Fundamentos-de-matemática-elementar-4 FAVENI

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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
ELEMENTAR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARULHOS – SP
 
SUMÁRIO 
1 A RETA REAL.......................................................................................................... 3 
1.1 Construção de uma reta numérica ........................................................................ 3 
1.2 Formalização e propriedades da reta numérica .................................................... 4 
2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS .................................................................. 4 
2.1 Números naturais .................................................................................................. 5 
2.2 Números inteiros ................................................................................................... 7 
2.3 Números racionais ................................................................................................ 9 
2.4 Números irracionais ............................................................................................ 12 
2.5 Diagrama de inclusão ......................................................................................... 16 
3 DESIGUALDADE E INTERVALOS ........................................................................ 16 
3.1 Propriedades e características da desigualdade. ............................................... 16 
3.2 Desigualdade ...................................................................................................... 19 
3.3 Propriedades da desigualdade ........................................................................... 19 
3.4 Intervalo .............................................................................................................. 21 
4 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL ............................... 26 
5 EQUAÇÕES .......................................................................................................... 28 
5.1 História das Equações ........................................................................................ 28 
5.2 Equações do 1º grau ........................................................................................... 29 
5.3 Desigualdades do Primeiro Grau em 1 Variável ................................................. 32 
5.4 Desigualdades do primeiro grau em 2 Variáveis ................................................. 33 
5.5 Método de substituição para resolver este sistema ............................................ 34 
5.6 Sistema linear de equações do primeiro grau ..................................................... 35 
5.7 Sistema Impossível ............................................................................................. 36 
5.8 Equações de 2º grau ........................................................................................... 37 
5.9 Fórmula de Bhaskara .......................................................................................... 38 
 
 
 
5.10 Equação Biquadrada ......................................................................................... 41 
5.11 Equações Irracionais ......................................................................................... 43 
5.12 Equações Incompletas do 2° Grau .................................................................... 44 
5.13 Equação Exponencial ........................................................................................ 47 
5.14 Equações Logarítmicas ..................................................................................... 47 
5.15 Propriedades Operatórias dos Logaritmos ........................................................ 49 
5.16 Propriedades dos Logaritmos ............................................................................ 51 
6 INEQUAÇÃO ......................................................................................................... 53 
6.1 Propriedades da desigualdade nas inequações ................................................. 54 
6.2 Inequações do 1º Grau ....................................................................................... 57 
6.3 Inequação - Quociente ........................................................................................ 58 
6.4 Inequação - Produto ........................................................................................... 60 
6.5 Condições de uma Inequação do 2º Grau .......................................................... 62 
6.6 Inequações Exponenciais ................................................................................... 65 
6.7 Gráfico de Inequações do 1º Grau ...................................................................... 67 
6.8 Inequações Modulares ........................................................................................ 68 
6.9 Inequações Polinominais do 1º Grau .................................................................. 70 
7 FUNÇÃO ................................................................................................................ 71 
8 BIBLIOGRAFIA BÁSICA ........................................................................................ 89 
 
 
3 
 
1 A RETA REAL 
Uma reta numérica é uma reta na qual foram colocados todos os números reais. 
Essas retas são construídas com base no conceito de distância entre dois pontos, 
uma vez que toda distância é representada por um número real e quanto maior esse 
número, maior a distância que ele representa. Esse é justamente o conceito utilizado 
para a construção de uma reta numérica. Elas são usadas para medir distâncias e 
podem ser encontradas em objetos muito comuns como a régua ou a fita métrica. 
1.1 Construção de uma reta numérica 
Os passos que devem ser tomados, na ordem correta, para a construção de 
uma reta numérica são os seguintes: 
1 – Tomar uma reta e, nela, escolher um ponto que representará o número real 
0 (zero). Esse ponto será chamado de origem. 
2 – Escolher um sentido para essa reta, chamado sentido positivo. Por 
exemplo, em uma reta horizontal, se escolhermos “da esquerda para a direita” como 
sentido positivo, um número que estiver mais à direita será maior que um número que 
estiver mais à esquerda. Dessa maneira, o primeiro número inteiro que virá à direita 
do zero será 1, pois esse é o número inteiro imediatamente maior que zero e o primeiro 
número que virá à esquerda da origem é – 1, pois esse é o número inteiro 
imediatamente menor que zero. 
3 – Escolher uma unidade de medida e usá-la para marcar os números na reta 
numérica. Esses números devem ser marcados da seguinte maneira: dada uma 
unidade 20 de medida predefinida, medir a distância entre um ponto e a origem. A 
distância obtida será o número real relacionado àquele ponto. 
 
Exemplo de reta numérica, com marcações de números inteiros e alguns 
números racionais. 
 
Fonte: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
4 
 
Para representar números racionais, escreva-os na forma decimal e os marque 
na reta numérica conforme o exemplo a seguir: 3,25 é um número formado por 3 
inteiros e 25 centésimos. Logo, dividiremos o espaço entre 3 e 4 em 100 partes iguais 
e marcaremos a que representa 25, como na imagem acima. 
1.2 Formalização e propriedades da reta numérica 
O conceito que permite que as retas sejam relacionadas aos números é o de 
função. As retas numéricas são uma relação biunívoca entre os números reais e os 
pontos da reta. Isso significa que cada ponto da reta é representado apenas por um 
número real e que cada número real representa apenas um número da reta. Essa 
relação pode ser comparada às funções bijetoras. 
Os resultados dessa relação e da construção das retas numéricas, já discutido 
acima, são as seguintes propriedades: 
 Um número mais à direita é maior que um número mais à esquerda. 
 À esquerda da origem ficarão todos os números negativos. 
 Um número negativo sempre émenor que um número positivo. 
Para essa última propriedade vale observar alguns exemplos: 
O número + 20 é sempre maior que o número – 20, pois o primeiro está à direita 
do segundo. Também podemos dizer que o número + 20 é maior que qualquer número 
negativo, pois não existe número negativo à direita de + 20. Já a comparação entre 
dois números negativos, quanto maior o módulo do número menor o seu valor. Por 
exemplo: o número – 50 é menor que – 1, pois – 50, além de estar mais à esquerda, 
possui maior módulo1. 
 
2 OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS 
Os números reais são elementos de um conjunto, que é formado pela reunião 
dos termos numéricos descrito abaixo: 
 
1 Texto extraído de: MUNDO EDUCAÇÃO. Reta numérica dos números reais. Disponível 
em:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/fracoes-algebricas.htm - Acesso em 
23/08/2018. 
https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-racionais.htm
 
5 
 
 Números naturais → conjunto dos números naturais (N) 
 Números inteiros → conjunto dos números inteiros (Z) 
 Números racionais → conjunto dos números racionais (Q) 
 Números irracionais → conjunto dos números irracionais (I) 
2.1 Números naturais 
O conjunto dos números naturais, inicialmente composto por 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 
8, 9... O primeiro povo a fazer a representação do zero, os babilônios, a fizeram há 
mais de dois milênios antes de Cristo. Hoje, temos este conjunto formado da seguinte 
maneira: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. A partir destes elementos podemos formar 
infinitas quantidades, apenas agrupando-os de maneira que cada um represente 
determinado valor de acordo com a sua posição. 
É importante destacar, que o nosso sistema de numeração é decimal, isto é, a 
cada dez unidades formaremos uma dezena, a cada dez dezenas formaremos uma 
centena, a cada dez centenas formaremos um milhar, e assim sucessivamente. 
Ancorando-se nos valores posicionais, podemos escrever números 
astronômicos e saber o que cada um dos seus algarismos de composição representa 
naquele contexto. Vejamos um exemplo de análise dos valores dos algarismos 
componentes de certo número. 
 
 
Observem detalhadamente, que no número 2568, o algarismo 2 tem valor 2000, 
o 5 vale 500, o 6 vale 60 e 8 vale 8. Tudo isso se dá de acordo com a posição ocupada 
por cada um: o 8 ocupa a casa das unidades simples, por isso vale apenas 8 unidades; 
o 6 ocupa a casa das dezenas, valendo 6 dezenas (6 x 10), 60 unidades; o 5 ocupa a 
casa das centenas, valendo 5 centenas (5 x 100), 500 unidades; e, por fim, o 2 ocupa 
a casa das unidades de milhar, valendo 2 milhares (2 x 1000), 2000 unidades. 
Uma conclusão imediata deste fato é uma curiosidade que intriga a cabeça dos 
que com ela se depara. Imagine se alguém lhe perguntasse “quem é maior: 1 ou 3?” 
 
6 
 
Os apressados responderiam “3, é claro”. Mas até que ponto isso está correto? Bem, 
a melhor resposta, ou pelos menos a mais cautelosa, seria responder que para saber 
se 1 é maior ou menor que 3 seriamos obrigados a saber do contexto no qual eles 
estão inseridos, por exemplo: no número 321, o 3 é maior que o 1, pois enquanto o 
três representa 3 centenas, o 1 representa apenas uma unidade simples; já no caso 
do número123, enquanto o 1 representa uma centena, o 3 representa apenas 3 
unidades simples, sendo, portanto, 1 maior que 3. Veja a resposta ideal: 
- Marcos, quem é maior, o 3 ou o 1? 
- Isso depende, Paulo. Antes que eu responda, preciso saber em qual número 
eles estão inseridos. 
 
