Lista1_Grav_FSC1025_Resol

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Lista 1 - Capítulo 13 - Gravitação
Halliday&Resnick - 10a ed, v2.
Física Geral e Experimental II – FSC 1025
Engenharia Civil/Engenharia de Produção/Engenharia de Controle e Automação
Professora: Ana Claudia Lausmann
Resolução
·1 Uma massa M é dividida em duas partes, m e M – m, que são em seguida separadas por certa
distância. Qual é a razão m/M que maximiza o módulo da força gravitacional entre as partes?
O máximo da função Fg(m) ocorre quando a derivada primeira for igual a zero.
Fg(m)=G.m.(M-m)/r²
dFg (m)/dm=G.(M-m)/r²+G.m.(-1)/r²
 e igualando a zero temos:
(G.M-G.m-G.m)=0.r²
G.M-2G.m=0
G.M=2G.m
M=2m
m/M=1/2
A razão m/M=1/2 maximiza o módulo da força grav. entre as partes.
3. Qual deve ser a distância entre uma partícula com 5,2 kg e uma partícula com 2,4 kg, para que a
atração gravitacional entre as partículas tenha um módulo de 2,3 × 10–12 N?
Dados:
G=6,67 × 10–11 N.kg²/m²
Fg= 2,3 × 10–12 N Fg= (G. m1.m2)/r²
m1=5,2 kg r²=(G. m1.m2)/Fg
m2=2,4 kg r=((G. m1.m2)/Fg)1/2
r=? r= (8,3x10-10/ 2,3 × 10–12)1/2
 r=(361,92)1/2
 |r|=19,02 m
6. Na Fig. abaixo, um quadrado com 20,0 cm de lado é formado por quatro esferas de massas m1 =
5,00 g, m2 = 3,00 g, m3 = 1,00 g e m4 = 5,00 g. Na notação dos vetores unitários, qual é a força
gravitacional exercida pelas esferas sobre uma esfera central de massa m5 = 2,50 g?
a=45°
F51=?
F52=? 
F53=?
F54=?
r=D/2
D=(L²+L²)1/2
D=L(2)1/2
L=20 cm=0,2 m
m2 = 0,003 kg
m3= 0,001 kg
m5 = 0,0025 kg
Como m1 e m4 têm massas iguais e F51 e F54 estão na mesma 
direção mas sentidos opostos, os vetores se anulam.
Por outro lado, m2 e m3 têm massas diferentes, logo não se 
anulam. Calcularemos a intensidade dessasnforças e depois faremos a 
decomposição dos vetores em relação ao eixos x e y e somaremos suas 
componentes.
F
52
=G.m
2
.m
5
/r²
F
52
=G.m
2
.m
5
/(D/2)²
F
52
=G.m
2
.m
5
/[L(2)1/2/2]²
F
52
=G.m
2
.m
5
/(L²/2)
F
52
=5,0x10-16/0,02
F
52
=2,5x10-14 N
F
53
=-G.m
3
.m
5
/r²
F
53
=-G.m
3
.m
5
/(D/2)²
F
53
=-G.m
3
.m
5
/[L(2)1/2/2]²
F
53
=-G.m
3
.m
5
/(L²/2)
F
53
=-1,67x10-16/0,02
F
53
=-8,34x10-15 N
Lembrando que também é necessário verificar a derivada segunda 
para garantir que estamos falando de um máximo da função. Se for 
um máximo a derivada segunda deve ter valor negativo. Se tiver valor 
positivo significa que estamos olhando para um mínimo.
d²Fg (m)/dm²=- G.m/r² - G.m/r²
Como m e G são valores positivos e r está ao quadrado podemos 
afirmar que a derivada segunda é <0 e temos um ponto de máximo.
Obs.: F52 foi escolhida como positiva pois suas componentes apontam para cima e 
para direita e F53 é negativa pois suas componentes apontam para baixo e para 
esquerda.
10. Duas dimensões. Na Fig. abaixo, três partículas pontuais são mantidas fixas em um plano xy. A
partícula A tem massa mA, a partícula B tem massa 2,00mA e a partícula C tem massa 3,00mA. Uma
quarta partícula, de massa 4,00mA, pode ser colocada nas proximidades das outras três partículas.
Em termos da distância d, em que valor da coordenada (a) x e (b) y a partícula D deve ser colocada
para que a força gravitacional exercida pelas partículas B, C e D sobre a partícula A seja nula?
Dados:
mB = 2,0 mA
mC = 3,0 mA
mD= 4,0 mA 
Primeiro, vamos escrever os vetores FA,B, FA,C e FA,D em termos de
suas componentes.
