Apostila_Matemática_Básica_1 º_Grau

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MATEMÁTICA - 1°GRAU 
 
 CONJUNTOS 
 RELAÇÕES 
 - pertinência: 
 Os conjuntos são representados por letras maiúsculas e os elementos por 
letras minúsculas. Para indicarmos que um elemento x pertence a um conjunto A, 
escrevemos: x E A (lê-se: x pertence a A). Para indicarmos que o elemento não 
pertence, apenas riscamos o sinal de pertence com uma barra. 
 
 - inclusão: 
 Observe os conjuntos A = {2,3,4} e B = {0,1,2,3,4,5}. Notamos que 
qualquer elemento de conjunto A é também elemento do conjunto B. Dizemos então 
que A está contido em B ou A é um subconjunto de B. Indica-se A C B. Se existir 
pelo menos um elemento de A que não é elemento de B, dizemos que A não está 
contido em B e se indica por A › B. 
 
 A relação de pertinência (E) e a relação de inclusão (C) são diferentes, pois: a 
pertinência relacionam um elemento com um conjunto, enquanto a inclusão 
relaciona um conjunto com outro conjunto. 
 
 OPERAÇÕES: 
 - união: 
 Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um 
conjunto C, formado pelos elementos que pertemcem a A ou pertencem a B, temos: 
C = {0,1,2,3,4,5,6}. O conjunto C, assim formado, denomina-se reunião ou união 
de A e B, que se indica A U B (lê-se: A união B). Assim: 
 A = {0,1,2,3} 
 B = {2,3,4,5,6} 
 C = {0,1,2,3,4,5,6} 
 Quando se trata de 3 ou mais conjuntos, o conjunto reunião é obtido do 
mesmo jeito. Ex: 
 A = {0,2} 
 B = {1,2,7,10} 
 C = {0,5,10} 
 A U B U C = {0,1,2,5,7,10} 
 
 - intersecção: 
 Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um 
conjunto C, formado por todos os elementos comuns a estes dois conjuntos (que 
pertencem a A e a B), temos: C = {2,3}. O conjunto C, assim formado, denomina-
se a intersecção de A e B. Assim: 
 A = {0,1,2,3} 
 B = {2,3,4,5,6} 
 A inter B = {2,3} 
 Para 3 ou mais conjuntos, o conjunto intersecção é formado pelos elementos 
comuns a todos os conjuntos. Ex: 
 A = {2,3,5,7} 
 B = {3,6,7,9} 
 C = {1,3,5,7,9} 
 A inter B inter C = {3,7} 
 
 - complementar: 
 Sejam os conjuntos A = {2,3,5} e B = {0,2,3,4,5,8}. Notamos que A C B (A 
é um subconjunto de B). Vamos formar um novo conjunto, considerando os 
elementos de B que não pertencem ao conjunto A, o qual indicaremos juntamente 
com um traço acima da letra. Ä = {0,4,8}. Esse conjunto é denominado 
complementar de A em B. 
 Dados dois conjuntos A e B, de modo que A C B, denomina-se complementar 
de A em B o conjunto Ä formado pelos elementos de B que não pertencem a A. 
Então: 
 A = {1,6} 
 B = {1,2,3,6,8} 
 Ä = {2,3,8} 
 
 - diferença: 
 Considere os conjuntos A = {0,1,2,3} e B = {2,3,4,5,6}. Determinando um 
conjunto C, formado por todos os elementos de A que não pertencem a B, temos C 
= {0,1}. O conjunto C, assim formado, denomina-se diferença entre A e B, que se 
indica A - B. Assim: 
 A = {0,1,2,3} 
 B = {2,3,4,5,6} 
 A - B = {0,1} 
 
 
 CONJUNTOS NUMÉRICOS (N,Z,Q,R) 
 CONJUNTO N (NÚMEROS NATURAIS) 
 - 
 
 adição: 
 Adição é a operação que faz corresponder a um par ordenado de números 
dados um único número, que é a soma do primeiro com o segundo. Os números 
somados são denominados parcelas e o resultado é denominado soma. Para somar-
se 3 ou mais números deve-se somar primeiro dois, depois soma-se o resultado 
com o terceiro. Ex: 12+34+41 = 46+41 = 87. 
 As propriedades estruturais da adição são: 
 a)fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número 
natural. Ex: 8+4=12 se 8 E N, 4 E N, (8+4) E N; 
 b)comutativa: a ordem das parcelas não altera a soma. Ex: 7+5=12, 
5+7=12. 
 c)elemento neutro: o elemento neutro da adição é o zero. Adicionando 0 a 
um número natural, o seu resultado é sempre o próprio número natural. Ex: 
7+0=7; 
 d)associativa: a adição de 3 parcelas pode ser feita, associando-se as duas 
primeiras ou as duas últimas parcelas, indiferentemente. Ex: 6+4+10 = 10+10 = 
20, 6+4+10 = 6+14 = 20; 
 As outras propriedades da adição são: 
 e)cancelamento: se a+10 = b+10, então a=b. Se x+4 = 5+4, então x=5; 
 f)aditiva: se a=b, então a+10 = b+10. Se a=10 e b=5, então a+b = 10+5 
 
 - subtração: 
 É a operação que determina a diferença entre dois números. A diferença 
entre dois números naturais só existe quando o primeiro número é maior ou igual 
ao segundo. Assim, o 1° número é o minuendo, o 2° é o subtraendo eo resultado é 
chamado de diferença; 
 
 - multiplicação: 
 É a operação que consiste em adicionar parcelas iguais. Ex: na soma 
5+5+5+5 existem 4 parcelas iguais, nesse caso o número 5. Na multiplicação, a 
sentença ficaria 5.4. Tanto a soma quanto a multiplicação dão o mesmo resultado 
(20), mas a multiplicação torna-se muito mais rápida quanto maior for o número de 
parcelas. Os números que se multiplicam chamam-se fatores e o resultado da 
multiplicação é o produto. 
 Convém notar que a multiplicação de qualquer número por 0 dá 0 mesmo, 
pois significa que o número não foi somado nenhuma vez. 
 As propriedades estruturais da multiplicação são: 
 a)fechamento: o produto de dois números naturais é sempre um número 
natural. Ex: 5.2=10, 5 E N, 2 E N e (5.2) E N; 
 b)comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto. Ex: 5.3=15, 
3.5=15; 
 c)elemento neutro: o número 1 é o elemento neutro da multiplicação porque 
qualquer número multiplicado por 1 dá como resultado o próprio número. Ex: 
6.1=6, 19991.1=19991; 
 d)associativa: numa multiplicação de 3 fatores, pode-se associar os dois 
primeiros ou os dois últimos, indiferentemente. Ex: 5.2.3=10.3=30, 5.2.3=5.6=30; 
 e)distributiva da multiplicação em relação à adição (ou à subtração): o 
produto de um número por uma soma (ou diferença) pode ser obtido multiplicando-
se o número por cada um dos termos da soma (ou diferença) e adicionando-se (ou 
subtraindo-se) os produtos parciais. Ex: (3+5).2=3.2+5.2, 4.(7-3)= 4.7-4.3; 
 Outras propriedades: 
 f)cancelamento: se a.5 = 4.5, então a=4. Se x.2=y.2, então x=y. Se o fator 
que aparece nos dois membros é 0, não vale o cancelamento: 2.0=5.0, então 2=5, 
o que é falso. 
 g)multiplicativa: se a=b, então a.5=b.5. Se a=3 e b=2, então a.b=3.2; 
 
 - divisão: 
 É a operação que divide exatamente ou aproximadamente dois um número 
pelo outro. O número que é dividido é o dividendo. O número pelo qual o dividendo 
é dividido é o divisor. O resultado é o quociente e o que sobra é o resto. 
 A divisão é exata quando o resto é igual a zero. Ex: 20 : 5 = 4. Nem sempre 
podemos realizar a divisão exata em N e não existe a divisão por zero. Ex: na 
divisão 10 : 0, vemos que não há número que multiplicado por 0 dê 10, pois 
qualquer número multiplicado por zero é igual a zero mesmo. 
 A divisão é aproximada ou inexata quando o resto é diferente de zero. Deve-
senotar que o resto deve ser sempre menor que o divisor, do contrário a conta está 
errada. Ex: 43 : 8 = 5 e sobram 3. 
 A única propriedade estrutural que vale na divisão é a distributiva da divisão 
exata em relação à adição (ou à subtração). Ex: (20+12):4=20:4+12:4, (18-
6):6=18:6-6:6. 
 