Podemos ainda representar um subconjunto dos Números Naturais utilizando 
a linguagem moderna dos conjuntos. Este seria o conjunto dos Números Naturais 
Não-Nulos: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...}. Neste novo conjunto, apenas omitimos a 
presença do zero. 
Destaco também algumas características do conjunto dos Números Naturais, 
dentre elas temos: a multiplicação é sempre permitida neste conjunto – toda 
multiplicação ou adição entre números naturais resulta sempre outro número natural; 
a divisão nem sempre é permitida dentro deste conjunto – nem toda divisão entre 
naturais resulta em outro número natural (1/2, 3/5, 5/9 etc.); a subtração nem sempre 
é permitida em N – nem toda subtração entre naturais resulta em um número natural 
(1 - 2, 6 - 9, 5 - 8). 
Muitas representações já foram feitas dos Números Naturais. Cada povo os 
representava de acordo com os seus sistemas de escrita, suas interpretações das 
quantidades e dos recursos disponíveis à época. A forma como escrevemos esses 
números hoje foi criada na Índia e difundida na Arábia, sendo, por isso, chamados de 
Números Indo-Arábicos. 
Dá pra ver que a matemática sempre esteve, assim como qualquer outra 
ciência, a favor do homem em suas tomadas de decisões e nas resoluções de 
problemas. Os artifícios matemáticos que conhecemos hoje, e que achamos tão 
simples de compreender, foram criados numa época em que as estruturas basilares 
do conhecimento, que nos levam a profundas interpretações, eram muito escassas, 
mas nem por isso o homem deixou de criar, de inventar. 
 
7 
 
Somos uma espécie dotada de tanta sabedoria e inteligência, porém nem 
mesmo somos capazes de medir essas características estampadas em nós mesmos. 
O fato é que raciocinamos, refletimos, comparamos e relacionamos. Tudo isso em 
campos reais ou fictícios, através de um poder de conversão do abstrato a ideias 
palpáveis, facilmente compreendidas sem muito esforço por leitores secundários. 
Através da matemática, e do raciocínio aguçado que o seu estudo nos traz, 
podemos desenvolver ainda mais as percepções desse mundo de complexidades e 
realidades ainda pouco exploradas. Podemos nos fortalecer como intelectuais, 
autoridades naquilo que nos propusermos a defender, proprietários de um vasto 
conhecimento e compartilhadores dos saberes adquiridos ao longo das várias 
jornadas acadêmicas. 
2.2 Números inteiros 
O sistema de numeração foi desenvolvido para quantificar. Ao longo do tempo, 
houve a necessidade de representar números que fossem menores que o zero. 
Situações como: medir a temperatura de regiões que nevam, estar em andares abaixo 
do solo, ou seja, subsolo e saldo de gols são situações em que utilizamos os números 
negativos. 
 
A reta numérica 
O conjunto dos inteiros é formado por números positivos e negativos. Esse 
conjunto é infinito nos dois sentidos da reta numérica. 
 
 
 
Relação de Inclusão 
A notação para representação do conjunto dos números inteiros é o símbolo 
Z A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
 
8 
 
naturais (N). Sendo que: 
 
Lê-se: 
N está contido em Z 
ou 
Conjunto dos naturais está contido nos inteiros. 
 
Veja a representação em diagramas: 
 
 
 
Elementos do conjunto N: {+ 1, + 2, + 3, + 4, + 5} 
Elementos do conjunto Z: {- 5, - 4, - 3, - 2, -1, +1, +2, +3, +4, +5} 
Observe que os números naturais N = {+ 1, + 2, + 3, + 4, + 5} pertencem ao 
conjunto dos números inteiros Z = {- 5, - 4, - 3, - 2, -1, +1, +2, +3, +4, +5}, isso porque 
N⊂Z. 
 
Subconjunto dos números inteiros 
 
Conjunto dos números inteiros não negativos 
 
Z+={x∈Z/x≥0} 
 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
 
9 
 
Exemplo: Z+ = {0, +1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
Conjunto dos números inteiros não positivos 
Z−={x∈Z/x≤0} 
Exemplo: Z− = {... -5, -4, -3, -2, 0} 
 
Conjunto dos números inteiros positivos não nulos 
Z+*={x∈Z/x>0} 
Exemplo: Z+* = {+1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
Obs. Utilizar o (*) significa que o número zero não pertence ao conjunto. 
Conjunto dos números inteiros negativos não nulos 
Z−*={x∈Z/x<0} 
Exemplo: Z−* = {... -5, -4, -3, -2, -1} 
2.3 Números racionais 
O conjunto dos números racionais é constituído por números: inteiro (positivo e 
negativo), decimais, dizima periódica composta/ simples e frações.Utilizamos esses 
números para representar quantidades e medidas. Os conjuntos dos números naturais 
e inteiros fazem parte do conjunto dos números racionais. Na reta numérica podemos 
representar esse conjunto da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
Notação e relação de inclusão 
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo Q. A relação 
de inclusão é estabelecida com os conjuntos dos números naturais (N) e inteiros (Z). 
Observe o diagrama a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Lê-se: 
 N está contido em Z, 
 Z está contido em Q, 
 N está contido em Q. 
Elementos do conjunto dos números naturais (N) 
N = {0, +1, +2, +3, +4, +5} 
Elementos do conjunto dos números inteiros (Z) 
Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5} 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
 
11 
 
Elementos do conjunto dos números racionais (Q) 
Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55...; -1; -0,422...; −13; -0,02; 
0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6} 
 
 Subconjuntos dos números racionais 
 
Os números racionais também possuem subconjuntos, os mesmos estão 
listados a seguir: 
 
Conjunto dos números racionais não nulos 
Q*={x∈Q/x≠0} 
Exemplo: Q* = {...+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5...} 
Obs. O (*) significa que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento 
nulo. 
 
Conjunto dos números racionais não negativos 
Q+={x∈Q/x≥0} 
Exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...} 
 
Conjunto dos números racionais positivos e não nulo 
Q+*={x∈Q/x>0} 
Exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 ...} 
 
Conjunto dos números racionais não positivos 
Q−={x∈Q/x≤0} 
Exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0} 
 
Conjunto dos números racionais negativos e não nulo 
Q−*={x∈Q/x<0} 
Exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1} 
 
 
12 
 
2.4 Números irracionais 
Para uma melhor compreensão da definição de número irracional, é 
necessário que sejam apresentadas algumas propriedades dos números racionais. 
Definimos um número racional como qualquer número que possa ser escrito da forma 
pq, com p sendo um número inteiro e q um número inteiro diferente de zero. 
Formalmente escrevemos o conjunto dos números racionais Q da seguinte maneira: 
 
Então, podemos dizer que qualquer fração (ou razão) que possa ser obtida 
pela divisão de dois números inteiros nessas condições é chamado de número 
racional. A questão agora é: Como sabemos se um número é racional? 
Abaixo temos alguns casos possíveis para a sua representação: 
1) Frações (redutíveis ou não): 
1
4
,
7
5
,
12
135
, … 
2) Números decimais finitos: 4,5 ; 7,32 ; 2,31 ; .... 
3) Números mistos: 2
7
5
,9
3
4
, … 
4) Dízimas periódicas: 0,7777... ou 0, 7̅ ; 0,393939... ou 0, 39̅̅̅̅ ; 13,147147147... 
ou 13, 147̅̅ ̅̅ ̅. 
 
Há ainda alguns números que possuem representação decimal, porém não 
sabemos, de pronto, se ele pode ou não ser um racional. Vamos analisar por exemplo 
o número √2, que possui o seguinte valor aproximado. 
√2≈1,414213562... 
Ora, não podemos afirmar que o número possui uma dízima periódica, pois não 
sabemos se a representação decimal irá repetir um padrão (isso pode ocorrer na 20ª 
casa decimal ou na 100.000ª). Para definirmos números que estão nesta forma, 
digamos, incerta, devemos recorrer ao Teorema Fundamental da Aritmética para 
classificá-lo. 
Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A.): 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/fracoes/
 
13 
 
Todo número inteiro maior do que 1, 0 e -1 pode ser escrito (ou decomposto) 
pelo produto de fatores primos de forma única. 
Exemplos: 
 O número 15 pode ser escrito como (3.5), onde 3 e 5 são primos; 
 28 = 2.2.7 (2 e 7 são primos) 
 135 = 3.3.3.5 
 
Se elevarmos qualquer número inteiro a uma potência de qualquer valor (2, 3, 
4, ...) o T.F.A. continuará valendo, por exemplo: 
 152 = 32.52 = 9.25 = 225 
 282 = 22.22.72 = 4.4.49 = 784 
 1353 = 33. 33. 33.53 = 27.27.27.125 = 2460375 
 
Podemos então generalizar. Qualquer número inteiro x pode ser escrito da 
seguinte forma: 
x=P1⋅P2⋅P3...Pn 
E se elevarmos esse número inteiro a qualquer potência de valor m teremos: 
xm=Pm1⋅Pm2⋅Pm3...Pmn 
Sendo P1,P2,P3,...Pn números primos. 
Voltando ao √2, temos uma dúvida a respeito de sua classificação. Porém, 
podemos partir da premissa de que ele é um número racional. Se ele for racional, 
então pode ser escrito da forma pq. E se ele pode ser obtido pela razão entre dois 
inteiros então é válido dizer que: 
𝑝𝑞 = √2 
 
Então uma nova pergunta surge: Existe um número racional que elevado ao 
quadrado seja igual a dois? Para responder essa pergunta, devemos então operar 
ambos os lados da equação, o que nos resulta em: 
(
𝑝
𝑞
)
2
= (√2)2 
Como o índice da raiz a direita também é dois (raiz quadrada), então anulamos 
 
