Instrumentos de medição

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INSTITUTO DE PESQUISAS HIDRÁULICAS 
UFRGS 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
UNESP 
 
 
 
 
 
 
INSTRUMENTOS DE MEDIDA E 
SISTEMAS DE INSTRUMENTAÇÃO 
 
APOSTILA 
 
 
 
 
PAULO KROEFF DE SOUZA 
(IPH-UFRGS) 
 
MILTON DALL'AGLIO SOBRINHO 
(FEIS-UNESP) 
 
 
Esta apostila foi compilada a partir do livro: 
"Instrumentos de Medida e Sistemas de Instrumentação" 
atualmente em final de elaboração pelos autores. 
 
 
 
DEZEMBRO DE 2005 
 2
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
Esta apostila foi compilada com os textos já gerados pelos autores até Dezembro de 
2005, como parte do esforço para lançar um livro sobre instrumentação em futuro 
próximo. O trabalho foi desenvolvido com o patrocínio do projeto "Amigos de 
Boussinesq" que propiciou uma cooperação, durante quatro anos, entre a 
Coordenação de Programas de Pós-graduação em Engenharia - UFRJ, coordenadora 
do projeto, o Instituto de Pesquisas Hidráulicas da UFRGS e a Faculdade de 
Engenharia de Ilha Solteira - UNESP no quadro do programa PROCAD da CAPES. 
 
A presente apostila destina-se a ser usada como texto nos cursos de graduação e pós-
graduação das cooperantes. 
 
A orientação adotada para o futuro livro é que, além do apoio a cursos, possa ser 
também usado como referência. Isso significa que os capítulos deverão, tanto quanto 
possível, ser textos independentes e completos, para que alguém conhecedor da área, 
lendo um capítulo o entenda completamente (evitando a necessidade de buscar 
informações – equações, figuras, definições, etc – em outros capítulos). Por essa 
razão, alguns tópicos aparecem parcialmente repetidos ao longo do texto. 
 
Os autores expressam sua gratidão ao programa PROCAD e, em particular, aos 
professores Claudio Freitas Neves da COPPE, coordenador do projeto "Amigos de 
Boussinesq", Nara Luzzi Rosauro, coordenadora pelo IPH e Geraldo de Freitas Maciel, 
coordenador pela FEIS, pela oportunidade e pelo apoio prestado. 
 
 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PARTE 1 – UTILIZANDO E COMPARANDO INSTRUMENTOS. 
 
Capítulo 1 - Problemas de instrumentação 
Capítulo 2 - Sistemas de unidades, padrões e rastreabilidade 
Capítulo 3 - Modelo de instrumento e métodos de medição 
Capítulo 4 - Leitura de instrumentos 
Capítulo 5 - Desempenho de instrumentos de medição 
Capítulo 6 - Efeitos de carga do instrumento de medição 
Capítulo 7 - Aferição de Instrumentos 
Capítulo 8 - Sinais variáveis no tempo 
Capítulo 9 - Características dinâmicas 
Capítulo 10 - Erros e incertezas 
 
 
 4
CAPÍTULO 1 
 
PROBLEMAS DE INSTRUMENTAÇÃO 
 
 
 
1.1 O QUE É MEDIR 
 
Medir é comparar uma grandeza física, direta ou indiretamente, com uma grandeza 
física unitária de mesma natureza realizada por um padrão. 
 
Ex.: Medir um comprimento é compará-lo com o metro padrão, através de um instrumento que 
foi calibrado em relação a ele, como uma régua, uma trena, etc.. 
 
Entretanto, quando se atribui o valor medido a uma grandeza física é preciso 
especificar outras coisas para a interpretação adequada do resultado. 
 
 
1.1.1 Medição de atributos de objetos 
 
Para obter uma medida que corresponda a algum atributo de um objeto, é necessário 
em primeiro lugar desenvolver um modelo conceitual para o objeto.1 
 
Para ilustrar isso, imagine-se a medição do diâmetro de um disco – o modelo é um 
círculo, representado pelo diâmetro, que é um parâmetro de um modelo matemático 
abstrato. 
 
Exemplo: Suponhamos que se quer medir o diâmetro de um pneu com uma incerteza 
de 1cm. Se tomarmos várias medidas, em direções diferentes, veremos que elas serão 
diferentes mas, provavelmente não diferirão mais do que 1cm entre si. Se, entretanto, 
quisermos medir o diâmetro do pneu com uma incerteza de 0,1mm, veremos que as 
medidas em diferentes direções poderão diferir de vários milímetros, o que mostra que 
o pneu não é adequadamente modelado por um circulo. 
 
1.1.2 Medição de variáveis físicas 
 
Para a medição de variáveis físicas também são assumidos, implicita ou explicitamente 
modelos. 
 
Assim, ao medir a velocidade de um objeto móvel, geralmente é medido um tempo 
entre as passagens do objeto por dois pontos distantes de um comprimento conhecido. 
Para que essa medida possa ser feita com uma incerteza razoável é, em geral, 
necessário tomar um ponto determinado do objeto como referência e, mesmo assim, o 
resultado obtido é uma velocidade média nos intervalos de espaço e de tempo usados 
na medição. É claro que, quanto menor for a distância entre os dois pontos, tanto mais 
a medida se aproxima de uma velocidade instantânea atribuível aos pontos médios dos 
intervalos de espaço e de tempo. Mas, por esse método, jamais será obtida uma 
velocidade instantânea. 
 
1 S. G. Rabinovich, Measurement errors and uncertainities, New York: Springer-Verlag 2000, p. 11. 
 
 5
 
Uma velocidade instantânea só poderá ser obtida indiretamente, por meio de algum 
fenômeno que produza uma grandeza intermediária, função da velocidade. Por 
exemplo: a tensão gerada por um gerador taquimétrico acoplado a um elemento girante 
que se desloca junto com o móvel sobre a trajetória. Como a medição é indireta, é 
preciso estabelecer a relação entre o que é medido e a grandeza que se quer 
conhecer. 
 
 
1.2 TIPOS DE APLICAÇÃO DE INSTRUMENTOS 
 
É interessante considerar, como faz Doebelin2 os diversos tipos de aplicação de 
instrumentos e sistemas de instrumentação. Segundo o tipo de utilização devem ser 
feitas considerações específicas que afetam o projeto dos instrumentos e/ou dos 
sistemas envolvidos. As categorias consideradas são: 
 
- monitoramento de processos e operações 
- controle de processos e operações 
- análise experimental (fenômenos / processos / produtos) 
 
 
1.2.1 Monitoramento de processos e operações 
 
Nas aplicações deste tipo, os valores medidos não são diretamente usados para 
controlar o processo ou a operação, mas são utilizados para algum propósito 
relacionado. São exemplos disto os postos de monitoramento ambiental ou 
climatológico, os medidores de consumo de bens como água e gás, os medidores de 
"sinais vitais" (tais como pressão arterial e temperatura) usados em medicina. 
 
 
1.2.2 Controle de processos e operações 
 
Para controlar uma variável física que ocorre num processo ou operação é preciso 
medi-la. Se a medida é utilizada diretamente para o controle automático da variável de 
interesse, o instrumento passa a fazer parte da dinâmica da cadeia de controle. Neste 
gênero de aplicação, não basta levar em conta as características estáticas do 
instrumento de medição já que as características dinâmicas influenciarão a estabilidade 
e a controlabilidade dos laços de controle e, portanto, do sistema. O projeto do sub-
sistema de instrumentação fica, necessariamente, subordinado ao projeto do sistema 
de controle. O projeto de sistemas de controle não faz parte do objeto do presente livro. 
É, pois, importante alertar o leitor que as considerações feitas neste livro não são 
suficientes para a escolha de instrumentos para sistemas de controle e que o projeto 
desses sistemas constitui-se em uma especialidade das mais importantes e complexas 
da engenharia. 
 
São exemplos simples desse tipo de aplicação o uso de termostatos para controlar a 
temperatura de ambientes, o uso de sensores de pressão para controlar o nível de 
reservatórios. Aplicações mais elaboradas são, por exemplo, o controle de espessura 
de chapas em laminadores e o controle de processos de mistura de produtos químicos. 
 
2 E. O. Doebelin, Measurement systems, New York: McGraw-Hill, 1992. 
 6
Exemplos muito complexos são as aplicações de controle de trajetória de veículos 
aeroespaciais. 
 
 
1.2.3 Análise experimental 
 
A análise experimental é vital para a aquisição de certos tipos de conhecimento de 
objetos de engenharia ou de pesquisa científica. Doebelin3 apresenta uma lista de tipos 
de problemas de análise experimentalque utilizamos para compilar o seguinte: 
 
Determinação de correlações entre variáveis de um fenômeno. 
Medição de variáveis que apresentam nexo de causa e efeito como fim de quantificar 
essas relações. 
Obtenção de relações empíricas entre variáveis. 
Teste da validade de predições teóricas baseadas em modelos de objetos reais 
(lembrar que todo o processo de modelagem requer simplificações). 
Determinação de propriedades, parâmetros e características de comportamento de 
materiais e sistemas. 
Determinação da presença e/ou teor de produtos químicos. 
 
 
1.3 O QUE, QUANDO, QUANTO MEDIR 
 
A grande maioria dos instrumentos mede uma grandeza física em um ponto e em um 
dado intervalo de tempo ou momento. Entretanto todos os fenômenos físicos se 
desenrolam no tempo e o conhecimento de muitos deles envolve o que ocorre num 
campo e não apenas num ponto. 
 
Sinteticamente pode-se dizer que sendo qualquer fenômeno desenvolvido num espaço-
tempo contínuo, sua medida resultaria em um número infinito de valores. 
 
Quando se mede uma variável por um instrumento contínuo (popularmente chamado 
de "analógico") ele realiza um número teoricamente infinito de medidas. Mas quando se 
anota uma seqüência de valores que medidos, a variável foi "discretizada". e 
quantificada. Discretizada porque deixou de ser uma seqüência contínua de infinitos 
valores e quantificada porque representada por um número finito de algarismos 
significativos o que implica em um "quantum" de uma unidade da última casa decimal. 
Modernamente, a maioria dos sistemas de instrumentação produz exatamente isso: 
sensores contínuos são lidos por circuitos que os amostram e quantificam através de 
conversores analogico-digitais e registram as seqüências de valores numéricos. 
 
Espacialmente, se o fenômeno se dá sobre um campo, poderá se medido por 
varredura ou por instrumentos espalhados sobre o campo. Em ambos os casos haverá 
uma discretização espacial, ou seja, o espaço é amostrado.. 
 
Tanto no caso de amostragem no tempo como de amostragem no espaço, é preciso 
determinar, seja por conhecimento prévio do problema, seja por tentativa, a freqüência 
de amostragem. 
 