 - potenciação: 
 É um produto de fatores iguais: 3.3.3.3.3 = 3 elevado a 5° = 243. O fator 
que se repete denomina-se base, o número que indica quantas vezes o fator se 
repete é o expoente e o resultado chama-se potência. 
 Veja algumas convenções e casos particulares da potenciação: 
 a)toda potência de expoente 1 é igual à base (a elevado a 1 = a); 
 b)toda potência de expoente 0 é igual a 1 (a elevado a 0 = 1); 
 c)uma potência de base zero e expoente diferente de zero é igual a zero 
(0ü=0); 
 d)uma potência de base 1 e expoente diferente de zero é igual a 1 (1ü=1); 
 e)qualquer potência de base 10 é igual ao algarismo 1 seguido de tantos 
zeros quantas forem as unidades do expoente (10 elevado a 2 = 100, 10 elevado a 
4 = 10000); 
 
 - raiz quadrada: 
 Para se achar a raiz quadrada de um número natural, basta achar um 
segundo número natural que elevado ao quadrado seja igual o número dado. Ex: 
raiz de 9 = 3, pois 3²=9, raiz de 144=12, pois 12²=144. Nem todo número natural 
é quadrado de outro; por exemplo, 7 não é quadrado de nenhum número natural.Os números naturais que são quadrados de outros denominam-se números 
quadrados perfeitos e somente eles possuem raiz quadrada exata. Por exemplo, os 
números 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100 são quadrados perfeitos. 
 
 - expressões numéricas: 
 Toda expressão numérica pode ser expressada por um único número. Basta 
efetuar as operações indicadas na expressão. Essas operações devem ser 
executadas em uma determinada ordem: 
 1°) efetuamos as potenciações e as radiciações; 
 2°) efetuamos as multiplicações e as divisões, obedecendo a ordem em que 
aparecem (da esquerda para a direita); 
 3°) efetuamos as adições e as subtrações, obedecendo a ordem em que 
aparecem; 
 Se na expressão houver parênteses, colchetes ou chaves, a simplificação 
deve começar pelas expressões contidas no interior de cada sinal de associação, a 
partir do mais interno para o mais externo e só depois de eliminarmos todos eles é 
que começamos a simplificar a expressão. 
 Calcular o valor das expressões numéricas: 
 1) 2^5 +2.(3³:9-1) = 
 = 32+2.(27:9-1) = 32+2.(3-1) = 
 = 32+2.2 = 32+4 = 36 
 
 2) 5³ -4.[16+(2³ -3).2] = 
 = 125-4.[16+(8-3).2] = 
 = 125-4.[16+5.2] = 125-4.[16+10] = 
 = 125-4.26 = 125-104 = 21 
 
 
 CONJUNTO Z 
 (N°s INTEIROS POSITIVOS E NEGATIVOS) 
 No conjunto Z a adição é feita normalmente, somente há o acréscimo de mais 
uma propriedade, a do elemento oposto o simétrico, pela qual 7+(-7)=0, -5+5=0. 
Quando numa adição, acontecer casos desse tipo, podemos eliminarmos essas 
parcelas. Ex: -10+3-8-3 = -10-8 = -18. 
 A subtração é feita invertendo-se o sinal do subtraendo. Ex: 5-(+4) = 5-4=1, 
5-(-2) = 5+2=7. No conjunto N, se o minuendo fosse menor que o subtraendo, a 
subtração era impossível (4-6=?), mas no conjunto Z é possível (4-(+6)=4-6=-2). 
 Assim, a subtração e a adição podem ser consideradas uma única operação, a 
adição algébrica, cujo resultado chama-se soma algébrica. 
 Numa soma algébrica, os parênteses que contem uma soma de números 
inteiros e que são precedidos pelo sinal +, podem ser eliminados juntamente com o 
sinal que o precedem. Ex: 6+(-3+1) = 6-3+1=7-3=4. Se forem precedidos pelo 
sinal - , podem ser eliminados juntamente com o sinal que o precedem e trocando-
se os sinais dos números que estão em seu interior. Ex: 6-(-3+1) = 6+3-1=9-1=8. 
 Na muliplicação e na divisão, a única diferença é o jogo de sinais. Se os sinais 
forem iguais, o sinal do resultado vai ser positivo, se forem diferentes, o sinal do 
resultado vai ser negativo. Numa multiplicação de 3 ou mais fatores, o jogo de 
sinais e a multiplicação vão sendo feitos de dois em dois. Ex: +6.+3=+18, -6.-
3=+18, 5.-4.+2=-20.+2=-40. 
 As propriedades estruturais da multiplicação permanecem as mesmas. 
 Na potenciação, as regras são as mesmas que no conjunto N, exceto no jogo 
se sinais. Quando o expoente for par, qualquer que seja o sinal da base, o sinal do 
resultado é sempre positivo. Se o expoente for ímpar, o sinal do resultado será 
sempre igual ao da base. Ex: -2²=+4, -2³=-8. 
 No conjunto Z, a potenciação apresenta 4 propriedades: 
 a)produto de potências de mesma base: conserva-se a base e soma-se os 
expoentes: (-2)².(-2)^4 = (-2)^6; 
 b)quociente de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os 
expoentes: (6)^5 : (6)² =6³; 
 c)potência de uma potência: conserva-se a base e multiplicam-se os 
expoentes: [(10)²]^5 = (10)^10; 
 d)potência de um produto (ou de um quociente): eleva-se cada fator à 
potência considerada: [(6).(-5)]² = (6)².(-5)²; 
 As raizes quadradas no conjunto Z só são possíveis quando o radicando for 
positivo, pois nenhum número elevado ao quadrado resulta num número negativo. 
Ex: raiz de 9 = 3, raiz de -9 = ?. As raízes possuem duas respostas (3²=9 e -
3²=9), mas consideramos geralmente somente a resposta positiva. 
 
