Mat Básica - Complementar

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SUMÁRIO MATEMÁTICA BÁSICA 
 
1 – ( ) ( ) Operações fundamentais ----------------------------------------------------- 1 
2 – ( ) ( ) Frações ------------------------------------------------------------------------ 5 
3 – ( ) ( ) Potenciação ------------------------------------------------------------------- 7 
4 – ( ) ( ) Radiciação -------------------------------------------------------------------- 9 
5 – ( ) ( ) Produtos Notáveis ----------------------------------------------------------- 11 
 
 
OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
 
NÚMEROS PRIMOS 
 
# Possuem apenas dois divisores, o número 1 
e o próprio número. 
 
# O conjunto dos números primos é infinito. 
 
# O número 1 não é um número primo, porque 
ele tem apenas um divisor, que é ele mesmo. 
 
# O único número par que é primo é o número 
2, porque só tem dois divisores: 1 e ele 
mesmo. 
 
DIVISORES 
 
# Para ser divisor a divisão tem que ser exata, 
não sobra resto. 
 
# O número 1 é divisor de qualquer número. 
 
# Todo número diferente de zero é divisível 
por si mesmo. 
 
# O maior divisor de um número é o próprio 
número. 
 
# Nenhum número é divisível por zero. 
 
# O menor divisor de um número é 1 
 
MÚLTIPLOS 
 
# O zero é múltiplo de qualquer número. 
 
# O zero só tem um múltiplo que é ele mesmo. 
 
# Todos os números naturais são múltiplos de 
1. 
 
# Todo número natural é múltiplo de si 
mesmo. 
 
# O conjunto dos múltiplos são infinitos, ou 
seja, não tem fim. Com exceção do número 
zero. 
 
DIVISIBILIDADE 
 
Divisibilidade por 1 
 
Todo número é divisível por 1. 
 
Divisibilidade por 2 
 
Todo número par é divisível por 2, para isto basta 
terminar em 0, 2, 4, 6 ou 8. 
 
Divisibilidade por 3 
 
Um número é divisível por 3 quando a soma de 
seus algarismos constitui um número múltiplo de 
3. 
 
Divisibilidade por 4 
 
Um número é divisível por 4 quando for par e a 
metade do último algarismo adicionado ao 
penúltimo for um número par ou terminar com 
zero nas duas últimas casas. 
 
Divisibilidade por 5 
 
É todo número terminado em 0 ou 5. 
 
Divisibilidade por 6 
 
São todos os números divisíveis por 2 e 3 no 
mesmo instante. 
 
Divisibilidade por 7 
 
Um número é divisível por 7 quando estabelecida 
a diferença entre o dobro do último e os demais 
algarismos, constituindo um número divisível por 
7. 
 
Divisibilidade por 8 
 
Um número é divisível por 8 quando termina em 
000 ou os últimos três números são divisíveis por 
8. 
 
Divisibilidade por 9 
 
Será divisível por 9 todo número em que a soma 
de seus algarismos constitui um número múltiplo 
de 9. 
 
2 
 
 
FATORAÇÃO 
 
Fatorar um número significa escrevê-lo na 
forma de produto de números primos. Por 
exemplo, a fatoração do número 36 consiste 
na multiplicação entre os números (2.2.3.3). 
 
A fatoração ajuda para a busca do (M.M.C.) do 
(M.D.C) e para a resolução de raízes. 
 
Ex.: √36 = √22. 3² = 2.3 = 6 
 
36 ÷ 2 2. 
18 ÷ 2 2. 
9 ÷ 3 3. 
3 ÷ 3 3. 
1 22. 3² 
 
 
Divisibilidade por 10 
 
Todo número terminado em 0 é divisível por 10. 
 
Divisibilidade por 11 
 
Um número é divisível por 11 nas situações em 
que a diferença entre o último algarismo e o 
número formado pelos demais algarismos, de 
forma sucessiva até que reste um número com 2 
algarismos, resultar em um múltiplo de 11. Como 
regra mais imediata, todas as dezenas duplas 
(11, 22, 33, 5555, etc.) são múltiplas de 11. 
 
Divisibilidade por 12 
 
Se um número é divisível por 3 e 4, também será 
divisível por 12. 
 
Divisibilidade por 15 
 
Todo número divisível por 3 e 5 também é 
divisível por 15. 
 
 
NÚMERO DE DIVISORES 
 
O número de divisores naturais de um número 
natural é igual ao produto dos expoentes dos 
seus fatores primos aumentados, cada 
expoente, do número 1 
 
Assim, se 𝑎𝛼 . 𝑏𝛽. 𝑐𝛾, com 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑠, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
 
𝑛[𝐷+(𝐼𝑁)] = (𝛼 + 1)(𝛽 + 1)(𝛾 + 1) 
 
 
Ex.: Determinar o número de divisores de 90. 
 
 
90 ÷ 2 2. 
45 ÷ 3 3. 
15 ÷ 3 3. 
5 ÷ 5 5. 
1 2𝟏. 3𝟐. 5𝟏 
 
 
𝑛[𝐷+(90)] = (𝟏 + 1). (𝟐 + 1). (𝟏 + 1) = 12 
[𝐷+(90)] = {90; 45; 30; 18; 15; 10; 9; 6; 5; 3; 2; 1} 
 
 
MÁXIMO DIVISOR COMUM (M.D.C) 
 
Ao maior dos divisores comuns de dois 
números naturais 𝑎 𝑒 𝑏 chama-se máximo 
divisor comum e representa-se por m.d.c. 
(a,b). 
 
