Aula 05 - Característica Estática de Instrumentos - Calibração

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Carmela Maria Polito Braga, DELT/EE-UFMG
Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
Anísio Rogério Braga, COLTEC-SE/UFMG
Aula 05
Combinação de Erros em Sistemas de Instrumentoação. 
Caracterização Estática: Calibração. Pré-calibração. Reta 
de Calibração: Ajuste, Incertezas Associadas. 
CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA DE 
INSTRUMENTOS: CALIBRAÇÃO
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• O desempenho estático dos instrumento de medida pode ser 
caracterizado a partir dos parâmetros apresentados a seguir:
• Sensibilidade ou Ganho: é a relação entre a variação de uma 
indicação de um instrumento (saída) e a variação correspondente do 
valor da grandeza medida (entrada).
• Ex.: um transmissor eletrônico de temperatura com uma faixa nominal de 100 a 
200º C e uma saída de 4 a 20 mA, possui ganho ou sensibilidade:
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X
Y
GS



)/(16,0)/(
100200
420
CmACmAGanhoadeSensibilid  



x 
INPUT
O
U
T
P
U
T
 
y
G
instrumento Não Linear
Ganho variável
x 
INPUT
O
U
T
P
U
T
 
y
G1
G2
G3
instrumento Linear 
Ganho constante
x 
INPUT
O
U
T
P
U
T
 
y
G
função não-linear com 
ganho constante
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Faixa Nominal (Range): faixa de indicação do instrumento. 
• Ex.: medidor de pressão com faixa nominal de 1 a 5 bar. 
• Obs.: quando o limite inferior é zero a faixa é definida em termos do 
limite superior, apenas. Ex.: 0 a 10 bar é expressa como “10 bar”.
• Amplitude da Faixa Nominal (Span): valor absoluto entre os
valores extremos de uma faixa nominal. Ex.: para o instrumento
de pressão, com faixa de 1 a 5 bar, o span é 4bar.
• Fundo de Escala (FE): é o valor máximo da faixa nominal. No 
exemplo do instrumento de pressão, o fundo de escala é 5 bar.
• Quando a representação dos parâmetros de 
caracterização estática de instrumentoos é feita em
relação os valores de Fundo de Escala – FE ou de Span
eles são denominados “valores fiduciais”.
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3
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Zona Morta: intervalo máximo no qual o valor de uma grandeza
medida pode ser variado em ambas as direções sem produzir
mudança perceptível na resposta (indicação) do instrumento.
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INPUT
O
U
T
P
U
T
DEAD
ZONE
INPUT
O
U
T
P
U
T
10% INPUT 
CHANGE
INPUT
O
U
T
P
U
T
50% INPUT 
CHANGE
INPUT
100% INPUT CHANGE
Ex.: folga de engrenagens em instrumentoos mecânicos impede variação na saída para 
pequenos estímulos.
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Resolução: menor variação da grandeza medida que causa
variação perceptível na indicação correspondente. A 
resolução de um dispositivo mostrador (indicador) corresponde 
a menor diferença entre indicações que pode ser 
significativamente percebida.
• No caso de instrumentoos digitais a resolução é dependendente da 
resolução do conversor A/D (número de bits) e é expressa por:
• Deriva (Drift): mudança, indesejável e lenta, de uma
característica metrológica de um instrumento de medição que 
ocorre com o passar do tempo, causada por fatores ambientais
ou intrínsecos ao sistema. Implica no deslocamento do zero.
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
5
12
R


N
Span
N -> é o número de bits do conversor.
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Limiar de Mobilidade (Threshold): é a maior variação (lenta e 
uniforme) no valor de uma grandeza medida que não causa 
variação detectável na resposta (indicação) de um 
instrumento. Pode depender de ruído ou atrito. Define o valor 
mínimo perceptível na entrada do instrumento.
• Ex.: atrito estático em instrumentoos mecânicos impedem a deflexão inicial 
quando o estímulo (força) esta ́ abaixo de um certo limiar (menor do que o 
atrito estático máximo). 
• Linearidade: maior diferenc ̧a existente entre um ponto da curva
de calibração esta ́tica e a melhor reta (no sentido de mínimos
quadrados) ajustada. Pode ser quantificada como:
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FE
Dif
eLinearidad max.100%  
x 
INPUT
O
U
T
P
U
T
 
