔 𝑥
𝑓 𝑔 2
=
𝑓 2
𝑓 0
⇒
0 − (2𝑋 − 1)
18
=
8
−6
⇒ −2𝑋 + 1 = −24 ⇔ 𝑋 = 12,5
[01] Falsa, pois 12,5 não é inteiro.
[02] Falsa, pois 12,5 > 10.
[04] Verdadeira.
[08] Falsa, pois 12,5 não é inteiro.
[16] Verdadeira, pois 12,5 > 10. 
11: a) 𝐹(𝑥) =
10. 𝑥
2
−
5𝑥
2
𝐹(𝑥) =
5𝑥
2
b) Observe o gráfico a seguir:
 
12: a) Como o gráfico de 𝑓 é uma reta, segue que 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, Logo, sabendo que b é a ordenada do 
ponto de interseção do gráfico de 𝑓 com o eixo y, 
temos que b = 2. Além disso, como o gráfico passa 
pelo ponto (12, 8), segue que a taxa de variação de 
𝑓 é tal que 8 = 𝑎 ⋅ 12 + 2 ⇔ 𝑎 =
1
2
.
Portanto, 𝑓(𝑥) =
1
2
𝑥 + 2, com 𝑥 ≥ 0.
b) De (a), temos que o valor inicial, cobrado pela 
construtora para a construção do prédio da 
biblioteca, é igual a 2 milhões.
c) Se a construção demorou 10 meses para ser 
finalizada, então o custo total da obra foi de 
𝑓(10) =
1
2
⋅ 10 + 2 = 7 milhões de reais. 
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u 13 : 
Prédio A: y = 3x + 30
Prédio B: y = 5x + 15
De acordo com a figura, a diferença entre as alturas é 59.
Logo: 
5x + 15 - (3x + 30) = 59
2x = 74
x = 37
Resposta: Na 37a semana. 
14: 
15: a) Seja 𝑆: ℝ → ℝ, definida por 𝑆(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 , 
com 𝑆(𝑥) sendo o salário mínimo x anos após 
2005. Logo,
𝑎 =
510 − 300
5 − 0
= 42 e 𝑏 = 𝑆(0) = 300. 
Portanto, 𝑆(𝑥) = 42𝑥 + 300. 
Seja 𝐶: ℝ → ℝ, definida por 𝐶(𝑥) = 𝑎′𝑥 + 𝑏′, com 
𝐶(𝑥) sendo o valor da cesta básica x anos após 
2005. Assim,
𝑎′ =
184 − 154
5 − 0
= 6 e 𝑏′ = 𝐶(0) = 154.
Por conseguinte, C(x) = 6x + 154.
b) Queremos calcular o menor inteiro x para o qual 
𝑆(𝑥) ≥ 3 ⋅ 𝐶(𝑥).
42𝑥 + 300 ≥ 3 ⋅ (6𝑥 + 154) ⇒ 8𝑥 ≥ 54 ⇒ 𝑥 ≥ 6,75.
Portanto, o menor inteiro x para o qual 
𝑆(𝑥) ≥ 3 ⋅ 𝐶(𝑥). é 7 e, assim, em 2012 um salário 
mínimo poderá adquirir três cestas básicas. 
16: a) 𝑃(𝑡) = 2(1 − 𝑡) + 8𝑡 = 2 − 2𝑡 + 8𝑡 = 2 + 6𝑡 .
𝑃(0) = 2 + 6 ⋅ 0 = 2.
b) Como P(t) = 2 + 6t é crescente, segue que 
a medida do segmento de reta que queremos 
calcular é dada por: 
𝑃
3
2 − 𝑃(0) = 2 + 6 ⋅
3
2 − 2 = 9 metros. 
17: 02 + 04 = 06. 
[01] Falso
Sendo f(x) = ax + b, temos para a > 0 e b < 0 o 
gráfico a seguir:
Portanto, f(x) = ax + b é crescente, porém não possui 
raiz negativa (intercepta x num valor positivo)
[02] Verdadeiro
Considerando f(x) = ax + b, temos:
�&(−1,1) ⇒ 𝑓(−1) = 𝑎(−1) + 𝑏 ⇒ −𝑎 + 𝑏 = 1&(3,5) ⇒ 𝑓(3) = 𝑎(3) + 𝑏 ⇒ 3𝑎 + 𝑏 = 5 ⇒ �
&𝑎 = 1
&𝑏 = 2 
então 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 .
Portanto: 𝑓(−3) = (−3) + 2 = −1
Logo: 𝑓(𝑓(−3)) = (−1) + 2 = 1
[04] Verdadeiro
 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ⇒
𝑓 𝑥 + 𝑓 𝑥 − 3 = 1𝑥 ⇒
𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑎 𝑥 − 3 + 𝑏 = 1𝑥 ⇒
𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑎𝑥 − 3𝑎 + 𝑏 = 1 ⇒
2𝑎𝑥 + 2𝑏 − 3𝑎 = 1𝑥
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uLogo: 
 2𝑎 = 1 → 𝑎 =
1
2
 2𝑏 − 3𝑎 = 0 → 𝑏 =
3
4
 
Portanto: 𝑓(𝑥) = 12 𝑥 +
3
4
[08] Falso
Para 𝑏 = −3 → 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 3 ⇒
𝑓 −2 = −2𝑎 − 3 ⇒
𝑓 𝑓 −2 = 𝑎 −2𝑎 − 3) − 3 ⇒
𝑓(𝑓(−2)) = −2𝑎2 − 3𝑎 − 3
Portanto: 𝑓 𝑓 −2 = −5
Logo: −2𝑎2 − 3𝑎 − 3 = −5 ⇒
−2𝑎2 − 3𝑎 + 2 = 0
Temos: 𝑎1 = −2 𝑜𝑢 𝑎2 =
1
2
[16] Falso
Se 𝑎 < 0 e 𝑏 < 0 ⇒ 𝑎𝑏 > 0
Logo, a raiz de 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 será negativa
18: a) Sejam f, g e h, respectivamente, as funções 
definidas por
 𝑓(𝑥) = 𝑥� − 1,
𝑔(𝑥) = 2𝑥−2 =
2
𝑥2
ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2)
1
3.
Temos que o domínio de 
I) 𝑓 é {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 0};
II) 𝑔 é {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 0};
III) ℎ é ℝ.
Assim, apesar do domínio da função 𝑔 não admitir 
x = 0, o teste 𝑥� − 1 < 1 > 1 não é satisfeito para este 
valor de x ( 𝑔 será aplicada apenas para x >4).
Portanto, o programa descrito pelo fluxograma é 
executável apenas para x≥0.
b) 
x 0 4 9
𝑥� − 1 0� − 1 = −1 4� − 1 = 1 9� − 1 = 2
𝑥� − 1 > 1? Não Não Sim
Função �(𝑥 + 2) 
1
3 �(𝑥 + 2) 
1
3
2
𝑥2
Saída � (0 + 2) 
1
3 = 23 � (4 + 2) 
1
3 = 63
2
92
=
2
81
 