14 
 
a raiz, por definição: 
𝑝2
𝑞2
= 2 
 
O que nos garante escrever que: 
𝑝2 = 2𝑞2 
 
Como p é um número inteiro, então ele obedece ao T.F.A. quando elevado a 
uma potência e também pode ser decomposto em fatores primos. Mas note que na 
expressão, a potência de 2, que é igual a um, não acompanha a definição do T.F.A. o 
que é um absurdo! Elevando qualquer inteiro a uma potência m, os primos que o 
compõe também devem ser elevados a mesma potência m, o que não ocorre com 2 
nesta expressão e sim apenas com o inteiro q. Concluindo então que não pode ser 
escrito da forma p/q, logo ele não é um número racional, e sim, Irracional. Em outras 
palavras, não existem dois inteiros p e q que quando divididos têm como resultado 
1,414213562... 
Formalmente definimos então um Número Irracional, que é representado por I, 
como sendo um número que não pode ser obtido da forma p/q, com p e q inteiros. 
Alguns exemplos de números irracionais são: 
1. Raízes quadradas de números primos: √2, √3, √5 ... 
2. Algumas constantes: π, e, ln 2, ln 3 
 
Da união desses conjuntos obtemos o conjunto dos números reais, que pode 
ser representado pela seguinte relação: 
 
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos naturais) união (conjunto dos inteiros) 
união (conjunto dos racionais) união (conjunto dos irracionais) 
 
 
 
15 
 
Lê-se: Conjunto dos reais = (conjunto dos racionais) união (conjunto dos 
irracionais) 
Para compreender melhor, quais são os termos numéricos que fazem parte do 
conjunto dos números reais, acompanhe os exemplos a seguir: 
Conjunto dos números naturais: Esse conjunto é formado somente por 
números que são iguais ou maiores que o zero. Exemplo: 
N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ...} 
 
 
 
Conjunto dos números inteiros: Os elementos desse conjunto são os 
números inteiros positivos e negativos. Exemplo: 
Z = {... -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5 ...} 
 
 
 
Conjunto dos números racionais: Todo o número racional e do tipo ab, com 
a e b inteiros, sendo b ≠ 0. Fazem parte desse conjunto os números: naturais, inteiros 
positivos/negativos, decimais, fração e dízima periódica. Exemplo: 
Q = {... -3; -2,5; -1, 0, +12; +1; +1,8; +2 ...} 
 
 
 
Conjunto dos números irracionais: Os números irracionais não podem ser 
representados por uma fração. Possuem infinitas casas decimais, por esse motivo não 
apresenta período. Os números irracionais são considerados uma dízima não 
periódica. Exemplo: 
I = { -2,345...; -1,452...; 1,679...} 
 
https://www.infoescola.com/matematica/dizima-periodica/
https://www.infoescola.com/matematica/dizima-periodica/
 
16 
 
2.5 Diagrama de inclusão 
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo diagrama de 
inclusão abaixo: 
 
 
 
 
 
Lê-se: (Conjunto dos naturais) está contido (Conjunto dos inteiros) está contido 
(Conjunto dos racionais) está contido (Conjunto dos reais).2 
 
3 DESIGUALDADE E INTERVALOS 
3.1 Propriedades e características da desigualdade.As expressões numéricas que apresentam desigualdade, chamadas de 
inequações, possuem propriedades e características que as diferenciam das 
equações. 
 
2 Texto extraído de: INFO ESCOLA. Números reais. Disponível em 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/ - Acesso em 23/08/2018. 
 
17 
 
Inequações são expressões algébricas munidas de uma desigualdade. Elas 
são muito parecidas com as equações, especialmente no que se refere ao método de 
resolução e ao modo como elas são apresentadas. O que as difere, entre outros 
aspectos, é que as equações possuem uma igualdade, e as inequações, uma 
desigualdade. 
 
Equação x Inequação 
As diferenças entre equações e inequações concentram-se nos resultados, em 
sua análise e quantidade. Para notar essa diferença, basta acompanhar a resolução 
de algum problema que envolva uma equação e outro que envolva uma inequação: 
 
 
Fonte: www.brasilescola.uol.com.br 
Equação: Uma jovem recebe em seu trabalho um salário de R$ 1200,00 e 
deseja comprar um carro, que custa R$ 3200,00 à vista. Sabendo que as despesas 
dessa jovem são de aproximadamente R$ 400,00 mensais e que ela consegue poupar 
o restante do dinheiro sem problemas, quanto tempo levará para que ela possa 
comprar o carro? 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/expressao-algebrica.htm
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-1-o-grau-com-uma-incognita.htm
 
18 
 
 
 
Ela comprará o carro em 3 anos e 4 meses. 
 
Inequação: Em uma escola de inglês é cobrada uma mensalidade de R$ 
240,00 e uma taxa de inscrição de R$ 100,00. Qual é a quantidade máxima de meses 
que um aluno que tem R$ 2000,00 poderá frequentá-la? 
 
 
 
A quantidade máxima de meses que esse aluno poderá frequentar a escola é 
7, pois x é menor que 7,92. 
Nessa inequação, o resultado é exato porque estamos procurando um “maior 
número possível”. Todavia, normalmente, as inequações não possuem resultados 
únicos. Os resultados das inequações são conjuntos numéricos e, na maioria das 
vezes, possuem infinitos resultados. 
Quando procuramos o resultado de uma equação, procuramos um número 
que represente a exatidão de uma situação. Quando procuramos o resultado de uma 
inequação, estamos atrás de um conjunto de números que satisfaça determinada 
 
19 
 
sentença. 
3.2 Desigualdade 
A desigualdade recebe esse nome por não representar uma igualdade. Os 
símbolos usados são: <, >, ≤ e ≥, que, respectivamente, significam: menor, maior, 
menor ou igual, maior ou igual. Para exemplificar o uso desses sinais, observe: 
 
Esse é o resultado de uma inequação qualquer e significa que qualquer número 
maior que 2 pode ser considerado como resposta correta. Entretanto, observe que 2 
não é maior que 2, logo, o próprio 2 não satisfaz a inequação. 
 
Os números naturais são apenas os inteiros não negativos. Sendo assim, as 
soluções para essa inequação também podem ser escritas em lista: 
0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 
Dessa vez, o número 6 faz parte da lista de soluções, em virtude do símbolo 
“menor ou igual”. 
3.3 Propriedades da desigualdade 
Uma vez ciente dos aspectos acima, é possível pensar em métodos de 
resolução para inequações. Graças à sua semelhança com as equações, os cálculos 
devem ser realizados da mesma maneira. A única diferença está na desigualdade que 
será colocada no lugar da igualdade. Por causa dessa diferença, as inequações 
apresentam algumas propriedades que precisam ser observadas. 
 Propriedade 1 – Somar um mesmo número aos dois membros de uma 
inequação não altera o sentido da desigualdade; 
 Propriedade 2 – Subtrair um mesmo número dos dois membros de uma 
inequação não altera o sentido da desigualdade; 
 
 
20 
 
Dada a inequação a seguir, observe a solução: 
 
 
 
Propriedade 3 – Multiplicar os dois membros de uma inequação por um número 
positivo não altera o sentido da desigualdade. Observe a continuação da solução da 
inequação acima, que será multiplicada pelo número positivo 1/10. 
 
 
 
Esse procedimento é equivalente a “passar o 10 para o segundo membro 
dividindo, já que ele está multiplicando no primeiro”. Assim, essa propriedade também 
é válida da seguinte maneira: 
“Passar para o outro membro um número positivo que está dividindo ou 
multiplicando não altera o sentido da desigualdade.” 
 
 Propriedade 4 – Multiplicar os dois membros de uma inequação por um 
número negativo inverte o sinal da desigualdade. 
 
Assim, nos casos em que as inequações precisam ser multiplicadas por – 1, 
essa propriedade deve ser aplicada. Por exemplo: 
 
 
 
21 
 
Observe que, nesse passo, a inequação deve ser multiplicada por – 1. Pela 
propriedade 4, devemos inverter o sinal da desigualdade para obter:3 
 
 
3.4 Intervalo 
Em matemática, podemos representar conjuntos, subconjuntos e soluções de 
equações pela notação de intervalo. Intervalo significa que o conjunto possui cada 
número real entre dois extremos indicados, seja numericamente ou geometricamente. 
Não é possível representar subconjuntos ou conjuntos que não sejam reais (ou 
contidos nos reais) pela notação de intervalo. 
Vamos, por exemplo, dizer que o conjunto A é um subconjunto dos números 
naturais e que será representado por: 
 
Note que qualquer elemento de A pertence ao conjunto dos naturais, porém é 
um absurdo dizer que nos naturais existem números entre 1 e 2, ou seja, em ℕ não 
existe o número 1,5, por exemplo. Então, neste caso, dizemos que o conjunto A é 
vazio. E será representado por: 
 
 
Logo não é correto dizer que A = [1,2]. A não é um subconjunto dos números 
 
3 Texto extraído de:www.brasilescola.uol.com.br 
https://www.infoescola.com/matematica/conjuntos-numericos/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-naturais/
 
22 
 
reais, então nem todos os números possíveis estão no intervalo quaisquer números 
naturais, ou inteiros ou racionais. 
Mas, se A fosse um subconjunto dos reais, poderíamos dizer que: 
 
 
 
 
O que geometricamente representamos: 
 
 
Notações 
 
1. Dizemos que um intervalo é aberto quando seus extremos não estão 
incluídos. Exemplo: 
 
 
Geometricamente representamos por uma bolinha branca indicando o 
elemento não incluído: 
 
 
 
O intervalo também é aberto quando indicamos apenas um dos extremos e o 
outro pode ser uma infinidade de elementos à direita (+∞) ou à esquerda (−∞). Ou 
seja: 
 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/
 
23 
 
 
 
Toda ocasião em que um extremo for uma infinidade de elementos, este 
sempre será um extremo aberto. 
 