y Difmax Linearidade
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Histerese: maior diferença entre curvas estáticas obtidas
quando o mensurando é variado com derivada positiva
(valores crescentes), em relação ao caso em que é variado
com derivada negativa (valores decrescentes). O efeito da 
histerese é notado em instrumentoos que possuem 
comportamento diferente para entrada crescente em relação 
a entrada decrescente. Pode ser quantificada como: 
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HistFE
Hist
Histerese .100%  
INPUT
O
U
T
P
U
T
10% INPUT 
CHANGE
INPUT
O
U
T
P
U
T
50% INPUT 
CHANGE
INPUT
O
U
T
P
U
T
100% INPUT 
CHANGE
CARACTERÍSTICAS ESTÁTICAS DOS 
INSTRUMENTOS
• Carga do instrumento: um instrumento de medida (elemento 
primário) sempre extrai alguma energia do meio onde 
encontra-se instalado. Sem isto seria impossível realizar a 
medição. Mas a grandeza medida é sempre perturbada pelo 
meio ou pelo ato da medição, o que torna impossível, 
teoricamente, alcançar uma medida perfeita. Este efeito de 
carga do instrumento está associado à sua rigidez ou 
impedância de entrada, definida como:
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fluxo
esforço
i
V
V
Z 
Vesforço -> variável de esforço; 
Vfluxo -> variável de fluxo.
65 °C
65 °C70 °C
20 °C
ABORDAGEM DE CIRCUITOS E SISTEMAS
• Os sistemas A e B podem ser elétricos, térmicos, hidráulicos, mecânicos 
de translação e mecânicas de rotação, etc.
• Os sistemas A e B só se “conhecerão” se ocorrer transferência de energia:
• São necessárias duas variáveis para “representar” a energia transferida: uma 
variável de INTENSIDADE ou ESFORÇO e uma variável de QUANTIDADE ou FLUXO 
(circulação ou escoamento).
• O produto dessas variáveis corresponde à ENERGIA ou à POTÊNCIA transferida 
de A -> B ou B -> A.
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tempo
Energia
Potência



Energia Potência
Capacidade de Realizar Trabalho Variação da Energia no Tempo
INTENSIDADE ESFORÇO: ou Variável “Sobre”
QUANTIDADE FLUXO: Escoamento ou Variável “Através"
Sistema
A
Sistema
B
IV
QuantidadeeIntensidadEnergia  fluxoEsforçoPotência 
SISTEMAS ANÁLOGOS
POTÊNCIA
Variável 
INTENSIDADE
Esforço (Sobre)
Variável
QUANTIDADE/Δt
Fluxo (Através)
UNIDADE
(Watt)
Característica 
Intrínseca do Sistema
Elétrica Tensão [V] Corrente [I] V*A
Impedância 
Z = V/I
Y = I/V
Mecânica (Rotação) Torque [T]
Velocidade Angular []
rad/s * Nm
Rigidez K = T/
 = dt
Compliância C = /T
Mecânica 
(Translação)
Força [F]
Velocidade linear [v]
m/s * N
Rigidez S = F/x
x = vdt
Compliância C = x/F
Hidráulico Pressão [Ph] Vazão [Q] N/m
2 * m3/s
Resistência Hidráulica 
Rh = Ph/Q
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QuantidadeeIntensidadEnergia 
t
QUANTIDADE
EINTENSIDADPotência


fluxoEsforçoPotência 
CONCEITO DE IMPEDÂNCIA GENERALIZADA
• Sendo as variáveis de ESFORÇO e FLUXO contínuas ou periódicas (i.e., 
não zeram após um transiente, mantendo-se em estado permanente), 
pode-se calcular uma característica intrínseca do sistema que é a 
Impedância (ou Admitância) generalizada.
• O conceito de Impedância é usado quando a variável de interesse é o 
ESFORÇO ou INTENSIDADE:
• O conceito de Admitância é usado quando a variável de interesse é a 
QUANTIDADE, i.e., o FLUXO (ESCOAMENTO ou CIRCULAÇÃO):
• Usando estas definições a potência drenada do sistema A por B pode ser 
obtida:
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F
E
Z 
E
F
Y 
Y
F
Z
E
P
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
CONCEITO DE IMPEDÂNCIAGENERALIZADA
• Exemplos de sistemas para Impedância e Admitância...
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12
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
1.5
2
Tempo [s]
v
C
(t
) 
 
[V
]
Tensão e Corrente em um Capacitor (R = 10kOhm e C = 100uF)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
50
100
150
200
i C
(t
) 
 
[u
A
]
 
 
v
C
(t)
i
C
(t)
v(t)
Massa Mola
Diapasão
Deslocamento
Tempo
Circuito RC
x y
R
Cic
Ligando uma 
Fonte DC
y
 
 
 
i C
x
CONCEITO DE RIGIDEZ E 
COMPLIÂNCIA GENERALIZADA
• Quando uma das variáveis, de ESFORÇO ou FLUXO, não são 
contínuas ou periódicas, i.e., zeram depois de um transiente, 
utiliza-se os conceitos de Rigidez e Compliância.
• Rigidez: é usado quando a variável de interesse é a INTENSIDADE, 
i.e., o ESFORÇO.
• Compliância: é usado quando a variável de interesse é a 
QUANTIDADE, i.e., o ESCOAMENTO ou FLUXO (circulação).
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 

