002 - Matematica-1

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MATEMÁTICA
Didatismo e Conhecimento 1
MATEMÁTICA
CONJUNTOS, REPRESENTAÇÃO GRÁFICA 
E ALGÉBRICA DE CONJUNTOS; TIPOS DE 
CONJUNTOS; RELAÇÕES DE 
PERTINÊNCIA, INCLUSÃO, IGUALDADE 
E DESIGUALDADE ENTRE CONJUNTOS, 
SUBCONJUNTOS; UNIÃO, INTERSECÇÃO E 
DIFERENÇA DE CONJUNTOS; 
COMPLEMENTAR DE UM CONJUNTO. 
OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS.
Número de Elementos da União e da Intersecção de Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de 
elementos.
Note que ao subtrairmos os elementos comuns 
evitamos que eles sejam contados duas vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para 
três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.
Observe o diagrama e comprove.
Conjuntos
Conjuntos Primitivos 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são 
primitivos, ou seja, não são definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção 
de livros são todos exemplos de conjuntos.
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. 
Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou 
um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser 
elemento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de 
retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto 
(de pontos).
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, 
B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, 
..., embora não exista essa obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por 
letras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por 
letras minúsculas.
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que 
nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x∈A
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x
∉A
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos 
entre chaves, separando os por vírgula.
Exemplos
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 
6, 7 e 8.
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b 
e m.
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 
3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma 
propriedade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este 
fica bem determinado.
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um 
conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a 
propriedade P é indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda 
:, podemos indicar o mesmo conjunto por:
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Didatismo e Conhecimento 2
MATEMÁTICA
Exemplos 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3}
- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}
Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler 
consiste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal 
forma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.
Exemplos
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Representa-
se pela letra do alfabeto norueguês 0/ ou, simplesmente { }.
Simbolicamente: ∀ x, x∉ 0/
Exemplos
- 0/ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
- 0/ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}
- 0/ = {x | x ≠ x}
Subconjunto
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também 
elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a 
parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B. 
Simbolicamente: A⊂B⇔ (∀ x)(x∈∀ ⇒ x∈B)
Portanto, A ⊄B significa que A não é um subconjunto de B 
ou A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.
Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, 
um elemento de A que não é elemento de B. 
Simbolicamente: A⊄B⇔ (∃ x)(x∈A e x∉B)
Exemplos
- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}
- {2, 3, 4}⊄ {2, 4}, pois 3 ∉{2, 4}
- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∈{5, 6} e 6 ∈{5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento 
entre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂ ).
A relação de pertinência (∈) estabelece um relacionamento 
entre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da 
relação de inclusão.
Simbolicamente
x∈A ⇔ {x}⊂A
x∉A ⇔ {x}⊄A
Igualdade
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é 
também subconjunto de A. 
Simbolicamente: A = B ⇔ A⊂B e B⊂A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, 
segundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente 
se, possuem os mesmos elementos.
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B 
se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto 
de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔ A⊄B ou B⊄A
Exemplos
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2}⊂ {2,4}. Isto 
nos mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve 
ser levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto 
fica determinado pelos elementos que o mesmo possui e não pela 
ordem em que esses elementos são descritos.
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ 
{2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é 
desnecessária.
- {a,a} = {a}
- {a,b = {a} ⇔ a= b
- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
Conjunto das partes
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo 
conjunto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A 
e é indicado por P(A). 
Simbolicamente: P(A)={X | X⊂ A} ou X⊂ P(A) ⇔ X⊂
A
Exemplos
a) = {2, 4, 6}
P(A) = { 0/ , {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}
b) = {3,5}
P(B) = { 0/ , {3}, {5}, B}
c) = {8} 
P(C) = { 0/ , C}
d) = 0/
P(D) = { 0/ }
Didatismo e Conhecimento 3
MATEMÁTICA
Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e 0/ o conjunto vazio. Valem as 
seguintes propriedades
0/ ≠(0/ ) 0/ ∉ 0/ 0/ ⊂ 0/ 0/ ∈{ 0/ }
0/ ⊂A⇔ 0/ ∈P(A) A⊂A⇔ A∈P(A)
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, 
portanto, P(A) possui 2n elementos.
União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-se 
por A∪ B. 
Simbolicamente: A∪ B = {X | X∈A ou X∈B}
Exemplos
- {2,3}∪ {4,5,6}={2,3,4,5,6}
- {2,3,4}∪ {3,4,5}={2,3,4,5}
- {2,3}∪ {1,2,3,4}={1,2,3,4}
- {a,b}∪ f {a,b}
Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. 
Representa-se por A∩ B. Simbolicamente: A∩ B = {X | X∈A 
ou X∈B}
Exemplos
- {2,3,4}∩ {3,5}={3}
- {1,2,3}∩ {2,3,4}={2,3}
- {2,3}∩ {1,2,3,5}={2,3}
- {2,4}∩ {3,5,7}=f
Observação: Se A∩ B=f , dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos.
Subtração
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado 
por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Representa-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∈A e 
X∉B}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto 
complementar de B em relação a A, representado por CAB. 
Simbolicamente: CAB = A - B{X | X∈A e X∉B}
Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
 CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =f
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
 CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
 CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}
Observações: Alguns autores preferemutilizar o conceito de 
completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂A.
- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar 
de B em relação a A. Simbolicamente: B⊂A ⇔ B = A – B = 
CAB`
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} A⇒ = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 } B⇒ = {0, 1, 2}
c) C = f C⇒ = S
Número de elementos de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, 
A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos 
temos:
n(A∪ B)=n(A)+n(B)-n(A∩ B)
A∩ B=f ⇒ n(A∪ B)=n(A)+n(B)
n(A -B)=n(A)-n(A ∩ B)
B⊂A⇒ n(A-B)=n(A)-n(B)
Didatismo e Conhecimento 4
MATEMÁTICA
Exercícios
1. Assinale a alternativa a Falsa:
a) f ⊂{3}
b)(3) ⊂ {3}
c)f ∉ {3}
d)3∈{3}
e)3={3}
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique 
as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 2 ∈ A 
b) (2) ∈A
c) 3∈A 
d) (3) ∈A
e) 4∈A
3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos 
(partes) possuem o conjunto A?
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, 
quantos elementos possui o conjunto A?
5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e 
C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:
a) A∪ B 
b) A∩ B
c) A∪ C 
d) A∩ C
6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. 
Determine o conjunto X de tal forma que: X∩ A=f e X∪ A = S.
7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e A∪
X={2,3,4}, determine o conjunto X.
8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número 
de elementos de A∩ (B∪ C), sabendo-se:
a) A∩ B tem 29 elementos
b) A∩ C tem 10 elementos
c) A∩ B tem 7 elementos.
9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 
13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?
10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa 
que:
- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- Quando chove de manhã não chove à tarde;
- Houve 5 tardes sem chuva;
- Houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
Respostas
1) Resposta “E”.
Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida 
pela relação de pertinência (∈) e não pela relação de igualdade 
(=). Assim sendo, 3∈{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, 
∀ x.
2) Solução:
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
3) Resposta “32”.
Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então 
A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 
elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.
4) Resposta “10”.
Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 
2k é o número de subconjuntos de A.
Assim sendo: 2k=1024⇔ 2k=210⇔ k=10.
5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do 
diagrama de Venn-Euler, temos: 
a) 
A∪ B={1,3,4,5,6,7}
b)
A∩ B={3,4}
c)
A∪ C={1,3,4,5,6,8}
Didatismo e Conhecimento 5
MATEMÁTICA
d)
A∩ C={4,6}
6) Resposta “X={1;3;5}”.
Solução: Como X∩ A=f e X∪ A=S, então X= A
=S-A=CsA ⇒ X={1;3;5}
7) Resposta “X = {2;3;4}
Solução: Como A⊂X, então A∪ X = X = {2;3;4}.
8) Resposta “A”.
Solução: De acordo com o enunciado, temos:
n(A∩ B∩ C) = 7
n(A∩ B) = a + 7 = 26⇒ a = 19
n(A∩ C) = b + 7 = 10⇒ b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A∩ (B∪ C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3
Logo: n[A∩ (B∪ C)] = 29.
9) Solução:
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13
D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y
De acordo com o enunciado temos:



=⇔=+=+=∪
=⇔=+=+=∪
15249)()()(
33429)()()(
xxBnAnDAn
yyDnBnDBn
Assim sendo
a) O número total de crianças da escola é: 
703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn
703313915)()()()()( =+++=+++=∪∪∪ DnCnBnAnDCBAn
b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é: 
5733915)()()()]()[( =++=++=∪∪∪ DnBnAnDBBAn
10) Resposta “C”.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o 
conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os 
conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:
n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à 
tarde)
Daí:
n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0
Podemos escrever também:
n(M’) + n(T’) = 5 + 6 = 11
Temos então o seguinte sistema:
n(M’) + n(T’) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M’) + n(T) + n(T’) = 11 + 7 = 18
Observe que n(M) + n(M’) = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T’) = total dos dias de férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.
Didatismo e Conhecimento 6
MATEMÁTICA
NÚMEROS NATURAIS. OPERAÇÕES COM 
NÚMEROS NATURAIS E SUAS 
PROPRIEDADES: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO. 
O conjunto dos números naturais é representado pela letra 
maiúscula N e estes números são construídos com os algarismos: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como 
algarismos indo-arábicos. No século VII, os árabes invadiram a 
Índia, difundindo o seu sistema numérico.
Embora o zero não seja um número natural no sentido que 
tenha sido proveniente de objetos de contagens naturais, iremos 
considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que os números naturais. Na 
verdade, o zero foi criado pelos hindus na montagem do sistema 
posicional de numeração para suprir a deficiência de algo nulo. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com 
o número zero e escreveremos este conjunto como: N = { 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, ...}
Representaremos o conjunto dos números naturais com a letra 
N. As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem 
fim. N é um conjunto com infinitos números.
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto 
será representado por: N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}
A construção dos Números Naturais
- Todo número natural dado tem um sucessor (número que 
vem depois do número dado), considerando também o zero.
Exemplos: Seja m um número natural.
a) O sucessor de m é m+1.
b) O sucessor de 0 é 1.
c) O sucessor de 1 é 2.
d) O sucessor de 19 é 20.
- Se um número natural é sucessor de outro, então os dois 
números juntos são chamados números consecutivos.
Exemplos:
a) 1 e 2 são números consecutivos.
b) 5 e 6 são números consecutivos.
c) 50 e 51 são números consecutivos.
- Vários números formam uma coleção de números naturais 
consecutivos se o segundo é sucessor do primeiro, o terceiro 
é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim 
sucessivamente.
Exemplos:
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos.
b) 5, 6 e 7 são consecutivos.
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos.
- Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um 
antecessor (número que vem antes do número dado).
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero.
a) O antecessor do número m é m-1.
b) O antecessor de 2 é 1.
c) O antecessor de 56 é 55.
d) O antecessor de 10 é 9.
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais pares. Embora uma sequência real seja outro objeto 
matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos 
a denominação sequência dos números naturais pares para 
representar o conjunto dos números naturais pares: P = { 0, 2, 4, 
6, 8, 10, 12, ...}
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números 
naturais ímpares, às vezes também chamados, a sequência dos 
números ímpares. I = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...}
Igualdade e Desigualdades
Diremos que um conjunto A é igual a um conjunto B se, e 
somente se, o conjunto A está contido no conjunto B e o conjunto 
B está contido no conjunto A. Quando a condição acima for 
satisfeita,escreveremos A = B (lê-se: A é igual a B) e quando não 
for satisfeita denotaremos tal fato por: A ≠ B (lê-se: A é diferente 
de B). Na definição de igualdade de conjuntos, vemos que não é 
importante a ordem dos elementos no conjunto.
Exemplo com igualdade: No desenho, em anexo, observamos 
que os elementos do conjunto A são os mesmos elementos do 
conjunto B. Neste caso, A = B.
Consideraremos agora uma situação em que os elementos dos 
conjuntos A e B serão distintos.
Sejam A = {a,b,c,d} e B = {1,2,3,d}. Nem todos os elementos 
do conjunto A estão no conjunto B e nem todos os elementos do 
conjunto B estão no conjunto A. Também não podemos afirmar 
que um conjunto é maior do que o outro conjunto. Neste caso, 
afirmamos que o conjunto A é diferente do conjunto B.
Operações com Números Naturais
Na sequência, estudaremos as duas principais operações 
possíveis no conjunto dos números naturais. Praticamente, toda a 
Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e 
multiplicação.
A adição de números naturais
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por 
finalidade reunir em um só número, todas as unidades de dois ou 
mais números. Antes de surgir os algarismos indo-arábicos, as 
adições podiam ser realizadas por meio de tábuas de calcular, com 
o auxílio de pedras ou por meio de ábacos.
Didatismo e Conhecimento 7
MATEMÁTICA
Propriedades da Adição
- Fechamento: A adição no conjunto dos números naturais 
é fechada, pois a soma de dois números naturais é ainda um 
número natural. O fato que a operação de adição é fechada em N 
é conhecido na literatura do assunto como: A adição é uma lei de 
composição interna no conjunto N.
- Associativa: A adição no conjunto dos números naturais é 
associativa, pois na adição de três ou mais parcelas de números 
naturais quaisquer é possível associar as parcelas de quaisquer 
modos, ou seja, com três números naturais, somando o primeiro 
com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, 
obteremos um resultado que é igual à soma do primeiro com a 
soma do segundo e o terceiro. (A + B) + C = A + (B + C)
- Elemento neutro: No conjunto dos números naturais, existe 
o elemento neutro que é o zero, pois tomando um número natural 
qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado será 
o próprio número natural.
- Comutativa: No conjunto dos números naturais, a adição 
é comutativa, pois a ordem das parcelas não altera a soma, ou 
seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos 
o mesmo resultado que se somando a segunda parcela com a 
primeira parcela.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro 
número denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes quantas 
são as unidades do segundo número denominadas multiplicador.
Exemplo
4 vezes 9 é somar o número 9 quatro vezes: 4 x 9 = 9 + 9 + 9 
+ 9 = 36
O resultado da multiplicação é denominado produto e os 
números dados que geraram o produto, são chamados fatores. 
Usamos o sinal × ou · ou x, para representar a multiplicação.
Propriedades da multiplicação
- Fechamento: A multiplicação é fechada no conjunto N 
dos números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais 
números naturais, o resultado estará em N. O fato que a operação de 
multiplicação é fechada em N é conhecido na literatura do assunto 
como: A multiplicação é uma lei de composição interna no conjunto 
N.
- Associativa: Na multiplicação, podemos associar 3 ou mais 
fatores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro 
fator com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro 
número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o 
terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo. (m . n) . p = m .(n 
. p) → (3 . 4) . 5 = 3 . (4 . 5) = 60
- Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais existe um 
elemento neutro para a multiplicação que é o 1. Qualquer que seja 
o número natural n, tem-se que: 1 . n = n . 1 = n → 1 . 7 = 7 . 1 = 7
- Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais 
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, 
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos 
o mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo 
primeiro elemento. m . n = n . m → 3 . 4 = 4 . 3 = 12
Propriedade Distributiva
Multiplicando um número natural pela soma de dois números 
naturais, é o mesmo que multiplicar o fator, por cada uma das 
parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos. m . (p + q) = m 
. p + m . q → 6 x (5 + 3) = 6 x 5 + 6 x 3 = 30 + 18 = 48
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber 
quantas vezes o segundo está contido no primeiro. O primeiro 
número que é o maior é denominado dividendo e o outro número 
que é menor é o divisor. O resultado da divisão é chamado 
quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente obteremos 
o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, 
pois nem sempre é possível dividir um número natural por outro 
número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata.
Relações essenciais numa divisão de números naturais
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve 
ser menor do que o dividendo. 35 : 7 = 5
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o 
produto do divisor pelo quociente. 35 = 5 x 7
- A divisão de um número natural n por zero não é possível 
pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, então poderíamos 
escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não 
é correto! Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é 
dita impossível.
Potenciação de Números Naturais
Para dois números naturais m e n, a expressão mn é um produto 
de n fatores iguais ao número m, ou seja: mn = m . m . m ... m . m 
→ m aparece n vezes
O número que se repete como fator é denominado base que 
neste caso é m. O número de vezes que a base se repete é denominado 
expoente que neste caso é n. O resultado é denominado potência.
Esta operação não passa de uma multiplicação com fatores 
iguais, como por exemplo: 23 = 2 × 2 × 2 = 8 → 43 = 4 × 4 × 4 = 64
Propriedades da Potenciação
- Uma potência cuja base é igual a 1 e o expoente natural é n, 
denotada por 1n, será sempre igual a 1. 
Exemplos:
a- 1n = 1×1×...×1 (n vezes) = 1
b- 13 = 1×1×1 = 1
c- 17 = 1×1×1×1×1×1×1 = 1
- Se n é um número natural não nulo, então temos que no=1. 
Por exemplo:
- (a) nº = 1
- (b) 5º = 1
- (c) 49º = 1
- A potência zero elevado a zero, denotada por 0o, é carente de 
sentido no contexto do Ensino Fundamental. 
Didatismo e Conhecimento 8
MATEMÁTICA
- Qualquer que seja a potência em que a base é o número 
natural n e o expoente é igual a 1, denotada por n1, é igual ao 
próprio n. Por exemplo:
- (a) n¹ = n
- (b) 5¹ = 5
- (c) 64¹ = 64
- Toda potência 10n é o número formado pelo algarismo 1 
seguido de n zeros. 
Exemplos:
a- 103 = 1000
b- 108 = 100.000.000
c- 10o = 1
Exercícios
1. O consecutivo e o antecedente de um número natural n 
serão respectivamente:
2. Se n é par, o consecutivo par de n será? Se n é ímpar, o 
consecutivo ímpar de n será? 
3. Seja o quadrado abaixo em que cada lado mede 3cm. 
Quantos quadradinhos de 1cm² cabem no quadrado?
 3cm
4. Com o mesmo quadrado acima, obter o valor de 3²?
5. De quantos cubinhos de 1cm de lado, isto é, um centímetro 
cúbico, precisaremos para construir um cubo com 3cm de 
comprimento, 3cm de largura e 3cm de altura?
6. Faça a potenciação dos seguintes números:
a) 2³
b) 5³
c) 2²
d) 64
7. Qual é o valor do número natural b, tal que 64 = b × b × b?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é 
divisor de todos os números?
9. Realize a divisão nos seguintes números naturais:
a) 125 : 5
b) 36 : 6
c) 49 : 7
10. Calcule:
a) -8 + 5
b) -5 – 7 
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17)
d) –(-5) + (-10) - 14
Respostas
1) Solução: O antecedente de um número n será n – 1, pois é 
aquele que antecede o n.
Já o consecutivo é n + 1.
2) Solução: Sendo n par, o seu consecutivo serán + 2, e sendo 
impar o consecutivo sendo impar o n será n + 2.
3) Resposta “9 quadradinhos”. 
Solução: Temos 9 quadradinhos, então basta apenas fazermos:
9 x 1 = 9 quadradinhos 
4) Resposta “9”.
Solução: Basta apenas multiplicarmos o 3 duas vezes:
3 x 3 = 9.
5) Resposta “27”.
Solução: Para construirmos um cubo, basta apenas 
multiplicarmos os lados:
3 x 3 x 3 = 27 cubinhos.
6) Solução:
a) 2 x 2 x 2 = 
= 8
b) 5 x 5 x 5 =
= 125
c) 2 x 2 =
= 4
d) 6 x 6 x 6 x 6 =
= 1296
7) Resposta “4”.
Solução: R³[64] = 4, pois 64 = b × b × b, ou seja, 64 = b³. Esta 
é uma propriedade de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O 
número que elevado ao cubo fornece o resultado 64 é o número b 
= 4.
8) Resposta “1”.
Solução: O número 1, pois se dividirmos um número natural n 
por 1 obteremos o próprio n. Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 
3 balas para 1 criança, 5 lápis para 1 estudante.
9) Solução:
a) 125 : 5 =
= 25
b) 36 : 6 =
= 6
c) 49 : 7 = 
= 7
Didatismo e Conhecimento 9
MATEMÁTICA
10) Solução:
a) -8 + 5 = 
= -3
b) -5 – 7 =
= -12
c) –(-10) –(-8) + (-12) –(-17) =
= 10 + 8 – 12 + 17 =
= 35 – 12 =
= 23
d) –(-5) + (-10) – 14 =
= 5 – 10 – 14 =
= 5 – 24 =
= -19
DIVISIBILIDADE; CRITÉRIOS DE 
DIVISIBILIDADE. DIVISORES, FATORES E 
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO.
Sabemos que 30 : 6 = 5, porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que 
multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural b, 
não-nulo, se existir um número natural c, tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6, e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: É obtido 
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais: 
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo, 
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos 
naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o 
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0, 7, 14, 21, 28,...}.
Observações:
- Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
- Todo número natural é múltiplo de 1.
- Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos 
múltiplos.
- O zero é múltiplo de qualquer número natural.
- Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares, 
e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N). Os demais são 
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números 
é 2 k + 1 (k∈ N).
Critérios de divisibilidade: São regras práticas que nos 
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem 
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando 
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. 
Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a 
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3. 
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é 
divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e 
17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4: Um número é divisível por 4 quando 
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por 4. 
Exemplos:
a) 536400 é divisível por 4, pois termina em 00.
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é 
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não 
é divisível por 4.
Divisibilidade por 5: Um número é divisível por 5 quando 
termina em 0 ou 5. 
Exemplos:
a) 35040 é divisível por 5, pois termina em 0.
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é 
divisível por 2 e por 3.
Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 + 
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 (8 + 
0 + 5 + 3 + 0 = 16).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
Divisibilidade por 7: Um número é divisível por 7 quando a 
diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado 
pelos demais algarismos resulta um número divisível por 7 
Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos confe-
rir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que 
dividido por 7 é igual a 5.
Didatismo e Conhecimento 10
MATEMÁTICA
Divisibilidade por 8: Um número é divisível por 8 quando 
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número 
divisível por 8. 
Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos 
formam o número 125, que não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9: Um número é divisível por 9 quando 
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um 
número divisível por 9. 
Exemplos:
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 = 
27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 = 
14 não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10: Um número é divisível por 10 quando 
termina em zero. 
Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
Divisibilidade por 11: Um número é divisível por 11 quando 
a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma 
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por 
11. 
Exemplos:
a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos 
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
 4 3 8 1 3 
 2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos algarismos 
de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é 
divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição 
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
 8 3 4 1 5 7 2 1
 2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição 
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo 
83415721 não é divisível por 11.
Divisibilidade por 12: Um número é divisível por 12 quando 
é divisível por 3 e por 4.
Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 + 
2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4 
(termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8 
+ 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
Divisibilidade por 15: Um número é divisível por 15 quando 
é divisível por 3 e por 5.
Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0 
+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5 
(termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6 
+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
Exercícios
1. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5 
menores que 30.
2. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 8 
compreendidos entre 30 e 50.
3. Qual é o menor número que devemos somar a 36 para obter 
um múltiplo de 7?
4. Como são chamados os múltiplos de 2?
5. Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 
b) 65000 
c) 38036 
d) 24004 
e) 58617
6. Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 7 
maiores que 10 e menores que 20.
7. Alguns automóveis estão estacionados na rua. Se você 
contar as rodas dos automóveis, o resultado pode ser 42? Pode 
ser 72? Por quê?
8. Escreva os 5 primeiro múltiplos de 9.
9. Escreva as 5 primeiros múltiplos comuns de 8 e de 12.
10. Responda sim ou não:
a) 24 é múltiplo de 2? 
b) 52 é múltiplo de 4? 
c) 50 é múltiplo de 8? 
d) 1995 é múltiplo de 133?
Respostas
1) Resposta “0, 5, 10, 15, 20, 25”.
Solução:
5 x0 = 0
5 x 1 = 5
5 x 2 = 10
5 x 3 = 15
5 x 4 = 20
5 x 5 = 25
Didatismo e Conhecimento 11
MATEMÁTICA
2) Resposta “32, 40, 48”.
Solução:
8 x 4 = 32
8 x 5 = 40
8 x 6 = 48
3) Resposta “6”.
Solução: 36 + 6 = 42. Pois, o número 42 é divisível por 7.
4) Resposta “Pares”. 
Os Múltiplos de 2 são chamados de pares: 2 k (k∈N)
5) Resposta “Divisíveis: b, c, d”.
Solução:
a) 23418: Termina em 18, e 18 não é divisível por 4.
b) 65000: Termina em 00, e logo, é divisível por 4.
c) 38036: Termina em 36, portanto é divisível por 4.
d) 24004: Termina em 4, e assim é divisível por 4.
e) 58617: Termina em 17, e 17 não é divisível por 4.
6) Resposta “14”.
Solução:
7 x 2 = 14.
7) Resposta “72”. 
Solução: Sabemos que um automóvel tem 4 rodas. Então, o 
número que contarmos deve ser múltiplo de 4. Logo, 42 não pode 
ser o resultado, pois ele não é múltiplo de 4. Já o 72 pode ser.
8) Resposta “0, 9, 18, 27, 36”.
Solução:
9 x 0 = 0
9 x 1 = 9
9 x 2 = 18
9 x 3 = 27
9 x 4 = 36
9) Resposta “0, 24, 48, 72, 96”.
Solução: Nesse caso todos são os divisores comuns de 8 e 12.
10) Solução:
a) Sim, pois 24 termina em 4, que é um número par
b) Sim, pois se dividirmos 52 por 4, dará um número inteiro.
c) Não, pois se dividirmos 50 por 8, não dará um número 
inteiro.
d) Sim, pois se dividirmos 1995 por 133, dará um número 
inteiro.
NÚMEROS PRIMOS. DECOMPOSIÇÃO EM 
FATORES PRIMOS. 
Um número natural é um número primo quando ele tem 
exatamente dois divisores: o número um e ele mesmo.
Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro 
divisores: e . Uma definição um pouco mais técnica, que 
permite generalizar este conceito para outros conjuntos, é dizer que 
o conjunto dos divisores de p que não são inversíveis não é vazio, 
e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. 
Por definição, 0, 1 e − 1 não são números primos.
Existem infinitos números primos, como demonstrado por 
Euclides por volta de 300 a.C..
A propriedade de ser um primo é chamada “primalidade”, 
e a palavra “primo” também são utilizadas como substantivo ou 
adjetivo. Como “dois” é o único número primo par, o termo “primo 
ímpar” refere-se a todo primo maior do que dois.
Se um número inteiro tem módulo maior que um e não é 
primo, diz-se que é composto. Por convenção, os números 0, 1 e -1 
não são considerados primos nem compostos.
O conceito de número primo é muito importante na teoria 
dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o 
Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer 
número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única 
(desconsiderando a ordem) como um produto de números primos 
(chamados fatores primos): este processo se chama decomposição 
em fatores primos (fatoração).
Os 100 primeiros números primos positivos são: 2, 3, 5, 7, 11, 
13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 
89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 
233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 
311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 
389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 
463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541
Exemplos
1 não é primo pois D(1)={1}
2 é primo pois D(2)={1,2} 
3 é primo pois D(3)={1,3}
5 é primo pois D(5)={1,5}
7 é primo pois D(7)={1,7}
14 não é primo pois D(14)={1,2,7,14}
Observação: 1 não é primo pois tem apenas 1 divisor e todo 
número natural pode ser escrito como o produto de números 
primos, de forma única.
Múltiplos e Divisores
Diz-se que um número natural a é múltiplo de outro natural b, 
se existe um número natural k tal que: 
a = k . b 
Exemplo 1
15 é múltiplo de 5, pois 15 = 3 x 5.
Quando a = k x b, segue que a é múltiplo de b, mas também, 
a é múltiplo de k, como é o caso do número 35 que é múltiplo de 5 
e de 7, pois: 35 = 7 x 5.
Quando a = k x b, então a é múltiplo de b e se conhecemos 
b e queremos obter todos os seus múltiplos, basta fazer k assumir 
todos os números naturais possíveis.
Por exemplo, para obter os múltiplos de 2, isto é, os números 
da forma a = k x 2, k seria substituído por todos os números 
naturais possíveis.
Observação: Um número b é sempre múltiplo dele mesmo. 
a = 1 x b ↔ a = b. 
Didatismo e Conhecimento 12
MATEMÁTICA
Exemplo 2
Basta tomar o mesmo número multiplicado por 1 para obter 
um múltiplo dele próprio: 3 = 1 x 3 
A definição de divisor está relacionada com a de múltiplo. 
Um número natural b é divisor do número natural a, se a é 
múltiplo de b.
Exemplo 3
3 é divisor de 15, pois 15 = 3 x 5, logo 15 é múltiplo de 3 e 
também é múltiplo de 5. 
Um número natural tem uma quantidade finita de divisores. 
Por exemplo, o número 6 poderá ter no máximo 6 divisores, 
pois trabalhando no conjunto dos números naturais não podemos 
dividir 6 por um número maior do que ele. Os divisores naturais 
de 6 são os números 1, 2, 3, 6, o que significa que o número 6 tem 
4 divisores. 
Exercícios
1. Para encontrar os divisores de um número natural a, basta 
saber quais os elementos que, multiplicados entre si, têm por 
resultado o número a. Com base nessa afirmação, encontre o 
conjunto de divisores de cada um dos seguintes números: 25, 32, 
13, 18 e 60.
2. João tinha 20 bolinhas de gude e queria distribuí-las entre 
ele e 3 amigos de modo que cada um ficasse com um número par 
de bolinhas e nenhum deles ficasse com o mesmo número que o 
outro. Com quantas bolinhas ficou cada menino?
3. Seja b um número natural. Sabendo-se que 64 = b × b × b 
obtenha o valor de b.
4. Escreva três números diferentes cujos únicos fatores primos 
são os números 2 e 3.
5. Quantos elementos possuem e como é escrito o conjunto 
dos múltiplos do elemento “o”?
6. De que forma explícita podemos escrever o conjunto de 
todos os múltiplos de um número natural n?
7. Maria possui 3 tias. No aniversário de Maria, ela recebeu 
2 presentes de cada tia. Quantos presentes Maria ganhou no total?
8. Qual o elemento do conjunto dos números naturais que é 
divisor de todos os números?
9. O número 5 é divisor do número 16? Justifique a sua 
resposta.
10. Qual é o menor número primo com dois algarismos?
Respostas
1) Solução:
D(25) = {1, 5, 25}
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
D(13) = {1, 13}
D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D(60) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Encontramos apenas alguns números naturais que, 
multiplicados entre si, têm por resultado 32:
1 x 32 = 32; 2 x 16 = 32; 4 x 8 = 32
8 x 4 = 32; 16 x 2 = 32; 32 x 1 = 32
2) Solução:
Se o primeiro menino ficar com 2 bolinhas, sobrarão 18 
bolinhas para os outros 3 meninos. Se o segundo receber 4, 
sobrarão 14 bolinhas para os outros dois meninos. O terceiro 
menino receberá 6 bolinhas e o quarto receberá 8 bolinhas.
3) Resposta “b = 4”.
Solução:
R3[64] = 4.
Temos que 64 = b b b, ou seja, 64 = b3. Esta é uma propriedade 
de potenciação. A base é b e o expoente é 3. O número que elevado 
ao cubo fornece o resultado 64 é o número b = 4.
4) Resposta “12, 18, 108”.
Solução: A resposta pode ser muito variada. Alguns exemplos 
estão na justificativa abaixo.
Para chegarmos a alguns números que possuem por fatores 
apenas os números 2 e 3 não precisamos escolher um número e 
fatorá-lo. O meio mais rápido de encontrar um número que possui 
por únicos fatores os números 2 e 3 é “criá-lo” multiplicando 2 e 3 
quantas vezes quisermos. 
Exemplos:
2 x 2 x 3 = 12
3 x 3 x 2 = 18
2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 108.
5) Solução:
Possui apenas um elemento e o conjunto de múltiplos de “o” 
é escrito da forma: M(o) = {o}
O conjunto de múltiplos de “o” é chamado de conjunto 
unitário, por que:
M(o) = {ox0, ox1, ox2, ox3, ox4, ox5,...}
M(o) = {o, o, o, o, o,...} = {o}
6) Solução:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, 5n, ...}
Seja N o conjunto dos números naturais: N = {0,1, 2, 3, 4, 5, 
...}
Se n é um número do qual queremos obter os múltiplos, então 
a multiplicação de n por cada elemento de N é da forma:
M(n) = {0, n, 2n, 3n, 4n, ...}
7)Resposta “6 presentes”.
Solução: 
2 x 3 = 6.
Logo, no total, Maria ganhou 6 presentes.
Didatismo e Conhecimento 13
MATEMÁTICA
8) Resposta “número 1”.
Solução:
O número 1.
Se dividirmos um número natural n por 1 obteremos o próprio 
n.
Por exemplo, 2 maçãs para 1 garoto, 3 balas para 1 criança, 5 
lápis para 1 estudante.
9) Resposta “Errado”.
Solução:
Não, porque não existe qualquer número natural que 
multiplicado por 5 seja igual a 16.
10) Resposta “número 11”.
MÁXIMO DIVISOR COMUM E MÍNIMO 
MÚLTIPLO COMUM.
MDC – O máximo divisor comum de dois ou mais números é 
o maior número que é divisor comum de todos os números dados. 
Consideremos:
- o número 18 e os seus divisores naturais:
D+ (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}.
- o número 24 e os seus divisores naturais:
D+ (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}.
Podemos descrever, agora, os divisores comuns a 18 e 24:
D+ (18) D+ (24) = {1, 2, 3, 6}.
Observando os divisores comuns, podemos identificar o maior 
divisor comum dos números 18 e 24, ou seja: MDC (18,24) = 6.
Outra técnica para o cálculo do MDC:
Decomposição em fatores primos
Para obtermos o mdc de dois ou mais números por esse 
processo, procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mdc é o produto dos fatores comuns obtidos, cada um 
deles elevado ao seu menor expoente.
Exemplo
Achar o mdc entre 300 e 504.
300 2 504 2 300 = 22 . 3 . 52
150 2 252 2 504 = 23 . 32 . 7
 75 3 126 2
 25 5 63 3 mdc (300, 504) = 22 . 3 = 4 . 3 = 12
 5 5 21 3
 1 7 7
 1
MMC
O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números é o 
menor número positivo que é múltiplo comum de todos os números 
dados. Consideremos:
- O número 6 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (6) = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, ...}
- O número 8 e os seus múltiplos positivos:
M*+ (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, ...}
Podemos descrever, agora, os múltiplos positivos comuns:
M*+ (6) M*+ (8) = {24, 48, 72, ...}
Observando os múltiplos comuns, podemos identificar o 
mínimo múltiplo comum dos números 6 e 8, ou seja: MMC (6,8) 
= 24
Outra técnica para o cálculo do MMC:
Decomposição isolada em fatores primos
Para obter o mmc de dois ou mais números por esse processo, 
procedemos da seguinte maneira:
- Decompomos cada número dado em fatores primos.
- O mmc é o produto dos fatores comuns e não-comuns, cada 
um deles elevado ao seu maior expoente.
Exemplo
Achar o mmc entre 18 e 120.
18 2 120 2 18 = 2 . 32 
 9 3 60 2 120 = 23 . 3 . 5
 3 3 30 2
 1 15 3 mmc (18, 120) = 23 . 32 . 5 = 8 . 9 . 5 = 360
 5 5
 1 
NÚMEROS RACIONAIS. FORMA 
FRACIONÁRIA E FORMA DECIMAL DE 
NÚMEROS RACIONAIS. SIMPLIFICAÇÃO 
DE FRAÇÕES, REDUZINDO DUAS OU MAIS 
FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR, 
TIPOS DE FRAÇÕES, FORMA MISTA, 
FRAÇÕES EQUIVALENTES. OPERAÇÕES 
COM NÚMEROS RACIONAIS 
FRACIONÁRIOS E DECIMAIS: ADIÇÃO, 
SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO E 
POTENCIAÇÃO.
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
m
n, onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente 
de zero. Frequentemente usamos m/n para significar a divisão de 
m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obti-
dos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o 
conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, 
é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = { 
m
n : m e n em Z, n diferente de zero}
Didatismo e Conhecimento 14
MATEMÁTICA
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
- Q* = conjunto dos racionais não nulos;
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos;
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos;
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional p
q , tal que p não seja múltiplo 
de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a divisão do 
numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um 
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2
5
 = 0,4
1
4
= 0,25
35
 4
= 8,75
153
 50
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos 
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. 
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1
3
 = 0,333... 
 1
22
 = 0,04545...
167
 66
 = 2,53030...
Representação Fracionária dos Números Decimais
Trata-se do problema inverso: estando o número racional 
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de 
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador 
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto 
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas 
decimais do número decimal dado:
0,9 = 9
10
5,7 = 57
10
0,76 = 76
100
3,48 = 348
100
0,005 = 5
1000
= 1
200
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, 
vamos apresentar o procedimento através de alguns exemplos:
Exemplo 1 
Seja a dízima 0, 333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros 
por 10: 10x = 0,333 
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da 
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333... ⇒ 9x = 3 ⇒ x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3
9
.
Exemplo 2
Seja a dízima 5, 1717...
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512 ⇒ x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 512
 99
.
Exemplo 3
Seja a dízima 1, 23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x = 1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34... ⇒ 990x = 1222 ⇒ x = 1222/990
Simplificando, obtemos x = 611
 495
, a fração geratriz da dízima 
1, 23434... 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que 
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: Módulo de - 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
- = 3
2
 Módulo de + 3
2
 é 3
2
. Indica-se 3
2
+ = 3
2
Números Opostos: Dizemos que – 3
2 e 3
2 são números 
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do 
outro. As distâncias dos pontos – 3
2
 e 3
2
 ao ponto zero da reta são 
iguais.
Soma (Adição) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos a adição entre os números 
racionais a
b
 e c
d
, da mesma forma que a soma de frações, 
através de:
a
b
 + c
d
 = ad + bc
 bd
Didatismo e Conhecimento 15
MATEMÁTICA
Propriedades da Adição de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a 
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + 
b ) + c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
- Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em 
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
- Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que 
q + (–q) = 0
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais p e q é a própria 
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: 
p – q = p + (–q)
Multiplicação (Produto) de Números Racionais
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito 
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números 
racionais a
b
e c
d
, da mesma forma que o produto de frações, 
através de:
a
b x c
d
 = ac
bd
O produto dos números racionais a e b também pode ser 
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre 
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos 
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1)× (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o 
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais 
diferentes é negativo.
Propriedades da Multiplicação de Números Racionais
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto 
de dois números racionais ainda é um número racional.
- Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × 
b ) × c
- Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
- Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo 
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
- Elemento inverso: Para todo q = a
b
 em Q, q diferente de 
zero, existe q-1 = 
 
b
a 
em Q: q × q-1 = 1 a
b 
x b
a
 = 1
- Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × 
b ) + ( a × c )
Divisão de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação 
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = 
p × q-1
Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores 
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a) 
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
125
b) 
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação: Toda potência com expoente 
0 é igual a 1.
+ 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
0
 = 1
- Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 − 9
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
 = - 9
4
- Toda potência com expoente negativo de um número racional 
diferente de zero é igual a outra potência que tem a base igual ao 
inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior.
− 3
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−2
. − 5
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 25
9
- Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da 
base.
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
8
27
- Toda potência com expoente par é um número positivo.
− 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= − 1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . −
1
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
1
25
- Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto 
de potências de mesma base a uma só potência, conservamos a 
base e somamos os expoentes.
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
3
= 2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
2
5
.2
5
.2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2+3
= 2
5
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
5
Didatismo e Conhecimento 16
MATEMÁTICA
- Quociente de potências de mesma base. Para reduzir 
um quociente de potências de mesma base a uma só potência, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
- Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência 
a uma potência de um só expoente, conservamos a base e 
multiplicamos os expoentes
Radiciação de Números Racionais
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores 
iguais, então cada fator é chamado raiz do número. Vejamos alguns 
exemplos:
Exemplo 1
4 Representa o produto 2 . 2 ou 22. Logo, 2 é a raiz quadrada 
de 4. Indica-se √4= 2.
Exemplo 2
1
9 Representa o produto 1
3 . 1
3
 
ou 1
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
. Logo, 1
3
 
é a raiz 
quadrada de 1
9 .Indica-se 1
9
= 1
3
Exemplo 3
0,216 Representa o produto 0,6 . 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 
é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 0,2163 = 0,6.
Assim, podemos construir o diagrama:
N Z Q
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o 
número zero ou um número racional positivo. Logo, os números 
racionais negativos não têm raiz quadrada em Q.
O número -100
 9
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto -10
 3
 
como +10
 3
, quando elevados ao quadrado, dão 100
 9
.
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto 
dos números racionais se ele for um quadrado perfeito.
O número 2
3 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe 
número racional que elevado ao quadrado dê 2
3
.
Exercícios
1. Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − − 7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
b) + 3
16
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ : − 1
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ +
5
2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
− 9
4
− 7
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2. Escreva o produto 
73
3
2.
3
2