𝐷18 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟔, 9, 18} 
𝐷24 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 4, 𝟔, 8, 12, 24} 
 
Maior divisor comum: 6 
 
 
 
60 30 ÷ 2 Fator comum 
30 15 ÷ 2 (15 não é divisível por 2) 
15 15 ÷ 3 Fator comum 
5 5 ÷ 5 Fator comum 
1 1 2.3.5 = 30 M.D.C. = 30 
 
𝐷30 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 𝟏𝟓, 𝟑𝟎} 
𝐷60 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 4, 𝟓, 𝟔, 𝟏𝟎, 12, 𝟏𝟓, 20, 𝟑𝟎, 60} 
 
Maior divisor comum: 30 
(Note que 60 é múltiplo de 30). 
 
 
MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (M.M.C) 
 
O m.m.c. é o menor número que é múltiplo 
comum, diferente de 0, entre 2 ou mais 
números. 
 
 
𝑀18 = {18, 36, 54, 𝟕𝟐, … } 
𝑀24 = {24, 48, 𝟕𝟐, … } 
 
Menor múltiplo comum de 18 e 24 = 72 
m.m.c. (18, 24) = 72. 
 
3 
 
 
MÓDULO (| |) 
 
O módulo ou valor absoluto de um número 
positivo ou negativo é o próprio número sem 
levar em consideração o sinal de + ou de -. 
 
 
Assim, o módulo de +3 é 3, ou o módulo de -7 é 7. 
 
|−3| = 3 ; |3| = 3 
|−7| = 7 ; |7| = 7 
 
 
REPRESENTAÇÃO DECIMAL 
 
Para a representação decimal teremos que 
andar com a vírgula. 
 
Para a esquerda multiplicaremos o número por 
10𝑛. O valor de n será o tanto de casas 
“andadas”. 
 
Para a direita multiplicaremos por 10−(𝑛). O 
valor de n será o tanto de casas “andadas”. 
 
103,3 = 1,033. 102 
0,001033 = 1,033. 10−3 
 
A representação decimal por ser básica não vai 
nos interessar muito a essa altura do 
campeonato por isso já vamos aproveitar para 
vermos as transformações de Km para Cm. 
 
 
 
 
Km Dam Hm M Dm Cm Mm 
1 1.101 1.102 1.103 1.104 1.105 1.106 
1. 10−1 1 1.101 1.102 1.103 1.104 1.105 
1. 10−2 1. 10−1 1 1.101 1.102 1.103 1.104 
1. 10−3 1. 10−2 1. 10−1 1 1.101 1.102 1.103 
1. 10−4 1. 10−3 1. 10−2 1. 10−1 1 1.101 1.102 
1. 10−5 1. 10−4 1. 10−3 1. 10−2 1. 10−1 1 1.101 
1. 10−6 1. 10−5 1. 10−4 1. 10−3 1. 10−2 1. 10−1 1 
 
OU 
 
𝑥 1000 → 𝑥 1000 → 𝑥 1000 → 
Km M Cm Mm 
1 1 000 100 000 1 000 000 
0,1 100 10 000 100 000 
0,01 10 1 000 10 000 
0,001 1 1 1 000 
 ← ÷ 1000 ← ÷ 1000 ← ÷ 1000 
 
 
OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS 
 
A parte que consiste em operações com 
intervalos reais já é uma introdução ao estudo 
dos intervalos de nossas notáveis inequações. 
A saber: 
 
𝑎𝑥𝑛 + 𝑏𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑘𝑥0 > 𝑜𝑢 < 0 
 
Os temos > 𝑒 < indicam que as raízes 
encontradas não entrarão na solução. Serão 
representadas por intervalos abertos 
(“bolinhas” não preenchidas) na reta real. 
 
Os temos ≥ 𝑒 ≤ indicam que as raízes 
encontradas entrarão na solução. Serão 
representadas por intervalos fechados 
(“bolinhas” preenchidas) na reta real. 
 
 
 
 
 
4 
 
Exercícios Propostos – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
1. Determine o produto dos cinco primeiros números 
primos, quando dispostos em ordem crescente. 
 
a) 2310 
b) 720 
c) 30030 
d) 2520 
e) 15015 
 
2. O número de divisores naturais de 360 que não são 
primos é: 
 
a) 20 
b) 21 
c) 22 
d) 23 
e) 24 
 
3. O número natural abaixo é divisível por: 
 
(2103 + 2102 + 2101 − 2100) 
 
a) 6 
b) 10 
c) 14 
d) 22 
e) 26 
 
4. Determine o valor de n/2, sabendo que é o número de 
divisores naturais de 3000. 
 
a) 3 
b) 4 
c) 8 
d) 16 
e) 32 
 
5. Sendo D o número de divisores naturais de 252, e N o 
número de divisores naturais de 1296, então o valor de 
2.D + 3.N será: 
 
a) 18 
b) 25 
c) 43 
d) 75 
e) 111 
 
6. O MDC de dois números A e B é 2x.33.54.7. Sendo A = 
2x.34.5z.7 e B = 26.3y.55.7, então o valor do produto x.y.z 
é: 
 
a) 20 
b) 80 
c) 60 
d) 40 
e) 11 
 
7. Uma abelha rainha dividiu as abelhas de sua colmeia nos 
seguintes grupos para exploração ambiental: um composto 
de 288 batedoras e outro de 360 engenheiras. Sendo você 
a abelha rainhae sabendo que cada grupo deve ser dividido 
em equipes constituídas de um mesmo e maior número de 
abelhas possível, então você redistribuiria suas abelhas 
em: 
 
a) 8 grupos de 81 abelhas. 
b) 9 grupos de 72 abelhas. 
c) 24 grupos de 27 abelhas. 
d) 2 grupos de 324 abelhas. 
e) não redistribuiria. 
8.O piso de uma sala retangular, medindo 3,52 m × 4,16 
m, será revestido com ladrilhos quadrados, demesma dim
ensão, inteiros, de forma que não fique espaço vazio entr
e ladrilhos vizinhos. Os ladrilhos serãoescolhidos de modo 
que tenham a maior dimensão possível.Na situação apres
entada, o lado do ladrilho deverá medir: 
 
a) mais de 30 cm. 
b) menos de 15 cm. 
c) mais de 15 cm e menos de 20 cm. 
d) mais de 20 cm e menos de 25 cm. 
e) mais de 25 cm e menos de 30 cm. 
 