dtF
E
Si
E
dtF
Ci
 

CONCEITO DE IMPEDÂNCIA GENERALIZADA
• Exemplos de sistemas para Rigidez e Compliância...
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Teste Modal para Auscultação
Descarga Parcial em Barramento Trifásico
CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA DE 
INSTRUMENTOS
• Consiste na determinação da relação entre a entrada e a saída 
do instrumento, considerando valores constantes de equilíbrio 
para a entrada e para a saída, ou seja, considerando apenas os 
valores observados em regime permanente. 
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x(t)
t
X2
X1
Variabilidade da 
grandeza
Valor permanente da 
grandeza
Instrumento de 
Medição
y(t)
t
Y2
Y1
Indicação do 
instrumento
Variabilidade da 
instrumento
CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA DE 
INSTRUMENTOS
• O procedimento de determinação da curva Característica Estática é 
chamado de Calibração1. 
• O Procedimento de Medição deve ser capaz de fornecer resultados de 
medição adequados para a avaliação da veracidade de medição de 
valores medidos obtidos a partir de outros procedimentos de medição 
para grandezas de mesma natureza, em calibração ou em 
caracterização de materiais de referência (situação ideal em que 
somente o mensurando é variado). 
• Na prática, deve-se usar um Método Exemplar.
• O Método Exemplar é um procedimento de medição reconhecido pelos 
especialistas como sendo suficientemente correto para a aplicação a qual se 
destina o instrumento. 
• Para se realizar a Calibração Estática, ou Calibração, é preciso manter as 
grandezas de influência (entradas indesejadas) sob Estado de Controle 
Estatístico. 
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16
1 O termo aferição foi retirado do VIM na edição 2012 
CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA DE 
INSTRUMENTOS
• Estado de Controle Estatístico é aquele em que um sistema 
encontra-se apenas sob influência de fontes comuns de variação, 
totalmente aleatórias, com pequenas oscilações em torno de seu 
valor médio típico.
• Em termos de um Procedimento de Medição corresponde ao estado 
em que as entradas interferentes e modificantes são mantidas 
praticamente constantes, isto é, com pequenas flutuações aleatórias, 
apenas, em torno de seus valores médios. 
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Em Estado de Controle Estatístico Fora de Estado de Controle Estatístico
CALIBRAÇÃO (CARACTERIZAÇÃO ESTÁTICA)
• Além dos cuidados apontados anteriormente, que 
passos devem ser seguidos para se realizar a 
calibração estática com qualidade? 
1. Reconhecer as entradas desejada (mensurando), interferentes
e modificantes (grandezas de influencia). 
2. Decidir que grandezas de influência não poderão ser 
ignoradas na aplicação especifica do instrumento. 
3. Preparar o procedimento de medição, procurando 
implementar um método exemplar. 
4. Obter as curvas características estáticas (mais de uma), 
correspondentes a cada caso para valores de grandezas de 
influência que, inevitavelmente, existirão na aplicação 
específica do instrumento. 
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CALIBRAÇÃO SIMPLIFICADA
(PRÉ-CALIBRAÇÃO)
• É usual, sobretudo na indústria, um ajuste prévio ao procedimento 
formal de calibração para os parâmetros:
• Ganho/Sensibilidade
• Offset/Bias/Polarização (Erro Sistemático)
• Utilizando potenciômetros de ajuste, disponíveis nas unidades 
eletrônicas dos instrumentoos para este fim.
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IOUT(mA)
Medidor
Ajuste
de 
Ganho
Ajuste
de 
Zero
4 a 20 mA25 a 350 °C
Trimpots de ajuste, 
com parafusos
pequenos e expostos.
O pré-ajuste não
garante que estes
pontos extremos serão
ligaados por um reta!
TMIN = 25 T(°C)
IMAX = 20
IMIN = 4
TMAX = 350
CALIBRAÇÃO SIMPLIFICADA
(PRÉ-CALIBRAÇÃO)
• Para realizar este pré-ajuste, adota-se o 
seguinte procedimento iterativo: 
1. Impondo-se o valor mínimo da variável 
desejada à entrada do instrumento, ajusta-
se o ”zero” para que o valor indicado seja o 
valor desejado nesta situação;
2. Impondo-se o valor máximo da variável 
desejada à entrada do instrumento, ajusta-
se o ”ganho/sensibilidade” para que o valor 
indicado seja o valor desejado nesta 
situação;
3. Volte ao passo 1. 
• Após algumas iterações (usualmente 2 a 
5), pode-se obter os pontos da curva de 
calibração estática, entre os dois pontos 
extremos pré-ajustados. 
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20
Calibrador de Processos
(Temperatura)
Calibrador de Pressão
CALIBRAÇÃO SIMPLIFICADA
(PRÉ-CALIBRAÇÃO)
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Calibradores de processo com Documentação
Fluke 740 Series