 
 CONJUNTO Q 
 (N°s RACIONAIS POSITIVOS E NEGATIVOS) 
 Todas as operações são idênticas as do conjunto Z. Para representar-se 
decimalmente um número fracionário, é só dividir o numerador pelo denominador. 
Quando a divisão apresenta resto e algum algarismo ou grupo de algarismos se 
repetem indefinidamente no quociente, temos uma dízima periódica. 
 A dízima periódica é representada por algumas repetições do período e depois 
reticências. Um número decimal não se altera quando se acrescentam ou se 
suprimem um ou mais zeros à direita de sua parte decimal. 
 Para escrever-se um número decimal em forma fracionária é só seguir o 
esquema: 
 - o numerador é o número decimal sem a vírgula; 
 - o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quanto forem as 
ordens decimais do número. 
 A única diferença na multiplicação é a inclusão da propriedade do elemento 
inverso, segundo a qual multiplicando-se um número (x) pelo seu inverso (1/x) o 
resulatdo é 1. 
 A única diferença em relação à potenciação é o caso em que o expoente é um 
número inteiro negativo. Nesse caso, a potência é igual ao inverso do número dado, 
elevado ao mesmo expoente, agora positivo. Ex: 10-²= 1/10²=1/100, 5^-3 = 1/5³ 
= 1/125. 
 
 
 CONJUNTO R 
 (N°s REAIS (RACIONAIS E IRRACIONAIS)) 
 As operações do conjunto Q são todas válidas no conjunto R. 
 
 
 EQUAÇÕES E PROBLEMAS DO 1° GRAU COM UMA VARIÁVEL 
 Denomina-se equação toda sentença matemática aberta (desconhecimento 
de um ou mais termos) expressa por uma igualdade. Toda letra que representa um 
elemento desconhecido de uma equação é denominada variável ou incógnita da 
equação. Conjunto universo é um conjunto formado por todos os valores pelos 
quais a variável pode ser substituída e conjunto solução ou verdade é o conjunto 
constituído por todos os elementos do conjunto universo dado, que tornam 
verdadeira a equação. 
 Todos os elementos do conjunto solução são as raízes da equação. A equação 
pode não ter raízes num determinado conjunto universo. Ex: x+1/3=0 U=Z S=ø, 
porque a equação não tem raiz no conjunto Z, pois o número que torna verdadeira 
a equação é -1/3 e -1/3 não pertence a Z. 
 Numa equação, pode-se mudar qualquer termo de um membro para o outro, 
desde que se troque o sinal desse termo. Ex: x+5=3; x=3-5; x=-2. Dividindo-se os 
dois membros da equação pelo coeficiente da variável (n° que acompanha a 
variável e quando esta é diferente de zero), obtém-se uma equação mais simples 
que a primeira. Ex: 3x=12; x=4. 
 Quando todos os termos de uma equação tem o mesmo denominador, este 
poderá ser cancelado. Quando a variável apresenta um sinal negativo, é 
aconselhável trocar esse sinal. Para fazer isso, é só multiplicar por -1 ambos os 
membros da equação. Ex: -x=7; x=-7. 
 Para se resolver uma equação do 1° grau, devemos antes eliminar todos os 
parênteses, colchetes e chaves. Depois, se a equação contiver números 
fracionários, reduzir as frações a termos semelhantes. Depois reduzir os termos 
semelhantes até chegar à equação reduzida a forma ax=b. Aí dividem-se os dois 
membros por a e descobre-se o valor de x. 
 Resolver a equação: 
 1/2(x+3)-1/5(x-1)=2, sendo U=Q 
 el. par. x/2+3/2-x/5+1/5=2 
 red. fr. 5x/10+15/10-2x/10+2/10=20/10 
 crt. dn. 5x+15-2x+2=20 
 rd. trm. 3x=3 
 simp. x=1 , então S={1} 
 
 Alguns casos particulares: 
 1°) quando a equação chega a 0x=n (n=número qualquer dif. de 0), e o 
conjunto universo é Q, o conjunto S é vazio, pois não existe valor racional de x que 
torne a igualdade verdadeira; 
 2°) quando a equação chega a 0x=0, sendo U=Q, S=Q, pois qualquer valor 
racional de x torna a equação verdadeira. 
 
 Alguns problemas: 
 1) A soma do dobro de um número com 17 é igual a 45. Calcular esse 
número. 
 número procurado - x 
 equação - 2x+17=45 
 resolução - 2x=45-17 - 2x=28 - x=14 
 
 2) A metade de um número aumentada de 15 é igual ao dobro do mesmo 
número menos 45. Determinar esse número. 
 número procurado - x 
 equação - x/2+15=2x-45 
 resolução - x/2+30/2=4x/2-90/2 - x+30=4x-90 - x-4x=-90-30 - (-1).-3x=-
120.(-1) - 3x=120 - x=40 
 
 3) A soma de dois números é 420. O maior deles é igual ao menor mais 60. 
Determinar esses dois números. 
 número menor - x n° maior - x+60 
 equação - x+(x+60)=420resolução - x+x+60=420 - 2x=360 - x=180 - x+60=240 
 n° menor = 180 n° maior = 240 
 
 4) A soma de dois números é 56. O maior deles é igual ao triplo do menor. 
Determine os dois números. 
 n° menor - x n° maior = 3x 
 equação - x+3x=56 
 resolução - 4x=56 - x=14 
 n° menor = 14 n° maior = 42 
 
 5) A soma de dois números é 97, e a diferença entre eles é 31. Quais são os 
dois números ? 
 n° maior - x n° menor - x-31 
 equação - x+(x-31)=97 
 resolução - x+x-31=97 - 2x=97+31 - 2x=128 - x=64 
 n° maior = 64 n° menor = 33 
 
 6) A soma de 3 números é 47. Sabe-se que o segundo supera o primeiro em 
7 unidades, e o terceiro supera o segundo em 3 unidades. Determinar os 3 
números. 
 1°n° - x 2°n° - x+7 3°n° - x+7+3 
 equação - x+(x+7)+(x+10)=47 
 resolução - x+x+7+x+10=47 - 3x=47-17 - 3x=30 - x=10 
 1°n° = 10 2°n° = 17 3°n° = 20 
 
 
 INEQUAÇÕES DO 1° GRAU COM 1 VARIÁVEL 
 Toda sentença matemática aberta, expressa por uma desigualdade, é uma 
inequação. O processo de resolução é muito parecido com o da equação do 1° grau, 
exceto quando multiplicamos ambos os termos por -1 o sinal da equação inverte-se. 
 Exs: 
 Resolver a inequação: 
 3(2x-1)+10>7(x+2), sendo U=Q 
 el. par. 6x-3+10>7x+14 
 rd. trm. 6x-7x>14+3-10 
 -x>+7 
 mult. -1 x<-7 , então S={xEQ, x<-7} 
 
 
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 Para representarmos graficamente uma função do primeiro grau, devemos 
formar pelo menos dois pares ordenados, pois esta função é sempre representada 
por uma reta. 
 Chutamos dois valores de x, substituimos esses valores de x na equação e 
achamos os valores de y correspondentes aos de x. Depois, é só determinar esses 
dois pontos (x,y) no plano cartesiano e ligá-los por uma reta. 
 