19: a) A função 𝑓: ℝ → ℝ, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, 
é estritamente crescente. 
b) Como 𝑔(𝑎) = [𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑎)](𝑎 − 𝑎) = 0, queremos 
mostrar que 𝑔(𝑥) > 0 para todo 𝑥 ≠ 𝑎.
Sabendo que 𝑓 é estritamente crescente, temos 
que: 
i) Se 𝑥 < 𝑎, então 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) < 0 e 𝑥 − 𝑎 < 0;
ii) Se 𝑆𝑒 𝑥 > 𝑎, então 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) > 0 e 𝑥 − 𝑎 > 0.
Portanto, de (i) e (ii) segue o resultado pedido. 
20: 
a)v 27 = 20 27 + 273� = 20. 300� = 200 3� ≈ 346 𝑚 𝑠⁄
b)340 . 20 . 𝑡 + 273� ⇔ 17 = 𝑡 + 273� ⇔ 𝑡 + 273 = 289 ⇔ 𝑡 = 16𝑜 𝐶 
ANOTAÇÕES
e
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FUNÇÃO DO SEGUNDO GRAU
1. (UNIFESP 2015) A concentração C, 
em partes por milhão (ppm), de certo 
medicamento na corrente sanguínea após 
t horas da sua ingestão é dada pela função 
polinomial 2C(t) 0,05t 2t 25.= − + + Nessa 
função, considera-se t 0= o instante em 
que o paciente ingere a primeira dose do 
medicamento. 
Álvaro é um paciente que está sendo 
tratado com esse medicamento e tomou 
a primeira dose às 11 horas da manhã de 
uma segunda-feira.
a) A que horas a concentração do 
medicamento na corrente sanguínea de 
Álvaro atingirá 40 ppm pela primeira vez?
b) Se o médico deseja prescrever a 
segunda dose quando a concentração 
do medicamento na corrente sanguínea 
de Álvaro atingir seu máximo valor, para 
que dia da semana e horário ele deverá 
prescrever a segunda dose? 
 
2. (UNICAMP 2014) Sejam a e b reais. 
Considere as funções quadráticas da 
forma 2f(x) x a x b,= + + definidas para todo 
x real.
a) Sabendo que o gráfico de y f(x)= 
intercepta o eixo y no ponto (0,1) e é 
tangente ao eixo x, determine os possíveis 
valores de a e b.
b) Quando a b 1,+ = os gráficos dessas 
funções quadráticas têm um ponto em 
comum. Determine as coordenadas desse 
ponto. 
3. (UNESP 2017) A figura representa, em 
vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo 
BIDU) e a área externa de lazer do cachorro, 
cercada com 35 metros de tela vermelha 
totalmente esticada.
Calcule a área externa de lazer do 
cachorro quando x 6 m.= Determine, 
algebricamente, as medidas de x e y 
que maximizam essa área, mantidos os 
ângulos retos indicados na figura e as 
dimensões da casinha. 
 
4. (UFJF-PISM 1 2018) Uma empresa 
confecciona um certo produto A. O custo, 
em reais, para se produzir uma quantidade 
x desse produto é dado pela seguinte 
função:
2C(x) (x 30x 1000) 1000,= − + ⋅ onde x é a 
quantidade produzida do produto A.
a) É possível produzir uma certa 
quantidade deste produto a um custo 
zero? Justifique.
b) Encontre a quantidade que deverá ser 
produzida para que o custo seja mínimo. 
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u 5. (UFPR 2019) A distância que um 
automóvel percorre a partir do momento 
em que um condutor pisa no freio até a 
parada total do veículo é chamada de 
distância de frenagem. Suponha que a 
distância de frenagem d, em metros, 
possa ser calculada pela fórmula
21d(v) (v 8v),
120
= +
sendo v a velocidade do automóvel, em 
quilômetros por hora, no momento em que 
o condutor pisa no freio. 
a) Qual é a distância de frenagem de 
um automóvel que se desloca a uma 
velocidade de 40 km h?
b) A que velocidade um automóvel deve 
estar para que sua distância de frenagem 
seja de 53,2 m? 
 
6. (UNIFESP 2016) A densidade 
populacional de cada distrito da cidade de 
South Hill, denotada por D (em número 
de habitantes por 2km ), está relacionada à 
distância x, em quilômetros, do distrito ao 
centro da cidade. A fórmula que relaciona 
D e x é dada por 2D 5 30x 15x .= + −
a) Um distrito, localizado no centro da 
cidade de São Paulo, tem densidade 
populacional de 216,5 hab / km . Comparando 
a densidade populacional do distrito que 
fica no centro da cidade de South Hill com 
a do distrito do centro da cidade de São 
Paulo, a segunda supera a primeira em 
y%. Calcule y.
b) Determine a que distância do centro 
da cidade de South Hill a densidade 
populacional é máxima. Qual é o valor 
dessa densidade máxima? 
 
7. (UNICAMP 2017) Sejam c um 
número real e 2f(x) x 4x c= − + uma função 
quadrática definida para todo número 
real x. No plano cartesiano, considere a 
parábola dada pelo gráfico de y f(x).= 
a) Determine c no caso em que a abscissa 
e a ordenada do vértice da parábola têm 
soma nula e esboce o respectivo gráfico 
para 0 x 4.≤ ≤
b) Considere os pontos de coordenadas 
A (a, f(a))= e B (b, f(b)),= onde a e b são 
números reais com a b.< Sabendo que o 
ponto médio do segmento AB é M (1, c),= 
determine a e b. 
 