Os calibradores de processo com documentação Fluke 
Série 740 são ferramentas portáteis resistentes para 
calibração e para identificação e resolução de 
problemas de instrumentoos de controle de processos.
Calibradores de Loop Fluke 773
Medidor Clamp CC (100mA)
Gerador (4 a 20 mA)
Simulador (4 a 20mA)
Teste de Loop
CALIBRAÇÃO SIMPLIFICADA
(PRÉ-CALIBRAÇÃO)
• Como proceder a calibração para obter os dados que permitirão
construir a Curva de Calibração Estática?
• Realizando medições simultâneas da grandeza de interesse com o 
instrumento a ser calibrado com um padrão de medição.
• Padrão de Medição: instrumento que seja rastreável do ponto de vista metrológico e 
com uma resolução pelo menos 10 vezes maior (mais preciso).
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22
Exemplo de uma Bancada de 
Calibração evidenciando um forno 
padrão com um sensor de 
temperatura e uma bomba padrão 
com um transmissor de pressão.
CURVA (RETA) DE CALIBRAÇÃO
• Para Sistemas Afins, usualmente ajusta-se uma reta aos 
dados obtidos do procedimento de calibração 
estática, modelando-se o comportamento estático do 
instrumento como:
• y -> é a saída do instrumento em processo de calibração;
• x -> é a saída do padrão de medição (saída do padrão);
• a -> é o Ganho ou Sensibilidade;
• b -> é o offset, bias ou polarização do instrumento sob processo 
de calibração.
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
23
baxy 
RETA DE CALIBRAÇÃO
• Na forma matricial tem-se:
• Y -> é o vetor de dados obtidos do instrumento em calibração;
• X -> é o vetor de dados obtidos do padrão de medição.
• Como obter valores ótimos para os parâmetros a e b
da reta de calibração?
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
24







1
][
X
baY
̂][
1







ba
X
X
m
YX
XY
m
m


1ˆ
ˆ


Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 25
• Minimizando o erro quadrático médio entre a reta de calibração 
ajustadae os pontos (dados de medições) obtidos no processo 
de calibração.
• A função de custo J pode ser expandida por álgebra matricial:
• O mínimo de J é obtido via cálculo fazendo-se:
• De onde vem:
 ]ˆ[]ˆ[
2
1
2 XYXYEeJ T
n
i
i  

XXYXYYJ
XXXYYXYYJ
TTT
TTTT
2
2
ˆˆ2
ˆˆˆ




0



J
YXXX TT 1][ˆ 



n
i
ieba
1
2min)ˆ,ˆ(̂
XYYX TT 
Lembrando que a 
identidade matricial é: 
RETA DE CALIBRAÇÃO
• Voltando à equação matricial:
• A estimação dos parâmetros a e b é obtida por meio 
da inversão da matriz Xm que não sendo quadrada 
tem solução dada pela matriz pseudo-inversa. 
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
26







1
][
X
baY
̂][
1







ba
X
X
m
mX-Y= 

ˆ
)(ˆ 1 YXXX
b
a T
mm
T
m







Lembrando que:
 
T
mm
T
m XXX
1)( 
é a matriz pseudo-inversa.
Em que:
YX
XY m


1ˆ
ˆ


RETA DE CALIBRAÇÃO
• Na prática, utilizando-se o Matlab, a melhor maneira 
de resolver a equação matricial, tanto do ponto de 
vista do tempo de execução quanto de exatidão 
numérica, é usando o operador de divisão matricial:
• Ele produz a solução no sentido dos mínimos 
quadrados usando o método de eliminação 
Gaussiana sem calcular explicitamente a inversa
• Xm é uma matriz M x N 
• Y é um vetor coluna M x 1
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
27
YXθ m \ \ -> mldivide
RETA DE CALIBRAÇÃO
• Exemplo: considere os seguintes vetores de dados 
obtidos de um processo de calibração:
• Para a estimação dos parâmetros a e b organizamos a matriz X
como:
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
28
T
X 






1
0.1
1
9.0
1
8.0
1
7.0
1
6.0
1
5.0
1
4.0
1
3.0
1
2.0
1
1.0
Y = [0.2396 0.6257 0.6944 1.1415 1.1195 1.4529 1.6219 1.7078 1.7829 2.1941]'; 
(Sensor em Calibração)
X = [0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1]'; 
(Sensor Padrão de Medição)
ATENÇÃO:
Para os cálculos que se 
seguem, não troque as 
váriaveis X (Sensor Padrão) 
com Y (Sensor a Calibrar).
RETA DE CALIBRAÇÃO
• Calcula-se os parâmetros a e b usando o operador matricial:
• que resulta em: 
• em que o Ganho ou Sensibilidade do instrumento é: a = 1.97;
• o Offset ou Bias é: b = 0.17;
• Portanto, o modelo estimado para a reta de calibração é:
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
29
YX \