9. Em uma floricultura, há menos de 65 botões de rosas e 
um funcionário está encarregado de fazer ramalhetes, 
todos com a mesma quantidade de botões. Ao iniciar o 
trabalho, esse funcionário percebeu que se colocasse em 
cada ramalhete 3, 5 ou 12 botões de rosas, sempre 
sobrariam 2 botões. O número de botões de rosas era: 
 
a) 54. 
b) 56. 
c) 58. 
d) 60. 
e) 62. 
 
10. Numa pista de videogame, um carrinho dá uma volta 
completa em 30 segundos, outro, em 45 segundos e um 
terceiro carrinho, em 1 minuto. Partindo os três do mesmo 
ponto P, no mesmo instante T, quando os três se 
encontrarem novamente, o número de voltas que o mais 
rápido terá dado será: 
 
a) 3. 
b) 4. 
c) 6. 
d) 8. 
e) 9. 
 
11. Se x e y são números naturais em que m.m.c(y, x) = 
115 e m.d.c(y, x) = 214, podemos dizer que o resto da 
divisão de xy por 23 é: 
 
a) é um número primo. 
b) é um número par. 
c) é maior que 100. 
d) é 214. 
e) é 115 
 
12. Se x é um número natural em que m.m.c(140, x) = 
2.100 e m.d.c(140, x) = 10, podemos dizer que x: 
 
a) é um número primo 
b) é um número par 
c) é maior que 150 
d) é divisível por 11 
e) é múltiplo de 14 
 
GABARITO: 1.A 2.B 3.E 4.D 5.E 6.C 7.B 8.A 9.E 10.C 11.B 
12.B 
 
Dicas: 
 
# Uma propriedade do mmc e o mdc diz: mmc(y, x) x 
mdc(y, x) = y.x 
# Quando dois ou mais números naturais são primos entre 
si (isso significa que o mdc entre eles é 1), o mmc entre 
eles será o resultado da multiplicação simples entre eles. 
 
 
5 
 
 
FRAÇÃO (ter em mente que para 3 ou mais frações o procedimento é o mesmo) 
 
 
SOMA 
 
1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜. 
2° 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 
3° 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 
4° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 
5° 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 
 
 
1
2
+
2
3
=
[(1). 3 + (2). 2]
6
=
3 + 4
6
=
7
6
 
 
2𝑥
3
+
3
𝑦
=
[(2𝑥). 𝑦 + (3). 3]
3𝑦
=
2𝑥𝑦 + 9
3𝑦
 
 
 
DIFERENÇA 
 
1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑟 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜. 
2° 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 
3° 𝑎𝑝ó𝑠 𝑎𝑐ℎ𝑎𝑟 𝑜 𝑀. 𝑀. 𝐶. 𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 
4° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 
5° 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟. 
 
 
1
2
−
2
3
=
[(1). 3 − (2). 2]
6
=
3 − 4
6
= −
1
6
 
 
2𝑥
3
−
3
𝑦
=
[(2𝑥). 𝑦 − (3). 3]
3𝑦
=
2𝑥𝑦 − 9
3𝑦
 
 
PRODUTO 
 
1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠. 
 
2° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠. 
 
1
2
.
2
3
=
1. 2
2. 3
=
2
6
=
1
3
 
 
2𝑥
3
.
3
𝑦
=
[(2𝑥). 3]
3𝑦
=
6𝑥
3𝑦
=
2𝑥
𝑦
 
 
DIVISÃO 
 
1° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 
 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑎. 
 
2° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑝𝑒𝑡𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑜𝑠 𝑣𝑖𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜. 
 
 
 
1
2
2
3
=
1
2
.
3
2
=
3.1
2.2
=
3
4
 
 
2𝑥
3
3
𝑦
=
2𝑥
3
.
𝑦
3
=
2𝑥𝑦
9
 
 
 
FRAÇÕES GERATRIZES 
 
𝑁𝑜𝑡𝑎: 𝑠ã𝑜 𝑎𝑠 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠𝑎𝑚 𝑑𝑖𝑧í𝑚𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎𝑠. (↔) 
 
0,2222 … =
2
9
 
0,231313131 … =
229
990
 
 
 
1° CASO (DÍZIMAS PERIÓDICAS SIMPLES) 
 
1° 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑛𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑒, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 
 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑒, 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 9 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 
 
2° 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ𝑜𝑢𝑣𝑒𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 
 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒 𝑑𝑒𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎. 
 
 
0,278278278 … parte inteira: 0 | parte periódica: 278 
 
0,278278278 … =
279
999
 
 
1,2727272 … parte inteira: 1 / parte periódica: 27 
 
1,2727272 … = 1 +
27
99
=
99 + 27
99
=
126
99
=
42
33
=
14
11
 
 
 
2° CASO (DÍZIMAS PERIÓDICAS COMPOSTAS) 
 
1° 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 
 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 9 𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 𝑀𝑎𝑠, 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 
 𝑑𝑜 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑢𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠𝑚𝑜 0, 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚. 
 