+




+ como uma só potência. 
3. Escreva o quociente 
 
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
12
: − 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
4
como uma só 
potência. 
4. Qual é o valor da expressão 
5. Para encher um álbum de figurinhas, Karina contribuiu com 1
6 das figurinhas, enquanto Cristina contribuiu com das figurinhas 
3
4
. Com que fração das figurinhas as duas juntas contribuíram?
6. Ana está lendo um livro. Em um dia ela leu 1
4 do livro e no 
dia seguinte leu 1
6 do livro. Então calcule:
a) A fração do livro que ela já leu.
b) A fração do livro que falta para ela terminar a leitura.
7. Em um pacote há 4
5 de 1 Kg de açúcar. Em outro pacote 
há 1
3 . Quantos quilos de açúcar o primeiro pacote tem a mais que 
o segundo?
8. A rua onde Cláudia mora está sendo asfaltada. Os 5
9 da rua 
já foram asfaltados. Que fração da rua ainda resta asfaltar?
9. No dia do lançamento de um prédio de apartamentos, 1
3 
desses apartamentos foi vendido e 1
6 foi reservado. Assim:
a) Qual a fração dos apartamentos que foi vendida e reservada?
b) Qual a fração que corresponde aos apartamentos que não 
foram vendidos ou reservados?
10. Transforme em fração:
a) 2,08
b) 1,4
c) 0,017
d) 32,17
Respostas
1) Solução
a) 
7
24
− 5
12
− 1
8
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − − 7
6
+ 3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
= 7
24
− 10 − 3
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ −
−14 + 9
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
24
− 7
24
+ 5
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 7 +10
24
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
7
24
− 17
24
= − 10
24
= − 5
12
Didatismo e Conhecimento 17
MATEMÁTICA
b) 
mmc:(4;2)=4
2) Solução:
+ 2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
10
3) Solução:
− 16
25
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
8
4) Solução:
5) Resposta 11
12Solução: 
1
6
 + 3
4
 = 2
12
 + 9
12
 = 11
12
6) Solução:
a) 1
4
 + 1
6
 = 3
12
 + 2
12
 = 5
12
b) 1- 5
12
 = 12
12
 - 5
12
 = 7
12
7) Respostas 7
15Solução: 
4
5 - 1
3
 = 12
15
 - 5
15
 = 7
15
8) Resposta 4
9Solução:
1 - 
5
9 = 9
9
 - 5
9
 = 4
9
9) Solução:
a) 
1
3 + 1
6 = 2
6
 + 1
6 = 3
6 = 1
2
b) 1- 1
2
 = 2
2
 - 1
2
 = 1
2
10) Solução:
a) 2,08 → 
208
100
= 52
25
b) 1,4 → 
14
10
= 7
5
c) 0,017 → 
17
1000
d) 32,17 → 
3217
100
NÚMEROS INTEIROS. OPERAÇÕES COM 
NÚMEROS INTEIROS E SUAS 
PROPRIEDADES: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, 
MULTIPLICAÇÃO, DIVISÃO, 
POTENCIAÇÃO, RADICIAÇÃO.
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião 
do conjunto dos números naturais (N = {0, 1, 2, 3, 4,..., n,...}, o 
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto 
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto 
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos 
notáveis:
- O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0}
- O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N
- O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...}
- O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
- O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância 
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira. 
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é 
sempre positivo.
Didatismo e Conhecimento 18
MATEMÁTICA
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos 
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que 
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2, pois 
2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e 
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
Adição de Números Inteiros
Para melhorentendimento desta operação, associaremos aos 
números inteiros positivos a ideia de ganhar e aos números inteiros 
negativos a ideia de perder.
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas 
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto 
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros 
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em 
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
Subtração de Números Inteiros
A subtração é empregada quando:
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas 
tem a mais que a outra;
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a 
uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
 diferença
 subtraendo
 minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de 
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, 
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a 
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) 
é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o 
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de 
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar 
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente 
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição 
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + 
(–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da 
adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser 
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as 
letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos 
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) x (+1) = (+1)
(+1) x (-1) = (-1)
(-1) x (+1) = (-1)
(-1) x (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
Iguais Positivo
Diferentes Negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O 
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação 
de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Didatismo e Conhecimento 19
MATEMÁTICA
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z 
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe 
um inverso z–1=1/z em Z, tal que
z x z–1 = z x (1/z) = 1
9 x 9–1 = 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
Divisão de Números Inteiros
Dividendo divisor dividendo:
Divisor = quociente 0
Quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão 
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q ð (+5) . q = (–20) ð q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = - 4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para 
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número 
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo 
módulo do divisor. Daí:
- Quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o 
quociente é um número inteiro positivo.
- Quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o 
quociente é um número inteiro negativo.
- A divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto Z. Por 
exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem 
ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número inteiro.
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa 
e não tem a propriedade da existência do elemento neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um 
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de 
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é 
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto 
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número 
n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33 = (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
- Toda potência de base positiva é um número inteiro 
positivo.
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9
- Toda potência de base negativa e expoente par é um 
número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um 
número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base 
e somam-se os expoentes. (–7)3 . (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se 
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8 : (+13)6 = (+13)8 – 6 = 
(+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se 
os expoentes. [(+4)5]2 = (+4)5 . 2 = (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1 = +9 
(–13)1 = –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual 
a 1. Exemplo: (+14)0 = 1 (–35)0 = 1
Radiciação de Números Inteiros
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo b que 
elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da 
raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal 
do radical).
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a 
operação que resulta em outro número inteiro não negativo que 
elevado ao quadrado coincide com o número a.
Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro 
negativo no conjunto dos números inteiros. 
Didatismo e Conhecimento 20
MATEMÁTICA
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos 
e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:
√9 = ±3
mas isto está errado. O certo é:
√9 = +3
Observamos que não existe um número inteiro não negativo 
que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação 
que resulta em outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual 
ao número a. Aqui não restringimos os nossoscálculos somente 
aos números não negativos.
Exemplos
(a) 3 8 = 2, pois 2³ = 8.
(b) 3 8− = –2, pois (–2)³ = -8.
(c) 3 27 = 3, pois 3³ = 27.
(d) 3 27− = –3, pois (–3)³ = -27.
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de 
números inteiros, concluímos que:
(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número 
inteiro negativo.
(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de 
qualquer número inteiro.
Exercícios
1. Qual é o maior quadrado perfeito que se escreve com dois 
algarismos?
2. Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 + 
(90 – 7 + 82) + 101. Qual é esse número inteiro?
3. Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40) 
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
4. Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças 
verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
5. Qual a diferença prevista entre as temperaturas no Piauí 
e no Rio Grande do Sul, num determinado dia, segundo as 
informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
6. Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em 
que o maior deles é –10?
7. Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é 
+99. Determine o produto desses três números.
8. Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros 
de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20 
b) 144 : x = –4 
c) (–147) : x = +21 
d) x : (+13) = +12 
e) x : (–93) = +45 
f) x : (–12) = –36
9. Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a 
soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
10. Numa adição com duas parcelas, se somarmos 8 à primeira 
parcela, e subtrairmos 5 da segunda parcela, o que ocorrerá com 
o total?
Respostas
1) Resposta “9²”.
Solução: Basta identificar os quadrados perfeitos.
Os números quadrados perfeitos são:
1² = 1 (menor que dois algarismos)
2² = 4
3² = 9
4² = 16 (dois algarismos)
5² = 25
6² = 36
7² = 49
8² = 64
9² = 81
10² = 100 (mais que dois algarismos)
Logo, o maior quadrado perfeito é o 9² = 81
2) Resposta “270”.
Solução:
(53 – 38 + 40) – 51 + (90 – 7 + 82) + 101
55 – 51 + 165 + 101 = 270
Portanto, o número inteiro é 270.
3) Solução:
a) (+12) + (–40) = 12 – 40 = -28
b) (+12) – (–40) = 12 + 40 = 52
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20) = +5 -16 – 9 + 20 = 25 – 25 = 0
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15) = -3 + 6 – 4 – 2 – 15 = 
6 – 24 = -18
4) Solução:
a) x + (–12) = –5 → x = -5 + 12 → x = 7
b) x + (+9) = 0 → x = -9
c) x – (–2) = 6 → x = 6 – 2 → x = 4
d) x + (–9) = –12 → x = -12 + 9 → x = -3
e) –32 + x = –50 → x = -50 + 32 → x = -18
f) 0 – x = 8 → x = -8
Didatismo e Conhecimento 21
MATEMÁTICA
5) Resposta “40˚”. 
Solução:
A diferença está entre -3º e +37º. Se formos ver... -3º, -2º, -1º, 
0º, 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, 7º... será +40º.
6) Resposta “-1320”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x+2 = -10
x= -10 -2
x = -12
(-12) . (-12+1) . (-12+2) =
-12 . -11 . -10 = - 1320
7) Resposta “999900”.
Solução:
(x) . (x+1) . (x+2) = ?
x= 99
(99) . (99+1) . (99+2) =
99 . 100 . 101 = 999900
8) Solução:
a) (–140) : x = –20
 -20x = -140
 x = 7
b) 144 : x = –4
 -4x = 144
 x = -36
 
c) (–147) : x = +21 
 21x = -147
 x = -7
d) x : (+13) = +12
 x = 12 . 13
 x = 156
 
e) x : (–93) = +45 
 x = 45 . -93
 x = -4185
f) x : (–12) = –36
 x = -36 . -12
 x = 432
9) Resposta “738”.
Solução:
x + (-846) . -3 = 324
x – 846 . -3 = 324
-3 (x – 846) = 324
-3x + 2538 = 324
3x = 2538 – 324
3x = 2214
x = 
x = 738
10) Resposta “3”.
Solução: Seja t o total da adição inicial.
Ao somarmos 8 a uma parcela qualquer, o total é acrescido de 
8 unidades: t + 8
Ao subtrairmos 5 de uma parcela qualquer, o total é reduzido 
de 5 unidades: Temos:
t + 8 - 5 = t + 3
Portanto o total ficará acrescido de 3 unidades.
EXPRESSÕES NUMÉRICAS. TERMO 
DESCONHECIDO. RESOLUÇÃO DE 
PROBLEMAS.
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros 
recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios 
algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de 
dificuldade e abordagem dos conteúdos.
Primeiramente os cálculos envolvem adições e subtrações, 
posteriormente as multiplicações e divisões. Depois os problemas 
são resolvidos com a utilização dos fundamentos algébricos, isto 
é, criamos equações matemáticas com valores desconhecidos 
(letras). Observe algumas situações que podem ser descritas com 
utilização da álgebra.
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);
- O quadrado de um número mais 10: x2 + 10;
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x 
+ 2x;
- A metade da soma de um número mais 15: + 15;
- A quarta parte de um número: .
Exemplo 1
A soma de três números pares consecutivos é igual a 96. 
Determine-os.
1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4
(x) + (x + 2) + (x + 4) = 96
Resolução:
x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 
x = 30
1º número: x = 30
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34
Os números são 30, 32 e 34.
Didatismo e Conhecimento 22
MATEMÁTICA
Exemplo 2
O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado 
de 5. Calcule-o:
Resolução:
3x + 4 = 52
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 
21
3
x = 7
O número procurado é igual a 7.
Exemplo 3
A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui 
a cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é 
a idade atual de cada um?
Resolução:
Atualmente
Filho: x
Pai: 4x
Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5
4x + 5 = 3 . (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
X = 10
Pai: 4x = 4 . 10 = 40
O filho tem 10 anos e o pai tem 40.
Exemplo 4
O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde 
a 20. Qual é o número?
Resolução
2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20
5
x = 4
O número corresponde a 4.
Exemplo 5
Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35 
animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de 
galinhas e coelhos existentes nessa chácara.
Galinhas: G
Coelhos: C
G + C = 35
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:
2G + 4C = 100
Sistema de equações
Isolando C na 1ª equação:
G + C = 35
C = 35 – G
Substituindo C na 2ª equação:
2G + 4C = 100
2G + 4 . (35 – G) = 100
2G + 140 – 4G = 100
2G – 4G = 100 – 140
- 2G = - 40
G = 
G = 20
Calculando C
C = 35 – G
C = 35 – 20
C = 15
Exercícios
1. A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. 
Qual a idade de cada um, se a idade de Arthur é 
5
2 da idade 
de Baltazar?
2. A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos. 
Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é 
5
9 
da idade de Maria? 
3. Verificou-se que numa feira 
9
5 dos feirantes são de 
origem japonesa e 
5
2 do resto são de origem portuguesa. O 
total de feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total 
de feirantes dessa feira?
4. Certa quantidade de cards é repartida entre três 
meninos. O primeiro menino recebe 7
3
 da quantidade e o 
segundo, metade do resto. Dessa maneira, os dois receberam 
250 cards. Quantos cards havia para serem repartidos e 
quantos cards recebeu o terceiro menino?
5. Num dia, uma pessoa lê os 5
3
 de um livro. No dia 
seguinte, lê os 
4
3 do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas 
finais. Quantas páginas têm o livro?
Didatismo e Conhecimento 23
MATEMÁTICA
6. Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de 
bronze. As medalhas de ouro totalizam 
5
3 das medalhas 
da caixa. O número de medalhas de prata é 30. O total de 
medalhas de bronze é 4
1
 do total de medalhas. Quantas são as 
medalhas de ouro e de bronze contidas na caixa?
7. Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira 
etapa, percorrem-se os7
2 da distância total. Na segunda, os 
5
3 
do resto. Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira 
foram percorridos 60 quilômetros. 
Qual a distância total a ser percorrida e quanto se 
percorreu na quarta etapa? 
8. A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. 
Qual a idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é 
4
3 da idade de Gabriela?
9. Num dia, um pintor pinta 5
2
 de um muro. No dia 
seguinte, pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou 
9
7 do muro todo. Quantos metros têm o muro?
10. Um aluno escreve 8
3
 do total de páginas de seu caderno 
com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, 
dessa maneira, 
9
7 do total de páginas do caderno. Quantas 
páginas possuem o caderno? 
Respostas
1) Resposta “Arthur 30; Baltazar 12”.
Solução:
A + B = 42 anos
A = 2
5
 . B
(substituindo a letra “A” pelo valor 2
5
 . B)
2
5
 . B + B = 42 (mmc: 5)
2B + 5B = 210
7B = 210
B = 210
7
B = 30 A = 12
2) Resposta “Maria 25; José 45”.
Solução:
J – M = 20 
J = 9
5
M
(substituindo a letra “J” por 9
5
M
9
5
M - M = 20 (mmc: 1; 5)
9M - 5M = 100
4M=100
M= 100
4
M=25 e J=45
3) Resposta “135”.
Solução:
F = feirantes
J = 5
9
.F
J + P = 99
(substituindo a letra “J”por 5
9
F)
5
9
F + 2
5
.(F- 5
9
F) = 99
5
9
F + 2
5
. 9F − 5F
9
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 = 900
5
9
F + 2
5
. 4F
9
 = 99
5
9
F + 8F
45
 = 99 (mmc:9; 45)
25
45
F + 8F
45
= 4455
45
33F = 4455
F= 4455
33
F = 135
4) Resposta “350 cards; 3˚ menino recebeu 100”.
Solução: 
x = cards
1° = 3
7
.x
2° = x −
3x
7
2
=
7x − 3x
7
2
= 4x
14
= 2x
7
(substituindo o “1°”e “2°”pelos valores respectivos)
3
7
x + 2x
7
= 250 (mmc:1; 7)
3x+2x = 1750
5x = 1750
x = 1750
5
x = 350 cards
portanto:
1° = 3
7
 . 350 = 150
2° = 2
7
 . 350 = 100
3° = 350 - 250 = 100
5) Resposta “200”.
Solução: 
x = Livro
1 dia = 3
5
x
2 dia = 3
4
(x − 3
5
x)
3 dia = 20 páginas
Didatismo e Conhecimento 24
MATEMÁTICA
1 dia + 2 dia + 3 dia = X
3
5
x + 3
4
(x − 3
5
x)+ 20 = x
3
5
x + 3
4
(5x − 3x
5
)+ 20 = x
3
5
x + 3
4
.2x
5
+ 20 = x
3
5
x + 6x
20
+ 20 = x(mmc :5;20)
12x + 6x + 400 = 20x
20x - 18x = 400
2x = 400
x = 400
2
 = 200 páginas
6) Resposta “Ouro = 120; Bronze = 50”.
Solução:
T = Total
O = 3
5T
P = 30
B = 1
4T
O + P + B = T
3
5T
+ 30 + 1
4T
= T (mmc :5;4)
12t
20
+ 5t
20
+ 600
20
= 20t
20
17T + 600 = 20T
20T - 17T = 600
3T = 600
T = 600
3
 = 200 medalhas
Portanto
O = 3
5T
= 3
5
 . 200 = 120
B = 1
4T
= 1
4
 . 200 = 50
7) Resposta “Distancia total: 70 km; Quarta etapa: 10 km”.
Solução:
T = total
1ª = 2
7T
2ª = 3
5
T − 2
7
T⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
3
5
. 7T − 2T
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ =
3
5
.5T
7
= 3T
7
3ª = T − 2T
7
− 3T
7
2
=
7T − 2T − 3T
7
2
=
2T
7
2
= 2T
14
1ª + 2ª + 3ª = 60
2T
7
+ 3T
7
+ 2T
14
= 60 (mmc:7;14)
4T + 6T + 2T = 840
12T = 840
T = 840
12
T = 70
4ª = 70 – 60 = 10
8) Resposta “Gabriela: 28 anos; Lúcia: 21 anos”.
Solução:
L + G = 49 anos
L = 3
4G
Substitui a letra “L” por 3
4G
3
4G
 + G = 49 (mmc:1; 4)
3G + 4G = 196
7G = 196
G = 196
7
 = 28 anos
L = 49 - 28 = 21 anos
9) Resposta “135 metros”.
Solução:
M = muro
1 dia = 2
5
M
2 dia = 51 metros
2
5
M + 51= 7
9
M (mmc :5;9)
18M
45
+ 2295
45
= 35M
45
18M + 2295 = 35M
35M – 18M = 2295
17M = 2295
M = 2295
17
M = 135 metros.
10) Resposta “144 páginas”.
Solução:
P = total
Azul = 3
8
P
Vermelha = 58
3
8
P + 58 = 7
9
P (mmc:8 ; 9)
27P + 4176 = 56P
56P - 27P = 4176
29P = 4176
P = 4176
29
 = 144 páginas
Didatismo e Conhecimento 25
MATEMÁTICA
REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA.
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um 
processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos 
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de 
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), 
vamos colocar uma flecha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15	
  
 210 x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de 
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de 
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos 
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna 
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de 
álcool”:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
 
 
 mesmo sentido
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180
7
6
=
 
 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 
6
105 x = 17,5
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, 
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade 
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as 
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, 
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos 
colocar uma flecha:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4 
 80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e 
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse 
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha 
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x 
 sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das 
flechas. Assim, temos:
3
4
60
804
=
x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 
4
12 x = 3
 
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um 
competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o 
percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, 
qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade 
(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 
s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os 
outros três.
Velocidade Tempo gasto para 
fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto 
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são 
inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
 3 600 = 240x
 240x = 3 600
 x = 
240
3600
 x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Didatismo e Conhecimento 26
MATEMÁTICA
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem maisde duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é 
chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. 
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 
dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as 
grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de 
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na 
coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4	
  
 6 300 x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No 
nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” 
uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
 
 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais 
(duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido 
à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na 
coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da 
coluna “dias”:
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Sentidos contrários
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que 
contém o x, que é x
4
, com o produto das outras razões, obtidas 
segundo a orientação das flechas 





300
160.
8
6 :
5
1
15
8
1
2
300
160.
8
64
=
x
5
24
=
x => 2x = 4 . 5 a x = 1
2
2
5.4
 => x = 10
Resposta: Em 10 dias.
Exercícios
1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 
75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas 
encheriam esse mesmo tanque?
2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade 
média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o 
trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?
3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e 
a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de 
comprimento e 5 palmos na largura. 
Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o 
comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual 
estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em 
palitos de fósforo?
4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, 
imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 
segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria 
gasto no percurso?
5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. 
Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 
sanduíches?
6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar 
uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 
75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem 
ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?
a) 315
b) 2 2520
c) 840
d) 105
e) 1 260
7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 
50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas 
dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas 
restantes farão o mesmo serviço em:
a) 3 horas e 10 minutos
b) 3 horas
c) 2 horas e 55 minutos
d) 2 horas e 50 minutos
e) 2 horas e 48 minutos
8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças 
de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são 
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 
dias?
9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em 
média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai 
percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?
10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 
2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos 
de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. 
Didatismo e Conhecimento 27
MATEMÁTICA
Respostas
1) Resposta “30min”. 
Solução:
Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra 
de três é inversa:
5 tor. ------ 75min
2 tor. ------ x
5x = 2 . 75 = 
5x = 150 =
x = 
2) Resposta “52 km/h”.
Solução:
Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a 
regra de três é inversa:
6h30min = 390min
5h15min = 315min
315min ------ 42km/h
390min ------ x
315x = 390 . 42 = 
315x = 16380 = 
X = km/h.
3) Resposta “20 palitos de fósforo”.
Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:
Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.
Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de 
largura.
Portanto temos:
Comprimento Largura
12 palmos 5 palmos
48 palitos X palitos
Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes 
quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da 
mesma forma na largura.
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos 
fazer:
Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de 
fósforo de largura.
4) Resposta “18 segundos”.
Solução: Levando em consideração os dados:
Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s
Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?
Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos 
relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 
200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).
Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um 
quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:
Velocidade km/h Tempo (s)
180 20
200 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo 
gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as 
grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:
180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 
200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.
5) Resposta “5 pacotes”.
Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:
Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.
Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.
Pacotes de Pães Sanduíches
3 63
x 105
Basta fazermos apenas isso:
63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → 
Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.
6) Resposta “D”.
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada
Pessoas estrada tempo
 210 75 4
 X 225 8
 = 
 = 
= 
x = 
x = 315 pessoas para o término
315 210 que já trabalham = 105 pessoas.
7) Resposta “E”.
Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz 
por minuto. Para isso temos que dividir:
 
Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 
máquinas juntas produzem (min)
Didatismo e Conhecimento 28
MATEMÁTICA
5 . 59,524 = 297, 62.
Portanto temos:
1 min --------------------- 297,62
x min --------------------- 50000
Fazendo a regra de 3 teremos:
297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 
168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.
8) Resposta “840 peças”.
Solução: Dados:
5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças
7 máquinas em 9 dias produzem x peças.
Organizando os dados no quadro temos:
N˚ de Máquinas 
(A)
N˚ de Máquinas 
(B)
Número de Peças 
(C)
5 6 400
7 9 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também 
dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A 
e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças 
também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente 
proporcionais”.
Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas 
outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao 
produto da variação das outras duas.
De acordo com o quadro, temos:
Resolvendo a proporção:
30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → 
Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 
840 peças.
9) Resposta “4 dias”.
Solução: Dados:
4 horas por dia, 200 km em 2 dias5 horas por dia, 500 km em x dias
Organizando um quadro temos:
N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)
200 4 2
500 5 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por 
dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância 
cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente 
proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas 
A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o 
número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o 
mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são 
“diretamente proporcionais”.
Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A 
e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da 
grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação 
das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que 
expressam a grandeza B.
A razão inversa de 
Daí, temos:
1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → .
10) Resposta “7260 kgs”.
Solução:
Ração Dias Bois
2420 8 2
x 12 4
PORCENTAGEM.
É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma 
fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo 
símbolo % e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração 50
100
 é uma porcentagem que podemos 
representar por 50%.
Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem 
na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam 
representados por 0,35.
75% = 75
100 
= 0,75
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma 
porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 
100
p por V.
P% de V = 100
p
. V
Didatismo e Conhecimento 29
MATEMÁTICA
Exemplo 1
23% de 240 = 23
100
. 240 = 55,2
Exemplo 2
Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma 
amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 
56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?
Resolução: 67% de 56 000 = 67
100
.56000 = 37520
Resposta: 37 520 pessoas.
Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço 
de custo e em relação ao preço de venda
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e 
venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de 
prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízos = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas 
formas:
Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%
Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%
Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de 
prejuízo.
Exemplo
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por 
R$ 800,00. 
Pede-se:
- o lucro obtido na transação;
- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resposta:
Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00
Lc = 
500
300 = 0,60 = 60%
Lv = 
800
300 = 0,375 = 37,5%
Aumento
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que 
deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o 
valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de 
V =
100
p . V
VA = V + A = V + 100
p
. V
VA = ( 1 + 100
p
) . V
Em que (1 + 100
p
) é o fator de aumento.
Desconto
Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que 
deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o 
valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de 
V = 
100
p . V
VD = V – D = V – 
100
p . V
VD = (1 – 
100
p ) . V
Em que (1 – 
100
p
) é o fator de desconto.
Exemplo
Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro 
sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa 
deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 
500,00, com que salário deve admiti-lo?
Resolução: VA = 1,4 . V
 3 500 = 1,4 . V
 V = 2500
4,1
3500
=
Resposta: R$ 2 500,00
Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor 
inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos 
sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro 
aumento, temos:
V1 = V . (1 + 
100
1p )
Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:
V2 = V1 . (1 + 
100
2p )
V2 = V . (1 + 
100
1p ) . (1 + 
100
2p )
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer 
dois descontos sucessivos de p1% e p2%.
Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:
V1 = V. (1 – 
100
1p )
Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:
V2 = V1 . (1 – 
100
2p )
V2 = V . (1 – 
100
1p ) . (1 – 
100
2p )
Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer 
um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.
Didatismo e Conhecimento 30
MATEMÁTICA
Sendo V1 o valor após o aumento, temos:
V1 = V . (1+ 
100
1p )
Sendo V2 o valor após o desconto, temos:
V2 = V1 . (1 – 
100
2p )
V2 = V . (1 + 
100
1p ) . (1 – 
100
2p )
Exemplo
(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendi-
mento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade 
de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 
reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente 
terá em reais, relativo a esse depósito, são:
Resolução: VA = vp n
.
100
1 




 +
 VA = 1. 15
100
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
n
.1000
 VA = 1 000 . (1,15)n
 VA = 1 000 . 1,15n
 VA = 1 150,00n
Exercícios
1. (Fuvest-SP) (10%)2 =
a) 100%
b) 20%
c) 5%
d) 1%
e) 0,01%
2. Quatro é quantos por cento de cinco?
3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é 
R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço 
de custo deste bem. O valor do preço de custo é:
a) R$ 25,00
b) R$ 70,50
c) R$ 75,00
d) R$ 80,00
e) R$ 125,00
4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou 
de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e 
passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de 
promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto 
de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar 
que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre 
o preço de custo:
a) Prejuízo de 10%.
b) Prejuízo de 5%.
c) Lucro de 20%.
d) Lucro de 25%.
e) Lucro de 30%.
5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de 
preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro 
aumento foi de 15%, então o segundo foi de:
a) 38%
b) 40%
c) 42%
d) 44%
e) 46%
6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais 
em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em 
novembro. Seu salário atual é:
a) 2,56 x
b) 1,6x
c) x + 160
d) 2,6x
e) 3,24x
7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são 
equivalentes a um único desconto de:
a) 25%
b) 26%
c) 44%
d) 45%
e) 50%
8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro 
diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se 
V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo 
ano será:
a) (0,7)7 V
b) (0,3)7 V
c) (0,7)8 V
d) (0,3)8 V
e) (0,3)9 V
9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para 
uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. 
Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?
10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem 
a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução: 
10
100
. 10
100
= 1
100
= 1%
2) Resposta “80%”.
Solução:
05 ----------- 100%
04 ----------- x
5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → x =
400
5
= 80%
3) Resposta “D”.
Solução:
Pcusto = 100,00
O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00
Pc + 0,25Pc = 100,00
1,25Pc = 100,00
Didatismo e Conhecimento 31
MATEMÁTICA
Pc = 
4) Resposta “C”.
Solução:
X reais (preço de custo)
Lucro de 50%: x + 50% = x + 50
100
= 100x + 50
100
= 10x + 5
10
= 2x +1
2 (dividi-
mos por 10 e depois dividimos por 5).
Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo 
o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 
1,50.
Se 1,50 é 100%
 X 20%fazemos esta regra de três para achar os 20%: 
20.1,50 100 = 0,30
Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de 
lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.
5) Resposta “B”.
Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada 
na matéria será: 
V2 = V.(1 + 
100
1p ).(1 – 
100
2p ).
Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois 
aumentos esse valor será de 1,61=V2.
1,61 = 1.(1 + 15
100
).(1 – 
100
2p )
1,61 = (1 + 15
100
).(1 – 
100
2p ) (mmc de 100)
1,61 = (
100
115 ).(1 – 
100
2p )
1,61 = - 
10000
)2100(115 P−
16100 = -11.500 + 115P2
115P2 = -11.500 + 16100
P2 = 4600/115
P2 = 40%
6) Resposta “E”.
Solução:
SA = 1+ 80
100
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ . 1+
80
100
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .x = 1,8.1,8.x = 3,24x
7) Resposta “C”.
Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada 
na matéria será: 
V2 = V.(1 - 
100
1p ).(1 – 
100
2p )
Substituindo V por um valor: 1, ficará:
V2 = 1.(1 - 20
100
).(1 – 30
100
)
V2 = ( 100 − 20
100
).( 100 − 30
100
)
V2 = ( 80
100
).( 70
100
)
V2 = 
10000
5600
V2 = 
56
100
 que é igual a 56%
100% - 56% = 44%
8) Resposta “A”.
Solução:
1º ano = 1
2º ano = 0,70 – 30% (0,21)
3º ano = 0,49 – 30% (0,147)
4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)
5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)
6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)
7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)
8º ano = 0,0823543
0,0823543 = (0,7)7V
9) Resposta “5%”.
Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados
 Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados
 Em 100 habitantes → 5 desempregados
5
100
= 5%ou 25000
500000
= 5
100
= 5%
Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.
10) Resposta “500 unidades”.
Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:
20% → 100 bolinhas
100% → 500 bolinhas
Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x 
equivalem a 20.
Como 4% = 4
100
= 0,004 , podemos escrever:
0,04 . x = 20 → x = 20
0,04
 → x = 500.
Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.
RAZÕES E PROPORÇÕES.
Razão
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão 
entre a e b (nessa ordem) o quociente a b, ou .
Didatismo e Conhecimento 32
MATEMÁTICA
A razão é representada por um número racional, mas é lida de 
modo diferente.
Exemplos
a) A fração 
5
3 lê-se: “três quintos”.
b) A razão 
5
3 lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
 O número 3 é numerador
a) Na fração 5
3
 O número 5 é denominador
 O número 3 é antecedente
a) Na razão 
5
3
 O número 5 é consequente
 
 
 
 
Exemplo 1
A razão entre 20 e 50 é 20
50
= 2
5
; já a razão entre 50 e 20 é 
50
20
= 5
2
.
Exemplo 2
Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. A razão 
entre o número de rapazes e o número de moças é 18
24
= 3
4
, o que 
significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, 
a razão entre o número de rapazes e o total de alunos é dada por 
18
42
= 3
7 , o que equivale a dizer que “de cada 7 alunos na classe, 3 
são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie
A razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente 
dos números que expressam as medidas dessas grandezas numa 
mesma unidade.
Exemplo
Uma sala tem 18 m2. Um tapete que ocupar o centro dessa 
sala mede 384 dm2. Vamos calcular a razão entre a área do tapete 
e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma 
mesma unidade:
Área da sala: 18 m2 = 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever 
a razão:
384dm2
1800dm2 =
384
1800
= 16
75
Razão entre grandezas de espécies diferentes
Exemplo 1
Considere um carro que às 9 horas passa pelo quilômetro 30 
de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170.
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo 
gasto para isso:
140km
2h
= 70km / h
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que: 
- as grandezas “quilômetro e hora” são de naturezas diferentes;
- a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 2
A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais, Rio de 
Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286 km2 
e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente, 
segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de 
Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o 
número de habitantes por km2 (hab./km2):
6628000
927286
≅ 71,5hab. / km2
A esse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
A notação hab./km2 (lê-se: ”habitantes por quilômetro 
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3
Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8 L de gasolina. 
Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pelo número 
de litros de combustível consumidos, teremos o número de 
quilômetros que esse carro percorre com um litro de gasolina:
83,76km
8l
≅ 10,47km / l
Didatismo e Conhecimento 33
MATEMÁTICA
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve 
acompanhar a razão.
Exemplo 4
Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse comprimento é 
representado num desenho por 20 cm. Qual é a escala do desenho?
Escala = comprimento i no i desenho
comprimento i real
= 20cm
8m
= 20cm
800cm
= 1
40
ou1: 40
A razão entre um comprimento no desenho e o correspondente 
comprimento real, chama-se Escala.
Proporção
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
Na proporção 3
5
= 6
10
 (lê-se: “3 está para 5 assim como 6 está 
para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os números 
5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6 
= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao 
produto dos extremos”.
Exemplo 1
Na proporção 
9
6
3
2
= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
e em 1
4
= 4
16
, temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
Exemplo 2
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte 
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
5gotas
2kg
= x
12kg
→ x = 30gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente 
ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu 
“peso” é 8 kg, pois:
5gotas
2kg
= 20gotas / p→ p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente 
chamado de regra de três simples.)
Propriedades da Proporção
O produto dos extremos é igual ao produto dos meios: essa 
propriedade possibilita reconhecer quando duas razões formam ou 
não uma proporção.
4
3
e12
9 formam uma proporção, pois
Produtos dos extremos ← 4.9
36
 = 3.12
36
→ Produtos dos meios.
A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou 
para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos está 
para o terceiro (ou para o quarto termo).
5
2
= 10
4
⇒ 5 + 2
5
⎧
⎨
⎩
= 10 + 4
10
⇒ 7
5
= 14
10
ou
5
2
= 10
4
⇒ 5 + 2
2
⎧
⎨
⎩
= 10 + 4
4
⇒ 7
2
= 14
4
A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou para o segundo termo) assim como a diferença entre os dois 
últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo).
8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −
⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
−
=


 −
⇒=
A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes 
assim como cada antecedente está para o seu consequente.
12
8
= 3
2
⇒ 12 + 3
8 + 2
⎧
⎨
⎩
= 12
8
⇒ 15
10
= 12
8
ou
12
8
= 3
2
⇒ 12 + 3
8 + 2
⎧
⎨
⎩
= 3
2
⇒ 15
10
= 3
2
A diferença dos antecedentes está para a diferença dos 
consequentes assim como cada antecedente está para o seu 
consequente.
3
15
= 1
5
⇒ 3−1
15 − 5
⎧
⎨
⎩
= 3
15
⇒ 2
10
= 3
15
ou
3
15
= 1
5
⇒ 3−1
15 − 5
⎧
⎨
⎩
= 1
5
⇒ 2
10
= 1
5
Exercícios
1. Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000 000. Duascidades estão distantes de São Paulo, respectivamente, 4 e 6 cm. Se 
fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual seria o mínimo 
de extensão que ela teria?
Didatismo e Conhecimento 34
MATEMÁTICA
2. Em um mapa, a distância em linha reta entre Brasília e 
Palmas, no Tocantins é de 10 cm. Sabendo que a distância real 
entre as duas cidades é de 700 km, qual a escala utilizada na 
confecção do mapa?
3. Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume 
é de 16 dm³. Qual é a sua densidade?
4. Um trem percorreu 453 km em 6 horas. Qual a velocidade 
média do trem nesse percurso?
5. O estado de Tocantins ocupada uma área aproximada de 
278 500 km². De acordo com o Censo/2000 o Tocantins tinha uma 
população de aproximadamente 1 156 000 habitantes. Qual é a 
densidade demográfica do estado de Tocantins?
6. A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12 
anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim 
como 
2
5 , determine a idade de cada uma.
7. Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em duas 
partes na razão de 4
9
 . Determine o comprimento de cada uma das 
partes.
8. Sabe-se que as casas do braço de um violão diminuem de 
largura seguindo uma mesma proporção. Se a primeira casa do 
braço de um violão tem 4 cm de largura e a segunda casa, 3 cm, 
calcule a largura da quarta casa.
9. Água e tinta estão misturadas na razão de 9 para 5. Sabendo-
se que há 81 litros de água na mistura, o volume total em litros é 
de:
a) 45
b) 81
c) 85
d) 181
e) 126
10. A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o 
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule 
esses números.
Respostas
1) Resposta “1320 km”.
Solução: 1cm (no mapa) = 22.000.000cm (na realidade)
*SP ---------------------- cidade A ------------------------ cidade B
 4cm 6cm
O mínimo de extensão será a da cidade mais longe (6cm)
22.000.000 x 6 = 132.000.000 cm = 1320 km.
Logo, o mínimo de extensão que ela teria corresponde à 1320 km.
2) Resposta “1: 7 000 000”.
Solução: Dados:
Comprimento do desenho: 10 cm
Comprimento no real: 700 km = (700 . 100 000) cm = 70 000 
000 cm
Escala = comprimentododesenho
comprimentoreal
= 10
70000000
= 1
7000000
ou1: 7000000
A escala de 1: 7 000 000 significa que:
- 1 cm no desenho corresponde a 7 000 000 cm no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 000 m no real;
- 1 cm no desenho corresponde a 70 km no real.
3) Resposta “8,75 kg/dm³”.
Solução: De acordo com os dados do problema, temos:
densidade = 140kg
16dm3 = 8,75kg / dm
3
Logo, a densidade da estátua é de 8,75 kg/dm³, que lemos 
como: 8,75 quilogramas por decímetro cúbico.
4) Resposta “75,5 km/h”.
Solução: De acordo com que o enunciado nos oferece, temos:
velocidademédia = 453km
6h
= 75,5km / h
Logo, a velocidade média do trem, nesse percurso, foi de 75,5 
km/h, que lemos: 75,5 quilômetros por hora.
5) Resposta “4,15 hab./km²
Solução: O problema nos oferece os seguintes dados:
Densidadedemográfica = 1156000hab.
278500km2 = 4,15hab. / km2
6) Resposta “Ângela 20; Vera 8”.
Solução:
A – V = 12 anos
A = 12 + V
A
V
= 5
2
→ 12 +V
V
= 5
2
2 (12+V) = 5V
24 + 2V = 5V
5V – 2V = 24
3V = 24
V = 24
3
V (Vera) = 8
A – 8 = 12
A = 12 + 8
A (Ângela) = 20
7) Resposta “24 cm; 54 cm”.
Solução:
x + y = 78 cm
x = 78 - y
x
y
= 4
9
→ 78 − y
y
= 4
9
9 (78 - y) = 4y
Didatismo e Conhecimento 35
MATEMÁTICA
702 – 9y = 4y
702 = 4y + 9y
13y = 702
y = 702
13
y = 54cm
x + 54 = 78
x = 78 - 54
x = 24 cm
8) Resposta “ 27
16
cm ”.
Solução: Caso a proporção entre a 2ª e a 1ª casa se mantenha 
constante nas demais, é só determinar qual é esta proporção 
existente entre elas: no caso, = 0,75, ou seja, a largura da 2ª casa 
é 75% a largura da 1ª; Portanto a largura da 3ª casa é (3 . 0,75) = 
2,25 cm.
Logo, a largura da 4ª casa é de (2,25 . 0,75) = 1,69 cm. 
Portanto a sequência seria: (4...3... ... ...) e assim por diante.
 