2. Um intervalo fechado é aquele em que seus extremos são incluídos: 
 
 
 
Na reta, o elemento incluído será uma bolinha preta: 
 
 
 
2. Dizemos que um intervalo é semiaberto ou semifechado quando um de 
seus extremos são incluídos, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
 
E também com extremos ao infinito: 
 
 
Podemos também assumir que, se um intervalo é um subconjunto dos números 
reais, é possível realizar algumas operações entre intervalos, tais como união e 
interseção de intervalos. Supondo que tenhamos dois intervalos: [a, b] e [c, d] e que d 
> c > b > a. 
 
A união dos intervalos será dada por: 
 
 
25 
 
E geometricamente representamos: 
 
 
E a sua interseção é vazia, pois não existem elementos comuns em ambos os 
intervalos: 
 
 
 
Vamos tomar um exemplo com valores. Supondo os intervalos [1,5] e [2,7]. A 
sua união será: 
 
 
 
Se representarmos na reta, vemos que seus elementos estão ligados 
linearmente: 
 
 
 
Então a sua união será a “soma” de todos os elementos de seus intervalos, 
resultando em um intervalo único de 1 a 7. Porém, a sua interseção será dada por:26 
 
Geometricamente vemos que existe um intervalo entre eles que é composto 
pelos elementos que são comuns em ambos, no caso, o intervalo [2,5], veja: 
 
 
 
Intervalos serão sempre subconjuntos dos números reais, o que nos garante a 
validade de todas as propriedades e operações da teoria dos conjuntos. A 
representação geométrica de um intervalo é muito importante pois podemos observar 
o comportamento dos intervalos, facilitando a sua classificação e as suas possíveis 
operações.4 
 
4 MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO REAL 
O módulo ou o valor absoluto de um número x está associado ao conceito de distância 
desse número até a origem do sistema e é representado por |x|. 
 
Fonte: www.mundoeducacao.bol.uol.com.br 
 
4 Texto extraído de: MOREIRA. L.P. Propriedades e características da desigualdade. BRASIL 
ESCOLA. Disponível em https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-caracteristicas-
desigualdade.htm - Acesso em 24/08/2018. 
https://www.infoescola.com/matematica/teoria-dos-conjuntos/
 
27 
 
Sabendo que a distância é uma medida não negativa, o módulo de um número 
é sempre maior ou igual a zero, sendo que é igual a zero somente no caso desse 
número ser o próprio zero. Observe a representação abaixo: 
 
 
 
 
 
O módulo ou valor absoluto de -2 é 2, assim temos |-2|=2 e o módulo de 4 é 4, 
então temos |4|=4. Alternativamente podemos dizer que a distância do ponto A ao 
ponto O é dada por d1 = 2 e a distância do ponto B ao ponto O é dada por d2 = 4. 
Formalmente, escrevemos |x|=-x, se x<0 e |x|=x, se x>0. Essa expressão 
significa que o módulo de qualquer número negativo será o seu oposto e para qualquer 
número positivo, ou para o zero, o valor absoluto é igual ao próprio número. 
 
Veja a seguir mais alguns exemplos: 
1. Através da expressão dada acima vamos encontrar o valor absoluto de -5. 
Nesse caso, x=-5<0, então ficamos com a primeira parte da definição. Assim |-5|=-(-
5)=5. Alternativamente, basta notar que a distância de -5 até a origem, localizada no 
ponto 0, corresponde a 5. 
2. Agora vamos encontrar o valor absoluto de 5. Nesse caso, x=5>0, então 
ficamos com a segunda parte da definição. Assim |5|=5. Alternativamente, a distância 
de 5 até a origem também corresponde a 5. 
3. |-3|=3 
4. |10|=10 
5. |0|=0 
6. |-3,5|=3,5 
7. |0,2|=0,2 
8. |-½| = ½ 
9. |¼|= ¼ 
 
Os exemplos apresentados enfatizam o fato de que o módulo ou o valor 
absoluto de qualquer número real x diferente de zero é sempre um número positivo. 
 
28 
 
Lembrando que isso ocorre porque estamos considerando a distância entre esse 
número x e o ponto zero.5 
 
5 EQUAÇÕES 
5.1 História das Equações 
A história das equações é bastante longa, ela passou a ser usada 
aproximadamente no ano 1650 a.C. 
 O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao 
ano de 1650 a.C., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por 
Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em 1858. O papiro de Rhind 
também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de 
problemas relacionados à Matemática. 
Os gregos deram grande importância ao desenvolvimento da Geometria, 
realizando e relatando inúmeras descobertas importantes para a Matemática, mas na 
parte que abrangia a álgebra, foi Diofanto de Alexandria que contribuiu de forma 
satisfatória na elaboração de conceitos teóricos e práticos para a solução de 
equações. 
Diofanto foi considerado o principal algebrista grego, há de se comentar que 
ele nasceu na cidade de Alexandria localizada no Egito, mais foi educado na cidade 
grega de Atenas. As equações eram resolvidas com o auxílio de símbolos que 
expressavam o valor desconhecido. Observe o seguinte problema: 
 “Aha, seu total, e sua sétima parte, resulta 19”. 
 Note que a expressão Aha indica o valor desconhecido, atualmente esse 
problema seria escrito com o auxílio de letras, as mais comuns x, y e z. Veja a 
representação do problema utilizando letras: x + x/7 = 19. 
“Qual o valor de Aha, sabendo aha mais um oitavo de aha resulta 9?” x + x/8 
 
5 Texto extraído de: MUNDO EDUCAÇÃO. Módulo ou valor absoluto de um número real. Disponível 
em https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/modulo-ou-valor-absoluto-um-numero-real.htm 
- Acesso em 24/08/2018. 
 
29 
 
= 9 Na lápide do túmulo de Diofanto foi escrito uma equação que relata sua vida, e o 
seu resultado revela a idade que tinha quando faleceu. 
"Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um 
dozeavo da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes 
de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua 
vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer". De acordo 
com esse enigma, Diofanto teria 84 anos. 
Os estudos relacionados às equações estabeleceram métodos resolutivos para 
as equações do 1º grau, 2º grau, 3º grau, 4º grau e nas maiores ou iguais ao grau 5. 
A álgebra é considerada peça fundamental na Matemática moderna, contribuindo na 
elaboração e resolução de cálculos complexos. As inúmeras aplicações estão 
presentes em praticamente todos os estudos relacionados ao desenvolvimento 
humano, como Engenharia, Física, Química, Biologia, Arquitetura, Urbanismo, 
Transportes, Contabilidade, Economia, Administração, Informática entre outros. 
5.2 Equações do 1º grau 
Trabalharemos com uma situação real e dela tiraremos algumas informações 
importantes. Observe a balança: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A balança está equilibrada. No prato esquerdo há um peso de 2Kg e duas 
melancias com pesos iguais. No prato direito há um peso de 14Kg. Quanto pesa cada 
melancia? 
 
2 melancias + 2Kg = 14Kg 
 
30 
 
 Usaremos uma letra, como x, para simbolizar o peso de cada melancia, e a 
equação será escrita matematicamente, como: 
 
2x +2 = 14 
 
Este é um exemplo simples de uma equação com uma variável, que é 
extremamente útil e aparece em muitas situações reais. Valorize este exemplo 
simples. 
 
Observamos que toda equação tem: 
1. Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas 
variáveis ou incógnitas. 2. Um sinal de igualdade, denotado por = 3. Uma expressão 
à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro ou membro da esquerda. 4. 
Uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro ou membro da 
direita. 
A letra x é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa desconhecida 
e equação tem o prefixo equa que provém do Latim e significa igual. 
 
2x +2 = 14 
 
As expressões do primeiro e segundo membro da equação são os termos da 
equação. Para resolver essa equação, utilizamos o seguinte processo para obter o 
valor de x. 
 
 
31 
 
Exemplos: 
1. A soma das idades de A e C é 22 anos. Descubra as idades de cada um 
deles, sabendo-se que A é 4 anos mais novo do que C. 
 
Solução: Passando o problema para a linguagem matemática, tomamos a letra 
c como a idade de C e a letra a para a idade de A, logo a = c −4. Assim: 
 
 
 
Resposta: C tem 13 anos e A tem 13-4=9 anos. 
 
2. A população de uma cidade A é o triplo da população da cidade B. Se as 
duas cidades juntas têm uma população de 100.000 habitantes, quantos habitantes 
tema cidade B? 
 
Solução: Identificamos a população da cidade A com a letra a e a da cidade B 
com a letra b e assumimos que a = 3b. Logo, escrevemos: 
a +b =100.000 
3b +b =100.000 
4b =100.000 
b =25.000 
 
Resposta: Como a=3b, então a população da cidade A corresponde a: 
a=3(25.000)=75.000 habitantes 
 
 
32 
 
5.3 Desigualdades do Primeiro Grau em 1 Variável 
Relacionadas com as equações de primeiro grau, existem as desigualdades de 
primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas 
em que os termos estão ligados por um dosquatro sinais: 
1. menor que: < 
2. maior que: > 
3. menor ou igual: ≤ 
4. maior ou igual: ≥ 
 
Nas desigualdades, o objetivo é obter um conjunto de todos os possíveis 
valores que pode(m) assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta. 
 
Exemplo: Obter todos os números inteiros positivos para os quais vale: 
2x +2 < 14 
 
Para resolver esta desigualdade, seguiremos os seguintes passos: 
 
2x +2 < 14 Passo 1: Escrever a equação original 
2x +2−2 < 14−2 Passo 2: Subtrair o número 2 dos dois membros 
2x < 12 Passo 3: Dividir pelo número 2 ambos os membros 
x < 6 Passo 4: Solução 
O conjunto solução é formado pelos números inteiros positivos menores que 6: 
S = {1,2,3,4,5} 
 
Exemplo: O conjunto de todos os números pares positivos que satisfazem à 
desigualdade 
2x +2 < 14 
é o conjunto solução: 
S = {2,4} 
 
Observação: Se existe mais do que um sinal de desigualdade na expressão, 
temos várias desigualdades disfarçadas em uma. 
 