 
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1° GRAU COM DUAS VARIÁVEIS: 
RESOLUÇÃO GRÁFICA E ALGÉBRICA 
 Um sistema de equações é formado por equações em que os valores das 
variáveis tem que tornar todas verdadeiras. Veja agora a resolução algébrica de 
sistemas de equações: 
 - resolução algébrica: 
 a)método da adição: 
 Esse método é possível quando os coeficientes de uma das variáveis são 
opostos. Então adicionamos membro a membro da equação, com o propósito de 
eliminar uma das variáveis descobrindo o valor da outra. 
 Com esse valor, podemos facilmente descobrir o valor da variável eliminada, 
substituindo-o em qualquer uma das equações. Ex: 
 Resolver o sistema x+y=20 e x-y=6: 
 x+y=20 
 x-y=6 
 -------- 
 2x=26 - x=13 
 13+y=20 - y=20-13 - y=7 
 S={(13,7)} 
 
 b)método da substituição: 
 Em primeiro lugar, devemos pegar uma das equações e isolar uma das 
variáveis (x), determinando o seu valor. 
 Depois, substituímos o valor dessa variável (x) na outra equação, no lugar 
dessa variável (x) e determinamos a outra variável (y). Após, pegamos o valor da 
outra variável (y), substituímos em qualquer equação e determinamos a primeira 
variável (x). 
 Resolver o sistema: 
 - x+y=4 
 - 2x+y=7 
 
 isol. x - x+y=4 - x=4-y 
 subs. out. eq. - 2x+y=7 
 2(4-y)+y=7 
 8-2y+y=7 
 -y=-1 - y=1 
 determ. x - x+y=4 - x+1=4 - x=3 
 S = {(3,1)} 
 Notamos que o conjunto solução é formado pelo par ordenado x e y. 
 
 c)método da comparação: 
 Em primeiro lugar, determinamos o valor de x na primeira e na segunda 
equações. Depois, formamos outra equação igualando os dois valores. 
Determinamos o valor de y. Com o valor de y, determinamos o valor de x em 
qualquer equação. 
 Resolver o mesmo sistema: 
 da 1°, vlr de y - x+y=4 - y=4-x 
 da 2°, vlr de y - 2x+y=7 - y=7-2x 
 igual. vlrs - 4-x=7-2x 
 determ x - -x+2x=7-4 
 +x=3 
 determ y - x+y=4 - 3+y=4 - y=1 
 S = {(3,1)} 
 
 - resolução gráfica: 
 A resolução gráfica é assim: pega-se a primeira equação, substitui-se nela 
valores de x achando-se valores de y, formando pares ordenados. Faz-se o mesmo 
com a 2° equação. 
 Colocam-se os pontos da 1° equação no plano cartesiano e ligam-nos 
formando uma reta. O mesmo com a 2° equação. O ponto onde as duas retas se 
cruzaram é a solução do sistema. 
 
 
 RAZÕES, PROPORÇÕES E GRANDEZAS PROPORCIONAIS 
 PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES 
 Estudemos primeiro alguns elementos das proporções. Tomemos por base a 
proporção 6/9=12/18. Os números 9 e 12 são os meios da proporção e os números 
6 e 18 são os extremos. O 6 e o 12 são os antecedentes da proporção e os números 
9 e 18 os consequentes. 
 A propriedade fundamental das proporções tem tudo a ver com esses 
elementos. Diz o seguinte: o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, e 
vice-versa. Isso vale para qualquer proporção. Na proporção estudada 
anteriormente, 6/9=12/18, o produto dos extremos (6 e 18) é igual a 108 e o 
produto dos meios (9 e 12) é também igual a 108. A proporção está correta. 
 Essa propriedade é extremamente útil em certos casos, como no teorema de 
Tales, como veremos mais adiante, e na procura de um elemento desconhecido. Ex: 
Seja a proporção 10/5 = 8/x. Para determinarmos x aplicamos a propriedade 
fundamental: 10x=40 - x=4. 
 As proporções apresentam muitas outras propriedades, tais como: 
 a)1° propriedade: diz que em toda proporção, a soma (ou a diferença) dos 
dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo), assim como a 
soma (ou a diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou para o 
quarto). Ex: seja a proporção 5/4=10/8 - 5+4/4=10+8/8 - 9/4=18/8 - 72=72. 
 b)2° propriedade: diz que em toda a proporção, a soma (ou a diferença) dos 
antecedentes está para a soma (ou a diferença) dos consequentes, assim como 
cada antecedente está para seu consequente. Ex: 10/8=5/4 - 10+5/8+4=5/4 - 
15/12=5/4 - 60=60. 
 
 Vejamos algumas aplicações das propriedades: 
 1) Determinar x e y na proporção x/y=3/4, sabendo-se que x+y=28. 
 resolução: x+y/y=3+4/4 - 28/y=7/4 - 7y = 112 - y=16 - x+16=28 - x=12 
 
 2) A razão entre dois números é de 5 para 2, e a diferença entre eles é 60. 
Determine-os. 
 representação: x/y=5/2 
 x-y=60 
 resolução: x-y/x=5-2/5 - 60/x=3/5 - 3x=300 - x=100 - 100-y=60 - y=40 
 
 3) Sabendo-se que a/3 e b/2 e a+b=30, determinar a e b. 
 resolução: a/3=b/2 - a+b/3+2=b/2 - 30/5=b/2 - 5b=60 - b=12 - a+12=30 
a=18 
 
 Para resolver-se proporções múltiplas (com 3 ou mais razões) aplica-se a 2° 
propriedade. 
 Ex: Seja a proporção x/3=y/5=z/2 sabendo que x+y+z=200. Determinar x, y 
e z: 
 resolução de x: x+y+z/3+5+2=x/3 - 200/10=x/3 - 10x=600 - x=60. 
 resolução de y: x+y+z/3+5+2=y/5 - 200/10=y/5 - 10y=1000 - y=100 
 resolução de z: 60+100+z=200 - z=40 
 
 
 REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 Antes de aprendermos a regra de três simples, convém aprendermos algo 
sobre grandezas proporcionais: 
 - grandezas diretamente proporcionais: são diretamente proporcionais 
quando ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde o dobro, o triplo ... da outra. A 
razão entre os dois valores de uma é igual à razão entre os dois valores 
correspondentes da outra; 
 Ex: quant (kg) preço (R$) 
 1 10 
 2 20 
 3 30 
 1/2=10/20, 2/3=20/30, etc. 
 
 - grandezas inversamente proporcionais: são inversamente proporcionais 
quando ao dobro, ao triplo ... de uma, corresponde a metade, a terça parte ... da 
outra. A razão dos dois valores de uma é igual ao inverso da razão dos dois valores 
correspondentes da outra; 
 Ex: veloc (km/h) tempo (h) 
 40 6 
 80 3 
 120 2 
 40/80 e 6/3,40/120 e 6/2,80/120 e 3/2 
 Vemos que uma razão é igual ao inverso da outra: 
 40/80=3/6, 40/120=2/6, 80/120=2/3 
 
 Aprenderemos, agora, a resolver problemas que relacionam dois valores de 
uma grandeza A com dois valores de uma grandeza B, chamados problemas de 
regra de três simples. Resolver esses problemas significa determinar um desses 
quatro valores, conhecendo os outros 3. 
 Representaremos por a1 e a2 os dois valores da grandeza A e por b1 e b2 os 
dois valores da grandeza B. Quando as grandezas são diretamente proporcionais, 
escrevemos a proporção: a1/a2=b1/b2. Quando as grandezas são inversamenteproporcionais, escrevemos a proporção a1/a2=b2/b1. Vejamos alguns exemplos: 
 
 1) Uma máquina, trabalhando durante 40 minutos, produz 100 peças. 
Quantas peças iguais a essas serão produzidas pela máquina em 2h30min ? 
 tempo produção 
 40 100 
 150 x 
 As grandezas são diretamente proporcionais, pois, dobrando-se o tempo de 
funcionamento, o número de peças produzidas também dobrará. Então: 
 resolução: 40/150=100/x - 40x-15000 - x=375. 
 