Onde a razão de proporção é ... e pode ser representada pela 
expressão:
Ti . P elevado à (n - 1)
Onde:
Ti = termo inicial, neste caso: 4
P = proporção entre Ti e o seguinte (razão), neste caso: 
n = número sequencial do termo que se busca, neste caso: 4
Teremos:
(Ti = 4; P = ; n – 1 = 3)
4 . = 
9) Resposta “E”.
Solução:
A = 81 litros
A
T
= 9
5
→ 81
T
= 9
5
9T = 405
T = 
T = 45
A + T = ?
81 + 45 = 126 litros
10) Resposta “117 e 52”.
Solução:
x – y = 65
x = 65 + y
x
y
= 9
4
→ 65 + y
y
= 9
4
9y = 4 (65 + y)
9y = 260 + 4y
9y – 4y = 260
5y = 260
y = 
y = 52
x – 52 = 65
x = 65 + 52
x = 117
JUROS SIMPLES E COMPOSTOS.
Juros Simples
Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma 
quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela 
utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).
- Os juros são representados pela letra j.
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de 
capital e é representado pela letra C.
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela 
letra t.
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um 
capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada 
para calcular juros.
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital 
inicial no final da aplicação.
Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma 
unidade:
Taxa anual --------------------- tempo em anos
Taxa mensal-------------------- tempo em meses
Taxa diária---------------------- tempo em dias
Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:
Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de 
R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto 
deverá ser pago de juros?
Resolução:
- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00
- Tempo de aplicação (t): 4 meses
- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)
Fazendo o cálculo, mês a mês:
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 
3.000,00 = R$ 60,00
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + 
R$ 60,00 = R$ 120,00
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 
+ R$ 60,00 = R$ 180,00
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 
+ R$ 60,00 = R$ 240,00
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 
240,00 de juros.
Fazendo o cálculo, período a período:
- No final do 1º período, os juros serão: i.C
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C
Didatismo e Conhecimento 36
MATEMÁTICA
-----------------------------------------------------------------------
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C
Portanto, temos: 
J = C . i . t
Observações:
1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.
3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os 
juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se 
três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.
M=C+ j
Exemplo
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para 
render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o 
tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)
C = R$ 20.000,00
t = 3 anos
j = R$ 28.800,00
i = ? (ao ano)
j = C.i.t
100
28 800 = 20000..i.3
100
28 800 = 600 . i
i = 28.800
600
i = 48
Resposta: 48% ao ano.
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, 
devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber: 
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende 
juros. 
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados 
ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também 
conhecido como “juros sobre juros”.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um 
capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: 
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao 
ano) Teremos:
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples 
é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos 
é EXPONENCIAL, e, portanto tem umcrescimento muito mais 
“rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma: 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores 
particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas 
aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de 
juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples 
não se justifica em estudos econômicos. 
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a 
uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). 
Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 
0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 
0,1)2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 
0,1)3 
................................................................................................. 
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos 
evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n 
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado 
a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n 
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = 
número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. 
Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à 
taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. 
Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, 
deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses. 
Exemplos
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em 
função do montante S e da taxa de aplicação i por período. 
Solução: 
Temos S = P(1+i)n
Logo, S/P = (1+i)n
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 
10), vem:
n = log(S / P)
log(1+ i)
= logS − logP
log(1+ i)
Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS 
– logP 
Didatismo e Conhecimento 37
MATEMÁTICA
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros 
compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a 
uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este 
capital estará duplicado? 
Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial 
estiver duplicado, teremos S = 2P. 
Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica: 
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 
0,00860 = 35 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem 
ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. 
Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir 
o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe 
que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos 
e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
Exercícios
1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte 
oferta para a venda de um DVD player:
À vista R$ 539,00 ou
12x 63,60 = R$ 763,20.
De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o 
produto for comprado em 12 vezes?
2. Calcule o juros simples gerado por um capital de 
R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 
3,5% a.m.
3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma 
taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a 
quantia aplicada?
4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à 
juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: 
a) Juros
b) Montante.
5. Calcular o juro simples referente a um capital de 
$ 2.400,00 nas seguintes condições:
Taxa de Juros Prazo
a) 21% a.a. 1 ano
b) 21% a.a. 3 anos
6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a 
juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?
7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, 
considerando o regime de juros compostos:
Capital Taxa de Juros Prazo de Antecipação
R$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses
8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa 
de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis 
meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna 
igual a R$ 477,62?
10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, 
quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização 
mensal, durante 1 ano.
Respostas
1) Resposta “R$ 224,20”.
Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:
R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.
2) Resposta “R$ 700,00”.
Solução: Dados:
Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00
Taxa de juros: 3,5 a.m.
Tempo de aplicação: 8 meses
Juro: ?
Representando o juro por x, podemos ter:
x = (3,5% de 2 500) . 8
x = (0,035 . 2 500) . 8
x = 700
Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.
3) Resposta “R$ 32 000,00”.
Solução: Dados:
Capital (quantia plicada) ?
Taxa de juro: 3% a.m.
Tempo de aplicação: 2 meses
Juro: R$ 1 920,00
Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:
1 920 2 = 960
Representando o capital aplicado por x, temos:
3% de x dá 960
0,03 . x = 960
0,03x = 960
x = 
Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.
4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.
Solução: 
a → J = Cin
J = 4000 {[(18/100)/12]x3}
J = 4000 {[0,18/12]x3}
Didatismo e Conhecimento 38
MATEMÁTICA
J = 4000 {0,015 x 3}
J = 4000 x 0,045
J = 180,00
B → M = C + J
M = 4000 + 180
M = 4.180,00
5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”
Solução: 
a → J = Cin
J = 2400 [(21/100)x1]
J = 2400 [0,21 x 1]
J = 2400 x 0,21
J = 504,00
b → J = Cin 
J = 2400 [(21/100)x3]
J = 2400 [0,21x3]
J = 2400 0,63
J = 1.512,00
6) Resposta “17 661,01”.
Solução: Dados:
C: 16000
i: 2,5% a.m.
n: 4 meses.
M = C 1+ i( )n
M =16000 1+ 2,5
100( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
4
 → M =16000 1+0,025[ ]4 → 
M =16000 1,025[ ]4 → 
M =16000 x 1,103812891 → M = 17.661,01
7) Resposta “24 597,48”.
Solução: Dados:
C: 20000
i: 3,0% a.m.
n: 7 meses.
M = C 1+ i( )n
M = 20000 1+ 3
100( )⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
7
 → M = 20000 1+0,03[ ]7 → 
M = 20000 1,03[ ]7 → M = 20000 x 1,229873685 → 
M = 24.597,48
8) Resposta “R$ 238,73”.
Solução: Dados:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
9) Resposta “ R$ 400,00”.
Solução: 
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C × (1 + i)n 
477,62 = C × (1,03)6 
C = 
477,62
1,19405
C = R$ 400,00.
10) Resposta “R$ 2.693,78”.
Solução:
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitali-
zação é mensal. 
A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.
C = R$ 1.500
i = 5% = 0,05
n = 12
M = C . (1 + i)n 
M = 1.500 × (1,05)12 
M = 1.500 × 1,79586
M = R$ 2.693,78
MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES 
E PONDERADA.
Noção Geral de Média
Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e 
efetue uma certa operação com todos os elementos de A.
Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A 
por um número x de modo que o resultado da operação citada seja 
o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos 
de A relativa a essa operação.
Média Aritmética
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à 
adição é chamada média aritmética.
Cálculo da média aritmética
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto 
numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:
Didatismo e Conhecimento 39
MATEMÁTICA
 n parcelas
e, portanto,
x = x1;x2;x3;...;xn
n
Conclusão
A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é 
a soma de todos os seus elementos, dividida por n.
Exemplo
Calcular a média aritmética entreos números 3, 4, 6, 9, e 13.
Resolução
Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 
9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:
x = 3+ 4 + 6 + 9 +13
15
↔ x = 35
5
↔ x = 7
A média aritmética é 7.
Média Aritmética Ponderada
Definição
A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à 
adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é 
chamada média aritmética ponderada.
Cálculo da média aritmética ponderada
Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do 
conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; 
...; Pn, respectivamente, então, por definição:
P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn 
(P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x =
= P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,
x = P1.x1;P2.x2;P3.x3;...Pnxn
P1 + P2 + P3 + ...+ Pn
Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então: 
x = x1;x2;x3;...;xn
n
que é a média aritmética simples.
Conclusão
A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto 
numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado 
pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.
Exemplo
Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 
10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.
Resolução
Se x for a média aritmética ponderada, então:
x = 2.35 + 3.20 + 5.10
2 + 3+ 5
↔ x = 70 + 60 + 50
10
↔ x = 180
10
↔ x = 18
A média aritmética ponderada é 18.
Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, 
deve ser entendida como média aritmética.
Exercícios
1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.
2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.
3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 
e 9?
4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, 
pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 
44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?
5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguin-
tes casos:
a) 15; 48; 36
b) 80; 71; 95; 100
c) 59; 84; 37; 62; 10
d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 
18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 
e 5?
7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respecti-
vos pesos 5 , 3 e 2.
8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 
alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será 
a idade média dessa turma?
9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de 
pagamento é assim discriminada:
Didatismo e Conhecimento 40
MATEMÁTICA
Profissionais → Quantidade → Salário
Serventes → 20 profissionais → R$ 320,00
Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00
Engenheiros → 5 profissionais → R$ 1.600,00
10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respec-
tivos pesos 10, 5 e 20.
Respostas
1) Resposta “5”.
Solução:
M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.
2) Resposta “6”.
Solução: 
M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5 
e 10 ) = 6.
3) Resposta “10”.
Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos 
números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, 
portanto:
M .A = 11+ 7 +13+ 9
4
= 40
4
= 10
Logo, a média aritmética é 10.
4) Resposta “164”. 
Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao di-
minuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar 
a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários 
outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos 
obter a mesma média.
Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor 
possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre 
eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior 
valor que o quarto elemento poderá assumir.
Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pa-
res, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este 
quarto valor, vamos montar a seguinte equação:
2 + 4 + 6 + x
4
= 44
Solucionando-a temos:
Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.
5) Solução:
a) (15 + 48 + 36)/3 =
99/3 = 33
b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=
346/4 = 86,5
c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5=
= 252/5
= 50,4
d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=
45/9 =
= 5
6) Resposta “22”.
Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos 
cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes pro-
dutos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:
10.1+14.2 +18.3+ 30.5
1+ 2 + 3+ 5
= 10 + 28 + 54 +150
11
= 242
11
= 22
Logo, a média aritmética ponderada é 22.
7) Resposta “4,9”.
Solução:
MP = 3.5 + 6.3+ 8.2
5 + 3+ 2
= 15 +18 +16
10
= 49
10
= 4,9
8) Resposta “ ±14,93 ”
Solução: 
MP = 14.10 +15.12 +16.8
10 +12 + 8
= 140 +180 +128
30
= 448
30
= ±14,93
9) Resposta “ ≅ R$651,43 ”
Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética 
ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E 
com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 
840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:
MP = 320.20 + 840.10 +1600.5
20 +10 + 5
= 22.800
35
≅ R$651,43
10) Resposta “11,42”.
Solução: 
MP = 5.10 +10.5 +15.20
10 + 5 + 20
= 50 + 50 + 300
35
= 400
35
= 11,42
Média Geométrica
Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valo-
res e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o 
valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elemen-
tos e obtemos o produto 216. 
Didatismo e Conhecimento 41
MATEMÁTICA
Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, 
chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 ele-
mentos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
4.6.93 ⇒ 2163 ⇒ 6
Utilidades da Média Geométrica
Progressão Geométrica
Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma 
progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo 
é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:
an = an−1.an+1
Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma 
PG.: 7, 21 e 63.
Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 
7 e 63.
Vejamos:
7.63⇒ 441⇒ 21
Variações Percentuais em Sequência
Outra utilização para este tipo de média é quando estamos tra-
balhando com variações percentuais em sequência.
Exemplo
Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento 
salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após 
três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta ca-
tegoria?
Sabemos que para acumularmos um aumento 
de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos 
multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os 
fatores correspondentes a tais percentuais.
A partir dai podemos calcular a média geométrica destes 
fatores:
1,2.1,12.1,073 ⇒ 1,438083 ⇒1,128741
Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 
8741% de aumento. 
Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, 
ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 
8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos 
aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.
Digamos que o salário desta categoria de operários seja 
de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:
Salário 
Inicial
+ % 
Informado
Salário 
final
Salário 
inicial
+ % 
médio
Salário 
final
R$ 
1.000,00
20%
R$ 
1.200,00
R$ 
1.000,00
12, 8417
R$ 
1.128,74
R$ 
1.200,00
12%
R$ 
1.334,00
R$ 
1.287,74
12, 8417
R$ 
1.274,06
R$ 
1.334,00
7%
R$ 
1.438,00
R$ 
1.274,06
12, 8417
R$ 
1.438,08
Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos 
dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da 
média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média 
aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, 
ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual 
de 13% utilizado é ligeiramentemaior que os 12, 8417% da média 
geométrica.
Cálculo da Média Geométrica
Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é
ai
i=1
n
∏⎛⎝⎜
⎞
⎠⎟
1/n
= (a1.a2...an )
1/n = a1.a2...ann
A média geométrica de um conjunto de números é sempre 
menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto 
(as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do 
conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética 
geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor inter-
mediário às duas.
A média geométrica é também a média aritmética harmôni-
ca no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:
an+1 =
an + hn
2
,a1= x + y
2
E
hn+1 =
2
1
an
+ 1
hn
,h1 =
2
1
x
+ 1
y 
então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.
Cálculo da Media Geométrica Triangular
Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos 
quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos 
a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividi-
mos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos 
triângulos.
Exemplo
A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é 
dada por:
G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013
Didatismo e Conhecimento 42
MATEMÁTICA
Aplicação Prática
Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual 
é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais 
econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média 
geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma 
vez que a.b = 64.
A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.
G = R[a × b] = R[64] = 8
Resposta
É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que 
a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O 
perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em 
que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, 
teremos perímetros maiores do que 32 cm.
Interpretação gráfica
A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser 
obtida geometricamente de uma forma bastante simples.
Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta 
que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles 
formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.
Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o 
ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em 
O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e 
terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir 
de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do 
segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos 
segmentos AB e BC.
Exercícios
1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.
2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.
3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo 
que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respec-
tivamente, iguais a 4 e 9.
4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo 
multiplicar um desses números para que a média aumente 2 uni-
dades ?
5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?
6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples 
e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais 
são estes dois números?
7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles 
juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes 
três números?
8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.
9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81
10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.
Respostas
1) Resposta “4”.
Solução: 
M .G.(2e8) = 2 × 82 = 16 = 4⇒M .G.(2e8) = 4
2) Resposta “2”.
Solução: 
M .G.(1,2e4) = 1× 2 × 43 = 83 = 2⇒M .G.(1,2e4) = 2
Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, 
utilizado para a média geométrica entre dois números.
3) Resposta “6”.
Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos: 
g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.
4) Resposta “
27
8
”
Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, pode-
mos escrever: 
M .G.= x.y.z3 ⇒ 4 = x.y.z3 ⇒ x.y.z = 64
Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:
4 + 2 = x.y.z.m3 ⇒ 6 = x.y.z.m3 ⇒ x.y.z.m = 216
e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 → m = 216
64
= 27
8
5) Resposta “8”. 
Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este 
exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números 
e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tra-
tam de cinco números:
2.4.8.16.325 ⇒ 327685 ⇒ 8
Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução 
ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem 
contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?
Repare que todos os números são potência de 2, podemos en-
tão escrever:
2.4.8.16.325 ⇒ 2.22.23.24.255
Como dentro do radical temos um produto de potências de 
mesma base, somando-se os expoentes temos:
Didatismo e Conhecimento 43
MATEMÁTICA
2.22.23.24.255 ⇒ 2155
Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resol-
vendo a potência resultante:
2155 ⇒ 231 ⇒ 23 ⇒ 8
Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.
6) Resposta “16, 25”.
Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média 
aritmética deles pode ser expressa como:
a + b
2
= 20,5
Já média geométrica pode ser expressa como:
a.b = 20
Vamos isolar a na primeira equação:
a + b
2
= 20,5⇒ a + b = 20,5.2⇒ a = 41− b
Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é ne-
cessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para 
conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:
a.b = 20⇒ (41− b).b = 20⇒ 41b − b2( )2 = 202
⇒ 41b − b2 = 400⇒−b2 + 41b − 400 = 0
Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:
-b2 + 41b - 400 = 0
Solucionando a mesma temos:
−b2 + 41b − 400 = 0⇒ b = −41± 412 − 4.(−1).(−400)
2.(−1)
⇒
b1 =
−41+ 81
−2
⇒ b1 =
−41+ 9
−2
⇒ b1 =
−32
−2
⇒ b1 = 16
b2 =
−41− 81
−2
⇒ b2 =
−41+ 9
−2
⇒ b2 =
−50
−2
⇒ b2 = 25
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de 
se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual 
a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos con-
ferir.
Sabemos que a = 41 - b, portanto atribuindo a b um de seus 
possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.
Para b = 16 temos:
a = 41 - b ⇒ 41 - 16 ⇒ a = 25
Para b = 25 temos:
a = 41 - b ⇒ a = 41 - 25 ⇒ a = 16
Logo, os dois números são 16, 25.
7) Resposta “12”.
Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números, 
a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte 
equação:
P = 6
Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, ire-
mos obter o valor numérico do produto destes dois números:
P = 6⇒ ( P)
2
= 62 ⇒ P = 36
Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro 
é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica 
deste novo produto para encontrarmos a média desejada:
M = 36.483 ⇒M = (22.32 ).(24.3)3 ⇒M = 26.333
⇒M = 22.3⇒M = 4.3⇒M = 12
Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos 
a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse 
a página decomposição de um número natural em fatores primos 
para maiores informações sobre este assunto.
Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a 
média geométrica passará a ser 12.
8) Resposta “6”.
Solução: G = 4.92 = 6
9) Resposta “9”.
Solução: G = 3.3.9.814 = 9
10) Resposta “6”.
Solução:G = 1.1.1.32.243= 65
GEOMETRIA: RETA E PLANO. FIGURAS 
GEOMÉTRICAS, ÁREA E VOLUME DAS 
FIGURAS GEOMÉTRICAS.
Geometria Plana
A Geometria é a parte da matemática que estuda as figuras e 
suas propriedades. A geometria estuda figuras abstratas, de uma 
perfeição não existente na realidade. Apesar disso, podemos ter 
uma boa ideia figuras geométricas, observando objetos reais, como 
o aro da cesta de basquete que sugere uma circunferência, as portas 
e janelas que sugerem retângulos e o dado que sugere um cubo.
Didatismo e Conhecimento 44
MATEMÁTICA
Reta, semirreta e segmento de reta
Definições.
a) Segmentos congruentes.
Dois segmentossão congruentes se têm a mesma medida.
b) Ponto médio de um segmento.
Um ponto P é ponto médio do segmento AB se pertence ao 
segmento e divide AB em dois segmentos congruentes.
c) Mediatriz de um segmento.
É a reta perpendicular ao segmento no seu ponto médio
Ângulo
Definições.
a) Ângulo é a região plana limitada por duas semirretas de 
mesma origem.
b) Ângulos congruentes: Dois ângulos são ditos congruentes 
se têm a mesma medida.
c) Bissetriz de um ângulo: É a semirreta de origem no vértice 
do ângulo que divide esse ângulo em dois ângulos congruentes.
Perímetro
Entendendo o que é perímetro.
Imagine uma sala de aula de 5m de largura por 8m de 
comprimento.
Quantos metros lineares serão necessários para colocar rodapé 
nesta sala, sabendo que a porta mede 1m de largura e que nela não 
se coloca rodapé?
A conta que faríamos seria somar todos os lados da sala, 
menos 1m da largura da porta, ou seja:
P = (5 + 5 + 8 + 8) – 1
P = 26 – 1
P = 25
Colocaríamos 25m de rodapé.
A soma de todos os lados da planta baixa se chama Perímetro.
Portanto, Perímetro é a soma dos lados de uma figura plana.
Área 
Área é a medida de uma superfície. 
A área do campo de futebol é a medida de sua superfície 
(gramado). 
Se pegarmos outro campo de futebol e colocarmos em uma 
malha quadriculada, a sua área será equivalente à quantidade de 
quadradinho. Se cada quadrado for uma unidade de área: 
Veremos que a área do campo de futebol é 70 unidades de 
área. 
A unidade de medida da área é: m² (metros quadrados), cm² 
(centímetros quadrados), e outros. 
Se tivermos uma figura do tipo: 
Didatismo e Conhecimento 45
MATEMÁTICA
Sua área será um valor aproximado. Cada é uma unidade, 
então a área aproximada dessa figura será de 4 unidades. 
No estudo da matemática calculamos áreas de figuras planas e 
para cada figura há uma fórmula pra calcular a sua área. 
Retângulo 
É o quadrilátero que tem todos os ângulos internos congruentes 
e iguais a 90º.
No cálculo da área de qualquer retângulo podemos seguir o 
raciocínio:
Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada 
onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos 
que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como 
sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos 
dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.
O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, 
só que representado de forma diferente. O cálculo da área do 
retângulo pode ficar também da seguinte forma: 
A = 6 . 4 A = 24 cm² 
Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é: 
 A = b . h 
Quadrado 
É o quadrilátero que tem os lados congruentes e todos os 
ângulos internos a congruentes (90º). 
Sua área também é calculada com o produto da base pela 
altura. Mas podemos resumir essa fórmula: 
Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é 
igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . 
h, temos: 
A = .
A= ²
Trapézio 
É o quadrilátero que tem dois lados paralelos. A altura de um 
trapézio é a distância entre as retas suporte de suas bases.
Em todo trapézio, o segmento que une os pontos médios 
dos dois lados não paralelos, é paralelo às bases e vale a média 
aritmética dessas bases.
Didatismo e Conhecimento 46
MATEMÁTICA
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo 
que é calculada utilizando a seguinte fórmula: 
A = b . h (b = base e h = altura). 
 2 
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais 
importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):
Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base 
menor (b) e por uma altura (h). 
Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo 
em dois triângulos, veja como: 
Primeiro: completamos as alturas no trapézio: 
 
Segundo: o dividimos em dois triângulos:
A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos 
dois triângulos (∆CFD e ∆CEF). 
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo 
separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e 
alturas iguais. 
Cálculo da área do ∆CEF:
A∆1 = B . h 
 2
Cálculo da área do ∆CFD:
A∆2 = b . h 
 2
 Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da 
área de um trapézio qualquer:
AT = A∆1 + A∆2
AT = B . h + b . h 
 2 2 
AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evi-
 2 
dência, pois é um termo comum aos dois fatores. 
AT = h (B + b) 
 2 
Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer 
utilizamos a seguinte fórmula:
A = h (B + b) 
 2 
h = altura 
B = base maior do trapézio 
b = base menor do trapézio 
Losango
É o quadrilátero que tem os lados congruentes.
Em todo losango as diagonais são:
a) perpendiculares entre si;
b) bissetrizes dos ângulos internos.
A área do losango é definida pela seguinte fórmula:
.
2
d DS = Onde D é a diagonal maior e d é a menor.
Triângulo
Figura geométrica plana com três lados.
Didatismo e Conhecimento 47
MATEMÁTICA
Ângulo externo. O ângulo externo de qualquer polígono 
convexo é o ângulo formado entre um lado e o prolongamento do 
outro lado.
Classificação dos triângulos.
a) quanto aos lados:
- triângulo equilátero.
- triângulo isósceles.
- triângulo escaleno.
b) quanto aos ângulos:
- triângulo retângulo.
- triângulo obtusângulo.
- triângulo acutângulo.
Propriedades dos triângulos
1) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos 
internos é 180º.
2) Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à 
soma das medidas dos 2 ângulos internos não adjacentes.
3) Em todo triângulo, a soma das medidas dos 3 ângulos 
externos é 360º. 
4) Em todo triângulo isósceles, os ângulos da base são 
congruentes. Observação - A base de um triângulo isósceles é o 
seu lado diferente.
Altura - É a distância entre o vértice e a reta suporte do lado 
oposto.
Área do triangulo
Segmentos proporcionais
Teorema de Tales. 
Em todo feixe de retas paralelas, cortado por uma reta 
transversal, a razão entre dois segmento quaisquer de uma 
transversal é igual à razão entre os segmentos correspondentes da 
outra transversal.
Didatismo e Conhecimento 48
MATEMÁTICA
Semelhança de triângulos
Definição.
Dois triângulos são semelhantes se têm os ângulos dois a dois 
congruentes e os lados correspondentes dois a dois proporcionais.
Definição mais “popular”.
Dois triângulos são semelhantes se um deles é a redução ou a 
ampliação do outro. 
Importante - Se dois triângulos são semelhantes, a 
proporcionalidade se mantém constante para quaisquer dois 
segmentos correspondentes, tais como: lados, medianas, alturas, 
raios das circunferências inscritas, raios das circunferências 
circunscritas, perímetros, etc.
Exercícios
1. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura 
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro 
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do 
outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos parale-
logramos?
2. Os lados de um triângulo equilátero medem 5 mm. Qual é a 
área deste triângulo equilátero?
3. Qual é a medida da área de um paralelogramo cujas medi-
das da altura e da base são respectivamente 10 cm e 2 dm?
4. As diagonais de um losango medem 10 cm e 15 cm. Qual é 
a medida da sua superfície?
5. Considerando as informações constantes no triangulo PQR, 
pode-se concluir que a altura PR desse triângulo mede:
a)5 b)6 c)7 d)8
6. Num cartão retangular, cujo comprimento é igual ao dobro 
de sua altura, foram feitos dois vincos AC e BF, que formam, entre 
si, um ângulo reto (90°). Observe a figura:
Considerando AF=16cm e CB=9cm, determine:
a) as dimensões do cartão;
b) o comprimento do vinco AC
7. Na figura, os ângulos assinalados sao iguais, AC=2 e AB=6. 
A medida de AE é:
a)6/5 b)7/4 c)9/5 d)3/2 e)5/4
8. Na figura a seguir, as distâncias dos pontos A e B à reta va-
lem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os 
pontosC e D. Se a medida de CD é 9, a que distância de C deverá 
estar o ponto E, do segmento CD, para que CÊA=DÊB
a)3
b)4
c)5
d)6
e)7 
 
9. Para ladrilhar uma sala são necessários exatamente 400 pe-
ças iguais de cerâmica na forma de um quadrado. Sabendo-se que 
a área da sala tem 36m², determine:
a) a área de cada peça, em m².
b) o perímetro de cada peça, em metros.
10. Na figura, os ângulos ABC, ACD, CÊD, são retos. Se 
AB=2 3 m e CE= 3 m, a razão entre as áreas dos triângulos 
ABC e CDE é: 
Didatismo e Conhecimento 49
MATEMÁTICA
a)6
b)4
c)3
d)2
e) 3 
Respostas
1. A2 = (2b)(2h) = 4bh = 4A1
2. Segundo o enunciado temos:
l=5mm
Substituindo na fórmula:
² 3 5² 3 6,25 3 10,8
4 4
lS S S= ⇒ = = ⇒ =
3. Sabemos que 2 dm equivalem a 20 cm, temos:
h=10
b=20
Substituindo na fórmula:
. 20.10 100 ² 2 ²S b h cm dm= = = =
4. Para o cálculo da superfície utilizaremos a fórmula que en-
volve as diagonais, cujos valores temos abaixo:
d1=10
d2=15
Utilizando na fórmula temos:
1. 2 10.15 75 ²
2 2
d dS cm= ⇒ =
5. 4 6 36 6
9 6
PR
PR
= ⇒ = =
6. 9 ² 144 12
16
) 12( );2 24( )
) 9² ² 81 144 15
x x x
x
a x altura x comprimento
b AC x
= ⇒ = ⇒ =
= =
= + = + =
7. 
8. 
9. 
10. 
GIROS E ÂNGULOS.
Ângulo: Do latim - angulu (canto, esquina), do grego - gonas; 
reunião de duas semi-retas de mesma origem não colineares.
Didatismo e Conhecimento 50
MATEMÁTICA
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da cir-
cunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono 
regular e cujos lados passam por vértices consecutivos do polígono. 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à 
circunferência e os lados são tangentes à ela. 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma cir-
cunferência e seus lados são secantes a ela. 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º.
Ângulo Raso:
- É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semi-retas opostas. 
Didatismo e Conhecimento 51
MATEMÁTICA
Ângulo Reto:
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementa-
res se a soma das suas medidas é 900. 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma 
medida. 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos 
pelo vértice se os lados de um são as respectivas semi-retas opos-
tas aos lados do outro. 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementa-
res se a soma das suas medidas é 3600. 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementa-
res se a soma das suas medidas de dois ângulos é 180º. 
Poligonal: Linha quebrada, formada por vários segmentos 
formando ângulos. 
Grado: (gr.): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 
400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 1/400 da 
circunferência denominamos de grado.
 
Grau: (º): Do latim - gradu; dividindo a circunferência em 
360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 da 
circunferência denominamos de grau.
Exercícios
1. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do 
ângulo â, nos seguintes casos:
a)
Didatismo e Conhecimento 52
MATEMÁTICA
b)
c)
2. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î?
3. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados:
a)
b)
c)
d)
4. Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo 
do triângulo:
a) Quanto mede a soma dos ângulos de um quadrado?
5. Dois ângulos são complementares tais que o triplo de um 
deles é igual ao dobro do outro. Determine o suplemento do menor.
6. A metade de um ângulo menos a quinta parte de seu com-
plemento mede 38 graus. Qual é esse angulo?
7. Cinco semi-retas partem de um mesmo ponto V, forman-
do cinco ângulos que cobrem todo o plano e são proporcionais aos 
números 2, 3, 4, 5 e 6. Calcule o maior dos ângulos.
8. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais 
a metade do ângulo z. Calcule y.
Didatismo e Conhecimento 53
MATEMÁTICA
9. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n.
10. Determine o valor de a na figura seguinte:
Respostas
1) Resposta
a) 55˚
b) 74˚
c) 33˚
2) Resposta “130”.
Solução: Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando 
uma linha paralela às retas “a” e “b”.
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô.
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao 
complemento de 130° na reta b.
Logo, î = 80° + 50° = 130°.
3) Solução:
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115°
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180°
6x + 2x = 180° -15° - 5°
8x = 160°
x = 160°/8
x = 20°
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45°
c) Sabemos que a figura tem 90°.
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90°
4x + 50° = 90°
4x = 40°
x = 40°/4
x = 10°
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois 
são exatamente a metade de um círculo.
Então, 138° + x = 180°
x = 180° - 138°
x = 42°
Logo, o ângulo x mede 42°.
4) Solução: Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 
180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30° 60° e 90°.
a) Um quadrado tem quatro ângulos de 90º, e, portanto a soma 
deles vale 360º.
5) Resposta “144˚”.
Solução: 
- dois ângulos são complementares, então a + b = 90º
- o triplo de um é igual ao dobro do outro, então 3a = 2b
É um sistema de equações do 1º grau. Se fizermos a = 2b/3, 
substituímos na primeira equação:
2b/3 + b = 90
5b/3 = 90
b = 3/5 * 90
b = 54 → a = 90 – 54 = 36º
Como a é o menor ângulo, o suplemento de 36 é 180-36 = 
144º.
6) Resposta “80˚”.
Solução: (a metade de um ângulo) menos seu a [quinta parte] 
de seu [complemento] mede 38º.
[a/2] – [1/5] [(90-a)] = 38
a/2 – 90/5 + a/5 = 38
a/2 + a/5 = 38 + 90/5
7a/10 = 38 + 18
a = 10/7 * 56
a = 80º
Didatismo e Conhecimento 54
MATEMÁTICA
7) Resposta “180˚”.
Solução: Seja x a constante de proporcionalidade, temos para 
os ângulos: a, b, c, d, e…, a seguinte proporção com os números 2, 
3, 4, 5 e 6:
a/2 = x → a = 2x
b/3 = x → b = 3x
c/4 = x → c = 4x
d/5 = x → d = 5x
e/6 = x → e = 6x
Assim as semi-retas: a + b + c + d + e = 2x + 3x + 4x + 5x + 
6x = 360º
Agora a soma das retas: 20x
Então: 20x = 360º → x = 360°/20
x = 18°
Agora sabemos que o maior é 6x, então 6 . 18° = 108°.
8) Resposta “135˚”.
Solução: Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo 
y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
Então vale lembrar que:
x + y = 180 então y = 180 – x.
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do 
ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y.
x = y/6 + z/2
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z
Então:
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração:
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x
6x – 2x = 180°
4x = 180°
x=180°/4
x=45º
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x
y=180º - 45°
y=135°.
9) Resposta “11º; 159º”.
Solução: 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são 
iguais.
3m - 12º = m + 10º
3m - m = 10º + 12º
2m = 22º
m = 22º/2
m = 11º
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles 
é igual a 180º.
(m + 10º) + n = 180º
(11º + 10º) + n = 180º
21º + n = 180º
n = 180º - 21º
n = 159º
Resposta: m = 11º e n = 159º.
10) Resposta “45˚”.
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais.
POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, 
QUADRILÁTEROS.
Polígonos
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por uma 
linha poligonal fechada. A palavra “polígono” advém do grego e 
quer dizer muitos (poly) e ângulos (gon).
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e 
não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples 
Linha poligonal fechada não-simples
Linha poligonal aberta simples 
Linha poligonal aberta não-simples 
Polígono é uma linha fechada simples. Um polígonodivide o 
plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), 
sem pontos comuns.
Didatismo e Conhecimento 55
MATEMÁTICA
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
- Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices con-
secutivos: AB,BC,CD,DE,DE,EA .
- Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, 
B, C, D, E.
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecu-
tivos: AC,AD,BD,BE,CE
- Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados conse-
cutivos: , , , , .
- Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo 
prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , 
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
Nome Número 
de lados Nome Número 
de lados
triângulo 3 quadrilátero 4
pentágono 5 hexágono 6
heptágono 7 octógono 8
eneágono 9 decágono 10
hendecágono 11 dodecágono 12
tridecágono 13 tetradecágono 14
pentadecágono 15 hexadecágono 16
heptadecágono 17 octodecágono 18
eneadecágono 19 icoságono 20
triacontágono 30 tetracontágono 40
pentacontágono 50 hexacontágono 60
heptacontágono 70 octacontágono 80
eneacontágono 90 hectágono 100
quilógono 1000 googólgono 10100
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte 
árvore:
Um polígono é denominado simples se ele for descrito por 
uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em 
uma região interna e externa), caso o contrário é denominado com-
plexo.
Um polígono simples é denominado convexo se não tiver ne-
nhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrá-
rio é denominado côncavo.
Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma cir-
cunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertence-
rem a uma mesma circunferência.
Um polígono inscritível é denominado regular se todos os 
seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
- triângulo equilátero 
- quadrado 
- pentágono regular 
- hexágono regular 
Propriedades dos polígonos
De cada vértice de um polígono de n lados, saem n - 3 diago-
nais (dv). 
O número de diagonais (d) de um polígono é dado por
n(n − 3)
2
 , onde n é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de 
n lados (Si) é dada por (n − 2).180 .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de 
n lados (Se) é igual a 360

n
.
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos 
formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por n - 2. 
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados 
(ai) é dada por (n − 2).180
n
.
A medida do ângulo externo de um polígono regular de n la-
dos (ae) é dada por 360
n
.
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono re-
gular de n lados (Sc) é igual a 360º. 
A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados 
(ac) é dada por 360
n
. 
Didatismo e Conhecimento 56
MATEMÁTICA
Outros polígonos
Alguns polígonos são diferentes dos outros, por apresentarem 
lados cruzados, são eles:
Estrelado
Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:
Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-
-simples
Entrecruzado
Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajuda a formar outro 
polígono.
Entrelaçado
Formado por faixas de retas paralelas que se entrelaçam
Esboço dos Polígonos citados acima
Ângulos de um Polígono Regular
Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados 
congruentes e todos os ângulos internos congruentes. Também, em 
cada vértice do polígono, a soma das medidas dos ângulos interno 
e externo é 180°.
Para um polígono de n lados, temos que o ângulo interno (A¡) 
= (1− 2 / n)×180
Exemplos
Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos 
ângulos internos: S¡ = 6-2 . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 
120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.
Para um polígono convexo qualquer de n lados:
Soma dos ângulos Internos
SÎ = (n-2) . 180º
Soma dos ângulos Externos
Sê = 360º
Número de Diagonais
d= n(n-3) / 2
Polígonos regulares
São aqueles que possuem todos os lados congruentes e todos 
os ângulos congruentes.
Î = (n-2).180º /n ê=360º/n
Î + ê =180º
Exercícios
1. Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dode-
cágono?
2. Qual o polígono que tem soma dos ângulos internos 
igual a 3240º?
3. Ache o valor de x na figura:
4. Um quadrilátero possui:
a) Quantos vértices?
b) Quantos Lados?
c) Quantos lados internos e externos?
5. De o nome do polígono que possui:
a) 8 lados
b) 5 vértices
6. De o nome do polígono que possui:
a) 3 ângulos externos
b) 22 ângulos internos
7. Qual o número mínimo de lados de um polígono?
8. Determine o número de diagonais do octógono.
9. Determine o polígono cujo número de diagonais é o do-
bro do número de lados.
10. Quantos ângulos internos possui um decágono? 
Didatismo e Conhecimento 57
MATEMÁTICA
Respostas
1) Solução:
n = 12 
Si = (n - 2).180°
Si = 10.180° = 1800
2) Solução:
Si = 3240°
Si = (n -2 ).180°
3240° = (n - 2).180°
3240
180
= n - 2
18 = n - 2
n = 20
3) Solução: 
A soma dos ângulos internos do pentágono é:
Si = (n - 2).180°
Si = (5 - 2).180°
Si = 3.180°
Si = 540°
540 = x + 3
2
x + x +15 + 2x − 20 + x + 2
540 = 5x + 3
2
x + 20
520 = 10x + 3x
2
1040 = 13x
x = 1040

13
x = 80
4) Solução: Um quadrilátero, pelo próprio nome já diz, possui 
4 lados. Portanto:
a) 4 vértices
b) 4 lados
c) 4 ângulos internos e externos.
5) Solução:
a) Octógono
b) Pentágono
6) Solução:
a) Triângulo
b) Polígono de 22 lados.
7) Solução:
3 lados.
8) Solução. Um octógono possui 8 lados, ou 8 vértices, logo: 
n = 8
n.(n − 3)
2
= 8.(8 − 3)
2
= 8.5
2
= 40
2
= 20
9) Solução:
n número de lados: n
n de diagonais: d = 
Pelo dado do problema: d = 2n
n.(n − 3)
2
= 2n→ n.(n − 3) = 4n→ n.(n − 3)
n
= 4n
n
→ n − 3 = 4→ n = 4 + 3 = 7
Logo, o polígono é o heptágono.
10) Solução:
10 ângulos
Triângulos
Triângulo é um polígono de três lados. É o polígono que pos-
sui o menor número de lados. Talvez seja o polígono mais impor-
tante que existe. Todo triângulo possui alguns elementos e os prin-
cipais são: vértices, lados, ângulos, alturas, medianas e bissetrizes.
Apresentaremos agora alguns objetos com detalhes sobre os 
mesmos.
1. Vértices: A,B,C.
2. Lados: AB,BC e AC.
3. Ângulos internos: a, b e c.
Altura: É um segmento de reta traçada a partir de um vértice 
de forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo 
reto. BH é uma altura do triângulo.
Mediana: É o segmento que une um vértice ao ponto médio 
do lado oposto. BM é uma mediana.
Didatismo e Conhecimento 58
MATEMÁTICA
Bissetriz: É a semi-reta que divide um ângulo em duas partes 
iguais. O ângulo B está dividido ao meio e neste caso Ê = Ô.
Ângulo Interno: É formado por dois lados do triângulo. Todo 
triângulo possui três ângulos internos.
Ângulo Externo: É formado por um dos lados do triângulo e 
pelo prolongamento do lado adjacente (ao lado).
Classificação dos triângulos quanto ao número de lados
Triângulo Equilátero: Os três lados têm medidas iguais. 
m(AB) = m(BC) = m(CA)
Triângulo Isóscele: Pelo menos dois lados têm medidas 
iguais. m(AB) = m(AC).
Triângulo Escaleno: Todos os três lados têm medidas dife-
rentes.
Classificação dos triângulos quanto às medidas dos ângu-
los
Triângulo Acutângulo: Todos os ângulos internos são agu-
dos, isto é, as medidas dos ângulos são menores do que 90º.
Triângulo Obtusângulo: Um ângulo interno é obtuso, isto é, 
possui um ângulo com medida maior do que 90º.
Triângulo Retângulo: Possui um ângulo interno reto (90 
graus).
Medidas dos Ângulos de um Triângulo
Ângulos Internos: Consideremos o triângulo ABC. Poderemos 
identificar com as letras a, b e c as medidas dos ângulos internos 
desse triângulo. Em alguns locais escrevemos as letras maiúsculas 
A, B e C para representar os ângulos.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 
igual a 180 graus, istoé: a + b + c = 180º
Didatismo e Conhecimento 59
MATEMÁTICA
Exemplo
Considerando o triângulo abaixo, podemos escrever que: 70º 
+ 60º + x = 180º e dessa forma, obtemos x = 180º - 70º - 60º = 50º.
Ângulos Externos: Consideremos o triângulo ABC. Como ob-
servamos no desenho, em anexo, as letras minúsculas representam 
os ângulos internos e as respectivas letras maiúsculas os ângulos 
externos.
Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois 
ângulos internos não adjacentes a esse ângulo externo. Assim: A = 
b+c, B = a+c, C = a+b
Exemplo
No triângulo desenhado: x=50º+80º=130º.
Congruência de Triângulos
A ideia de congruência: Duas figuras planas são congruen-
tes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, isto é, o 
mesmo tamanho.
Para escrever que dois triângulos ABC e DEF são congruen-
tes, usaremos a notação: ABC ~ DEF
Para os triângulos das figuras abaixo, existe a congruência en-
tre os lados, tal que: 
AB ~ RS, BC ~ ST, CA ~ T e entre os ângulos: A ~ R , B ~ S 
, C ~ T
Se o triângulo ABC é congruente ao triângulo RST, escreve-
mos: ABC ~ RST
Dois triângulos são congruentes, se os seus elementos corres-
pondentes são ordenadamente congruentes, isto é, os três lados e 
os três ângulos de cada triângulo têm respectivamente as mesmas 
medidas.
Para verificar se um triângulo é congruente a outro, não é ne-
cessário saber a medida de todos os seis elementos, basta conhece-
rem três elementos, entre os quais esteja presente pelo menos um 
lado. Para facilitar o estudo, indicaremos os lados correspondentes 
congruentes marcados com símbolos gráficos iguais. 
Casos de Congruência de Triângulos
LLL (Lado, Lado, Lado): Os três lados são conhecidos.
Dois triângulos são congruentes quando têm, respectivamen-
te, os três lados congruentes. Observe que os elementos congruen-
tes têm a mesma marca.
LAL (Lado, Ângulo, Lado): Dados dois lados e um ângulo
Dois triângulos são congruentes quando têm dois lados con-
gruentes e os ângulos formados por eles também são congruentes.
ALA (Ângulo, Lado, Ângulo): Dados dois ângulos e um lado
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado e dois 
ângulos adjacentes a esse lado, respectivamente, congruentes.
LAAo (Lado, Ângulo, Ângulo oposto): Conhecido um lado, 
um ângulo e um ângulo oposto ao lado.
Dois triângulos são congruentes quando têm um lado, um ân-
gulo, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse lado respec-
tivamente congruente.
Didatismo e Conhecimento 60
MATEMÁTICA
Semelhança de Triângulos
A ideia de semelhança: Duas figuras são semelhantes quando 
têm a mesma forma, mas não necessariamente o mesmo tamanho.
Se duas figuras R e S são semelhantes, denotamos: R~S.
Exemplo
As ampliações e as reduções fotográficas são figuras seme-
lhantes. Para os triângulos:
os três ângulos são respectivamente congruentes, isto é: A~R, 
B~S, C~T
Observação: Dados dois triângulos semelhantes, tais triân-
gulos possuem lados proporcionais e ângulos congruentes. Se um 
lado do primeiro triângulo é proporcional a um lado do outro triân-
gulo, então estes dois lados são ditos homólogos. Nos triângulos 
acima, todos os lados proporcionais são homólogos.
Realmente:
AB~RS pois m(AB)/m(RS) = 2
BC~ST pois m(BC)/m(ST) = 2
AC~RT pois m(AC)/m(RT) = 2
Como as razões acima são todas iguais a 2, este valor comum 
é chamado razão de semelhança entre os triângulos. Podemos con-
cluir que o triângulo ABC é semelhante ao triângulo RST.
Dois triângulos são semelhantes se, têm os 3 ângulos e os 3 
lados correspondentes proporcionais, mas existem alguns casos 
interessantes a analisar.
Casos de Semelhança de Triângulos
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem dois ân-
gulos correspondentes congruentes, então os triângulos são seme-
lhantes.
Se A~D e C~F então: ABC~DEF
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem dois lados 
correspondentes proporcionais e os ângulos formados por esses la-
dos também são congruentes, então os triângulos são semelhantes.
Como m(AB) / m(EF) = m(BC) / m(FG) = 2
Então ABC ~ EFG
Exemplo
Na figura abaixo, observamos que um triângulo pode ser “ro-
dado” sobre o outro para gerar dois triângulos semelhantes e o 
valor de x será igual a 8. 
Realmente, x pode ser determinado a partir da semelhança de 
triângulos. 
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm os três la-
dos correspondentes proporcionais, então os triângulos são seme-
lhantes.
Exercícios
1. Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n:
Didatismo e Conhecimento 61
MATEMÁTICA
2. Determine os valores literais indicados na figura:
3. Determine os valores literais indicados na figura:
4. Determine os valores literais indicados na figura:
5. Determine os valores literais indicados na figura:
6. Determine a altura de um triângulo equilátero de lado l.
7. Determine x nas figuras.
8. Determine a diagonal de um quadrado de lado l.
9. Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, 
sabendo que o segmento BC é igual a 10 m e cos α = 3/5
10. Calcule a altura de um triângulo equilátero que tem 10 
cm de lado.
Respostas
1) Solução: 
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4
Didatismo e Conhecimento 62
MATEMÁTICA
2) Solução:
13² = 12² + x²
169 = 144 + x²
x² = 25
x = 5
5.12 = 13.y
y = 60/13
3) Solução: 
52 = 32 + x2
25 = 9 + x2
x2 = 16
x = √16 = 4
32 = 5m
m = 9
5
42 = 5n
n = 16
5
h2 = 9
5
x16
5
h2 = 144
25
h = 144
25
h = 12
5
4) Solução:
AC = 10→ e← AB = 24
(O é o centro da circunferência)
Solução:
(BC)2 = 102 + 242
(BC)2 = 100 + 576
(BC)2 = 676
BC = 676 = 26
x = 26
2
= 13
5) Solução:
d2 = 52 + 42
d2 = 25 + 16
d2 = 41
d = √41
6) Solução:
l2 = h2 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
l2 = h2 + 1
2
4
h2 = l2 − 1
2
4
h2 = 4l
2 − l2
4
h2 = 3l
2
4
h = 3l2
4
= l 3
2
7) Solução: O triângulo ABC é equilátero.
x = l 3
2
x = 8 3
2
= 4 3
8) Solução:
d2 = l2 + 12
d2 = 2l2
d = √2l2
d = 1√2
9) Solução:
cosα = x
10
3
5
= x
10
5x = 30
x = 30
5
= 6
102 = 62 + y2
100 = 36 + y2
y2 = 100 − 36
y2 = 64⇒ y = 64 = 8
P = 10 + 6 + 8 = 24m
10) Solução:
102 = 52 + h2
h2 = 100 − 25
h2 = 75
h = 75 = 52.3 = 5 3cm
Didatismo e Conhecimento 63
MATEMÁTICA
Quadriláteros
Quadrilátero é um polígono com quatro lados e os principais 
quadriláteros são: quadrado, retângulo, losango, trapézio e trape-
zoide.
No quadrilátero acima, observamos alguns elementos geomé-
tricos:
- Os vértices são os pontos: A, B, C e D.
- Os ângulos internos são A, B, C e D.
- Os lados são os segmentos AB, BC, CD e DA.
Observação: Ao unir os vértices opostos de um quadrilátero 
qualquer, obtemos sempre dois triângulos e como a soma das me-
didas dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus, concluí-
mos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual 
a 360 graus.
 