17.0
97.1

17.097.1  xy
RETA DE CALIBRAÇÃO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
30
Incerteza/erro
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
• A partir da variância dos erros do ajuste da reta de calibração 
(chamados de resíduos), pode-se estimar a incerteza padrão 
associada a indicação do instrumento ainda não-corrigido:
• No cálculo acima foram desprezadas as incertezas associadas ao
padrão de medição e ao erro de estimação dos parâmetros:
• A incerteza padrão calculada acima é do Tipo A e, portanto, 
devemos observar o número de graus de liberdade (no caso, n-2), 
uma vez que tem-se o cálculo de sY dependente de dois 
parâmetros estimados (a e b).
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
31
2
;)]ˆˆ([
11 22

 
n
bXaYes
Y
iiiY


 ;1144,0
1144,0)(
8
1 2

 
Y
iY
u
es
Desvio dos erros de ajuste da 
reta de calibração, também 
chamados de resíduos.
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
• Como são desconsideradas informações sobre 
incertezas do Tipo B, pode-se usar a FDP t-Student para 
obter o fator de abrangência necessário ao cálculo da 
incerteza expandida, como se segue: 
• No nosso exemplo, k = 2,37 para ν = 8.
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
32
2711,01144,037,2 YU
YnY utU  2- ;45,95
• Caso sejam consideradas informações sobre incertezas do Tipo B (e.g., incertezas
do padrão de referências e demais grandezas de influência), deve-se determiná-
las1 como incertezas padrão Tipo B e combiná-las à incerteza Tipo A calculada:
• Após o cálculo da incerteza padrão combinada (uYC)associada a indicação do 
instrumento deve-se obter o número de graus de liberdade efetivo (𝜈𝑒𝑓) pela 
equação de Welch-Satterthwaite:
• Por meio 𝜈𝑒𝑓 determina-se o fator de abrangência t (de Student) para uma 
probabilidade de 95,45% e, então, calcula-se a incerteza expandida como:
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
33








...
44
4
PR
PR
Y
Y
YC
ef
uu
u




PR
Y n

 2
YCY utU ef   ;45,95
Incerteza Padrão do Padrão de 
Referência e demais incertezas (Tipo B)
...
22
 PRYYC uuu
Incertezas do Tipo B geralmente são expressas na forma 
de incertezas expandidas, encontradas em manuais de 
instrumentoos padrão de referência. Logo, deve-se 
“transformá-las” em incertezas padrão.
• O resultado do cálculo de UY em relação à reta de calibração, são duas retas
paralelas, esboçando a região de intervalos de confiança para as indicações não-
corrigidas do instrumento comparadas às medidas do padrão de medição X:
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
34
YUba 
ˆˆX
Y
X
ba ˆˆ X
YUba 
ˆˆX
YUba 
ˆˆX
• O cálculo apresentado considera que o instrumento 
terá a mesma dispersão para os dados em toda 
faixa utilizada no experimento, comparando-se com 
o padrão de medição. 
• Já o GUM considera dispersões diferentes para 
cada patamar de medição em comparação com 
um padrão de medição.
• A reta de calibração tem por objetivo “varrer” uma
faixa de medição de um instrumento e expressar a 
incerteza utilizando todos os dados dessa faixa. 
Procedimento muito prático e largamente utilizado.
• O GUM/JCGM expressa a incerteza para um único 
patamar de medição, propondo uma amostra com 
muitas observações (medições) nesse patamar. 
Procedimento mais refinado, porém mais complexo.
Indicações não-corrigidas (𝒀𝒊)
escalar
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
• Após a reta de calibração ser ajustada, e as incertezas padrão terem 
sido obtidas deseja-se:
1. Calcular o valor verdadeiro convencional do mensurando, ou valor estimado 
do mensurando, a partir da indicação do instrumento calibrado. Para isso, o 
resultado da reta de calibração deve ser utilizado, permitindo corrigir o valor 
indicado pelo instrumento:
2. Calcular a incerteza padrão combinada associada a indicação corrigida do 
instrumento, primeiramente desconsiderando a propagação de incertezas 
devido ao erro de estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, considerando somente à 
informação disponível sobre incertezas do Tipo B:
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
35
a
b
ˆ
ˆ
ˆ 
Y
X
O Erro Sistemático (bias ou offset) é 
subtraído do valor indicado e o resultado
dividido pelo ganho do instrumento.
...
22
ˆˆ  PRXCX uuu
a
u
u Y
X ˆ
ˆ 