8. (UERJ 2016) Em um triângulo equilátero 
de perímetro igual a 6 cm, inscreve-se um 
retângulo de modo que um de seus lados 
fique sobre um dos lados do triângulo. 
Observe a figura:
Admitindo que o retângulo possui a maior 
área possível, determine, em centímetros, 
as medidas x e y de seus lados. 
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u9. (UEPG-PSS 1 2019) O lucro semanal, 
em reais, de uma empresa é representado 
pela função 2L(x) x 32x 31,= − + − onde x é a 
quantidade semanal vendida. Em relação 
ao exposto, assinale o que for correto. 
01) O lucro semanal é máximo quando a 
quantidade vendida for maior que 31. 
02) Para um lucro semanal de R$ 161,00, a 
quantidade semanal vendida deve ser de 
no mínimo 8. 
04) O lucro semanal é nulo quando a 
quantidade semanal vendida for 1 ou 31. 
08) O lucro máximo semanal é de 
R$ 225,00. 
 
10. (PUCRJ 2018) Considere os pontos 
A (0, 6)= e B (12, 0).= Tomamos um ponto 
P sobre o segmento de reta AB. Considere 
o retângulo R com um vértice na origem, 
um vértice em P e lados sobre os eixos x 
e y. conforme a figura abaixo.
a) Encontre a equação da reta r que passa 
pelos pontos A e B.
b) Sejam (x, y) as coordenadas do ponto 
P. Escreva, em função apenas de x, uma 
fórmula para a área do retângulo R.
c) Qual é a maior área possível para o 
retângulo R? 
 
11. (FGVRJ 2017) João colocou 
para carregar seu celular que estava 
completamente descarregado e, em 
seguida, anotou diversas vezes o tempo 
decorrido de carregamento, em minutos, 
e a porcentagem correspondente da 
carga total que estava acumulada 
naquele instante. O tempo até o final do 
carregamento durou exatamente duas 
horas. 
João representou suas observações como 
pontos no plano cartesiano, onde, no eixo 
horizontal, assinalou o tempo decorrido 
após o início do carregamento e, no vertical, 
a correspondente carga acumulada. 
Esses pontos sugeriram que uma boa 
aproximação para a relação entre essas 
duas grandezas era o arco da parábola de 
eixo r representado no gráfico abaixo: 
a) Determine a expressão da função 
que fornece, para cada valor x do 
tempo de carregamento (em minutos), a 
porcentagem y da carga total acumulada 
até aqueleinstante. 
b) Determine a porcentagem da carga total 
acumulada após 1 hora de carregamento. 
 
12. (UNESP 2017) Admita que um 
imposto sobre a renda mensal bruta fosse 
cobrado da seguinte forma:
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Renda mensal bruta (R)
Taxa de imposto 
sobre a renda 
mensal bruta (T)
Até R$ 2.000,00 Isento
Acima de R$ 2.000,00 e 
até R$ 5.000,00 10%
Acima de R$ 5.000,00 e 
até R$ 8.000,00 15%
Acima de R$ 8.000,00 25%
Nos planos cartesianos abaixo:
- esboce o gráfico de T (em %) em função 
de R (em milhares de reais);
- esboce o gráfico do imposto mensal 
cobrado C (em centenas de reais) em 
função da renda mensal bruta R (em 
milhares de reais) no intervalo de R que 
vai de R$ 0,00 a R$ 8.000,00.
 
13. (UFPR 2017) Um agricultor tem arame 
suficiente para construir 120 m de cerca, 
com os quais pretende montar uma horta 
retangular de tamanho a ser decidido.
 
a) Se o agricultor decidir fazer a horta 
com todos os lados de mesmo tamanho e 
utilizar todo o arame disponível cercando 
apenas três dos seus lados, qual será a 
área da horta? 
b) Qual é a área máxima que a horta pode 
ter se apenas três dos seus lados forem 
cercados e todo o arame disponível for 
utilizado? 
 
14. (FGV 2017)
a) Represente graficamente no plano 
cartesiano a função: 
2t 4t 10, se t 4P(t)
12 t, se t 4
 − + ≤= 
− >
Se a função P(t), em centenas de reais, 
expressa o preço de um produto depois de 
estar t anos no mercado (0 t 8),≤ ≤ qual foi 
o preço máximo alcançado pelo produto? 
b) Qual foi o menor preço alcançado pelo 
produto nesse período de 8 anos? 
 
15. (FGV 2017) A evolução mensal do 
número de sócios de uma revista de 
Matemática durante o ano de 2015 está 
expressa pela função:
100 x(x 4) se 1 x 4
f(x) 100 se 4 x 9
100 (x 9) (x 12) se 9 x 12
− − ≤ ≤
= < ≤
 + − ⋅ − < ≤
em que x 1= representa janeiro de 2015, 
x 2= representa fevereiro de 2015, e 
assim por diante. 
a) Faça um esboço do gráfico da função. 
Qual foi o maior número de sócios nesse 
período? 
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ub) Qual foi a média aritmética do número 
de sócios nos doze meses de 2015? 
 
16. (UEPG 2017) Considerando que f e g 
são funções reais de variável real, definidas 
por 2f(x) ax bx c= + + e 2g(x) ax b= − + e que 
f( 2) f(1) 0− = = e g(0) 1,= assinale o que for 
correto. 
01) A distância entre os vértices das 
funções f(x) e g(x) é menor que 3. 
02) Se A e B são os pontos de interseção 
das funções f e g, então a mediatriz 
do segmento AB é a reta de equação 
16x 8y 9.+ = − 
04) As raízes da função g são 1− e 1. 
08) f(g(x)) é uma função de quarto grau. 
16) A reta de equação x 1y
2
−
= passa pelos 
pontos A e B de interseção das funções 
f e g. 
 