 2) Para realizar um serviço de terraplanagem, 4 máquinas levam 15 dias. Em 
quantos dias 6 máquinas iguais às primeiras fariam o mesmo serviço ? 
 n° maq tempo 
 4 15 
 6 x 
 As grandezas são inversamente proporcionais, pois, dobrando-se o número 
de máquinas, o tempo gasto para fazer o mesmo serviço fica reduzido à metade. 
Então: 
 resolução: 4/6=x/15 - 6x=60 - x=10 
 
 
 PORCENTAGEM 
 Denomina-se razão centesimal ou porcentual toda razão cujo consequente é 
igual a 100. Uma razão comum, como por exemplo 3/4, pode ser transformada em 
razão porcentual, procedendo-se da seguinte maneira: 3/4 - 0,75 - 75/100 - 75%. 
Vamos ver agora alguns exemplos de problemas relacionados com porcentagem. 
 1) Calcular 12% de R$ 500,00. 
 12% = 12/100 = 0,12 
 12% de 500 - 0,12.500 = 60 
 R$ 60,00 
 
 2) O preço de uma mercadoria é de R$ 65.000,00. Para pagamento a vista, 
há um desconto de 15%. Calcular a quantia referente ao desconto e o preço da 
mercadoria para pagamento a vista. 
 15% de 65000 - 0,15.65000 = 9750 
 65000-9750 = 55250 
 O desconto é de R$ 9.750,00. 
 O preço é de R$ 55.250,00. 
 
 3) O salário de uma pessoa é de R$ 800,00 e sofreu um reajuste de 52,5%. 
Qual o novo salário da pessoa ? 
 52,5% de 800 + 800 
 800.1,525 = R$ 1220,00 
 
 4) 324 alunos representam quantos % de 1200 alunos ? 
 324/1200=x/100 - 1200x=32400 - 12x=324 - x=324/12 - x=27 - 27% 
 
 5) Ao comprar um aparelho, cujo preço era de R$ 1500,00, obtive um 
desconto de R$ 180,00. De quantos % foi o índice de desconto ? 
 180/1500=x/100 - 15x=180 - x=180/15 - x=12 - 12% 
 
 6) Em outubro de 1984, o litro de gasolina custava R$ 1,12. Em novembro do 
mesmo ano, houve um aumento e o litro de gasolina passou a custar R$ 1,38. Qual 
foi a porcentagem do aumento ? 
 aumento = 1,38-1,12 = 0,26 
 0,26/1,12=x/100 - 1,12x=26 - x=26/1,12 = x=23,2 (aprox) - 23,2% 
 
 7) R$ 7200,00 representam 8% de uma quantia x. Quan é o valor de x? 
 7200/x=8/100 - 8x=720000 - x=90000 - R$ 90.000,00. 
 
 8) Na compra de um livro obtive desconto de R$ 30,00, o que representa 
15% do preço total do livro. Qual é o preço total do livro ? 
 30/x=15/100 - 15x=3000 - x=200 - R$ 200,00 
 
 
 FRAÇÕES EQUIVALENTES 
 Duas ou mais frações que representam a mesma parte de um todo são 
equivalentes. A propriedade fundamental das frações equivalentes é a que diz que 
multiplicando (ou dividindo, se possível), os termos de uma fração por um mesmo 
número natural, diferente de zero, obtemos uma fração equivalente a fração dada. 
 Seja a fração 1/3. aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o 
conjunto das frações equivalentes a 1/3: C (1/3) = {1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 
6/18, 7/21 ...}. 
 O conjunto de frações equivalentes a uma fração dada denomina-se classe de 
equivalência dessa fração. Cada classe de equivalência é chamada número racional, 
cujo numeral é qualquer fração da classe. 
 
 
 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 Estudaremos agora problemas que relacionam 3 ou mais grandezas: 
 1) 4 operários produze, em 10 dias, 320 peças de certo produto. Quantas 
peças desse mesmo produto serão produzidas por 10 operários em 16 dias ? 
 ° op. n° dias n° peças 
 4 10 320 
 10 16 x 
 Para verificar a proporcionalidade, consideremos separadamente a grandeza 
que possui a variável com cada uma das outras grandezas. Assim: 
 - número de operários e número de peças são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 - número de dias e número de peças são grandezas diretamente 
proporcionais. 
 Escrevemos a proporção igualando a razão que contem o termo desconhecido 
com o produto das outras razões: 
 320/x=10/16.4/10 - 320/x=1/4 x=1280 - serão produzidas 1280 
peças. 
 
 2) 18 operários, trabalhando 7 horas por dia, fazem determinado serviço em 
12 dias. Em quantos dias, 12 operários que trabalham 9 horas por dia farão serviço 
idêntico ? 
 n° op n° horas n° dias 
 18 7 12 
 12 9 x 
 - número de operários e número de dias são grandezas inversamente 
proporcionais, então invertemos a razão. 
 - número de horas e número de dias são grandezas inversamente 
proporcionais, então invertemos a razão. 
 12/x=12/18.9/7 - 12/x=6/7 6x=84 - x=14 - Em 14 dias. 
 
 
 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 MONÔMIOS E POLINÔMIOS 
 - monômios; 
 Todo produto de números reais, expresso ou não por variáveis (letras), é 
denominado monômio. Num monômio, destacamos: 
 a)a parte numérica, denominada coeficiente numérico; 
 b)a variável ou produto das variáveis (inclusive, seus expoentes) denominada 
parte literal. 
 Ex: 2x (2-coef.num. x-parte lit), -2/5mn (-2/5-coef.num mn-literal). 
 Quando existe apenas a parte literal (x, y...), o seu coeficiente numérico é 1, 
se for positiva, e -1, se for negativa. Isso porque o número 1 é o elemento neutro 
da multiplicação. Quando o coeficiente de um monômio é zero, o monômio 
representa sempre o número real zero e é chamado monômio nulo (0x=0, 0ab=0). 
Todo número real é um monômio sem parte literal (-1/3, 5, -8). 
 Dois ou mais monômios são denominados semelhantes quando tem a mesma 
parte literal, ou não tem parte literal. O grau de um monômio, com coeficiente não 
nulo, é dada pela soma dos expoentes da parte literal. 
 Vejamos algumas operações com monômios: 
 a)soma algébrica: 
 Numa expressão algébrica, se todos os monômios ou termos são 
semelhantes, podemos simplificar a expressão, somando algebricamente os 
coeficientes e mantendo a parte literal. Ex: 6a+7a-10a-13a = -10a, -4mn²+9mn²-
5mn²=0mn²=0 
 Quando somamos algebricamente os monômios semelhantes que existem 
numa expressão, simplificando-a, dizemos que estamos reduzindo os termos 
semelhantes. 
 b)multiplicação, divisão e potenciação: 
 Calculamos o produto (ou o quociente, ou a potência) dos coeficientes 
numéricos. Depois calculamos o produto (ou o quociente, ou a potência) das partes 
literais, aplicando, quando possível, a propriedade do produto (ou do quociente, ou 
da potência) de potências de mesma base. 
 