 
3 Op. Cit. 
 7
Para a amostragem no tempo, sabendo-se qual a mais alta freqüência de interesse no 
espectro do fenômeno, pode-se usar o Teorema de Shannon (também conhecido como 
Teorema de Nyquist) para determinar a freqüência de amostragem. 
 
Caso se trabalhe por varredura tal como nas medições de vazão com perfilador 
Doppler ou por molinetes hidrométricos, resta o problema da velocidade de varredura: 
o objeto da medição não deve mudar apreciavelmente de comportamento durante o 
processo de medição 
 
Também se deve considerar que, no caso de se espalharem instrumentos sobre o 
campo a ser medido, os valores do campo nos interstícios serão implicitamente 
interpolados o que produzirá um erro de interpolação. Neste caso, pode ser melhor 
utilizar um número maior de instrumentos menos exatos do que um número menor de 
instrumentos mais exatos. 
 
Escassez de sensores e problemas de interpolação da informação; erros de 
interpolação espacial hoje em dia são abordados com técnicas de Geo-estatística; 
algumas de desenvolvimento relativamente recente, como a krigagem e co-krigagem. 
 
Resolver esses problemas não faz parte do escopo desse livro, mas queremos chamar 
a atenção para a existência desses problemas e a influência da instrumentação neles – 
melhor dizendo, a relação entre esses problemas e a instrumentação. 
 8
CAPÍTULO 2 
 
SISTEMAS DE UNIDADES, PADRÕES E RASTREABILIDADE 
 
 
 
2.1 MEDIDAS 
 
Medir é comparar uma grandeza física, direta ou indiretamente, com uma grandeza 
física unitária de mesma natureza realizada por um padrão. 
 
Ex.: Medir um comprimento é compará-lo com o metro padrão, através de um instrumento que 
foi calibrado em relação a ele, como uma régua, uma trena, etc.. 
 
Aferir um instrumento é compará-lo e torná-lo coerente com um padrão de medida, 
através de ajuste, tabela de calibração ou outro meio. 
 
Ter um padrão de medida envolve a definição de uma unidade de medida. Assim, para 
cada tipo de grandeza física a medir, é necessário ter uma unidade de medida 
adequada. O conjunto dessas unidades forma um sistema de unidades de medida. 
 
 
2.2 SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA 
 
Através da história apareceram diversos sistemas de unidades de medida e diversas 
unidades avulsas foram usadas. Estes sistemas e estas unidades nem sempre foram 
definidos e usados com rigor. 
 
Um exemplo de unidade definida sem rigor e que deixou vestígios até hoje é a medida 
do tamanho dos sapatos: o número que define o tamanho de um sapato tem sua 
origem no número de grãos de cevada enfileirados que cabe no comprimento do dito 
sapato! 
 
Hoje coexistem diversos sistemas de unidades, entre os quais encontra-se o sistema 
inglês e sua variante americana. Deles fazem parte a milha, o pé e a polegada como 
unidades de comprimento, a libra massa e a libra peso como unidades de massa e 
peso, a psi (pound per square inch = libra por polegada quadrada) que é unidade de 
pressão, e muitas outras como a onça, o galão, o nó, etc.. 
 
A partir da revolução francesa, os franceses fizeram um esforço, que depois se tornou 
internacional, no sentido de definir sistemas de unidades decimais (cujas unidades se 
relacionassem por potências inteiras de 10 e não por números "quebrados" como os do 
sistema inglês). Para tanto, definiram o metro e o quilograma cujos protótipos de platina 
foram depositados nos Archives de la République em Paris, em 1799. 
 
Em 1832, Gauss ajuntou o segundo, definido em astronomia, formando um sistema 
decimal baseado em três unidades mecânicas básicas: o milímetro o grama e o 
segundo. 
 
Nos anos que se seguiram, Gauss e Weber estenderam as medições a fenômenos 
elétricos e na década de 1860, sob a liderança de Maxwell e Thomson (Lord Kelvin), 
 9
foram desenvolvidas mais aplicações nas áreas de eletricidade e magnetismo. Eles 
formularam a necessidade de um sistema coerente de unidades básicas e unidades 
derivadas e em 1874, a British Association for the Advancement of Science (BAAS) 
introduziu o sistema CGS (centímetro, grama, segundo), usando prefixos de micro a 
mega para nomear múltiplos e sub múltiplos das unidades. 
 
Na década de 1880, o BAAS e o International Electrical Congress, predecessor da 
International Electrotechnical Comission (IEC) introduziram o volt, o ampère e o ohm. 
 
Em 1889, a 1ª Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM) sancionou novos 
protótipos do metro e do quilograma e, ajuntando o segundo definiu o sistema MKS. 
 
A CGPM é uma organização inter-governamental criada pela Convenção do Metro de 
1875, que também criou o Comité International des Poids et Mesures (CIPM) e o 
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). O CIPM fica sob a autoridade da 
CGPM e sugere modificações do SI. O BIPM4 com sede em Paris, trata da unificação 
mundial das unidades de medida e opera como um Instituto de Metrologia mundial, sob 
a supervisão do CIPM. 
 
Em 1901, Giorgi propôs a extensão coerente do sistema às unidades elétricas pela 
adição do ampère ou do ohm ao conjunto de unidades básicas. Em 1939, com a 
aquiescência da IEC e de outras entidades internacionais, o ampère foi recomendado 
como a quarta unidade básica. A proposição foi aprovada em 1946 e o sistema passou 
a ser o MKSA. 
 
Em 1954, foi aprovada pela 10ª CGPM a introdução do ampère para a medida de 
corrente elétrica, o Kelvin para a medida de temperatura termodinâmica e a candela 
para a medida de intensidade luminosa como unidades básicas do sistema. Este 
passou a ser oficialmente chamado de Sistema Internacional pela 11ª CGPM em 1960 
e em 1971 com a adição do mol como unidade básica de quantidade de matéria, o SI 
chegou à sua forma básica atual. 
 
Concomitantemente com as etapas recentes de evolução do SI, foi bastante usado o 
sistema MKgfS, que trabalhava com unidades básicasde comprimento força e tempo, 
sendo a unidade de massa, a utm, uma unidade derivada. Esse sistema, ainda é muito 
usado em engenharia e foi chamado, freqüentemente, de Sistema Técnico. 
 
 
4 http://www.bipm.fr/ 
 10
2.3 UNIDADES DO SI 
 
O SI é definido a partir de unidades fundamentais e de unidades derivadas. As 
unidades fundamentais do SI são: 
 
Tabela 2.1: Unidades fundamentais do SI 
Grandeza física Nome Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
Tempo segundo s 
Corrente Ampère A 
Temperatura Kelvin K 
Intensidade de luz candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
 
Estas unidades têm as definições abaixo. 
 
Metro: distância percorrida pela luz no vácuo em 1/299.792.458 s. 
 
Quilograma: massa do protótipo do BIPM 
 
Segundo: 9.192.631.770 períodos da radiação decorrente da transição entre dois 
níveis hiperfinos do estado básico do Césio 133 
 
Ampère: Corrente constante que, mantida em dois condutores paralelos a 1m de 
distância, no vácuo, de comprimento infinito e área de seção desprezável, produz entre 
eles uma força de 2X10-7N por metro 
 
Kelvin: 1/273,16 da temperatura termodinâmica do ponto triplo da água. A 13ª CGPM 
de 1967 aprovou essa definição e mudou a denominação que era ºK (grau Kelvin) para 
K (Kelvin). O ºC (grau Celsius) corresponde ao mesmo intervalo de temperatura de 1K. 
 
Candela: intensidade luminosa em uma dada direção, de uma fonte de radiação 
monocromática de freqüência 540X1012Hz cuja intensidade energética é de 1/673W 
por esterorradiano na mesma direção. 
 
Mol: Quantidade de matéria de um sistema que contenha o mesmo número de 
entidades elementares (átomos, moléculas, íons, elétrons, outras partículas ou grupos 
especificados de partículas) que 0,012kg de carbono 12. 
 
As unidades derivadas são expressas em termos de unidades fundamentais usando 
formas como m2, m/s, m/s2 ou ms-2, por exemplo, obedecendo as seguintes regras: 
produtos de unidades podem ser expressas por símbolos seguidos ou por 
símbolos separados por pontos, ex.: mkg ou m.kg; 
a divisão pode se expressa por / ou por expoente negativo aplicado ao símbolo, 
como em m/s2 ou ms-2; 
não podem aparecer dois ou mais / na mesma expressão, ex: m/s/s é proibido. 
 
As unidades fundamentais, junto com as unidades derivadas do SI, formam um sistema 
coerente onde todas as unidades derivadas são obtidas das fundamentais por simples 
multiplicação/divisão e sem usar fatores diferentes de um. 
 11
As unidades derivadas possuem nomes especiais e símbolos particulares. 
 
Tabela 2.2: Unidades derivadas do SI 
Grandeza física Nome Símbolo Expressão 
Ângulo plano radiano rad m/m 
Ângulo sólido esterorradiano sr m2/m2 
Freqüência Hertz Hz s-1 
Força Newton N mkg/s2 
Pressão Pascal Pa N/m2=m-1kgs-2 
Energia, trabalho, quantidade de 
calor 
Joule J Nm=m2kgs-2 
Potência, fluxo de energia Watt W J/s=m2kgs-3 
Carga elétrica, quantidade de 
eletricidade 
Coulomb C sA 
Diferença de potencial elétrico, 
força eletromotriz 
Volt V W/A=m2kgs-3A-1 
Capacidade elétrica Farad F C/V=m-2kg-1s4A2 
Resistência elétrica ohm Ω V/A=m2kg.s-3A-2 
Condutância Siemens S A/V=m-2kg-1s3A2 
Fluxo magnético Weber Wb Vs=m2kgs-2A-1 
Indução magnética Tesla T Wb/m2=kgs-2A-1 
Indutância Henry H Wb/A=m2kgs-2A-2 
Temperatura Celsius grau celsius ºC =K (intervalo) 
Fluxo luminoso lúmen lm cd.sr 
Iluminamento lux lx lm/m2=cd.sr.m-2 
Atividade de radionucleico Becquerel Bq s-1 
Dose absorvida, energia 
específica, kerma 
Gray Gy J/kg= m2s-2 
Equivalente de dose Sievert Sv J/kg= m2s-2 
Atividade catalitica katal kat s-1mol 
 
No SI, para cada grandeza física, existe uma e somente uma unidade. O inverso não é 
verdadeiro, uma unidade podendo ser usada para mais de uma grandeza física. Exs: 
ampère, para corrente e para força magnetomotriz; ohm para resistência, reatâncias e 
impedância; J/K, para capacidade térmica e entropia. Em função disso os instrumentos 
devem conter a indicação da unidade e, também, da grandeza que medem.5 
 
Em geral, pode-se exprimir uma unidade derivada de mais de uma maneira. Então 
deve ser usada a que proporciona mais clareza. Assim, é melhor expressar uma 
freqüência em Hertz do que em s-1, enquanto uma velocidade angular é melhor 
expressa em rad/s do que em s-1. A unidade SI de momento de uma força é chamada 
de Newton-metro (N.m) usando-se o Joule (que também é N.m) para trabalho e 
energia. 
 