Classificação dos Quadriláteros
Paralelogramo: É o quadrilátero que tem lados opostos para-
lelos. Num paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes. Os 
paralelogramos mais importantes recebem nomes especiais:
- Losango: 4 lados congruentes
- Retângulo: 4 ângulos retos (90 graus)
- Quadrado: 4 lados congruentes e 4 ângulos retos.
Trapézio: É o quadrilátero que tem apenas dois lados opos-
tos paralelos. Alguns elementos gráficos de um trapézio (parecido 
com aquele de um circo).
- AB é paralelo a CD
- BC é não é paralelo a AD
- AB é a base maior
- DC é a base menor
Os trapézios recebem nomes de acordo com os triângulos que 
têm características semelhantes. Um trapézio pode ser:
- Retângulo: dois ângulos retos
- Isósceles: lados não paralelos congruentes
- Escaleno: lados não paralelos diferentes
Exercícios
1. Determine a medida dos ângulos indicados:
a)
b)
c)
2. As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero são: 
x + 17°; x + 37°; x + 45° e x + 13°. Determine as medidas desses 
ângulos.
3. No paralelogramo abaixo, determine as medidas de x e y.
Didatismo e Conhecimento 64
MATEMÁTICA
4. A figura abaixo é umlosango. Determine o valor de x e 
y, a medida da diagonal AC , da diagonal BD e o perímetro do 
triângulo BMC.
5. No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indi-
cadas:
6. Determine as medidas dos ângulos do trapézio da figura 
abaixo:
7. A figura abaixo é um trapézio isósceles, onde a, b, c repre-
sentam medidas dos ângulos internos desse trapézio. Determine a 
medida de a, b, c.
8. Sabendo que x é a medida da base maior, y é a medida da 
base menor, 5,5 cm é a medida da base média de um trapézio e que 
x - y = 5 cm, determine as medidas de x e y.
9. Seja um paralelogramo com as medidas da base e da altura 
respectivamente, indicadas por b e h. Se construirmos um outro 
paralelogramo que tem o dobro da base e o dobro da altura do 
outro paralelogramo, qual será relação entre as áreas dos parale-
logramos?
10. É possível obter a área de um losango cujo lado mede 10 
cm?
Respostas
1) Solução:
a) x + 105° + 98º + 87º = 360º
x + 290° = 360°
x = 360° - 290°
x = 70º
b) x + 80° + 82° = 180°
x + 162° = 180°
x = 180º - 162º
x = 18°
18º + 90º + y + 90º = 360°
y + 198° = 360°
y = 360º - 198°
y = 162º
c) 3a / 2 + 2a + a / 2 + a = 360º
(3a + 4a + a + 2a) / 2 = 720° /2
10a = 720º
a = 720° / 10
a = 72°
 
72° + b + 90° = 180°
b + 162° = 180°
b = 180° - 162°
b = 18°.
2) Solução:
x + 17° + x + 37° + x + 45° + x + 13° = 360°
4x + 112° = 360°
4x = 360° - 112°
x = 248° / 4
x = 62°
Então, os ângulos são:
x + 17° = 79°
x + 37° = 99°
x + 45° = 107º
x + 13° = 75°.
3) Solução:
9y + 16° = 7y + 40°
9y = 7y + 40° - 16°
9y = 7y + 24°
9y - 7y = 24°
2y = 24°
y = 24º /2
y = 12°
Didatismo e Conhecimento 65
MATEMÁTICA
Então:
x + (7 * 12° + 40°) = 180°
x = 180º - 124°
x = 56°
4) Solução:
x = 15
y = 20
AC = 20 + 20 = 40
BD = 15 + 15 = 30
BMC = 15 + 20 + 25 = 60.
5) Solução:
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
x = 85° / 17° = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
6) Solução:
x + 27° + 90° = 180°
x + 117° = 180°
x = 180° - 117°
x = 63°
y + 34° + 90° = 180°
y + 124° = 180°
y = 180° - 124°
y = 56°
As medidas dos ângulos são:
63° ; 56° ; 90° + 27° = 117° ; 90 + 34° = 124°.
7) Solução:
c = 117°
a + 117° = 180°
a = 180° - 117°
a = 63°
b = 63°
8) Solução:
x + y
2
= 5,5
x − y = 5
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
⎫
⎬
⎪
⎭⎪
x + y
2
= 5,5
x + y = 11
x + y = 11
x - y = 5
__________
2x + 0 = 16
2x = 16/2
x = 8
x + y = 11 
8 + y = 11
y = 11 – 8
y = 3
9) Solução:
A2 = (2b)(2h) = 4 bh = 4 A1
10) Solução:
Não, pois os ângulos entre os lados de dois losangos, podem 
ser diferentes.
CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO.
Equações da circunferência
Equação reduzida
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano 
equidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado 
centro da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da 
circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunfe-
rência. Então:
dcp = (XP − XC )
2 + (YP −YC )
2
⇒ (x − a)2 − (y − b)2 = r
⇒ (x − a)2 + (y − b)2 = r2
Didatismo e Conhecimento 66
MATEMÁTICA
Portanto, (x - a)2 + (y - b)2 =r2 é a equação reduzida da cir-
cunferência e permite determinar os elementos essenciais para a 
construção da circunferência: as coordenadas do centro e o raio.
Observação: Quando o centro da circunferência estiver na ori-
gem (C(0,0)), a equação da circunferência será x2 + y2 = r2.
Equação Geral
Desenvolvendo a equação reduzida, obtemos a equação geral 
da circunferência:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2 ⇒ x2 − 2ax + a2 + y2 − 2by + b2 = r2
⇒ x2 + y2 − 2ax − 2by + a2 + b2 − r2 = 0
Como exemplo, vamos determinar a equação geral da circun-
ferência de centro C(2, -3) e raio r = 4.
A equação reduzida da circunferência é:
( x - 2 )2 +( y + 3 )2 = 16
Desenvolvendo os quadrados dos binômios, temos:
x2 − 4x + 4 + y2 + 6y + 9 −16 = 0⇒ x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
Determinação do centro e do raio da circunferência, dada 
a equação geral
Dada a equação geral de uma circunferência, utilizamos o pro-
cesso de fatoração de trinômio quadrado perfeito para transformá-
-la na equação reduzida e, assim, determinamos o centro e o raio 
da circunferência.
Para tanto, a equação geral deve obedecer a duas condições:
- Os coeficientes dos termos x2 e y2 devem ser iguais a 1; 
- Não deve existir o termo xy. 
Então, vamos determinar o centro e o raio da circunferência 
cuja equação geral é x2 + y2 - 6x + 2y - 6 = 0.
Observando a equação, vemos que ela obedece às duas con-
dições.
 Assim:
1º passo: agrupamos os termos em x e os termos em y e isola-
mos o termo independente 
x2 - 6x + _ + y2 + 2y + _ = 6
2º passo: determinamos os termos que completam os quadra-
dos perfeitos nas variáveis x e y, somando a ambos os membros as 
parcelas correspondentes 
3º passo: fatoramos os trinômios quadrados perfeitos 
( x - 3 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 16
4º passo: obtida a equação reduzida, determinamos o centro 
e o raio 
Posição de um ponto em relação a uma circunferência
Em relação à circunferência de equação ( x - a )2 + ( y - b )2 = 
r2, o ponto P(m, n) pode ocupar as seguintes posições:
a) P é exterior à circunferência
CP > r⇒ (Xp − Xc )
2 + (Yp −Yc )
2 > r
⇒ (m − a)2 + (n − b)2 > r
⇒ (m − a)2 + (n − b)2 > r
⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 > 0
b) P pertence à circunferência
CP = r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 = r2
⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 = 0
Didatismo e Conhecimento 67
MATEMÁTICA
c) P é inferior à circunferência
CP = r⇒ (m − a)2 + (n − b)2 < r2
⇒ (m − a)2 + (n − b)2 − r2 < 0
Assim, para determinar a posição de um ponto P(m, n) em 
relação a uma circunferência, basta substituir as coordenadas de P 
na expressão (x - a)2 + (y - b)2 - r2:
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 > 0, então P é exterior à circunfe-
rência; 
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 = 0, então P pertence à circunfe-
rência; 
- se ( m - a)2 + ( n - b)2 - r2 < 0, então P é interior à circunfe-
rência.
Posição de uma reta em relação a uma circunferência
Dadas uma reta s: Ax + Bx + C = 0 e uma circunferência 
de equação ( x - a)2 + ( y - b)2 = r2, vamos examinar as posições 
relativas entre s e :
s∩α =∅⇒ s − é − exterior − a→α
s∩α = T{ }⇒ s − é − tangente− a→α
s∩α = s1,s2{ }⇒ s − é − secante− a→α
Também podemos determinar a posição de uma reta em rela-
ção a uma circunferência calculando a distância da reta ao centro 
da circunferência. Assim, dadas a reta s: Ax + By + C = 0 e a 
circunferência :
(x - a)2 + ( y - b )2 = r2, temos:
dcs =
| Aa + Bb +C |
A2 + B2
Assim:
Didatismo e Conhecimento 68
MATEMÁTICA
Condições de tangência entre reta e circunferência
Dados uma circunferência e um ponto P(x, y) do plano, 
temos:
a) se P pertence à circunferência, então existe uma única reta 
tangente à circunferência por P
s é solução única
b) se P é exterior à circunferência, então existem duas retas 
tangentes a ela por P
r e t são soluções
c) se P é interior à circunferência, então não existe reta tan-
gente à circunferência passando pelo ponto P
A Importância da Circunferência
A circunferência possui características não comumente en-
contradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figu-
ra plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar 
sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em 
relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferên-
cia é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento 
como nas Engenharias, Matemática, Física, Química, Biologia, 
Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na in-
dústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.
Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de to-
dos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma 
distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunfe-
rência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das 
aplicações.
Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um 
plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma 
distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um 
ponto. O círculo é a reunião da circunferênciacom o conjunto de 
pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circun-
ferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, 
enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a 
circunferência.
Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo
Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os 
pontos do círculo que não estão na circunferência.
Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os 
pontos localizados fora do círculo.
Raio, Corda e Diâmetro
Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um 
segmento de reta com uma extremidade no centro da circunferên-
cia e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. 
Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.
Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta 
cujas extremidades pertencem à circunferência. Na figura, os seg-
mentos de reta AC e DE são cordas.
Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círcu-
lo) é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observa-
mos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o 
segmento de reta AC é um diâmetro.
Didatismo e Conhecimento 69
MATEMÁTICA
Posições relativas de uma reta e uma circunferência
Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se 
essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, po-
demos dizer também que é a reta que contém uma corda.
Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é 
uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. 
Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de con-
tato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta 
que passa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência.
Observações: Raios e diâmetros são nomes de segmentos de 
retas, mas às vezes são também usados como os comprimentos 
desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da 
circunferência, mas é usual dizer que o raio ON da circunferência 
mede 10 cm ou que o raio ON tem 10 cm.
- Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são 
usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exem-
plo, “A tangente PQ” pode significar a reta tangente à circunferên-
cia que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento 
de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do 
mesmo modo, a “secante AC” pode significar a reta que contém a 
corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto 
A ao ponto C.
Propriedades das secantes e tangentes
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, in-
tercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o 
ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpen-
dicular à reta secante s.
Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, in-
tercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpen-
dicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa 
também pelo ponto médio da corda AB.
Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P 
um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é 
tangente à circunferência no ponto de tangência P.
Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao 
raio no ponto de tangência.
Posições relativas de duas circunferências
Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas cir-
cunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente co-
mum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a 
externa.
Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferên-
cias no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os 
pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo 
semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos 
de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos 
diferentes, temos uma reta tangente comum interna.
Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna 
a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão 
contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se 
todos os seus pontos são pontos externos à outra.
Didatismo e Conhecimento 70
MATEMÁTICA
Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências 
com o mesmo centro, mas com raios diferentes são circunferências 
concêntricas.
Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão 
no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes 
à mesma reta no mesmo ponto de tangência.
As circunferências são tangentes externas uma à outra se os 
seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas 
são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mes-
mo lado da reta tangente comum.
Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente 
dois pontos distintos em comum.
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tan-
gentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP 
e BP são congruentes.
Polígonos circunscritos
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui 
seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos 
que esta circunferência está inscrita no polígono.
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um qua-
drilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados 
opostos é igual a soma dos outros dois lados.
Arco de circunferência e ângulo central
Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela defini-
ção de circunferência temos que OP = OQ = OR =... e isto indica 
que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.
Circunferências congruentes: São circunferências que pos-
suem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento 
de reta e não a um número.
Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é 
aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na 
figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de 
centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que 
AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.
Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunfe-
rência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos 
da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados 
contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco 
menor AB ou arco menor ACB.
Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência 
que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circun-
ferência que estão fora do ângulo central cujos lados contêm os 
dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está 
no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior, 
mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três 
letras para representar o arco maior.
Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pon-
tos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferên-
cia que estão em um dos lados do diâmetro. O arco RTS é uma 
semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é 
outra.
Didatismo e Conhecimento 71
MATEMÁTICA
Observações: Em uma circunferência dada, temos que:
- A medida do arco menor é a medida do ângulo central cor-
respondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus me-
nos a medida do arco menor m(AÔB).
- A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos.
- Em circunferências congruentes ou em uma simples circun-
ferência, arcos que possuem medidas iguais são arcos congruentes.
- Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos 
D e F, que são extremidades de um arco menor, então: 
m(DE)+m(EF)=m(DF).
- Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um 
arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).
- Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas 
figuras apresentadas.
Propriedades de arcos e corda
Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que 
une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda 
não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos 
de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um 
arco maior. Quando não for especificada, a expressão arcode uma 
corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre 
teremos que especificar. 
Observações: Se um ponto X está em um arco AB e o arco 
AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco 
AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X 
é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é 
o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que 
contém o arco.
- Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos 
uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto 
T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determina-
rá um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância 
entre o ponto e a reta.
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências con-
gruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos 
congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).
- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da 
corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências con-
gruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são 
congruentes. (Situação 3).
Polígonos inscritos na circunferência
Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice 
do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos 
que a circunferência é circunscrita ao polígono.
Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilá-
tero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos 
são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus 
e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.
 + Π= 180 graus
Ê + Ô = 180 graus
 + Ê + Î + Ô = 360 graus
Didatismo e Conhecimento 72
MATEMÁTICA
Ângulos inscritos
Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo 
com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura 
à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco corres-
pondente.
Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito 
em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do 
ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto 
é: m = n/2 = (1/2) m(AB)
Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente 
a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunfe-
rência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um 
lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse 
diâmetro é a hipotenusa do triângulo.
Ângulo semi-inscrito e arco capaz
Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de 
segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à cir-
cunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na 
circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a 
circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pon-
tos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é 
o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco. 
Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da 
medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC 
é igual a metade da medida do arco AXB.
Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-
-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que 
contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos 
A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar 
geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.
Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com la-
dos passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa 
que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo 
de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. 
Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e 
têm vértices em V1, V2, V3,..., são todos congruentes (a mesma 
medida).
Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo se-
mi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central 
então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é: m(arco AB) 
= 2 medida(m) = medida(n)
Exercícios
1. Dado um hexágono regular com área 48 R[3] cm2. Calcular 
a razão entre as áreas dos círculos inscrito e circunscrito. Escreva a 
equação da circunferência cujo extremos do diâmetro é dado pelos 
pontos A(2,–1) e B(6,3).
2. Dada uma equação reduzida de uma circunferência (x - 
1)2 + (y + 4)2 = 9, dizer qual a origem e o raio da circunferência:
3. Para a circunferência de equação x2 + y2 - 6x ? 2y +6 = 0, 
observar posição relativa dos seguintes pontos
a) P(2, 1)
b) Q(5, 1)
4. Examinar a posição relativa entre a reta r: 2x + y ? 2 = 0 e a 
circunferência l: (x ? 1)2 + (y ? 5)2 = 5
5. Obter as equações das tangentes à circunferência l: x2 + y2 = 
9, que sejam paralelas à reta s: 2x + y ? 1 = 0.
6. A projeção de uma corda sobre o diâmetro que passa por 
uma de suas extremidades é 36 cm. Calcule o comprimento da 
corda, sabendo que o raio da circunferência é 50 cm.
7. Se um ponto P da circunferência trigonométrica correspon-
de a um número x real, qual é a forma dos outros números que 
também correspondem a esse mesmo ponto?
Didatismo e Conhecimento 73
MATEMÁTICA
8. Quantas voltas serão dadas na circunferência trigonométri-
ca para se representar os números 25π
12
 e -12?
9. Qual o comprimento do arco descrito pelo ponteiro dos mi-
nutos de um relógio cujo mostrador tem 5 cm de diâmetro, após 
ter passado 1 hora?
10. Calcule qual a medida em graus do ângulo formado pelos 
ponteiros do relógio às 15h 15min. 
Respostas
1) Solução:
Como os pontos A e B são os extremos do diâmetro, o ponto 
médio entre eles é o centro da circunferência. Encontrando então 
o centro temos h = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4 e k = (–1 + 3) / 2 = 2 / 2 
= 1 e daí, o centro é o ponto C(4,1). A distância entre o centro e 
qualquer um dos pontos A ou B é o raio. 
Logo, R = dCB = 
(6 − 4)2 + (3−1)2 = 2 2+22 = 4 + 4 = 8
Então a equação é dada por: x2 + y2 – 2.4.x – 2.1.y + 42 + 12 – 
√8 2 = 0 ou x2 + y2 – 8x – 2y + 9 = 0.
2) Solução: Basta compararmos a equação dada com a equa-
ção genérica reduzida de uma circunferência:
x0 = 1
y0 = -4
r2 = 9 → r = 3
Assim a origem está no ponto (1, -4) e ela possui um raio de 3.
3) Solução: 
a) 22 + 12 ? 6.2 ? 2.1 +6 = -3 <0
P é interno à circunferência
b) 52 + 12 ? 6.5 ? 2.1 +6 = 0
Q Pertence à circunferência.
4) Solução: Procuraremos as eventuais interseções entre elas, 
isolando o y da reta e jogando na equação da circunferência tere-
mos:
y = 2 ? 2x
x2 + (2 ? 2x)2 ? 2x ? 10 . (2 ? 2x) + 21 =0
x2 + 2x +1 =0
Nesta equação temos discriminante (delta) nulo e única solu-
ção x = -1, o que leva a um único y, que é 4, assim a reta tangencia 
a circunferência.
5) Solução:
Nestes casos é aconselhável que a equação da reta esteja como 
de fato está, na sua forma geral, pois as tangentes t, sendo pa-
ralelas a s, manterão o coeficiente angular e poderemos escrever 
suas equações como 2x + y + c = 0 , bastando, então, encontrar os 
valores de c:
As tangentes distam r = 3 do centro (0,0):
dC,t = |c|/05 = 3
c =± 305
Portanto t1 : 2x + y + 305 = 0 e t2 : 2x + y - 305= 0.
6) Solução: Para Achar o comprimento de uma circunferência 
tem que usar essa fórmula C=2.π.r
Sendo π (pi) = 3,14
r = Raio
C=2×3,14×50
C=6,28×50
C=31,4.
7) Solução: Dado um número real x, fica determinado um 
ponto P da circunferência trigonométrica, de modo que o compri-
mento do arco AP, bem como a medida em radianos do arco AP, é 
x. Qualquer outro número real que difira do número x, por um nú-
mero inteiro de vezes 2π , irá corresponder a esse mesmo ponto P.
Assim, a forma dos outros números que também correspon-
dem a esse mesmo ponto é x + 2kπ ,k ∈Z .
8) Solução: Dado o número real 25
12
π , temos:
25
12
π = 2π + π
12
Portanto, para representá-lo será necessário dar uma volta in-
teira e mais um doze avos de meia volta, no sentido positivo de 
percurso, isto é, no sentido anti-horário.
Por outro lado, dado o número real -12, temos: −122π = −6
π
≅ −1,91
, ou seja, será dada, aproximadamente, uma volta inteira e mais 
0,91 de volta no sentido horário,já que o número dado é negativo.
9) Solução: Como o diâmetro do relógio é de 5 cm, temos que 
o raio é 2,5 cm.
Após 1 hora, o ponteiro dos minutos descreve um ângulo de 
uma volta no relógio, ou seja, o arco descrito é um arco de uma 
volta.
Assim, o comprimento desse arco é C = 2π .2,5 ≅ 15,70cm
10) Solução: Sabemos que, a cada hora, o ponteiro das horas 
se desloca 30o. E, portanto, em 15 minutos, ele se desloca 7o30’.
Já o ponteiro dos minutos se desloca 90o em 15 minutos Logo, 
o ângulo entre os dois ponteiros é de 7o30’, às 15h e 15min.
Didatismo e Conhecimento 74
MATEMÁTICA
GEOMETRIA ESPACIAL.
Para explicar o cálculo do volume de figuras geométricas, po-
demos pedir que visualizem a seguinte figura:
a) A figura representa a planificação de um prisma reto;
b) O volume de um prisma reto é igual ao produto da área da 
base pela altura do sólido, isto é
V = Ab x a
c) O cubo e o paralelepípedo retângulo são prismas;
d) O volume do cilindro também se pode calcular da mesma 
forma que o volume de um prisma reto.
Os formulários seguintes, das figuras geométricas são para 
calcular da mesma forma que as acima apresentadas:
Figuras Geométricas:
O conceito de cone
 
Considere uma região plana limitada por uma curva suave 
(sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano. Chamamos 
de cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de 
reta que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer 
da região.
Elementos do cone 
- Base: A base do cone é a região plana contida no interior da 
curva, inclusive a própria curva. 
- Vértice: O vértice do cone é o ponto P. 
- Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui cen-
tro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo 
centro da base. 
- Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade 
no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base. 
- Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base. 
- Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião 
de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a 
outra na curva que envolve a base. 
- Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da su-
perfície lateral com a base do cone que é o círculo. 
- Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma re-
gião triangular obtida pela interseção do cone com um plano que 
contem o eixo do mesmo. 
Classificação do cone 
Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à 
base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. 
Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da 
base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresenta-
mos um cone oblíquo. 
Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais impor-
tantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem 
nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é 
um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.
Observações sobre um cone circular reto
1. Um cone circular reto é chamado cone de revolução por 
ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em 
torno de um de seus catetos 
2. A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do 
cone com um plano que contem o eixo do cone. No caso acima, a 
seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isós-
celes VAB. 
Didatismo e Conhecimento 75
MATEMÁTICA
3. Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruen-
tes entre si. Se g é a medida de cada geratriz então, pelo Teorema 
de Pitágoras, temos: g2 = h2 + R2 
4. A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em 
função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone):ALat 
= Pi R g 
5. A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em 
função de g (medida da geratriz) e R (raio da base do cone): 
ATotal = Pi R g + Pi R2 
Cones Equiláteros 
Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção 
meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida 
da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.
A área da base do cone é dada por: 
ABase=Pi R2 
Pelo Teorema de Pitágoras temos: 
(2R)2 = h2 + R2
h2 = 4R2 - R2 = 3R2 
Assim: 
h = R 
Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área 
da base pela altura, então: 
V = (1/3) Pi R3 
Como a área lateral pode ser obtida por: 
ALat = Pi R g = Pi R 2R = 2 Pi R2 
então a área total será dada por: 
ATotal = 3 Pi R2 
O conceito de esfera 
A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em 
função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista 
matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geo-
métrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela quais 
muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros 
elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um 
sólido, herança da Geometria Euclidiana. 
Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar pa-
lavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de 
vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemá-
tico parametrizado por duas dimensões, o que significa que pode-
mos obter medidas de área e de comprimento, mas o volume tem 
medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respec-
tivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta 
unidimensional: 
So = {x em R: x²=1} = {+1,-1} 
Por exemplo, a esfera 
S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 } 
é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário 
centrada na origem do plano cartesiano. 
Aplicação: volumes de líquidos 
Um problema fundamental para empresas que armazenam lí-
quidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos 
é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esfé-
ricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na 
mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um 
orifício na parte superior (pólo Norte) por onde é introduzida verti-
calmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, 
observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta 
medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. 
Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos 
realizados na sequência. 
A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algu-
mas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um 
sólido esférico. 
A superfície esférica 
A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do 
espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada 
raio de um ponto fixo chamado centro. 
Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na ori-
gem de R³ é: 
S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 } 
Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:
S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 } 
Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera? 
Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a 
película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia 
esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) 
que envolve a fruta. 
É comum encontrarmos na literatura básica a definição de es-
fera como sendo o sólido esférico, no entanto não se devem con-
fundir estes conceitos. Se houver interesse em aprofundar os estu-
dos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria 
Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento 
de tais situações. 
Didatismo e Conhecimento 76
MATEMÁTICA
O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço 
que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de 
vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião 
da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida 
dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode 
ser visto como toda a fruta. 
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da 
esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:
x² + y² + z² = R² 
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjun-
to que contém a casca reunido como interior, isto é: 
x² + y² + z² < R² 
Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da 
esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por: 
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R² 
e a relação matemática que define o disco esférico é o conjun-
to que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de 
todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que: 
(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R² 
Da forma como está definida, a esfera centrada na origem 
pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro 
da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano 
R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto 
(0,0,0). 
Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obtere-
mos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte (“boca para 
baixo”) que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota 
z é não negativa e o hemisfério Sul (“boca para cima”) que é o 
conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva. 
Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical 
que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma cir-
cunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida 
na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da es-
fera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será: 
x=0, y² + z² = R2 
sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos 
de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferên-
cias maximais em uma esfera. 
Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo 
OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a 
esfera é uma superfície de revolução. 
Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal 
cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² 
e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma super-
fície denominada calota esférica. 
Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para repre-
sentar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela 
calota esférica. Para evitar confusões, usarei “calota esférica” com 
aspas para o sólido e sem aspas para a superfície. 
A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfe-
ra, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) 
com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso 
(calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com 
r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma 
superfície de revolução denominada zona esférica. 
De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia 
esférica. Com uma faca, cortamos uma “calota esférica” superior 
e uma “calota esférica” inferior. O que sobra da melancia é uma 
região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denomi-
nada zona esférica. 
Consideremos uma “calota esférica” com altura h1 e raio da 
base r1 e retiremos desta calota uma outra “calota esférica” com 
altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de 
ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota 
maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico 
com bases paralelas.
Didatismo e Conhecimento 77
MATEMÁTICA
No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para 
a superfície, “calota esférica” para o sólido envolvido pela calota 
esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre 
a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) 
será a área lateral e A(total) será a área total. 
Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos
Objeto Relações e fórmulas
Esfera Volume = (4/3) Pi R³ 
A(total) = 4 Pi R²
Calota esférica (altura h, raio 
da base r)
R² = h (2R-h) 
A(lateral) = 2 Pi R h 
A(total) = Pi h (4R-h) 
V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6
Segmento esférico (altura h, 
raios das bases r1>r²)
R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² 
A(lateral) = 2 Pi R h 
A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) 
Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6
Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo 
Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um 
processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do 
volume da “calota esférica” em função da altura da mesma. 
Volume de uma calota no hemisfério Sul 
Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R. 
A equação desta esfera será dada por: 
x² + y² + (z-R)² = R² 
A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que 
coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A 
interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência 
x² + y² = R² - (h-R)² 
Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor 
ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] 
e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y 
para obter: 
z = R − R2 − (x2 + y2 )
Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r 
para indicar: 
r² = R² - (h-R)² = h(2R-h) 
A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² 
ou em coordenadas polares através de: 
0<m<R, 0<t<2Pi 
A integral dupla que representa o volume da calota em função 
da altura h é dada por: 
Vc(h) = s∫∫ (h − z)dxdy
ou seja 
Vc(h) = s∫∫ (h − R + R2 − (x2 + y2 ))dxdy
Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma: 
Vc(h) = (h − R + R2 −m2
m=0
R
∫
t=0
2x
∫ )mdmdt
Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em 
duas integrais: 
Vc(h) = 2π{ (h − R)mdm + R2 −m2
0
R
∫
0
R
∫ mdm}
ou seja: 
Vc(h) = π{(h − R)R2 − R2 −m2
0
R
∫ (−2m)dm}
Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm podere-
mos reescrever: 
Vc(h) = π{(h − R)R2 + u du
u=0
R2
∫ }
Após alguns cálculos obtemos: 
VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³] 
e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota 
esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada 
por: 
VC(h) = Pi h²(3R-h)/3 
Volume de uma calota no hemisfério Norte 
Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o 
raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R] 
Lançaremos mão de uma propriedade de simetria da esfera 
que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota 
inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da 
posição relativa ocupada. 
Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota 
do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é 
a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta 
calota vazia é dado por: 
Didatismo e Conhecimento 78
MATEMÁTICA
VC(d) = Pi d²(3R-d)/3 
e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos 
escrever o volume da calota vazia em função de h: 
VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3 
Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altu-
ra, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume 
da calota vazia, para obter: 
V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3 
que pode ser simplificada para: 
V(h) = Pi h²(3R-h)/3 
Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo 
[0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do 
volume ocupado pelo líquido é dado por: 
V(h) = Pi h²(3R-h)/3
Poliedro 
Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no es-
paço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do 
poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As 
interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é 
uma região poligonal contendo n lados. 
Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais forma-
dos por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. 
Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro con-
vexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deve-
rá estar inteiramente contido no poliedro. 
Poliedros Regulares 
Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poli-
gonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número 
de arestas se encontram em cada vértice.
Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro
Áreas e Volumes 
Poliedro regular Área Volume
Tetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2]Hexaedro 6 a2 a³
Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2]
Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5])
Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5])
Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de 
z>0. 
Prisma
Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, 
no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclina-
ção das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. 
Prisma reto
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
As faces laterais são retangulares. 
Prisma oblíquo
As arestas laterais têm o mesmo comprimento.
As arestas laterais são oblíquas ao plano da base.
As faces laterais não são retangulares. 
Bases: regiões poligonais 
congruentes 
Altura: distância entre 
as bases 
Arestas laterais 
paralelas: mesmas 
medidas 
Faces laterais: 
paralelogramos
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo
Seções de um prisma 
Seção transversal
É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um 
plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é con-
gruente a cada uma das bases. 
Seção reta (seção normal)
É uma seção determinada por um plano perpendicular às ares-
tas laterais. 
Princípio de Cavaliere
Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois 
sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado 
interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volu-
mes dos sólidos também serão iguais.
Prisma regular 
É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares. 
Exemplos: 
Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um 
triângulo equilátero. 
Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base 
é um quadrado. 
Didatismo e Conhecimento 79
MATEMÁTICA
Planificação do prisma 
Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espa-
ço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os 
planos das bases. As faces laterais e as bases formam a envoltória 
deste sólido. Esta envoltória é uma “superfície” que pode ser pla-
nificada no plano cartesiano.
Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma te-
soura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma 
região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às 
bases.
A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral 
e total. 
Volume de um prisma 
O volume de um prisma é dado por: 
Vprisma = Abase . h 
Área lateral de um prisma reto com base poligonal regular 
A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região 
poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das fa-
ces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são 
iguais, basta tomar a área lateral como: 
Cilindros
Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r. 
Tomemos também um segmento de reta PQ que não seja paralelo 
ao plano P e nem esteja contido neste plano P. 
Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos con-
gruentes e paralelos a PQ com uma extremidade no círculo. 
Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R3, 
mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro com a região 
sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilin-
dro como um sólido usaremos aspas, isto é, “cilindro” e quando 
for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro. 
A reta que contém o segmento PQ é denominada geratriz e a 
curva que fica no plano do “chão” é a diretriz.
 
Em função da inclinação do segmento PQ em relação ao plano 
do “chão”, o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectiva-
mente, se o segmento PQ for perpendicular ou oblíquo ao plano 
que contém a curva diretriz.
Objetos geométricos em um “cilindro” 
Num cilindro, podemos identificar vários elementos: 
- Base É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu 
interior. Num cilindro existem duas bases. 
- Eixo É o segmento de reta que liga os centros das bases do 
“cilindro”. 
- Altura A altura de um cilindro é a distância entre os dois 
planos paralelos que contêm as bases do “cilindro”. 
- Superfície Lateral É o conjunto de todos os pontos do espa-
ço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo 
da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz. 
- Superfície Total É o conjunto de todos os pontos da superfí-
cie lateral reunido com os pontos das bases do cilindro. 
- Área lateral É a medida da superfície lateral do cilindro. 
- Área total É a medida da superfície total do cilindro. 
- Seção meridiana de um cilindro É uma região poligonal 
obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro 
do cilindro com o cilindro. 
Classificação dos cilindros circulares 
Cilindro circular oblíquo Apresenta as geratrizes oblíquas 
em relação aos planos das bases. 
Cilindro circular reto As geratrizes são perpendiculares aos 
planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de ci-
lindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo. 
Cilindro equilátero É um cilindro de revolução cuja seção 
meridiana é um quadrado. 
Volume de um “cilindro” 
Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base 
pela altura. 
V = Abase × h 
Se a base é um círculo de raio r, então: 
V = r2 h 
Áreas lateral e total de um cilindro circular reto 
Quando temos um cilindro circular reto, a área lateral é dada 
por: 
Alat = 2 r h 
onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. 
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 2 r h + 2 r2
Atot = 2 r(h+r) 
Didatismo e Conhecimento 80
MATEMÁTICA
Exercícios
1. Dado o cilindro circular equilátero (h = 2r), calcular a área lateral e a área total.
2. Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.
3. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual 
ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.
4. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio R e mesma altura h da casqui-
nha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?
Respostas
1) Solução: No cilindro equilátero, a área lateral e a área total é dada por: 
Alat = 2 r. 2r = 4 r2
Atot = Alat + 2 Abase
Atot = 4 r2 + 2 r2 = 6 r2
V = Abase h = r2. 2r = 2 r3 
2) Solução: Cálculo da Área lateral Alat = 2 r h = 2 2.3 = 12 cm2 
Cálculo da Área total Atot = Alat + 2 Abase Atot = 12 + 2 22 = 12 + 8 = 20 cm2 
Cálculo do Volume V = Abase × h = r2 × h V = 22 × 3 = × 4 × 3 = 12 cm33
3) Solução: 
hprisma = 12
Abase do prisma = Abase do cone = A
Vprisma = 2 Vcone
A hprisma = 2(A h)/3
12 = 2.h/3
h =18 cm 
4) Solução: 
V = Vcilindro - Vcone
V = Abase h - (1/3) Abase h
V = Pi R2 h - (1/3) Pi R2 h
V = (2/3) Pi R2 h cm3 
Didatismo e Conhecimento 81
MATEMÁTICA
Medidas de comprimento, Superfície, volume, capacidade, massa e tempo: unidades de medida; transformação das unidades de 
Medida. Problemas envolvendo Medidas.
Sistema de Medidas Decimais
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal é 
hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A 
unidade fundamental é o metro, porque dele derivam as demais.
Unidades de Comprimento
km hm dam m dm cm mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade vale 
sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. São elas: quilômetroquadrado 
(km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, 
este muito importante nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.No caso das unidades de área, o padrão muda: uma 
unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, 
porque 100 = 102.
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na prática, são 
muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o sistema 
continua sendo decimal.
Unidades de Volume
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos que essa é 
a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.
Unidades de Capacidade
kl hl dal l dl cl ml
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o grama.
Unidades de Massa
kg hg dag g dg cg mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
Didatismo e Conhecimento 82
MATEMÁTICA
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o 
miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.
Não Decimais
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede 
intervalos de tempo, é o mais conhecido.
2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-
se por 60.
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de 
hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. 
Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia 
e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, 
então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os 
mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência 
de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto 
– segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – 
segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas 
distintas.
Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas 
décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para 
medir a informação armazenada em memória de computadores, 
disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes 
(b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os 
prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema 
decimal.
Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 
kilobytes.
Exercícios
1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o 
curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na 
hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas 
terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
e) 15h 45min
2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.
5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.
8. Converta 2,5 metros em centímetros.
9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?
10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 
10h35min?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no 
enunciado do teste, ou seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
Logo, a questão correta é a letra D. 
2) Resposta “0, 00348 dl”.
Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividir-
mos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centí-
metros cúbicos: 0,348 cm3. 
Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equi-
valem.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de 
volume, para uma unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando en-
tão passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 
duas vezes:
0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒
Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.
3) Resposta “100 dal”.
Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para 
convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquer-
da.
Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:
1000 :10l dal⇒
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 
kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. 
Didatismo e Conhecimento 83
MATEMÁTICA
Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
1 .10.10 100kl dal⇒
Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.
4) Resposta “0, 00005 hm²”.
Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectô-
metros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. 
Dividiremos então por 100 três vezes:
2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².
5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-
17 km3”. 
Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilôme-
tros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 
14 por 1000 seis vezes:
3
18 3 18
17 3 3
14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000
14 :10 14.10
1,4.10 0.000000000000000
mm
km km
km km
−
−
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se 
expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.
6) Resposta “150.000 cl”.
Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos 
quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Logo, 150.000 cl equivalem a 15 hl.
7) Resposta “5,2 kg”.
Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, 
devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de qui-
lograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gra-
mas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de de-
cagrama para hectograma e finalmente de hectograma para qui-
lograma:
5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg. 
8) Resposta “250 cm”.
Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, de-
vemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de 
centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de me-
tros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de de-
címetros para centímetros:
2,5 .10.10 250m cm⇒
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.
9) Resposta “305min”.
Solução: 
(5 . 60) + 5 = 305 min.
10) Resposta “45 min”.
Solução: 45 min
EQUAÇÃO E INEQUAÇÃO DO 1º GRAU COM 
ATÉ DUAS VARIÁVEIS. EQUAÇÃO E 
INEQUAÇÃO DO 2º GRAU. SISTEMA DE 
EQUAÇÕES.
Equação do 1º Grau
Veja estas equações, nas quais háapenas uma incógnita:
3x – 2 = 16 (equação de 1º grau)
2y3 – 5y = 11 (equação de 3º grau)
1 – 3x + 2
5
 = x + 1
2
 (equação de 1º grau)
 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é 
isolando a incógnita, isto é, deixar a incógnita sozinha em um dos 
lados da igualdade. Para conseguir isso, há dois recursos:
- inverter operações;
- efetuar a mesma operação nos dois lados da igualdade.
Exemplo 1
Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações.
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 
3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a subtração). Se 3x é igual a 18, 
é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação 
por 3).
Registro
3x – 2 = 16
 3x = 16 + 2
 3x = 18
 x = 18
 3
 
 x = 6
Didatismo e Conhecimento 84
MATEMÁTICA
Exemplo 2
Resolução da equação 1 – 3x + 2
5 = x + 1
2
, efetuando a 
mesma operação nos dois lados da igualdade.
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados 
da equação por mmc (2;5) = 10. Dessa forma, são eliminados 
os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos 
necessários e isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos 
dois lados da igualdade. No registro, as operações feitas nos dois 
lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais.
Registro
1 – 3x + 2/5 = x + 1 /2
10 – 30x + 4 = 10x + 5
-30x - 10x = 5 - 10 - 4
-40x = +9(-1)
40x = 9
x = 9/40
x = 0,225
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia 
nessas ideias e na percepção de um padrão visual.
- Se a + b = c, conclui-se que a = c + b.
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado 
esquerdo; na segunda, a parcela b aparece subtraindo no lado 
direito da igualdade.
- Se a . b = c, conclui-se que a = c + b, desde que b ≠ 0.
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no 
lado esquerdo; na segunda, ele aparece dividindo no lado direito 
da igualdade.
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com 
incógnita de um lado da igualdade e os demais termos do outro 
lado.
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação.
Exemplo
Resolução da equação 5(x+2)
 2 = (x+2) . (x-3)
 3 - x
2
 3
, usando o 
processo prático.
Procedimento e justificativa: Iniciamos da forma habitual, 
multiplicando os dois lados pelo mmc (2;3) = 6. A seguir, passamos 
a efetuar os cálculos indicados. Neste ponto, passamos a usar o 
processo prático, colocando termos com a incógnita à esquerda e 
números à direita, invertendo operações.
Registro
5(x+2)
 2
 - (x+2) . (x-3)
 3 = x
2
 3
6. 5(x+2)
 2
 - 6. (x+2) . (x-3)
 3
 = 6. x
2
 3
15(x + 2) – 2(x + 2)(x – 3) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – 3x + 2x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2(x2 – x – 6) = – 2x2
15x + 30 – 2x2 + 2x + 12 = – 2x2
17x – 2x2 + 42 = – 2x2
17x – 2x2 + 2x2 = – 42
17x = – 42 
x = - 42
17
Note que, de início, essa última equação aparentava ser de 
2º grau por causa do termo - x2
 3
 no seu lado direito. Entretanto, 
depois das simplificações, vimos que foi reduzida a uma equação 
de 1º grau (17x = – 42).
Exercícios
1. Resolva a seguinte equação: x - 1
 2 - x + 3
 4
 = 2x - x - 4
 3
2. Resolva: 
3. Calcule:
a) -3x – 5 = 25
b) 2x - 1
 2
 = 3
c) 3x + 24 = -5x
4. Existem três números inteiros consecutivos com soma igual 
a 393. Que números são esses?
5. Determine um número real “a” para que as expressões (3a 
+ 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
6. Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
7. Verifique se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6.
8. Verifique se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6.
9. Quando o número x na equação ( k – 3 ).x + ( 2k – 5 ).4 + 
4k = 0 vale 3, qual será o valor de K?
10. Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
Respostas
1) Resposta “ x = -31
 17 ”
Solução:
 x - 1
 2
 - x + 3
 4 = 2x - x - 4
 3
6(x - 1) - 3(x + 3) = 24x - 4(x - 4)
 12
Didatismo e Conhecimento 85
MATEMÁTICA
6x – 6 – 3x – 9 = 24x – 4x + 16
6x – 3x – 24x + 4x = 16 + 9 + 6
10 x – 27x = 31
(-1) - 17x = 31
x = -31
 17
2) Resposta “ ”
Solução:
3) Solução:
a) -3x – 5 = 25
-3x = 25 + 5
(-1) -3x = 30
3x = -30
x = - 30
 3
 = -10
b) 2x - 1
 2
 = 3
2(2x) - 1 = 6
 2
4x – 1 = 6
4x = 6 + 1
4x = 7
x = 7
 4
c) 3x + 24 = -5x
3x + 5x = -24
8x = -24
x = - 24
 8
 = -3
4) Resposta “130; 131 e 132”.
Solução:
x + (x + 1) + (x + 2) = 393
3x + 3 = 393
3x = 390
x = 130
Então, os números procurados são: 130, 131 e 132.
5) Resposta “22”.
Solução: 
(3a + 6) / 8 = (2a + 10) / 6
6 (3a + 6) = 8 (2a + 10)
18a + 36 = 16a + 80
2a = 44
a = 44/2 = 22
6) Solução:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 → V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 → V= {0}
7) Resposta “Verdadeira”.
Solução: 
5x – 3 = 2x + 6
5.3 – 3 = 2.3 + 6
15 – 3 = 6 + 6
12 = 12 → verdadeira
Então 3 é raiz de 5x – 3 = 2x + 6
8) Resposta “Errada”.
Solução:
x2 – 3x = x – 6
(-2)2 – 3. (-2) = - 2 - 6
4 + 6 = - 2 – 6
10 = -8
Então, -2 não é raiz de x2 – 3x = x – 6
9) Resposta “ k = 29
 15 ”
Solução:
(k – 3).3 + (2k – 5).4 + 4k = 0
3k – 9 + 8k – 20 + 4k = 0
3k + 8k + 4k = 9 + 20
15k = 29
k = 29
 15
10) Resposta
a) 18x = 65 + 43
18x = 108
x = 108/18
x = 6
b) 23x = 14 - 17x + 16
23x + 17x = 30
40x = 30
x = 30/40 = ¾
c) 10y - 5 - 5y = 6y - 6 -20
5y - 6y = -26 + 5
-y = -21
y = 21
Inequação do 1º Grau
Didatismo e Conhecimento 86
MATEMÁTICA
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma 
desigualdade.
As inequações x + 5 > 12 e 2x – 4 ≤ x + 2 são do 1º grau, isto 
é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1.
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade chama-se 
primeiro membro da inequação. A expressão à direita do sinal de 
desigualdade chama-se segundo membro da inequação.
Na inequação x + 5 > 12, por exemplo, observamos que:
A variável é x;
O primeiro membro é x + 5;
O segundo membro é 12.
Na inequação 2x – 4 ≤ x + 2:
A variável é x;
O primeiro membro é 2x – 4;
O segundo membro é x + 2.
Propriedades da desigualdade
Propriedade Aditiva:
 Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 + 2 > 3 + 2, isto é: 10 > 5.
 