2° 𝐸𝑚 𝑟𝑒𝑙𝑎çã𝑜 𝑎𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑓𝑎𝑧 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑎: 𝑎 − 𝑏 
 
 𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜. 
 𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 
 
 
 
0,2777 … =
27 − 2
90
=
25
90
=
5
18
 
 
𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 27 
𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2 
 
21,30888 … =
21308 − 2130
900
=
19178
900
=
9589
450
 
 
𝑎) 𝑃𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 𝑒 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 21308 
𝑏) 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜 = 2130 
 
 
FRAÇÃO MISTA 
 
1° 𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟, 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 
2° 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑎 − 𝑠𝑒 
𝑎𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 . 
3° 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎: 𝑎
𝑏
𝑐
 
 
 
3
4
5
=
5.3 + 4
5
=
19
5
 
 
 
4
3
 = 4 |3 → 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 = 1
1
3
 
 −3 1 → 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑎 
 1 → 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 
 
6 
 
Exercícios Propostos – OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 
 
QUESTÕES NÍVEL 1 
 
 
1. Calcular a soma das frações: 
 
a) 
1
2
+
3
4
= 
b) 
3
4
+
2
3
= 
c) 
4
7
+
1
2
+
3
2
= 
d) 
3
5
+
2
3
+
3
2
= 
e) 5
3
4
+ 3
3
2
= 
f) 4
3
2
+ 3
6
3
= 
 
2. Calcular a diferença das frações: 
 
a) 
3
4
−
2
4
= 
b) 
4
5
−
1
2
= 
c) 2 −
7
3
−
4
5
= 
d) −
7
2
+ 2 −
1
2
= 
e) −4
3
2
+ 3
1
2
= 
f) −5
3
4
− 3
3
2
= 
 
3. Calcular o produto das frações: 
 
a) 
1
2
 𝑥 
3
4
= 
b) 
3
4
 𝑥 
2
3
= 
c) 
2
3
 𝑥 
3
5
 𝑥 
3
2
= 
d) 
7
2
 𝑥 (−2) 𝑥 
1
2
= 
e) −4
3
2
 𝑥 3
1
2
= 
f) −5
3
4
 𝑥 3
3
2
= 
 
4. Calcular as divisões das frações: 
 
a) 
1
3
÷
3
2
= 
b)
4
3
÷
3
2
= 
c)
4
2
÷
4
5
÷ 
3
2
4
5
= 
d) 
3
2
5
6
+
3
2
−
5
3
−
5
6
 𝑥
4
5
= 
e) 4
3
2
− 3
2
4
 ÷ 3
1
2
= 
f) −3
2
3
 𝑥 2
3
5
 ÷ (3
2
3
+
4
3
) = 
 
5. Transforme as dízimas em frações: 
 
a) 0,333 … + 1,222 = 
b) 0,777 … − 2, 3̅ = 
c) 2,2323 … + 1,7171 … = 
d) 3,21333 … = 
e) 0,23444 … 𝑥 2,31444 … = 
f) 1,323̅ ÷ 1,235252 … = 
QUESTÕES NÍVEL 2 
 
1. Certo trabalho foi executado em três etapas. A primeira 
etapa consumiu 1/3 do tempo total e a segunda etapa teve 
a duração de 2/5 do tempo restante para a conclusão de 
todo o trabalho. Finalmente, a terceira etapa concluiu o 
trabalho e durou 96 dias. Desse modo, pode-se concluir 
que a segunda etapa durou, em dias: 
 
a) 48 b) 60 c) 64 d) 144 e) 240 
 
2. Em uma população carcerária de 14 400 presos,há 1 
mulher para cada 11 homens nessa situação. Do total das 
mulheres, 2/5 estão em regime provisório, correspondendo 
a: 
 
a) 840 b) 480 c)1.200 d) 640 e) 450 
 
3. A população de uma cidade é de 30 432 habitantes. 
Desse total, 5/8 são pessoas cuja idade é menor do que 30 
anos completos. Também desse total, 7/12 são pessoas 
que frequentam algum tipo de escola. Nessa cidade, 
ninguém com 30 anos completos ou mais, frequenta 
qualquer tipo de escola. Sendo assim, o número de pessoas 
com menos de 30 anos completos e que não estão em 
qualquer escola é: 
 
a) 3804 b) 1268 c) 2536 d) 634 e) 17752 
 
4. O combustível contido no tanque de uma “van” de 
transporte escolar ocupava 1/3 da sua capacidade total. 
Foram então colocados 20 litros de gasolina, e o 
combustível passou a ocupar 3/4 da capacidade desse 
tanque. Em seguida, o proprietário completou o 
abastecimento, enchendo totalmente o tanque com álcool. 
Para tanto, foram colocados, de álcool: 
 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 16 d) 20 
 
5. Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um 
terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma 
é igual a 500. 
 
a) 140, 100, 240 
b) 120, 100, 280 
c) 160, 100 ,240 
d) 140, 120, 240 
e) 160, 120, 220 
 
 
 
GABARITO 
 a B c d e f 
 
1 
 
5
4
 
 
 
17
12
 
 
 
18
7
 
 
 
83
30
 
 
41
4
 
 
 8 
2 
 
1
4
 
 
 
 
3
10
 
 
−
17
15
 
 
−2 
 
 1 
 
 −
23
4
 
3 
3
8
 
 
 
 
1
2
 
 
 
3
5
 
 
−
7
2
 
 
−
35
4
 
 
 
153
8
 
4 
 
2
9
 
 
 
 
8
9
 
 
 
4
3
 
 
 −
41
30
 
 
 
67
14
 
 
−
91
75
 
5 
 
14
9
 
 
 
−
14
9
 
 
391
99
 
 
241
75
 
 
 
439513
810000
 
 
 
13101
12229
 
1. C 2. B 3. B 4. C 5. C 
7 
 
 
POTENCIAÇÃO (PROPRIEDADES) 
 
 
BASE ELEVADA A EXPOENTE PAR 
 
1° 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎. 
 
 
22 = 2.2 = 4 
 
(−3)4 = −3. −3. −3. −3 = 81 ≠ −34 = −81 
 
 
BASE ELEVADA A EXPOENTE ÍMPAR 
 
1° 𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙𝑎 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑎. 
 
2° 𝑟𝑒𝑝𝑎𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑎𝑔𝑜𝑟𝑎 𝑛ã𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 
𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑠𝑖𝑛𝑎𝑙. 
 