 
5 Pela mesma razão, textos científicos devem conter as duas indicações para cada medida mencionada. 
 12
Para indicar múltiplos e submúltiplos das unidades SI são usados os seguintes 
prefixos: 
 
Tabela 2.3: Prefixos de múltiplos e submúltiplos do SI 
Fator Prefixo Símbolo Fator Prefixo Símbolo 
1024 yottaa Y 10-1 deci d 
1021 zettaa Z 10-2 centi c 
1018 exa E 10-3 mili m 
1015 peta P 10-6 micro µ 
1012 tera T 10-9 nano n 
109 giga G 10-12 pico p 
106 mega M 10-15 femto f 
103 quilob k 10-18 attoa a 
102 hecto h 10-21 zepto z 
101 deca da 10-24 yocto y 
a) Os prefixos yotta, zetta e atto aparecem com t duplo, que não é usual em português, na tradução do 
Inmetro. 
b) Para a unidade de massa, o kg, usam-se os prefixos como se a unidade fosse o grama. Ex.: miligrama 
e não microquilograma, para 10-6quilogramas. 
 
 
2.4 UNIDADES EXTERNAS AO SI 
 
As seguintes unidades são aceitas para uso com o SI: 
 
Tabela 2.4: Unidades aceitas para uso com o SI 
Grandeza Nome Símbolo Valor do SI 
Tempo minuto min =60s 
Tempo hora h =3600s 
Tempo dia d =86400s 
Ângulo plano grau º =(π/180)rad 
Ângulo plano minuto ' =(π/10800)rad 
Ângulo plano segundo " =(π/648000)rad 
Capacidade litro l =1dm3=10-3m3 
Massa toneladaa t =103kg 
Grandezas logarítmicasbc Neper Np =1 
Grandezas logarítmicasbd Bel B =(1/2)ln10(Np) 
Energia cinéticae eletron-volt eV =1,602 177 33(49)x10-19J 
Massa atômica unificadae f u =1,660 540 2(10)x10-27kg 
Unidade astronômicae ua =1,495 978 706 91(30)x1011m 
a) Chamada de tonelada métrica por ingleses e americanos. 
b) Grandezas tais com nível de campo, nível de potência, nível de pressão acústica, atenuação, etc.. 
c) O Neper é coerente com o SI. 
d) O dB é muito usado como unidade de nível relativo e atenuação 
e) Unidades cujos valores em unidades SI são obtidos experimentalmente. 
f) Também chamado de dalton (símbolo Da) pelos bioquímicos. 
 13
As seguintes unidades não são normalmente aceitas para uso com o SI: 
 
Tabela 2.5: Unidades não aceitas para uso com o SI 
Grandeza Nome Símbolo Valor do SI 
Comprimento polegada in 0,0254m 
 pé (internacional) ft 0,3048m 
 pé (survey) ft (1200/3937)m 
 jarda yd 0,9144m 
 milha (internacional) mi 1609,344m 
 milha (survey) mi (6 336 000/3937)m 
 milha náutica (ou marítima) 1852m 
Massa libra (avoirdupois) lb 0,453 5924kg 
 libra (troy) lb 0,373 241 7kg 
 onça (avoirdupois) oz 0,028 349 52kg 
 onça (troy) oz 0,031 103 48kg 
Área hectare ha 10 000m2 
 acre 4046,873m2 
 circular mil 50 670,75mm2 
Volume galão (imperial) gal 0,004 546 09m3 
 galão (US) gal 0,003 785 412m3 
 onça fluido (imperial) fl oz 2,841 306x10-5m3 
 onça fluido (US) fl oz 2,957 353 x10-5m3 
 barril (petróleo) bbl 0,158 9873 m3 
Velocidade nó knot 0,514 444m/s 
Pressão atmosfera atm 101 325Pa 
 mmhg mmhg 133,3224Pa 
 libra/polegada2 psi 6894,757Pa 
Potência horsepower hp 745,6999W 
 cavalo vapor CV 735,4988W 
Temperatura ºFahrenheit ºF (5/9)K 
Quantidade de Calor caloria (Interntional Table) calIT 4,1868J 
 caloria (thermochemical) calth 4,184J 
 British thermal unit (IT) BtuIT 1055,055 852 62J 
 British thermal unit (th) Btuth 1054,350J 
 
 
2.5 PADRÕES 
 
Padrões de medida são dispositivos construídos para reproduzir grandezas físicas com 
valor conhecido e/ou medi-las com incerteza (faixa de erro) conhecida para servir como 
referência na aferição de instrumentos. 
 
Padrões primários ou absolutos são realizações das grandezas físicas construídas de 
acordo com especificações baseadas nas definições internacionalmente aceitas para 
as unidadesbásicas de medidas físicas. Um conjunto destes padrões é mantido pelo 
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) em Paris. Este é o conjunto dos 
padrões internacionais e serve a todos os países signatários que não possuam 
conjuntos de mesmo tipo. O National Institute of Standards and Technology. (NIST) dos 
Estados Unidos e organizações similares em muitos outros países possuem conjuntos 
próprios de padrões absolutos. Neste caso, são denominados padrões nacionais. 
 14
 
Padrões secundários, também chamados de protótipos são construídos e/ou aferidos a 
partir dos absolutos e são mantidos para uso nacional ou regional. 
 
Padrões terciários ou locais são instrumentos aferidos contra padrões secundários e 
que servem a uma localidade ou instituição. 
 
Padrões de transferência ou calibradores, são instrumentos usados para estabelecer a 
ligação de padrões de nível mais elevado com padrões de nível inferior ou com 
instrumentos a serem aferidos em laboratório ou em campo. A estabilidade das 
características dos calibradores é uma qualidade fundamental e deve ser conhecida. 
 
 
2.6 RASTREABILIDADE 
 
Todo o instrumento de medida deve ter sua aferição rastreável a padrões absolutos de 
pesos e medidas. 
 
Ex.: Uma régua é marcada por uma máquina que foi aferida contra um padrão do laboratório 
do fabricante que é um padrão de transferência. Este foi aferido contra um padrão terciário, 
existente em local próximo, por sua vez aferido contra um padrão secundário nacional. 
Finalmente, os padrões nacionais são aferidos contra o padrão absoluto internacional ou 
nacional. 
 
Assim, medidas feitas, para cada tipo de grandeza física, são coerentes em todo o 
mundo, isto é, têm seu valor expresso em unidades cujo significado é sempre o 
mesmo. 
 
 15
CAPÍTULO 3 
 
MODELO DE INSTRUMENTO E MÉTODOS DE MEDIÇÃO 
 
 
 
3.1 MODELO BÁSICO DE UM INSTRUMENTO DE MEDIDA 
 
Todo o instrumento de medida é composto de três partes principais: 
 
Sensor da grandeza a medir 
Dispositivo de elaboração da medida 
Dispositivo de apresentação do resultado. 
 
 
3.1.1 Sensor 
 
É um dispositivo que associa à grandeza medida uma outra, de mesma ou de outra 
natureza, que possa ser utilizada para a operação seguinte, no caso, a elaboração da 
medida. 
 
A característica fundamental de um sensor é sua sensibilidade elevada à variável que 
se quer medir associada a uma relativa insensibilidade (baixa sensibilidade) às 
variáveis que possam perturbar o resultado da medida. 
 
 
3.1.2 Dispositivo de elaboração da medida 
 
O dispositivo de elaboração da medida converte a saída do sensor em uma forma de 
sinal conveniente para o uso a que se destina. Pode conter elementos destinados a 
compensar a sensibilidade indesejável do sensor a outras grandezas que não aquela 
que se quer medir e/ou elementos que combinam mais de uma grandeza diretamente 
medida para gerar sinais correspondentes a grandezas compostas. 
 
 
3.1.3 Dispositivo de apresentação 
 
O dispositivo de apresentação do resultado, geralmente destinado à leitura por 
pessoas, converte os sinais elaborados em um deslocamento sobre uma escala, uma 
posição em um gráfico, um número visível ou outra forma perceptível pelo operador. 
 
Ex.: Relógio: um mecanismo oscilante produz uma marcação mecânica a intervalos 
de tempo regulares: é o sensor. Um outro mecanismo movimenta-se a cada marcação, 
convertendo a seqüência destas em movimento dos ponteiros, elaborando, assim, a 
medida de forma conveniente. No mostrador do relógio, os ponteiros apresentam, 
sobre as escalas, as horas, minutos e segundos. 
 
A maioria dos instrumentos mede grandezas indiretamente, isto é, a grandeza a medir 
é convertida em outra, pelo sensor, para então ser elaborada. 
 
 16
Ex.: Barômetro: o sensor é uma cápsula, em forma de disco, em cujo interior é feito 
vácuo. A pressão atmosférica, incidindo sobre esta cápsula, comprime-a mais ou 
menos, conforme seu valor: os valores de pressão são convertidos em valores de 
comprimento correspondentes a alturas da cápsula. A variação da altura da cápsula é 
elaborada através de um conjunto de alavancas e/ou engrenagens que a transforma 
em uma posição de ponteiro sobre uma escala. 
 
Sensores também podem ser usados separadamente para medir grandezas físicas em 
máquinas e sistemas diversos, para uso interno destes, podendo estas medidas serem, 
também, apresentadas para leitura pelas pessoas. 
 
 
3.2 MODELO MATEMÁTICO GENÉRICO DE INSTRUMENTO DE MEDIDA. 
 
Para melhorar a compreensão das funções de um instrumento de medida é útil a 
elaboração de um modelo matemático genérico. Para tanto será utilizada a noção 
básica de sensibilidade. 
 
 
3.2.1 Definição de sensibilidade 
 
A sensibilidade, como característica básica de um instrumento de medida é definida 
como a relação entre um acréscimo na grandeza medida e o acréscimo 
correspondente na indicação do instrumento ou no sinal do sensor. 
 
g
i
adeSensibilid
∆
∆
= 3.1 
onde: 
∆i é o acréscimo ou mudança na indicação (ou variável de saída de um sensor) 
∆g é o acréscimo ou variação da grandeza física medida. 
 
Em termos mais gerais, se a indicação y do instrumento ou saída do sensor é dada por: 
 
),,( 10 ni xxxxfy KK= 3.2 
onde 
y é uma função monótona crescente ou decrescente de x0 
x0 é a grandeza que se pretende medir 
xi são as grandezas físicas que influenciam a indicação, 
a sensibilidade do instrumento à grandeza que se quer medir é 
 
0
0 x
y
G
∂
∂
= 3.3 
 
enquanto as sensibilidades às demais grandezas físicas que influenciam o resultado 
são dadas por: 
 
i
i x
y
G
∂
∂
= 3.4 
onde i = 1...n. 
 