17. (UFJF-PISM 1 2015) Uma função f 
é dita periódica de período p, se existe 
um menor número real positivo p tal 
que f(t) f(t p),= + para todo t no domínio 
de f. Alguns fenômenos naturais, tais 
como as ondas sonoras e as ondas 
eletromagnéticas, podem ser descritos 
por funções periódicas. O gráfico a seguir 
representa um desses fenômenos, a 
tensão 𝑈:[0, +∞)→ℝ em função do tempo 
t.
A partir da análise do gráfico dessa 
função, responda cada questão abaixo, 
justificando suas respostas.
a) Após d unidades de tempo, há instantes 
em que a tensão é zero no intervalo [d, 3]? 
Em caso afirmativo, quais?
b) Determine uma expressão para U(t) no 
intervalo 0 t c≤ ≤ e outra expressão para 
U(t) no intervalo c t d.≤ ≤
c) Para quais valores de t [0, c]∈ temos 
1 U(t) 1?
2
≤ ≤
d) Determine o período da função U(t). Em 
quais instantes a tensão é mínima? 
 
18. (UEM 2016) Considerando as 
funções 𝑓: ℝ → ℝ e 𝑔: ℝ → ℝ dadas por 
2f(x) x 20x 16= − + − e g(x) 5x 10,= − + para 
todo x real, assinale o que for correto. 
01) Para todo 𝑥 ∈ ℝ, f(x) 84.≤ 
02) (f g)(1) 8.+ = 
04) Os gráficos de f e g não se interceptam. 
08) O gráfico da função g é uma parábola 
com concavidade voltada para cima. 
16) A função f não possui inversa e 
1 xg (x) 2,
5
− = − + para todo x real. 
 
19. (PUCRJ 2015) Considere o triângulo 
retângulo de catetos AB 6= e AC 8= 
indicado na figura.
a) Calcule a altura h do triângulo ABC, 
relativa à hipotenusa.
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 S
eg
un
do
 G
ra
u b) Sejam u e v os lados de um retângulo 
inscrito no triângulo como na figura, ou 
seja, com um lado contido na hipotenusa, 
e os outros dois vértices pertencentes aos 
catetos. Calcule u em função de v.
c) Quando v varia de 0 a h, quais são os 
possíveis valores da área do retângulo? 
 
20. (UEM 2016) A velocidade de um 
glóbulo sanguíneo em uma artéria 
depende de sua distância em relação à 
parede arterial. Em uma artéria de formato 
cilíndrico de raio R (em centímetros), a 
velocidade (em centímetros por segundo) 
é descrita pela função V (x) C x (2 R x),= ⋅ − 
onde x (0 x R)< ≤ é a distância (em 
centímetros) do glóbulo em relação à 
parede da artéria, e C é uma constante 
positiva que depende da composição do 
sangue e do tipo do glóbulo sanguíneo. 
Considerando o exposto e conhecimentos 
sobre as células sanguíneas, assinale o 
que for correto. 
01) Segundo o modelo, a velocidade dos 
glóbulos é maior nas extremidades da 
artéria. 
02) A velocidade de um glóbulo a uma 
distância igual a R 2 da parede da artéria 
é de 75% da velocidade de um glóbulo no 
eixo central (x R).= 
04) A unidade de medida da constante C 
é 1 1cm s .− − 
08) A leucocitose é frequente nos 
indivíduos portadores de infecção, caso 
em que o organismo aumenta a produção 
de glóbulos brancos. 
16) As hemácias dos mamíferos são 
anucleadas, retangulares, formadas no 
plasma sanguíneo, e permanecem na 
corrente sanguínea durante toda a vida do 
animal. 
 
ANOTAÇÕES
GABARITO
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Co
m
po
st
a 
e 
In
eq
ua
çõ
es
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1:
a) Queremos calcular o menor valor de t 
para o qual se tem C(t) 40.= Assim, temos 
2 20,05t 2t 25 40 (t 20) 100
t 10 h ou t 30 h.
− + + = ⇔ − =
⇔ = =
A concentração do medicamento na 
corrente sanguínea de Álvaro atingirá 
40 ppm pela primeira vez às 11 10 21h+ = 
da segunda-feira.
b) A concentração do medicamento na 
corrente sanguínea de Álvaro atingirá seu 
valor máximo após 2 20
2 ( 0,05)
− =
⋅ −
 horas. 
Portanto, o médico deverá prescrever 
a segunda dose para as 20 (24 11) 7− − = 
horas da terça-feira. 
2:
a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das 
ordenadas em (0, 1), então b 1.= Além 
disso, como o gráfico é tangente ao eixo 
das abscissas, vem
20 a 4 1 1 0
a 2.
Ä = ⇔ − ⋅ ⋅ =
⇔ = ±
Portanto, a 2= ± e b 1.=
b) Se a b 1 b 1 a,+ = ⇔ = − então 
2f(x) x ax 1 a.= + + − Agora, sem perda 
de generalidade, tomando a 0= e a 1,= 
obtemos 21f (x) x 1= + e 22f (x) x x,= + 
respectivamente. Ora, como os gráficos 
de 1f e de 2f possuem um ponto em 
comum, tem-se 2 2x 1 x x x 1.+ = + ⇒ = Em 
consequência, o resultado pedido é (1, 2). 
3:
a) Calculando:
( ) 2externa externa
x y (y 2) (x 1) 35 x y 19 6 y 19 y 13
S 6 13 2 1 S 76 m
+ + − + − = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =
= ⋅ − ⋅ ⇒ =
 
b) Calculando:
2
máx máx
S(x) x y (2 1)
x y 19 y 19 x
S(x) x (19 x) 2 x 19x 2
19x x 9,5 y 9,5
2 ( 1)
= ⋅ − ⋅
+ = ⇒ = −
= ⋅ − − = − + −
= ⇒ = ⇒ =
⋅ −
 
4:
a) Queremos calcular x de tal sorte que 
C(x) 0.= Logo, temos 
2 2
2
(x 30x 1000) 1000 0 x 30x 1000 0
(x 15) 775.
− + ⋅ = ⇔ − + =
⇔ − = −
Portanto, como 2(x 15) 0− ≥ para todo x 
inteiro não negativo, a equação não possui 
solução e, assim, não é possível produzir 
nenhuma quantidade do produto a custo 
zero. 
b) Reescrevendo a lei da função C, 
encontramos 
2C(x) 1000 (x 15) 775000.= ⋅ − +
Em consequência, como 2(x 15) 0− ≥ para 
todo x inteiro não negativo,segue que o 
custo é mínimo quando x 15.= 
5:
a) Se v 40km h,= então
21d(40) (40 8 40)
120
1(40 8)
3
16 m.
= + ⋅
= +
=
8
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u b) Desde que a b,< vem
2 2 2 2
2
a b 1 b 2 a2
a 4a c b 4b c a 4a (2 a) 4(2 a) 0c
2
b 2 a
a 2a 2 0
a 1 3
.
b 1 3
+
= = −
⇔
− + + − + − + − − − =
=
= −
⇔
− − =
= −
⇒
= +
 
