Aula 3 - Vibração Livre com um grau de liberdade(1)

Prévia do material em texto

Mecânica Vibratória
Vibração Livre com um Grau de Liberdade
1
Prof. Esp. Pinheiro Filho
Mossoró – 2020.1
➢ Introdução 
– Um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma 
perturbação inicial, sem a ação de nenhuma força após essa 
perturbação inicial. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢ Introdução 
– Modelo Massa-Mola 
• Sistema Vibratório mais simples. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢ Introdução 
– Vários sistemas mecânicos podem ser modelados como um 
sistema massa mola. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Equação do Movimento pela Segunda Lei de Newton
• Selecionar uma coordenada adequada para descrever a posição da massa do 
sistema;
• Determinar o equilíbrio estático e medir o deslocamento do corpo em 
relação a posição de equilíbrio;
• Desenhar o diagrama de corpo livre;
• Aplicar a Segunda Lei de Newton. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Equação do Movimento pela Segunda Lei de Newton
• Para o movimento de translação de um corpo rígido, temos: 
• Para um corpo rígido sujeito a movimento rotacional, temos: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Equação do Movimento pela Segunda Lei de Newton
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Equação do Movimento de um sistema massa-mola na vertical
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Solução da Equação
• A solução da equação pode ser encontrada admitindo-se que: 
• Sendo assim, obtemos: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Solução da Equação
• Uma vez que ambos os valores de S satisfazem a equação, a solução geral 
pode ser expressa como:
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Solução da Equação
• Usando as seguintes condições de contorno, temos como solução final 
para equação de movimento: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
▪ O sistema massa-mola é denominado oscilador harmônico;
▪ O movimento é simétrico em relação a posição de equilíbrio da massa;
▪ A velocidade é máxima e a Aceleração zero, toda vez que passar por essa 
posição;
▪ Nos deslocamentos extremos, a velocidade é zero e a aceleração é 
máxima. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
• A natureza de oscilação harmônica pode ser representada em gráfico. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
• Alguns pontos devem ser observados. 
1 – Para um sistema Massa-Mola Vertical, temos: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
• Alguns pontos devem ser observados. 
2 – A velocidade e a aceleração da massa m no tempo t, será dada por: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema de Translação Não 
Amortecido
– Movimento Harmônico
• Alguns pontos devem ser observados. 
3 – Se o deslocamento inicial for zero, a equação torna-se: 
• Contudo, se a velocidade inicial for zero, a solução torna-se: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema Torcional Não Amortecido
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre de um sistema Torcional Não Amortecido
– Equação do Movimento
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.1: A coluna da caixa d’água mostrada na figura tem 91,44 m de altura e é feita de 
concreto reforçado com seção transversal tubular de 2,44 m de diâmetro interno e 
3,05 m de diâmetro externo. A caixa d’água pesa 272 toneladas quando está cheia. 
Desprezando a massa da coluna e admitindo que o módulo de Young do concreto 
reforçado seja 27,6 GPa, determine o seguinte:
a) A frequência natural e o período natural de vibração transversal da caixa d’água;
b) A resposta de vibração da caixa d’água resultante de um deslocamento 
transversal de 25,4 mm;
c) Os valores máximos da velocidade e aceleração da caixa d’agua.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.2: Determine a frequência natural do sistema mostrado na figura.
Admita que as polias não tenham atrito e a massa seja desprezível.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.3: Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e
carregada na outra, requer uma força de 100 N para produzir uma
elongação de 10 mm. Agora, as extremidades da mola são fixadas
rigidamente , uma extremidade acima da outra no sentido vertical, e
uma massa de 10 kg é ligada ao ponto médio do seu comprimento.
Determine o tempo que transcorre para completar um ciclo de
vibração, quando a massa é posta pra vibrar.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.4: Uma haste delgada uniforme de massa m e comprimento l é
articulada no ponto A e está ligada a quatro molas lineares e a uma
mola Torcional, como mostra a figura. Determine a frequência natural
do sistema se k = 2000 N/m, Kt = 1000 N.m/rad, m = 10 kg e l = 5 m.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.5: Um sistema massa-mola com massa de 2 kg e rigidez de 3200
N/m tem um deslocamento de inicial X0 = 0. Qual é máxima
velocidade inicial que pode ser imprimida á massa sem que a amplitude
de vibração livre ultrapasse um valor de 0,1 m?