 
33 
 
Exemplo: Para determinar todos os números inteiros positivos para os quais 
valem as (duas) desigualdades: 
12 < 2x +2 · 20 
 Usamos o seguinte processo: 
 
12 < 2x+2 · 20 Equação original 
12-2 < 2x+2-2 · 20-2 Subtraímos 2 dos dois membros 
10 < 2x · 18 Dividimos por 2 os dois membros 
5 < x · 9 Solução 
 
O conjunto solução é: S = {6,7,8,9} 
 
Exemplo: O conjunto de todos os números inteiros negativos que satisfazem às 
(duas) desigualdades 
12 < 2x +2 < 20 
 
Não possui elementos, logo o conjunto solução é o conjunto vazio, isto é: 
S =Ø= { } 
5.4 Desigualdades do primeiro grau em 2 Variáveis 
Agora apresentamos uma aplicação com uma desigualdade envolvendo uma 
equação com2 ou mais variáveis. Estudamos aqui um caso com 2 incógnitas x e y. 
Uma forma geral típica, com as constantes a, b e c conhecidas, pode ser: 
 
ax +by < c 
 
Exemplo: Para obter todos os pares ordenados de números reais tal que: 
2x +3y > 0 
 
temos o conjunto solução com os pares: 
 (0, 0), (1, 0), (0, 1), (−1, 1), (1,−1), ... 
 
 
34 
 
Existem infinitos pares ordenados de números reais satisfazendo a esta 
desigualdade, e se torna impossível exibir todas as soluções. Para remediar isto, 
utilizamos um processo geométrico que permite obter uma solução geométrica 
satisfatória. 
 
Traçamos a reta 2x +3y = 0 
 
 
2. Escolhemos um par ordenado, como (1,1), fora da reta; 
3. Se (1,1) satisfaz à desigualdade 2x + 3y ¸ 0, colorimos a região que contém 
este ponto, caso contrário, colorimos a região que está do outro lado da reta. 
4. A região colorida é o conjunto solução para esta desigualdade. 
5.5 Método de substituição para resolver este sistema 
Entre muitos outros, o método da substituição, consiste na ideia básica de isolar 
o valor algébrico de uma variável, por exemplo x, e aplicar o resultado na outra 
equação. Para entender o método, consideremos o sistema: 
2x +3y =38 3x −2y =18 
 
Para extrair o valor de x na primeira equação, usamos o seguinte processo: 
 
35 
 
 
5.6 Sistema linear de equações do primeiro grau 
Equação do primeiro grau, é aquela em que todas as variáveis somadas ou 
subtraídas estão elevadas à potência 1. Este tipo de equação poderá ter mais do que 
uma incógnita. Um sistema de duas equações do primeiro grau nas variáveis x e y, é 
um conjunto formado por duas equações do primeiro grau nessas duas incógnitas. 
 
Exemplo: Seja o sistema de duas equações do primeiro grau 
 
 
 
 
Resolver este sistema de equações é o mesmo que obter os valores de x e de 
y que satisfazem simultaneamente a ambas as equações. 
 
x = 10 e y = 6 são as soluções deste sistema e denotamos esta resposta como 
 
36 
 
um par ordenado de números reais: 
S = {(10, 6)} 
 
Aplicação: Uma pessoa deseja reunir uma quantidade x de Álcool com 60% de 
pureza com outra quantidade y de Álcool com 80% de pureza para obter 1000g de 
Álcool com 65% de pureza. Quais devem ser os valores de x e y? 
Para resolver o problema, devemos montar duas equações do primeiro grau: 
 
0,60x +0,80y = 0,65×1000 x + y = 1000 Multiplicando os termos da primeira 
equação por 10 e multiplicando os termos da segunda equação por 6, obtemos: 
 
6x +8y = 6500 6x +6y = 6000 
 
Subtraindo membro a membro as equações, obtemos y = 250g e x = 750g. 
5.7 Sistema Impossível 
É aquele que não admite solução simultânea para suas equações. 
 
Exercício: Resolver o sistema: 
 
 
 
37 
 
5.8 Equações de 2º grau 
Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a 
operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação. 
 
Para classificar o grau de uma equação, devemos observar qual é o maior 
expoente dessa incógnita na equação dada. No primeiro exemplo acima, a equação 
é de primeiro grau já que o maior expoente de x na equação dada é 1. No segundo 
exemplo, a equação é de segundo grau, pois o maior expoente de x é 2. Já no último 
exemplo, trata-se de uma equação de quarto grau. Uma equação do segundo grau na 
incógnita x é da forma: a x² + b x + c = 0, onde os números reais a, b e c são os 
coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é 
também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado 
ao quadrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
38 
 
5.9 Fórmula de Bhaskara 
A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para encontrar raízes de uma 
equação do segundo grau. 
A fórmula de Bhaskara é um método resolutivo para equações do segundo grau 
que permite determinar as soluções desse tipo de equação a partir de seus 
coeficientes. De posse desses coeficientes, basta substituí-los na fórmula de 
Bhaskara e realizar as operações matemáticas indicadas por ela para encontrar os 
valores de x da equação. 
 
O que é uma equação do segundo grau? 
 
Equações do segundo grau são equações definidas por polinômios de grau 2. 
Isso significa que, entre todas as incógnitas desse polinômio, pelo menos uma será 
elevada ao quadrado. Toda equação do segundo grau, em sua forma normal, estará 
escrita da seguinte maneira: 
 
 
As letras “a”, “b” e “c” representam números conhecidos na equação. Esses 
números são seus coeficientes. Na equação do segundo grau 2x2 – 5x + 7 = 0, por 
exemplo, a = 2, b = – 5 e c = 7 
 
O método resolutivo de Bhaskara 
 
A fórmula de Bhaskara foi criada a partir do método de completar quadrados. 
Seguindo esse método para os coeficientes genéricos “a”, “b” e “c”, obtém-se a 
seguinte expressão: 
 
 
 
39 
 
Contudo, por questões didáticas, essa fórmula é ensinada em duas etapas: 
fórmula do discriminante e fórmula de Bhaskara. 
 
Discriminante 
A fórmula do discriminante é definida pela expressão no interior da raiz 
quadrada na fórmula de Bhaskara em sua forma original. O discriminante é 
representado pela letra grega Δ (delta) e é definido da seguinte maneira: 
 
 
O valor de Δ é chamado de discriminante porque é possível extrair algumas 
informações a respeito de uma equação do segundo grau a partir dele. Portanto, pode-
se dizer que Δ discrimina ou classifica equações do segundo grau da seguinte 
maneira: 
Se Δ < 0, a equação do segundo grau não possui raízes reais; 
Se Δ = 0, a equação do segundo grau possui uma raiz real; 
Se Δ > 0, a equação do segundo grau possui duas raízes reais. 
 
Em todo caso, toda equação do segundo grau possui duas raízes, contudo, 
nem sempre essas raízes são números reais (algumas vezes, elas podem ser 
números complexos). 
Para calcular o valor numérico de Δ, basta substituir os coeficientes da equação 
do segundo grau na fórmula do discriminante e realizar as operações matemáticas 
indicadas. Por exemplo: qual é o valor de Δ na equação x2 + 8x – 9 = 0? 
 
 
A fórmula de Bhaskara 
De posse do valor numérico de Δ, basta utilizar a fórmula de Bhaskara para 
encontrar os resultados(ou raízes) da equação do segundo grau. 
 
40 
 
 
 
 
Para utilizá-la, basta substituir coeficientes e valor de Δ na fórmula acima e 
realizar as operações indicadas. Contudo, observe a existência do símbolo “±”. Esse 
símbolo indica que essa fórmula deve ser calculada uma vez para +√Δ e uma segunda 
vez para –√Δ. 
Por exemplo: 
Quais são as raízes da equação do segundo grau x2 + 8x – 9 = 0? 
Nessa equação, a = 1, b = 8, c = – 9 e Δ = 100. Substituindo esses valores na 
fórmula de Bhaskara, obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, as duas raízes da equação do segundo grau x2 + 8x – 9 = 0 são x' = 
1 e x'' = – 9 
 
41 
 
5.10 Equação Biquadrada 
Toda equação tem uma forma geral que a representa, as equações 
biquadradas possuem a seguinte forma: 
ax4 + bx2 + c = 0 
Sendo que a, b e c podem assumir qualquer valor real desde que a seja 
diferente de zero. Veja alguns exemplos de equações biquadradas. 
2x4 + 5x2 – 2 = 0; a = 2, b = 5, c = -2 
-x4 – x = 0; a = -1, b = -1, c = 0 
x4 = 0; a = 1, b = 0, c = 0 
Observando as equações biquadradas percebemos uma de suas 
características: são equações onde os expoentes das suas incógnitas são sempre 
pares. 
Para resolver esse tipo de equação é preciso substituir as incógnitas, tornando-
a uma equação do segundo grau, veja os exemplos abaixo e compreenda como 
resolver passo a passo uma equação biquadrada. 
 