8:
A medida do lado do triângulo equilátero 
é igual a 6 2cm.
3
= Logo, sua altura é 
2 3 3 cm.
2
⋅
= Além disso, o retângulo 
de base xcm determina um triângulo 
equilátero de lado igual a xcm, com 
0 x 2.< < Por conseguinte, da semelhança 
dos triângulos equiláteros, vem 
x 3 y 2 ( 3 y)x .
2 3 3
− ⋅ −
= ⇔ =
 
A área, A, do retângulo é dada por
2
A x y
2 ( 3 y) y
3
3 2 3y .
2 23
= ⋅
⋅ −
= ⋅
 
= − − 
 
 
Desde que a área é máxima, temos 3y
2
= 
e x 1.= 
9: 02 + 04 + 08 = 14.
Tem-se que
2 2L(x) (x 32x) 31 225 (x 16) .= − − − = − −
[01] Falsa. Na verdade, o lucro semanal é 
máximo quando a quantidade vendida for 
igual a 16.
[02] Verdadeira. Com efeito, pois
2 2161 225 (x 16) (x 16) 64
x 8 ou x 24.
= − − ⇔ − =
⇔ = =
b) Se d(v) 53,2 m,= então
2 21 (v 8v) 53,2 v 8v 6384 0
120
v 76km h.
+ = ⇔ + − =
⇒ =
 
6:
a) Quando x é igual a zero (distância igual 
a zero, ou seja, o distrito é o próprio centro) 
a densidade populacional D do centro da 
cidade de South Hill é igual a 25 hab / km , 
de acordo com a equação dada. Assim 
comparando a densidade populacional 
do distrito que fica no centro da cidade de 
South Hill com a do distrito do centro da 
cidade de São Paulo, a segunda supera a 
primeira em:
16,5 5y 2,3 100% y 230%
5
−
= = ⋅ ⇒ = 
b) A função de densidade populacional 
da cidade de South Hill é dada por uma 
função do segundo grau, representada 
graficamente por uma parábola. Assim, 
seu máximo se dá no vértice da parábola. 
A distância máxima x será igual a 
coordenada x do vértice da parábola, 
enquanto a densidade máxima será dada 
pela coordenada y do vértice. Assim, 
pode-se escrever:
v v
2
2
v v
b 30x x 1km
2a 2 ( 15)
30 4 ( 15) 5y y 20 hab / km
4a 4 ( 15)
− −
= = ⇒ =
⋅ −
∆ − ⋅ − ⋅
= − = ⇒ =
⋅ −
 
7:
a) Sendo 4 2
2 1
−
− =
⋅
 a abscissa do vértice, 
vem que a ordenada deve ser igual a 2.− 
Logo, temos 
22 2 4 2 c c 2.− = − ⋅ + ⇔ =
Portanto, segue o gráfico de f. 
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u[04] Verdadeira. De fato, pois
2225 (x 16) 0 x 16 15
x 1 ou x 31.
− − = ⇔ − = ±
⇔ = =
[08] Verdadeira. Com efeito, de acordo 
com [01]. 
10:
a) A reta passa pelos pontos A(0, 6) e 
B(12, 0). Portanto seu coeficiente angular 
será dado por:
2
1
012
60m −=
−
−
=
Portanto, a equação da reta será dada por:
( ) 012y2xx12y20x
2
16y =−+⇒−=−⇒−⋅−=−
b) Determinando o valor de y na equação 
da reta, temos:
2
12xy +−=
Calculando a área do retângulo, temos:
( ) 2x x 12 xA x y A(x) A(x) 6x
2 2
⋅ − +
= ⋅ ⇒ = ⇒ = − +
c) O maior valor para a área do retângulo 
será dado pela ordenada do vértice da 
parábola de equação 
2xA(x) 6x,
2
= − + portanto:
max
36A 18
14 a 4
2
Ä
= − = − =
⋅  ⋅ − 
 
 
11:
a) Calculando:
( )
( )
( )
máx
máx
x 2h 120 min
no vértice
y 100%
x 0
raízes y ax x 240
x 240
1100 120a 120 240 a
144
xy x 240 para 0 x 120
144
= =
⇒  =
=
⇒ ⇒ = ⋅ − =
= ⋅ − ⇒ = −
= − ⋅ − ≤ ≤
b) Calculando:
( )60y 60 240 y 75%
144
= − ⋅ − ⇒ = 
12:
Calculando:
0, se 0 R 2
0,10R, se 2 R 5
C(R)=
0,15R, se 5 R 8
0,25R, se R 8
≤ ≤
 < ≤
 < ≤
 >
 
 
13:
a) Considerando x a medida de cada lado 
da horta, podemos escrever que:
3x 120 x 40 m.= ⇒ =
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u Portanto a área a da horta será dada por:
2 2A 40 1.600 m .= =
b) Considerando que x seja a medida de 
dois de seus lados e 120 2x− a medida 
do terceiro lado, podemos escrever que a 
área da Horta em função de x, poderá ser 
dada por:
2
A(x) (120 2x) x
A(x) 2x 120x.
= − ⋅
= − +
A área máxima será dada pela ordenada 
do vértice da função da área, portanto:
2
2
máx
120A 1.800 m .
4 a 4 ( 2)
Ä
= − = − =
⋅ ⋅ −
 