 
−23 = −(2.2.2) = −8 = (−2)3 = −2. −2. −2 = −8 
 
−(3)5 = −(3.3.3.3.3) = −243 
 
(−3)5 = −3. −3. −3. −3. −3 = −15. 35 = −243 
 
BASE ELEVADA A EXPOENTE NEGATIVO 
 
1° 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 − 𝑠𝑒 𝑎 𝑝𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 
𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑒 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟. 
 
 
(
3
2
)
−2
= (
3
2
)
2
= (
32
22
) =
9
4
 
 
(−5)−2 = (−
1
5
)
2
= (
(−1)2
5²
) =
1
25
 𝑜𝑢 (
12
(−5)²
) =
1
25
 
 
 
BASE ELEVADA A EXPOENTE RACIONAL 
 
1° 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑒𝑟á 
𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑑𝑜) 𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟á 𝑜 í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒. 
 
2° 𝑓𝑎ç𝑎 𝑎 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜. 
 
 
3
1
2 = √3 
 
(
3
4
)
2
3
=
√3²
3
√4²
3
=
√9
3
√16
3 =
√9
3
2√2
3 .
√2
3
√2
3 =
√18
3
2. √4
3 .
√2
3
√2
3 =
√36
3
4
 
 
 
PRODUTO DE MESMA BASE 
 
1° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑜𝑚𝑎𝑟 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
 
 
23. 2−2. 2.1 = 23−2+1+0 = 22 
 
 
DIVISÃO DE MESMA BASE 
 
1° 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎𝑖𝑟 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
 
23. 2²
2−3. 2
=
23+2
2−3+1
=
25
2−2
= 25−(−2) = 27 = 128 
 
 
POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA 
 
1° 𝑐𝑢𝑖𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑢𝑚 𝑝𝑎𝑟ê𝑛𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑧 𝑡𝑜𝑑𝑎 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 
 
 
(2³)2 = 23.2 = 26 ≠ 23
2
= 23.3 = 29 
 
 
PRODUTO DE BASES DIFERENTES COM MESMO 
EXPOENTE 
 
1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎 
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚. 
 
 
23. 33 = (2.3)3 = (6)3 = 6.6.6 = 216 
 
182 = (2.3.3)2 = 22. 32. 33 = 4.9.9 = 4.81 = 324 
 
 
DIVISÃO DE BASES DIFERENTES COM MESMO 
EXPOENTE 
 
1° 𝑏𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑎𝑧𝑒𝑟 𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑒 𝑎 
𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎𝑟 𝑎𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚. 
 
 
 
4³
2³
= (
4
2
)
3
= 23 = 8 
 
 
EXPOENTE DE BASE ZERO 
 
1° 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜𝑠𝑜, 𝑎𝑛𝑎𝑙𝑖𝑠𝑒 𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠. 
 
 
 
032 = 0 
0−13 =
013
013
=
0
0
→ 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 
00 → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
 
 
8 
 
Exercícios Propostos – POTENCIAÇÃO 1 
 
1. Calcular: 
 
a) (−3)2 = 
b) −3² = 
c) (−
1
3
) ² = 
d) 
−1²
3²
= 
e) −24 = 
f) (−2)4 = 
 
2. Calcular: 
 
a) (−3)3 = 
b) −3³ = 
c) (−
1
3
) ³ = 
d) 
−1³
3³
= 
e) −25 = 
f) (−2)5 = 
 
 
3. Calcular: 
 
a) (−3)−2 = 
b) −3−3 = 
c) (−
1
3
)
−2
= 
d) 
−1−3
(3)−3
= 
e) −2−3 = 
f) (−2)−3 =
4. Calcular: 
 
a) (−3)
1
3 = 
b) −3
1
3 = 
c) (−
1
3
)
1
3
= 
d) 
−1
1
3
(3)
1
3
= 
e) −2
1
5 = 
f) (−2)
1
5 = 
 
7. Calcular: 
 
a) 52. 5³ = 
b) 32. 3−2. 33 = 
c) 4
1
2 . 23 = 
d) 33. 9−2 = 
e) 3
1
3. 92 = 
f) 42. 43. 4−7 = 
 
5. Calcular: 
 
a) 
42
42
34
32
= 
b) 
33
33
53
55
= 
c) 
53
54
43
45
= 
d) 
6−2
63
34
3−1
23
24
= 
e) 
4−4
43
37
35
45
42
= 
f) 
24
2−2
54
53
4
1
2
42
= 
 
8. Calcular: 
 
a) 23
2
= 
b) 3(2)
−2
= 
c) (−3)2
(−2)2
= 
d) 4−2
(2)3
= 
e) 23
−
1
2 . (2)4
−
1
3 = 
f) 43
22
. (−4)−4
−3
= 
6. Calcular: 
 
a) 22. 32 = 
b) 24. 34 = 
c) 43. 53 = 
d) 35. 45. 55 = 
e) 44. 54. 44. 24 = 
f) 33. 43. 53. 73 = 
 
 
9. Calcular: 
 
a) 22 ÷ 32 = 
b) 24 ÷ 34 = 
c) 43 ÷ 53 = 
d) 35 ÷ 45. 55 = 
e) 44 ÷ 54 ÷ 44 ÷ 24 = 
f) 33 ÷ 43 ÷ 53 ÷ 73 =
 
Exercícios Propostos – POTENCIAÇÃO 2 
 
1. Depois de simplificar 
2𝑛+4−2.2𝑛
2.2𝑛+3
 encontramos: 
 
a) 2𝑛+1 −
1
8
 b) −2𝑛+1 c) 1 − 2𝑛 d) 
7
8
 e) n.d.a. 
 