 Somamos +2 aos dois membros da desigualdade
	
  
	
  
Uma desigualdade não muda de sentido quando adicionamos 
ou subtraímos um mesmo número aos seus dois membros.
Propriedade Multiplicativa:
 Mesmo sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . 2 > 3 . 2, isto é: 16 > 6.
 Multiplicamos os dois membros por 2
	
  
	
  
Uma desigualdade não muda de sentido quando multiplicamos 
ou dividimos seus dois membros por um mesmo número positivo.
 Mudou de sentido
Exemplo: Se 8 > 3, então 8 . (–2) < 3 . (–2), isto é: –16 < –6
 Multiplicamos os dois membros por –2
	
  
	
  
Uma desigualdade muda de sentido quando multiplicamos ou 
dividimos seus dois membros por um mesmo número negativo.
Resolver uma inequação é determinar o seu conjunto verdade 
a partir de um conjunto universo dado.
Vejamos, através do exemplo, a resolução de inequações do 1º grau.
a) x < 5, sendo U = N
Os números naturais que tornam a desigualdade verdadeira 
são: 0, 1, 2, 3 ou 4. Então V = {0, 1, 2, 3, 4}.
b) x < 5, sendo U = Z
Todo número inteiro menor que 5 satisfaz a desigualdade. 
Logo, V = {..., –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}.
c) x < 5, sendo U = Q
Todo número racional menor que 5 é solução da inequação 
dada. Como não é possível representar os infinitos números 
racionais menores que 5 nomeando seus elementos, nós o faremos 
por meio da propriedade que caracteriza seus elementos. Assim:
V = {x ∊ Q / x <5}
Resolução prática de inequações do 1º grau:
A resolução de inequações do 1º grau é feita procedendode maneira semelhante à resolução de equações, ou seja, 
transformando cada inequação em outra inequação equivalente 
mais simples, até se obter o conjunto verdade.
Exemplo
Resolver a inequação 4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5, sendo U = Q.
4(x – 2) ≤ 2 (3x + 1) + 5
4x – 8 ≤ 6x + 2 + 5 aplicamos a propriedade distributiva
4x – 6x ≤ 2 + 5 + 8 aplicamos a propriedade aditiva
–2x ≤ 15 reduzimos os termos semelhantes
Multiplicando os dois membros por –1, devemos mudar o 
sentido da desigualdade.
2x ≥ –15
Dividindo os dois membros por 2, obtemos: 2x
2
≥ −15
2
⇒ x ≥ −15
2
Logo, V = x ∈Q | x ≥ −15
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Vamos determinar o conjunto verdade caso tivéssemos U = Z.
Sendo −15
2
= −7,5 , vamos indicá-lo na reta numerada:
Logo, V = {–7, –6, –5, –4, ...} ou V = {x ∊ Z| x ≥ –7}.
Didatismo e Conhecimento 87
MATEMÁTICA
Exercícios
1. Resolver a inequação 7x + 6 > 4x + 7, sendo U = Q.
2. Resolver a inequação x
2
≤ 1
4
− 2x − 3x
5
, sendo U = Q.
3. Verificar se os números racionais −9 e 6 fazem parte do 
conjunto solução da inequação 5x − 3 . (x + 6) > x – 14.
4. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) 2x + 1 ≤ x + 6
b) 2 - 3x ≥ x + 14
5. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 2(x + 3) > 3 (1 - x)
b) 3(1 - 2x) < 2(x + 1) + x - 7
c) x/3 - (x+1)/2 < (1 - x) / 4
6. Resolva as seguintes inequações, em R.
a) (x + 3) > (-x-1)
b) [1 - 2*(x-1)] < 2
c) 6x + 3 < 3x + 18
7. Calcule as seguintes inequações, em R.
a) 8(x + 3) > 12 (1 - x)
b) (x + 10) > (-x +6)
8. Resolva a inequação: 2 – 4x ≥ x + 17
9. Calcule a inequação 3(x + 4) < 4(2 –x).
10. Quais os valores de x que tornam a inequação 
-2x +4 > 0 verdadeira?
Respostas
1) Resposta “S= x ∈Q / x > 1
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
”.
Solução:
7x + 6 > 4x + 7
7x – 4x > 7 – 6
3x > 1
x > 1
3
Da inequação x > 1
3
, podemos dizer que todos os números 
racionais maiores que 1
3
 formam o conjunto solução de inequação 
dada, que é representada por: 
S= x ∈Q / x > 1
3
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
2) Resposta “S = x ∈Q / x > 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
”.
Solução:
x
2
≥ 1
4
− 2x − 3x
5
→ 10x
20
≤ 5 − 4.(2 + 3x)
20
=
10x ≤ 5 – 4 .(2 – 3x) 
10x ≤ 5 – 8 + 12x
10x – 12 x ≤ -3
-2x ≤ -3 (-1)
2x ≥ 3
x ≥ 3
2
Todo número racional maior ou igual 3
2
 a faz parte do 
conjunto solução da inequação dada, ou seja:
S= x ∈Q / x > 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
3) Resposta “6 faz parte; -9 não faz parte”.
Solução: 
5x − 3 . (x + 6) > x – 14
5x – 3x – 18 > x – 14
2x – x > -18 + 14
x > 4
Fazendo agora a verificação: 
- Para o número −9, temos: x > 4 → − 9 > 4 (sentença falsa) 
- Para o número 6, temos: x > 4 → 6 > 4 (sentença verdadeira) 
Então, o número 6 faz parte do conjunto solução da inequação, 
enquanto o número −9 não faz parte desse conjunto.
4) Solução:
a) 2x - x + 1 ≤ x - x + 6
x + 1 ≤ 6
x ≤ 5
b) 2 - 3x - x ≥ x - x + 14
2 - 4x ≥ 14
-4x ≥ 12
- x ≥ 3
x ≤ -3
5) Solução:
a) 2x + 6 > 3 - 3x
2x - 2x + 6 > 3 - 3x - 2x
6 - 3 > -5x
3 > - 5x
-x < 3/5
x > -3/5 
b) 3 - 6x < 2x + 2 + x - 7
-6x - 3x < -8
-9x < -8
9x > 8
x > 8/9
c) Primeiro devemos achar um mesmo denominador.
4x
12
− 6.(x +1)
12
< 3.(1− x)
12
Didatismo e Conhecimento 88
MATEMÁTICA
4x − 6x − 6
12
− < 3− 3x
12
-2x - 6 < 3 - 3x
x < 9
6) Solução:
a) x + 3 > -x - 1
2x > -4
x > -4/2
x > -2
b) 1 - 2x + 2 < 2
- 2x < 2 - 1 - 2
- 2x < -1
2x > 1
x > 1/2
c) 6x - 3x < 18 - 3
3x < 15
x < 15/3
x < 5
7) Solução:
a) 8x + 24 > 12 - 12x
20x > 12 - 24
20x > -12
x > -12/20
x > -3/5
b) x + x > 6 - 10
2x > -4
x > -4/2
x > -2
8) Resposta “x ≤ -3”.
Solução:
2 – 4x – x ≥ x – x + 17
2 – 5x ≥ 17
-5x ≥ 17 – 2 
-5x ≥ 15
5x ≤ -15
x ≤ -3
9) Resposta “x > -7/4”.
Solução:
3x + 12 < 8 – 4x
3x – 3x + 12 < 8 – 4x – 3x
12 < 8 – 7x
12 – 8 < – 7x
4 < – 7x
-x > 7/4
x > -7/4
10) Solução:
-2x > -4
-2x > -4 (-1)
2x < 4
x< 2 
O número 2 não é a solução da inequação dada, mais sim qual-
quer valor menor que 2.
Verifique a solução:
Para x = 1
-2x +4 > 0
-2.(1) +4 > 0
-2 + 4 > 0
2 > 0 (verdadeiro)
Observe, então, que o valor de x menor que 2 é a solução para 
inequação.
Equação do 2º Grau
Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x toda equação 
da forma ax2 + bx + c = 0, em que a, b, c são números reais e a ≠ 0.
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais 
expressos por a, b, c são chamados coeficientes da equação:
- a é sempre o coeficiente do termo em x2.
- b é sempre o coeficiente do termo em x.
- c é sempre o coeficiente ou termo independente.
Equação completa e incompleta:
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa.
Exemplos
5x2 – 8x + 3 = 0 é uma equação completa (a = 5, b = – 8, c = 3).
y2 + 12y + 20 = 0 é uma equação completa (a = 1, b = 12, c 
= 20).
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se 
diz incompleta.
Exemplos
x2 – 81 = 0 é uma equação incompleta (a = 1, b = 0 e c = – 81).
10t2 +2t = 0 é uma equação incompleta (a = 10, b = 2 e c = 0).
5y2 = 0 é uma equação incompleta (a = 5, b = 0 e c = 0).
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c 
= 0, que é denominada forma normal ou forma reduzida de uma 
equação do 2º grau com uma incógnita.
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas 
na forma ax2 + bx + c = 0; por meio de transformações convenientes, 
em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos 
reduzi-las a essa forma.
Exemplo: Pelo princípio aditivo.
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0
3x2 – 7x + 3 = 0
Exemplo: Pelo princípio multiplicativo.
2
x
 - 1
2
 = x
x - 4
4.(x - 4) - x(x - 4)
 2x(x - 4) = 2x2
2x(x - 4)
4(x – 4) – x(x – 4) = 2x2
4x – 16 – x2 + 4x = 2x2
– x2 + 8x – 16 = 2x2
– x2 – 2x2 + 8x – 16 = 0
– 3x2 + 8x – 16 = 0
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma 
incógnita.
Didatismo e Conhecimento 89
MATEMÁTICA
- A equação é da forma ax2 + bx = 0.
x2 + 9 = 0 ⇒ colocamos x em evidência
x . (x – 9) = 0
x = 0 ou x – 9 = 0
 x = 9
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação.
- A equação é da forma ax2 + c = 0.
x2 – 16 = 0 ⇒ Fatoramos o primeiro membro, que é uma 
diferença de dois quadrados.
(x + 4) . (x – 4) = 0 
x + 4 = 0 x – 4 = 0
x = – 4 x = 4
Logo, S = {–4, 4}.
Fórmula de Bhaskara
Usando o processo de Bhaskara e partindo da equação escrita 
na sua forma normal, foi possível chegar a uma fórmula que vai 
nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação 
do 2º grau de maneira mais simples.
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de 
Bhaskara. 
x =-b +- √Δ
2.a
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender 
do discriminante r; temos então, três casos a estudar.
1º caso: Δ é um número real positivo ( Δ > 0).
Neste caso, √Δ é um número real, e existem dois valores reais 
diferentes para a incógnita x, sendo costume representar esses 
valores por x’ e x”, que constituem as raízes da equação.
x =-b +- √Δ
2.a x’ = -b +√Δ
2.a
 x’’ =-b - √Δ
2.a
2º caso: Δ é zero ( Δ = 0).
Neste caso, √Δ é igual a zero e ocorre:
x =-b +- √Δ
2.a = x =-b +- √0
2.a = -b
+- √0
2.a = 
-b
 2a
Observamos, então, a existência de um único valor real para 
a incógnita x, embora seja costume dizer que a equação tem duas 
raízes reais e iguais, ou seja:
x’ = x” = -b 2a
3º caso: Δ é um número real negativo ( Δ < 0).
Neste caso, √Δ não é um número real, pois não há no conjunto 
dos números reais a raiz quadrada de um número negativo. 
Dizemos então, que não há valores reais para a incógnita x, ou 
seja, a equação não tem raízes reais.
A existência ou não de raízes reais e o fato de elas serem 
duas ou uma única dependem, exclusivamente, do discriminante 
Δ= b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão.
Na equação ax2 + bx + c = 0
- Δ = b2 – 4.a.c
- Quando Δ ≥ 0, a equação tem raízes reais.
- Quando Δ < 0, a equação não tem raízes reais.
- Δ > 0 (duas raízes diferentes).
- Δ = 0 (uma única raiz).Exemplo: Resolver a equação x2 + 2x – 8 = 0 no conjunto R.
temos: a = 1, b = 2 e c = – 8
Δ= b2 – 4.a.c = (2)2 – 4 . (1) . (–8) = 4 + 32 = 36 > 0
Como Δ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes, dadas 
por:
 x =-b +- √Δ
2.a
 = 
-(2)+- √36
2.(1)
 = -2
+- 6
2
x’ = -2 + 6
2 = 4
2
 = 2 x” = -2
- 6
2 = -8
 2 = -4
Então: S = {-4, 2}.
Exercícios
1. Se x2 = – 4x, então:
a) x = 2 ou x = 1
b) x = 3 ou x = – 1
c) x = 0 ou x = 2
d) x = 0 ou x = – 4
e) x = 4 ou x = – 1
2. As raízes reais da equação 1,5x2 + 0,1x = 0,6 são:
a) 2
 5
 e 1
b) 3
 5
 e 2
 3
c) - 3
 5
 e - 2
 5
d) - 2
 5
 e 2
 3
e) 3
 5
 e - 2
 3
3. As raízes da equação x3 – 2x2 – 3x = 0 são:
a) –2, 0 e 1
b) –1, 2 e 3
c) – 3, 0 e 1
d) – 1, 0 e 3
e) – 3, 0 e 2
4. Verifique se o número 5 é raiz da equação x2 + 6x = 0.
5. Determine o valor de m na equação x2 + (m + 1)x – 12 = 0 
para que as raízes sejam simétricas.
6. Determine o valor de p na equação x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 
para que as raízes sejam simétricas.
7. (U. Caxias do Sul-RS) Se uma das raízes da equação 2x2 – 
Didatismo e Conhecimento 90
MATEMÁTICA
3px + 40 = 0 é 8, então o valor de p é:
a) 5
b) 13
 3c) 7
d) –5
e) –7
8. O número de soluções reais da equação: -6x2 + 4x2
 2x2 - 3x
 = -4, 
com x ≠ 0 e x ≠ 
 
 3
 2 
é:
a) 0
b) 1
c) -2
d) 3
e) 4
9. O(s) valor(es) de B na equação x2 – Bx + 4 = 0 para que o 
discriminante seja igual a 65 é(são):
a) 0
b) 9
c) –9
d) –9 ou 9
e) 16
10. Um valor de b, para que a equação 2x2 + bx + 2 = 0 tenha 
duas raízes reais e iguais é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
Respostas
1. Resposta “D”.
Solução:
x2 = – 4x
x2 + 4x = 0
x (x + 4) = 0
x = 0 x + 4 = 0
x = -4
2) Resposta “E”.
Solução:
1,5x2 + 0,1x = 0,6
1,5x2 + 0,1x - 0,6 = 0 (x10)
15x2 +1x - 6 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 12 – 4 . 15 . – 6
Δ = 1 + 360
Δ = 361
x= 
-1 +- √361
2.15 = 
-1 +- 19
30 = 18
30 = 3 5 ou -20
30 = - 2
 3
3) Resposta “D”.
Solução
x3 – 2x2 – 3x = 0
x (x2 – 2x – 3) = 0
x = 0 x2 – 2x – 3 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = -22 – 4 . 1 . – 3
Δ = 4 + 12
Δ = 16
x= 
-(-2) +-√16
2.1
= 
 2 +- 4
 2 = 6 2 = 3 ou -2 2 = -1
4) Resposta “Não”.
Solução:
S= -b a = -6 1 = -6
 
P= c
 a
 = 0 1 = 0 
Raízes: {-6,0}
Ou x2 + 6x = 0
 x (x + 6) = 0
 x=0 ou x+6=0
 x=-6
5) Resposta “-1”.
Solução:
S = -b
 a
 = -(m + 1)
 1 = - m - 1 P = c
 a
= -12
 1 = -12
- m - 1 = 0 
m = -1
6) Resposta “ -5/2”.
Solução:
x2 – (2p + 5)x – 1 = 0 (-1)
-x2 +(2p + 5)x + 1 = 0
S= -b
 a
 = -(2p + 5)
 -1 = 2p + 5 P= c a = 1
 -1
 = -1
2p + 5 = 0
2p = -5
p = - 5/2
7) Resposta “C”
Solução:
2x2 – 3px + 40 = 0
282 – 3p8 + 40 = 0
2.64 – 24p + 40 = 0
128 – 24p + 40 = 0
-24p = - 168 (-1)
p = 168/24
p = 7
8) Resposta “C”.
Solução:
-6x2 + 4x3
 2x2 - 3x
 = x(-6x + 4x2)
 x(2x - 3) = -4
-8x + 12 = -6x + 4x2
4x2 + 2x - 12 = 0
Δ = b2 – 4.a.c
Δ = 22 – 4 . 4 . -12
Didatismo e Conhecimento 91
MATEMÁTICA
Δ = 4 + 192
Δ = 196
x= 
 -2 +-√196
2.4 = 
 -2 +- 14
 8
 12
 8 = 3 2 ou -16
 8 = -2
9) Resposta “D”.
Solução:
x2 – Bx + 4 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 1 . 4
b2 – 16 = 65
b2= 65 + 16
b = √81
b = 9
b = -B
B = ±9
10) Resposta “C”.
Solução:
2x2 + Bx + 2 = 0
b2 – 4.a.c
b2 – 4 . 2 . 2
b2 - 16
b2 = 16
b = √16
b = 4
Inequação do 2º Grau
Chamamos inequação do 2º grau às sentenças:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c ≥ 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≤ 0
Onde a, b, c, são números reais conhecidos, a ≠ 0, e x é a 
incógnita.
Estudo da variação de sinal da função do 2º grau:
- Não é necessário que tenhamos a posição exata do vértice, 
basta que ele esteja do lado certo do eixo x;
- Não é preciso estabelecer o ponto de intersecção do gráfico 
da função com o eixo y e considerando que as imagens acima do 
eixo x são positivas e abaixo do eixo negativas, podemos dispensar 
a colocação do eixo y.
Para estabelecer a variação de sinal de uma função do 2º grau, 
basta conhecer a posição da concavidade da parábola, voltada para 
cima ou para baixo, e a existência e quantidade de raízes que ela 
apresenta.
Consideremos a função f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0.
Finalmente, tomamos como solução para inequação as regiões 
do eixo x que atenderem às exigências da desigualdade.
Exemplo
Resolver a inequação x2 – 6x + 8 ≥ 0.
- Fazemos y = x2 – 6x + 8. 
- Estudamos a variação de sinal da função y.
- Tomamos, como solução da inequação, os valores de x para 
os quais y > 0:
S = {x ∈ R| x < 2 ou x > 4}
Observação: Quando o universo para as soluções não é 
fornecido, fazemos com que ele seja o conjunto R dos reais.
Exercícios
1. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela 
é completa ou não:
a) 5x2 - 3x - 2 = 0
b) 3x2 + 55 = 0
2. Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da 
equação x2-2x-8= 0?
3. O número -3 é a raíz da equação x2 - 7x - 2c = 0. Nessas 
condições, determine o valor do coeficiente c:
4. Resolver a inequação 3x² + 10x + 7 < 0.
Didatismo e Conhecimento 92
MATEMÁTICA
5. Determine a solução da inequação –2x² – x + 1 ≤ 0.
6. Calcule a solução da inequação x² – 6x + 9 > 0.
7. Determine a solução da inequação x² – 4x ≥ 0.
8. Resolva a inequação -x² + 4 ≥ 0.
9. Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela 
é completa ou não:
a) x2 - 6x = 0
b) x2 - 10x + 25 = 0
10. Para que os valores de x a expressão x² – 2x é maior 
que –15? 
Respostas
1) Solução:
a) a = 5; b = -3; c = -2
Equação completa
b) a = 3; b = 0; c = 55
Equação incompleta
2) Solução: Sabemos que são duas as raízes, agora basta 
testarmos.
(-2)2 – 2.(-2) - 8 = 0 (-2)2 + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos 
uma das raízes)
02 – 2.0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0
12 – 2.1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0
42 – 2.4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raiz)
3) Solução: 
(-3)² - 7.(-3) - 2c = 0
9 +21 - 2c = 0
30 = 2c
c = 15
4) Resposta “S = {x Є R / –7/3 < x < –1}”.
Solução: 
S = {x Є R / –7/3 < x < –1} 
5) Resposta “S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} ”.
Solução: 
S = {x Є R / x < –1 ou x > 1/2} 
6) Resposta “S = {x Є R / x < 3 e x > 3}”.
Solução:
 
S = {x Є R / x < 3 e x > 3} 
7) Resposta “S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}”.
Solução:
Didatismo e Conhecimento 93
MATEMÁTICA
 
S = {x Є R / x ≤ 0 ou x ≥ 4}
8) Resposta “S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}”.
Solução:
-x² + 4 = 0.
x² – 4 = 0.
x1 = 2
x2 = -2
S = {x Є R/ -2 ≤ x ≤ 2}
9) Solução:
a) a = 1; b = -6; c = 0
Equação incompleta
b) a = 1; b = -10; c = 25
Equação completa
10) Solução:
x² – 2x > 15
x² – 2x – 15 > 0
Calculamos o Zero:
x² – 2x – 15 = 0
x = -3 ou x = +5
FUNÇÃO DE 1º GRAU, FUNÇÃO DE 2º GRAU 
E FUNÇÃO EXPONENCIAL.
Função do 1˚ Grau
Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, função é uma relação 
binária de A em B de tal maneira que todo elemento x, pertencente 
ao conjunto A, tem para si um único correspondente y, pertencente 
ao conjunto B, que é chamado de imagem de x.
Notemos que, para uma relação binária dos conjuntos A e B, 
nesta ordem, representarem uma função é preciso que:
- Todo elemento do conjunto A tenha algum correspondente 
(imagem) no conjunto B;
- Para cada elemento do conjunto A exista um único 
correspondente (imagem) no conjunto B.
Assim como em relação, usamos para as funções, que são 
relações especiais, a seguinte linguagem:
Domínio: Conjunto dos elementos que possuem imagem. 
Portanto, todo o conjunto A, ou seja, D = A.
Contradomínio: Conjunto dos elementos que se colocam 
à disposição para serem ou não imagem dos elementos de A. 
Portanto, todo conjunto B, ou seja, CD = B.
Conjunto Imagem: Subconjunto do conjunto B formado por 
todos os elementos que são imagens dos elementos do conjunto A, 
ou seja, no exemplo anterior: Im = {a, b, c}.
Exemplo
Consideremos os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 5} e B = {0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8}. 
Vamos definir a função f de A em B com f(x) = x + 1.
 Tomamos um elemento do conjunto A, representado por 
x, substituímos este elemento na sentença f(x), efetuamos as 
operações indicadas e o resultado será aimagem do elemento x, 
representada por y.
Didatismo e Conhecimento 94
MATEMÁTICA
f: A → B
y = f(x) = x + 1
Tipos de Função
Injetora: Quando para ela elementos distintos do domínio 
apresentam imagens também distintas no contradomínio.
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, 
uma reta horizontal, qualquer que seja interceptar o gráfico da 
função, uma única vez.
f(x) é injetora g(x) não é injetora
(interceptou o gráfico mais 
de uma vez)
Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio 
forem imagens de pelo menos um elemento do domínio.
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora 
quando, qualquer que seja a reta horizontal que interceptar o eixo 
no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o 
gráfico da função.
f(x) é sobrejetora g(x) não é sobrejetora 
(não interceptou o gráfico)
Bijetora: Quando apresentar as características de função 
injetora e ao mesmo tempo, de sobrejetora, ou seja, elementos 
distintos têm sempre imagens distintas e todos os elementos 
do contradomínio são imagens de pelo menos um elemento do 
domínio.
Função crescente: A função f(x), num determinado intervalo, 
é crescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencentes a este intervalo, 
com x1<x2, tivermos f(x1)<f(x2).
x1<x2 → f(x1)<f(x2)
Função decrescente: Função f(x), num determinado intervalo, 
é decrescente se, para quaisquer x1 e x2 pertencente a este intervalo, 
com x1 < x2, tivermos f(x1)>f(x2).
x1<x2 → f(x1)>f(x2)
Função constante: A função f(x), num determinado intervalo, 
é constante se, para quaisquer x1 < x2, tivermos f(x1) = f(x2).
Didatismo e Conhecimento 95
MATEMÁTICA
Gráficos de uma Função
A apresentação de uma função por meio de seu gráfico é muito 
importante, não só na Matemática como nos diversos ramos dos 
estudos científicos.
Exemplo
Consideremos a função real f(x) = 2x – 1. Vamos construir 
uma tabela fornecendo valores para x e, por meio da sentença f(x), 
obteremos as imagens y correspondentes.
x y = 2x – 1
–2 –5
–1 –3
0 –1
1 1
2 3
3 5
Transportados os pares ordenados para o plano cartesiano, 
vamos obter o gráfico correspondente à função f(x). 
Exemplo para a > 0
Consideremos f(x) = 2x – 1.
x f(x)
-1 -3
0 -1
1 1
2 3
Exemplo para a < 0
Consideremos f(x) = –x + 1.
x f(x)
-1 2
0 1
1 0
2 -1
Consideremos a função f(x) = ax + b com a ≠ 0, em que x0 é a 
raiz da função f(x).
a>0 a<0
x>x0⇒f(x)>0 x>x0⇒f(x)<0
x=x0⇒f(x)=0 x=x0⇒f(x)=0
x<x0⇒f(x)<0 x<x0⇒f(x)>0
Conclusão: O gráfico de uma função do 1º grau é uma reta 
crescente para a > 0 e uma reta decrescente para a < 0.
Didatismo e Conhecimento 96
MATEMÁTICA
Zeros da Função do 1º grau:
Chama-se zero ou raiz da função do 1º grau y = ax + b o valor 
de x que anula a função, isto é, o valor de x para que y seja igual 
à zero.
Assim, para achar o zero da função y = ax + b, basta resolver 
a equação ax + b = 0.
Exemplo
Determinar o zero da função:
y = 2x – 4.
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 4
2x = 2
O zero da função y = 2x – 4 é 2.
No plano cartesiano, o zero da função do 1º grau é representado 
pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo x.
x y (x,y)
1 -2 (1, -2)
3 2 (3,2)
Observe que a reta y = 2x – 4 intercepta o eixo x no ponto 
(2,0), ou seja, no ponto de abscissa 2, que é o zero da função.
Conhecido o zero de uma função do 1º grau e lembrando 
a inclinação que a reta pode ter, podemos esboçar o gráfico da 
função.
Estudo do sinal da função do 1º grau:
Estudar o sinal da função do 1º grau y = ax + b é determinar os 
valores reais de x para que:
- A função se anule (y = 0);
- A função seja positiva (y > 0);
- A função seja negativa (y < 0).
Exemplo
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0).
a) Qual o valor de x que anula a função?
y = 0
2x – 4 = 0
2x = 4
x = 4
2x = 2
A função se anula para x = 2.
b) Quais valores de x tornam positiva a função?
y > 0
2x – 4 > 0
2x > 4
x > 4
2
x > 2
A função é positiva para todo x real maior que 2.
c) Quais valores de x tornam negativa a função?
y < 0
2x – 4 < 0
2x < 4
x < 4
2
x < 2
A função é negativa para todo x real menor que 2.
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu 
gráfico:
- Para x = 2 temos y = 0;
- Para x > 2 temos y > 0;
- Para x < 2 temos y < 0.
Relação Binária
Par Ordenado
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, 
na verdade, representando o mesmo conjunto. Porém, em alguns 
casos, é conveniente distinguir a ordem dos elementos.
Para isso, usamos a ideia de par ordenado. A princípio, 
trataremos o par ordenado como um conceito primitivo e vamos 
utilizar um exemplo para melhor entendê-lo. Consideremos 
um campeonato de futebol e que desejamos apresentar, de cada 
equipe, o total de pontos ganhos e o saldo de gols. Assim, para uma 
equipe com 12 pontos ganhos e saldo de gols igual a 18, podemos 
fazer a indicação (12, 18), já tendo combinado, previamente, que 
o primeiro número se refere ao número de pontos ganhos, e o 
segundo número, ao saldo de gols.
Portanto, quando tivermos para outra equipe a informação de 
que a sua situação é (2, -8) entenderemos, que esta equipe apresenta 
2 pontos ganhos e saldo de gols -8. Note que é importante a ordem 
em que se apresenta este par de números, pois a situação (3, 5) 
é totalmente diferente da situação (5,3). Fica, assim, estabelecida 
a ideia de par ordenado: um par de valores cuja ordem de 
apresentação é importante.
Didatismo e Conhecimento 97
MATEMÁTICA
Observações: (a, b) = (c, d) se, e somente se, a = c e b = d
(a, b) = (b, a) se, o somente se, a = b
Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano 
A x B ao conjunto de todos os possíveis pares ordenados, de tal 
maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º 
elemento pertença ao 2º conjunto (B).
A x B= {(x,y) / x ∈ A e y ∈ B}
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto 
A e o conjunto A, podemos representar A x A = A2. Vejamos, por 
meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto 
cartesiano.
Exemplo
Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 3}. Podemos efetuar o produto 
cartesiano A x B, também chamado A cartesiano B, e apresentá-lo 
de várias formas.
a) Listagem dos elementos
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, 
quando escrevemos todos os pares ordenados que constituam o 
conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos:
A e B = {(1, 2),(1, 3),(4, 2),(4, 3),(9, 2),(9, 3)}
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o 
produto B e A (B cartesiano A): B x A = {(2, 1),(2, 4),(2, 9),(3, 
1),(3, 4),(3, 9)}.
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto 
cartesiano não tem o privilégio da propriedade comutativa, ou seja, 
A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A 
quando A e B forem conjuntos iguais.
Observação: Considerando que para cada elemento do 
conjunto A o número de pares ordenados obtidos é igual ao número 
de elementos do conjunto B, teremos: n(A x B) = n(A) x n(B).
b) Diagrama de flechas
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama 
de flechas, quando representamos cada um dos conjuntos no 
diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que 
partem do 1º elemento do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam 
ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto).
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto 
cartesiano A x B fica assim representado no diagrama de flechas:
c) Plano cartesiano
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, 
quando representamos o 1º conjunto num eixo horizontal, e o 
2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de 
pontos, marcamos os elementos desses conjuntos. Em cada um dos 
pontos que representam os elementos passamos retas (horizontais 
ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que 
estarão representando, no plano cartesiano, cada um dos pares 
ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A).
Domínio de uma Função Real
Para uma função de R em R, ou seja, com elementos no 
conjunto dos números reais e imagens também no conjuntodos 
números reais, será necessária, apenas, a apresentação da sentença 
que faz a “ligação” entre o elemento e a sua imagem.
Porém, para algumas sentenças, alguns valores reais não 
apresentam imagem real.
Por exemplo, na função f(x) = √(x-1) , o número real 0 não 
apresenta imagem real e, portanto, f(x) características de função, 
precisamos limitar o conjunto de partida, eliminando do conjunto 
dos números reais os elementos que, para essa sentença, não 
apresentam imagem. Nesse caso, bastaria estabelecermos como 
domínio da função f(x) o conjunto D = {x∈R/x ≥ 1}.
Para determinarmos o domínio de uma função, portanto, basta 
garantirmos que as operações indicadas na sentença são possíveis 
de serem executadas. Dessa forma, apenas algumas situações nos 
causam preocupação e elas serão estudadas a seguir.
1ª y= √f(x)
2n
 f(x)≥(n∈N*)
2ª y= 1
f(x(
 ⇒ f(x)≠0
Vejamos alguns exemplos de determinação de domínio de 
uma função real.
Exemplos
Determine o domínio das seguintes funções reais.
- f(x)=3x2 + 7x – 8
D = R
- f(x)=√x+7
x – 7 ≥ 0→ x ≥ 7
D = {x∈R/x ≥ 7}
- f(x)= √x+13
D = R
Didatismo e Conhecimento 98
MATEMÁTICA
Observação: Devemos notar que, para raiz de índice impar, 
o radicando pode assumir qualquer valor real, inclusive o valor 
negativo.
- f(x)= 
√x+8
3
x + 8 > 0 → x > -8
D = {x∈R/x > -8}
- f(x)= √x+5
x-8
x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5
x – 8 ≥ 0 → x ≠ 8
D = {x∈R/x ≥ 5 e x ≠ 8}
Exercícios
1. Determine o domínio das funções reais apresentadas 
abaixo.
a) f(x) = 3x2 + 7x – 8
b) f(x)= 3
3x-6
c) f(x)= √x+2
d) f(x)= √2x+13
e) f(x)= 4x
√7x+5
2. Um número mais a sua metade é igual a 150. Qual é esse 
número?
3. Considere a função f, de domínio N, definida por f(1) = 4 
e f(x+1) = 3f(x)-2. O valor de f(0) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4. Sejam f e g funções definidas em R por f(x)=2x-1 e 
g(x)=x-3. O valor de g(f(3)) é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
5. Numa loja, o salário fixo mensal de um vendedor é 500 
reais. Além disso, ele recebe de comissão 50 reais por produto 
vendido.
a) Escreva uma equação que expresse o ganho mensal y 
desse vendedor, em função do número x de produto vendido.
b) Quanto ele ganhará no final do mês se vendeu 4 pro-
dutos?
c) Quantos produtos ele vendeu se no final do mês recebeu 
1000 reais?
6. Considere a função dada pela equação y = x + 1, deter-
mine a raiz desta função.
7. Determine a raiz da função y = - x + 1 e esboce o gráfico.
8. Determine o intervalo das seguintes funções para que 
f(x) > 0 e f(x) < 0.
a) y = f(x) = x + 1
b) y = f(x) = -x + 1
9. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 2, 3}
y = f(x) = x + 1
10. Determine o conjunto imagem da função:
D(f) = {1, 3, 5}
y = f(x) = x²
Respostas
1) Solução:
a) D = R
b) 3x – 6 ≠ 0
x ≠ 2
D = R –{2}
c) x + 2 ≥ 0
x ≥ -2
D = {x ∈ R/ x ≥ -2}
d) D = R
Devemos observar que o radicando deve ser maior ou igual a 
zero para raízes de índice par.
e) Temos uma raiz de índice par no denominado, assim:
7x + 5 > 0
x > - 7/5
D = {x ∈ R/ x > -5/7}.
2) Resposta “100”.
Solução:
n + n/2 = 150
2n/2 + n/2 = 300/2
2n + n = 300
3n = 300
n = 300/3
n = 100.
3. Resposta “C”.
Solução : Com a função dada f(x + 1) = 3f(x) – 2 substituímos 
o valor de x por x = 0:
f(0 + 1) = 3f (0) – 2 
f(1) = 3f(0) - 2
É dito que f(1) = 4, portanto:
4 = 3f(0) - 2
Didatismo e Conhecimento 99
MATEMÁTICA
Isolando f(0):
4+2 = 3f(0)
6 = 3f(0)
f(0) = 6/3 = 2.
4) Resposta “E”.
Solução: Começamos encontrando f(3):
f(3) = 2.(3) + 1, ou seja, f(3) = 7
Se está pedindo g[f(3)] então está pedindo g(7):
g(7) = 7 - 3 = 4
Logo, a resposta certa, letra “E”.
5) Solução
a) y = salário fixo + comissão
y = 500 + 50x
b) y = 500 + 50x , onde x = 4
y = 500 + 50 . 4 = 500 + 200 = 700
c) y = 500 + 50x , onde y = 1000
1000 = 500 + 50x 
50x = 1000 – 500
50x = 500
x = 10.
6) Solução: Basta determinar o valor de x para termos y = 0
x + 1 = 0
x = -1
Dizemos que -1 é a raiz ou zero da função.
 Note que o gráfico da função y = x + 1, interceptará (cortará) 
o eixo x em -1, que é a raiz da função.
7) Solução: Fazendo y = 0, temos:
0 = -x + 1
x = 1
Gráfico:
Note que o gráfico da função y = -x + 1, interceptará (cortará) 
o eixo x em 1, que é a raiz da função.
8) Solução:
a) y = f(x) = x + 1
 x + 1 > 0
x > -1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x > -1
x + 1 < 0
x < -1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x < -1
b) y = f(x) = -x + 1
* -x + 1 > 0
-x > -1
x < 1
Logo, f(x) será maior que 0 quando x < 1
-x + 1 < 0
-x < -1
x > 1
Logo, f(x) será menor que 0 quando x > 1
(*ao multiplicar por -1, inverte-se o sinal da desigualdade).
9) Solução:
f(1) = 1 + 1 = 2
f(2) = 2 + 1 = 3
f(3) = 3 + 1 = 4
Logo: Im(f) = {2, 3, 4}.
10) Solução: 
f(1) = 1² = 1
f(3) = 3² = 9
f(5) = 5² = 25
Logo: Im(f) = {1, 9, 25}
Função do 2º Grau
Chama-se função do 2º grau ou função quadrática toda função 
f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma f(x) = 
ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c , com a, b e c reais e a ≠ 0.
Exemplo
- y = x2 – 5x + 4, sendo a = 1, b = –5 e c = 4
- y = x2 – 9, sendo a = 1, b = 0 e c = –9
- y = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0
Didatismo e Conhecimento 100
MATEMÁTICA
Representação gráfica da Função do 2º grau
Exemplo
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 – 2x 
– 3. Atribuindo à variável x qualquer valor real, obteremos em 
correspondência os valores de y:
Para x = –2 temos y = (–2)2 – 2(–2) –3 = 4 + 4 – 3 = 5
Para x = –1 temos y = (–1)2 – 2(–1) –3 = 1 + 2 – 3 = 0
Para x = 0 temos y = (0)2 – 2(0) –3 = – 3 
Para x = 1 temos y = (1)2 – 2(1) –3 = 1 – 2 – 3 = –4
Para x = 2 temos y = (2)2 – 2(2) –3 = 4 – 4 – 3 = –3
Para x = 3 temos y = (3)2 – 2(3) –3 = 9 – 6 – 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 2(4) –3 = 16 – 8 – 3 = 5
x y (x,y)
–2 5 (–2,5)
–1 0 (–1,0)
0 –3 (0, –3)
1 –4 (1, –4)
2 –3 (2, –3)
3 0 (3,0)
4 5 (4,5)
O gráfico da função de 2º grau é uma curva aberta chamada 
parábola.
O ponto V indicado na figura chama-se vértice da parábola.
Concavidade da Parábola
No caso das funções do 2º grau, a parábola pode ter sua 
concavidade voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a 
< 0).
a>0 a<0
Podemos por meio do gráfico de uma função, reconhecer o 
seu domínio e o conjunto imagem.
Consideremos a função f(x) definida por A = [a, b] em R.
Domínio: Projeção ortogonal do gráfico da função no eixo x. 
Assim, D = [a, b] = A
Conjunto Imagem: Projeção ortogonal do gráfico da função 
no eixo y. Assim, Im = [c, d].
Zeros da Função do 2º grau
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são 
os valores de x reais tais que f(x) = 0 e, portanto, as soluções da 
equação do 2º grau.
Didatismo e Conhecimento 101
MATEMÁTICA
ax2 + bx + c = 0
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio 
da chamada “fórmula de Bhaskara”.
x =-b +- √Δ
2.a Onde Δ = b2 – 4.a.c
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o 
eixo y são fundamentais para traçarmos um esboço do gráfico de 
uma função do 2º grau.
f(x) = ax2 + bx + c com a ≠ 0
Δ>0 Δ=0 Δ<0
a>0
a<0
Coordenadas do vértice da parábola
A parábola que representa graficamente a função do 2º grau 
apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta o 
gráfico num ponto chamado de vértice.
As coordenadas do vértice são:
xv = -b
2a
 e xv = -Δ
4a
	
