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Finanças Privadas p/ Banco Central 
Teoria e exercícios comentados 
Prof Raul Cordeiro – Aula 00 
 
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AULA 00: Risco e Retorno 
 
 
SUMÁRIO PÁGINA 
1. Apresentação 01 
2. Cronograma 05 
3. Base Estatística 07 
4. Noções sobre Risco e Retorno 19 
5. Questões comentadas 32 
6. Escolha Ótima 43 
7. Questões comentadas 57 
8. Lista das questões apresentadas 61 
 
 
1. Apresentação 
 
Pessoal, estou muito feliz em poder dar este curso pelo “Estratégia 
Concursos”! Acho que será um desafio muito bacana e prazeroso. 
Finanças Privadas é uma disciplina que adoro e espero poder passar para 
vocês o máximo de conhecimento possível, de modo a poderem 
arrebentar na prova do Banco Central. 
 
Antes de iniciarmos o curso, gostaria de contar um pouco da minha 
trajetória. Meu nome é Raul de Campos Cordeiro, tenho 32 anos e sou 
formado em Engenharia de Produção pela UFRJ, com MBA em Gestão de 
Negócios pelo IBMEC. Iniciei minha trajetória no mundo dos concursos em 
2007, quando passei em 5º lugar para a Eletrobras. Trabalhei lá de 2008 
a 2010, sempre na Diretoria Financeira, mais especificamente na área de 
Gestão de Riscos Financeiros. Foi um período muito gratificante, dado que 
vivi intensamente o assunto de que tanto gosto, Finanças. Infelizmente a 
remuneração não era tão boa, então, continuei estudando para outro 
certame. Minha grande meta era passar para o Banco Central ou BNDES. 
Assim, me preparei bastante para o concurso do Banco Central de 2010, 
mas não o suficiente para lograr êxito, pois estava ainda fraco nas 
disciplinas de direito (meu ponto fraco) que foram bastante cobradas na 
prova. Como treinamento, acabei fazendo o concurso do IBGE um pouco 
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antes da prova do Bacen. As matérias eram quase as mesmas, só que 
não caía direito. Fui muito bem na prova e acabei aprovado em 20º lugar, 
dentro do número de vagas. Como o salário é maior que o da Eletrobras, 
pensei que o IBGE poderia ser algo intermediário, que melhoraria a minha 
renda a curto prazo. Mesmo gostando do trabalho na Eletrobras, resolvi 
assumir no IBGE com o compromisso de continuar estudando até passar 
para o BNDES ou para o Bacen. Dado que não havia passado para o 
Bacen, comecei a estudar para o BNDES, cuja prova estava prevista para 
o final de 2010 ou início de 2011. No meio do caminho, surgiu o concurso 
da CVM com matérias muito alinhadas ao meu perfil de estudo e 
conhecimento. A CVM era algo concreto e o BNDES era uma previsão, 
logo, passei a focar na CVM. Foi a decisão correta! Fiz a prova em 
dezembro de 2010 e em fevereiro de 2011 saiu o resultado. Fui aprovado 
em 9º lugar para o cargo de Analista de Mercado de Capitais do RJ. Para 
mim, aquilo foi a glória! Estava muito satisfeito em ter passado para um 
cargo top do Executivo Federal e ainda poder trabalhar com o assunto de 
que tanto gosto. Daí em diante, parei de estudar para concursos e estou à 
espera da nomeação, que está para sair, dependendo da autorização do 
Ministério do Planejamento. 
 
Mas, afinal, qual é o intuito dessa introdução toda? Além de vocês 
poderem me conhecer melhor, acho importante mostrar que muitas vezes 
o êxito não vem da forma que você planejou inicialmente, mas pode vir 
de maneira diferente. O importante é saber que não vale a pena desistir, 
podem ter certeza disso! 
 
Bom, depois de todo esse discurso, vamos falar um pouco da 
disciplina Finanças Privadas. 
 
Finanças Privadas contempla toda a parte de Finanças Corporativas e 
Mercado Financeiro. É uma disciplina fascinante, pelo menos eu acho! 
Para o pessoal de exatas, posso dizer que é uma disciplina muito 
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adequada ao que estamos acostumados, não tendo interpretações 
diversas sobre o mesmo assunto, por exemplo. Finanças Privadas é uma 
matéria quantitativa, as regras são claras, não há aquele problema que 
tem no Direito, onde uma corrente diverge da outra. Isso, a meu ver, 
facilita muito as coisas. Essa disciplina vem sendo cobrada em todos os 
concursos do Banco Central, mais especificamente para as áreas 2 e 3. A 
área 2 é mais voltada para o pessoal de Economia, já a 3 é uma área 
mais geral, voltada para fiscalização de instituições financeiras. As demais 
áreas do concurso de analista do Bacen não têm cobrado essa disciplina. 
Além do Banco Central, Finanças Privadas vem sendo cobrada em 
concursos como o da Susep, Previc, CVM e BNDES. 
 
O Bacen costuma cobrar a matéria de forma bem completa. Sendo 
assim, vocês terão aqui um curso muito abrangente, o que os deixarão 
preparados também para os demais certames que cobrem esta disciplina. 
 