14:
a) Gráfico:
Preço máximo:
máx máx0 t 8 P (t) 10 preço 100 10 R$ 1000,00≤ ≤ ⇒ = ⇒ = ⋅ =
b) Preço mínimo:
mín mín0 t 8 P (t) 4 preço 100 4 R$ 400,00≤ ≤ ⇒ = ⇒ = ⋅ = 
15:
a) Calculando:
100 x (x 4) se 1 x 4
f(x) 100 se 4 x 9
100 (x 9) (x 12) se 9 x 12
f(1) 100 x (x 4) 100 1 (1 4) 103
f(2) 100 2 (2 4) 104
f(3) 100 3 (3 4) 103
f(4) 100 4 (4 4) 100
f(5) f(6) f(7) f(8) f(9) 100
f(10) 100 (x 9) (x
− ⋅ − ≤ ≤
= < ≤
 + − ⋅ − < ≤
= − ⋅ − = − ⋅ − =
= − ⋅ − =
= − ⋅ − =
= − ⋅ − =
= = = = =
= + − ⋅
máxf (x) 104
12) 100 (10 9) (10 12) 98
f(11) 100 (11 9) (11 12) 98
f(12) 100 (12 9) (12 12) 100
⇒ =
− = + − ⋅ − =
= + − ⋅ − =
= + − ⋅ − =
b) Calculando:
103 104 103 100 6 98 98 100 100,5
12
+ + + ⋅ + + +
= 
16: 02 + 04 + 08 + 16 = 30.
𝑎 + 1 + 𝑐 = 0 ⇒ 𝑎+ 𝑐 = −1 ⇒ 𝑐 = −1− 𝑎
4𝑎 − 2 + 𝑐 = 0 ⇒ 4𝑎 + 𝑐 = 2 ⇒ 4𝑎− 1− 𝑎 = 2 ⇒ 𝑎 = 1
1+ 1+ 𝑐 = 0 ⇒ 𝑐 = −2
𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 − 2 ⇒ 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠  −2,0  𝑒  1;0
𝑔(𝑥 ) = −𝑥 2 + 1 ⇒ 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 (−1,0) 𝑒 (1;0
Analisando as alternativas:
[01] INCORRETA. Pelo gráfico pode 
perceber que a distância entre os vértices 
das funções dadas é maior que 3.
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u[02] CORRETA. Calculando:
( )
( )
( )
2 2
2
2
r r
intersecção x 1 x x 2
3 3 5x y 12 2 42x x 3 0
x 1 y 0
3 5reta r A , e B 1,0
2 4
5 3 1 x 10 m 0 m reta r : y
4 2 2 2 2
3 51 03 5 1 52 4Ponto médio P , e 1,0 P , ,
2 4 2 2 4 8
Mediatri
⇒ − + = + −
−= − ⇒ = − − + =+ − = ⇒
= ⇒ =
 ⇒ − − 
 
 − − = ⋅ − − ⇒ = ⇒ = − 
 
− − + +    ⇒ − − ⇒ = = − −        
s s
r
z s : s r e s P
1m m 2
m
5 1 2 5s : y 2 x y 2x 8y 16x 4 5 16x 8y 9
8 4 4 8
⊥ ⊂
−
= ⇒ = −
 + = − ⋅ + ⇒ = − − − ⇒ = − − − ⇒ + = − 
 
[04] CORRETA. As raízes são 1− e 1.
[08] CORRETA. Calculando:
( ) ( )
2
2
22 2 4 2
f(x) x x 2
g(x) x 1
f(g(x)) x 1 x 1 2 x 3x
= + −
= − +
= − + + − + − = − −
[16] CORRETA. A reta r passa pelos 
pontos A e B de interseção das funções f 
e g, conforme calculado na afirmativa [02]. 
17:
a) Sim. Tem-se que a tensão é zero em 
kt ,
2
= com 𝑘 ∈ ℕ. Logo, a resposta é t 1,= 
3t ,
2
= t 2,= 5t
2
= e t 3.=
b) Para t [0, c],∈ tem-se uma função linear, 
cujo gráfico passa pelo ponto (c,1). Logo, 
vem 1U(t) t,
c
= com t [0, c].∈
Para t [c, d],∈ tem-se uma função afim da 
forma y ax b,= + cujo gráfico passa pelos 
pontos (c,1) e (d, 1).− Daí, sendo a taxa de 
variação dada por
1 1 2a ,
d c c d
− −
= =
− −
encontramos
2 c d1 c b b .
c d c d
+
= ⋅ + ⇔ = −
− −
Portanto, 2 c dU(t) t ,
c d c d
+
= −
− −
 com t [c, d].∈
c) Tem-se que
1 1 1 cU(t) 1 t 1 t c.
2 2 c 2
≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
d) Do gráfico, segue que o período da 
função é igual a 1. Em consequência, 
sendo t d= o primeiro instante para o qual 
a tensão é mínima, podemos concluir que 
a resposta é t d k,= + com 𝑘 ∈ ℕ. 
18: 01 + 02 + 16 = 19.
[01] Verdadeiro. Calculando o ponto 
máximo de f(x), tem-se:
2
máx máximo
20 ( 4) ( 1) ( 16) 400 64f (x) y 84 f(x) 84
4a 4 ( 1) 4 ( 1)
∆ − ⋅ − ⋅ − −
= = − = − = − = → ≤
⋅ − ⋅ −
[02] Verdadeiro. Calculando:
2f(1) (1) 20 1 16 1 20 16 3 (f g)(1) 5 3 8
g(1) 5 1 10 10 5 5
= − + ⋅ − = − + − = + = + =
= − ⋅ + = − =
[04] Falso. Os gráficos se interceptam. 
Isso pode ser comprovado pelo esboço 
dos gráficos ou pelo cálculo dos pontos de 
intercepção, como calculado a seguir:
2 2
2 2 2
5x 10 x 20x 16 x 25x 26 0
25 4 1 26 521 521 22,8 (22 484 e 23 529)
x ' 1,125 22,8x
x '' 23,92
− + = − + − → − + =
∆ = − ⋅ ⋅ = → ≈ = =
=±
= →
=
[08] Falso. O gráfico da função g é uma 
reta (função linear). 
[16] Verdadeiro. A função f não é 
sobrejetora, logo, não possui inversa. Já a 
inversa da função g será:
1y 10 y xy 5x 10 x 2 g (x) 2
5 5 5
−−= − + → == − + → = − +
−
 
