Exercicios Problemas de Algebra booleana e Mapa de Karnaugh

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Exercícios de Eletrônica Digital – Instrutor Gabriel Vinicios – Tecnologia Eletrônica II - Tarde 
1.0 - Projeto de Circuitos Combinacionais 
1.1 – Três botões controlam três motores de potências diferentes. O botão A controla o motor M1, que possui 30HP. 
O motor M2,que tem 50HP, é controlado pelo botão B. E o botão C controla o motor M3, que possui 70HP. Os 
botões são ligados em um circuito digital, que por sua vez determinam a ligação ou não dos motores. Você deverá 
projetar esse circuito lógico de modo que a potência total dos motores ligados ao mesmo tempo nunca ultrapasse 
90HP. Se ultrapassar 90HP, o motor de menor potência deverá ser desligado, e se mesmo assim ultrapassar, o de 
segunda menor potência será desligado. Projete o circuito lógico simplificado e desenhe-o. 
 
1.2 – Projete um circuito de uma chave seletora digital. Seu circuito terá 3 entradas, A, B e C, e uma saída. A função 
da entrada C é selecionar qual das outras entradas (A ou B) será chaveada para a saída. Assim, se C=0, a saída será 
igual a A. Se C=1, então a saída será igual a B. Faça a simplificação da saída por mapa de karnaugh e desenhe o 
circuito resultante. Faça De Morgan na saída simplificada e transforme-a em portas NOR e NAND de 2 entradas. 
 
1.3 – Projete um circuito combinacional de três entradas e uma saída. A saída só será acionada (nível lógico alto) 
quando a maioria das entradas estiver em 1. 
 
1.4 – Um carro 2 portas possui dois sensores em cada porta, que identificam se a porta está aberta (sensores = 0) ou 
fechadas (sensores = 1). Além disso, há um botão de alarme. Sempre que o alarme estiver ativado (botão de alarme 
= 1), as portas devem estar fechadas. Se por acaso as portas abrirem enquanto o alarme está ligado, uma sirene de 
alarme irá disparar, indicando que o veículo possivelmente está sendo raptado/furtado/roubado ou o dono é quem 
está bêbado (por isso esqueceu de desligar o alarme antes de abrir o carro). De todo modo, você deve projetar o 
circuito que realize a função lógica acima, simplifique-o ao máximo com mapa de Karnaugh e Boole. 
 
1.5 – Continuando ainda com o carro, você também foi incumbido de automatizar o alarme de perigo do veículo. 
Esse alarme deverá receber como entrada os sinais da ignição, dos faróis e da porta do motorista. E deverá acionar 
um LED luminoso no painel do carro quando uma das seguintes condições acontecer: 
- A ignição está ligada e a porta do motorista está aberta; 
- A ignição está desligada e os faróis estão ligados (quer acabar com a bateria do automóvel, meu filho?); 
Convenções: Ignição envia 1 quando está ligada, a porta envia 0 quando está aberta e os faróis enviam 1 quando 
estão ligados. 
 
1.6 – A figura abaixo representa um tanque industrial, com dois sensores de nível, um botão de acionamento com 
trava e uma bomba e uma válvula que libera o escoamento da água. 
Ao pressionar o botão de acionamento, o tanque 
deve encher de água. Ao soltá-lo (lembre-se que 
ele possui trava), o tanque deverá se esvaziar. 
Tome sempre cuidado para que a água NUNCA 
transborde do tanque, nem que o escoamento 
fique acionado sem a presença de água no tanque. 
Convenções: Sensor de nível alto e baixo são 1 quando detectam água em seu nível; Botão de acionamento é 1 
quando pressionado; Bomba é acionada enviando-se sinal 1 pra ela. Escoamento é acionado enviando sinal 0 para 
ele (funciona invertido mesmo). 
 
2.0 – Utilização correta do Mapa de Karnaugh e das condições irrelevantes/impossíveis (Don´t care): 
2.1 – Dê a expressão simplificada dos mapas de karnaugh abaixo: 
 
 
S0 C C 
BA. 0 1 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
 
S1 C C 
BA. 0 1 
BA. 0 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
 
S2 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 0 0 
 
 
S3 C C 
BA. 1 1 
BA. 0 0 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
 
 
S4 C C 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
 
 
S5 C C 
BA. 1 1 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 1 1 
 
 
S6 C C 
BA. 0 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
 
S7 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
 
S8 C C 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
 
S9 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
 
 
S10 C C 
BA. X X 
BA. 0 0 
BA. 0 0 
BA. 1 1 
 
 
S11 C C 
BA. X 0 
BA. X 0 
BA. X 1 
BA. X 0 
 
 
S12 C C 
BA. X X 
BA. X X 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
 
 
S13 C C 
BA. 1 1 
BA. X 1 
BA. X 0 
BA. 1 1 
 
 
S14 C C 
BA. X 1 
BA. 0 X 
BA. X 1 
BA. 0 X 
 
 
3.0 – O mapa de karnaugh (também conhecido como mapa de Veitch-Karnaugh) é uma maneira mais fácil de obter a 
simplificação lógica de uma tabela-verdade. Entretanto, em alguns casos a simplificação por álgebra de boole ainda 
se mostra um método mais eficiente e rápido. Explique e dê exemplos de situações em que isso ocorra. 
 