2. Se 2𝑥 + 2−𝑥 = 3, o valor de 8𝑥 + 8−𝑥 é: 
 
a) 12 b) 18 c) 21 d) 24 e) 27 
 
3. Sabendo que (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 e que 
𝐴 =
3𝑥+3−𝑥
2
 e 𝐵 =
3𝑥−3−𝑥
2
 , então, para x real, 𝐴2 − 𝐵2 
vale: 
 
a) 0 b) 1 c) -1 d) -2 e) 2 
 
4. Calcule: 
2
3
. 8
2
3 −
2
3
. 8−
2
3 é igual a: 
 
a) 2,5 b) 0 c) 2³ d) 1 e) -1 
 
5. O valor da expressão: (
1
4
)
0,5
: (
1
32
)
0,2
 é: 
 
a) 0,125 b) 0,25 c) 0,5 d) 0,75 e) 1 
6. O valor da expressão: 
(
27.10−6
64
)
1
3
[
(162+12²).5²)
(32+4²).10
]
−2 é: 
 
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18 
 
 
7. Se 53a = 64, o valor de 5-a é: 
a) –1/4 
b) 1/40 
c) 1/20 
d) 1/8 
e) ¼ 
 
8. (FUVEST) O valor de (0,2)3 + (0,16)2 é: 
 
a) 0,0264 
b) 0,0336 
c) 0,1056 
d) 0,2568 
e) 0,6256 
 
GABARITO: 1.D 2.B 3.B 4.A 5.E 6.B 7.E 8.B 
 
9 
 
 
RADICIAÇÃO (PROPRIEDADES) 
 
 
DEFINIÇÃO 
 
Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, 
sendo assim, ela é utilizada para representar, de maneira diferente, 
uma potência com expoente fracionário. 
 
 
√23
4
= 2
3
4 
 
√5 = 5
1
2 → √𝑎𝑚
𝑛
= 𝑎
𝑚
𝑛 
 
 
DIFERENÇA ENTRE ÍNDICE PAR E ÍMPAR 
 
O índice de uma raiz 𝑛 (𝑛 ∈ 𝐼𝑁∗)quando par, gera um 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑐𝑜𝑚 
um radicando 𝑎 também ∈ 𝐼𝑅+. Quando ímpar o radicando 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 
gerando dessa forma um 𝑏 ∈ 𝐼𝑅. 
 
Observe os exemplos → 
 
Quando par: 
 
√64
2
= 8 𝑒 √−2 = ∄ 
 
Quando ímpar: 
 
√27
3
= 3 𝑒 √−27
3
= −3 
 
 
ÍNDICE DO RADICAL = AO GRAU DO RADICANDO 
 
Se o radical possuir índice igual ao expoente do radicando, a raiz 
será igual à base do radicando. 
 
√𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁
∗. 
√𝑎𝑛
𝑛
= 𝑎, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁∗. 
 
 
√423
46
= √(22)23
46
= √246
46
= 2 
 
√−9−7
7
= √(−
1
9
)
77
= −
1
9
 
 
 
PRODUTO DOS ÍNDICES 
 
A raiz não sofre alteração se multiplicarmos ou dividirmos o índice 
do radical e o expoente do radicando por um mesmo valor. 
 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚.𝑝
𝑛.𝑝
, 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 0, 𝑛, 𝑚 𝑒 𝑝 ∈ 𝐼𝑁 − {0,1} 
𝑝 é 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑑𝑒 𝑛 𝑒 𝑚. 
 
 
√56
4
→ √56.2
4.2
= √512
8
 
 
√2
2
+ √4
4
= √2²
2.2
+ √4
4
= √4
4
+√4
4
= 2√4
4
 
 
O quociente também é valido: 
 
√56
4
→ √56÷2
4÷2
= √53
2
= 52. √5
2
 
 
 
PRODUTO DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE 
 
𝐴 𝑟𝑎𝑖𝑧 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 
𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠. 
 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁
∗. 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
= √𝑎. 𝑏
𝑛
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁∗. 
 
 
√2
3
. √4
3
= √8
3
= 2 
 
√5
4
. √125
4
= √5.5³
4
= √54
4
= 5 
 
√3
3
. √−9
3
= √(3). (−9)
3
= √−27
3
= −3 
 
QUOCIENTE DE RADICAIS DE MESMO ÍNDICE 
 
entre as raízes n-ésimas. 
 
A raiz n − ésima de um quociente (divisão)de a por b é igual ao 
𝑞𝑢𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠. 
 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅+
∗ 𝑠𝑒 𝑛 𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁∗ 
√
𝑎
𝑏
𝑛
=
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 , 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅
∗ 𝑠𝑒 𝑛 í𝑚𝑝𝑎𝑟 ∈ 𝐼𝑁∗ 
 
 
√
8
27
3
→
√8
3
√27
3 =
2
3
 
 
√
81
256
4
→
√81
4
√256
4
=
3
4
 
 
√
1
4
2
→
√1
2
√4
=
1
2
 
 
RAIZ M-ÉSIMA DE UMA RAIZ N-ÉSIMA 
 
Multiplicamos os índices entre si mantendo intacto o radical interno. 
 
√ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅+ 𝑠𝑒 𝑛. 𝑚 (𝑝𝑎𝑟) ∈ 𝐼𝑁
∗ 
√ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
, 𝑐𝑜𝑚 𝑎 ∈ 𝐼𝑅 𝑠𝑒 𝑛. 𝑚 (í𝑚𝑝𝑎𝑟) ∈ 𝐼𝑁∗ 
 
 
√√16
22
= √16
2.2
= √16
4
= √24
4
= 2 
√√64
23
= √64
3.2
= √64
6
= √26
6
= 2 
√√−512
3
3
= √−512
3.3
= √(−2)9
9
= −2 
10 
 