 17
As funções G0 e as n funções Gi serão chamadas de funções de sensibilidade do 
instrumento. 
 
Definiremos como envelope de utilização ou envelope de operação o conjunto de 
intervalos de valores limitados das variáveis x: 
 
max00min0 xxx ≥≥ 
maxmin iii xxx ≥≥ 3.5 
 
Para os quais a realização física do sistema obedece à função y e às funções de 
sensibilidade com fidelidade satisfatória. 
 
São condições necessárias para que um sistema possa ser usado como instrumento 
de medida que; 
G0 seja uma função monótona, contínua e de derivadas monótonas, contínuas e 
 
0≅iG 
 
em todo o envelope de utilização do instrumento. 
 
No caso de uma função de sensibilidade que deveria ser praticamente nula ter valores 
significativos dados por: 
 
j
j x
y
S
∂
∂
= 3.6 
 
se for possível construir um sub-sistema que realize a função de sensibilidade: 
 
j
j x
y
KS
∂
∂
≅' 3.7 
 
e que possa ser adequadamente acoplado ao sistema acima, passará a funcionar 
como compensador do efeito da grandeza xj, isto é, fará com que a sensibilidade do 
conjunto à variável xj seja praticamente nula. 
 
Na prática o compensador é, geralmente, um sensor da variável a ser compensada 
cujo sinal de saída é compatível com o sinal do sensor principal e pode ser processado 
junto com ele antes da apresentação da medida para uso. 
 
 
3.3 TIPOS DE INSTRUMENTOS 
 
Em termos populares os instrumentos "de ponteiro" são chamados de "analógicos" e os 
instrumentos de indicação numérica são chamados de "digitais". Esta distinção deixa 
muito a desejar. É preciso chegar a suas origens para entendê-la melhor e a aplicar 
termos mais adequados para descrição de tipos de instrumentos. 
 
 18
 A dicotomia analógico-digital tem de suas origens nos antigos computadores das 
décadas de 40 e 50 que faziam uso de duas formas de operar diferentes, para 
executar cálculos. 
 
As máquinas ditas analógicas operavam através da analogia entre a variável ou função 
sendo representada ou calculada e uma variável mecânica ou elétrica cujo valor 
evoluia no interior da máquina. Assim por exemplo o cálculo do nível de um 
reservatório, como sendo a integral dos valores de fluxo do líquido que o alimenta, 
podia ser calculado pela proporcionalidade com o ângulo percorrido por um eixo a partir 
das velocidades de rotação, feitas proporcionais aos fluxos. 
 
Mais tarde nos anos 50 e 60 passarama ser adotadas variáveis ocorrendo em circuitos 
eletrônicos, geralmente tensões elétricas, que representavam por seus valores, os 
valores proporcionais das variáveis sob cálculo. Circuitos de tipos diversos podiam 
efetuar somas, subtrações, integrações etc., dessas tensões e apresentar, também sob 
a forma de tensões proporcionais, os resultados dos operações. 
 
Estas máquinas construídas com válvulas termo irônicas e depois com transistores 
avulsos, acabaram por ser constituídas por circuitos integrados operando com 
transistores e regime contínuo (tais como amplificadores operacionais, multiplicador 
osciladores etc.). Por extensão este circuitos integrados passaram a ser chamados de 
analógicos. 
 
As máquinas ditas digitais operavam através de contatos de relés abertos ou fechados, 
representando valores binários (zero ou um) que por sua vez podiam representar os 
valores, decimais ou outros, das variáveis objetos do cálculo. Em seguida os relés 
foram substituídos e por transistores avulsos operando em regime aberto ou de 
saturação. Quando os transistores foram integrados em chips de densidade crescente, 
estes foram chamados de circuitos integrados digitais. 
 
Na instrumentação a situação é mais diversificada. A grande maioria das variáveis 
físicas que são medidas, são de natureza contínua. As exceções de geral ocorre 
somente a nível de partícula atômica o subatômica. 
 
Assim sendo a grande maioria dos sensores produzem valores de uma variável 
intermediária em função dos valores da variável medida, de forma contínua, 
proporcional ou obedecendo uma função qualquer. Um exemplo disso é um sensor de 
pressão que converte essa variável em um sinal elétrico. Isso pode ser feito pela de 
formação de um de diafragma produzida pela pressão. A deformação é medida por um 
elemento eletro mecânico que controla uma corrente ou uma tensão fornecidas ao 
circuito que elabora saída. Esta será uma corrente ou uma tensão elétrica análoga à 
pressão medida. Se essa variável elétrica for usada para defletir o ponteiro de um 
galvanômetro, indicando, assim, a pressão através da analogia com o ângulo do 
ponteiro, teremos um instrumento genuinamente continuo e analógico. 
 
Por outro lado certo tipo de pluviógrafo, por exemplo, acumula uma certa quantidade de 
água de chuva em uma caçamba basculante. Quando ela enche, despeja a água ao 
mesmo tempo gerando um impulso elétrico e posicionando-se para colher água de 
novo. A contagem dos sucessivos impulsos elétricos indica a quantidade de chuva. 
Neste caso, o valor contínuo da quantidade de chuva ocorrendo no tempo é 
transformado numa variável discretizada, no interior do próprio sensor. O resultado da 
 19
medição é descontínuo, representado por uma coleção de impulsos que tem sempre a 
mesma forma e cujo significado só é adquirido com a contagem dos mesmos e a 
representação do resultado dessa contagem por um número. Esse pluviógrafo poderia 
ser considerado como um instrumento genuinamente "digital". Existem variantes desse 
instrumento cujo resultado é um pluviograma traçado sobre um gráfico de papel movido 
por um relógio. A pena que traça o pluviograma é movida por um mecanismo baseado 
em um solenóide acionado pelos impulsos elétricos. Continua sendo um instrumento 
descontínuo, embora a saída, o gráfico, seja analógico (alturas de traço representando 
quantidades de chuva). 
 
Um outro tipo de funcionamento é obtido, por exemplo, em um relógio mecânico que 
funciona a partir da oscilação de um sistema de massa e mola ressonante cujo período 
é estável. A cada oscilação é liberado um dente de uma engrenagem produzindo a 
medida de um "quantum" de tempo. Esse giro, que se dá dente a dente, é processado 
continuamente pelo mecanismo do relógio e resulta no posicionamento correto dos 
ponteiros sobre o mostrador. Neste caso a variável tempo foi discretizada, mas sua 
apresentação em termos de ângulos de ponteiro que são análogos aos valores de 
horas e minutos é pois analógica e embora a origem da medida não o seja. 
 
No relógio eletrônico as oscilações mecânicas de um cristal de quartzo são contadas e 
divididas adequadamente resulta numa sessão de impulsos cuja contagem 
transformada em valor na fornece a hora, os minutos e os segundos sob a forma de 
dígitos decimais. Esse instrumento que parece genuinamente digital é baseado numa 
oscilação contínua cuja freqüência é determinada pela massa e pela elasticidade do 
cristal de quartzo.. 
 
Nessas condições seria mais correto de distinguir entre instrumentos contínuos e 
instrumentos descontínuos. Neste último grupo, alguns geram apenas seqüências de 
impulsos enquanto outros geram códigos que podem ser transformados diretamente 
em números. Também é conveniente analisar separadamente a forma de sensoriar a 
variável física da forma de apresentar seus valores. 
 
 
3.4 MÉTODOS DE MEDIÇÃO DE DEFLEXÃO E DE NULO 
 
Quando um instrumento gera suas medidas por uma analogia direta entre o valor da 
variável sensoriada e o valor da variável de saída, diz-se que o método de medição é 
de deflexão. 
 
Quando um instrumento gera suas medidas através de uma variável intermediária que 
é anulada por um dispositivo que, ao anulá-la, produz a variável de saída, diz-se que o 
método de medição é de nulo. 
 
Um par de exemplos bem simples que ilustram essas idéias vêm da medida da massa. 
Se for usado um dinamômetro de mola para medir um peso (e indiretamente a massa), 
isso será feito através da deflexão da mola, que será quantificada por um ponteiro, que 
desliza sobre uma escala linear. Como, pela lei de Hooke, sabemos que as deflexões 
são proporcionais às forças agindo sobre a mola, podemos graduar a escala 
diretamente em peso. 
 
 20
Uma outra possibilidade é usar uma balança de dois pratos, colocando sobre um deles 
a massa a ser medida e sobre o outro, massas conhecidas, até que o fiel da balança 
indique o equilíbrio (nulo) entre os pratos. 
 
Em geral, os métodos de nulo são mais exatos, conduzindo a medições com menos 
incerteza pois são menos sensíveis a variáveis cujas influências são indesejáveis e 
menos suscetíveis a imperfeições de materiais. Freqüentemente, a calibração de 
instrumentos de nulo também é mais fácil. 
 
Nos exemplos acima, a mola do dinamômetro está sujeita a histerese (uma 
imperfeição) e seu coeficiente de elasticidade varia, embora pouco, com a temperatura. 
Para medidas com incertezas pequenas, também é preciso conhecer o valor de g local 
e, supondo o valor de g usado na calibração do dinamômetro como sendo o padrão, 
introduzir uma correção se a discrepância for significativa. 
 
No caso da balança de pratos, a incerteza da medida depende, praticamente, só da 
sensibilidade do fiel ao desequilíbrio dos pratos. Esta sensibilidade pode ser feita, 
facilmente, muito grande. Além disso, é muito mais fácil calibrar massas conhecidas do 
que mecanismos com molas, e essa calibração é durável. Quanto ao g local, não tem 
influência sobre o processo. 
 21
CAPÍTULO 4 
 
LEITURA DE INSTRUMENTOS 
 
 
 
4.1 ESCALAS E GRÁFICOS 
 
4.1.1 Tipos de escalas 
 
As escalas dos mostradores dos instrumentos ou de apresentações gráficas podem 
ser: 
 
Lineares: quando as divisões são todas de igual tamanho, (Fig. 4.1). São assim 
chamadas porque a relação entre a grandeza medida e o comprimento da escala 
percorrido pelo ponteiro ou marca para indicá-la produz uma linha reta num gráfico XY. 
 
Exs.: relógio, barômetro, termômetro de mercúrio. 
 
Fig. 4.1 Escala linear 
 
Não-lineares: quando as divisões mudam de tamanho ao longo da escala (Fig. 4.2). A 
relação, no plano XY aparece como uma curva. Ex.: a escala do dial do rádio. 
 
 
Fig. 4.2 escala não linear 
 
Para ler corretamente um instrumento é preciso ver qual o incremento entre duas 
marcas numeradas contíguas e contar o número de subdivisões entre elas. Assim 
pode-se determinar que fração do incremento entre as marcas de divisão é 
representado por cada subdivisão. 
 