 - polinômios: 
 Polinômios são somas algébricas de monômios. Cada monômio que compõe o 
polinômio chama-se termo do polinômio. Quando temos um polinômios em que haja 
termos semelhantes, podemos reduzi-lo, para torná-lo menor: x²+5xy-y²-xy+4y² = 
x²+4xy+3y². 
 O grau do polinômio reduzido não nulo é dado pelo seu termo de maior grau, 
não nulo. Vejamos algumas operações com polinômios: 
 a)soma algébrica: 
 Eliminam-se os parênteses e reduz-se os termos semelhantes; 
 b)multiplicação: 
 Para multiplicarmos um polinômio por outro polinômio, devemos multiplicar 
cada termo de um deles por todos os termos dos outros e reduzir os termos 
semelhantes, se for possível. 
 c)divisão: 
 Para dividirmos um polinômio por um monômio, não nulo, devemos dividir 
cada termo do polinômio por esse monômio. 
 Para dividirmos um polinômio por outro polinômio, devemos fazer o seguinte: 
seja determinar (3x²+2x-4):(x-1) 
 1) dividimos o primeiro termo do dividendo pelo primeiro termo do divisor, 
obtendo o primeiro termo do quociente. 
 2) multiplicamos o 1° termo do quociente pelo divisor inteiro e escrevemos 
com sinal invertido abaixo do dividendo, da esquerda para a direita. 
 3) fazemos a redução dos termos semelhantes, no dividendo. 
 4) repetimos a operação, considerando como dividendo o primeiro resto 
parcial. 
 5) prosseguimos da mesma forma até o primeiro termo do resto não ser 
divisível pelo 1° termo do divisor. 
 Quando os polinômios não forem completos,devemos escrevê-los na forma 
geral: x^4-1 fica x^4 + 0x³ + 0x² + 0x - 1 
 
 
 OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES ALGÉBRICAS 
 As operações com expressões algébricas resumem-se em determinar o seu 
valor numérico e determinar o valor numérico para o qual a expressão algébrica 
fracionária não representa número real: 
 - determinar o valor numérico: 
 Para determinar o valor numérico, devemos substituir a variável pelo valor 
que o exercicío declara. Ex: 
 Determinar o valor numérico da expressão a²-2b, quando a=-3 e b=-2: 
 (-3)²-2(-2) = 9+4 - V.N. = 13 
 
 - determinar o valor para o qual a expressão algébrica fracionária não retorna 
número real: 
 Do modo prático, igualamos o seu denominador a zero, e resolvemos a 
equação obtida. Ex: 
 Qual é o valor real de x para o qual a expressão algébrica x-3/2x-1 não 
representa número real ? 
 2x-1=0 - 2x=1 - x=1/2 
 
 
 PRODUTOS NOTÁVEIS 
 Os principais produtos notáveis são: 
 a)quadrado da soma de dois termos: é igual ao quadrado do primeiro termo, 
mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo 
termo: (a+b)² = a²+2ab+b²; 
 b)quadrado da diferença de dois termos: é igual ao quadrado do primeiro 
termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do 
segundo: (a-b)² = a²-2ab+b²; 
 c)produto da soma de dois termos pela sua diferença: é igual ao quadrado do 
primeiro termo menos o quadrado do segundo: (a+b).(a-b) = a²-b²; 
 d)cubo da soma de dois termos: é igual ao cubo do primeiro termo, mais 3 
vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais 3 vezes o produto do 
primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo: (a+b)³ = a³ + 
3a²b + 3ab² + b³; 
 e)cubo da diferença de dois termos: é igual ao cubo do primeiro termo, 
menos 3 vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais 3 vezes o 
produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo: 
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³; 
 
 
 FATORAÇÃO 
 Fatorar um número ou uma expressão significa decompor o número ou a 
expressão num produto indicado. Existem muitos casos de fatoração de polinômios, 
sendo que o primeiro caso deve ter prioridade de resolução sobre os outros. 
 a)1° caso: colocação de um fator comum em evidência: 
 Coloca-se em evidência o MDC entre os termos do polinômio, abre-se os 
parênteses, divide-se cada termo do polinômio pelo MDC e vai-se colocando dentro 
dos parênteses. Ex: 
 5x+10y = 5(x+2y) 
 a³-a² = a²(a-1) 
 
 b)2° caso: agrupamento: 
 É possível quando o polinômio tem 4 termos e não existe um fator comum 
aos quatro, mas existem um fator comum para dois termos e outro fator comum 
diferente do primeiro para os outros dois termos. Ex: 
 ab-ac+2b-2c = a(b-c)+2(b-c) = (a+2)(b-c) 
 Note que os parênteses tem que ser iguais nos dois fatores comuns, para 
podermos reunirmos os fatores comuns em um parêntese e multiplicarmos pelo 
outro. 
 
 c)3° caso: diferença de dois quadrados: 
 Quando há uma diferença de dois quadrados, a fatoração dá-se multiplicando 
a soma das raízes pela diferença das raízes: a²-b² = (a+b)(a-b) 
 
 d)4° caso: trinômio do quadrado perfeito: 
 É possível quando o produto entre as raízes dos quadrados da expressão 
vezes 2 for igual ao termo não quadrado. Essa fatoração é feita elevando-se ao 
quadrado a soma (ou a diferença) entre as raízes. Ex: 
 a²+10ab+25b² = (a+5b)² 
 x²-4xy+4y² = (x-2y)² 
 
 
 MMC E MDC DE POLINÔMIOS 
 O mmc dos números dados é o produto dos fatores comuns e não comuns, 
tomados cada um com o seu maior expoente. O mdc dos números dados é o 
produto dos fatores comuns, tomados cada um com o seu menor expoente. 
 O mmc e o mdc de polinômios determina-se fatorando ambos os polinômios e 
do jeito explicado acima. Ex: 
 Determinar o mdc e o mmc dos polinômios 4x² e 6x²-12x 
 4x² = 2².x² 
 6x²-12x = 6x(x-2) = 2.3.x(x-2) 
 mdc (4x², 6x²-12x) = 2x 
 mmc (4x², 6x²-12x) = 2².3.x²(x-2) = 12x²(x-12) 
 
 Determinar o mmc e o mdc dos polinômios x²-4 e x²+2x 
 x²-4 = (x+2)(x-2) 
 x²+2x = x(x+2) 
 mdc (x²-4, x²+2x) = x+2 
 mmc (x²-4, x²+2x) = x(x+2)(x-2) 
 
 Determinar o mdc e o mmc das expressões x-a, x²-a² e x²-2ax+a² 
 x-a = (x-a) 
 x²-a² = (x-a)(x+a) 
 x²-2ax+a² = (x-a)² 
 mdc = x-a 
 mmc = (x-a)².(x+a) 
 
 
 RADICAIS 
 CÁLCULOS COM RADICAIS 
 - simplificação de radicais: 
 Simplificar um radical significa transformá-lo em uma expressão mais simples 
e equivalente ao radical dado. Existem vários casos de simplificação de radicais. 
Vejamos alguns: 
 a)1° caso: 
 Podemos dividir o índice do radical e os expoentes de todos os fatores do 
radicando por um mesmo número diferente de zero. Ex: 6raiz de10² = 6:2raiz 
de10²:2 = 3raiz de10, 12raiz de2^6.x^9 = 4raiz de2².x³. 
 Existem casos em que devemos fatorar o radicando para, em seguida, efetuar 
a divisão. Ex: 8raiz de16 = 8raiz de2^4 = raiz de2, 10raiz de36.x^4 = 10raiz 
de2².3².x^4 = 5raiz de6.x² 
 
 b)2° caso: 
 Se um ou mais fatores do radicando tem o expoente igual ao índice do radical 
dado, podemos retirar esse ou esses fatores do radicando, escrevendo-os como 
fatores externos, sem o expoente. Ex: raiz de2².3 = 2.raiz de3, 3raiz de2³.x².y³ = 
2.y.3raiz dex². 
 Em alguns casos, precisamos transformar, convenientemente, o radicando 
num produto (usando produto de potências de mesma base) para poder retirar 
fatores desse mesmo radicando. Ex: raiz dex³ = raiz dex².x = x.raiz dex, raiz 
de3^5 = raiz de3^4.3 = 9.raiz de3. Em outros casos, devemos fatorar o radicando 
e transformá-lo de modo conveniente para simplificar o radical. Ex: raiz de18 = raiz 
de2.3² = 3.raiz de2. 
 Convém observar que a simplificação de radicais só pode ocorrer quando se 
trata de fatores no radicando. Ex: raiz dea²+b² não é igual a a+b. 
 