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u 19:
 
a) 2 2 2BC 6 8 BC 10= + ⇒ =
Utilizando a relação métrica BC h AB AC,⋅ = ⋅ 
temos:
10 h 6 8 h 4,8⋅ = ⋅ ⇒ =
b)
𝛥𝐴𝐷𝐸 ∼ 𝛥𝐴𝐵𝐶 ⇒
𝑢
10
=
4,8− 𝑣
4,8
⇒ 4,8𝑢 = 48− 10𝑣 ⇒ 𝑢 = 10 −
25
12
⋅ 𝑣
c) A área A do retângulo será dada por:
225 25A u v 10 v v A 10v v
12 12
 = ⋅ = − ⋅ ⋅ ⇒ = − ⋅ 
 
O valor da área máxima será dado por: 
𝐴𝑚á𝑥 = −
𝛥
4 ⋅ 𝑎
= −
100
4 ⋅ − 2512
= 12
Portanto, 0 v 12.< ≤ 
20: 02 + 04 + 08 = 14.
[Resposta do ponto de vista da disciplina 
de Matemática]
[01] Falsa. Nas extremidades das artérias 
o valor de x 0,= logo:
V (0) C 0 (2 R 0) 0.= ⋅ − =
[02] Verdadeira.
2
2
2
V(R) C R (2R R) C R
R R R R 3R 3RV C (2 R ) C C 0,75 C R 0,75 V(R)
2 2 2 2 2 4
= ⋅ ⋅ − = ⋅
  = ⋅ − = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ 
 
[Resposta do ponto de vista da disciplina 
de Física]
[04] Verdadeira.
2
2
1 1
cmV
s
x cm
R cm
V(x) C x (2R x)
cm C [cm] ([cm])
s
cmC [cm] ([cm])
s
cm
sC
[cm]
cmC
s [cm]
1C
s [cm]
C cm s− −
→
→
→
= ⋅ −
  = ⋅ ⋅  
 ⋅ ⋅ =   
 
  =
=
⋅
=
⋅
= ⋅
[Resposta do ponto de vista da disciplina 
de Biologia]
[16] Falsa. As hemácias dos mamíferos 
são células anucleadas, desprovidas 
de organelas, circulares e bicôncavas. 
São produzidas no tecido conjuntivo 
hematopoético da medula óssea vermelha, 
durante 90 a 120 dias e são removidas no 
baço, fígado e na medula óssea vermelha. 
ANOTAÇÕES
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FUNÇÃO COMPOSTA E 
INEQUAÇÕES
1. (UEM 2017) Acerca das funções reais 
𝑓, 𝑔 e ℎ dadas, respectivamente, por 
𝑓(𝑥) = 𝑥 - 2, 𝑔(𝑥) = 𝑥 −2𝑥2 +2 e ℎ(𝑥) = 2𝑥
2 + 4
�
, 
assinale o que for correto. 
01. 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 =
𝑥 − 4
𝑥2 − 4𝑥 + 6
. 
02. Existe x real para o qual (𝑓+𝑔)(𝑥) = 0. 
04. Para todo 𝑥 real, 𝑓(𝑔(𝑥)) = 1. 
08. Para todo 𝑥 real, 𝑔(ℎ 𝑥 = (𝑥 − 2) 2� .
16. A função ℎ possui inversa. 
2. (PUCRJ 2012) Seja 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
−𝑥 + 1
.
a. Calcule 𝑓(2).
b. Para quais valores reais de 𝑥 temos 
𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑥? 
c. Para quais valores reais de 𝑥 temos 
𝑓( 𝑓( 𝑓( 𝑓(𝑥)))) = 2011? 
 
3. (IME 2016) Sejam as funções 𝑓𝑛 para 
𝑛 ∈ {0, 1, 2, 3, ...}, tais que: 𝑓0(𝑥) =
1
1 − 𝑥 
e 𝑓𝑛 (𝑥) = 𝑓0(𝑓𝑛- 1 (𝑥)), para 𝑛 ≥ 1. Calcule 
𝑓2016 (2016) . 
4. (UEFS 2018) Parte dos gráficos de 
duas funções polinomiais do primeiro 
grau, 𝑓 e 𝑔 estão representados na figura, 
em que 𝑓(3) = 𝑔(3).
Se 𝑓(4) = 0 e 𝑔(0) = 0, o conjunto solução 
de 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) > 0 é 
a. 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 0 
b. 𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 4 
c. 𝑥 ∈ ℝ|3 < 𝑥 < 4 
d. 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 3 
e. 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 4 
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es 5. (UEPG 2018) O conjunto A representa o 
domínio da função 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 − 2𝑥 − 3
𝑥 + 9
� e o conjunto 
B é a solução da inequação (𝑥- 1)(𝑥2- 5𝑥+6)<0. 
Em relação aos conjuntos A e B assinale o que 
for correto. 
01. 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ| − 9 < 𝑥 ≤ −1}. 
02. 𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 3}. 
04. 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 1 𝑜𝑢 𝑥 > 2}. 
08. 𝐵 − 𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ −9 𝑜𝑢  − 1 < 𝑥 < 1 𝑜𝑢 2 < 𝑥 < 3}. 
16. A ⊂ B. 
6. (ESPM 2018) Para que o domínio da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 − 𝑘 ) + 1� seja todo o 
conjunto dos reais, deve-se ter: 
a. 𝑘 < 0 
b. 𝑘 > - 1 
c. - 1 ≤ 𝑘 ≤ 1
d. - 2 ≤ 𝑘 ≤ 2 
e. - 1 ≤ 𝑘 ≤ 3 
7. (PUCRJ 2017) Dadas as funções 
𝑓,  𝑔: ℝ → ℝ definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥2- 13𝑥+36 
e 𝑔(𝑥) = - 2𝑥 + 12.
a. Encontre os pontos de interseção dos 
gráficos das duas funções.
b. Encontre os valores reais de 𝑥 para os 
quais 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥).
c. Encontre os valores reais de 𝑥 que 
satisfazem 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑔(𝑥 - 2).
8. (MACKENZIE 2017) Se 𝑓 e 𝑔 são 
funções reais definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥� e 
𝑔(𝑥) =
𝑥
2𝑥2 − 5𝑥 + 2 , então o domínio da 
função composta 𝑓∘𝑔 é o conjunto 
a. 𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 ≤ 12 ∨ 𝑥 ≥ 2 
b. 𝑥 ∈ ℝ|0 ≤ 𝑥 < 12 ∨ 𝑥 > 2
 