Exemplo 1: 
Resolva a equação biquadrada (x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0. Devemos organizá-
la primeiro, ou seja, tirar os parênteses e unir os termos semelhantes. 
(x2 – 1) (x2 – 12) + 24 = 0 
x4 – 12x2 – x2 + 12 + 24 = 0 
x4 – 13x2 + 36 = 0 
 
Agora devemos substituir a incógnita x2 por y. 
 
x2 = y 
x4 – 13x2 + 36 = 0 
x2 . x2 – 13x2 + 36 = 0 
y2 – 13y + 36 = 0 
 
Resolvendo essa equação do segundo grau encontraremos como resultados 
 
42 
 
de y’ e y’’ respectivamente os valores 9 e 4, como a incógnita da equação biquadrada 
é x, substituímos os valores de y na igualdade x2 = y e obteremos os respectivos 
valores de x. 
 
 
 
 
 
43 
 
5.11 Equações Irracionais 
O estudo de equações consiste em encontrarmos um valor para a incógnita da 
equação de modo que está satisfaça aquela condição de igualdade. A equação 
irracional é aquela na qual a incógnita está em um radicando. 
Como podemos notar, a incógnita x aparece no radicando, logo, se utilizarmos 
a equação escrita deste modo, nada poderemos fazer. Entretanto, existem alguns 
passos que nos auxiliam para a resolução desta equação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
Neste caso, as duas raízes da equação do segundo grau satisfizeram a nossa 
equação irracional, mas tome muito cuidado, podemos ter casos nos quais 
encontraremos raízes que não satisfazem a equação. 
5.12 Equações Incompletas do 2° Grau 
As equações incompletas do segundo grau são aquelas que podem ser escritas 
na forma ax2 + bx + c = 0, em que b = 0 ou c = 0, ou ambos os coeficientes sejam 
iguais a zero. 
Toda equação que pode ser escrita na forma: ax2 + bx + c = 0 é conhecida 
como equação do segundo grau. As regras para essa definição são apenas que o a 
seja sempre diferente de zero e que os números representados pelas letras a, b e c – 
chamados coeficientes – pertençam ao conjunto dos números reais. 
Assim, o único coeficiente que necessariamente não pode ser zero é o 
coeficiente a. Quando um dos outros dois coeficientes é igual a zero (ou ambos), 
dizemos que a equação do segundo grau é incompleta. 
Exemplo: 
x2 = 0 é incompleta, pois b = 0 e c = 0. 
x2 – 16 é incompleta, pois b = 0. 
x2 + 10x é incompleta, pois c = 0. 
 
A seguir, conheça as técnicas mais conhecidas para resolver equações 
incompletas do segundo grau. 
 
Fórmula de Bháskara 
A fórmula de Bháskara é a técnica mais usada para resolver equações do 
segundo grau, pois, por meio dela, é possível resolver qualquer tipo de equação: 
completa ou incompleta. Desde que a equação seja do segundo grau e esteja escrita 
exatamente na forma ax2 + bx + c = 0, será possível resolvê-la usando a fórmula de 
Bháskara. 
 
45 
 
Essa fórmula geralmente é dividida em duas etapas: calcular o valor do 
discriminante e, depois, calcular as soluções da equação. Para tanto, basta substituir 
os valores dos coeficientes na seguinte fórmula: 
 
Em seguida, basta substituir os valores dos coeficientes e de ∆ na fórmula a seguir: 
 
 
 
 
Observe que existe um sinal ± na segunda fórmula. Isso significa que o cálculo 
deve ser feito duas vezes: a primeira considerando um + (sinal positivo) e a segunda 
considerando um – (sinal negativo) nessa posição. 
 
Quando C = 0 
Quando apenas o coeficiente c é igual a zero, é possível calcular os resultados 
da equação do segundo grau usando a fórmula de Bháskara, conforme foi dada acima, 
ou apenas colocando a incógnita em evidência. Na equação x2 + 16x = 0, teremos: 
 
X (x + 16) = 0 
 
O resultado de colocar a incógnita em evidência é um produto no qual um dos 
fatores é x e o outro é x + 16. Para que esse produto realmente seja igual a zero, como 
a igualdade garante, deveremos ter apenas: 
 
x = 0 ou x + 16 = 0 
 
No primeiro caso, o resultado já seria zero, o que faz com que x = 0 seja um 
resultado para essa equação. No segundo, podemos fazer: 
 
x + 16 = 0 
x = – 16 
 
46 
 
Então, as soluções para essa equação são: x = 0 e x = – 16. 
Se o coeficiente a for diferente de 1, o uso desse método ficará viável quando 
toda a equação for dividida pelo valor numérico do coeficiente A. 
Quando B = 0 
Se apenas o coeficiente b for igual a zero, a equação do segundo grau poderá 
ser solucionada por meio da fórmula de Bháskara, ou usando conhecimentos básicos 
de equações. Observe o exemplo: x2 – 25 = 0. 
 
x2 – 25 = 0 
x2 = 25 
 
Agora, faça raiz quadrada em ambos os membros da equação, lembrando que 
isso resulta em dois valores distintos da raiz de 25: um positivo e outro negativo: 
 
√x2 = ±√25 
x = ± 5 
 
Observações: Quando o coeficiente c for positivo, não será possível encontrar 
soluções reais para a equação em que b = 0, pois o resultado será uma raiz de um 
número negativo. 
Se o coeficiente a for diferente de 1, basta dividir ambos os membros da 
equação pelo valor numérico de a e simplificar o resultado para prosseguir com os 
mesmos cálculos feitos aqui. 
 
Quando B = 0 e C = 0 na mesma equação 
 
Quando uma equação possui coeficientes b e c iguais a zero, ela poderá ser 
resolvida por meio da fórmula de Bháskara, ou é possível assumir que seus dois 
resultados reais serão iguais a zero. Observe: 
 
ax2 = 0 
 
Dessa forma, procuramos um número que, elevado ao quadrado e multiplicado 
 
47 
 
pelo coeficiente a, terá zero como resultado. Se esse resultado for qualquer número 
diferente de zero, o coeficiente a deverá ser zero, e essa não será mais uma equação 
do segundo grau. Se x for igual a zero, então o problema estará resolvido. 
Portanto, as soluções de uma equação na qual b = 0 e c = 0 são zero e zero. 
5.13 Equação Exponencial 
As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no 
expoente. Observe os exemplos: 
2x = 256 
3x+1 = 9 
4x = 1024 
2x+2 = 512 
 
As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, 
precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os 
expoentes. Observe a resolução da seguinte equação: 
 
5.14 Equações Logarítmicas 
Os estudos sobre logarítmos são atribuídos aos matemáticos John Napier e 
Henry Briggs. Toda equação deve possuir uma igualdade e uma variável qualquer. 
Aquelas em que a variável se encontra no logaritmando ou na base serão chamadas 
 
48 
 
de equações logarítmicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
5.15 Propriedades Operatórias dos Logaritmos 
As propriedades operatórias doslogarítmos ajudam a simplificar e tornar o 
cálculo de expressões que envolvem essa operação matemática mais fácil. 
Os logarítmos foram criados no intuito de facilitar os cálculos envolvendo 
números muito grandes ou muito pequenos. Essa operação matemática reduz esses 
números a algumas bases, e a mais utilizada é a base decimal. As propriedades 
operatórias dos logarítmos possuem o objetivo de transformar multiplicações em 
somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em 
divisões. Essas transformações facilitam os cálculos mais extensos. 
 
Logarítmo de um produto 
Considerando a, b e c como números reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte 
propriedade: 
loga(b·c) = logab + logac 
 
 
 
 
 
 
50 
 
Logarítmo de um quociente 
 
Considerando a, b e c números como reais positivos e a ≠ 1, temos a seguinte 
propriedade: 
Loga(b/c) = logab – logac 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logarítmo de uma potência 
 
Considerando a e b como números reais positivos, com a ≠ 1, e m um número 
real, temos a seguinte propriedade: 
Logabm = m·logab 
 
Exemplo 5 
 
Sabendo que log 2 = 0,3010, calcule o valor de log 64. 
log 64 = log 26 = 6·log 2 = 6·0,3010 = 1,806 
 
Exemplo 6 
 
Dado log 2x = 2,4 e log 2 = 0,3, calcule x. 
log 2x = 2,4 → x·log 2 = 2,4 → x·0,3 = 2,4 → x = 2,4/0,3 → x = 8 
 
 
51 
 
Mudança de base 
Para passar logab, com a e b positivos e a ≠ 1, para a base c, com c > 0 e c ≠ 
1, utilizamos a seguinte expressão: 
Log ab = logcb/logca, com logca ≠ 0 
 
Exemplo 7 
Passando log4 9 para a base 2. 
Log4 9 = log2 9 / log2 4 = log2 9 / log2 22 = log2 9 / 2.log2 2 = log2 9 / 2 
 
Exemplo 8 
Sabendo que log 4 = 0,60 e log 5 = 0,70, calcule log54. 
Log5 4 = log 4 / log 5 = 0,60 / 0,70 → log5 4 = 0,86 
5.16 Propriedades dos Logaritmos 
As propriedades dos logaritmos podem simplificar e tornar mais fáceis os 
cálculos que envolvem essa operação matemática. 
Os logaritmos, criados por John Napier e Jobst Burgi, e posteriormente 
adaptados por Henry Briggs, possuem a seguinte lei de formação: 
 
Log ab = x, em que: 
a = base do logaritmo 
b = logaritmando 
x = logaritmo 
 
O logaritmo de um número b, em uma base a, é o expoente x que se deve 
aplicar à base a para obter o número b. Dessa forma: 
Log ab = x ↔ ax = b 
 
 
52 
 
 
Propriedades dos logaritmos 
 
A partir dessa definição, podemos apresentar algumas definições que 
auxiliarão no desenvolvimento de algumas situações envolvendo logaritmo. Veja: 
O logaritmo do número 1, em qualquer base sempre, será igual a 0. 
Log a1 = 0, pois a0 = 1 
 
O logaritmo de qualquer número a, na própria base a, será igual a 1. 
Log aa = 1, pois a1 = a 
 