  
 
	
  
Vértice (V)
O Conjunto Imagem de uma função do 2º grau está associado 
ao seu ponto extremo, ou seja, à ordenada do vértice (yv).
Exemplo
Vamos determinar as coordenadas do vértice da parábola da 
seguinte função quadrática: y = x2 – 8x + 15.
Cálculo da abscissa do vértice:
xv= -b
2a
 = -(-8)
 2(1)
 = 8
2
 = 4
Cálculo da ordenada do vértice:
Substituindo x por 4 na função dada:
yV = (4)2 – 8(4) + 15 = 16 – 32 + 15 = –1
Logo, o ponto V, vértice dessa parábola, é dado por V (4, –1).
Valor máximo e valor mínimo da função do 2º grau
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada 
mínima. Nesse caso, o vértice é chamado ponto de mínimo e a 
ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função;
- Se a < 0,o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada 
máxima. Nesse caso, o vértice é ponto de máximo e a ordenada do 
vértice é chamada valor máximo da função.
Construção do gráfico da função do 2º grau
- Determinamos as coordenadas do vértice;
- Atribuímos a x valores menores e maiores que xv e calculamos 
os correspondentes valores de y;
- Construímos assim uma tabela de valores;
- Marcamos os pontos obtidos no sistema cartesiano;
- Traçamos a curva.
Didatismo e Conhecimento 102
MATEMÁTICA
Exemplo
y = x2 – 4x + 3
Coordenadas do vértice:
xv = -b
2a
 = -(-4)
2(1) = 4
2
 = 2 V (2, –1)
yV = (2)2 – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = –1
Tabela:
Para x = 0 temos y = (0)2 – 4(0) + 3 = 0 – 0 + 3 = 3
Para x = 1 temos y = (1)2 – 4(1) + 3 = 1 – 4 + 3 = 0
Para x = 3 temos y = (3)2 – 4(3) + 3 = 9 – 12 + 3 = 0
Para x = 4 temos y = (4)2 – 4(4) + 3 = 16 – 16 + 3 = 3
x y (x,y)
0 3 (0,3)
1 0 (1,0)
2 –1 (2,–1)Vértice
3 0 (3,0)
4 3 (4,3)
Gráfico:
Estudos do sinal da função do 2º grau
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os 
valores reais de x que tornam a função positiva, negativa ou nula.
Exemplo
y = x2 – 6x + 8
Zeros da função: Esboço do Gráfico
y = x2 – 6x + 8
Δ = (–6)2 – 4(1)(8)
Δ = 36 – 32 = 4
√Δ= √4 = 2
 
 
Estudo do Sinal:
 4
2
8
2
26
==
+ Para x < 2 ou x > 4 temos y > 0
2
26 ±
=x Para x = 2 ou x = 4 temos y = 0
 2
2
4
2
26
==
− Para 2 < x < 4 temos y < 0
 
 
Exercícios
1. O triplo do quadrado do número de filhos de Pedro é igual a 
63 menos 12 vezes o número de filhos. Quantos filhos Pedro tem?
2. Uma tela retangular com área de 9600cm2 tem de largura 
uma vez e meia a sua altura. Quais são as dimensões desta tela?
3. O quadrado da minha idade menos a idade que eu tinha 20 
anos atrás e igual a 2000. Quantos anos eu tenho agora?
4. Comprei 4 lanches a um certo valor unitário. De outro tipo 
de lanche, com o mesmo preço unitário, a quantidade comprada 
foi igual ao valor unitário de cada lanche. Paguei com duas notas 
de cem reais e recebi R$ 8,00 de troco. Qual o preço unitário de 
cada produto?
5. O produto da idade de Pedro pela idade de Paulo é igual a 
374. Pedro é 5 anos mais velho que Paulo. Quantos anos tem cada 
um deles?
6. Há dois números cujo triplo do quadrado é a igual 15 vezes 
estes números. Quais números são estes?
7. Quais são as raízes da equação x2 - 14x + 48 = 0?
8. O dobro do quadrado da nota final de Pedrinho é zero. Qual 
é a sua nota final?
9. Solucione a equação biquadrada: -x4 + 113x2 - 3136 = 0.
10. Encontre as raízes da equação biquadrada: x4 - 20x2 - 576 
= 0.
Respostas
1) Resposta “3”.
Solução: Sendo x o número de filhos de Pedro, temos que 
3x2 equivale ao triplo do quadrado do número de filhos e que 
63 - 12x equivale a 63 menos 12 vezes o número de filhos. Mon-
tando a sentença matemática temos:
3x2 = 63 - 12x
Que pode ser expressa como:
3x2 + 12x - 63 = 0
Temos agora uma sentença matemática reduzida à for-
ma ax2 + bx + c = 0, que é denominada equação do 2° grau. Vamos 
então encontrar as raízes da equação, que será a solução do nosso 
problema:
Primeiramente calculemos o valor de Δ:
Δ = b2 - 4.a.c = 122 - 4 . 3 .(-63) = 144 + 756 = 900
Como Δ é maior que zero, de antemão sabemos que a equação 
possui duas raízes reais distintas. Vamos calculá-las:
3x2 + 12 - 63 = 0 ⇒ x = -12 ± √Δ
 2 . 3
 ⇒
x1 = -12 + √900
 6 ⇒x1 = -12 ± 30
 6
 ⇒ x1 = 18
 6
 ⇒ x1 = 3
x2 = -12 - √900
 6 ⇒x1 = -12 - 30
 6
 ⇒ x2 = -42
 6
 ⇒ x2 = -7
Didatismo e Conhecimento 103
MATEMÁTICA
A raízes encontradas são 3 e -7, mas como o número de filhos de 
uma pessoa não pode ser negativo, descartamos então a raiz -7.
Portanto, Pedro tem 3 filhos.
2) Resposta “80cm; 120 cm”.
Solução: Se chamarmos de x altura da tela, temos que 1,5x será 
a sua largura. Sabemos que a área de uma figura geométrica retan-
gular 
é calculada multiplicando-se a medida da sua largura, pela 
medida da sua altura. Escrevendo o enunciado na forma de uma 
sentença matemática temos:
x . 1,5x = 9600
Que pode ser expressa como:
1,5x2 - 9600 = 0
Note que temos uma equação do 2° grau incompleta, que 
como já vimos terá duas raízes reais opostas, situação que ocorre 
sempre que o coeficiente b é igual a zero. Vamos aos cálculos:
1,5x2 - 9600 = 0 ⇒ 1,5x2 = 9600 ⇒ x2 = 9600
 1,5
⇒ x = ±√6400 ⇒ x = ±80
As raízes reais encontradas são -80 e 80, no entanto como uma 
tela não pode ter dimensões negativas, devemos desconsiderar a 
raiz -80.
Como 1,5x representa a largura da tela, temos então que ela 
será de 1,5 . 80 = 120.
Portanto, esta tela tem as dimensões de 80cm de altura, por 
120cm de largura.
3) Resposta “45”.
Solução: Denominando x a minha idade atual, a partir do 
enunciado podemos montar a seguinte equação:
x2 - (x - 20) = 2000
Ou ainda:
x2 - (x - 20) = 2000 ⇒ x2 - x + 20 = 2000 ⇒ x2 - x - 1980 =0
A solução desta equação do 2° grau completa nós dará a res-
posta deste problema. Vejamos:
x2 - x - 1980 = ⇒ x = -(-1) ± √(-1)2 - 4 . 1 . (-1980)
 2.1
⇒ x = 1 ± √7921
 2
⇒ x = 1 ± 89
 2 ⇒ 
x1 = 1 + 89
 2
 ⇒ x1 = 45
x2 = 1 - 89
 2
 ⇒ x2 = -44
As raízes reais da equação são -44 e 45. Como eu não posso 
ter -44 anos, é óbvio que só posso ter 45 anos. 
Logo, agora eu tenho 45 anos.
4) Resposta “12”.
Solução: O enunciado nos diz que os dois tipos de lanche têm 
o mesmo valor unitário. Vamos denominá-lo então de x.
Ainda segundo o enunciado, de um dos produtos eu com-
prei 4 unidades e do outro eu comprei x unidades.
Sabendo-se que recebi R$ 8,00 de troco ao pa-
gar R$ 200,00 pela mercadoria, temos as informações necessárias 
para montarmos a seguinte equação:
4 . x + x . x + 8 = 200
Ou então:
4.x + x . x + 8 = 200 ⇒ 4x + x2 + 8 = 200 ⇒ x2 + 4x - 192=0
Como x representa o valor unitário de cada lanche, vamos so-
lucionar a equação para descobrimos que valor é este:
x2 + 4x - 192 = 0 ⇒ x = 
-4 ± √42 - 4 . 1 . (-192)
 2.1
⇒ x = -4 ± √784
 2
⇒ x = -4 ± 28
 2 ⇒ 
x1 = -4 + 28
 2
 ⇒ x1 = 12
x2 = -4 - 89
 2
 ⇒ x2 = -16
As raízes reais da equação são -16 e 12. Como o preço não 
pode ser negativo, a raiz igual -16 deve ser descartada. 
Assim, o preço unitário de cada produto é de R$ 12,00.
5) Resposta “22; 17”.
Solução: Se chamarmos de x a idade de Pedro, teremos que x 
- 5 será a idade de Paulo. Como o produto das idades é igual a 374, 
temos que x . (x - 5) = 374.
Esta sentença matemática também pode ser expressa como:
x.(x - 5) = 374 ⇒ x2 - 5x = 374 ⇒ x2 - 5x - 374 = 0
Primeiramente para obtermos a idade de Pedro, vamos solu-
cionar a equação:
x2 - 5x - 374 = 0 ⇒ 
-(-5) ± √(-5)2 - 4 . 1 . (-374)
 2.1
⇒ x = 5 ± √1521
 2
⇒ x = 5 ± 39
 2 ⇒ 
x1 = 5 + 39
 2
 ⇒ x1 = 22
x2 = 5 - 39
 2
 ⇒ x2 = -17
As raízes reais encontradas são -17 e 22, por ser negativa, a 
raiz -17 deve ser descartada. 
Logo a idade de Pedro é de 22 anos.
Como Pedro é 5 anos mais velho que Paulo, Paulo tem en-
tão 17 anos. 
Logo, Pedro tem 22 anos e Paulo tem 17 anos.
6) Resposta “0; 5”.
Solução: Em notação matemática, definindo a incógnita 
como x, podemos escrever esta sentença da seguinte forma:
3x2 = 15x
Ou ainda como:
3x2 - 15x = 0
A fórmula geral de resolução ou fórmula de Bhaskara pode 
ser utilizada na resolução desta equação, mas por se tratar de uma 
equação incompleta, podemos solucioná-la de outra forma.
Como apenas o coeficiente c é igual a zero, sabemos que esta 
equação possui duas raízes reais. Uma é igual azero e a outra é 
dada pelo oposto do coeficiente b dividido pelo coeficiente a. Re-
sumindo podemos dizer que:
ax2 + bx = 0 ⇒ 
x1 = 0
x2 = - b
a
Temos então:
x = - b
a
 ⇒ x = -15
 3
 ⇒ x = 5
Didatismo e Conhecimento 104
MATEMÁTICA
7) Resposta “6; 8”.
Solução: Podemos resolver esta equação simplesmente res-
pondendo estapergunta:
Quais são os dois números que somados totalizam 14 e que 
multiplicados resultam em 48?
Sem qualquer esforço chegamos a 6 e 8, pois 6 + 8 = 14 e 6 
. 8 = 48.
Segundo as relações de Albert Girard, que você encontra em 
detalhes em outra página deste site, estas são as raízes da referida 
equação.
Para simples conferência, vamos solucioná-la também através 
da fórmula de Bhaskara:
x2 - 14x + 48 = 0 ⇒ x = -(-14) ± √(-14)2 - 4 . 1 . 48
 2.1
⇒ x = 14 ± √4
 2
⇒ x = 14 ± 2
 2
⇒ 
x1 = 14 + 2
 2
 ⇒ x1 = 8
x2 = 14 - 2
 2
 ⇒ x2 = 6
8) Resposta “0”.
Solução: Sendo x a nota final, matematicamente temos:
2x2 = 0
Podemos identificar esta sentença matemática como sen-
do uma equação do segundo grau incompleta, cujos coeficien-
tes b e c são iguais a zero.
Conforme já estudamos este tipo de equação sempre terá 
como raiz real o número zero. Apenas para verificação vejamos:
2x2 = 0 ⇒ x2 = 0
2
 ⇒ x2 = 0 ⇒ x ±√0 ⇒ x =0
9) Resposta “-8; -7; 7 e 8”.
Solução: Substituindo na equação x4 por y2 e também x2 e y te-
mos:
-y2 + 113y - 3136 = 0
Resolvendo teremos:
-y2 + 113y - 3136 = 0 ⇒ y = −113± 1132 − 4.(−1).(−3136)
2 + (−1)
⇒ 
y1 = −113+ 225
−2
 ⇒ y1 = -113 + 15
 -2
y2 = 
−113− 225
−2 ⇒ y2 = -113 - 15
 -2
⇒ 
y1 = -98
 -2
 ⇒ y1 = 49
y2 = -128
 -2
 ⇒ y2 = 64
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y temos:
Para y1 temos:
x2 = 49 ⇒ x ±√49 ⇒ 
x1 = √49 ⇒ x1 = 7
x2 = - √49 ⇒ x2 = -7
Para y2 temos: 
x2 = 64 ⇒ x ±√64 ⇒ 
x3 = √64 ⇒ x3 = 8
x4 = - √64 ⇒ x4 = -8
Assim sendo, as raízes da equação biquadrada -x4 + 113x2 - 
3136 = 0 são: -8, -7, 7 e 8.
10) Resposta “-6; 6”.
Solução: Iremos substituir x4 por y2 e x2 e y, obtendo uma equa-
ção do segundo grau:
y2 - 20y - 576 = 0
Ao resolvermos a mesma temos:
y2 - 20y - 576 = 0 ⇒ −20 ± (−20)2 − 4.1.(−576)
2.3
y1= 
20 + 2704
2 ⇒y1=
20 + 52
2 ⇒y1=
72
2
⇒y1=36
y2= 20 − 2704
2
⇒y2=
20 − 52
2
⇒y2=
−32
2 ⇒y2=-16
Substituindo os valores de y na expressão x2 = y obtemos as 
raízes da equação biquadrada:
Para y1 temos:
x2 = 36 ⇒ x = ±√36 ⇒
x1 = √36 ⇒ x1= 6
x2 = -√36 ⇒ x2= -6
Para y2, como não existe raiz quadrada real de um número 
negativo, o valor de -16 não será considerado.
Desta forma, as raízes da equação biquadrada x4 - 20x2 - 576 = 
0 são somente: -6 e 6.
Função Exponencial
Uma função é uma maneira de associar a cada valor do ar-
gumento x um único valor da função f(x). Isto pode ser feito es-
pecificando através de uma fórmula um relacionamento gráfico 
entre diagramas representando os dois conjuntos, e/ou uma regra 
de associação, mesmo uma tabela de correspondência pode ser 
construída; entre conjuntos numéricos é comum representarmos 
funções por seus gráficos, cada par de elementos relacionados pela 
função determina um ponto nesta representação, a restrição de uni-
cidade da imagem implica em um único ponto da função em cada 
linha de chamada do valor independente x.
Didatismo e Conhecimento 105
MATEMÁTICA
Como um termo matemático, “função” foi introduzido por 
Leibniz em 1694, para descrever quantidades relacionadas a uma 
curva; tais como a inclinação da curva ou um ponto específico da 
dita curva. Funções relacionadas à curvas são atualmente chama-
das funções diferenciáveis e são ainda o tipo de funções mais en-
contrado por não-matemáticos. Para este tipo de funções, pode-se 
falar em limites e derivadas; ambos sendo medida da mudança nos 
valores de saída associados à variação dos valores de entrada, for-
mando a base do cálculo infinitesimal.
A palavra função foi posteriormente usada por Euler em mea-
dos do século XVIII para descrever uma expressão envolvendo 
vários argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definição de fun-
ções, os matemáticos foram capazes de estudar “estranhos” ob-
jetos matemáticos tais como funções que não são diferenciáveis 
em qualquer de seus pontos. Tais funções, inicialmente tidas como 
puramente imaginárias e chamadas genericamente de “monstros”, 
foram já no final do século XX, identificadas como importantes 
para a construção de modelos físicos de fenômenos tais como o 
movimento Browniano.
Durante o Século XIX, os matemáticos começaram a formali-
zar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendia 
que se construisse o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética ao 
invés de sobre a Geometria, o que favorecia a definição de Euler 
em relação à de Leibniz (veja aritmetização da análise). Mais para 
o final do século, os matemáticos começaram a tentar formalizar 
toda a Matemática usando Teoria dos conjuntos, e eles consegui-
ram obter definições de todos os objetos matemáticos em termos 
do conceito de conjunto. Foi Dirichlet quem criou a definição “for-
mal” de função moderna.
Função Exponencial
Conta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe in-
ventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor 
jogo teria direito a realizar qualquer desejo. Um dos seus súditos 
inventou, então, o jogo de xadrez. O Rei ficou maravilhado com o 
jogo e viu-se obrigado a cumprir a sua promessa. Chamou, então, 
o inventor do jogo e disse que ele poderia pedir o que desejasse. 
O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo 
de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a 
seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e 
em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia 
na casa anterior. O Rei considerou o pedido fácil de ser atendido 
e ordenou que providenciassem o pagamento. Tal foi sua surpresa 
quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, 
pois apenas na última casa o total de moedas era de 263, o que 
corresponde a aproximadamente 9 223 300 000 000 000 000 = 
9,2233.1018. Não se pode esquecer ainda que o valor entregue ao 
inventor seria a soma de todas as moedas contidas em todas as 
casas. O rei estava falido!
A lenda nos apresenta uma aplicação de funções exponen-
ciais, especialmente da função y = 2x.
As funções exponenciais são aquelas que crescem ou decres-
cem muito rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais 
na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, 
Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicolo-
gia e outras.
Definição
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da 
função logarítmica natural, isto é:
logab = x ⇔ ax = b
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por:
y= ax , com 1 ≠ a > 0
Gráficos da Função Exponencial
Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número 
racional, então:
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base 
e (e = número de Euller = 2,718...)
- y = ex se, e somente se, x = ln(y)
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1)
O número e é um número irracional e positivo e em função da 
definição da função exponencial, temos que: 
Ln(e) = 1
Didatismo e Conhecimento 106
MATEMÁTICA
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático 
suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as 
propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser 
escrita como a potência de base e com expoente x, isto é: 
ex = exp(x)
INTRODUÇÃO À TRIGONOMETRIA.
Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Definiremos algumas relações e números obtidos a partir dos 
lados de triângulos retângulos. Antes, porém, precisamos rever al-
gumas de suas propriedades.
A fig. 1 apresenta um triângulo onde um de seus ângulos inter-
nos é reto (de medida 90º ou π
2
rad), o que nos permite classificá-
-lo como um triângulo retângulo.
 
Lembremo-nos de que, qualquer que seja o triângulo,a soma 
dos seus três ângulos internos vale 180º. Logo, a respeito do triân-
gulo ABC apresentado, dizemos que:
α + β + 90 = 180⇒α + β = 90
Com isso, podemos concluir:
- Que os ângulos α e β são complementares, isto é, são ângulos 
cujas medidas somam 90º;
- Uma vez que são complementares ambos terão medida in-
ferior a 90º.
Portanto, dizemos que todo triângulo retângulo tem um ângu-
lo interno reto e dois agudos, complementares entre si.
De acordo com a figura, reconhecemos nos lados b e c os ca-
tetos do triângulo retângulo e em a sua hipotenusa.
Lembremo-nos de que a hipotenusa será sempre o lado opos-
to ao ângulo reto em, ainda, o lado maior do triângulo. Podemos 
relacioná-los através do Teorema de Pitágoras, o qual enuncia que 
o quadrado sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual 
à soma dos quadrados sobre os catetos (sic) ou, em linguajar mo-
derno, “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa de um triângulo retângulo”.
Aplicado ao nosso triângulo, e escrito em linguagem matemá-
tica, o teorema seria expresso como segue:
a2 = b2 + c2
Seno, Co-seno e Tangente de um Ângulo Agudo
A fig. 2 ilustra um triângulo retângulo conhecido como triân-
gulo pitagórico, classificação devida ao fato de que, segundo a tra-
dição grega, através dele Pitágoras enunciou seu Teorema.
De fato, as medidas de seus lados (3, 4 e 5 unidades de com-
primento) satisfazem a sentença 52 = 32 + 42.
Apesar de nos apoiarmos particularmente no triângulo pitagó-
rico, as relações que iremos definir são válidas para todo e qual-
quer triângulo retângulo. Apenas queremos, dessa forma, obter 
alguns resultados que serão comparados adiante.
Definimos seno, co-seno e tangente de um ângulo agudo de 
um triângulo retângulo pelas relações apresentadas no quadro a 
seguir:
Seno do ângulo = cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo
hipotenusa
Co-seno do ângulo = cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo
hipotenusa
Tangente do ângulo = cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo
cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo
A partir dessas definições, o cálculo de seno, co-seno e tangen-
te do ângulo α, por exemplo, nos fornecerão os seguintes valores:
sen α = 3
5
= 0,6
cos α = 4
5
= 0,8
tg α = 3
4
= 0,75
Ao que acabamos de ver, aliemos um conhecimento adquirido 
da Geometria. Ela nos ensina que dois triângulos de lados propor-
cionais são semelhantes.
Se multiplicarmos, então, os comprimentos dos lados de nos-
so triângulo pitagórico semelhante, com os novos lados (6, ,8 e 10) 
igualmente satisfazendo o Teorema de Pitágoras.
Na fig. 3, apresentamos o resultado dessa operação, em que 
mostramos o triângulo ABC, já conhecido na fig. 1 e A1BC1.
Didatismo e Conhecimento 107
MATEMÁTICA
Observemos que os ângulos α e β permanecem sendo os ângu-
los agudos internos do triângulo recém-construído.
Lançando Mao das medidas dos novos lados A1B,BC1eA1C1
(respectivamente 8, 10 e 6 unidades de comprimento), calculemos, 
para o ângulo α, os valores de seno, co-seno e tangente:
sen α = 8
10
= 0,6
cos α = 8
10
= 0,8
tg α = 6
8
= 0,75
Nosso intuito, na repetição dessas operações, é mostrar que, 
não importando se o triângulo PE maior ou menor, as relações defi-
nidas como seno, co-seno e tangente têm, individualmente, valores 
constantes, desde que calculados para os mesmo ângulos.
Em outras palavras, seno, co-seno e tangente são funções ape-
nas dos ângulos internos do triângulo, e não de seus lados.
Outras Razões Trigonométricas – Co-tangente, Secante e 
Co-secante
Além das razões com que trabalhamos até aqui, são definidas 
a co-tangente, secante e co-secante de um ângulo agudo de triân-
gulo retângulo através de relações entre seus lados, como defini-
mos no quadro a seguir:
cot do ângulo = cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo
cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo
sec do ângulo = hipotenusa
cateto ⋅adjacente ⋅ao ⋅ângulo
cosec do ângulo = hipotenusa
cateto ⋅oposto ⋅ao ⋅ângulo
Por exemplo, para um triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 
unidades de comprimento, como exibido na fig. 6, teríamos, para 
o ângulo α,
cotg α = 4
3
sec α = 5
4
cosec α = 5
3
Seno, Co-seno, Tangente e Co-tangente de Ângulos Com-
plementares
Já foi visto que em todo triângulo retângulo os ângulos agudos 
são complementares.
α + β = 90
Sabemos ainda que:
sen α = 
a
b
 
sen β = 
a
c
cos α = 
a
c
 
cos β = 
a
b
tg α = 
c
b
 
tg β = 
b
c
cotg α = 
b
c
 
cotg β = 
c
b
Verifica-se facilmente que:
sen α = cos β; cos α = sen β;
tg α = cotg β; cotg α = tg β.
Exemplo
Um triângulo retângulo tem catetos cujas medidas são 5 cm 
e 12 cm. Determine o valor de seno, co-seno e tangente dos seus 
ângulos agudos.
Resolução
Para respondermos ao que se pede, necessitaremos do com-
primento da hipotenusa do triângulo. Aplicando o Teorema de Pi-
tágoras, temos que:
a2 = b2 + c2 → a2 = 52 + 122 = 169
Didatismo e Conhecimento 108
MATEMÁTICA
Logo, a = 13 cm. Assim, obtemos para seno, co-seno e tangen-
te dos ângulos da Figura, os seguintes valores:
senα = 5
13
• conα = 12
13
• tgα = 5
12
senβ = 12
13
• conβ = 5
13
• tgβ = 12
5
Ângulos Notáveis
Seno, Co-seno e Tangente dos Ângulos Notáveis
Uma vez definidos os conceitos de seno, co-seno e tangente 
de ângulos agudos internos a um triângulo retângulo, passaremos 
a determinar seus valores para ângulos de grande utilização em 
diversas atividades profissionais e encontrados facilmente em si-
tuações cotidianas.
Por exemplo, na Mecânica, demonstra-se que o ângulo de lan-
çamento, tomado com relação à horizontal, para o qual se obtém 
o máximo alcance com uma mesma velocidade de tiro, é de 45o; 
uma colméia é constituída, interiormente, de hexágonos regulares, 
que por sua vez, são divisíveis, cada um, em seis triângulos equilá-
teros, cujos ângulos internos medem 60o; facilmente encontram-se 
coberturas de casas, de regiões tropicais, onde não há neve, com 
ângulo de inclinação definido nos 30o, etc.
Vamos selecionar, portanto, figuras planas em que possamos 
delimitar ângulo com as medidas citadas (30o, 45o e 60o). Para isso, 
passaremos a trabalhar com o quadrado e o triângulo equilátero.
Observemos, na figura 4 e na figura 5, que a diagonal de um 
quadrado divide ângulos internos opostos, que são retos, em duas 
partes de 45 + o+, e que o segmento que define a bissetriz (e altura) 
de um ângulo interno do triângulo equilátero permite-nos reconhe-
cer, em qualquer das metades em que este é dividido, ângulos de 
medidas 30o e 60o.
Primeiramente, vamos calcular os comprimentos da diagonal 
do quadrado (identificado na figura 4 por d) e a altura h, do triân-
gulo equilátero (figura 5).
Uma vez que as regiões sombreadas nas figuras são triângulos 
retângulos, podemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada um 
deles.
Para o meio-quadrado, temos que:
D2 =a2 + a2 → d2 = 2 . a2
2ad =∴
Quanto ao triângulo equilátero, podemos escrever o seguinte:
l2 = 1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ h2 ⇒ h2 = l2 − l
2
4
⇒ h2 = 3l
2
4
⇒∴h = l 3
2
Sabemos, agora, que o triângulo hachurado no interior do 
quadrado tem catetos de medida a e hipotenusa a 2 . Para o ou-
tro triângulo sombreado, teremos catetos e medidas 
1
2
e l 3
2
, en-
quanto sua hipotenusa tem comprimento l.
Passemos, agora, ao cálculo de seno, co-seno e tangente dos 
ângulos de 30om 45o e 60o.
Seno, Co-seno e Tangente de 30o e 60o.
Tomando por base o triângulo equilátero da figura 5, e conhe-
cendo as medidas de seus lados, temos:
sen 30o= 
l
2
l
= 1
2
.1
l
= 1
2
cos 30o= h
l
=
l 3
2
l
= 3
2
tg 30o=
l
2
h
=
l
2
l 3
2
= l
2
. 2
l 3 =
1
3
. 3
3
= 3
3
sen 60o= h
l
=
l 3
2
1
= 3
2
cos 60o=
l
2
l
= l
2
.1
l
= 1
2
tg 60o= h
l
2
=
l 3
2
l
2
= 3
2
.2
1
= 3
Seno, Co-seno e Tangente de 45o
A partir do quadrado representado na figura 4, de lado a e 
diagonal a 2 , podemos calcular:
sen 45o=
a
d
= a
a 2
= 1
2
. 2
2
= 2
2
cos 45o= a
d
= a
a 2
= 1
2
. 2
2
= 2
2
tg 45o = a
a
= 1
Os resultados que obtivemos nos permitem definir, a seguir, 
uma tabela de valores de seno, co-seno e tangente dos ângulos 
notáveis, que nos será extremamenteútil.
Didatismo e Conhecimento 109
MATEMÁTICA
30o 45o 60o
sen
2
1
2
2
2
3
cos
2
3
2
2
2
1
tg
3
3 1 3
Identidades Trigonométricas
É comum a necessidade de obtermos uma razão trigonométri-
ca, para um ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conheci-
do, ou mesmo simplificar expressões extensas envolvendo várias 
relações trigonométricas para um mesmo ângulo.
Nesses casos, as identidades trigonométricas que iremos de-
duzir neste tópico são ferramentas de grande aplicabilidade.
Antes de demonstrá-las, é necessário que definamos o que 
vem a ser uma identidade.
Identidade em uma ou mais variáveis é toda igualdade ver-
dadeira para quaisquer valores a elas atribuídos, desde que verifi-
quem as condições de existência de expressão.
Por exemplo, a igualdade x + 2
x
= 2x
2 + 4
2x
 é uma identidade em x, 
pois é verdadeira para todo x real, desde q x≠0 (divisão por zero é 
indeterminado ou inexistente).
Vamos verificar agora como se relacionam as razões trigono-
métricas que já estudamos. Para isso, faremos uso do triângulo 
ABC apresentado na figura A, retângulo em A.
Aplicando as medidas de seus lados no teorema de Pitágoras, 
obtemos a seguinte igualdade:
b2 + c2 = a2
Dividindo os seus membros por a2, não alteraremos a igualda-
de. Assim, teremos:
b2
a2
+ c
2
a2
= a
2
a2
⇒ b
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ c
a
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= 1
Observemos que as frações entre parênteses podem definir, 
com relação ao nosso triângulo, que:
sen2α + cos2α = 1 e cos2β + sen2 β = 1
Podemos afirma, portanto, que a soma dos quadrados de seno 
e co-seno de um ângulo x é igual à unidade, ou seja:
Sen2x + cos2x = 1
Expliquemos o significado da partícula co, que inicia o nome 
das relações co-seno, cotangente e co-secante. Ela foi introduzida 
por Edmund Gunter, em 1620, querendo indicar a razão trigono-
métrica do complemento. Por exemplo, co-seno de 22o tem valor 
idêntico ao seno de 68o (complementar de 22o)
Assim, as relações co-seno, co-tangente e co-secante de um 
ângulo indicam, respectivamente, seno, tangente e secante do 
complemento desse ângulo.
Assim, indicando seno, tangente e secante simplesmente pelo 
nome de razão, podemos dizer que:
co-razão x = razão (90o –x)
Facilmente podemos concluir, com base no triângulo apresen-
tado na figura A, que:
sen α=cos β sen β=cos α
tg α=cotg β tg β=cotg α
sec α=cossec β sec β=cossec α
Façamos outro desenvolvimento. Tomemos um dos ângulos 
agudos do triângulo ABC, da figura A. Por exemplo, α. Dividindo-
-se sen α por cos α, obtemos:
sen α
cos β
=
b
a
c
a
= b
a
.a
c
= b
c
= tg α
De forma análoga, o leitor obterá o mesmo resultado se tomar 
o ângulo β. Dizemos, portanto, que, para um ângulo x, tal que cós 
x ≠ 0,
tg x = sen x
cos x
Podemos observar, também, que a razão bc , que representa tg 
α, se invertida (passando a 
c
b ), vem a constituir cotg α. Em virtude 
disso, e aproveitando a identidade enunciada anteriormente, pode-
mos dizer que, para todo ângulo x de seno não-nulo:
cotg x = 1
tg x
= cos x
sen x
Tais inversões ocorrem também e se tratando das relações 
seno, co-seno, secante e co-secante. Vejamos que:
sen α = a
b
cosec α = a
b
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
 E 
cosα = c
a
sec α = a
c
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
Teríamos encontrado inversões semelhantes se utilizássemos 
o ângulo β.
Didatismo e Conhecimento 110
MATEMÁTICA
Dizemos, assim, que, para um dado ângulo x,
sec x = 1
cox x
cosec x = 1
sen x
Desde que seja respeitada a condição de os denominadores 
dos segundos membros dessas identidades não serem nulos.
Exercícios
1. Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida 
da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida 
da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem catetos medindo 
5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da me-
diana relativa a hipotenusa nesse triângulo.
2. Um quadrado e um triângulo equilátero têm o mesmo 
perímetro. Sendo h a medida da altura do triângulo e d a medida da 
diagonal do quadrado. Determine o valor da razão h/d.
 
3. As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em cen-
tímetros as medidas dos catetos de um triângulo retângulo. De-
termine a medida da hipotenusa e o perímetro desse triângulo.
4. Seja o triângulo ABC, mostrado na figura, onde a = 20, 
b = 10 2 e B = 30. Calcular o raio do círculo circunscrito e o 
ângulo C.
5. Os lados adjacentes de um paralelogramo medem 
1388m e 2526m e o ângulo formado entre estes lados mede 
54,42º. Determinar o comprimento da maior diagonal desse 
quadrilátero.
6. Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do 
maior ângulo interno desse triângulo vale:
a) 11 / 24
b) - 11 / 24
c) 3 / 8
d) - 3 / 8
e) - 3 / 10
7. Se x e y são dois arcos complementares, então podemos 
afirmar que A = (cosx - cosy)2 + (senx + seny)2 é igual a:
a) 0
b) ½
c) 3/2
d) 1
e) 2
8. Calcule sen 2x sabendo-se que tg x + cotg x = 3.
9. Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = arc-
sen 4x?
10. Calcule o triplo do quadrado do coseno de um arco 
cujo quadrado da tangente vale 2.
Respostas
1) Solução:
h2 = 52 + 22
h2 = 25 + 4
h2 = 29
h = 29
mediana = 29
2
= 5,38
2
= 2,69
2) Solução:
4L 2= 3L1
L2 =
3
4
L 1
d 2 = L2
2+L2
2
d 2 = 2L2
2
d = L2 2
d = 3
4
L1 2
L1
2= L1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ h2
h2 = L1
2− L1
2
4
h2 = 4L1
2−L1
2
4
h2 = 3L1
2
4
h = 3L1
2
4
h = L1 3
2
h
d
=
L1 3
2
3L1 2
4
= L1 3
2
× 4
3L1 2
= 4 3
6 2
× 2
2
= 4 6
12
= 6
3
4L 2= 3L1
L2 =
3
4
L 1
d 2 = L2
2+L2
2
d 2 = 2L2
2
d = L2 2
d = 3
4
L1 2
L1
2= L1
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
+ h2
h2 = L1
2− L1
2
4
h2 = 4L1
2−L1
2
4
h2 = 3L1
2
4
h = 3L1
2
4
h = L1 3
2
h
d
=
L1 3
2
3L1 2
4
= L1 3
2
× 4
3L1 2
= 4 3
6 2
× 2
2
= 4 6
12
= 6
3
Didatismo e Conhecimento 111
MATEMÁTICA
3) Solução:
x2 −14x + 48 = 0
x = 14 ± (−14)2 − 4.148
2.1
x = 14 ± 196 −192
2
x = 14 + 2
2
x1 =
14 + 2
2
= 8
x2 = 14 − 2
2
= 6
h2 = 62 + 82
h2 = 36 + 64
h2 = 100
h = 100
h = 10cm
P = 6 + 8 +10 = 24cm
4) Solução: 
Pela Lei dos senos, b = 2R . sen(B), logo 10 2 = 2R . sen(30) 
e desse modo R = 10 2 .
Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
180º, calcularemos o ângulo A.
Pela Lei dos Senos, b . sem (A) = a . sen(B), de onde segue que 
10 2 . sem(A) = 20 . sen(30), assim, sem (A) = 2
2
Como A é um dos ângulos do triângulo então A = 45º ou A = 
135º.
Como B = 30°, da relação A + B + C = 180º, segue que A + C 
= 150° e temos duas possibilidades:
1. A = 45º e C = 105º
2. A = 135º e C = 15º.
5) Solução:
No triângulo ABC, A + C = 54,42º, então: B = 180º - 54,42º 
= 125,58º
A lei dos cossenos:
b² = a² + c² - 2ac cos(B)
garante que:
b² = (1388)² + (2526)² - 2(1388)(2526) cos(125,58º)
Assim, b = 3519,5433 e então garantimos que a maior dia-
gonal do paralelogramo mede aproximadamente 3519,54 metros.
6) Resposta “B”.
Solução: Sabemos que num triângulo, ao maior lado opõe-se o 
maior ângulo. Logo, o maior ângulo será aquele oposto ao lado de 
medida 6. Teremos então, aplicando a lei dos cossenos:
62 = 32 + 42 - 2 . 3 . 4 . cos b \ 36 - 9 - 16 = - 24 . cos b \ cos b = 
- 11 / 24 e, portanto, a alternativa correta é a letra B.
Lembrete: TC - Teorema dos cossenos: Em todo triângulo, o 
quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, 
menos o dobro do produto desses lados pelo cosseno do angulo 
que eles formam.
7) Resposta “E”. 
Solução: Desenvolvendo os quadrados, vem:
A = cos2 x - 2 . cosx . cosy + cos2 y + sen2 x + 2 . senx . seny 
+ sen2 y
Organizando convenientemente a expressão, vem:
A = (cos2 x + sen2 x) + (sen2 y + cos2 y) - 2 . cosx . cosy + 2 . 
senx . seny
A = 1 + 1 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
A = 2 - 2 . cosx . cosy + 2 . senx . seny
Como os arcos são complementares, isto significa que x + y = 
90º \ y = 90º - x. 
Substituindo, vem:
A = 2 - 2 . cosx . cos(90º - x) + 2 . senx . sen(90º - x)
Mas, cos(90º - x) = senx e sen(90º - x) = cosx, pois sabemos 
que o seno de um arco é igual ao cosseno do seu complemento e o 
cosseno de um arco é igual ao seno do seu complemento.
Logo, substituindo,fica:
A = 2 - 2 . cosx . senx + 2 . senx . cosx
A = 2 + (2senxcosx - 2senxcosx) = 2 + 0 = 2 , e portanto a 
alternativa correta é a letra E.
8) Solução:
Escrevendo a tgx e cotgx em função de senx e cosx , vem:
senx
cos x
+ cos x
senx
= 3∴ sen2x + cos2 x
senx cos x
= 3∴ 1
senxconx
= 3
Daí, vem: 1 = 3 . senx . cosx \ senx . cosx = 1 / 3. Ora, sabe-
mos que sen 2x = 2 . senx . cosx e portanto senx . cosx = (sen 2x) 
/ 2 , que substituindo vem:
(sen 2x) / 2 = 1 / 3 e, portanto, sen 2x = 2 / 3.
9. Solução:
Podemos escrever: 4x = seny. Daí, vem:
Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = 
[-1/4, 1/4].
Para y: Da definição vista acima, deveremos ter 
-p /2 £ y £ p /2.
Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2].
10) Solução:
Seja x o arco. Teremos:
tg2x = 2
Desejamos calcular 3.cos2x, ou seja, o triplo do quadrado do 
coseno do arco.
Sabemos da Trigonometria que: 1 + tg2x = sec2x
Portanto, substituindo, vem: 1 + 2 = sec2x = 3
Como sabemos que:
secx = 1/cosx , quadrando ambos os membros vem:
sec2x = 1/ cos2x \ cos2x = 1/sec2x = 1/3 \ 3cos2x = 3(1/3) = 1
Portanto, o triplo do quadrado do coseno do arco cuja tangente 
vale 2, é igual à unidade.
Resposta: 1
Didatismo e Conhecimento 112
MATEMÁTICA
MATRIZES E SISTEMAS LINEARES.
Matriz
A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato 
Paulista de Basquete masculino.
Campeonato Paulista – Classificação
Time Pontos
1º Tilibra/Copimax/Bauru 20
2º COC/Ribeirão Preto 20
3º Unimed/Franca 19
4º Hebraica/Blue Life 17
5º Uniara/Fundesport 16
6º Pinheiros 16
7º São Caetano 16
8º Rio Pardo/Sadia 15
9º Valtra/UBC 14
10º Unisanta 14
11º Leitor/Casa Branca 14
12º Palmeiras 13
13º Santo André 13
14º Corinthians 12
15º São José 12
Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)
Folha de S. Paulo – 23/10/01
Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de 
comparações das informações apresentadas, por exemplo:
→ COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos 
juntamente com Tilibra/Bauru
→ Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.
Definições
Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela 
formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas 
e n colunas
Exemplos
1°)
1 0
1 1
−2 3
3 2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 é uma matriz 2 x 4
2º)
1
2
1
0
3
4
1
3
2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥ é uma matriz 3 x 3
3º)
1 0 3⎡⎣ ⎤⎦ é uma matriz 1 x 3
4º) 
2
0
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
 é uma matriz 2 x 1
O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do 
alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz 
são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de 
matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna 
que o elemento ocupa na matriz.
Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.
O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na 
matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando.
A = aij⎡⎣ ⎤⎦← i − ésima ⋅ linha
↑
j − ésima ⋅coluna
Exemplo
Na matriz B de ordem 2 x 3 temos:
B =
1 0 3
2 −1 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;
b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4
Observação: O elemento b23, por exemplo, lemos assim: “b 
dois três”
De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por:
A =
a11 a12 a13 ... a1n
a21 a22 a23 ... a2n
... a32 a33 ... a3n
am1 am2 am3 ... amn
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n
Matrizes Especiais
Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes 
especiais:
1ª. Matriz Linha
É a matriz que possui uma única linha.
Exemplos
- A = [-1, 0]
- B = [1 0 0 2]
Didatismo e Conhecimento 113
MATEMÁTICA
2ª. Matriz Coluna
É a matriz que possui uma única coluna.
Exemplos
−A = 2
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ −B =
0
−1
3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
3ª) Matriz Nula
É a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.
Exemplos
1)A =
0 0
0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2)B =
0 0 0
0 0 0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
4ª. Matriz Quadrada
É a matriz que possui o número de linhas igual ao número de 
linhas igual ao número de colunas.
Exemplos
1)A =
1 3
2 −1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ É a matriz quadrada de ordem 2.
Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é 
chamada de retangular.
Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal 
principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices 
iguais.
Exemplo
{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.
3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal 
secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a 
soma dos dois índices igual a n + 1.
Exemplo
{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.
5ª. Matriz Diagonal
É a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não 
pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.
Exemplos
1)A =
2 0 0
0 1 0
0 0 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
6ª) Matriz Identidade
É a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da 
diagonal principal iguais a 1.
Representamos a matriz identidade de ordem n por In.
Exemplos
1)I2 =
1 0
0 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
2)I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n
7ª. Matriz Transposta
Dada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à 
matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por 
colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.
Exemplo
A =
1 0 3
2 1 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
,então At =
1 2
0 1
3 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz At, 
transposta de A, é de ordem n x m.
Igualdade de Matrizes
Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um 
elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando 
eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.
Exemplo
Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,
A =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ e B =
b11 b12
b21 b22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
São elementos correspondentes de A e B, os pares:
a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.
Definição
Duas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma 
ordem e os elementos correspondentes são iguais.
Indica-se:
A = B
Então:
A = (aij)n x n e B = (bij)p x q
Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma 
matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i 
≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.
Indicamos que B = -A.
Exemplo
A =
3 −1
2 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⇒ B =
−3 1
−2 −4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Didatismo e Conhecimento 114
MATEMÁTICA
- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica 
quando aij = aji para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.
- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-
simétrica quando aij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. 
Isto é, A é anti-simétrica quando At = -A.
Adição e Subtração de Matrizes
Definição
Dadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n, 
denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de 
ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando somamos os 
elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:
C = A + B
Assim:
1 3 4
2 1 −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
2 1 1
3 2 3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
3 4 5
5 3 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Propriedades da Adição
Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem 
as seguintes propriedades.
- A + B = B + A (comutativa)
- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)
- A + O = O + A = A (elemento neutro)
- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)
- (A + B)t = At + Bt
Definição
Consideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m 
x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a 
soma de A com a oposta de B.
A – B = A + (B)
Exemplo
Sendo:
A =
3 2
1 −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
e B =
4 5
−2 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ , então
A − B =
3 2
1 −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
4 5
−2 1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
A − B =
3 2
1 −2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
−4 −5
2 −1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
A - B =
A − B =
−1 −3
3 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Observação: Na prática, para obtermos a subtraçãode matrizes 
de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes.
Multiplicação de Matrizes por um Número Real
Definição
Consideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número 
real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida 
quando multiplicamos cada elemento de A por.
Indicamos:
B = α . A
Exemplo
Sendo:
A =
1 3
2 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ , temos
2 . A =
2.1 2.3
2.2 2.5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
2 6
4 10
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Matrizes – Produtos
Multiplicação de Matrizes
O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por 
uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que 
cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os 
elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e 
somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:
B = α . A
Da definição, decorre que:
- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o 
número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.
Propriedades
Sendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes 
convenientes e, são válidas as seguintes propriedades.
- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)
- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)
- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)
- A . In = Im . A = A (elemento neutro)
- (α . A) . B = A . (α . B ) = . (A . B)
- A . On x p = Om x p e Op x m . A = Op x n
- (A . B)t = Bt . At
Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a 
propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é 
verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes 
são comutáveis.
Devemos levar em consideração os fatos seguintes:
1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) + 
A2 + AB + BA + B2
2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A 
. B)t = Bt . At
Didatismo e Conhecimento 115
MATEMÁTICA
Matriz Inversa
No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um 
número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:
a.b=b.a=1
Normalmente indicamos o inverso de a por a
1
 ou a-1.
Analogamente para as matrizes temos o seguinte:
Definição
Uma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e 
somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:
A.B=B.A=In
A matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.
Exemplos
- Verifique que a matriz B= 





−
−
11
34
 é a inversa da matriz A=






41
31
Resolução
A.B= 





41
31
. 