Resolução 1.1 
Como utilizamos 3 botões e 3 motores, está óbvio que nosso circuito terá 3 entradas e 3 saídas. O próximo passo é 
montar a tabela-verdade: 
 
A B C Y0 (M1) Y1(M2) Y2(M3) Interpretação da linha 
0 0 0 0 0 0 0, 0, 0 significa que nenhum botão está pressionado. Logo, motores ficarão desligados. 
0 0 1 0 0 1 Apenas M3 está sendo ligado. Potência total: 70HP. Dentro dos limites de 90HP. 
0 1 0 0 1 0 Apenas M2 está recebendo sinal para ser ligado. Potência Total: 50HP. Dentro dos limites.
0 1 1 0 0 1 M2 e M3 tentando ser ligados. Potência Total: 120HP. Desliga o de menor potência. 
1 0 0 1 0 0 Apenas M1 tentando ser ligado. Potência Total: 30HP. Dentro dos limites de 90HP. 
1 0 1 0 0 1 M1 e M3 tentam ser ligados. Potência Total: 100HP. Desliga o de menor potência. 
1 1 0 1 1 0 M1 e M2 tentam ser ligados. Potência total: 80 HP. Dentro dos limites. Logo, ligam ambos.
1 1 1 0 1 1 Os três motores tentam ser ligados. Saí o de menor potência, mas ainda assim a Potência 
Total continua excedendo o limite. Saí então o de segunda menor potência. Só sobra o M3 
ligado. 
 
 
Y0 C C 
BA. 0 0 
BA. 0 0 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
 
Y1 C C 
BA. 0 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
BA. 0 0 
 
Y2 C C 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
 
Expressões Simplificadas: CAY .0 = BACBY ..1 += CY =2 
 
Y1 pode ser ainda mais simplificado, colocando B em evidência: )(1 ACBY += 
 
Assim, o circuito com simplificação máxima é: 
 
 
Dica: para treinar para a prova, faça também a simplificação das saídas por 
álgebra de boole e tente chegar no mesmo resultado! 
 
Resolução 1.2 
Começaremos montando a tabela-verdade. Para facilitar o preenchimento da saída, coloquei C como MSB (tanto faz, 
pois o resultado será o mesmo): 
 C B A Y Interpretação da linha 
0 0 0 0 Se C=0, logo Y=A. Como A=0, logo, Y=0. 
0 0 1 1 Se C=0, logo Y=A. Como A=1, logo, Y=1. 
0 1 0 0 Se C=0, logo Y=A. Como A=0, logo, Y=0. 
0 1 1 1 Se C=0, logo Y=A. Como A=1, logo, Y=1. 
1 0 0 0 Se C=1, logo, Y=B. Como B=0, logo, Y=0. 
1 0 1 0 Se C=1, logo, Y=B. Como B=0, logo, Y=0. 
1 1 0 1 Se C=1, logo Y=B. Como B=1, logo, Y=1. 
1 1 1 1 Se C=1, logo Y=B. Como B=1, logo, Y=1. 
Y A A 
BC. 0 1 
BC. 0 1 
BC. 1 1 
BC. 0 0 
 
Após o preenchimento do mapa, como vemos ao lado, devemos agrupar os 1. A melhor 
forma é usando 2 grupos de 2, pois como vimos, devemos tentar agrupar o máximo de 1s 
com o menor número de grupos que pudermos. Não se esqueça que nós invertemos o 
MSB e o LSB na tabela-verdade. Assim, devemos inverter também o mapa (trocar A e C 
de lugar, como fizemos na tabela). 
 
Logo, BCACY .. += , e aplicando comutativa, pra ficar em ordem alfabética (opcional): 
BCCAY += 
 
Desenhe o circuito e aproveite para treinar: 
1. Simplificação por álgebra de boole (o resultado será o mesmo); 
2. Aplicar De Morgan para transformar para NAND e NOR de 2 entradas; Os resultados 
serão: NOR: CBCAY +++= e NAND: BCCAY .= 
 
Resolução 1.3 
Montaremos inicialmente a tabela-verdade, como sempre fazemos nesses casos de projeto de circuitos: 
 
 
 
 
 