O logarítmo de uma potência da base é o expoente, em qualquer base. 
Loga am = m, pois m·log aa = m·1 = m 
 
 A potência de base a e expoente logab é igual a b. 
a.log ab = b, pois log ab = x → ax = b 
 
Dois logarítmos são iguais quando seus logaritmandos forem iguais. 
Log ab = log ac ↔ b = c 
 
 
 
53 
 
6 INEQUAÇÃO 
Inequação é uma expressão matemática que possui a propriedade de 
expressar desigualdades, diferente da equação que expressa igualdade. O sinal 
usado na equação é o símbolo de igual (=), já na inequação usaremos os seguintes 
símbolos matemáticos: 
 
 
 
 
 
 
Os passos para resolver uma inequação são semelhantes aos de uma 
equação. 
Podemos generalizar a apresentação de uma inequação da seguinte forma: 
 
 
 
54 
 
6.1 Propriedades da desigualdade nas inequações 
As inequações são expressões algébricas que possuem uma desigualdade e 
possuem propriedades e uma análise de resultados diferentes das equações. As 
inequações são expressões algébricas que possuem uma desigualdade. 
Essa é a diferença básica entre equações e inequações, pois as equações 
possuem uma igualdade. As implicações disso são: um mesmo modo de resolver 
equações e inequações, uma análise de resultados diferente para ambas e algumas 
propriedades a mais para as inequações. Essas propriedades são o objeto de 
discussão deste artigo. 
Antes de partir para as propriedades, vale destacar algumas diferenças entre 
equações e inequações. 
 
Diferenças entre equações e inequações 
 
As equações possuem resultado único se forem de primeiro grau (a quantidade 
de resultados de uma equação é igual ao seu grau). Já as inequações podem ter 
desde zero a infinitos resultados, dependendo do conjunto numérico e das condições 
em que foi definida. 
Sendo assim, a análise dos resultados deve seguir padrões também diferentes. 
As equações respondem a perguntas que possuem resposta exata. Uma corrida de 
táxi, por exemplo, geralmente custa R$ 6,00 iniciais e mais R$ 4,20 por quilômetro 
rodado. Supondo que uma pessoa dispõe de R$ 32,00 para essa viagem, quantos 
quilômetros poderá andar? 
A equação que representa essa situação e sua resolução são as seguintes: 
 
 
55 
 
Observe que a solução de uma equação possui resultado exato. Quantos 
quilômetros podem ser rodados nessas condições? Exatamente 6,19. 
Já as inequações possuem resultados descritos como conjuntos. O preço de 
uma corrida de táxi é determinado por um valor fixo de taxa de deslocamento, que é 
R$ 6,00, e um valor variável que depende da quantidade de quilômetros rodados: R$ 
4,20 por quilômetro. Sabendo que uma corrida foi menor que 5 km, que valor foi gasto? 
Se x = quilômetros percorridos e y = preço da corrida, a inequação e sua 
solução são as seguintes: 
y = 4,2x + 6 
Se x < 5, então: 
y < 4,2·5 + 6 
y < 21 + 6 
y < 27 
 
Assim, o valor gasto na corrida foi inferior a R$ 27,00, mas foi superior a R$ 
6,00, que é o valor mínimo cobrado. Então, o resultado é algum número com duas 
casas decimais entre 6 e 27. 
 
Propriedades da desigualdade 
Tendo em vista as diferenças entre equações e inequações, podemos discutir 
as propriedades da desigualdade. 
 
“Somar qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma 
inequação não altera o sentido da desigualdade.” 
Por exemplo, na inequação a seguir, devemos somar alguns números a fim de 
reescrevê-la com os termos que possuem incógnita no primeiro membro e os outros 
que não possuem no segundo. 
4x – 20 > 2x + 8 
4x – 20 – 2x > 2x + 8 – 2x 
2x – 20 > 8 
2x – 20 + 20 > 8 + 20 
2x > 28 
 
56 
 
Note que o processo acima é equivalente ao descrito nos métodos práticos, em 
que basta trocar números de lado, desde que o seu sinal seja trocado. Fazer isso não 
altera o sentido da desigualdade em uma inequação. 
“Subtrair qualquer número ou incógnita nos dois membros de uma 
inequação não altera o sentido da desigualdade.” 
Essa propriedade é equivalente à última e seu exemplo já foi dado ao subtrair 
2x nos dois membros da última inequação. 
“Multiplicar um número positivo em ambos os membros de uma 
inequação não altera o sentido da desigualdade.” 
Para exemplificar, tomemos o exemplo anterior, que foi resolvido até encontrar: 
2x > 28 
Para concluir a resolução, devemos multiplicar ambos os membros por 1/2, que 
é um número positivo e não altera a desigualdade. Observe: 
 
(1/2).2x > 28· (1/2) 
x > 14 
 
“Multiplicar um número negativo em ambos os membros de uma 
inequação inverte o sentido da desigualdade.” 
 
Essa propriedade funciona em dois casos práticos. Quando existe um número 
negativo que será passado para o outro lado multiplicando ou dividindo, inverte-se o 
sinal da desigualdade. Quando multiplicamos uma inequação por – 1, inverte-se o 
sinal da desigualdade. 
 
57 
 
 
6.2 Inequações do 1º Grau 
Deparamo-nos no início de nossa caminhada no Ensino Médio com o estudo 
de funções do 1º grau. Hoje veremos as inequações do 1º grau por meio do estudo 
dos sinais da função e propriedades das desigualdades. 
Primeiramente vamos relembrar a forma geral de uma função do 1º grau. 
 
 
 
Como se trata de inequações, veremos as possibilidades de desigualdades 
para asfunções. 
 
 
 
 
 
Para tanto, quando nos depararmos com inequações, escreveremos a 
expressão de modo que fique expressa como a forma geral de uma função do 1º grau, 
para então encontrarmos a raiz da função e estudarmos os seus sinais. Vejamos um 
exemplo. 
Encontre o conjunto de soluções para a seguinte inequação: 
 
58 
 
Note que a inequação não está na forma ax+b<0, logo, primeiramente escrevaa 
desta maneira. 
Agora, depois de termos identificado a nossa f(x), iremos encontrar a raiz desta 
equação para estudarmos o sinal desta função. 
Você se lembra das propriedades de um gráfico do primeiro grau? 
Com isso então, na reta dos reais, poderemos encontrar o nosso conjunto 
solução para esta desigualdade. 
 
 
 
 
 
 
Como estamos em busca do intervalo dos valores de x em que a função é 
menor que zero, podemos analisar no gráfico anterior que este intervalo é o que 
compreende os valores de x<4, ou seja: 
6.3 Inequação - Quociente 
O estudo das inequações é baseado em determinar um intervalo cuja incógnita 
satisfaça aquela desigualdade, como bem diz a palavra “inequação”, que dá a ideia 
de “não igual”. 
Na inequação-quociente, tem-se uma desigualdade de funções fracionárias, ou 
ainda, de duas funções na qual uma está dividindo a outra. Diante disso, deveremos 
nos atentar ao domínio da função que se encontra no denominador, pois não existe 
divisão por zero. Com isso, a função que estiver no denominador da inequação deverá 
ser diferente de zero. 
O método de resolução se assemelha muito à resolução de uma inequação 
produto, de modo que devemos analisar o sinal das funções e realizar a intersecção 
do sinal dessas funções. Vejamos alguns exemplos: 
1. Resolva a inequação a seguir. 
 
 
59 
 
Como o denominador deve ser diferente de zero, podemos afirmar que o valor 
de x não poderá ser igual a 2. 
 
 
Vamos estudar os sinais das funções. 
Função f(x)=x+5 
• Zero da função: x=-5 
• Sinal do coeficiente a: a=1, valor maior que zero, portanto é uma função crescente. 
 
Sendo assim, analisando os sinais dessa função, temos: 
 
Função: g(x)=x-2 
• Zero da função: x=2 
 
Sendo assim, analisando os sinais dessa função, temos: 
 
Função: g(x)=x-2 
• Zero da função: x=2 
• Sinal do coeficiente a: a=1, valor maior que zero, portanto é uma função crescente. 
Agora devemos realizar a intersecção dos intervalos das duas funções, 
lembrando que o ponto 2 é um valor aberto, pois não pertence ao domínio da 
desigualdade. 
 
 
 
60 
 
Veja que ao fazer a intersecção das funções deve ser feito também o jogo de 
sinal, assim como na equação produto. Sendo assim, podemos esboçar o conjunto 
solução: 
 
6.4 Inequação - Produto 
Diferentemente das equações, nas inequações não temos apenas o sinal de 
igualdade, mas sim uma desigualdade de valores. Essas desigualdades podem ser 
determinadas da seguinte maneira: 
Nas inequações-produto iremos nos deparar com essas desigualdades, mas 
note que, com exceção da primeira, todas são desigualdades que se referem a uma 
diferença entre valores, podendo ser realizadas com a análise do sinal das expressões 
algébricas envolvidas na inequação. 
Por se tratar de uma inequação-produto, teremos o produto entre duas ou mais 
funções relacionadas a uma determinada desigualdade. Algo que estudamos nos 
processos aritméticos é a mudança de sinal através da multiplicação. No estudo das 
inequações-produto não será diferente, pois temos produto de funções. 
Portanto, deveremos analisar os sinais de cada função separadamente e 
depois os sinais do produto dessas funções. Com isso, obteremos os valores que 
satisfazem a desigualdade proposta na inequação. 
 