−
−
11
34
= 





10
01
B.A=






−
−
11
34 .






41
31 =






10
01
Como A.B=B.A=12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A-1.
Observação: É bom observarmos que, de acordo com a 
definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou 
seja, A=(A-1)-1.
- Encontre a matriz inversa da matriz A= 





12
13
, se existir.
Resolução
Supondo que B= 





dc
ba
 é a matriz inversa de A, temos:
A.B= 





12
13
. 





dc
ba
= 





10
01






++
++
dbca
dbca
22
33
= 





10
01
Assim:



=+
=+
02
13
ca
ca e 



=+
=+
12
03
db
db
Resolvendo os sistemas, encontramos:
A=1,b=-1,c=-2 e d=3
Assim, B= 





−
−
32
11
Por outro lado:
B.A= 





−
−
32
11 . 





12
13
= 





10
01
Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:
B=A-1= 





−
−
32
11
Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que 
ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, 
dizemos que ela é uma matriz singular.
Propriedades
Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis, 
temos as seguintes propriedades:
- (A-1)-1=A
- (A-1)t= At)-1
- (A.B)-1=B-1..A-1
- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.
Exemplo
Sendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em 
(X.A)-1-=B.
Resolução
(X.A)-1=B ⇒A-1.X-1=B
Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:
A.A-1.X-1=A.B
Como A.A-1=In, então:
In.X
-1=A.B
Como In é elemento neutro na multiplicação de matrizes, 
temos:
X-1=A.B
Elevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1, 
temos:
(X-1)-1=(A.B)-1
Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1
O sistema obtido está escalonado e é do 2º 
Determinantes 
Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por mate-
máticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke 
Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções 
de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.
Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um 
único número real que denominamos determinante de A e que 
indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre 
duas barras verticais, como no exemplo abaixo:
A= 





54
21
→ det A=
54
21
Definições
Determinante de uma Matriz de Ordem 1
Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]
Chamamos determinante dessa matriz o número:
det A=[ a11]= a11
Didatismo e Conhecimento 116
MATEMÁTICA
Exemplos
1º) A=[-2] → det A= -2
2º) B=[5] → det B=5
3º) C=[0] → det C=0
Determinante de uma Matriz de ordem 2
Seja a matriz quadrada de ordem 2:
A =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Chamamos de determinante dessa matriz o número:
detA =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ = a11 . a22 − a21 . a12
Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer 
que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da 
diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundá-
ria. Esquematicamente:
detA =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ = a11 . a22 − a21 . a12
Exemplos
- A= 





35
21
det A=1.3-5.2=-7
- B= 




 −
32
12
det B=2.3-2.(-1)=8
Determinante de uma Matriz de Ordem 3
Seja a matriz quadrada de ordem 3:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Chamamos determinante dessa matriz o numero:
detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a32 a21 a13-a31 a22 a13+
-a12 a21 a33-a32 a23 a11
Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, 
usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:
1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.
a11 a12 a13 a11 a12
a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32
2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em 
diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:
detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+
-a11 a23 a32-a12 a21 a33
Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada 
repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.
Determinantes – Propriedades - I
Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a 
simplificar o cálculo dos determinantes:
Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao 
de sua transposta At.
Exemplo
A= ⇒





dc
ba
At= 





db
ca
AA
bcadA
bcadA t
t detdet
det
det
=⇒



−=
−=
Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz 
quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas 
paralelas, então:
detB = -detA
Exemplo
A= 





dc
ba
e B= 





ba
dc
B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.
detA=ad-bc
detB=BC-ad=-(ad-bc)=-detA
Assim,
detB=-detA
Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui 
duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.
Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos 
entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, 
de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA
Assim: detA = 0
Didatismo e Conhecimento 117
MATEMÁTICA
Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma 
matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha 
ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA
Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um 
determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” 
de uma fila (linha ou coluna).
Exemplo
ka kb
c d
= k.
a b
c d
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matrizk. A é 
obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:
det(k.A)=kn.detA
Exemplo
A =
a b c
d e f
g h i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⇒ k.A =
ka kb kc
kd ke kf
kg kh ki
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
det(k.A) =
ka kb kc
kd ke kf
kg kh ki
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
= k.k.k
a b c
d e f
g h i
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
Assim:
det(k.A)=k3.detA
Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma 
ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são 
iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C 
são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e 
B, então.
detC = detA + detB
Exemplos:
a b x
c d y
e f z
+
a b r
c d s
e f z
=
a b x + r
c d y + s
e f z + t
Propriedades dos Determinantes
Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)
O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila 
qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número.
Exemplo
Exemplo
Considere o determinante detA=
ihg
fed
cba
Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:
a b c + ma
d e f + md
g h i + mg
(P4)
a b c
d e f
g h i
+
a b ma
d e md
g h mg
a b c + ma
d e f + md
g h i + mg
= detA +m
a b a
d e d
g h g
Igual a zero
a b c + ma
d e f + md
g h i + mg
= detA
Exemplo
Vamos calcular o determinante D abaixo.
D=8+0+0-60-0-0=-52
Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com 
a 3ª coluna e calcular:
D1=48+0+0-100-0-0=-52
Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.
Consequência
Quando uma fila de um determinante é igual à soma de 
múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), 
o determinante é igual a zero.
Exemplo
SejaD =
1 2 8
3 2 12
4 −1 05
Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna 
multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3.
Didatismo e Conhecimento 118
MATEMÁTICA
8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 6
12 = 2(3) + 3(2) = 6 + 6
5 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3
Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0
Use a regra de Sarrus e verifique.
Propriedade 6 (Teorema de Binet)
Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:
det(A.B) = detA . detB
Exemplo
A= ⇒





30
21
detA=3
B= ⇒





12
34
detB=-2
A.B= ⇒





36
58
det(A.B)=-6
Logo, det(AB)=detA. detB
Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, 
temos:
det(An) = (detA)n
Sendo A uma matriz inversível, temos:
detA-1=
Adet
1
Justificativa: Seja A matriz inversível.
A-1.A=I
det(A-1.A)=det I
detA-1.detA=det I
detA-1=
Adet
1
Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.
Determinantes – Teorema de Laplace
Menor complementar e Co-fator
Dada uma matriz quadrada A=(aij )nxn (n≥ 2), chamamos 
menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o 
determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém 
suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.
Exemplo
Sendo A=










212
014
321
, temos:
M11=
21
01 =2
M12=
22
04 =8
M13=
12
14 =2
Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o 
número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.
Exemplo
Sendo A










−
−
031
312
413
, temos:
A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 
03
31
=-9
A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 01
32
− =-3
A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 
12
13 −
=5
Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n≥ 2, chamamos matriz co-
-fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos ele-
mentos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta 
da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que 
indicamos por adj. A.
Exemplo
Sendo A=










−
124
101
231
, temos:
A11=(-1)1+1.
 
12
10 −
=2
A12=(-1)1+2.
 
14
11 −
=-5
A13=(-1)1+3.
 
24
01
=2
A21=(-1)2+1.
 12
23 =1
A22=(-1)2+2.
 
14
21
=-7
A23=(-1)2+3.
 
24
31
=10
A31=(-1)3+1.
 
10
23
−
=-3
A32=(-1)3+2.
 
11
21
− =3
A33=(-1)3+3.
 
01
31
=-3
Assim:
cofA =
2 −5 2
1 −7 10
−3 3 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
e adjA =
2 1 −3
−5 −7 3
2 10 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
Didatismo e Conhecimento 119
MATEMÁTICA
Determinante de uma Matriz de Ordem n
Definição.
Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes 
quadradas de ordem 1, 2 e 3.
Seja A uma matriz quadrada de ordem n.
Então:
- Para n = 1
A=[a11] ⇒ det A=a 11
- Para n ≥ 2:
A= ∑
=
=⇒












n
j
jj
nnnn
n
n
AaA
aaa
aaa
aaa
1
11
21
22221
11211
.det
...
.......................
...
....
ou seja:
detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n
Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, 
n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da 
matriz pelos respectivos co-fatores.
Exemplos
1º) Sendo A =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ , temos:
detA=a11.A11+a12.A12, onde:
A11=(-1)1+1.|a22|=a22
A12=(-1)1+2.|a21|=a21
Assim:
detA=a11.a22+a12.(-a21)
detA=a11.a22-a21.a12
Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição 
vista anteriormente.
− Sendo A =
3 0 0 0
1 2 3 2
23 5 4 3
−9 3 0 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
,temos :
detA = 3.A11 + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14
zero
  
A11=(-1)1+1. 










203
341
232
=-11
Assim:
detA=3.(-11)⇒ det A = -33
Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na 
primeira linha, mais o cálculo é facilitado.
Teorema de Laplace
Seja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determi-
nante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou 
coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.
Exemplo
Sendo A=












− 0223
0014
0123
2105
Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de 
Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.
Assim:
detA=2.A14+0.A24+0.A34+0.A44
A14=(-1)1+4










− 223
014
123
=+21
detA=2.21=42
Observações Importantes: No cálculo do determinante de 
uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes 
de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes 
de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em 
determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra 
de Sarrus, por exemplo.
- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando 
escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.
- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi 
pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace.
 
Exemplo
Calcule det A sendo A=












−
−
3643
2132
1210
1321
A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos 
dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos 
ainda três co-fatores.
Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 
multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando 
a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:
A=












−−
−
0320
4770
1210
1321
Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:
detA=1.(-1)1+1. 










−−
−
032
477
121
=










−−
−
032
477
121
Didatismo e Conhecimento 120
MATEMÁTICA
Aplicamos a regra de Sarrus,
det A=(0-16-21)-(-14+12+0)
detA=0-16-21+14-12-0=-49+14
detA=-35
Uma aplicação do Teorema de Laplace
Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o 
produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar 
isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se 
ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular 
superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior. 
Assim:
1ª) A é triangular superior
A=
















nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
...000
...............
...00
...0
....
333
22322
1131211
detA=a11.a22.a33. ... .ann
2ª) A é triangular inferior
A=
















nnnnn
n
n
n
aaaa
aaaa
aaa
aaaa
...
...............
...
...0
....
321
3333231
22221
1131211
detA=a11.a22.a33. ... .ann
In=
















1000
0100
0010
0001





det/n=1
Determinantede Vandermonde e Regra de Chió
Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante 
de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, 
na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, 
números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos 
e assim sucessivamente.
Exemplos
1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3
222
111
cba
cba
2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4
3333
2222
1111
dcba
dcba
dcba
Os elementos da 2ª linha são denominados elementos 
característicos.
Propriedade
Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de 
todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos 
elementos característicos os elementos precedentes, independente 
da ordem do determinante.
Exemplo
Calcule o determinante:
detA =
1 2 4
1 4 16
1 7 49
Sabemos que detA=detAt, então:
detAt =
1 1 1
2 4 7
1 16 49
Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:
detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30
Exercícios
1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.
2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = 
 é nula.
Didatismo e Conhecimento 121
MATEMÁTICA
3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com 
os elementos da diagonal secundária da matriz .
4. Calcule o valor a e b, sabendo que = 
5. Sabendo que a matriz A = é matriz 
diagonal, calcule x, y e z.
6. Sabendo que I2 = calcule x e y.
7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.
8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.
9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que 
A seja simétrica.
10. Calcule A + B sabendo que A = e 
B = 
Respostas
1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:
A =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
a11 = 2 . 1 + 1 = 3
a12 = 2 . 1 + 2 = 4
a13 = 2 . 1 + 3 = 5
a21 = 2 . 2 + 1 = 5
a22 = 2 . 2 + 2 = 6
a23 = 2 . 2 + 3 = 7
Portanto, A = 
2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus 
elementos são nulos. Logo:
x + 1 = 0 → x = -1
y – 2 = 0 → y = -2
3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; 
logo, 1 + 5 + 9 = 15.
Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 
3 + 5 + 7 = 15.
Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.
4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:
a + 4 = 5 → a = 1
b² = 4 → b = 2 ou b = -2
5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:
x + 2 = 0 → x = -2
y – 1 = 0 → y = 1
z – 4 = 0 → z = 4.
Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.
6) Solução: 
Como I2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.
Resolvendo o sistema encontramos x = 
7) Solução: 
A =
a11 a12
a21 a22
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
→ a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 
 = 2 + 1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4.
Logo,A =
2 3
3 4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
e− A =
−2 −3
−3 −4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
8) Solução:
A =
a11 a12 a13
a 21 a22 a23
a31 a32 a33
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a11 = 1 – 2 . 1 = -1
a12 = 1 – 2 . 2 = -3
a13 = 1 – 2 . 3 = -5
a21 = 2 – 2 . 1 = 0
a22 = 2 – 2 . 2 = -2
a23 = 2 – 2 . 3 = -4
a31 = 3 – 2 . 1 = 1
a32 = 3 – 2 . 2 = -1
a33 = 3 – 2 . 3 = -3
Portanto, A = 
−1 −3 −5
0 −2 −4
1 −1 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
 e At = 
−1 0 1
−3 −2 −1
−5 −4 −3
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
.
9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.
At = .
Então devemos ter → a² = 4
Portanto, a = 2 ou a = -2.
10) Solução:
A + B =
1 0 3
−2 4 2
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+
−1 1 2
3 −2 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
=
1+ −1( ) 0 +1 3+ 2
−2 + 3 4 + (−2) 2 + 5
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
0 1 5
1 2 7
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
Didatismo e Conhecimento 122
MATEMÁTICA
Sistema Linear
O estudo dos sistemas de equações lineares é de fundamental 
importância em Matemática e nas ciências em geral. Você 
provavelmente já resolveu sistemas do primeiro grau, mais 
precisamente aqueles com duas equações e duas incógnitas.
Vamos ampliar esse conhecimento desenvolvendo métodos 
que permitam resolver, quando possível, sistemas de equações 
do primeiro grau com qualquer número de equações e incógnitas. 
Esses métodos nos permitirão não só resolver sistemas, mas 
também classificá-los quanto ao número de soluções.
Equações Lineares
Equação linear é toda equação do tipo a1x1 + a2x2 + a3x3+...anxn 
= b, onde a1, a2, a3,.., an e b são números reais e x1, x2, x3,.., xn são 
as incógnitas.
Os números reais a1, a2, a3,.., an são chamados de coeficientes 
e b é o termo independente.
Exemplos
- São equações lineares:
x1 - 5x2 + 3x3 = 3
2x – y + 2z = 1
0x + 0y + 0z = 2
0x + 0y + 0z = 0
- Não são equações lineares:
x3-2y+z = 3
(x3 é o impedimento)
2x1 – 3x1x2 + x3 = -1
(-3x1x2 é o impedimento)
2x1 – 3 
2x
3 + x3 = 0
(
2x
3 é o impedimento)
Observação: Uma equação é linear quando os expoentes das 
incógnitas forem iguais a l e em cada termo da equação existir uma 
única incógnita.
Solução de ama Equação Linear
Uma solução de uma equação linear a1xl +a2x2 +a3x3+...anxn 
= b, é um conjunto ordenado de números reais α1, α2, α3,..., αn 
para o qual a sentença a1{α1) + a2{αa2) + a3(α3) +... + an(αn) = b é 
verdadeira.
Exemplos
- A terna (2, 3, 1) é solução da equação:
x1 – 2x2 + 3x3 = -1 pois:
(2) – 2.((3) + 3.(1) = -1
- A quadra (5, 2, 7, 4) é solução da equação: 
0x1 - 0x2 + 0x3 + 0x4 = 0 pois:
0.(5) + 0.(2) + 0.(7) + 0.(4) = 0
Conjunto Solução 
Chamamos de conjunto solução de uma equação linear o 
conjunto formado por todas as suas soluções.
Observação: Em uma equação linear com 2 incógnitas, o 
conjunto solução pode ser representado graficamente pelos pontos 
de uma reta do plano cartesiano.
Assim, por exemplo, na equação
2x + y = 2
Algumas soluções são (1, 0), (2, -2), (3, -4), (4, -6), (0, 2), 
(-1,4), etc.
Representando todos os pares ordenados que são soluções da 
equação dada, temos:
Equação Linear Homogênea
Uma equação linear é chamada homogênea quando o seu 
termo independente for nulo.
Exemplo
2x1 + 3x2 - 4x3 + 5x4 - x5 = 0
Observação: Toda equação homogênea admite como solução 
o conjunto ordenado de “zeros” que chamamos solução nula ou 
solução trivial.
Exemplo
(0, 0, 0) é solução de 3x + y - z – 0
Equações Lineares Especiais
Dada a equação:
a1x1 + a2x2 +a3x3+...anxn = b, temos:
- Se a1 = a2 = a3 =...= na = b = 0, ficamos com:
0x1 + 0x2 +0x3 +...+0xn, e, neste caso, qualquer sequências (α1, 
α2, α3,..., αn) será solução da equação dada.
- Se a1 = a2 = a3 =... = an = 0 e b ≠ 0, ficamos com:
0x1 +0x2 + 0x3 +...+0xn= b ≠0, e, neste caso, não existe 
sequências de reais (α1, α2, α3,...,αn) que seja solução da equação 
dada.
Sistema Linear 2 x 2
Chamamos de sistema linear 2 x 2 o conjunto de equações 
lineares a duas incógnitas, consideradas simultaneamente.
Todo sistema linear 2 x 2 admite a forma geral abaixo:



=+
=+
222
111
cyba
cybxa
Um par (α1, α2) é solução do sistema linear 2 x 2 se, e somente 
se, for solução das duas equações do sistema.
Didatismo e Conhecimento 123
MATEMÁTICA
Exemplo
(3, 4) é solução do sistema
x − y = −1
2x + y = 10
⎧
⎨
⎩
pois é solução de suas 2 equações: 
(3)-(4) = -l e 2.(3) + (4) = 10
Resolução de um Sistema 2 x 2
Resolver um sistema linear 2 x 2 significa obter o conjunto 
solução do sistema.
Os dois métodos mais utilizados para a resolução de um 
sistema linear 2x2 são o método da substituição e o método da 
adição.
Para exemplificar, vamos resolver o sistema 2 x 2 abaixo 
usando os dois métodos citados.



1- =y -x 
8 =3y +2x 
1. Método da Substituição:



(II)1- =y -x 
 (I)8 =3y +2x 
Da equação (II), obtemos x = y -1, que substituímos na 
equação (I)
2(y- 1) +3y = 8 è 5y = 10 è y = 2
Fazendo y = 2 na equação (I), por exemplo, obtemos:
Assim: S = {(1,2)}
2. Método da Adição:



(II)1- =y -x 
 (I)8 =3y +2x 
Multiplicamos a equação II por 3 e a adicionamos, membro a 
membro, com a equação I.






==⇒=
−=−
=+
1
5
555
333
832
xx
yx
yx
Fazendo x = 1 na equação (I), por exemplo, obtemos:
Assim: S = {(1,2)}
Sistema Linear 2 x 2 com infinitas soluções
Quando uma equação de um sistema linear 2 x 2 puder ser 
obtida multiplicando-sea outra por um número real, ao tentarmos 
resolver esse sistema, chegamos numa igualdade que é sempre 
verdadeira, independente das incógnitas. Nesse caso, existem 
infinitos pares ordenados que são soluções do sistema.
Exemplo
2x + 3y = 8(I )
−4x − 6y = −16(II )
⎧
⎨
⎩
Note que multiplicando-se a equação (I) por (-2) obtemos a 
equação (II).
Resolvendo o sistema pelo método da substituição temos:
Da equação (I), obtemos y =
3
28 x− , que substituímos na 
equação (II).
- 4 x - 6 . 





/
−
3
28 x = - 1 6 → - 4 x - 2 ( 8 - 2 x ) = - 1 6
- 4 x - 1 6 + 4 x = - 1 6 → - 1 6 = - 1 6
- 16= -16 é uma igualdade verdadeira e existem infinitos pares 
ordenados que são soluções do sistema.
Entre outros, (1, 2), (4, 0), 




 1,
2
5
 e 





3
8,0 são soluções do 
sistema.
Sendo a, um número real qualquer, dizemos que α , 8 − 2α
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
é solução do sistema.
(Obtemos 8 − 2α
3 
substituindo x =α na equação (I)).
Sistema Linear 2 x 2 com nenhuma solução
Quando duas equações lineares têm os mesmos coeficientes, 
porém os termos independentes são diferentes, dizemos que não 
existe solução comum para as duas equações, pois substituindo uma 
na outra, obtemos uma igualdade sempre falsa.
Exemplo
2x+3y=6(I) e 2x+3y=5(II)
Substituindo 2x+3y da equação (I) na equação (II) obtemos:
6=5 que é uma igualdade falsa. Se num sistema 2x2 existir 
um número real que, multiplicado por uma das equações, resulta 
uma equação com os mesmos coeficientes da outra equação do 
sistema, porém com termos independentes diferentes, dizemos 
que não existe par ordenado que seja solução do sistema.
Exemplo



=+
=+
)(742
)(52
IIyx
Iyx
Multiplicando-se equação (I) por 2 obtemos:
2x+4y=10
Que tem os mesmo coeficientes da equação (II), porém os 
termos independentes são diferentes.
Se tentarmos resolver o sistema dado pelo método de 
substituição, obtemos uma igualdade que é sempre falsa, 
independente das incógnitas.



=+
=+
)(742
)(52
IIyx
Iyx
Didatismo e Conhecimento 124
MATEMÁTICA
Da equação (I), obtemos , 




 −
=
2
5 xy que substituímos na 
equação (II)
2x- 4. 





/
−
2
5 x =7→2x+2(5-x)=7
2x+10-2x=7→10=7
10=7 é uma igualdade falsa e não existe par ordenado que seja 
solução do sistema.
Classificação
De acordo com o número de soluções, um sistema linear 2x2 
pode ser classificado em:
- Sistema Impossíveis ou Incompatíveis: são os sistemas que 
não possuem solução alguma.
- Sistemas Possíveis ou compatíveis: são os sistemas que 
apresentam pelo menos uma solução.
- Sistemas Possíveis Determinados: se possuem uma única 
solução.
- Sistemas Possíveis Indeterminados: se possuem infinitas 
soluções.
Sistema Linear m x n
Chamamos de sistema linear M x n ao conjunto de m equações 
a n incógnitas, consideradas simultaneamente, que podem ser 
escrito na forma:








=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
...
.........................................................
...
...
...
332211
33333232131
22323222121
11313212111
Onde:
X1, x2, x3,…,xn são as incógnitas;
aij, com 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ n, são os coeficientes das incógnitas; 
bi, com 1 ≤ i ≤ m, são os termos independentes.
Exemplos
1.



+−+
=+−
2
532
zyx
zyx
(sistema 2 x 3)
2.





=++−
=+−+
=+−+
5
232
023
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
(sistema 3 x 4)
3.





=−
=−
=+
032
4
12
yx
yx
yx
(sistema 3 x 2)
Matriz Incompleta
Chamamos de matriz incompleta do sistema linear a matriz 
formada pelos coeficientes das incógnitas.
























=
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A




321
3333231
2232221
1131211
.....................................
Exemplo
No sistema:







=+−
=+
=+−
5
0
12
yx
zx
zyx
A matriz incompleta é:
















−
−
=
011
101
211
A
Forma Matricial
Consideremos o sistema linear M x n:









=++++
=++++
=++++
=++++
mnmnmmm
nn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa




332211
33333232131
22323222121
11313212111
........................................................
Sendo A a Matriz incompleta do sistema chamamos, 
respectivamente, as matrizes
















=
nx
x
x
x
X

3
2
1
 e 




















=
mb
b
b
b
B

3
2
1
de matriz incógnita e matriz termos independentes.
Didatismo e Conhecimento 125
MATEMÁTICA
E dizemos que a forma matricial do sistema é A.X=B, ou seja:






















mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa




321
3333231
2232221
1131211
...................................




















nx
x
x
x

3
2
1




















mb
b
b
b

3
2
1
Sistemas Lineares – Escalonamento (I)
Resolução de um Sistema por Substituição
Resolvemos um sistema linear m x n por substituição, do 
mesmo modo que fazemos num sistema linear 2 x 2. Assim, 
observemos os exemplos a seguir.
Exemplos
- Resolver o sistema pelo método da substituição.







−=−+
=+−
−=−+
)(423
)(52
)(12
IIIzyx
IIzyx
Izyx
Resolução
Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas 
equações (II) e (III), temos:
x + 2y – z - 1→ x = -2y + z - 1
Na equação (II)
2(-2y + z - 1) – y + z = 5 → -5y + 3z = 7 (IV)
Na equação (III)
(-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V)
Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V):
−5y + 3z = 7 (IV )
y − z = −3 (V )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na 
equação (IV), temos:
y – z = -3 → y = z - 3 
-5 (z - 3) + 3z = 7→ z = 4
Substituindo z = 4 na equação (V)
y – 4 = -3 → y = 1
Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I)
x + 2 (1) - (4) = -1 →x = 1
Assim: 
S={(1, 1, 4)}
2º) Resolver o sistema pelo método da substituição:
x + 3y − z = 1 (I )
y + 2z = 10 (II )
3z = 12 (III )
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Resolução
Isolando a incógnita x na equação (I) e substituindo nas 
equações (II) e (III), temos:
x + 2y – z = -1 → x = -2y + z - 1
Na equação (II)
2(-2y + z - 1) – y + z = 5 →5y + 3z = 7 (IV)
Na equação (III)
(-2y + z - 1) + 3y - 2z = -4 → y – z = -3 (V)
Tomando agora o sistema formado pelas equações (IV) e (V):
−5y + 3z = 7 (IV )
y − z = −3 (V )
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Isolando a incógnita y na equação (V) e substituindo na 
equação (IV), temos:
y – z = -3 → y = z - 3
-5(z - 3) + 3z = 7 → z = 4
Substituindo z = 4 na equação (V)
y – 4 = -3 → y = 1
Substituindo y = 1 e z = 4 na equação (I)
x + 2(1) - (4) = -1 → x = 1
Assim: 
S={(1, 1, 4)}
2º) Resolver o sistema pelo método da substituição:
x + 3y − z = 1 (I )
y + 2z = 10 (II )
3z = 12 (III )
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Resolução
Na equação (III), obtemos:
3z = 12 → z = 4
Substituindo z = 4 na equação (II), obtemos:
y + 2 . 4 = 10 → y = 2
Substituindo z = 4 e y = 2 na equação (I), obtemos:
x + 3 . 2 – 4 = 1 → x = -1
Assim:
S{(-1, 2, 4)}
Observação: Podemos observar que a resolução de sistemas 
pelo método da substituição pode ser demasiadamente longa e 
trabalhosa, quando os sistemas não apresentam alguma forma 
simplificada como no primeiro exemplo. No entanto, quando 
o sistema apresenta a forma simples do segundo exemplo, que 
denominamos “forma escalonada”, a resolução pelo método da 
substituição é rápida e fácil.
Veremos, a seguir, como transformar um sistema linear m x 
n qualquer em um sistema equivalente na “forma escalonada”.
Didatismo e Conhecimento 126
MATEMÁTICA
Sistemas Lineares Escalonados
Dizemos que um sistema linear é um sistema escalonado 
quando:
- Em cada equação existe pelo menos um coeficiente não-
nulo;
- O número de coeficiente nulos, antes do primeiro coeficiente 
não-nulo, cresce “da esquerda para a direita, de equação para 
equação”.
Exemplos
1º) 




=+
=−+
232
32
zy
zyx
2º) 







=
=+
=−+
1
32
432
z
zy
zyx
3º) 




=−
=+++2
5
ty
tzyx
4º) 







=
=−+
=+−+
53
0
132
4
432
4321
x
xxx
xxxx
Existem dois tipos de sistemas escalonados:
Tipo: número de equações igual ao número de incógnitas.










=
=++
=+++
=++++
nnnn
nn
nn
nn
bxa
bxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
...................................................
333333
22323222
11313212111



Notamos que os sistemas deste tipo podem ser analisados 
pelo método de Cramer, pois são sistemas n x n. Assim, sendo D o 
determinante da matriz dos coeficientes (incompleta), temos:
0....
000
.................
00
0
332211333
22322
1131211
≠=== nn
nn
n
n
n
aaaaD
a
aa
aaa
aaaa
D 




Como D ≠ 0, os sistemas deste tipo são possíveis e determinados 
e, para obtermos a solução única, partimos da n-ésima equação 
que nos dá o valor de xn; por substituição nas equações anteriores, 
obtemos sucessivamente os valores de xn-1,xn-2,…,x3,x2 e x1.
Exemplo
Resolver o sistema:
2x + y − z + t = 5(I )
y + z + 3t = 9(II )
2z − t = 0(III )
3t = 6(IV )
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
Resolução
Na equação (IV), temos:
3t = 6 → t = 2
Substituindo t = 2 na equação (III), temos:
2z – 2 = 0 → z = 1
Substituindo t = 2 e z = 1 na equação (II), temos:
y + 1 +3 . 2 = 9 → y = 2
Substituindo t = 2, z = 1 e y = 2, na equação (I), temos:
2x + 2 – 1 + 2 = 5 → x = 1
Assim: 
S {(1, 2, 1, 2)}
Tipo: número de equações menor que o número de incógnitas.
Para resolvermos os sistemas lineares deste tipo, devemos 
transformá-los em sistemas do 1º tipo, do seguinte modo:
- As incógnitas que não aparecem no inicio de nenhuma 
das equações do sistema, chamadas variáveis livres, devem ser 
“passadas” para os segundos membros das equações. Obtemos, 
assim, um sistema em que consideramos incógnitas apenas as 
equações que “sobraram” nos primeiros membros.
- Atribuímos às variáveis livres valores literais, na verdade 
“valores variáveis”, e resolvemos o sistema por substituição.
Exemplo
Resolver o sistema:




=−
=++
22
12
zy
zyx
Resolução
A variável z é uma “variável livre” no sistema.
Então:




+=
−=+
zy
zyx
22
21
Fazendo z = α, temos:
x + y = 1− 2α
2y = 2 +α
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2y = 2 +α → y = 2 +α
2
Didatismo e Conhecimento 127
MATEMÁTICA
Substituindo y = 2 +α
2
 na 1ª equação, temos:
x + 2 +α
2
= 1− 2α
Agora para continuar fazemos o mmc de 2, e teremos:
2x + 2α = 2(1-2α)
2x + 2α = 2 - 4α
4α + 2x + 2 + α - 2 = 0
5α + 2x = 0
2x = -5α
x = −5α
2
Assim:
S = 5α
2
, 2 +α
2
,α⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ,α ∈R⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
Observações: Para cada valor real atribuído a α, encontramos 
uma solução do sistema, o que permite concluir que o sistema é 
possível e indeterminado.
- A quantidade de variáveis livres que um sistema apresenta 
é chamada de grau de liberdade ou grau de indeterminação do 
sistema.
Sistema Lineares – Escalonamento (II)
Escalonamento de um Sistema
Todo sistema linear possível pode ser transformado num 
sistema linear escalonado equivalente, através das transformações 
elementares a seguir.
- Trocar a ordem em que as equações aparecem no sistema.
Exemplo



=+
=−



=−
=+
=
23
52
)(~
52
23
)( 1 yx
yx
S
yx
yx
S
- Inverter a ordem em que as incógnitas aparecem nas 
equações.
Exemplo








=
=+
=++








=
=+
=++
=
53
12
52
)(~
53
12
52
)( 1
x
xz
xzy
S
x
zx
zyx
S
- Multiplicar (ou dividir) uma equação por um número real 
não-nulo.
Exemplo




=−
=+



=−
=+
326
32
)(~
13
32
)( 1
yx
yx
S
yx
yx
S
Multiplicamos a 2ª equação de S por 2, para obtermos S1.
- Adicionar a uma equação uma outra equação do sistema, 
previamente multiplicada por um número real não-nulo.
Exemplo




−=−
=+



=+
=+
=
75
53
)(~
32
53
)( 1 y
yx
S
yx
yx
S
Multiplicamos a 1ª equação do S por -2 e a adicionamos à 2ª 
equação para obtermos s1.
Para transformarmos um sistema linear (S) em outro, 
equivalente e escalonado (S1), seguimos os seguintes passos.
- Usando os recursos das três primeiras transformações 
elementares, devemos obter um sistema em que a 1ª equação tem 
a 1ª incógnita com o coeficiente igual a 1.
- Usando a quarta transformação elementar, devemos “zerar” 
todos os coeficientes da 1ª incógnita em todas as equações restantes.
- “Abandonamos”a 1ª equação e repetimos os dois primeiros 
passos com as equações restantes, e assim por diante, até a 
penúltima equação do sistema.
 
Exemplos
1º) Escalonar e classificar o sistema:





=−+
−=−
=++
12
223
52
zyx
zyx
zyx
 
Resolução
x + 2y − z = 1
3x − y − 2z = −2
2x + y + z = 5
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
~
x + 2y − z = 1
3x − y − 2z = −2 ←−3
2x + y + z = 5 ←−2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
~
x + 2y − z = 1
−7y + z = −5
−3y + 3z = 3 : − 3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
x + 2y − z = −1
−7y + z = 5
y − z = −1
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
~
x + 2y − z = 1
y − z = −1
−7y + z = −5 ← 7
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
~
x + 2y − z = 1
y − z = −1
− 6z = −12
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
O sistema obtido está escalonado e é do 1º tipo (nº de equações 
igual ao nº de incógnitas), portanto, é um sistema possível e 
determinado.
2º) Escalonar e classificar o sistema:





=++
=+−
=−+
118
532
33
zyx
zyx
zyx
Didatismo e Conhecimento 128
MATEMÁTICA
Resolução
O sistema obtido está escalonado e é do 2º tipo (nº de equações 
menor que o nº de incógnitas), portanto, é um sistema possível e 
indeterminado.
(*) A terceira equação foi eliminada do sistema, visto que ela 
é equivalente à segunda equação. Se nós não tivéssemos percebido 
essa equivalência, no passo seguinte obteríamos na terceira 
equação: 0x+0z=0, que é uma equação satisfeita para todos os 
valores reais de x e z.
3º) Escalonar e classificar o sistema:






=−+
=−+
=++
894
32
552
zyx
zyx
zyx
Resolução
O sistema obtido é impossível, pois a terceira equação nunca 
será verificada para valores reais de y e z.
Observação
Dado um sistema linear, sempre podemos “tentar” o seu 
escalonamento. Caso ele seja impossível, isto ficará evidente pela 
presença de uma equação que não é satisfeita por valores reais 
(exemplo: 0x + 0y = 3). No entanto, se o sistema é possível, nós 
sempre conseguimos um sistema escalonado equivalente, que terá 
nº de equações igual ao nº de incógnitas (possível e determinado), 
ou então o nº de equações será menor que o nº de incógnitas 
(possível e indeterminado).
Este tratamento dado a um sistema linear para a sua resolução 
é chamado de método de eliminação de Gauss.
Sistemas Lineares – Discussão (I)
Discutir um sistema linear é determinar; quando ele é:
- Possível e determinado (solução única);
- Possível e indeterminado (infinitas soluções);
- Impossível (nenhuma solução), em função de um ou mais 
parâmetros presentes no sistema.
Estudaremos as técnicas de discussão de sistemas com o 
auxilio de exemplos.
Sistemas com Número de Equações Igual ao Número de 
Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta nº de equações igual ao nº 
de incógnitas, para discutirmos o sistema, inicialmente calculamos 
o determinante D da matriz dos coeficientes (incompleta), e:
1º) Se D ≠ 0, o sistema é possível e determinado.
2º) Se D = 0, o sistema é possível e indeterminado ou 
impossível.
Para identificarmos se o sistema é possível, indeterminado ou 
impossível, devemos conseguir um sistema escalonado equivalente 
pelo método de eliminação de Gauss.
Exemplos
01 – Discutir, em função de a, o sistema:
x + 3y = 5
2x + ay = 1
⎧
⎨
⎩
Resolução
6060
6
2
31
=⇒=−⇒=
−==
aaD
a
a
D
Assim, para a≠6, o sistema é possível e determinado.
Para a≠6, temos:



−=+
=+




−←=+
=+
900
53
~
2162
53
yx
yx
yx
yx
que é um sistema impossível.
Assim, temos:
a≠6 → SPD (Sistema possível e determinado)
a=6 → SI (Sistema impossível)
02 – Discutir, em função de a, o sistema:
x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Resolução
26329
31
132
111
aaa
a
D −−+−+=
−
D=0 → -a2-a+6=0 → a=-3 ou a=2
Assim, para a≠-3 e a≠2, o sistema é possível e determinado.
Didatismo e Conhecimento 129
MATEMÁTICA
Para a=-3, temos:







=+
=−
=−+







←=+−
=−
=−+








−←=+−
−←=−+
=−+
impossívelsistemazy
zy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
5
1
1
~
4144
1
1
~
1233
23332
1
Para a=2, temos:




=+
=−+







=+
=+
=−+








−←=++
−←=++
=−+
adoerinpossívelsistemazy
zyx
zy
zy
zyx
zyx
zyx
zyx
mindet14
1
~
14
14
1
~
1232
23232
1
Assim, temos:
a≠-3 e a ≠ 2 →SPD
a=-3 → SI
a=2 → SPI
03 – Discutir, em função de m e k, o sistema:
mx + y = k
x +my = k2
⎧
⎨
⎩⎪
Resolução
1
1
1
2 −== m
m
m
D
D=0 → m2-1=0→ m=+1 ou m=-1
Assim, para m≠+1 e m≠-1, o sistema é possível e determinado.
Para m=1, temos:



+−=+
=+




−←=+
=+
22 00
~
1 KKyx
Kyx
Kyx
Kyx
Se –k + k2=0, ou seja, k=0 ou k=1, o sistema é possível e 
indeterminado.
Se –K+k2≠0, ou seja, k≠0 ou k≠1, o sistema é impossível.
Para m=-1, temos:
Se k2+k=0, ou seja, k=0 k=-1, o sistema é possível e 
indeterminado.
Se k2+k≠0, ou seja, k≠0 k≠-1, o sistema é indeterminado.
Assim, temos:
m = +1 e k = 0 ou k = 1
ou
m = −1 e k = 0 ou k = −1
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⎪
⇒ SPI
m = +1 e k ≠ 0 ou k ≠ 1
ou
m = −1 e k ≠ 0 ou k ≠ −1
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
⎪
⇒ SI
Sistemas com Número de Equações Diferente do Número 
de Incógnitas
Quando o sistema linear apresenta número de equações dife-
rente do número de incógnitas, para discuti-lo, devemos obter um 
sistema escalonado equivalente pelo método de eliminar de Gauss.
Exemplos
01 – Discutir, em função de m, o sistema:
x + y = 3
2x + 3y = 8
x −my = 3
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Resolução
x + y = 3
2z + 3y = 8 →−2
x −my = 3 →−1
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
~
~
x + y = 3
y = 2
(−1−m)y = 0 →1+m
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪
⎪
~
x + y = 3
y = 2
0y = 2 + 2m
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
2+2m=0→m=-1
Assim, temos:
 m≠-1→ SI
 m=-1→ SPD
 
02 – Discutir, em função de k, o sistema:
x + 2y − z = 5
2x + 5y + 3z = 12
3x + 7y − 2z = 17
5x +12y + kz = 29
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
Resolução:
Assim, para Rk ∈∀ , o sistema é possível e determinado.
Didatismo e Conhecimento 130
MATEMÁTICA
Sistemas Lineares – Discussão (II)
Sistema Linear Homogêneo
Já sabemos que sistema linear homogêneo é todo sistema 
cujas equações têm todos os termos independentes iguais a zero.
São homogêneos os sistemas:
01 



=−
=+
02
043
yx
yx
02 





=−+
=+−
=++
0735
03
022
zyx
zyx
zyx
Observe que a dupla (0,0) é solução do sistema 01 e a terna 
(0,0,0) é solução do sistema 02.
Todo sistema linear homogêneo admite como solução uma 
sequência de zero, chamada solução nula ou solução trivial. 
Observamos também que todo sistema homogênea é sempre 
possível podendo, eventualmente, apresentar outras soluções além 
da solução trivial, que são chamadas soluções próprias.
Discussão e Resolução
Lembre-se que: todo sistema linear homogêneo tem ao 
menos a solução trivial, portanto será sempre possível.
Vejamos alguns exemplos:
01 – Classifique e resolva o sistema:





=−+
=−+
=++
02
05
03
zyx
zyx
zyx
 
Resolução
D =
3 1 1
1 5 −1
1 2 −1
= −12
Como D≠0, o sistema é possível e determinado admitindo só 
a solução trivial, logo:
02 – Classifique e resolva o sistema:





=+−
=−−
=++
02
023
02
cba
cba
cba
 
Resolução
0
112
231
211
=
−
−−=D
Como D=0, o sistema homogêneo é indeterminado.
Fazendo o escalonamento temos:





=++
=++
=++






=−−
=−−
=++






=+−
=−+−
=++
0000
040
02
~
0330
0440
02
~
02
023
02
cb
cba
cb
cb
cba
cba
cba
cba
Teremos, então:




=+
=++
0
02
cb
cba
Fazendo c=t, teremos:
=-c→b=-t
a-t+2t=0→a=-t
Portanto:
S = −t,−t,t( ),t ∈R{ }
Note que variando t obteremos várias soluções, inclusive a 
trivial para t=0.
 