FA,B=FA,B,xi + FA,B,y j
FA,B=0i + FA,B,y j 
FA,B=G.mA.mB/d² j 
FA,B=G.mA.2,0.mA/d² j
FA,B=2,0G.mA²/d² j
 
FA,C=FA,C,xi + 0 j
FA,C=G.mA.mC/(1,5d)² i 
FA,C=G.mA.3,0.mA/(1,5d)² i
FA,C=-3,0.G.mA²/(1,5d)² i
Agora faremos a decomposição dos vetores F
52
 e F
53
. E encontraremos a força 
resultante na notação de vetores unitários. 
Para F
52
 temos:
F
52
=F
52, x
i+F
52, y
j
F
52, x 
= F
52 
. cos(45°)=2,5x10-14 .cos(45°)=1,77x10-14 N
F
52, y 
= F
52 
. sen(45°)=2,5x10-14 . sen(45°)=1,77x10-14 N
Para F
53
 temos:
F
53
=F
53, x
i+F
53, y
j
F
53, x 
= F
53 
. cos(45°)=-8,34x10-15 . cos(45°)=-5,9x10-15 N
F
53, y 
= F
53 
. sen(45°)=-8,34x10-15 . sen(45°)=-5,9x10-15 N
E por fim, o vetor força resultante na notação de vetores unitários é:
F
r
=(F
52, x
+ F
53, x
 )i + (F
52, y
+ F
53, y
) j
F
r
=(1,77x10-14 -5,9x10-15 )i + (1,77x10-14 -5,9x10-15) j
F
r
= (1,18x10-14 i + 1,18x10-14 j) N
Para que a força gravitacional seja nula sobre a 
partícula A, o vetor F
A,D
 deve anular o vetor resultante de F
A,B
 + 
F
A,C
, que são as outras forças atuando sobre a partícula A.
 
F
r
= F
A,B
 + F
A,C
F
r
=-3,0.G.mA²/(1,5d)² i+2,0G.mA²/d² j
O módulo do vetor força resultante é portanto:
 F
r 
=[F
r,x
²+F
r,y
²]1/2
F
r
=[(-3,0.G.mA²/(1,5d)²)² + (2,0G.mA²/d²)²]
1/2
 F
r 
= 2,4 G.m
A
²/d²
 
 
FA,D=FA,D,xi + FA,D,y j
Por outro lado,temos:
FA,D = G.mA.mD/r²
FA,D =4,0G.mA²/r²
Como o módulo de FA,D deve ser igual ao módulo da força resultante Fr, temos:
4,0G.mA²/r²= 2,4 G.mA²/d²
4,0 / r² = 2,4/d²
r² = 4,0 d²/2,4
r² = 1,67 d²
r= 1,3 d
Esse é o comprimento r do vetor r. Para conhecermos suas componentes precisamos saber qual é o
ângulo que o vetor FA,D faz com o eixo horizontal x, pois será o mesmo que o vetor r faz com o eixo
x. Como FA,D deve ter mesma direção e sentido oposto ao vetor Fr , podemos obter essas
informações através do vetor Fr.
Dessa forma:
rx = r.cos(56,31°) = 1,3.d.0,55 = 0,715d
ry = - r.sen(56,31°) = - 1,3.d.0,83 = -1,08d
r = rx i + ry j = 0,715d i – 1,08d j
13. A Fig. abaixo mostra uma cavidade esférica no interior de uma esfera de chumbo de raio R =
4,00 cm; a superfície da cavidade passa pelo centro da esfera e “toca” o lado direito da esfera. A
massa da esfera antes de ser criada a cavidade era M = 2,95 kg. Com que força gravitacional a
esfera de chumbo com a cavidade atrai uma pequena esfera de massa m = 0,431 kg que está a uma
distância d = 9,00 cm do centro da esfera de chumbo, na reta que passa pelo centro das duas esferas
e pelo centro da cavidade?
 
b
a
F
r
F
A,D
Calculando o ângulo a:
arctg (F
r,y
/F
r,x
) = a
a = [2,0G.mA²/d²]/[3,0.G.mA²/(1,5d)²]
a = arctg( 2,0. 2,25/3,0)
a= arctg(1,5)
a= 56,31°
Logo, b= 56,31°.
x
y
Caso não hoouvesse a cavidade esférica na esfera maior, a força de 
interação entre as duas esferas seria simplesmente:
F
in
= G.M.m/d²
F
in
= G.2,95.0,431/(0,09)²
F
in
= 8,48x10-11/8,1x10-3
F
in
= 1,05x10-8 N
Como a esfera maior tem uma cavidade, vamos calcular quanto de massa foi retirado para criar
essa cavidade. 