Exemplo: Determine os valores de x que satisfazem a desigualdade a seguir: 
(x-5).(-2x+4).x≥0 
 
Note que temos três funções nessa inequação, estando essas multiplicadas, 
portanto devemos estudar os sinais de todas essas funções e posteriormente o sinal 
do produto entre elas. 
Para melhor análise, iremos nomear essas funções da seguinte maneira: 
 
61 
 
 
 
 
 
 
62 
 
Você se lembra da inequação? A desigualdade do produto deve ser maior ou 
igual a zero. Veja-a novamente: 
(x-5).(-2x+4).x≥0 
 
Assim sendo, no quadro de sinais devemos encontrar o intervalo de valores 
no qual o produto das funções satisfaz à condição de ser maior ou igual a zero, ou 
seja, ele deve ser positivo. Com isso, pela análise do quadro de sinais, obtemos o 
seguinte conjunto solução da inequação-produto: 
 
Por fim, veja que temos dois passos muito importantes para a resolução de 
inequações-produto: primeiramente, determinar os sinais de cada função de acordo 
com a sua raiz; depois, feito isso com todas as funções, construir o quadro de sinais 
para realizar o produto dos sinais e obter os reais sinais da função produto, afinal é 
ela que determina a desigualdade final. 
6.5 Condições de uma Inequação do 2º Grau 
Inequação do 2º grau na variável x é uma expressão matemática de 
desigualdade escrita nas seguintes formas redutíveis: 
 
 
onde a, b e c pertencem ao conjunto dos números reais e a ≠ 0. A obtenção 
do conjunto solução das inequações deve ser determinado de acordo com o sinal de 
cada função. A seguir determinaremos o estudo do sinal de algumas funções. 
 
 
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65 
 
6.6 Inequações Exponenciais 
As inequações são usadas para determinar um intervalo de modo que a 
desigualdade de certas expressões seja válida. Quando falamos de inequações 
exponenciais devemos saber que as desigualdades entre os números dependerão do 
expoente de cada número, por exemplo: 
2x<23, pois são números de mesma base numérica, mas cujo expoente de um 
destes números é menor do que o outro. 
Entretanto, esse foi um exemplo de uma desigualdade predeterminada, que 
não gera uma inequação exponencial. Para obtermos uma inequação, devemos ter 
um valor desconhecido que deve ser encontrado. Veja: 2x<23 
Perceba que nesta desigualdade não conhecemos o valor de x, mas através 
do sinal de desigualdade somos capazes de analisar os dois números e descobrir 
quais são os valores para x, que faz com que 2x seja menor do que 23. Neste caso, 
são dois números de mesma base, portanto, podemos passar a desigualdade que 
está relacionada aos números da base para os expoentes e, assim, obteremos a 
seguinte desigualdade: 
x<3. Ou seja, 2x será sempre menor do que 23 quando o valor de x for menor 
do que 3. 
Sendo assim, o estudo de inequações exponenciais está diretamente 
relacionado à base do número que está na desigualdade. Com isso, teremos duas 
formas diferentes para analisar a desigualdade dos expoentes, de forma que cada 
uma dependerá da base do número. 
Analisemos a seguinte desigualdade: 
 
 
 
 
 
 
Note que a análise da inequação exponencial baseia-se em números de bases 
iguais. Sendo assim, quando nos depararmos com incógnitas nos expoentes, no meio 
de desigualdades, devemos encontrar números de bases iguais para podermos 
comparar seus expoentes 
 
66 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se fizermos 5x=h, não estaremos alterando em nada a desigualdade, apenas 
facilitando a desigualdade para uma expressão cuja resposta poderemos encontrar. 
Mas esta substituição não pode ser deixada de lado ao final dos cálculos, pois 
queremos encontrar o valor de x e não de h. 
 
 
Ao resolvermos essa inequação obteremos as seguintes soluções: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
6.7 Gráfico de Inequações do 1º Grau 
Diferente das equações, as inequações são expressões matemáticas que 
apresentam em sua configuração sinais de desigualdade. Veja: 
 
 
 
 
 
 
 
As inequações são utilizadas em cálculos envolvendo restrições ao valor da 
incógnita.Por exemplo, ao resolvermos a equação 2x + 5 > 11, descobrimos que seu 
valor é correspondente a x > 3, de modo a respeitar a condição da inequação. 
 Os sinais de desigualdade podem ser utilizados em qualquer expressão 
matemática envolvendo incógnitas, como funções do 1º grau, do 2º grau, 
exponenciais, logarítmicas, trigonométricas, modulares. 
As inequações também possuem gráficos representados no plano cartesiano. 
Na construção deles devemos levar em consideração o sinal da desigualdade. 
 
 
 
 
 
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6.8 Inequações Modulares 
Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma 
expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações 
modulares: 
 
 
69 
 
Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis 
valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma 
inequação e as condições de existência de um módulo. 
Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo: 
 
 
 
 
Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os 
exemplos abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
6.9 Inequações Polinominais do 1º Grau 
A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=). A inequação é 
caracterizada pelos sinais de maior (>), menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual 
(≤). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
71 
 
 
 
7 FUNÇÃO 
A função determina uma relação entre os elementos de dois conjuntos. 
Podemos defini-la utilizando uma lei de formação, em que, para cada valor de x, temos 
um valor de f(x). Chamamos x de domínio e f(x) ou y de imagem da função. 
A formalização matemática para a definição de função é dada por: Seja X um 
conjunto com elementos de x e Y um conjunto dos elementos de y, temos que: 
f: x → y 
Assim sendo, cada elemento do conjunto x é levado a um único elemento do 
conjunto y. Essa ocorrência é determinada por uma lei de formação. 
A partir dessa definição, é possível constatar que x é a variável independente 
e que y é a variável dependente. Isso porque, em toda função, para encontrar o valor 
de y, devemos ter inicialmente o valor de x. 
 
Tipos de funções 
As funções podem ser classificadas em três tipos, a saber: 
 
Função injetora ou injetiva 
 
Nessa função, cada elemento do domínio (x) associa-se a um único elemento 
da imagem f(x). Todavia, podem existir elementos do contradomínio que não são 
imagem. Quando isso acontece, dizemos que o contradomínio e imagem são 
diferentes. Veja um exemplo: 
 
 Conjunto dos elementos do domínio da função: D(f) = {-1,5, +2, +8} 
 Conjunto dos elementos da imagem da função: Im (f) = {A, C, D} 
 Conjunto dos elementos do contradomínio da função: CD(f) = {A, B, C, 
D} 
 
 
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73 
 
As funções podem ser representadas graficamente. Para que isso seja feito, 
utilizamos duas coordenadas, que são x e y. O plano desenhado é bidimensional. A 
coordenada x é chamada de abscissa e a y, de ordenada. Juntas em funções, elas 
formam leis de formação. Veja a imagem do gráfico do eixo x e y: 
 
 
 
Do último ano do Fundamental e ao longo do Ensino Médio, geralmente estudamos 
doze funções, que são: 
 
1 – Função constante; 
2 – Função par; 
3 – Função ímpar; 
4 – Função afim ou polinomial do primeiro grau; 
5 – Função Linear; 
6 – Função crescente; 
7 – Função decrescente; 
8 – Função quadrática ou polinomial do segundo grau; 
9 – Função modular; 
10 – Função exponencial; 
11 – Função logarítmica; 
 
74 
 
12 – Funções trigonométricas; 
13 – Função raiz. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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6 
 
 
 
 
6 Texto extraído: MUNDO EDUCAÇÃO. Função. Disponível 
em:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/funcao.htm - Acesso em 29/08/2018. 
 
87 
 
Limite de uma função 
 
Na matemática, o limite tem o objetivo de determinar o comportamento de uma 
função à medida que ela se aproxima de alguns valores, sempre relacionando os 
pontos x e y. Utilizando a função y = x + 1, vamos determinar os valores de y à medida 
que x assume alguns valores. Veja: 
 
 
 
 
 
 
Note que à medida que x se aproxima de –2, o valor de y se aproxima de –1, 
isto é, quando x tende a –2 (x → –2), y tende a –1 (y → –1). Portanto: 
 
x → –1, y → 0 
x → 1, y → 2 
x → 2, y → 3 
 
A utilização de limites ajuda na compreensão de diversas situações envolvendo 
funções, através de pontos notáveis como mínimo e máximo ou até mesmo os pontos 
de intersecção entre funções, a continuidade de funções também utiliza as noções de 
limites, bem como os problemas envolvendo séries numéricas convergentes ou 
divergentes. 
Vamos trabalhar a função f(x) = x², mostrando que à medida que os valores de 
x aproximam de 3, pela esquerda ou pela direita, a função se aproxima do valor 9. 
 
 
 
 
 
 
 
 
88 
 
Observe que à medida que os valores se aproximam de 3, tanto pela direita 
quanto pela esquerda, a imagem da função f(x) = x², fica mais próxima do valor 8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
89 
 
8 BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
ANTON, Howard. Cálculo, Um Novo Horizonte V.1. Bookman, 2000. 
GUIDORIZZI, Hamilton. Um Curso de Cálculo, V. 1. LTC, 1985. 
SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica, V. 1. Editora Mc 
GrawHill. São Paulo, 1987. 
IEZZI, G. et. All. Fundamentos de Matemática Elementar, v. 1, 2 e 3. Atual, 2007. 
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 
CARMO, Manfredo Perdigão do; MORGADO, Augusto César; WAGNER, 
Eduardo. Trigonometria e Números Complexos. SOLGRAF Publicações Ltda. 
Rio de Janeiro, 2001. 
LIMA, Elon Lages. Logaritmos. Coleção do Professor de Matemática. SBM. Rio 
de Janeiro, 1996. 
VANCE, Elbridge P. Introducción a la Matemática Moderna. Fondo Educativo 
Interamericano. São Paulo, 1968.