Exs.: Em um barômetro, entre a marcade 750 mmHg e a de 760 mmHg 
existem dez subdivisões: cada uma representa 1 mmHg. Em uma bússola, entre 
a marca de 30o e a de 60o existem seis subdivisões: cada uma representa 5o. 
 
Nas escalas não lineares existem pontos em que muda o número de subdivisões entre 
marcas numeradas ou não (ver Fig. 4.3 onde os pontos de cesura aparecem 
assinalados). Estes pontos são chamados pontos de cesura. 
 22
Fig 4.3 Pontos de cesura 
 
Para ler corretamente uma escala não-linear é preciso aplicar o raciocínio acima para 
cada trecho entre dois pontos de cesura: as subdivisões de cada trecho terão valores 
diferentes. 
 
 
4.1.2 Prática de leitura de escalas 
 
Ao ler uma escala deve-se inicialmente saber o valor de cada subdivisão entre 
marcações. Então, lê-se a marcação abaixo da indicação e acrescenta-se o valor 
correspondente ao número de subdivisões entre a marca e a indicação. Nas escalas 
que seguem existem cinco subdivisões entre duas divisões maiores. Chamaremos 
estas de escalas de base 5. 
 
Fig 4.4 Leitura de escalas 
 
Ex.: Nesta escala, cada subdivisão vale 0,1 unidades. Portanto, a indicação A é 
de pouco mais do que 0,8. A leitura correta de B é 2,95. C indica pouco mais de 
4,7 e em D é praticamente exato ler 6,4. Em E, têm-se pouco menos de 8,2 e, 
finalmente, em F têm-se um valor duvidoso: 9,05 ou 9,1. 
 
Estas leituras ilustram algumas regras básicas. 
 
Lembrar que a resolução é, a medida do poder de distinguir um objeto de outro que lhe 
é adjacente. Em termos de uma escala, trata-se do poder de distinguir um valor 
indicado de outro. Portanto, é o menor valor que se pode ler, com segurança, sobre a 
escala. Geralmente considera-se o valor de meia subdivisão.6 
 
A resolução de uma escala sendo de meia subdivisão, não se deve interpolar valores 
menores do que este. (Como em A, C e E). 
 
Quando a indicação é mais próxima do meio da subdivisão do que das extremidades, 
adota-se o valor intermediário. (Como em B). 
 
Em caso de dúvida, adota-se o valor que dá a última casa par. (Como em F, adotando-
se 9,1 e não 9,05, já que a segunda casa decimal de 9,1 é par: 9,10). 
Mais exemplos: 
 
6 Embora isso possa parecer um “desperdício”, considere-se que, se o instrumento fosse de melhor 
qualidade, o fabricante teria acrescentado divisões à escala, já que o custo disso seria muito pequeno. 
 23
 
Ex.: Na escala da Fig. 4.5, abaixo, cada subdivisão vale 0,2 unidades; portanto, 
a resolução é de 0,1 unidades. Assim, a leitura A é de 1,3, a B é de 2,8, a C é de 
4,2 e a D é de 6,6. 
 
 
Fig. 4.5 Leitura de escalas 
 
Ex.: A escala da Fig 4.6, com subdivisões valendo 0,4 unidades, ilustra algumas 
formas algo surpreendentes de leitura: 
 
 
Fig. 4.6 Leitura de escalas 
 
A indica 3 unidades inteiras; B indica 6,6 já que está perto do meio da subdivisão; C 
deve ser lido como 10, e não como 9,9; D, de posição duvidosa (mais próximo do meio 
ou do traço?), deve ser lido como 15, dando preferência para a unidade inteira; E deve 
ser lido como 18,2 pois está um pouco mais perto do meio do que do traço. 
 
Todas as escalas usadas nos exemplos possuem cinco subdivisões em cada divisão 
maior. Podem ser chamadas de escalas de base cinco. As escalas de base cinco são 
as mais naturais, levando-se em conta que usamos um sistema de numeração de base 
10. Mas outras bases são usadas. 
 
Vale a pena examinar escalas de base 3, aquelas que têm três subdivisões entre duas 
divisões maiores. 
 
Estas escalas são algo perigosas e, às vezes, pouco práticas. São freqüentemente 
contra-intuitivas! São encontradas, por exemplo, em instrumentos que indicam graus ou 
minutos. 
 
Ex.: A escala da Fig. 4.7 é típica de instrumentos graduados em graus. 
 
 
Fig. 4.7 Leitura de escalas de base 3 
 
 24
A leitura A é de 35 e, como a resolução é de 2,5, B representa 97,5. Note-se que a 
marca correspondente a 100, não só está sem número, como é uma marca menor! Por 
outro lado, foram suprimidos (por falta de espaço?) os números terminados em 5 nas 
divisões de três algarismos, e isso não tem nada a ver com pontos de cesura (que aqui 
não existem porque a escala é linear). C representa 165 e os casos duvidosos como 
em D, sempre serão arredondados para a marca mais próxima (250 no caso) já que as 
leituras correspondentes a meia divisão sempre tem uma casa decimal ímpar a mais. 
 
Ex.: A escala da Fig. 4.8 pode ser ainda mais estranha. Poderia aparecer, por 
exemplo, em um cronômetro simples de 30 minutos. 
 
 
Fig. 4.8 Leitura de escalas de base 3 
 
A leitura de A é redonda, 4, apesar de estar marcada como sub-subdivisão, enquanto B 
indica 10,5 apesar de ter uma marca intermediária. Note-se que, de novo, a marca que 
corresponde ao redondo 10 é uma marca menor. Como a resolução é de 0,25 unidade, 
C corresponde a 17,75. O número de 4 dígitos significativos, dá a falsa impressão de 
uma resolução de centésimos quando, na realidade ela é de ¼ de unidade. De novo, 
como no exemplo anterior, os casos duvidosos como em D, sempre serão 
arredondados para a marca mais próxima (27,5 no caso) pela mesma razão. 
 
Ex.: Já a escala da Fig. 4.9 é bastante intuitiva, uma vez que as marcas 
correspondem todas a inteiros e a resolução é, portanto, de meia unidade. O 
único senão fica por conta de não terem números as marcas de 10, 20, 40 e 50 
unidades. Poderia ser usada para indicar minutos de hora. 
 
Fig. 4.9 Leitura de escalas de base 3 
 
As escalas de base 4, aquelas que têm quatro subdivisões entre duas divisões 
maiores, são muito usadas para indicar unidades inglesas como polegadas e frações. 
Em geral é suposto que sejam lidas em termos de frações ordinárias e não de 
decimais. 
 
Ex.: Na escala da Fig. 4.10, A poderia ser lida como 2 ¼ ou como 2,25, sendo 
obviamente mais indicada a primeira forma. Com mais forte razão B seria lida 
como 9 3/8 e não 9,375. Nos casos duvidosos como em C, seria sempre tomada 
a leitura correspondente à marca pois esta daria uma fração de denominador 
menor (que poderia ser considerada mais “redonda”), ou seja 18 ½ e não 18 5/8. 
 
 25
 
Fig. 4.10 Leitura de escalas de base 4 
 
O próximo exemplo evidencia mais ainda a adequação mútua entre as escalas de base 
quatro e as leituras com frações ordinárias. 
 
Ex.: Na escala da Fig. 4.11, A seria lida como 1 3/8, enquanto B seria 4 
11/16. 
Obviamente seria bastante ridículo ler A como 1,375 e B como 4,6875. Para C, 
vale a mesma regra de “arredondamento” do exemplo anterior. Portanto, leia-se 
10 5/8 e não 10 
11/16. 
 
 
Fig. 4.11 Leitura de escalas de base 4 
 
Entretanto, uma escala com menor resolução poderia ser lida usando-se os dois tipos 
de fração. 
 
Ex.: Na Fig. 4.12, a resolução sendo de meia unidade, é igualmente prático usar-
se frações decimais ou ordinárias. Entretanto, note-se a falta de números em 
todas as marcas “redondas” de dezena ímpar que, aliás, são subdivisões. 
 
 
Fig. 4.12 Leitura de escalas de base 4 
 
 
4.2 DÍGITOS SIGNIFICATIVOS E ARREDONDAMENTOS7 
 
4.2.1 Dígitos significativos: 
 
- depois da vírgula: 
⇒ dígitos depois dos zeros de posicionamento 
- antes da vírgula: 
⇒ os zeros finais são considerados significativos em função da precisão 
desejada 
 
 
7 Esta seção segue a orientação de Doebelin, Op. cit. 
 26
exemplos: 
 2,3x103 ⇒ 2 dígitos significativos 
 2,30x103 ⇒ 3 dígitos significativos 
 
 
4.2.2. Regras de arredondamento: 
 
para arredondar para n dígitos significativos: 
 
1 - eliminar os dígitos à direita do n-ésimo 
2 - se o eliminado for menor do que meia unidade do n-ésimo 
 ⇒ deixar o n-ésimo 
3 - se o eliminado for maior do que meia unidade do n-ésimo 
 ⇒ acrescentar 1 ao n-ésimo 
4 - se o eliminado for igual a meia unidade do n-ésimo 
 ⇒ deixar o n-ésimo se par 
 ⇒ acrescentar 1 ao n-ésimo se ímpar 
 
 
4.2.3 Determinação do Arredondamento 
 
4.2.3.1 Adição 
 
- manter, nos números mais precisos, um dígito amais que os do menos preciso 
- somar 
- arredondar o resultado para o número de dígitos significativos igual ao do menos 
preciso 
Exemplo: 
 2,635 2,64 
 0,9 0,9 
 1,52 ⇒ 1,52 
 0,7345 0,73 
 ... 5,79 ⇒ 5,8 
 
 
4.2.3.2 Subtração 
 
- arredondar o mais preciso para o mesmo número de dígitos do menos preciso 
- subtrair 
- dar o resultado como obtido 
Exemplo: 
 7,6345 7,634 
 - 0,031 ⇒ - 0,031 
 ... 7,603 ⇒ 7,603 
 
 
 27
4.2.3.3 Multiplicação/Divisão 
 
- igual à adição exceto que, em vez de “somar”, “multiplicar/dividir“ 
Exemplo: 
 
( )( )( ) ( )( )( )
017,00174,0
14,3
0072,034,62,1
14159,3
0072,0335,62,1
⇒⇒⇒ 
 28
CAPÍTULO 5 
 
DESEMPENHO DE INSTRUMENTOS DE MEDIÇÃO 
 
 
 
5.1. INTRODUÇÃO 
 
Para escolher o equipamento mais adequado a uma medição ou no projeto de um 
instrumento específico, o critério de desempenho é fundamental. O desempenho 
fornece uma base quantitativa para comparar um instrumento com outro, o que permite 
fazer uma escolha inteligente. O mesmo ocorre na especificação de um processo ou de 
um sistema de medição a ser empregado na solução de um problema de medição. 
 