Exercícios Propostos – RADICIAÇÃO 1 
 
1. Calcular: 
 
a) √64 = 
b)√8
2
= 
c) √256
4
= 
d) √(−64)
6
= 
e) √324
2
= 
f) √529
2
= 
 
2. Calcular: 
 
a) √−64
3
= 
b) √8
3
= 
c) √−243
5
= 
d) √−512
3
= 
e) √1024
5
= 
f) √−343
3
= 
 
3. Calcular: 
 
a) √44
4
= 
b) √252
2
= 
c) √(−3)6
3
= 
d) √43
6
= 
e) √499
6
= 
f) √(−8)8
4
=
4. Calcular: 
 
a) √125
3
. √64
3
= 
b) √7
4
. √343
4
= 
c) √9
5
. √16
5
. √25
5
= 
d) √4
6
. √4
6
. √4
6
= 
e) √4
5
. √5
5
. √50
5
. √100
5
= 
f) √3
3
. √9
3
. √27
3
. √64
6
= 
 
 
 
 
5. Calcular: 
 
a) √125
3
÷ √64
3
= 
b) √7
4
÷ √343
4
= 
c) √9
5
÷ √16
5
÷ √25
5
= 
d) √4
6
÷ √4
6
÷ √4
6
= 
e) √4
5
÷ √5
5
÷ √50
5
÷ √100
5
= 
f) √3
3
÷ √9
3
÷ √27
3
÷ √64
6
= 
 
 
 
 
6. Calcular: 
 
a) √√16
22
= 
b) √√(−512)
33
= 
c) √√√6561
22
2
= 
d) √13 + √7 + √2 + √4
22
22
= 
e) √√15625
32
= 
f) √√256
24
= 
 
Exercícios Propostos – RADICIAÇÃO 2 
 
1. O valor de (√√2√2
23
)
8
é: 
 
a) 2√22
3
 b) 26 √22
3
 c) 2 d) 4 e) 8 
 
2. O número √18 − √8 − √2 
 
a) √8 b) 4 c) 0 d) √10 − √2 e) √18 − √6 
 
3. O quociente (7√3 − 5√48 + 2√192) ∶ 3√3 
é igual a: 
 
a) 3√3 b) 2√3 c) 
√3
3
 d) 2 e) 1 
 
4. Subtraindo-se 
5
8−3√7
 𝑑𝑒 
12
√7+3
 obtém-se: 
 
a) 81 − 4√7 b) 22 + 21√7 c) −22 − 21√7 d) 
41√7 − 81 
 
5. A soma √𝑎
3
+ √𝑎
4
 é igual a: 
 
a) √𝑎
7
 b) √𝑎7
12
 c) √2𝑎
7
 d) √𝑎3 + 𝑎4
12
 
 
 
6. A expressão 
√4
3
−1
√2
3
−1
 é igual a: 
 
a) 1 + √2
3
 b) 1 − √2
3
 d) 1 + √4
3
 e) 1 − √4
3
 
 
7. Qual é o valor da expressão 
√3+1
√3−1
+
√3−1
√3+1
 
 
a) √3 b) 4 c) 3 d) 2 e) √2 
 
8. Assinale a alternativa verdadeira: 
 
a) √𝑎 + 𝑏
𝑛
= 𝑎
1
𝑛 + 𝑏
1
𝑛, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0. 
b) (𝑎. 𝑏𝑚)𝑝 = 𝑎. 𝑏𝑚.𝑝, 𝑎 ≠ 1 
c) 𝑎𝑚 + 𝑎−𝑚 = 1, 𝑎 > 0 
d)𝑎𝑛. 𝑏𝑚 = (𝑎. 𝑏)𝑛+𝑚, 𝑎 ≠ 1, 𝑏 ≠ 1 
e) √ √𝑎
𝑛𝑚
= √𝑎
𝑚.𝑛
, 𝑎 > 0 
 
9. Se 𝐴 =
1
√10
3 , 𝐵 =
1
√10
2 , 𝐶 =
1
3
 𝑒 𝐷 =
1
𝜋
 
 
a) 𝐷 < 𝐵 < 𝐶 < 𝐴 
b) 𝐵 < 𝐷 < 𝐶 < 𝐴 
c) 𝐵 < 𝐴 < 𝐷 < 𝐶 
d) 𝐵 < 𝐴 < 𝐶 < 𝐷 
e) 𝐴 < 𝐶 < 𝐷 < 𝐵 
 
GABARITO: 1.D 2.C 3.E 4.C 5.E 6.A 7.B 8.E 9.B 
 
 
11 
 
 
PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
 
DEFINIÇÃO 
 
Os produtos notáveis possuem fórmulas gerais, 
que, por sua vez, são a simplificação de produtos 
algébricos. 
 
 
 
(𝑎 + 2). (𝑎 + 2) = (𝑎 + 2)2 
(𝑏 − 3). (𝑏 − 3) = (𝑏 − 3)2 
 
 
 
QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS 
 
Quadrado: 2 
Soma de dois termos: 𝑎 + 𝑏 
 
Logo, (𝑎 + 𝑏)2 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏). (𝑎 + 𝑏) 
𝑎2 + 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 + 𝑏2 
 
𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 
 
 
 
QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS 
 
Quadrado: 2 
Diferença de dois termos: 𝑎 − 𝑏 
 
Logo, (𝑎 − 𝑏)2 
 
 
 
(𝑎 − 𝑏)2 = (𝑎 − 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 
𝑎2 − 𝑎. 𝑏 − 𝑏. 𝑎 + 𝑏2 
 
𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 
 
 
PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS 
TERMOS 
 
Soma de dois termos: 𝑎 + 𝑏 
Diferença de dois termos: 𝑎 − 𝑏 
 
Logo, (𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏). (𝑎 − 𝑏) = 
𝑎2 − 𝑎. 𝑏 + 𝑏. 𝑎 − 𝑏2 = 
 
𝑎2 − 𝑏2 
 
QUADRADO DA SOMA ENTRE 3 TERMOS 
 
Quadrado: 2 
Soma de 3 termos: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 
 
Logo, (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 
 
 
 
(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐). (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) 
𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑎 + 𝑏2 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 + 𝑐𝑏 + 𝑐2 
 
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2. 𝑎𝑏 + 2. 𝑎𝑐 + 2. 𝑏𝑐 
 
TRIÂNGULO DE PASCAL 
 
Eis o motivo de não termos visto o cubo da 
diferença ou mesmo o cubo da soma ou até mesmo 
graus maiores que 3. Como assim? Bom, aqui será 
visto um método bastante interessante para 
resolução de qualquer produto notável. 
 