...
4
ˆ
4
ˆ
4
ˆ
PR
PR
X
X
CX
ef
uu
u




PR
YX
n

 2ˆ
CXX
utU
ef ˆ;45,95
  
O problema é o mesmo de se calcular a 
incerteza da indicação não-corrigida, 
porém utilizando a incerteza uX.
Porquê?
• Semelhante ao resultado anterior, pore 𝑼 𝑿 são duas retas paralelas em relação à 
uma reta que passa pela origem, esboçando a região de intervalos de confiança
para as indicações corrigidas do instrumento comparadas às medidas do padrão
de medição X:
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
36
X
U ˆX
X
X
U ˆX
X̂
X
X
U ˆX
Indicações corrigidas
𝒀 − 𝑏
 𝑎
• Observeque a função inversa da reta de 
calibração, a equação de correção, aplica a 
correção sistemática ( 𝑏) e o ajuste de ganho da 
faixa ( 𝑎) para as medidas do instrumento Y.
• A reta central às indicações corrigidas é a reta 
calibrada (Y = X), uma vez que aplicando-se os 
Mínimos Quadrados utilizando 𝑿 (𝑿\ 𝑿), obtém-se 
exatamente 𝑎 = 1 e 𝑏 = 0
• A função inversa da reta de calibração pode 
ser implementada em um sistema 
computacional, ou mesmo eletronicamente. 
escalar
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 37
• Todavia, é mais adequado considerar a propagação de 
incertezas devido ao erro de estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃.
• Como os parâmetros ótimos (erro quadrático médio mínimo) são funções dos 
dados coletados no procedimento de calibração, eles são de fato variáveis 
aleatórias. Portanto há, também, incertezas associadas à estimação de cada 
parâmetro (𝒖 𝒂 e 𝒖 𝒃). 
• Dessa forma, pode-se calcular as variâncias de Y, 𝒂 e 𝒃 : 
;
1
;
;)]ˆˆ([
1
22
ˆ
2
ˆ
2
2
2
2
ˆ
22



















n
i
iab
n
i
i
n
i
i
Y
a
n
i
ii
Y
Y
X
n
ss
XXn
ns
s
bXaYs 

Expressão para a variância 
dos erros de ajuste da reta 
de calibração, também 
chamados de resíduos.
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 38
• Nesse caso, antes de se obter as incertezas padrão, considere que o 
experimento para obtenção da reta de calibração foi repetido m vezes, 
para os mesmos pontos do padrão de medição X. Logo, o número de 
pontos n passa a ser o número total de pontos das m repetições.
• Dessa maneira, a reta de calibração, 𝒀 = 𝑎𝑿 + 𝑏, é estimada observando-
se todos os n pontos do experimento.
• Assim, as incertezas padrão, funções dos desvios padrão obtidos, podem
ser calculadas como se segue:
m -> no. de experimentos
com n medidas cada.m
s
u YY 
aa su ˆˆ 
bb
su ˆˆ  Para 1 experimento, 𝑿 é 
estimado e deve ser retirado
do grau de liberdade. 
Os parâmetros 𝒂 e 𝒃 são
estimados e devem ser
retirados do grau de liberdade. 
Yba
  ˆˆ
2 nY
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 39
• Para calcular a incerteza padrão para a reta de calibração considerando a 
propagação de incertezas devido ao erro de estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, 
deve-se utilizar a equação geral de propagação de incertezas:
• Substituindo o termo 𝑏 = 𝑌 − 𝑎 𝑋, no qual ( 𝑋, 𝑌) são as médias dos vetores Y e X
com n pontos nos m experimentos, e aplicando à equação acima, porém 
utilizando-se a reta de calibração 𝑌 = 𝑎𝑋 + 𝑌 − 𝑎 𝑋, tem-se:
• Em que:
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆˆ 






















 abXYC ua
Y
u
b
Y
u
X
Y
u
Equações (medições indiretas) Aula 03…
bXaY ˆˆ 
XaYXaY ˆˆ 
2
ˆ
22
ˆˆ 






















 aY
Y
YC u
a
Y
u
Y
Y
a
u
X
Y
u
n
s
u Y
Y

n
i
iY
n
Y
1

n
i
iX
n
X
1
Aula 3 – Slide 11
Desvio da média.
a
u
u YX
ˆ

De fácil demonstração! 
Tente em casa…
n corresponde ao número total 
de pontos dos m experimentos
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 40
• Desenvolvendo…
   
 
 
 
 
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
2
ˆ
222
11
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
























































n
i
i
n
i
i
YYC
n
i
i
n
i
i
YYY
YC
n
i
i
n
i
i
YYY
YC
n
i
i
n
i
i
YYX
YC
aYXYC
XXn
XXn
nm
su
XXn
ns
XX
n
s
m
s
u
XXn
ns
XX
n
s
ma
s
au
XXn
ns
XX
n
s
m
s
au
sXXuuau
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA ASSOCIADA À INDICAÇÃO DO INSTRUMENTO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 41
• Resultando na seguinte expressão para a incerteza padrão da reta de 
calibração, considerando a propagação de incertezas devido ao erro de 
estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃:
• Como são desconsideradas informações sobre incertezas do Tipo B, 
pode-se usar a FDP t-Student para obter o fator de abrangência 
necessário ao cálculo da incerteza expandida, como se segue: 
 
2
2
2
11










n
i
i
n
i
i
Y
XXn
Xn
nm
s
X
uYC
uYC resultará em um vetor de 
incertezas padrão associadas às
indicações não corrigidas do 
instrumento, refenciando as 
medidas do padrão de medição X.
 