As características de desempenho são divididas em estáticas e dinâmicas, de acordo 
com o tipo de entrada. Se as quantidades que se quer medir são constantes ou variam 
lentamente em relação ao tempo necessário para a medição, entram em cena as 
características estáticas do instrumento. Caso contrário, medições de grandezas cujos 
valores variam rapidamente, é necessário utilizar a descrição dinâmica do instrumento. 
 
Para definir essas características é preciso definir alguns termos e estudar alguns 
conceitos que são pertinentes ao ato de medir e seus resultados. Dentre esses 
conceitos, são fundamentais o de erro e o de incerteza da medição, abordados 
inicialmente neste capítulo. Com base neles são definidas diversas outras 
características dos instrumentos. 
 
Nessas definições há controvérsias: autores e fabricantes de instrumentos usam 
termos de maneiras diferentes entre si e discrepantes das definições oficiais. Estas se 
encontram no VIM, o vocabulário internacional elaborado pelo BIPM e aceito pelos 
países signatários da CGPM. No Brasil, o VIM foi objeto da Portaria Inmetro 029 de 
1995, cujo conteúdo é baseado na tradução da edição 211ª de 1993 do VIM do BIPM. 
 
 
5.2. ERROS E INCERTEZAS DE MEDIÇÃO 
 
Nenhuma medição é absolutamente exata. Toda medição envolve aspectos de método, 
aspectos de operação e o desempenho dos instrumentos utilizados. 
 
Preencher com comentário geral ou de introdução sobre os aspectos de método e de 
operação. 
 
Nenhum instrumento é absolutamente exato. Assim sendo, o desempenho de um 
instrumento tem a ver com sua capacidade de efetuar uma medida e torná-la legível, 
isto é, possibilitar a obtenção de um valor medido, com uma incerteza previsível em 
relação ao valor da grandeza medida. A quantificação desse desempenho pode ser 
feita em relação a propriedades mensuráveis que caracterizem o instrumento. 
 
Os conceitos básicos em que se apoiam as demais características são os de erro e 
incerteza 
 
 29
Tanto por problemas de método como por problemas de operação como pelo fato de 
que não existe um instrumento ideal, surgirão diferenças entre o valor que deveria ser 
obtido e o valor que efetivamente é obtido pela medição. A diferença quantitativa entre 
o valor que deveria ser obtido e o valor efetivamente obtido é chamada de erro da 
medição. Cada um das contribuições para essas diferenças é um erro elementar, de 
forma que se pode dizer que existem erros de método, de operação e de instrumentos. 
 
A incerteza decorre do fato de que o valor que deveria ser obtido na medição é 
desconhecido. Esse valor, conhecido como valor verdadeiro, ou valor real da grandeza 
medida é desconhecido e impossível de determinar. 
 
Toda medição apresenta um erro em relação ao valor verdadeiro da grandeza medida. 
Este valor fica portanto, inacessível, impedindo o cálculo das discrepâncias de 
medições individuais. Entretanto é possível estimar com que aproximação a grandeza é 
medida, obtendo-se um valor para a incerteza de medição. 
 
Note-se que a incerteza é uma característica da medição, não do instrumento. A 
incerteza de medição é definida pelo "Vocabulário Internacional de Termos 
Fundamentais e Gerais de Metrologia - VIM, como: 
 
"Parâmetro, associado ao resultado de uma medição, que caracteriza a dispersão dos 
valores que podem ser fundamentalmente atribuídos a um mensurando. 
Observações: 
1) O parâmetro pode ser, por exemplo, um desvio padrão (ou um múltiplo dele), ou a 
metade de um intervalo correspondente a um nível de confiança estabelecido. 
2) A incerteza de medição compreende, em geral, muitos componentes. Alguns destes 
componentes podem ser estimados com base na distribuição estatística dos resultados 
das séries de medições e podem ser caracterizados por desvios experimentais. Os 
outros componentes, que também podem ser caracterizados por desvios padrão, são 
avaliados por meio de distribuição de probabilidades assumidas, baseadas na 
experiência ou em outras informações. 
3) Entende-se que o resultado da medição é a melhor estimativa do valor do 
mensurando, e que todos os componentes da incerteza, incluindo aqueles resultantes 
de efeitos sistemáticos, como os componentes associados com correções e padrões de 
referência, contribuem para a dispersão."8 
 
 
5.2.1 Tipos de erros de medição 
 
erros podem ser decorrentes de : 
operador 
método 
instrumento 
é importante não esquecer desses tipos de erro ao quantificar incertezas num processo 
de medição. 
 
 
 
8 Conforme "Vocabulário Internacional de Termos Fundamentais e Gerais de Metrologia - VIM, Portaria 
Inmetro 029 de 1995" cujo conteúdo é baseado na edição 211ª de 1993 do VIM do BIPM. 
 30
5.2.2 Erros de operador 
 
Os erros pessoais podem ser erros grosseiros, erros sistemáticos e erros aleatórios. 
 
Erros pessoais grosseiros são aqueles que seriam considerados “erros” no sentido 
usual do termo, isto é, correspondem a enganos ou leituras errôneas. Os mais comuns 
são devidos à troca de dígitos (como ler 10,345 em vez de 10,354), ao posicionamento 
incorreto da virgula decimal e à atribuição de valor errado a uma sub divisão de escala 
gráfica. É óbvio que esses erros podem e devem ser eliminados dos processos de 
medida, através do cuidado, de precauções e de verificações das medidas. 
 
Erros pessoais sistemáticos são raros mas podem ocorrer, por exemplo, por paralaxe 
na leitura de um instrumento de ponteiro com o mostrador em ângulo com a linha de 
visada. Podem, também resultar de dificuldades de operação como por exemplo 
apertar excessivamente as abas de um paquímetro ao medir um objeto compressível. 
São, com grau de dificuldade variável, passíveis de correção parcial através de 
cuidados específicos nos procedimentos. Da correção parcial, se bem sucedida, 
restarão resíduos de natureza aleatória. 
 
Erros pessoais aleatórios ocorrem tipicamente na interpolação de leituras de ponteiros 
e gráficos e sua digitalização, na interpretação de leituras de nônios e no 
arredondamento de leituras digitais. Podem, também resultar de dificuldades de 
operação como por exemplo o desalinhamento entre a linha de medição de um 
paquímetro e o comprimento a ser medido. São, via de regra, inevitáveis mas podem 
ser avaliados e, talvez, algo reduzidos através de processos estatísticos ou outros. 
 
 
5.2.3. Erros de método 
 
Erros metodológicos podem ser sistemáticos ou aleatórios e são causados por 
problemas ligados ao método de medição, podendo ou não interagir com 
características dos instrumentos envolvidos. São erros de diversas e variadas origens 
e, sendo impossível esgotar o assunto, daremos alguns exemplos. 
 
 
5.2.3.1. Inadequação da base teórica usada no método de medição. 
 
Exemplo, medidas feitas sobre um modelo físico usadas como estimativas de valoresencontráveis no protótipo do modelo. A transferência dos valores do modelo para o 
protótipo é feita através de relações de semelhança que podem ser aproximações da 
realidade contendo inexatidões. 
 
5.2.3.2. Inexatidão das relações usadas para obter resultados de medição. 
 
Erros metodológicos deste tipo ocorrem quando se usa uma expressão aproximativa 
para uma função experimentalmente determinada que liga as variáveis diretamente 
medidas à grandeza a determinar. 
 
Exemplo: Aproximar a função )( TfV ∆= de um termopar por uma reta. 
 31
5.2.3.3. Dificuldades e limitações da instalação do sistema de medição. 
 
Exemplo: o comprimento e o volume da conexão de um transdutor de pressão ao ponto 
cuja pressão se quer medir, introduzirão erros dinâmicos nas medições, que serão 
consideráveis se a pressão variar com certa rapidez. Contribui para o problema o 
volume interno do transdutor. 
 
Outro exemplo de erro deste tipo ocorre quando, por falta de espaço, se instala um 
medidor de vazão sem respeitar as distâncias recomendadas de tubulação retilínea a 
montante e a jusante do medidor. 
 
 
5.2.3.4. Influência do instrumento sobre a grandeza medida. 
 
Para medir é preciso retirar alguma energia do fenômeno investigado e essa 
quantidade de energia pode afetar significativamente o valor da grandeza a medir. 
 
Devido à importância desse assunto foi dedicado a ele todo o capítulo 6. 
 
 
5.2.4. Erros de instrumentos 
 
Os instrumentos introduzem diversos tipos de erros nas medições, o que limita sua 
exatidão e/ou aumenta a incerteza dos resultados. Esses erros podem ser sistemáticos 
ou aleatórios e entre alguns deles pode haver correlações mais ou menos 
significativas. 
 
Os erros tolerados, ou determinados quando da calibração do instrumento ou 
estimados em função de características do projeto deste, resultam em características 
que podem ser quantificadas por valores ou faixas valores definidos ou prováveis. 
 
As características sistemáticas (ou determinísticas) são aquelas que podem ser 
quantificadas, tão exatamente quanto for possível, quando da calibração do 
instrumento. Diferem das características estatísticas, que não podem ser quantificadas 
exatamente. Para estas podemos apenas definir uma faixa esperada do valor de uma 
característica estatística de desempenho. 
 
 
5.3. SOBRE TERMOS E DEFINIÇÕES 
 
A origem das diferenças entre os termos e conceitos usados correntemente e os 
oficiais pode ser devida à diferença de perspectiva que existe entre os fabricantes e 
usuários de instrumentos por um lado e os "metrologistas", calibradores de 
instrumentos, mantenedores de padrões e legisladores pelo outro. É possível que, com 
o tempo, essas diferenças desapareçam, predominando as definições oficiais, da 
mesma forma que o próprio SI vai se impondo gradativamente em todo o mundo. Mas, 
também é provável que as definições oficiais se modifiquem com o tempo. 
 
A razão técnica provável de algumas das diferenças é que, na perspectiva do 
calibrador, o instrumento é avaliado através de séries de medições sobre as quais se 
aplica tratamento estatístico, enquanto para o usuário da grande maioria dos 
 32
instrumentos, seja em laboratório, seja em máquinas, seja no campo, só se pode medir 
uma vez o mensurando (às vezes dinamicamente). Ainda assim é preciso avaliar a 
qualidade da medição. 
 
A dispersão dos conceitos e variabilidade da aplicação desses conceitos decorre do 
que é possível no instrumento, e do que é possível cotar no instrumento, em função do 
projeto. 
 
Para contornar os problemas criados por essas diferenças, definiremos no próximo 
item vários termos conforme usados mais freqüentemente, ressaltando suas relações 
com os aspectos de projeto e utilização dos instrumentos. A seguir o capítulo encerra-
se com a apresentação dos termos oficiais e sua relação com os usuais, quando 
existente. 
 