O nosso curso terá as características abaixo: 
 
 Conteúdo do último concurso do Bacen realizado pela 
Cesgranrio (o conteúdo permaneceu praticamente igual 
ao dos concursos anteriores); 
 Resolução de questões dos últimos concursos sobre 
Finanças Privadas (não iremos nos prender às questões 
da Cesgranrio, dado que o Bacen tem o hábito de alterar 
a banca a cada certame); 
 Fórum de dúvidas; 
 Contato direto com o professor via e-mail, se preferir. 
 
O curso atende tanto às pessoas que nunca tiveram contato com a 
matéria, quanto àquelas que já têm um conhecimento prévio, podendo 
fazer aqui uma ótima revisão do conteúdo. 
 
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O edital do último concurso do Banco Central traz a matéria numa 
disposição não muito amigável. Sem tirar nem por, rearranjei os tópicos 
de forma a ficarem dispostos em uma ordem mais coerente. 
 
 Risco e Retorno: Determinação da média, medidas de 
dispersão, noções sobre risco e retorno, retorno esperado e 
retorno médio, análise da utilidade, curvas de indiferença, 
aversão ao risco, escolha ótima; 
 Tipos de Títulos Financeiros: bônus, letras e notas do Tesouro, 
títulos privados de renda fixa, ações ordinárias e preferenciais, 
instrumentos derivativos (opções, futuros, swaps); 
 Mercados financeiros: índices de mercados, tipos de ordem, 
margem, bolsas de valores, mercado de títulos de renda fixa, 
tipos de operadores; 
 Teoria de Carteiras: Retornos e desvio-padrão de carteiras, 
fronteira eficiente, carteiras eficientes e carteiras não 
eficientes, diversificação e minimização de riscos; 
 Precificação de ativos: Simplificações (modelo de um fator e 
modelos multifatoriais), Renda Variável (CAPM, APT, mercados 
eficientes, avaliação de preços de ações); 
 Renda Fixa: teoria da taxa de juros e o preço dos bônus a 
diferentes taxas, estrutura a termo da taxa de juros, gerência 
de carteiras de renda fixa – duração e convexidade; 
 Derivativos: Swaps, opções e futuros (definições e avaliação de 
preço) / Análise de Risco de Mercado: Value at Risk – VAR, 
Teste de estresse e cenários. 
 
 
 
 
 
 
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2. Cronograma 
 
Pelo que vêem, é muita coisa para tratarmos no curso. Com isso, e 
levando em conta que o edital ainda não saiu, decidi montar o curso com 
6 aulas quinzenais. Desta forma, daria tempo suficiente para vocês lerem 
o conteúdo com calma, fazerem os exercícios e tirarem as dúvidas antes 
da próxima aula. Como o assuntoé um pouco pesado para quem nunca 
teve contato, o período de quinze dias entre uma aula e outra se faz 
realmente necessário. 
 
As aulas ocorrerão da seguinte forma: 
 
Aula 00 
(demonstrativa) 
Risco e Retorno: Determinação da média, medidas de 
dispersão, noções sobre risco e retorno, retorno 
esperado e retorno médio, análise da utilidade, curvas 
de indiferença, aversão ao risco, escolha ótima. 
Aula 01 Tipos de Títulos Financeiros: bônus, letras e notas do 
Tesouro, títulos privados de renda fixa, ações ordinárias 
e preferenciais, instrumentos derivativos (opções, 
futuros, swaps). 
Aula 02 Mercados financeiros: índices de mercados, tipos de 
ordem, margem, bolsas de valores, mercado de títulos 
de renda fixa, tipos de operadores. 
Aula 03 Teoria de Carteiras: Retornos e desvio-padrão de 
carteiras, fronteira eficiente, carteiras eficientes e 
carteiras não eficientes, diversificação e minimização de 
riscos. 
Aula 04 Precificação de ativos: Simplificações (modelo de um 
fator e modelos multifatoriais), Renda Variável (CAPM, 
APT, mercados eficientes, avaliação de preços de ações). 
Aula 5 Renda Fixa: teoria da taxa de juros e o preço dos bônus 
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a diferentes taxas, estrutura a termo da taxa de juros, 
gerência de carteiras de renda fixa – duração e 
convexidade. 
Aula 06 Derivativos: Swaps, opções e futuros (definições e 
avaliação de preço) / Análise de Risco de Mercado: Value 
at Risk – VAR, Teste de estresse e cenários. 
 
Mesmo após rearrumar os itens, como fizemos acima, teremos que 
tratar, ao longo das aulas, de alguns tópicos importantes e que não foram 
explicitados no edital, apesar de serem necessários para o seu pleno 
entendimento. 
 
Dentro de cada aula, iremos tratar de mais de um assunto. O 
esquema será apresentar a teoria e em seguida exemplos práticos e/ou 
questões de concursos. Ao longo da resolução das questões, mais teoria 
pode ser apresentada, de forma a complementar o assunto. Com isso, as 
questões comentadas são parte crucial do curso. Ao final das aulas, as 
questões abordadas serão listadas, seguidas dos respectivos gabaritos. 
 