2
2
2
2;45,95
11











n
i
i
n
i
i
Yn
XXn
Xn
nm
st
X
UY
YCY utU YC   ;45,95
2 nYC
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA PADRÃO COMBINADA ASSOCIADA A INDICAÇÃO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 42
• Além de considerar as incertezas dos parâmetros, é importante também
combinar as incertezas padrão do Tipo B com a incerteza padrão da reta
de calibração uYC, logo:
• Desta forma, calcula-se o número de graus de liberdade efetivos, 𝝂𝒆𝒇, 
para uC e com ele determina-se o fator de abrangência t de Student
para obtenção da incerteza expandida UY:
Incerteza Padrão do Padrão de 
Referência e demais incertezas (Tipo B)
...
22  PRuYCC uu








...
44
4
PR
PR
YC
u

YC
C
ef
u
u
ν
2 nYC
 t  t  t  t
1 13,968 10 2,284 19 2,140 80 2,032
2 4,527 11 2,255 20 2,133 90 2,028
3 3,307 12 2,231 25 2,105 100 2,025
4 2,869 13 2,212 30 2,087 150 2,017
5 2,649 14 2,195 35 2,074 200 2,013
6 2,517 15 2,181 40 2,064 1000 2,003
7 2,429 16 2,169 50 2,051 10000 2,000
8 2,366 17 2,158 60 2,043 100000 2,000
9 2,320 18 2,149 70 2,036  2,000
Tabela t de Student para 95,45%
PR
Assim como para as demais incertezas 
do Tipo B, a não ser que se tenha mais 
informações a respeito.
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA PADRÃO COMBINADA ASSOCIADA A INDICAÇÃO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 43
• Nesse caso, 𝝂𝒆𝒇 é um vetor, bem como 𝒕𝟗𝟓,𝟒𝟓%, 𝝂𝒆𝒇 (de Student ) que 
contém os fatores de abrangência para cada ponto do vetor uC, 
obtendo-se o vetor de incertezas expandidas UY para as indicações não-
corrigidas do instrumento submetido a m experimentos para obteção da 
reta de calibração 𝒀 = 𝑎𝑿 + 𝑏.
 
CY
Y
utU
tU
efυ 95%,
efυ 95%,


























...
11 2
2
2
2
2
PR
n
i
i
n
i
i
Y u
XXn
XXn
nm
s
ATENÇÃO! Para m experimentos, 𝑿𝒊 passa 
a considerar o número total de pontos de 
todos os experimentos.
 𝑋 é a abscissa média do ponto
( 𝑋, 𝑌) da reta de calibração
estimada, considerando todos
os pontos dos m experimentos.
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA PADRÃO COMBINADA ASSOCIADA A INDICAÇÃO
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 44
• O resultado do cálculo de 𝑼𝒀 em relação à reta de calibração, 
considerando as incertezas do Tipo B e dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, é uma
hipérbole que envolve a reta (𝒀 = 𝑎𝑿 + 𝑏) em seu foco, esboçando a 
região de intervalos de confiança para as indicações não-corrigidas do 
instrumento:
Fonte: MANDEL, J. The Statistical Analisys of Experimental Data. Wiley, NY, 1964.
• O cálculo apresentado traz um resultado 
coerente se pensarmos que, tanto no inicio 
como no final de sua faixa, um instrumento 
pode apresentar menor repetitividade! Isso 
pode ocorrer por diversos fatores tais com: 
não-linearidades, resolução (início da 
escala), ganho (final da escala), deriva, etc. 
• Se desconsideramos alguns pontos no inicio 
e no finaldo experimento, as hipérboles 
tendem a ser duas retas paralelas.
Y
X
ba ˆˆ X
YUX  ba
ˆˆ
YUX  ba
ˆˆ
Indicações não corrigidas (𝒀𝒊)
YUX  ba
ˆˆ
vetor
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 45
• Para calcular a incerteza padrão associada a indicação corrigida do 
instrumento, porém considerando apenas propagação de incertezas 
devido ao erro de estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, assumindo que m
experimentos foram realizados, tem-se que:
• Dessa forma, aplicando-se a mesma metodologia utilizada nos slides 33-35,
i.e., substituindo o termo 𝑏 = 𝑌 − 𝑎 𝑋, considerado m experimentos e a reta
de correção 𝑋 =
𝑌−( 𝑌− 𝑎 𝑋)
 𝑎
, obtém-se a seguinte expressão:
2
ˆ
2
ˆ
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆˆ
























 abYCX sa
X
s
b
X
u
Y
X
u
Equações (medições indiretas)…
X
a
YY
X 


ˆ
ˆ
2
ˆ
22
ˆ
ˆ
ˆˆˆ
























 aYYCX ua
X
u
Y
X
u
Y
X
u
a
bY
X
ˆ
ˆ
ˆ 
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 46
• Desenvolvendo semelhante ao slide 34, a expressão para incerteza
padrão para as indicações corrigidas do instrumento é dada por:
• Desconsiderando incertezas do Tipo B, a incerteza expandida é 
calculada diretamente obtendo-se o t de Student para , 𝝂 𝑿𝑪 : 
 


















2
22
2
ˆ
ˆ
11
ˆ n
i
i
n
i
i
Y
XXna
Yn
nma
s Y
u
CX
uXC resultará em um vetor
de incertezas padrão
associadas às indicações
corrigidas do instrumento, 
refenciando as medidas
do padrão de medição X.
 


