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.6: Verificou-se que um automóvel tem uma frequência natural de 20
rad/s sem passageiros e 17,37 rad/s com passageiros com massa total
de 500 kg. Determine a massa e a rigidez do automóvel tratando-o
como um sistema com um grau de liberdade.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.7: Um praticante de bungee jumping que pesa 720 N amarra uma
extremidade de uma corda elástica de comprimento 60 m e rigidez
2000 N/m a uma ponte e a outra extremidade a si mesmo e pula da
ponte. Admitindo que a ponte seja rígida. Determine o movimento
vibratório do rapaz em relação a sua posição de equilíbrio estático.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.8: Uma viga em aço de 1 m de comprimento suporta uma massa de
50 kg em sua extremidade livre, como mostra a figura. Determine a
frequência natural de vibração transversal da massa modelando-a como
um sistema com um grau de liberdade. E = 200 Gpa.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Equação do Movimento
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Equação do Movimento
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Equação do Movimento
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Constante de Amortecimento Crítico
• Definido como o valor da constante de amortecimento c para o qual o 
radical na equação torna-se zero. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Fator de Amortecimento
• Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento é definido
como a razão entre a constante de amortecimento e a constante de
amortecimento crítico.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Pelas equações anteriores, temos: 
– E, por consequência: 
– Assim, a equação pode ser escrita como: 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Subamortecido 
• 𝜁 < 1 ou C < Cc ou c/2m < 𝑘/𝑚
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Subamortecido 
• Frequência de Vibração Amortecida 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Subamortecido 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Criticamente Amortecido
• 𝜁 = 1 ou C = Cc ou c/2m = 𝑘/𝑚
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Superamortecido
• 𝜁 > 1 ou C > Cc ou c/2m > 𝑘/𝑚
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Decremento Logarítmico 
• Taxa de redução da amplitude de uma vibração livremente amortecida,
sendo definido como o logaritmo natural da razão entre duas amplitudes
sucessivas.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Decremento Logarítmico 
• Uma vez conhecido δ, 𝜁 pode ser determinado resolvendo-se a equação:
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Viscoso
– Sistemas Torcionais 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.9: O projeto de um absorvedor de choque Subamortecido para uma motocicleta de
200 kg de massa deve atender ás seguintes especificações: Quando o amortecedor
estiver sujeito a velocidade vertical inicial devido a saliência de uma estrada, a curva
deslocamento-tempo resultante deve ser como a indicada abaixo. Determine as
constantes de rigidez e amortecimento necessárias para o amortecedor se o período de
vibração amortecida for de 2 s e a amplitude 𝑥1 tiver sido reduzida a um quarto em
um meio-ciclo (isto é, 𝑥1,5 = 𝑥1/4). Determine também a velocidade inicial mínima
que resulta em um deslocamento máximo de 250 mm.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.10: O diagrama esquemático de um canhão de grande porte é mostrado na figura.
Quando a arma é disparada, gases sob alta pressão aceleram o projétil no interior do
cano até uma velocidade muito alta. A força de reação empurra o cano do canhão no
sentido contrário ao projétil. Visto que é desejável que o canhão volte a posição de
repouso no menor tempo possível sem oscilação, ele é forçado a fazer uma translação
para trás contra um sistema mola-amortecedor criticamente amortecido. Em um caso
particular, o cano do canhão e o mecanismo de recuo têm uma massa de 500 kg com
uma mola de rigidez 10000 N/m. O recuo do canhão após o disparo é 0,4 m.
Determine: o coeficiente de amortecimento crítico e a velocidade inicial de recuo do
canhão.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.11: Uma locomotiva de 2000 kg de massa que está viajando a uma velocidade v =
10 m/s é parada no final da via férrea por um sistema mola-amortecedor como mostra
a figura. Se a rigidez da mola for k = 40 N/mm e a constante de amortecimento for c
= 14 N.s/mm, determine:
a) O deslocamento máximo da locomotiva após alcançar as molas e o amortecedor;
b) O tempo que leva para atingir o deslocamento máximo.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.12: As respostas de vibração livre de um motor elétrico de 500 N de peso
montando sobre uma base que funciona como mola-amortecedor é mostrado na
figura. Determine:
a) A constante elástica e o coeficiente de amortecimento da base;
b) As frequências naturais amortecida e não amortecida do motor elétrico.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• Caso 1: x é positivo e dx/dt é positivo ou x é negativo e dx/dt é positivo. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• Caso 2: x é positivo e dx/dt é negativo ou x é negativo e dx/dt é negativo. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• As equações anteriores podem ser expressas como uma única equação. 
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Sgn(y) é denominada função
signum, cujo valor é dado por:
• 1 para y > 0;
• -1 para y < 0;
• 0 para y = 0;
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• Essa equação é valida apenas para a metade do ciclo, isto é, para 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋/𝜔𝑛
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• Essa equação é valida apenas para o segundo meio-ciclo, isto é, para 
𝜋/𝜔𝑛 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋/𝜔𝑛
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• O movimento para quando 𝑥𝑛 ≤ 𝜇𝑁/𝑘
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Equação do Movimento
• Em cada ciclo sucessivo a amplitude do movimento é reduzida pela
quantidade 4𝜇𝑁/𝑘, de modo que as amplitudes no final de quais quer dois
ciclos consecutivos estão relacionadas da seguinte maneira:
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
➢Vibração Livre com Amortecimento Coulomb
– Sistemas Torcionais
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.13: Um bloco de metal colocado sobre uma superfície rugosa está ligado a uma
mola e recebe um deslocamento inicial de 10 cm em relação à sua posição de
equilíbrio. Após cinco ciclos de oscilação em 2 s, constata-se que a posição final do
bloco é 1 cm em relação a sua posição de equilíbrio. Determine o coeficiente de atrito
entre a superfície e o bloco de metal.
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade
Ex.14: Uma massa de 20 kg desliza para frente e para trás sobre uma superfície seca,
devido a ação de uma mola com rigidez de 10 N/mm. Após 4 ciclos completos,
verificou-se que a amplitude é de 100 mm. Qual é o coeficiente médio de atrito entre
as duas superfícies se a amplitude original era de 150 mm? Quanto tempo transcorreu
durante os 4 ciclos?
Vibração Livre com Um Grau de 
Liberdade