Agora, vamos preencher o glorioso e inexorável mapa de karnaugh:Y C C 
BA. 0 0 
BA. 0 1 
BA. 1 1 
BA. 0 1 
Não há outra alternativa senão montar os três grupos. A saída Y simplificada ficará, então, 
da seguinte forma: ABACBCY ++= . Podemos ainda colocar uma das letras em 
evidência e obter uma expressão ainda mais simplificada: 
)( BCABCY ++= OU ACACBY ++= )( OU ABABCY ++= )( 
 
Resolução 1.4 
Primeiramente, temos de entender o que nosso circuito lógico irá fazer. O enunciado está bem claro, portanto, não 
nos deteremos nesse ponto. 
Vamos agora definir quem são as entradas. Obviamente que sensores são entradas, pois o circuito irá receber a 
informação dos sensores e não o contrário. O botão de alarme também é uma entrada, obviamente. E a sirene, 
saída. Quanto a isso, você não pode ter nenhuma dúvida. 
Agora que já identificamos quem são as entradas e quem são as saídas, vamos organizá-las. Essa etapa pode ser feita 
de várias maneiras; eu escolherei a entrada A como sendo o botão do alarme, a entrada B como sendo a porta da 
esquerda e a entrada C como sendo a entrada da direita. Você pode escolher qualquer outra sequência que achar 
conveniente, o resultado será o mesmo. 
Agora, montemos a tabela-verdade: 
 
A B C Y Interpretação da linha 
0 0 0 0 Maioria das entradas é zero, logo, Y=0; 
0 0 1 0 Maioria das entradas é zero, logo, Y=0; 
0 1 0 0 Maioria das entradas é zero, logo, Y=0; 
0 1 1 1 Maioria das entradas é um, logo, Y=1; 
1 0 0 0 Maioria das entradas é zero, logo, Y=0; 
1 0 1 1 Maioria das entradas é um, logo, Y=1; 
1 1 0 1 Maioria das entradas é um, logo, Y=1; 
1 1 1 1 Maioria das entradas é um, logo, Y=1. 
 
Y C C 
BA. 0 0 
BA. 0 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
Saída simplificada da sirene: BACAY .. += 
Colocando A em evidência, podemos diminuir ainda mais a expressão: )( BCAY += 
E se você for esperto de verdade e quer tirar nota máxima na prova, pode ainda aplicar De 
Morgan ao contrário para juntar as barras e simplificar a expressão ainda mais: 
BCAY ..= 
Para praticar, tente chegar no mesmo resultado por álgebra de boole, tanto por soma dos 
produtos quanto por produto das somas. 
 
Resolução 1.5 
Irei escolher Ignição = A, Porta = B e Faróis = C. Você pode escolher qualquer outra combinação. Lembre-se das 
convenções do enunciado do exercício. Vamos lá, tabela-verdade! 
 
 
Y C C 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 0 0 
BA. 1 1 
Dá pra fazer com 3 grupos, mas como vimos, o melhor é com menos grupos, logo, 
abarcamos todos os 1´s com apenas dois grupos. A expressão simplificada ficará, pois: 
BACAY .. += 
Ou seja, ligaremos a ignição em uma inversora e faremos uma AND com o sinal vindo dos 
faróis. Do outro lado, ligaremos a ignição e uma AND com o complemento do sinal vindo da 
porta. Ligaremos as duas AND com uma OR. Simples assim. 
 