Como a cavidade é esférica, seu volume é dado por:
Vce=4/3(p r³) 
com:
r = R/2 = 0,02
p = 3,14
A densidade do chumbo r pode ser obtida através da equação:
r=M/Ve
porém, note que para calcularmos a densidade do chumbo com os dados que temos, Ve deve ser o
volume total da esfera, não da concavidade. Então calculamos Ve também.
r = R = 0,04 m
a densidade do chumbo é:
r=M/Ve
r=2,95/2,6x10-4
r= 11346,15 kg/m³
Agora, podemos usar a mesma equação para saber a quantidade de massa que foi retirada da
esfera para fazer a concavidade esférica:
r = mC/Vce
mc = r.Vce = 11346,15.3,3x10-5
m
c
 = 0,374 kg
A força de interação entre massa referente a concavidade esférica e a esfera menor seria de:
Fin,c = G. mc.m/ (d-R/2)²
Fin,c = G. 0,374.0,431/(0,09-0,02)²
Fin,c = G. 0,374.0,431/(0,07)²
Fin,c = 1,07x10-11/4,9x10-3
Fin,c = 0,22x10-8 N
Portanto, a força real de interação Fr entre as esferas é dada subtraindo Fin,c de Fin:
Fr = Fin – Fin,c
Fr = 1,05x10-8 – 0,22x10-8
Fr = 0,83x10-8
Fr = 8,3x10-9 N
V
ce
 = 4/3[3,14.(0,02)³]
V
ce
 = 4/3(3,14.0,000008)
V
ce
 = 0,000033493
V
ce
 = 3,3x10-5 m³
V
e
 = 4/3[3,14.(0,04)³]
V
e
 = 4/3(3,14.0,000064)
V
e
 = 0,000267946
V
e
 = 2,6x10-4 m³
17. (a) Quanto pesaria na superfície da Lua um objeto que pesa 100 N na superfície da Terra? (b) A
quantos raios terrestres o mesmo objeto deveriaestar do centro da Terra para ter o mesmo peso que
na superfície da Lua?
a) 
Dados:
PO,T= 100 N
g = 9,8 m/s²
Qual a massa do objeto? 
PO,T = mO.g 
mO = PO/g
mO = 100/9,8 
mO = 10,20 kg
Qual a aceleração da gravidade na superfície da Lua?
gL = 1,67 m/s²
Portanto, o peso do objeto na superfície da Lua PO,L seria:
PO,L = mO. gL
PO,L = 10,20.1,67
PO,L = 17,04 N
b) Fg = PO,L
Para que a força gravitacional entre esse objeto e a Terra seja igual ao peso do objeto na
superfície da Lua o mesmo deveria estar a uma distância r da Terra, maior que o raio da Terra.
Como calculamos r?
Fg = PO,L 
Fg = G.mT.mO/r²
logo,
PO,L = G.mT.mO/r²
onde mT é a massa da Terra:
mT = 5,973332 × 1024 kg 
Então r:
r² = G.mT.mO/PO,L
r² = G. 5,973332 × 1024 . 10,20 / 17,04
r² = 2,385 x 1014
r = 1,54 x 107 m
O raio da Terra é de 6,371x106 m. Para saber a quantos raios terrestres rT o objeto deveria estar
do centro da Terra basta fazer r/rT:
r/rT = 1,54 x 107 / 6,371 x 106 = 2,41
Então o objeto deveria estar a 2,41.rT do centro da Terra.
19. A que altitude acima da superfície da Terra a aceleração gravitacional é de 4,9 m/s2?
Fg = G. mT. m / r²
Fg = m.g
G. mT / r² = g 
r²= G. mT / g
r = (G. mT / g)1/2
r = (G. mT / 4,9)1/2
r = (3,98x1014 / 4,9)1/2
r = 8,13x1013
r = 9,0x106 m
r-rT = h
h = 9,0x106 - 6,371 x 106
h = 2, 64 x106 m 
23. Um planeta é modelado por um núcleo de raio R e massa M cercado por uma casca de raio
interno R, raio externo 2R e massa 4M. Se M = 4,1 × 1024 kg e R = 6,0 × 106 m, qual é a aceleração
gravitacional de uma partícula em pontos situados a uma distância (a) R e (b) 3R do centro do
planeta?