Note ao lado o famoso Triângulo de Pascal. 
 
# Inícios e finais de linhas, sempre terminado pelo 
algarismo 1. 
 
# Como usar o triângulo? Em sala! 
 
 
1 → (𝑎 + 𝑏)0 
1 1 → (𝑎 + 𝑏)1 
1 2 1 → (𝑎 + 𝑏)2 
1 3 3 1 → (𝑎 + 𝑏)3 
1 4 6 4 1 → (𝑎 + 𝑏)4 
1 5 10 10 5 1 → (𝑎 + 𝑏)5 
1 6 15 20 15 6 1 → (𝑎 + 𝑏)6 
… → (𝑎 + 𝑏)𝑛 
 
(𝑎 + 𝑏)5 = 𝑎5 + 5. 𝑎4. 𝑏1 + 10. 𝑎3. 𝑏2 + 10. 𝑎2. 𝑏3
+ 5. 𝑎1. 𝑏4 + 𝑏5 
 
12 
 
Exercícios Propostos – PRODUTOS NOTÁVEIS 
 
1. Qual o valor de m de modo que o 
desenvolvimento de (𝑥𝑚 + 𝑦)² seja um 
polinômio de 10º grau em x: 
 
a) 10 b) 5 c) 3 d) 2 e) 6 
 
2. Qual deve ser o valor de m de modo que 
𝑥4 + 4𝑥² + 𝑚 seja o quadrado de uma soma em 
que 4𝑥² é o duplo produto dos termos desta 
soma? 
 
a) 4 b) 2 c) 4x³ d) 2x e) 4x 
 
3. Sabendo-se que 9𝑥4 + 𝐵𝑥 + 4𝑥² é um 
trinômio quadrado perfeito, então B pode ser 
igual a: 
 
a) −12x³ b) 12x³ c) −12x² d) 0 e) 12x 
 
4. No desenvolvimento de (2x + A)² = B − 
12xy² + C, temos: 
 
a) A = 3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦9 
b) A = −3y³ , B = −4 x² e C = 9𝑦6 
c) A = 3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦6 
d) A = −3y³ , B = 4x² e C = 9𝑦6 
 
5. Que termo devemos adicionar à expressão 
4𝑥8 − 6𝑥4𝑦 + 9𝑦2 para que ela represente o 
quadrado de uma soma? 
 
a) 6𝑥4𝑦 b) 12𝑥4𝑦 c) 18𝑥4𝑦 d) 24𝑥4𝑦 
 
6. Para que a igualdade (x + 3b²)² = 16𝑎6 +
𝑦 + 𝑧 se verifique, podemos ter: 
 
a) x = 4𝑎6 , y = 12𝑎3𝑏² e z = 6𝑏4 
b) x = 4𝑎3 , y = 12𝑎3𝑏² e z = 9𝑏4 
c) x = 4𝑎3, y = 24𝑎3𝑏² e z = 6𝑏4 
d) x = 4𝑎3 , y = 9𝑏4 e z = 24𝑎3𝑏² 
 
7. As expressões 𝐴 = 36𝑥10 + 36𝑥5, 𝐵 =
𝑥6
4
−
6𝑥3𝑒 𝐶 = 25𝑥2𝑦
14
+ 20𝑥𝑦7 tornam-se trinômios 
quadrados perfeitos se a eles adicionarmos, 
respectivamente, os números a, b e c. Então 
podemos afirmar que a soma a + b + c é: 
 
a) Zero 
b) Um número primo 
c) Um número par 
d) Quadrado de um número natural 
8. Sabendo-se que 10947836² = x² + y² , o 
valor de 10947839 · 10947833 é: 
a) x + y b) x² − y² c) x² + y² − 9 d) √𝑥2 + 𝑦2 
 
9. A soma dos valores absolutos dos 
algarismos do produto 1000100 × 999900 
vale: 
 
a) 2 b) 9 c) 38 d) mais do que 40 
 
10. Se a² + b² = x e ab = y, então (a + b)² 
é igual a: 
 
a) x² b) x + y c) x − 2y d) x² + 2y e) x + 2y 
 
11. Se x + 1/x = 3, então o valor de x³ + 
1/x³ é: 
 
a) 9 b) 18 c) 27 d) 54 
 
12. Se a + 1/a = 5, o valor de a² + 1/a² é: 
 
a) 27 b) 25 c) 23 d) 21 
 
13. Se m² + 1/m² = 18, então o valor de m 
– 1/m é: 
 
a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 
 
14. Sabendo que a² + b² = 13 e que 
2
3
ab = 
−4, calcule o valor de (a + b)². 
 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
15. Marque a opçãoFALSA: 
 
a) (a + b)² = a² + 2ab + b² 
b) a² − b² = (a − b)(a + b) 
c) a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) 
d) a² + b² = (a + b)² − 2ab 
e) a³ + b³ = (a + b)(a² − 2ab + b²) 
 
16. Efetuando-se (579865)² - (579863)², 
obtém-se 
a) 4 
b) 2 319 456 
c) 2 319 448 
d) 2 086 246 
e) 1 159 728 
 
GABARITO: 1.B 2.A 3.B 4.D 5.C 6.D 7.D 8.C 9.D 10.E 11.B 12.C 13. C 14.A 15.E 16.B