Resolução 1.6 
Vamos inicialmente escolher quem vai ser A, B e C. Vou escolher A= sensor de nível alto, B= sensor de nível baixo, C= 
botão de acionamento com trava. A saída Y0 será a minha bomba e Y1 será meu escoamento. Vamos à tabela-
verdade. Não se esqueça que o escoamento é acionado enviando-se 0. 
A B C Y Interpretação da linha 
0 0 0 0 Botão de Alarme solto (alarme desligado) e ambas as portas estão abertas. Como o alarme está desligado, a sirene = 0; 
0 0 1 0 Botão de alarme solto (desligado) e porta da esquerda aberta e da direita fechada. Alarme desligado, sirene desligada; 
0 1 0 0 Alarme desligado, porta da esquerda fechada e da direita aberta. Como o alarme está desligado, sirene não pode disparar; 
0 1 1 0 Alarme desligado e ambas as portas estão fechadas. Sirene mantém-se desligada; 
1 0 0 1 Alarme ligado e ambas as portas abertas. É um roubo! Sirene liga sim senhor! 
1 0 1 1 Alarme ligado e porta da esquerda aberta. O ladrão está tentando entrar pelo lado do motorista! Sirene ligada, com certeza! 
1 1 0 1 Alarme ligada e porta da direita aberta. O ladrão quer entrar pelo lado do passageiro para ser mais discreto. Sirene nele! 
1 1 1 0 Alarme ligado e ambas as portas estão fechadas. Logo, a sirene do alarme não vai disparar. 
A B C Y Interpretação da linha 
0 0 0 0 Ignição desligada, porta aberta e faróis desligados. Mantém led sinalizador de perigo desligado. 
0 0 1 1 Ignição desligada, porta aberta e faróis ligados. Opa! Farol ligado com carro desligado?! Led liga para sinalizar alerta. 
0 1 0 0 Ignição desligada, porta fechada e farol desligado. Mantém sinal de alerta desligado. 
0 1 1 1 Ignição desligada, porta fechada e farol ligado. Farol ligado com carro desligado não dá certo. Liga led de alerta. 
1 0 0 1 Ignição ligada, porta aberta e farol desligado. Opa, ignição ligada com porta aberta? Alô motorista, acorda! Fecha a porta! 
1 0 1 1 Ignição ligada, porta aberta e farol ligado. Tudo bem o farol estar ligado, mas a porta aberta com o carro ligado? Alerta! 
1 1 0 0 Ignição ligada, porta fechada e farol desligado. Sem problemas, mantém alerta desligado. 
1 1 1 0 Ignição ligada, porta fechada e farol ligado. Sem problema algum, mantém led de alerta desligado, amigão. 
A B C Y0 Y1 Interpretação da linha 
0 0 0 0 1 A=0, logo, não há água no alto. B=0, também não há água no baixo (logo, caixa vazia). C=0, Botão manda esvaziar caixa. 
Como a caixa já está vazia, logo, mantém escoamento desligado (=1) e bomba desligada (=0); 
0 0 1 1 1 Tanque vazio (A e B=0), mas botão mandando encher a caixa. Logo, liga bomba e mantém escoamento desligado. 
0 1 0 0 0 Tanque com água na metade (A=0, B=1) e C=0. Está mandando esvaziar. Portanto, desliga bomba (0) e liga escoam. (0). 
0 1 1 1 1 Tanque com água na metade (A=0, B=1) e C=1. Está mandando encher o tanque. Portanto, liga bomba, desliga escoa. 
1 0 0 X X Tanque com água só no alto? Ele está no espaço? Caso não esteja, condição irrelevante/impossível. Don´t care. 
1 0 1 X X Idem à anterior. 
1 1 0 0 0 Tanque cheio (A, B=1) e C=0, mandando esvaziar o tanque. Desliga bomba(=0), liga escoamento(=0). 
1 1 1 0 1 Tanque cheio e mandando encher o tanque, pois C=1. Como tanque já está cheio, mantém tudo desligado. 
 
 
Y0 C C 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 0 0 
BA. X X 
 
 
Y1 C C 
BA. 1 1 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. X X 
Em Y0, o ideal é considerar os dois X como zero, pois se 
considerarmos qualquer um deles ou ambos como 1, a 
expressão simplificada ficará maior. Logo, CAY .0 = 
 
Em Y1, o ideal é considerarmos os dois X como 1, pois 
obteremos assim dois grupos de 4, o que é muito melhor 
do que obter 2 grupos de 2 elementos. Assim, 
BCY +=1 
 
Resolução 2.1 
 
S0 
C 
C 
BA. 0 1 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
CBBACBS ++=0
 
)(0 CABCBS ++=
 
 
S1 C C 
BA. 0 1 
BA. 0 0 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
CBCAS +=1 
 
 
 
S2 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 0 0 
 
CBAS +=2 
 
S3 C C 
BA. 1 1 
BA. 0 0 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
 
ABS +=3 
 
S4 C C 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
BA. 1 0 
 
CS =4 
 
S5 
C 
C 
BA. 1 1 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
BA. 1 1 
 
CBS +=5 
 
S6 C C 
BA. 0 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
Várias respostas 
possíveis, dependendo 
do agrupamento que 
realizar. Tem de ter 3 
grupos de 2. 
 
BACBCAS ++=6 
 
S7 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
CBAS ++=7 
ABCS =7 
 
S8 C C 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
BA. 1 0 
BA. 1 1 
 
BABACS ++=8 
BACS ⊕+=8 
 
S9 C C 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
BA. 1 1 
 
S9 = 1 
 
S10 C C 
BA. X X 
BA. 0 0 
BA. 0 0 
BA. 1 1 
 
Melhor 1 grupo com 
4 elementos do que 
com 2. 
BS =10 
 
S11 C C 
BA. X 0 
BA. X 0 
BA. X 1 
BA. X 0 
 
Melhor 1 grupo de 2 
elementos do que de 
apenas 1 elemento. 
S11 = A.B 
 
S12 
C 
C 
BA. X X 
BA. X X 
BA. 0 1 
BA. 0 1 
 
 
S12=C 
 
S13 C C 
BA. 1 1 
BA. X 1 
BA. X 0 
BA. 1 1 
 
 
BAS +=13 
ABS =13 
 
S14 C C 
BA. X 1 
BA. 0 X 
BA. X 1 
BA. 0 X 
 
S14 = C