c. 𝑥 ∈ ℝ|0 < 𝑥 < 12 ∨ 𝑥 > 2
 
d. 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < 12 ∨ 𝑥 > 2
 
e. 𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 12 ∨ 𝑥 ≥ 2
 
9. (IME 2017) O sistema de inequações 
abaixo admite 𝑘 soluções inteiras.
� 
𝑥2 − 2𝑥 − 14
𝑥
> 3
 𝑥 ≤ 12
Pode-se afirmar que: 
a. 0 ≤ 𝑘 < 2 
b. 2 ≤ 𝑘 < 4 
c. 4 ≤ 𝑘 < 6 
d. 6 ≤ 𝑘 < 8 
e. 𝑘 ≥ 8 
10. (UFJF-PISM 1 2016) Dadas as desigualdades, 
em ℝ:
I. 3𝑥+1 < - 𝑥+3 ≤ - 2𝑥+5
II. 4𝑥 − 1
𝑥 − 2 ≤ 1
O menor intervalo que contém todos os valores 
de 𝑥 que satisfazem, simultaneamente, às 
desigualdades I e II é: 
a. 1
3 , 
3
5
 
b. −2, − 32
 
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esc. −∞, 35
 
d. �− 13 , 
1
2
� 
e. � 43 ,  
3
5
� 
11. (G1 - IFCE 2016) A desigualdade 
𝑥2 − 4𝑥 + 3
𝑥2 − 7𝑥 + 10 > 0
 se verifica para todos os 
números reais 𝑥 tais que 
a. - 1< 𝑥 ou - 3 < 𝑥 < - 2 ou 𝑥 < - 5. 
b. 𝑥 < 1 ou 2< 𝑥 <3 ou 𝑥 > 5. 
c. 1 < 𝑥 < 2 ou 3 < 𝑥 < 5. 
d. 𝑥 > 1 ou 2 < 𝑥 < 5. 
e. 1< 𝑥 < 3 ou 2 < 𝑥 < 5.
 
12. (UNICAMP 2015) Seja 𝑎 um número 
real positivo e considere as funções afins 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+3𝑎 e 𝑔(𝑥) = 9- 2𝑥, definidas para 
todo número real 𝑥.
a. Encontre o número de soluções inteiras 
da inequação 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) > 0.
b. Encontre o valor de 𝑎 tal que 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
para todo número real 𝑥. 
13. (UFES 2015) Um supermercado vende 
dois tipos de sabão líquido para lavagem 
de roupas: o sabão C mais concentrado, e 
o sabão D mais diluído. Para cada lavagem 
de roupas com o sabão C, Sofia gasta 
30ml do produto; usando o sabão D, ela 
gasta 100ml. O sabão C é vendido apenas 
em vasilhames de 600ml custando 12 
reais cada vasilhame. O sabão D é vendido 
apenas em vasilhames de 3 litros, custando 
24 reais cada vasilhame. Na compra de 𝑛 
vasilhames do sabão D, o supermercado 
dá um desconto de 3𝑛% no preço de cada 
vasilhame desse sabão, quando 1< 𝑛 ≤10. 
Quando 𝑛>10 esse desconto é de 30%. 
Sofia resolve comprar n vasilhames do 
sabão D. Calcule 
a. quantos centavos de reais Sofia 
gastaria com o sabão C em cada lavagem 
de roupas, se o comprasse; 
b. o valor mínimo de 𝑛 para que Sofia 
gaste menos reais com o sabão D do 
que com o sabão C, em cada lavagem 
de roupas; 
c. o número máximo de vasilhames do 
sabão D que Sofia pode comprar com 
128 reais. 
14. (UEMA 2015) Uma função consiste 
na associação de dois conjuntos A e B 
de números reais, por meio de uma lei 
𝑓. O subconjunto dos elementos de A 
que corresponde a um, e somente um, 
elemento de B é denominado domínio da 
função D(𝑓).
Considerando que a expressão 
𝑓(𝑥) =
2𝑥2 − 8)(𝑥2 + 𝑥 − 6
𝑥2 + 2𝑥 − 3
�
é uma função, determine o domínio de 𝑓(𝑥). 
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es a. D = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≤ - 2 e 𝑥 ≠ - 3}
b. D = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 < - 2 e 𝑥 ≠ - 3}
c. D = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 > 1; 𝑥 ≥ - 2 e 𝑥 = - 3} 
d. D = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≥ 1; 𝑥 ≤ - 2 e 𝑥 = 3} 
e. D = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 1; 𝑥 > - 2 e 𝑥 ≠ 3} 
15. (PUCRJ 2015) 
a. Para quais valores reais de 𝑥 a inequação 
abaixo é satisfeita?
𝑥2 - 7𝑥 + 15 > 3(𝑥 - 2)
b. Para quais valores reais de 𝑥 a inequação 
abaixo é satisfeita?
𝑥2 − 7𝑥 + 15
𝑥 − 2
> 3
16. (UDESC 2013) Se 𝑛 é um número inteiro, 
então a quantidade de números racionais da 
forma 2𝑛3𝑛 + 15 , que são estritamente menores 
que 7
13 ,
 é: 
a. 21 
b. 25 
c. 20 
d. infinita 
e. 27 
17. (MACKENZIE 2013) A função
𝑓(𝑥) =
9 − 𝑥2
𝑥2 + 𝑥 − 2
�
 
tem como domínio o conjunto solução 
a. S = {𝑥 ∈ ℝ/- 3< 𝑥 ≤- 2 ou 1≤ 𝑥 <3} 
b. S = {𝑥 ∈ ℝ/- 3≤ 𝑥 <- 2 ou 1< 𝑥 ≤3} 
c. S = {𝑥 ∈ ℝ/- 3≤ 𝑥 <- 2 ou 1≤ 𝑥 ≤3} 
d. S = {𝑥 ∈ ℝ/- 2< 𝑥 ≤- 1 ou 1≤ 𝑥 ≤3} 
e. S = {𝑥 ∈ ℝ/- 2≤ 𝑥 <- 1 ou 1< 𝑥 ≤3} 
18. (UFJF 2012) Sejam 𝑓: ℝ→ℝ e 𝑔: ℝ→ℝfunções 
definidas por 𝑓(𝑥) = 𝑥 - 14 e 𝑔(𝑥) = - 𝑥2 + 6𝑥 - 8 
respectivamente.
a. Determine