b) No caso da letra “b” a partícula estaria na superfície da casca, logo:
Fg = G. 5M. m / (3R)² = m. ag
a) No caso da letra “a” a partícula estaria na superfície do núcleo, logo:
Fg = G. M.m / R² = m. a
g
G.M/R² = a
g
a
g
 = 7,6 m\s²
ag = 5 G. M / 9R²
ag = 1,37 x 1015 / 3,24x1014
ag = 4,2 m/s²
34. A Fig. abaixo mostra a energia potencial U(r) de um projétil em função da distância da
superfície de um planeta de raio Rs. Se o projétil for lançado verticalmente para cima com uma
energia mecânica de –2,0 × 109 J, determine (a) a energia cinética do projétil a uma distância r =
1,25Rs e (b) o ponto de retorno (vejao Módulo 8-3) em função de Rs.
 
a) Pelo gráfico, na superfície do planeta a energia potencial é US= -5,0x109 J. A energia potencial
gravitacional pode ser calculada através da seguinte expressão: U= - GMm/r. 
Quando o projétil se encontra na superfície do planeta, ou seja, r = RS, temos: 
US= - GMm/RS = -5,0x109 J.
Quando o projétil se encontra a uma distância de 1,25RS teremos: U2= - GMm/1,25RS. 
Podemos reescrever essa expressão da seguinte forma:
U2= (- GMm/RS) . (1/1,25) = US . (1/1,25)
Sabemos que US= - GMm/RS = -5,0x109 J, então basta substituir esse valor na expressão acima.
U2= (- GMm/RS) . (1/1,25) = US . (1/1,25) = -5,0x109 . (1/1,25) = -4x109 J.
Queremos saber o valor da energia cinética K nessa distância. Se a energia mecânica se conserva,
então deve ser igual a -2x109 J em qualquer distância. O que significa que: E= U+K = -2x109 J.
Podemos usar isso e o fato de U2= -4x109 J para calcular K. Assim temos:
K=E-U = -2x109-(-4x109)
K=-2x109+4x109 = 2x109 J
Logo, quando r=1,25RS, K= 2x109 J. 
b) O ponto de retorno ocorre quando a energia potencial é igual a energia mecânica. Se a
distância continuasse aumentando além do ponto de retorno o projétil teria energia cinética
negativa, o que não é possível. Pela expressão U= - GMm/r sabemos que U é inversamente
proporcional a distância. Podemos usar esse fato para obter o ponto de retorno. Quando o projétil
se encontra a uma distância de 1,25RS a energia potencial é -4x109 J. No ponto de retorno ela deve
ser igual a energia mecânica, ou seja, -2x109 J, que significa diminuir para a metade de seu valor.
Para que U seja a metade de seu valor r tem que dobrar, logo r= 2 . 1,25RS = 2,5 RS.
37. As três esferas da Fig. abaixo, de massas mA = 80 g, mB = 10 g e mC = 20 g, têm os centros em
uma mesma reta, com L = 12 cm e d = 4,0 cm. Você desloca a esfera B ao longo da reta até que a
distância entre os centros da esfera B e da esfera C seja d = 4,0 cm. Qual é o trabalho realizado
sobre a esfera B (a) por você e (b) pela força gravitacional das esferas A e C?
a) O trabalho que você realiza para deslocar a esfera B é igual à variação da energia potencial do
sistema de três esferas. Logo, devemos calcular qual foi a variação da energia potencial devido ao
deslocamento da esfera B.
Antes da esfera B ser deslocada a energia potencial era:
Ui= - G [(mA.mB/d)+(mB.mC/(L-d))+(mA.mC/L)]
Ui= - 6,67x10-11.[(0,080.0,010/0,04)+(0,010.0,020/0,08)+(0,080.0,020/0,12)]
Ui= - 6,67x10-11.[0,02+0,0025+0,013]
Ui= - 6,67x10-11.0,0355= - 2,37x10-12 J
Uf= - G[(mA.mB/(L-d))+(mB.mC/(d))+(mA.mC/L)]
Uf= - 6,67x10-11.[(0,080.0,010/0,08)+(0,010.0,020/0,04)+(0,080.0,020/0,12)]
Uf= - 6,67x10-11.[0,01+0,005+0,013]
Uf= - 6,67x10-11.0,028
Uf= - 1,87x10-12 J
O trabalho realizado por você é dado então por:
W = Uf – Ui = - 1,87x10-12 -(- 2,37x10-12 )
W= 5,0x10-13 J
 b) O trabalho realizado pela força gravitacional devido a presença das esferas A e C será
simplesmente o negativo do trabalho realizado por você para deslocar a esfera B para a nova
posição, ou seja, -5,0x10-13 J.