aps-ProcEst-857-2020_1-gabarito

Prévia do material em texto

Gabarito APS – Processos Estocásticos – Prof. Milton Alexandre da Silva Jr.
Questão 1
A comissão de planejamento de um aeroporto está pensando em remodelar as instalações do 
estacionamento de carros. A ideia inicial é realocar a área de estacionamento rápido se, dentre os 
carros que permanecem menos de 3 horas estacionados, o tempo médio de estacionamento for 
inferior a 30 minutos. Para avaliar a situação, uma amostra composta de 25 canhotos de 
estacionamento (com o horário de entrada e de saída do veículo) foi selecionada aleatoriamente 
dentre todos os carros que, em um determinado dia, ficaram estacionados menos de 3 horas. 
Observou-se, então, que o tempo médio de estacionamento de 25 veículos selecionados foi de 28 
minutos com variância igual a 4. Para analisar este problema, foi realizado o Teste t_Student 
(unicaudal e α = 0,05). Qual o valor da estatística deste teste?
Solução:
O valor da estatística para um teste t_Student é dado por:
t 0 =
x−μ
s
√n
onde,
n é o tamanho da amostra
x é a média da amostra
s2 é a variância da amostra
s é o desvio padrão da amostra
μ é a média da população
Do enunciado do problema, podemos concluir que:
n=25, x=28, s2=4, s=2, μ=30
Portanto, temos que a estatística do teste é:
t 0 =
x−μ
s
√n
=
28−30
2
√25
= −5
Questão 2
Uma certa máquina pode estar funcionando ou quebrada. Se, em um dado dia, ela estiver
funcionando, a probabilidade dela estar quebrada no dia seguinte é p, enquanto a probabilidade dela
continuar funcionando é 1–p. Caso, ao estar funcionando, ela quebre, a probabilidade dela ser
reparada e estar funcionando no dia seguinte é r, enquanto que a probabilidade dela continuar
quebrada é 1–r. Quais as probabilidades estacionárias de que a máquina esteja funcionando, ou
quebrada, em um dado dia?
Solução: 
Primeiramente, definimos uma cadeia de Markov com os seguintes estados:
S1 : a máquina está funcionando, S2 : a máquina está quebrada
A matriz de transição entre esses dois estados é:
P = [ p11 p12p21 p22] = [
1−p p
r 1−r ]
Das equações de balanço,
 
π j=∑
i= 1,2
πi⋅pij
obtemos
π1=(1− p)π1+r π2 , π2=pπ1+(1−r)π2
Essa equação, juntamente com a condição de normalização π1+π2=1 , nos fornece as 
probabilidades estacionárias 
π1=
r
p+r
, π2=
p
p+r