 - introdução de um fator dentro do radical: 
 Um fator externo pode ser introduzido como fator no radicando bastando, 
para isso, multiplicar seu expoente pelo índice do radical. Ex: 3.raiz de5 = raiz 
de3².5 = raiz de45, a².3raiz dex = 3raiz dea^6.x. 
 
 - adição e subtração de radicais: 
 Se numa expressão houver radicais semelhantes (com o mesmo índice e 
mesmo radicando), podemos reduzi-los a um só radical das seguintes maneiras: 
 a)1° caso: Todos os termos são radicais semelhantes. 
 Neste caso, podemos reduzir todos os termos a um só radical, somando 
algebricamente os fatores externos dos radicais: 2.raiz de3 + 3.raiz de3 - 8.raiz de3 
+ 5.raiz de3 = 2.raiz de3. 
 b)2° caso: Os radicais tornam-se semelhantes, retirando-se um ou mais 
fatores do radicando: raiz de3 + raiz de12 = raiz de3 + raiz de2².3 = raiz de3 + 
2.raiz de3 = 3.raiz de3. 
 c)3° caso: Existem apenas alguns termos semelhantes entre si: 
 Neste caso, efetuamos a redução dos termos semelhantes e mantemos 
indicada a soma algébrica entre os termos que não são semelhantes: raiz de10 + 
raiz de10 + raiz de3 = 2.raiz de10 + raiz de3. 
 
 - redução de radicais ao mesmo índice: 
 Na prática, para reduzirmos dois ou mais radicais ao mesmo índice, devemos 
calcular o mmc dos índices, que será o índice comum e depis dividir o índice comum 
pelo índice de cada radical e multiplicar o resultado da divisão pelos expoentes dos 
respectivos radicandos. Ex: 
 Calcular o mmc entre 3raiz dex² e 4raiz dey³: mmc (4,3)=12, 12raiz dex^8, 
12raiz dey^9. 
 
 - comparação de radicais: 
 Comparar dois radicais significa dizer qual dentre eles é o maior. 
Estudaremos dois casos; 
 a)quando os radicais tem o mesmo índice, o maior é aquele que possui o 
maior radicando: raiz de25 > raiz de9. 
 b)quando os radicandos tem índices diferentes, reduzimos os radicais ao 
mesmo índice e recaímos no 1° caso. 
 
 - multiplicação ou divisão de radicais: 
 O produto (ou o quociente) de dois ou mais radicais de mesmo índice é um 
radical que tem o mesmo índice dos fatores e cujo radicando é igual ao produto (ou 
quociente) dos radicandos dos fatores: raiz de2 . raiz de3 = raiz de6. 
 Quando os radicais tem índices diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo 
índice antes de realizar a multiplicação (ou a divisão). 
 
 - potenciação: 
 Paraobtermos a potência de um radical, devemos elevar os radicandos ao 
resultado do produto de seus expoentes com o expoente da potência e depois 
simplificar o radical, se possível. Ex: (raiz de2²)³ = raiz de2^6 = 2³ = 8. 
 
 - potências com expoente fracionário (de números positivos): 
 Todo radical pode ser escrito em forma de potência com expoente fracionário, 
bastando-se para isso eliminar o radical e elevar o radicando a uma potência cujo 
numerador seja o expoente do radicando e o denominador seja o índice do radical: 
5raiz de10² = 10²/5. 
 Toda potência com expoente fracionário pode ser escrita em forma de radical, 
bastando-se para isso criar uma raiz cujo radicando é a base da potência, o índice 
seja o denominador e o numerador seja o expoente do radicando: 2^5/6 = 6raiz 
de2^5. 
 Valem para as potências fracionárias as mesmas propriedades estudadas para 
as potências com expoente inteiro. Assim, para calcularmos o valor de uma 
potenciação com expoente fracionário, podemos escrevê-la na forma de radical e o 
simplificarmos. Ex: 
 Determinar 16³/4 
 4raiz de16³ = 4raiz de2^4³ = 4raiz de2^12 = 2³ = 8. 
 
 - radiciação: 
 Para fazermos a raiz de uma raiz, devemos multiplicar os seus índices, 
conservando o radicando. Em alguns casos, é conveniente introduzir todos os 
fatores no radicando mais interno, antes de aplicar a regra acima. Ex: 
 raiz dex3raiz dey = raiz de3raiz dex³.y = 6raiz dex³.y 
 
 
 RAIZ DE UM NÚMERO REAL 
 Para acharmos a raiz de um número real, o método mais fácil é o da 
simplificação de radicais. Primeiro fatoramos o radicando em fatores primos. Depois, 
retiramos esses fatores do radical. Esse método funciona para qualquer índice: 
 Raiz cúbica de 729; 
 3raiz de729 = 3raiz de3^6 = 3² = 9 
 raiz de729 = raiz de3^6 = 3³ = 27 
 Apenas a raiz quadrada apresenta um método especial de resolução, embora 
não possamos resolvê-la pelo método da simplificação. 
 Em primeiro lugar, separam-se os algarismos em grupos de dois da direita 
para a esquerda. Extrai-se a raiz quadrada (exata ou aproximada) do número 
formado pelo primeiro grupo formado à esquerda. Eleva-se essa raiz ao quadrado e 
subtrai-se o resultado do primeiro grupo. 
 Escreve-se o segundo grupo ao lado do resto. Dobra-se o número escrito na 
raiz. Nesse resto, separam-se dois algarismos e divide-os pela raiz dobrada. 
Escreve-se o resultado ao lado da raiz dobrada e multiplica-se o número obtido pelo 
resultado. Subtrai-se o número obtido do dividendo, obtendo zero ou resto. 
 Se der zero, a raiz é exata. Se der resto, deve-se ver se a operação pode ser 
continuada. Caso contrário, a raiz é aproximada. Podemos aproximar a raiz 
decimalmente, com uma, duas casas decimais. Para isso coloca-se uma vírgula na 
raiz e dois zeros à direita do resto, continuando o processo. 
 Quando o número que se quer descobrir a raiz é decimal, extraímos a raiz 
como se fosse número inteiro e colocamos a vírgula na raiz logo depois de abaixar o 
primeiro grupo de decimais. Porém, se o número tem quantidade ímpar de casas 
decimais, então devemos colocar um zero no fim do número, e resolver a raiz como 
no 1° caso. 
 