 
5.4. CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 
 
Se pensarmos na forma que os instrumentos são fabricados e utilizados, vemos que 
existem basicamente 3 tipos: instrumentos calibrados individualmente, fabricados em 
lotes e instrumentos de alta reprodutibilidade. As características abaixo definidas são 
genéricas, podendo ser aplicadas a todos os tipos de instrumentos. Porém, cada um 
dos 3 tipos é melhor descrito pelas características que são mais representativas. 
 
 
5.4.1. Instrumentos calibrados individualmente 
 
Muitos instrumentos são calibrados individualmente para atingir um determinado nível 
de desempenho. Pelo simples fato de serem calibrados individualmente esses 
instrumentos são mais caros. Assim, a calibração individual fica naturalmente restrita a 
instrumentos de melhor qualidade e maior preço. 
 
Exemplo: sensor de pressão de alta qualidade 
 
A característica mais significativa para avaliar o desempenho desse tipo de instrumento 
é a exatidão. 
 
 
5.4.2. Instrumentos fabricados em lotes 
 
Instrumentos fabricados em lotes podem ter variações aleatórias em seu desempenho 
individual, porém com limites máximos de variação garantidos pelo fabricante. 
 
Exemplos: Multímetros com resistores de lote freqüentemente possuem ajuste 
de zero e de fundo de escala. A exatidão do restante da escala é função da 
linearidade. 
 
A característica mais significativa para avaliar o desempenho desse tipo de instrumento 
é a linearidade. 
 33
5.4.3. Instrumentos com alto grau de repetibilidade 
 
O problema desses instrumentos é a resolução, já que o valor da grandeza medida é 
obtido por consulta a uma tabela de calibração. 
 
Ex – transdutor de pressão com cápsula de quartzo – cada instrumento traz sua 
tabela de interpolação individual. 
Ex. barômetros, manômetros e altímetros de alta resolução. 
 
A característica mais significativa para avaliar o desempenho desse tipo de instrumento 
é a reprodutibilidade. 
 
 
5.5. DEFINIÇÕES USUAIS DE CARACTERÍSTICAS DE DESEMPENHO 
 
No que segue, apresentamos definições de características de desempenho tal como 
usualmente aparecem na literatura e nas especificações de desempenho veiculadas 
pelos fabricantes de instrumentos. Na seção seguinte serão definidas as características 
de desempenho conforme aparecem em documentos de órgãos oficiais nacionais e 
internacionais. Conforme já mencionado acima, há diferenças entre esses dois 
conjuntos de definições. 
 
 
5.5.1. Exatidão 
 
Na nomenclatura mais usual, a exatidão é a característica mais importante de um 
instrumento. Conforme o uso da grande maioria dos fabricantes e a definição de muitos 
autores mesmo recentes, é o termo exatidão o que mais aparece para a cotação do 
desempenho básico estático dos instrumentos embora, na realidade, os números que 
aparecem nos catálogos refiram-se à inexatidão. 
 
A inexatidão é o valor que pode ser, com segurança, considerado como a maior 
diferença possível entre o valor real da grandeza medida e o valor lido no instrumento. 
 
Alguns fabricantes menores ainda usam o termo precisão para cotar essa 
característica, mas isso é considerado errado por quase todos os autores, sendo outro 
o significado reservado para a palavra (ver abaixo). 
 
A (in)exatidão é, em geral, dada nos catálogos, de duas formas, conforme as 
características do instrumento: 
-referida à plena escala, isto é ao maior valor da grandeza que o instrumento 
pode ler; 
-referida ao valor da medida feita (leitura). 
 
É, geralmente, expressa em percentagem mas, no primeiro caso, pode ser expressa 
em unidades da grandeza. 
 
Exemplos.: 
 
Manômetro de 0 Kgf/cm2 a 10 Kgf/cm2 com (in)exatidão de ±0,1 Kgf/cm2 ou: ±1% de 
plena escala. Significa que se o manômetro indicar 6,7 Kgf/cm2, a pressão real está 
 34
entre 6,6 Kgf/cm2 e 6,8 Kgf/cm2 ou, se indicar 2,2 Kgf/cm2, a pressão está entre 2,1 
Kgf/cm2 e 2,3 Kgf/cm2. 
 
Manômetro de 0 mmH2O a 200 mmH2O com exatidão de 2% da leitura. Significa que 
se indicar 146 mmH2O, a pressão real está entre 143 mmH2O e 149 mmH2O ou, se 
indicar 54 mmH2O, a pressão está entre 52,9 mmH2O e 55,1 mm H2O. Neste último 
caso,a resolução do instrumento pode impedir a obtenção da exatidão anunciada e, 
certamente, abaixo de algum valor da escala, os erros independentes da indicação 
serão dominantes. 
 
O instrumento ideal teria sua função de medição dada por uma reta a 45º em um 
gráfico xy: 
 
 Indicação 
 Plena escala 
 
 
 
 
 
 
 
 Grandeza medida 
Figura 5.1 Significado das características referidas à plena escala e à leitura 
 
Os limites de desvio da indicação dados em % de plena escala seriam representados 
por duas retas paralelas à função ideal enquanto os limites dados por % da leitura 
seriam duas retas divergentes da origem. 
 
Na realidade, os erros que ocorrem nos instrumentos podem ser de vários tipos. 
Tolerâncias de execução e variações em materiais, podem afetar constantes físicas, 
como constante de elasticidade, resistividade elétrica etc. e assim tendem a produzir 
erros proporcionais à indicação. Fenômenos tais como atrito mecânico, histerese 
mecânica ou magnética, etc. podem produzir erros independentes da posição da 
indicação. Há erros aleatórios como os causados por irregularidades nos dentes de 
uma engrenagem ou a variação da resistivivade de um resistor variável que aparecem 
em pontos fixos da escala mas não guardam uma relação linear com a função ideal. 
Finalmente, há erros aleatórios e variáveis no tempo, como os produzidos por ruído 
térmico em um circuito eletrônico, que podem aparecer em diferentes pontos da escala 
a cada instante. 
 
Assim sendo, o mais realista seria cotar a inexatidão de um instrumento por uma 
mistura de valores referidos à plena escala para a parte baixa e à leitura para a parte 
alta da escala. É possível encontrar-se exemplos práticos disto, mas são raros. Nestes 
casos, em geral, a incerteza é definida por frases pouco rigorosas do tipo: “±x% de 
plena escala ou ±y% da leitura, o que for maior” ou “±x unidades mais ±y% da leitura”, 
 35
etc., sub entendendo-se que se comparam ou se somam os valores absolutos dos 
erros considerados. 
 
 
5.5.2. Linearidade 
 
Embora um instrumento não linear possa ser altamente exato, em muitas aplicações é 
desejável utilizar um instrumento linear. Quando o equipamento é parte integrante de 
um sistema complexo de aquisição ou controle, por exemplo, o comportamento linear 
dos componentes simplifica o projeto e a análise do desempenho global. 
 
Linha reta ideal. Um instrumento ou elemento de sistema de medição é linear se os 
seus valores de entrada e saída situarem-se sobre uma linha reta num gráfico da saída 
em função da entrada. A linha reta ideal liga o ponto de mínimo (Imin, Omin) ao de 
máximo (Imax,Omax). 
 
A
Imax
NL(I)
Entrada
B
Imin
Omin
Omax
Saída
Imin Imax
NL(I)
O(I) real 
teórico 
 
Figura 5.2: Linha reta ideal e erro de linearidade 
 
A equação da reta ideal é dada por: 
 
)()( min
minmax
minmax
min IIII
OO
OOt −−
−
+= 5.1 
 
Usando a forma IKaOt += para a equação da reta definimos o coeficiente angular 
ou inclinação, “K” , e o coeficiente linear ou intercepção da reta teórica ideal, “a”. 
 
 
5.5.2.1. Não Linearidade. 
 
A reta teórica ideal permite definir numericamente a não linearidade NL, como o 
afastamento entre a curva real e a reta ideal. 
 
)()()( aKIIOINL +−= 5.2 
 
Com essa definição podemos expressar a resposta real de um instrumento qualquer 
como a resposta linear ideal acrescida de um termo referente à não linearidade: 
 
 36
)()( INLKIaIO ++= 5.3 
 
Usualmente a não linearidade máxima é expressa em percentual da deflexão de fundo 
de escala “%FE”, ou seja, como porcentagem da amplitude de variação. 
 
)(%100
minmax
max FE
OO
NL
NL ×
−
= 5.4 
 
Em muitos casos a relação entrada/saída é dada por um polinômio: 
 
n
nIaIaIaaIO ++++= L
2
210)( 5.5 
 
Como exemplo desse tipo de relação Entrada/Saída temos os sensores resistivos de 
temperatura, conhecidos como RTDs e também os termopares. 
 
Exemplo: Para um termopar de cobre-constantan (tipo T) os 4 primeiros termos da 
relação entre a força eletromotriz V(T) em µV e a temperatura T°C é dada por (ex. do 
Bentley): 
 
8463422 10191,210071,210319,374,38)( TatétermosTTTTTV +×−×+×+= −−− 
 
para a faixa de 0 a 400°C. Uma vez que V = 0 µV a 0°C e V = 20869 µV a T = 400°C, a 
equação da reta ideal é: 
 
TEIDEAL 17,52= 
 
e a função de correção da não linearidade é: 
 
L+×−×+×+−=−= −−− 463422 10195,210071,210319,343,13)()( TTTTETETNL IDEAL
 
 
 
 37
5.5.2.2. Linearidade Independente 
 
Outras definições de linearidade são possíveis, sendo usada em muitos casos a 
Linearidade Independente. É a medida do máximo desvio dos pontos de calibragem em 
relação à reta ajustada e não em relação à reta teórica ideal. A figura 5.3 mostra o 
conceito 
 
O
reta ajustada
I
NLI
 
Figura 5.3: Erro de Linearidade Independente 
 
Pode ser expressa em termos de porcentagem da leitura, porcentagem do fundo de 
escala ou uma combinação das duas, conforme mostrado na figura 5.4. 
 
B% da escala 
Faixa total
de tolerância
Ponto em que 
A% da leitura = B% da escala
Reta nominal A% da 
leitura 
O 
I 
Figura 5.4: Especificação do Erro de Linearidade Independente 
 
Em instrumentos considerados lineares, a especificação dada pela linearidade é 
equivalente à inexatidão global, quando se usa a definição comum (não estatística) do 
erro. Assim, em muitos instrumentos comerciais, apenas a especificação da linearidade 
é fornecida. 
 
 
5.5.3. Reprodutibilidade, repetibilidade 
 
A repetibilidade é o limite superior provável das diferenças que serão observadas entre 
diversas medidas de um mesmo mensurando, feitas procedendo-se da mesma forma 
 38
(p. ex.: quando se aproxima o valor a ser lido pelo mesmo lado, isto é, sempre por 
valores superiores ou sempre por valores inferiores ao mensurando). 
 
