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3 PREFÁCIO "Por favor, poderia me dizer que caminho devo seguir agora? Isso depende bastante de até onde você quer chegar." Lewis Carrol - Alice no País das Maravilhas Através dos séculos a Matemática tem sido a mais poderosa e efetiva ferramenta para a com- preensão das leis que regem a Natureza e o Universo. Os tópicos introdutórios que apresentamos neste livro originaram-se, inicialmente, dos pro- blemas práticos que surgiram no dia a dia e que continuaram impulsionados pela curiosidade humana de entender e explicar os fenônemos que regem a natureza. Historicamente, o Cálculo Diferencial e Integral de uma variável estuda dois tipos de proble- mas: os associados à noção de derivada, antigamente chamados de tangências e os problemas de integração, antigamente chamados de quadraturas. Os relativos à derivação envolvem va- riações ou mudanças, como por exemplo, a extensão de uma epidemia, os comportamentos econômicos ou a propagação de poluentes na atmosfera, dentre outros. Como exemplos de problemas relacionados à integração destacam-se o cálculo da áreas de regiões delimitadas por curvas, do volume de sólidos e do trabalho realizado por uma partícula. Grande parte do Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvida no século XVIII por Isaac Newton para estudar problemas de Física e Astronomia. Aproximadamente na mesma época, Gottfried Wilhelm Leibniz, independentemente de Newton, também desenvolveu considerá- vel parte do assunto. Devemos a Newton e Leibniz o estabelecimento da estreita relação entre derivada e integral por meio de um teorema fundamental. As notações sugeridas por Leibniz são as universalmente usadas. O principal objetivo do livro foi apresentar os primeiros passos do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável com simplicidade, através de exemplos, mas sem descuidar do aspecto formal da disciplina, dando ênfase à interpretação geométrica e intuitiva dos conteúdos. O livro inclui a maioria da teoria básica, assim como exemplos aplicados e problemas. As provas muito técnicas ou os teoremas mais sofisticados que não foram provados no apêndice, foram ilustrados através de exemplos, aplicações e indicações bibliográficas adequadas e estão incluidos como referência ou leitura adicional para os leitores interessados. Os conceitos centrais do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável são relativamente pro- fundos e não se espera que possam ser assimilados de uma só vez. Neste nível, o importante é que o leitor desenvolva a habilidade de calcular e adquira a compreensão intuitiva dos proble- mas. As expressões do tipo "é facil ver"ou semelhantes, que aparecem no texto, não devem ser encaradas de forma literal e tem o propósito de dar um aviso ao leitor de que naquele lugar a apresentação é resumida e os detalhes, perfeitamente acessíveis, deverão ser preenchidos. Esperamos que o livro permita ao leitor um acesso rápido e agradável ao Cálculo Diferencial e Integral de uma variável. Não podemos deixar de recomendar aos alunos a utilização, cri- 4 teriosa, dos softwares de Cálculo existente no mercado, pois eles são um complemento útil ao aprendizado da disciplina. Desejamos agradecer aos nossos colegas do Departamento de Análise e do IME-UERJ que, de algum modo, nos motivaram e deram condições para escrever estas notas e à Sra. Sonia M. Alves pela digitação. Certamente, todos os erros são exclusivamente de responsabilidade dos autores. Mauricio A. Vilches - Maria Luiza Corrêa Rio de Janeiro Conteúdo 1 INTRODUÇÃO 9 1.1 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Distância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Plano Coordenado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Equação da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.1 Equação Geral da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.2 Equação Reduzida da Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.3 Paralelismo e Perpendicularismo de Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6 Equações das Cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.7.1 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL 31 2.1 Definições e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Gráficos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Função Modular ou Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.4 Funções Polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.1 Função Polinomial do Primeiro Grau ou Afim . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.4.2 Função Polinomial de Segundo Grau ou Quadrática . . . . . . . . . . . . . 47 2.4.3 Função Polinomial de Grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.4.4 Funções Pares e Ímpares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.5 Interseção de Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Álgebra de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6.1 Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.7 Composta de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.8 Inversa de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.8.1 Método para Determinar a Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.9 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.10 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.10.1 Economia: Cálculo de Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.10.2 Crescimento e Decrescimento Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.10.3 Função Logística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5 6 CONTEÚDO 2.11 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.11.1 Desintegração Radioativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.12 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.12.1 Função Seno e Função Co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.12.2 Função Tangente e Função Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.12.3 Função Co-tangente e Função Co-secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.13 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.13.1 Função Arco seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.13.2 Função Arco co-seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 2.13.3 Função Arco tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.13.4 Funções Arco co-tangente, Arco secante e Arco co-secante . . . . . . . . . 86 2.14 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.15 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3 LIMITE E CONTINUIDADE 99 3.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.2 LimitesLaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.3.1 Cálculo de Limites de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.5 Símbolos de Indeterminação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.6 Limites Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.7 Assíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.7.1 Esboço Aproximado de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.8 Continuidade de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4 DERIVADA 141 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.2 Reta Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.3 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.4 Regras de Derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.5 Derivada da Função Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.6 Derivadas das Funções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.6.2 Função Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.6.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.6.4 Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.6.5 Funções Trigonométricas Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 4.6.6 Funções Hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.7 Derivação Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.7.1 Cálculo da Derivada de uma Função Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.8 Famílias de Curvas Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 4.9 Derivadas de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 4.10 Aproximação Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.11 Velocidade e Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 CONTEÚDO 7 4.12 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.13 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5 APLICAÇÕES DA DERIVADA 191 5.1 Variação de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2 Funções Monótonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 5.3 Determinação de Máximos e Mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.4 Concavidade e Pontos de Inflexão de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.5 Esboço do Gráfico de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.6 Problemas de Otimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.7 Teorema de L’Hôpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 5.7.1 Outros tipos de indeterminações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 5.8 Diferencial de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 5.9 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 6 INTEGRAÇÃO INDEFINIDA 239 6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.2 Tabela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 6.3 Método de Substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 6.3.1 Outros Tipos de Substituições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 6.4 Integrais de Produtos e Potências de Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . 245 6.5 Método de Integração por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.6 Método de Substituição Trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 6.7 Método para Integração de Funções Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 6.8 Mudança: Tangente do Ângulo Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.9 Aplicações da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.9.1 Obtenção de Famílias de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 6.9.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6.10 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 7 INTEGRAÇÃO DEFINIDA 271 7.1 Intodução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.3 Métodos para Calcular Integrais Definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.4 Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.5 Aplicações da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.5.1 Aceleração, velocidade e posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287 7.6 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.7 Volume de Sólidos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 7.7.1 Cálculo do Volume dos Sólidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 7.7.2 Outros Eixos de Revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 7.7.3 Método das Arruelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 7.8 Cálculo do Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 7.9 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7.9.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 7.10 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 8 CONTEÚDO 7.11 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 333 8.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 8.2.1 Aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 8.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 8.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 9 EXEMPLOS DIVERSOS 347 9.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 9.3 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 9.4 Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 10 APÊNDICE 373 10.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 10.2 Funções Deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.3 Funções Integráveis . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378 11 RESPOSTAS 381 11.1 Capítulo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 11.2 Capítulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 11.3 Capítulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 11.4 Capítulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 11.5 Capítulo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386 11.6 Capítulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388 11.7 Capítulo 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 11.8 Capítulo 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391 Bibliografia Básica 392
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