 
 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES IRRACIONAIS 
 Antes de passarmos à racionalização de denominadores irracionais, devemos 
falar brevemente sobre fatores racionalizantes. Examinaremos 3 casos: 
 a)numa raiz quadrada, o fator racionalizante é a própria raiz quadrada: raiz 
dea . raiz dea = raiz dea² = a; 
 b)numa raiz não quadrada, o fator racionalizante é a raiz de mesmo índice, 
mesmo radicando mas com o expoente do radicando sendo igual à diferença entre o 
índice e o expoente do radicando: 5raiz dea² . 5raiz dea³ = 5raiz dea^5 = a; 
 c)numa expressão que contenha raízes, o fator racionalizante é a mesma 
expressão mas com o sinal invertido: 
 raiz dea - raiz deb é FR de raiz dea + raiz deb 
 raiz dea + raiz deb é FR de raiz dea - raiz deb 
 a + raiz deb é FR de a - raiz deb 
 
 Quando temos uma expressão fracionária com denominador irracional, é 
costume simplificar a expressão, racionalizando-se o denominador. Para isso, 
devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo fator racionalizante do 
denominador. Veremos alguns exemplos de casos simples: 
 1) Racionalizar o denominador da expressão 10/raiz de2: 
 10.raiz de2 / raiz de2.raiz de2 = 10.raiz de2 /2 = 5.raiz de2 
 
 2) Racionalizar o denominador da expressão x/2.raiz dex: 
 x.raiz dex / 2.raiz dex.raiz dex = x.raiz dex / 2x = raiz dex /2 
 
 3) Racionalizar o denominador da expressão 1/5raiz de10³: 
 1.5raiz de10² / 5raiz de10³ . 5raiz de10² = = 5raiz de10² / 5raiz 
de10^5 = 5raiz de10² / 10 
 
 4) Racionalizar o denominador da expressão 2/raiz de7 + raiz de3 
 2 . (raiz de7 - raiz de3) / (raiz de7+raiz de3).(raiz de7-raiz de3) = = 
2(raiz de7-raiz de3) / raiz de7² - raiz de3² = = 2(raiz de7-raiz de3) / 4 = 
raiz de7-raiz de3 / 2 
 
 
 EQUAÇÕES E PROBLEMAS DO 2° GRAU 
 Existem 3 casos de resolução de equação do 2° grau; 
 a)o primeiro caso é quando a equação não possui o coeficiente que 
acomoanha x, ou seja, é do tipo ax²+c=0: 
 Nesse caso, a resolução é feita passando-se o termo c para o outro membro 
da equação. Depois passamos a potenciação para o outro membro em forma de 
radiciação e resolvemos: 
 Ex: resolver a equação x²-16=0: 
 x²=16 - x=+-raiz de16 - x'=4 - x''=-4 
 S={4,-4} 
 
 b)o segundo caso é quando a equação é incompleta não possuindo o 
coeficiente independente, ou seja, é uma equação do tipo ax²+bx=0. 
 Nesse caso, fatoramos a equação pelo primeiro caso, o fator comum. Depois, 
igualamos ambos os dois fatores a 0, resolvemos as equações obtidas e achamos x' 
e x''. 
 Ex: resolver a equação x²-4x=0: 
 x(x-4)=0 - x'=0 - x-4=0 - x''=4 
 S={4,0} 
 
 c)o terceiro caso é quando a equação é completa, ou seja, tem os coeficientes 
a, b e c e é do tipo ax²+bx+c=0. Nesse caso procedemos assim: 
 1) redizimos os termos semelhantes até chegar à forma ax²+bx+c=0; 
 2) a seguir, calculamos o delta com a fórmula b²-4ac; 
 3) depois calculamos x' e x'', com a fórmula -b+-raiz dedelta / 2a. 
 Ex: resolver x²-5x+6=0: 
 delta = 25-24 = 1 
 -b+-raiz dedelta/2a = 5+-1/2 
 x' = 6/2 = 3 x'' = 4/2 = 2 
 S={2,3} 
 
 Agora vejamos alguns exemplos de problemas resolvidos por equações do 2° 
grau: 
 1) A soma do quadrado com o dobro de um mesmo número real é igual a 48. 
Calcular esse número: 
 número = x 
 equação: x²+2x=48 
 resolução: x²+2x-48=0 
 delta = 4+192 = 196 
 x = -2+-14/2 
 x' = -16/2 = -8 
 x'' = 12/2 = 6 
 Como 6 e -8 são números reais, ambos valem para a resposta. 
 
 2) A diferença entre certo número natural e o seu inverso é igual a 15/4. 
Calcular esse número: 
 número = x 
 equação: x-1/x=15/4 
 resolução: 4x²-4=15x 
 4x²-15x-4=0 
 delta = 225 + 64 = 289 
 x = 15+-17/8 
 x' = 32/8 = 4 
 x'' = -2/8 = -1/4 
 Como o número -1/4 não é um número natural, só vale para a resposta o 
número 4. 
 
 3) Dados dois números naturais, o maior supera o menor em 5 unidades. 
Sabendo-se que o produto entre eles é 14, determine os dois números: 
 núm. menor = x 
 núm. maior = x+5 
 equação: x(x+5)=14 
 resolução: x²+5x-14=0 
 delta = 25+56 = 81 
 x = -5+-9/2 
 x' = -14/2 = -7 
 x'' = 4/2 = 2 
 O número -7 não é natural, então não vale para a resposta. Logo, devemos 
ter: x=2 (número menor) e x+5=2+5=7 (maior). Os números são 2 e 7. 
 
 
 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
 A função do 2° grau é representada no plano cartesiano por uma parábola e 
são necessários pelo menos 5 pontos para determiná-la. 
 O primeiro de todo é achar os zeros da função, ou seja, os pontos onde a 
função corta o eixo x. Isso se faz igualando-se a função a zero e achando as raízes 
da equação obtida. Em seguida, achamos o vértice da função, ou seja, o ponto 
máximo ou mínimo que a função pode atingir. 
 Para determinar a coordenada x desse ponto usa-se a fórmula -b/2a. 
Achando-se esse valor, substituimos ele na função no valor de x e achamos a 
coordenada y. 
 A seguir, determinamos dois valores para x à esquerda e outros dois valores 
parax à direita do vértice. Para isso, pegamos esses valores, substituímos na 
função e achamos os valores de y correspondentes. Aí, é só ligar os pontos e se os 
cálculos estiverem certos, eles formarão uma parábola. 
 
 
 INEQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 Resolver uma inequação do 2° grau com uma variável é determinar o seu 
conjunto solução, isto é, o conjunto dos valores reais de x para os quais a função 
y=ax²+bx+c é positiva ou negativa. Vejamos alguns exemplos de resolução, onde 
aplicaremos o estudo da variação do sinal da função quadrática: 
 Resolver a inequação x²-3x+2>0 (significa determinar para que valores reais 
de x a função é positiva) 
 x²-3x+2=0 
 delta = 9-8 = 1 
 x = 3+-1/2 x'=2 x''=1 
 Pelo estudo dos sinais, verificamos: 
 
 ++ ++ 
 +++ +++ 
 ++++ ++++ 
 ---------------1--------------2----------------> x 
 ------- 
 ----- 
 - 
 
 Para os valores positivos de y (pois a inequação é >0), os valores de x tem 
que ser menores que 1 ou maiores que 2, então: S={xER , x<1 ou x>2} 
 
 
 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2° GRAU 
 Para resolvermos sistemas de equações do 2° grau, empregamos o método 
da substituição, idêntico ao empregado quando estudamos sistemas de 1° grau. O 
conjunto solução é formado por dois pares ordenados, já que as equações do 2° 
grau tem duas soluções.