A reprodutibilidade é o limite superior provável das diferenças que serão observadas 
entre diversas medidas de um mesmo mensurando, feitas procedendo-se de formas 
variadas. 
 
Como o que mais afeta a repetibilidade e a reprodutibilidade são as características não 
lineares, e as aleatórias (fixas ou variáveis no tempo) dos instrumentos, elas são, 
geralmente, dadas em % de plena escala ou em ±x unidades. O problema aqui é que 
os fabricantes geralmente cotam só a repetibilidade e fica-se sem saber a 
reprodutibilidade. Pior ainda: não se sabe se o número cotado não é, por confusão 
conceitual, o da reprodutibilidade. 
 
Ex.: Medida da pressão a 10 m de profundidade em água pura a 20ºC quando se desce até lá 
várias vezes a partir da superfície. Supondo um manômetro de pressão absoluta de 0 Kgf/cm2 
a 5 Kgf/cm2 com repetibilidade de 0,5% (de plena escala), todas as medidas ficariam entre 
0,975 Kgf/cm2 e 1,025 Kgf/cm2. 
 
Estas duas características são as medidas da dispersão dos valores indicados pelo 
instrumento para um mensurando dado. 
 
Para vários autores a repetibilidade ou a reprodutibilidade são consideradas sinônimos 
de precisão. Isto dá à precisão um caráter quantitativo. Para a maioria dos autores, 
entretanto, precisão é um conceito qualitativo. 
 
O conhecimento da repetibilidade e da reprodutibilidade permite, em certos (poucos) 
casos a confecção de uma tabela de correção de escala para o instrumento. Tal tabela, 
usada em conjunto com o instrumento permite que se aplique correções locais aos 
valores lidos, superando-se assim os limites da exatidão básica do mesmo. Neste caso, 
a exatidão que se pode obter ao aplicar as correções aproxima-se do valor da 
repetibilidade ou da reprodutibilidade. Infelizmente, os casos em que isto é possível são 
raros e aqueles em que isto é prático, mais raros ainda. 
 
 
5.5.4. Resolução 
 
A resolução tem aqui o mesmo sentido geral usado em ótica, ou seja, a medida do 
poder de distinguir um objeto de outro que lhe é adjacente. Em termos de 
instrumentação, trata-se do poder de distinguir um valor medido de outro. A definição 
aplica-se aos instrumentos de duas formas distintas: 
-Para o dispositivo de apresentação: é o menorvalor que se pode ler, com 
segurança, sobre uma escala. Geralmente considera-se o valor de meia 
subdivisão da escala.9 Em instrumentos digitais considera-se o valor do 
dígito menos significativo. 
-Para o sensor do instrumento: é a menor diferença entre valores da grandeza 
medida que pode ser discriminada pelo sensor.10 
 
 
9 Embora isso possa parecer um “desperdício”, considere-se que, se o instrumento fosse de melhor 
qualidade, o fabricante teria acrescentado divisões à escala, já que o custo disso seria muito pequeno. 
10 Esta característica pode ser facilmente confundida com a repetibilidade. 
 39
As formas de definir a resolução são menos variadas do que as usadas para definir a 
exatidão. Pela natureza dos limitantes físicos da resolução, é mais provável que as 
definições sejam dadas em % de plena escala ou em ±x unidades. 
 
Obviamente, a resolução deve ser melhor do que a exatidão, a reprodutibilidade e a 
repetibilidade para que estas possam ser determinadas. Alguns argumentarão que há 
exceções possíveis, por exemplo: pode-se avaliar a repetibilidade fazendo com que um 
instrumento de ponteiro, sob teste, atinja uma marca de divisão da escala repetidas 
vezes, lendo-se no instrumento usado como padrão os valores atingidos pela grandeza 
física. Como o instrumento padrão normalmente deve ter características melhores do 
que o testado por uma ordem de grandeza, sua exatidão pode superar a resolução do 
testado, permitindo uma avaliação de repetibilidade superior à resolução deste último. 
Entretanto. esta situação só tem valor prático para avaliar o estado do instrumento 
quanto a defeitos, já que a única vantagem operacional que se pode tirar do 
conhecimento da repetibilidade é a confecção de uma tabela de correção de escala 
para o instrumento. 
 
 
5.5.5. Considerações sobre essas características de desempenho 
 
A acurácia é o erro esperado, que pode ser dividido em tendência e erro de 
repetibilidade, são as características que têm uma definição estatística a partir do 
processo de calibragem. Isto significa que seu valor absoluto não pode ser determinado 
para uma medição efetuada com o instrumento. Pode-se apenas tecer estimativas 
numéricas sobre seus limites de variação em termos de probabilidade. 
O comportamento estatístico surge devido às entradas não controladas às quais está 
submetido o instrumento de medição. Pode-se verificar mais facilmente este fato com 
uma série de repetições independentes da medição de um valor constante. As leituras 
de um instrumento em boas condições, mesmo que perfeitamente calibrado, irão variar 
ligeiramente devido ao efeito somado das entradas não controladas. 
Uma visualização interessante do processo acontece quando se estabelece uma 
analogia entre a medição e o tiro ao alvo. O objetivo da medição é estabelecer o valor 
verdadeiro, que corresponde a atingir o alvo na mosca. Várias medições do mesmo 
valor podem ser representadas graficamente conforme a figura 5.5. 
 
Alta Repetibilidade Baixa Repetibilidade
mas Centralizado mas Fora do Alvo
Alta Repetibilidade 
e no alvo
Baixa Repetibilidade
e Fora do Alvo
1 2 3 4
 
Figura 5.5: Representação dos erros de tendência e de repetibilidade 
 
Pode-se dizer que a qualidade do equipamento melhora da esquerda para a direita. Os 
dois alvos da esquerda denotam um equipamento com muita variação entre leituras do 
mesmo valor, ou seja, baixa repetibilidade. O primeiro, entretanto, não só apresenta 
alta variabilidade como também um desvio à direita em relação ao alvo. Usando este 
 40
equipamento pode-se até acertar o alvo, mas será por puro acaso. O de número 2 é 
um pouco melhor porque, apesar de possuir baixa repetibilidade, sua distribuição de 
valores está centralizada em relação ao alvo. 
 
Tanto o número 3 como o 4 representam equipamentos com baixa variabilidade, ou 
seja, seus tiros (medições) acertam sempre uma pequena região do alvo. Portanto, são 
equipamentos com alta repetibilidade. Entretanto, o número 3 possui uma tendência ou 
desvio, acertando sempre acima e à esquerda da mosca. O equipamento 4 tem alta 
repetibilidade e acerta na mosca. Representa um medidor com alta acurácia. 
 
A acurácia, definida desta forma, é uma característica probabilística que representa 
quão próximas estão as leituras do valor verdadeiro por meio de uma faixa de erro. A 
acurácia é composta da soma dos erros de desvio ou tendência e de repetibilidade. 
Se um equipamento tem alta repetibilidade mas apresenta desvio, as leituras podem 
ser facilmente corrigidas, uma vez conhecidas por meio de uma calibragem. Alguns 
aparelhos apresentam meios de remover a tendência por meio de regulagens e ajustes 
específicos, dispensando a necessidade de calcular correções posteriores. Muitas 
pessoas chamam este processo de remover a tendência, usualmente com uma única 
leitura no meio da escala ou com valor nulo na entrada, de calibragem. Entretanto, 
preferimos chamar de calibragem o processo completo já descrito, que permite 
determinar numericamente a tendência e estabelecer limites prováveis para o erro de 
repetibilidade. 
 
 
5.5.6. Sensibilidade 
 
A sensibilidade, como característica básica de um instrumento de medida é definida 
como a relação entre um acréscimo na grandeza medida e o acréscimo 
correspondente na indicação do instrumento ou no sinal do sensor. 
 
g
i
adeSensibilid
∆
∆
= 5.6 
onde: 
∆i é o acréscimo ou mudança na indicação (ou variável de saída de um sensor) 
∆g é o acréscimo ou variação da grandeza física medida. 
 
Em termos mais gerais, se a indicação y do instrumento ou saída do sensor é dada por: 
 
),,( 10 ni xxxxfy KK= 5.7 
onde 
y é uma função monótona crescente ou decrescente de x0 
x0 é a grandeza que se pretende medir 
xi são as grandezas físicas que influenciam a indicação, 
a sensibilidade do instrumento à grandeza que se quer medir é 
 
0
0 x
y
S
∂
∂
= 5.8 
 
enquanto as sensibilidades às demais grandezas físicas que influenciam o resultado 
são dadas por: 
 41
 
i
i x
y
S
∂
∂
= 5.9 
onde i = 1...n. 
 
As funções S0 e as n funções Si serão chamadas de funções de sensibilidade do 
instrumento. 
 
Ao cotar-se um valor para a sensibilidade se está assumindo a simplificação que supõe 
o valor da função S0 como igual a uma constante. 
 
Quando as demais Si são assumidas de valor desprezável, o fabricante do instrumento, 
em geral, não as menciona. Caso contrário, é necessário que as sensibilidades não 
desprezáveis sejam especificadas ou, alternativamente, que sejam especificados 
limites para as variáveis em questão.11 
 
A sensibilidade de um instrumento linear ideal é a inclinação da reta teórica K. 
Portanto, a sensibilidade expressa a taxa de variação da saída devido a uma variação 
unitária da entrada. Em geral, temos: 
 
dI
NLd
KNLKIa
dI
d
dI
dO
SE
)(
)( +=++== 5.10 
 
Portanto, se a relação Entrada/Saída não for linear, a sensibilidade irá variar com o 
valor da entrada, conforme mostrado na figura 5.6. 
 
O
O∆∆∆∆
I
I∆∆∆∆
O∆∆∆∆
I∆∆∆∆
 
Figura 5.6: Sensibilidade Estática em instrumento não linear 
 
Os Termistores NTC são um exemplo bastante comum de sensor não linear. Trata-se 
de um semicondutor cuja resistência diminui com a temperatura segundo uma equação 
exponencial: 
 
)
11
(
0
0)( TTeRTR
−−
=
β
 
 
 
11 A temperatura é a variável que mais afeta de forma indesejável os processos de medida. Porisso, nos 
instrumentos em que a compensação de seus efeitos é difícil, são especificados limites rigorosos para as 
variações admissíveis de temperatura ambiente. 
 42
em que R(T) é a resistência em Ohms à temperatura absoluta T em Kelvins; R0 a 
resistência à temperatura absoluta T0 e β é o coeficiente de temperatura em Kelvins. 
 
Considere um termistor com R0 = 5000 Ω a 25°C e coeficiente β = 3500K. Calcule a 
sensibilidade em Ω/K a 25°C e a 100°C. 
Solução: 
 
Deve-se usar a saída física real (ex graus