03 – Determine K de modo que o sistema abaixo tenha solução 
diferente da trivial.
x + y + z = 0
x − ky + z = 0
kx − y − z = 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
Resolução
O sistema é homogêneo e, para apresentar soluções diferentes 
da trivial, devemos ter D=0
10)1(12
11
11
111
22 −=⇒=+=++=
−−
−= kkkk
k
kD
Resposta: k=-1
Exercícios
1. Resolver e classificar o sistema: 



−=−
=+
123
832
yx
yx
2. Determinar m real, para que o sistema seja possível e 
determinado: 2x + 3y = 5
x +my = 2
⎧
⎨
⎩
Didatismo e Conhecimento 131
MATEMÁTICA
3. Resolver e classificar o sistema:





−=−+
=+
=+−
422
73
53
zyx
yx
zyx
4. Determinar m real para que o sistema seja possível e 
determinado. x + 2y + z = 5
2x − y + 2z = 5
3x + y +mz + 0
⎧
⎨
⎪
⎩⎪
5. Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 
6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?
6. Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y 
+ z = 14, sabendo que o terno ordenado ( , , ) é solução.
7. Determine o valor de m de modo que o sistema de 
equações abaixo, 
2x - my = 10
3x + 5y = 8, seja impossível.
8. Se os sistemas:
S1: x + y = 1 e S2: ax – by = 5
 X – 2y = -5 ay – bx = -1
São equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:
a) 1
b) 4
c) 5
d) 9
e) 10
9. Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:
x + 3y - 2z = 3
2x - y + z = 12
4x + 3y - 5z = 6
10. Resolver o sistema 



−=+
=−
25
72
yx
yx
.
Respostas
1) Resposta “S= {(1, 2)}”.
Solução: Calculemos inicialmente D, Dx e Dy:
D =
2 3
3 − 2
= −4 − 9 = −13
Dx =
8 3
−1 − 2
= −16 + 3 = 13
Dy =
2 8
3 −1
= −2 − 24 = −26
Como D =-13 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e:
x = Dx
D
= −13
−13
= 1
 e 
y =
Dy
D
= −26
−13
= 2
Assim: S= {(1, 2)} e o sistema são possíveis e determinados.
2) Resposta “





 ≠∈
2
3/ mRm ”.
Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0, em 
que:
32
1
32
−== m
m
D
Assim: 2m -3 ≠ 0 → m ≠ 
2
3
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível 
e determinado, são dados pelos elementos do conjunto:
m∈R /m ≠ 3
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭
3) Resposta “ S = {(1, 2, 4)}”.
Solução: Calculemos inicialmente D, Dx, Dy e Dz
Como D= -25 ≠ 0, o sistema é possível e determinado e:
x = Dx
D
= −25
−25
= 1;y =
Dy
D
= −50
−25
= 2;z = Dz
D
= 100
−25
= 4
Assim: S = {(1, 2, 4)} e o sistema são possíveis e determinados.
Didatismo e Conhecimento 132
MATEMÁTICA
4) Resposta “ m∈R /m ≠ 3{ } ”.
Solução: Segundo a regra de Cramer, devemos ter D ≠ 0.
Assim:
D =
1 2 1
2 −1 2
3 1 m
= −m +12 + 2 + 3− 2 − 4m
D = -5m + 15
Assim: -5m + 15 ≠ 0 → m ≠ 3
Então, os valores reais de m, para que o sistema seja possível e 
determinado, são dados pelos elementos do conjunto:
m∈R /m ≠ 3{ }
5) Resposta “14”.
Solução: 
Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 
5 e z = p, 6 . 2 – 7 . 5 + 2 . p = 5. 
Logo, 12 - 35 + 2p = 5. 
Daí vem imediatamente que 2p = 28 e, portanto, p = 14.
6) Solução:
Podemos escrever: 5 α- 2 β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5 
α + 2 β. Portanto, a solução genérica será o terno ordenado (α,β, 
14 - 5 α + 2 β).
Observe que se arbitrando os valores para α e β, a terceira 
variável ficará determinada em função desses valores.
Por exemplo, fazendo-se α = 1, β= 3, teremos:
γ = 14 - 5 α+ 2 β = 14 – 5 . 1 + 2 . 3 = 15,
ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. 
Verificamos, pois que existem infinitas soluções para a equa-
ção linear dada, sendo o terno ordenado (α, β, 14 - 5 α + 2β) a 
solução genérica.
7) Solução:
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equa-
ção:
x = (10 + my) / 2
Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:
3[(10+my) / 2] + 5y = 8
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e 
simplificando, vem:
3(10+my) + 10y = 16
30 + 3my + 10y = 16
(3m + 10)y = -14
y = -14 / (3m + 10)
Ora, para que não exista o valor de y e, em consequência não 
exista o valor de x, deveremos ter o denominador igual a zero, já 
que , como sabemos, não existe divisão por zero.
Portanto, 3m + 10 = 0, de onde se conclui m = -10/3, para que 
o sistema seja impossível, ou seja, não possua solução.
8) Resposta “E”.
Solução: Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a 
mesma solução. Vamos resolver o sistema: 
S1: x + y = 1
 x - 2y = -5
Subtraindo membroa membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). 
Logo, 3y = 6 \ y = 2.
Portanto, como x + y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 \ x = -1.
O conjunto solução é, portanto S = {(-1, 2)}.
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é tam-
bém solução do sistema S2.
Logo, substituindo em S2 os valores de x e y encontrados para 
o sistema S1, vem:
a(-1) - b(2) = 5 → - a - 2b = 5
a(2) - b (-1) = -1 → 2 a + b = -1
Multiplicando ambos os membros da primeira equação por 
2, fica:
-2 a - 4b = 10
Somando membro a membro esta equação obtida com a se-
gunda equação, fica:
-3b = 9 \ b = - 3
Substituindo o valor encontrado para b na equação em ver-
melho acima (poderia ser também na outra equação em azul), te-
remos:
2 a + (-3) = -1 \ a = 1.
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.
9) Resposta “S = {(5, 2, 4)}”.
Solução: Teremos:
Δ =
1 3 −2
2 −1 1
4 3 −5
= 24
Δx1 =
1 3 −2
12 −1 1
6 3 −5
= 120
Δx3 =
1 3 3
2 −1 12
4 3 6
= 96
Δx2 =
1 3 −2
2 12 1
4 6 −5
= 48
Portanto, pela regra de Cramer, teremos:
x1 = D x1 / D = 120 / 24 = 5
x2 = D x2 / D = 48 / 24 = 2
x3 = D x3 / D = 96 / 24 = 4
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = {(5, 2, 4)}.
Didatismo e Conhecimento 133
MATEMÁTICA
10) Solução:
A = 2 −1
1 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥⇒ detA = 11
A1 =
7 −1
−2 5
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥⇒ detA1 = 33
A2 =
2 7
1 −2
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥⇒ detA2 = −11
x = detA1
detA
= 33
11
= 3
y = detA2
detA
= −11
11
= −1
Resposta: S={(3,-1)}
NÚMEROS COMPLEXOS.
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na 
resolução da equação do 2º grau, nos deparamos com um valor 
negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a 
raiz no universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- 
R). A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, 
sendo Gauss e Argand os que realmente conseguiram expor 
uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, 
chamado de números complexos, que representamos por C.
Números Complexos
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se 
por C, o conjunto de pares ordenados, ou seja:
z = (x,y)
onde x pertence a R e y pertence a R.
Então, por definição, se z = (x,y) = (x,0) + (y,0)(0,1) onde 
i=(0,1), podemos escrever que:
z=(x,y)=x+yi
Exemplos:
(5,3)=5+3i
(2,1)=2+i
(-1,3)=-1+3i
Dessa forma, todo o números complexo z=(x,y) pode ser 
escrito na forma z=x+yi, conhecido como forma algébrica, onde 
temos: 
x=Re(z, parte real de z
y=Im(z), parte imaginária de z
Igualdade entre números complexos: Dois números 
complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente 
iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1=a+bi e z2=c+di, 
temos que:
z1=z2<==> a=c e b=d
Adição de números complexos: Para somarmos dois 
números complexos basta somarmos, separadamente, as partes 
reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, 
temos que:
z1+z2=(a+c) + (b+d)
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois 
números complexos basta subtrairmos, separadamente, as partes 
reais e imaginárias desses números. Assim, se z=a+bi e z2=c+di, 
temos que:
z1-z2=(a-c) + (b-d)
Potências de i
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então:
i0 = 1
i1 = i
i2 = -1
i3 = i2.i = -1.i = -i
i4 = i2.i2=-1.-1=1
i5 = i4. 1=1.i= i
i6 = i5. i =i.i=i2=-1
i7 = i6. i =(-1).i=-i ......
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, 
com n variando, os valores repetem-se de 4 em 4 unidades. Desta 
forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da 
divisão de n por 4.
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63=i3=-i
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos 
dois números complexos basta efetuarmos a multiplicação de 
dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se 
z1=a+bi e z2=c+di, temos que:
z1.z2 = a.c + adi + bci + bdi2
z1.z2= a.c + bdi2 = adi + bci
z1.z2= (ac - bd) + (ad + bc)i
Observar que : i2= -1
Conjugado de um número complexo: Dado z=a+bi, define-
se como conjugado de z (representa-se por z-) ==> z-= a-bi
Exemplo:
z=3 - 5i ==> z- = 3 + 5i
z = 7i ==> z- = - 7i
z = 3 ==> z- = 3
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois 
números complexos basta multiplicarmos o numerador e o 
denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + 
bi e z2= c + di, temos que:
z1 / z2 = [z1.z2
-] / [z2z2
-] = [ (a+bi)(c-di) ] / [ (c+di)(c-di) ]
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se 
módulo de z ==> | z | = (a2+b2)1/2, conhecido como ro 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a 
interpretação geométrica dos números complexos é que deu o 
impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = 
a+bi da seguinte maneira
Didatismo e Conhecimento 134
MATEMÁTICA
Forma polar dos números complexos: Da interpretação 
geométrica, temos que:
que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um 
número complexo.
Operações na forma polar: Sejam z1=ro1(cos t11) e z2=ro1(cos 
t1+i sent1). Então, temos que:
a)Multiplicação
Divisão
Potenciação
Radiciação 
para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1
Exercícios
1 - Sejam os complexos z1=(2x+1) + yi e z2=-y + 2i. Determine 
x e y de modo que z1 + z2 = 0
2 - Determine x, de modo que z = (x+2i)(1+i) seja imaginário 
puro. 
3 - Qual é o conjugado de z = (2+i) / (7-3i)?
4 - Os módulos de z1 = x + 201/2i e z2= (x-2) + 6i são iguais, 
qual o valor de x?
5 - Escreva na forma trigonométrica o complexo z = (1+i) / i
Respostas
Resolução 01.
Temos que:
z1 + z2 = (2x + 1 -y) + (y +2) = 0
logo, é preciso que:
2x+1 - y =0 e y+2 = 0
Resolvendo, temos que y = -2 e x = -3/2
Resolução 02.
Efetuando a multiplicação, temos que:
z = x + (x+2)i + 2i2
z= (x-2) + (x+2)i
Para z ser imaginário puro é necessário que (x-2)=0, logo x=2
Resolução 03.
Efetuando a divisão, temos que:
z = (2+i) / (7-3i) . (7+3i) / (7+3i) = (11 + 3i) / 58
O conjugado de Z seria, então z- = 11/58 - 13i/58
Resolução 04.
Então, |z1= (x2 + 20)1/2 = |z2 = [(x-2)2 + 36}1/2
Em decorrência,
x2 + 20 = x2 - 4x + 4 + 36
20 = -4x + 40
4x = 20, logo x=5
Resolução 05.
Efetuando-se a divisão, temos:
z = [(1+i). -i] / -i2 = (-i -i2) = 1 – i
Para a forma trigonométrica, temos que: 
r = (1 + 1)1/2 = 21/2
sen t = -1/21/2 = - 21/2 / 2
cos t = 1 / 21/2 = 21/2 / 2
Pelos valores do seno e cosseno, verificamos que t = 315º
Lembrando que a forma trigonométrica é dada por:
z = r(cos t + i sen t), temos que:
z = 21/2 (cos 315º + i sen 315º)
PROGRESSÃO ARITMÉTICA E 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA.
Progressão Aritmética (PA)
Podemos, no nosso dia a dia, estabelecer diversas sequências 
como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem 
de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem 
numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo 
até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também cha-
mado termo geral das sequências, em que n é um número natural 
diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das 
sequências numéricas.
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um últi-
mo termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. 
As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.
Didatismo e Conhecimento 135
MATEMÁTICA
Exemplos:
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 
17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; 
a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, 
...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; 
a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: 
(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita 
com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 
8; a10 = 9.
1. Igualdade
As sequências são apresentadas com os seus termos entre 
parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresen-
tarem os mesmos termos em ordem diferenteserão consideradas 
sucessões diferentes.
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e 
somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.
Exemplo
A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência 
(5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são 
diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles 
estão em ordem diferente.
2. Formula Termo Geral
Podemos apresentar uma sequência através de uma determina 
o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja, 
dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o 
valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.
Exemplos 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo 
termo geral e igual a:
an = n – 2n,com n € N* a
Teremos:
A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1
A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0
A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3
A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8
A5 = 55
 – 5 . 2 a a5 = 15
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo 
termo geral é igual a:
an = 3 . n + 2, com n € N*.
a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5
a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8
a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11
a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14
a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral 
é igual a:
an = 45 – 4 + n, com n € N*.
Teremos:
a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3
a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47
3. Lei de Recorrências
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor 
do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite 
a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. 
Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.
Exemplos
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em 
que:
a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.
Teremos:
a1 = 3
a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2
a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0
a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4
a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.
a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10
a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8
a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6
a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4
Observação 1
Devemos observar que a apresentação de uma sequência atra-
vés do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar 
um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determi-
narmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da 
sequência através da lei de recorrências.
Observação 2
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorgani-
zada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recor-
rências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma 
sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que 
já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral 
para seus termos.
4. Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns 
elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, 
tornar o procedimento mais simples:
PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.
PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão 
igual a 2r.
PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r), 
razão igual a r.
Exemplo
- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o 
produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.
Didatismo e Conhecimento 136
MATEMÁTICA
Teremos:
Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:
(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.
Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.
Dessa forma a sequência passa a ser:
(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:
(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21
r2 = 4 → 2 ou r = -2.
Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.
Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.
5. Propriedades
P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é 
a media aritmética dos outros dois termos.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an 
e an+1. Podemos afirmar que:
I - an = an-1 + r
II - an = an+ 1 –r
Fazendo I + II, obteremos:
2an = an-1 + r + an +1 - r
2an = an -1+ an + 1
Logo: an = an-1 + an +1
2
Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo 
médio é a media aritmética dos outros dois termos.
6. Termos Equidistantes dos Extremos
Numa sequência finita, dizemos que dois termos são equidis-
tantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o 
primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao 
outro termo. Assim, na sucessão:
(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:
a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;
a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;
a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.
Notemos que sempre que dois termos são equidistantes dos 
extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. 
Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são 
equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.
Propriedade
Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes 
dos extremos é igual à soma destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos 
extremos.
Teremos, então:
I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – r
II - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – r
Fazendo I + II, teremos:
Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – r
Ap + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . r
ap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . r
ap + ak = a1 + an
Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero 
ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos.
Am = a1 + an
2
7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA
Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar 
por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an
 (igualdade I)
Podemos escrever também:
Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1
 (igualdade II)
Somando-se I e II, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1 
+ a2) + (an + a1)
Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre 
parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos 
e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:
2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + 
+… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n
E, assim, finalmente:
Sn =
(a1 + an ).n
2
Exemplo
- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 
8,...).
Dados: a1 = 2
 r = 5 – 2 = 3
Calculo de a60:
A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3
 a60 = 2 + 177
 a60 = 179
Calculo da soma:
Sn = (a1 + an )n
2
→ S60 = (a1 + a60 ).60
2
S60 =
(2 +179).60
2
S60 = 5430
Resposta: 5430
Didatismo e Conhecimento 137
MATEMÁTICA
Progressão Geométrica (PG)
PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do 
segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada 
razão da PG.
an+1 = an . q
Com a1 conhecido e n € N*
Exemplos
- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e 
razão q = 2.
- (-36, -18, -9, −9
2
 , −9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1= 
-36 e razão q = 1
2
.
- (15, 5, 5
3
 , 5
9
 ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e 
razão q = 1
3
.
- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e 
razão q = 3.
- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 
1 e razão q = -3.
- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e 
razão q = 1.
- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e 
razão q = 0.
- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão 
q qualquer.
Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar 
o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido 
pelo anterior.
q = an +1
an
(an ≠ 0)
Classificação
As classificações geométricas são classificadas assim:
- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto 
ocorre quandoa1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.
- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto 
ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.
- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao 
do anterior. Isto ocorre quando q < 0.
- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre 
quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. 
A PG constante é também chamada de PG estacionaria.
- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre 
quando a1 = 0 ou q = 0.
Formula do Termo Geral
A definição de PG está sendo apresentada por meio de uma 
lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores 
que a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, 
neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, 
a fórmula do termo geral da progressão geométrica.
Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. 
Assim, teremos:
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q = a1 . q
2
a4 = a3 . q = a1 . q
3
a5 = a4 . q = a1 . q
4
. .
. .
. .
an= a1 . q
n-1
Exemplos
- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o 
termo geral na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 2 . 3n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:
A5 = 2 . 34 → a5 = 162
- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral 
na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 15 . n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:
A6 = 15 . (1).5
2
 → a6 = 
5
81
- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o 
termo geral na igual a:
an = a1 . q
n-1 → an = 1 . (-3)n-1
Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:
A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27
Artifícios de Resolução
Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns 
elementos da PG, é possível através de alguns elementos de 
resolução, tornar o procedimento mais simples.
PG com três termos:
a
q
 a; aq
PG com quatro termos:
a
q3
; q
q
; aq; aq3
PG com cinco termos:
a
q2
; q
q
; a; aq; aq2
Exemplo
Considere uma PG crescente formada de três números. 
Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o 
produto é 27.
Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b 
e c, onde a = e c = b . q.
Didatismo e Conhecimento 138
MATEMÁTICA
Assim,
b
q
. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.
Temos:
3
q
 + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a
q = 3 ou q = 1
3 
Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a 
nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.
Propriedades
P1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do 
termo médio é igual ao produto dos outros dois.
Exemplo
Vamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an 
e an+1. Podemos afirmar que:
I – an = an-1 . q e
II – an = an+1
q
Fazendo I . II, obteremos:
(an)
2 = (an-1 . q). ( 
an+1
q
) a (an )
2 = an-1 . an+1
Logo: (an)
2 = an-1 . an+1
Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media 
geométrica dos outros dois:
an = √an-1 . an+1
P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Exemplo
Sejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes 
dos extremos.
Teremos, então:
I – ap = a1 . q
p-1
II – ak = a1 . q
k-1
Multiplicando I por II, ficaremos com:
ap . ak = a1 . q
p-1 . a1 . q
k-1
ap . ak = a1 . a1 . q
p-1+k-1
Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:
ap . ak = a1 . an
Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos 
equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.
Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é 
um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos 
extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.
am = √a1 . an 
Soma dos termos de uma PG
Soma dos n Primeiros Termos de uma PG
Vamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q 
diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou 
seja:
Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an
 ( igualdade I)
Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a 
igualdade ( I ) por q:
q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + 
+ q . an-1 + q . an
Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . 
qn-1, teremos:
q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . q
n
 (igualdade II)
Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:
q . Sn – Sn = a1 . q
n – a1 → sn . (q – 1) = 
= a1 . (q
n – 1)
E assim: Sn =
a1.(q
n −1)
q −1
Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem 
inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria:
Sn =
a1.(1+ q
n )
1− q
Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o 
resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de 
apresentação.
Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1
Série Convergente – PG Convergente
Dada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos 
de serie a sequência S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
S4 = a1 + a2 + a3 + a4
S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
.
.
.
Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2
Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1
Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an 
Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro 
termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar.
Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: 
(4, 2, 1, 1
2
 , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1
128
, 1
256
, 1
512
...)
Didatismo e Conhecimento 139
MATEMÁTICA
E, portanto, a série correspondente será:
S1 = 4
S2 = 4 + 2 = 6
S3 = 4 + 2 + 1 = 7
S4 = 4 + 2 + 1 + 1
2
 = 15
2
 = 7, 5
S5 = 4 + 2 + 1 + 
1
2
+ 1
4
= 31
4 = 7, 75
S6 = 4 + 2 + 1 + 
1
2
+ 1
4
+ 1
8
= 63
8
 = 7, 875
S7 = 4 + 2 + 1 + 
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
= 127
16
 = 7, 9375
S8 = 4 + 2 + 1 + 1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+ 1
32
= 255
32
 = 7, 96875
S9 = 4 + 2 + 1 + 
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+ 1
32
+ 1
64
= 511
64 = 7, 984375
S10 = 4 + 2 + 1 + 
1
2
+ 1
4
+ 1
8
+ 1
16
+ 1
32
+ 1
64
+ 1
128
= 1023
128 = 
7, 9921875
Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu 
valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que 
esta é uma progressão geométrica convergente.
Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se 
acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo 
a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No 
exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente 
que este valor limite é o numero 8.
Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático.
É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada 
termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, 
temos que:
PG convergente → | q | < 1
ou
PG convergente → -1 < 1
Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando 
n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos 
termos da PG convergente.
Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG:
Sn =
a1.(1+ q
n )
1− q
Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que 
tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos 
termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um 
valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente 
grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, 
assim, teremos:
S = a1
1− q
Observação: Quando a PG é não singular (sequência com 
termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é 
divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.
Exemplos
- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-
se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo 
equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo 
triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, 
indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses 
triângulos.
Solução:
Temos: perímetro do 1º triangulo = 30
 perímetro do 2º triangulo = 15
 perímetro do 3º triangulo = 15
2
Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30,15, 15
2
 ,... na qual a1 = 30 e q =. 1
2
S = a1 → s =
30
1− q
= 30
1− 1
2
= 60. 
Exercícios
1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica 
têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus tercei-
ros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda 
que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo 
termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das 
progressões é:
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
e) 18
2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma 
progressão aritmética pertence ao intervalo:
a) [– 2, –1]
b) [– 1, 0]
c) [0, 1]
d) [1, 2]
e) [2, 3]
3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obe-
decem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o 
termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:
a) 58
b) 59
c) 60
d) 61
e) 62
Didatismo e Conhecimento 140
MATEMÁTICA
4. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 
0,9; 0,09; 0,009; …) é:
a) 3,1
b) 3,9
c) 3,99
d) 3, 999
e) 4
5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão arit-
mética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo 
quinto termo, vale:
a) 3,0
b) 1,0
c) 1,5
d) -1,5
e) -3,0
6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, 
estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos 
mede:
a) 28°
b) 32°
c) 36°
d) 48°
e) 50°
7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a 
última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 
10n+1 - 9(S + n) é:
a) 1
b) 10
c) 100
d) -1
e) -10
8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente 
é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros 
termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.
9. O limite da expressão onde x é po-
sitivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é 
igual a:
a) 1/x
b) x
c) 2x
d) n.x
e) 1978x
10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que 
não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução:
Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q. 
Temos como condições iniciais:
1 - a1 = g1 = 4
2 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g3
3 - a2 = g2 + 2
Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos ter-
mos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de 
equações:
4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q
2 → 4 + 2r = 4q2
5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2
Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função 
de q e substituindo r em (4) vem:
5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 2
4 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0
→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2
Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para ob-
ter r basta substituir q na equação (5):
r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6
Para concluir calculamos a3 e g3:
a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16
g3 = g1.q
2 → g3 = 4.4 = 16
2) Resposta “B”.
Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é 
necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplica-
ção da definição de PA):
(1) -5n = 2 + 3n + r
(2) 1 – 4n = -5n + r
Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):
(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2
(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2
→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3
Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.
3) Resposta “B”.
Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequên-
cia é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). 
Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro 
termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral 
de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às 
duas progressões da seguinte forma:
- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou 
seja, i = (n + 1)/2;
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.
Daqui e de (1) obtemos que:
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par
Logo:
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37
E, portanto:
a30 + a55 = 22 + 37 = 59.
Didatismo e Conhecimento 141
MATEMÁTICA
4) Resposta “E”.
Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 
a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 = 
0,1. Assim:
S = 3 + S1
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma 
PG infinita para obter S1:
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4
5) Resposta “D”.
Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros ter-
mos da PA:
S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15
Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equi-
distantes dos extremos, uma vez que:
15 + 6 = 20 + 1 = 21
E, portanto:
a6 + a15 = a1 + a20
Substituindo este valor na primeira igualdade vem:
20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10 
= -1,5.
6) Resposta “D”.
Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em 
questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de ra-
zão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:
(x, 2x, 4x, 8x).
Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale 
360º.
Logo,
x + 2x + 4x + 8x = 360º
15.x = 360º
Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portan-
to: 24º, 48º, 96º e 192º.
O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.
7) Resposta “B”.
Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:
S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... + 
(10n – 1)
S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)
Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é soma-
do n vezes, resultando em n(-1) = - n.
Logo, poderemos escrever:
S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n
Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que 
é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo 
an = 10n.
Teremos:
Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10) 
/ 9
Substituindo em S, vem:
S = [(10n+1 – 10) / 9] – n
Deseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)
Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9
Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:
10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10) 
= 10.
8) Resposta “819”.
Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua 
forma genérica: (x/q, x, xq).
Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:
x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 . 
33 = 93 , logo, x = 9.
Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9q
É dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:
9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0
Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q 
= 0
Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é 
uma equação do segundo grau.
Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos 
q = 3 ou q = 1/3.
Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar ape-
nas o valor 
q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.
Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 
27, 9, 3.
O problema pede a soma dos quadrados, logo:
a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.
9) Resposta “B”.
Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:
x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...
O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primei-
ro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2. 
Logo, a soma valerá:
S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1
Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x
10) Resposta “6171”.
Solução: Dados:
M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.
M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.
M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.
M(1) = 1, 2, ..., 10000.
Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 
+ (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801.
Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + 
(n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286.
Didatismo e Conhecimento 142
MATEMÁTICA
Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 
+ (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257.Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 
+ (n - 1).1 → n = 9001.
Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns 
de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 
e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal 
conjunto de múltiplos).
Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).
Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171
PROBABILIDADE E ANÁLISE 
COMBINATÓRIA.
Probabilidade
Ponto Amostral, Espaço Amostral e Evento
Em uma tentativa com um número limitado de resultados, 
todos com chances iguais, devemos considerar:
Ponto Amostral: Corresponde a qualquer um dos resultados 
possíveis.
Espaço Amostral: Corresponde ao conjunto dos resultados 
possíveis; será representado por S e o número de elementos do 
espaço amostra por n(S).
Evento: Corresponde a qualquer subconjunto do espaço 
amostral; será representado por A e o número de elementos do 
evento por n(A). 
Os conjuntos S e Ø também são subconjuntos de S, portanto 
são eventos.
Ø = evento impossível.
S = evento certo.
Conceito de Probabilidade
As probabilidades têm a função de mostrar a chance 
de ocorrência de um evento. A probabilidade de ocorrer um 
determinado evento A, que é simbolizada por P(A), de um espaço 
amostral S ≠ Ø, é dada pelo quociente entre o número de elementos 
A e o número de elemento S. Representando:
Exemplo: Ao lançar um dado de seis lados, numerados de 1 a 
6, e observar o lado virado para cima, temos:
- um espaço amostral, que seria o conjunto S {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
- um evento número par, que seria o conjunto A1 = {2, 4, 6} 
C S.
- o número de elementos do evento número par é n(A1) = 3.
- a probabilidade do evento número par é 1/2, pois
Propriedades de um Espaço Amostral Finito e Não Vazio
- Em um evento impossível a probabilidade é igual a zero. Em 
um evento certo S a probabilidade é igual a 1. Simbolicamente: 
P(Ø) = 0 e P(S) = 1.
- Se A for um evento qualquer de S, neste caso: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Se A for o complemento de A em S, neste caso: P(A) = 1 - 
P(A).
Demonstração das Propriedades
Considerando S como um espaço finito e não vazio, temos:
União de Eventos
Considere A e B como dois eventos de um espaço amostral S, 
finito e não vazio, temos:
A
B
S
Logo: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
Eventos Mutuamente Exclusivos
A
B
S
Didatismo e Conhecimento 143
MATEMÁTICA
Considerando que A ∩ B, nesse caso A e B serão denominados 
mutuamente exclusivos. Observe que A ∩ B = 0, portanto: P(A 
 B) = P(A) + P(B). Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S 
forem, de dois em dois, sempre mutuamente exclusivos, nesse 
caso temos, analogicamente:
P(A1 A2 A3 … An) = P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + 
P(An)
Eventos Exaustivos
Quando os eventos A1, A2, A3, …, An de S forem, de dois em 
dois, mutuamente exclusivos, estes serão denominados exaustivos 
se A1 A2 A3 … An = S
Então, logo:
Portanto: P(A1) + P(A2) + P(A3) + ... + P(An) = 1
Probabilidade Condicionada
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito 
e não vazio. A probabilidade de B condicionada a A é dada pela 
probabilidade de ocorrência de B sabendo que já ocorreu A. É 
representada por P(B/A).
Veja: 
Eventos Independentes
Considere dois eventos A e B de um espaço amostral S, finito 
e não vazio. Estes serão independentes somente quando:
 P(A/N) = P(A) P(B/A) = P(B)
Intersecção de Eventos
Considerando A e B como dois eventos de um espaço amostral 
S, finito e não vazio, logo:
Assim sendo:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A)
P(A ∩ B) = P(B) . P(A/B)
Considerando A e B como eventos independentes, logo 
P(B/A) = P(B), P(A/B) = P(A), sendo assim: P(A ∩ B) = P(A) . 
P(B). Para saber se os eventos A e B são independentes, podemos 
utilizar a definição ou calcular a probabilidade de A ∩ B. Veja a 
representação:
A e B independentes ↔ P(A/B) = P(A) ou
A e B independentes ↔ P(A ∩ B) = P(A) . P(B)
Lei Binominal de Probabilidade
Considere uma experiência sendo realizada diversas vezes, 
dentro das mesmas condições, de maneira que os resultados de cada 
experiência sejam independentes. Sendo que, em cada tentativa 
ocorre, obrigatoriamente, um evento A cuja probabilidade é p ou o 
complemento A cuja probabilidade é 1 – p. 
Problema: Realizando-se a experiência descrita exatamente n 
vezes, qual é a probabilidade de ocorrer o evento A só k vezes?
Resolução:
- Se num total de n experiências, ocorrer somente k vezes 
o evento A, nesse caso será necessário ocorrer exatamente n – k 
vezes o evento A.
- Se a probabilidade de ocorrer o evento A é p e do evento A é 
1 – p, nesse caso a probabilidade de ocorrer k vezes o evento A e 
n – k vezes o evento A, ordenadamente, é:
- As k vezes em que ocorre o evento A são quaisquer entre as 
n vezes possíveis. O número de maneiras de escolher k vezes o 
evento A é, portanto Cn,k.
- Sendo assim, há Cn,k eventos distintos, mas que possuem 
a mesma probabilidade pk . (1 – p)n-k, e portanto a probabilidade 
desejada é: Cn,k . p
k . (1 – p)n-k
QUESTÕES
01. A probabilidade de uma bola branca aparecer ao se retirar 
uma única bola de uma urna que contém, exatamente, 4 bolas 
brancas, 3 vermelhas e 5 azuis é:
(A) (B) (C) (D) (E) 
Didatismo e Conhecimento 144
MATEMÁTICA
02. As 23 ex-alunas de uma turma que completou o Ensino 
Médio há 10 anos se encontraram em uma reunião comemorativa. 
Várias delas haviam se casado e tido filhos. A distribuição das 
mulheres, de acordo com a quantidade de filhos, é mostrada no 
gráfico abaixo. Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas 
ex-alunas. A probabilidade de que a criança premiada tenha sido 
um(a) filho(a) único(a) é
 
(A) (B) (C) (D) (E) 
03. Retirando uma carta de um baralho comum de 52 cartas, 
qual a probabilidade de se obter um rei ou uma dama?
04. Jogam-se dois dados “honestos” de seis faces, numeradas 
de 1 a 6, e lê-se o número de cada uma das duas faces voltadas para 
cima. Calcular a probabilidade de serem obtidos dois números 
ímpares ou dois números iguais?
05. Uma urna contém 500 bolas, numeradas de 1 a 500. Uma 
bola dessa urna é escolhida ao acaso. A probabilidade de que seja 
escolhida uma bola com um número de três algarismos ou múltiplo 
de 10 é
(A) 10%
(B) 12%
(C) 64%
(D) 82%
(E) 86%
06. Uma urna contém 4 bolas amarelas, 2 brancas e 3 bolas 
vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a probabilidade 
de ela ser amarela ou branca?
07. Duas pessoas A e B atiram num alvo com probabilidade 
40% e 30%, respectivamente, de acertar. Nestas condições, a 
probabilidade de apenas uma delas acertar o alvo é:
(A) 42%
(B) 45%
(C) 46%
(D) 48%
(E) 50%
08. Num espaço amostral, dois eventos independentes A e B 
são tais que P(A U B) = 0,8 e P(A) = 0,3. Podemos concluir que o 
valor de P(B) é:
(A) 0,5
(B) 5/7
(C) 0,6
(D) 7/15
(E) 0,7
09. Uma urna contém 6 bolas: duas brancas e quatro pretas. 
Retiram-se quatro bolas, sempre com reposição de cada bola antes 
de retirar a seguinte. A probabilidade de só a primeira e a terceira 
serem brancas é:
(A) (B) (C) (D) (E) 
10. Uma lanchonete prepara sucos de 3 sabores: laranja, 
abacaxi e limão. Para fazer um suco de laranja, são utilizadas 3 
laranjas e a probabilidade de um cliente pedir esse suco é de 1/3. 
Se na lanchonete, há 25 laranjas, então a probabilidade de que, 
para o décimo cliente, não haja mais laranjas suficientes para fazer 
o suco dessa fruta é:
(A) 1 (B) (C) (D) (E) 
Respostas
01. 
02. 
A partir da distribuição apresentada no gráfico:
08 mulheres sem filhos.
07 mulheres com 1 filho.
06 mulheres com 2 filhos.
02 mulheres com 3 filhos.
Como as 23 mulheres têm um total de 25 filhos, a probabilidade 
de que a criança premiada tenha sido um(a) filho(a) único(a) é 
igual a P = 7/25.
03. P(dama ou rei) = P(dama) + P(rei) = 
04. No lançamento de dois dados de 6 faces, numeradas de 1 a 
6, são 36 casos possíveis. Considerando os eventos A (dois números 
ímpares) e B (dois números iguais), a probabilidade pedida é: 
05. Sendo Ω, o conjunto espaço amostral, temos n(Ω) = 500
A: o número sorteado é formado por 3 algarismos;A = {100, 101, 102, ..., 499, 500}, n(A) = 401 e p(A) = 401/500
B: o número sorteado é múltiplo de 10;
B = {10, 20, ..., 500}.
Para encontrarmos n(B) recorremos à fórmula do termo geral 
da P.A., em que
a1 = 10
an = 500
r = 10
Temos an = a1 + (n – 1) . r → 500 = 10 + (n – 1) . 10 → n = 50
Dessa forma, p(B) = 50/500.
Didatismo e Conhecimento 145
MATEMÁTICA
A Ω B: o número tem 3 algarismos e é múltiplo de 10;
A Ω B = {100, 110, ..., 500}.
De an = a1 + (n – 1) . r, temos: 500 = 100 + (n – 1) . 10 → n = 
41 e p(A B) = 41/500
Por fim, p(A.B) = 
06. 
Sejam A1, A2, A3, A4 as bolas amarelas, B1, B2 as brancas e V1, 
V2, V3 as vermelhas.
Temos S = {A1, A2, A3, A4, V1, V2, V3 B1, B2} → n(S) = 9
A: retirada de bola amarela = {A1, A2, A3, A4}, n(A) = 4
B: retirada de bola branca = {B1, B2}, n(B) = 2
Como A B = , A e B são eventos mutuamente exclusivos; 
Logo: P(A B) = P(A) + P(B) = 
07. 
Se apenas um deve acertar o alvo, então podem ocorrer os 
seguintes eventos:
(A) “A” acerta e “B” erra; ou 
(B) “A” erra e “B” acerta.
Assim, temos:
P (A B) = P (A) + P (B)
P (A B) = 40% . 70% + 60% . 30%
P (A B) = 0,40 . 0,70 + 0,60 . 0,30
P (A B) = 0,28 + 0,18
P (A B) = 0,46
P (A B) = 46%
08. 
Sendo A e B eventos independentes, P(A B) = P(A) . P(B) e 
como P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B). Temos: 
P(A B) = P(A) + P(B) – P(A) . P(B) 
0,8 = 0,3 + P(B) – 0,3 . P(B) 
0,7 . (PB) = 0,5 
P(B) = 5/7.
09. Representando por a 
probabilidade pedida, temos:
 =
 =
10. Supondo que a lanchonete só forneça estes três tipos de 
sucos e que os nove primeiros clientes foram servidos com apenas 
um desses sucos, então:
I- Como cada suco de laranja utiliza três laranjas, não é 
possível fornecer sucos de laranjas para os nove primeiros clientes, 
pois seriam necessárias 27 laranjas.
II- Para que não haja laranjas suficientes para o próximo 
cliente, é necessário que, entre os nove primeiros, oito tenham 
pedido sucos de laranjas, e um deles tenha pedido outro suco. 
A probabilidade de isso ocorrer é:
 
Análise Combinatória
Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, 
ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos 
de contagem que existem em acertar algum número em jogos de 
azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático 
italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de 
Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-
1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos 
que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um 
conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro 
algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é 
preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais 
propriedades existem:
- Princípio fundamental da contagem
- Fatorial
- Arranjos simples
- Permutação simples
- Combinação
- Permutação com elementos repetidos
Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra 
do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes 
e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O 
acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como 
sucessivos e independentes: 
• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.
• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. 
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente 
que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n
Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente 
ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na 
concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do 
interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 
5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o 
número total de opções que Alice poderá fazer? 
Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, 
Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 
carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de 
possibilidades:
Didatismo e Conhecimento 146
MATEMÁTICA
Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios 
sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para 
cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento 
é n1, n2, n3, … , nk
Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa 
a ordem. 
Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 
elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”. 
ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam 
pela natureza de um dos elemento. 
ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados 
distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem 
dos elementos.
Quando os elementos de um determinado conjunto A forem 
algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos 
pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 
e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.
Quando os elementos de um determinado conjunto A 
forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes 
pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos 
 são iguais, pois indicam a mesma reta.
Conclusão: Os agrupamentos...
1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos 
se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os 
agrupamentos serão considerados distintos.
ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados 
combinações. 
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema 
é saber quantas retas esses pontos determinam. 
2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem 
de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e 
considerados distintos.
ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos. 
Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o 
problema é contar os números por eles determinados.
Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, 
representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos 
menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian 
Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:
Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120
Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, 
porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. 
Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função 
recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.
Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por 
exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos 
distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) 
E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo 
coeficiente binomial.
Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que 
um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza 
dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos 
e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos 
n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos 
cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus 
elementos. 
Cálculos do número de arranjos simples:
Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de 
A, tomados k a k:
n → possibilidades na escolha do 1º elemento.
n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um 
deles já foi usado.
n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois 
deles já foi usado.
.
.
.
n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois 
l-1 deles já foi usado.
Didatismo e Conhecimento 147
MATEMÁTICA
No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total 
de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:
 An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1)
 (é o produto de k fatores) 
Multiplicando e dividindo por (n – k)!
Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!
Podemos também escrever 
Permutações: Considere A como um conjunto com n 
elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são 
denominados