 2
22
2
2;45,95ˆ
ˆ
11
ˆ n
i
i
n
i
i
Y
n
XXna
Yn
nma
s
t
Y
U
X
YC X
uU 
YC
t ;45,95ˆ
2ˆ  nCX
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA PADRÃO COMBINADA ASSOCIADA À INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 47
• Por último, para calcular a incerteza padrão combinada associada a
indicação corrigida do instrumento considerando a propagação de 
incertezas devido ao erro de estimação dos parâmetros 𝒂 e 𝒃, bem como 
as incertezas do Tipo B, assumindo que m experimentos foram realizados, 
tem-se que:
• Resolvendo semelhante aos slides 36 e 38, obtém-se os vetores 𝝂𝒆𝒇 e 
𝒕𝟗𝟓%, 𝝂𝒆𝒇 (de Student ) e a expressão para a incerteza expandida, 𝑼 𝑿, 
referente às indicações corrigidas:
Incerteza Padrão do Padrão de 
Referência e demais incertezas (Tipo B)
...
22
ˆ  PRuCXC uu


PR
YC n

 2 
CX
X
utU
tU
efυ 95%,
efυ 95%,




















ˆ
2
2
22
2
ˆ ...
ˆ
11
ˆ
PR
n
i
i
n
i
i
Y u
XXna
YYn
nma
s
𝑼 𝑿 resultará em um vetor de incertezas expadidas
associadas às indicações corrigidas do instrumento, 
comparandas as medidas do padrão de medição X.
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG 48
• O resultado do cálculo de 𝑼 𝑿, para as indicações corrigidas em relação à reta
calibrada (𝒀 = 𝑿), considerando a incerteza devido ao erro de estimação dos 
parâmetros 𝒂 e 𝒃, bem como as incertezas do Tipo B, é uma hipérbole que envolve
essa reta em seu foco, esboçando a região de intervalos de confiança para as 
indicações corrigidas do instrumento comparadas às medidas do padrão de 
medição X:
• Semelhante ao resultado anterior, porém com 
uma região de incertezas em torno de uma reta
que passa pela origem. 
 𝑿
𝑿
X
X
X
UX ˆ
Indicações corrigidas
𝒀 − 𝑏
 𝑎
X
UX ˆ
vetor
Avançado...
RETA DE CALIBRAÇÃO
INCERTEZA DA INDICAÇÃO CORRIGIDA
(FUNÇÃO INVERSA DA RETA)
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• Para os casos citados no slide 28 e no 
slide 30:
ba ˆˆ  XY
1736,09717,1  XY
9717,1
1736,0ˆ 
Y
X
UX =[0.1644 0.1526 0.1510 0.1450 0.1451 0.1454 0.1473 0.1487 0.1502 0.1615]’;UY =[0.3143 0.3028 0.2939 0.2878 0.2847 0.2847 0.2878 0.2939 0.3028 0.3143]’;
Apesar de visualmente parecerem retas 
paralelas, observe as extremidades de UY e UX, 
caracterizando as hipérboles de incerteza.
BIBLIOGRAFIA
• DOEBELIN, E. O. Measurement Systems – Application and Design, 5ª. 
Edição. Editora McGraw-Hill, USA, 2004.
• BALBINOT, A.; BUSSAMARELO, V. J. instrumentação e Fundamentos de 
Medidas. Vol 1, 2ª. Edição. Editora LTC. Rio de Janeiro, RJ, 2010.
• MANDEL, J. The Statistical Analisys of Experimental Data. Wiley, NY, 1964.
• Evaluation of measurement data - Guide to the expression of
Uncertainty in Measurement, (GUM 1995 with minor corrections). JCGM 
100:2008, 1st Edition, 2008.
• Vocabulário Internacional de Metrologia: conceitos fundamentais e 
gerais de termos associados (VIM 2012). Duque de Caxias, RJ : 
INMETRO, 2012. 94 p. Traduzido de: International Vocabulary of 
Metrology: basic and general concepts and associated terms – JCGM 
200:2012. 3rd. ed. 2012. Traduzido por: grupo de trabalho luso-brasileiro. 
ISBN: 978-85-86920-09-7.
• ALBERTAZZI JR., A. Apostila Metrologia I. Laboratório de Metrologia e 
Automatização, Departamento de Engenharia Mecânica, UFSC, 2002.
• Apostila de instrumentação da FEM – Unicamp.
• Imagens da internet .
• Notas de aula dos professores Anísio R. Braga, Leonardo Torres.
Profs. Carmela Maria Polito Braga e Hugo César Coelho Michel, DELT/EE-UFMG
50
Cap. 3.2
Cap. 2.3 a 2.7.4
Cap. 12