Espero, realmente, que o curso seja muito proveitoso para vocês, 
que tenhamos uma troca excelente pelo fórum e que possam sair daqui 
preparados para fazer uma excelente prova! 
 
Vamos ao que interessa! 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. Base Estatística 
 
Vamos começar o curso cobrindo os tópicos do edital “Determinação 
da Média” e “Medidas de Dispersão”. Como a média e as medidas de 
dispersão são ferramentas da estatística muito usadas na teoria de 
finanças, chamaremos essa primeira parte da aula de “Base Estatística”. 
Porém, o edital não traz o conteúdo suficiente para que se tenha uma 
base estatística completa, que permita o pleno entendimento das teorias 
de finanças. Com isso, trataremos nesta parte, de forma mais ampla, das 
medidas de posição (em que a média se incluí), das medidas de dispersão 
e também das medidas de relação. Iremos definir e detalhar cada uma 
delas adiante. 
 
Como essa primeira parte se propõe a apresentar apenas 
ferramentas que são usadas na teoria de finanças, não abordaremos 
questões de concurso, somente alguns exemplos. 
 
3.1 Medidas de Posição (tendência central) 
 
As medidas de posição são muito usadas em finanças para se calcular 
o retorno médio ou o retorno esperado de um ativo, ambos citados no 
edital do Banco Central. 
 
As principais medidas de posição a serem estudadas são a média 
aritmética simples, a média aritmética ponderada, a média harmônica e a 
média geométrica. 
 
A média aritmética simples é a medida de posição mais popular. É 
calculada somando-se os valores de todas as observações do conjunto de 
dados e dividindo tal soma pelo número de observações. 
 
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Média Aritmética Simples =

n
i
i
n
X
1
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações. 
 
Vamos a um exemplo, o que tornará o entendimento mais claro. 
Supondo que uma turma com 5 alunos tenha apresentando as seguintes 
notas em uma prova: (7,0 9,0 8,5 5,5 4,0); Calculando-se a média 
aritmética simples das notas da turma tem-se: 
 
Média Aritmética Simples = 8,6
5
45,55,897


; 
 
A média aritmética ponderada também é muito usada em finanças. 
Muitas vezes, além das observações, tem-se uma probabilidade associada 
a cada observação. Nestes casos, a média aritmética ponderada considera 
a probabilidade de ocorrência de cada observação, permitindo a obtenção 
de um resultado mais completo, usando todas as informações disponíveis. 
Média Aritmética Ponderada =
 





n
i
i
n
i
ii
f
fX
1
1 
:iX Observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Vamos supor que o aluno que tirou a maior nota no exemplo anterior 
queira estimar a sua próxima nota. Ele sabe que tem chances de repetir o 
sucesso e tirar novamente 9, porém, há chances de ele tirar notas mais 
baixas que 9, bem como notas mais altas. Perguntado sobre suas chances 
de nota na próxima prova ele responde: 50% de chance de repetir a 
mesma nota (9,0), 30% de chance de tirar uma nota mais baixa (7,0) e 
20% de chance de tirar a nota máxima (10,0). 
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Média Aritmética Ponderada = 6,8
2,03,05,0
2,0103,075,09


 xxx
. 
 
Portanto, a nota esperada para este aluno, considerando a 
ponderação feita pela probabilidade de cada nota, seria 8,6, para a 
próxima prova. 
 
Apesar de serem a média aritmética simples e a média aritmética 
ponderada as medidas de posição mais utilizadas em finanças, a média 
harmônica e a média geométrica também são importantes ferramentas, 
no entanto, não costumam cair em provas de finanças. Para não passar 
em branco, apenas abordaremos suas formulações matemáticas. 
 
A média harmônica se dá pelo inverso da média aritmética simples 
dos inversos das observações. Falando assim, parece impossível 
entender. Observando-se a fórmula abaixo, fica mais claro o seu cálculo. 
 
Média Harmônica = 



n
i i
n
i i
X
n
n
X
11
11
1
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações. 
 
A média geométrica é calculada pela raiz n-ésima da multiplicação 
dos valores observados, sendo n igual ao número de observações. 
 
Média Geométrica = n
n
i
iX
1
; 


n
i
iX
1
: Produto dos valores 1X , 2X , 3X , ..., nX ; 
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:iX Observações; 
:n Número de Observações. 
 
Não se espantem com essas fórmulas, essas duas últimas formas de 
média não são usadas na teoria de finanças, foram expostas apenas para 
que saibam os tipos de média que existem na literatura. 
 
3.2 Medidas de Dispersão 
 
As medidas de dispersão revelam o grau de afastamento das 
observações em relação à media encontrada. Têm a ver com o nível de 
variação dos dados em torno da média. Como revelam a variação, ou 
variabilidade, as medidas de dispersão são largamente usadas no cálculo 
do risco de ativos. O risco de um ativo é, na realidade,o quanto o retorno 
deste ativo varia, ou pode variar, em relação ao seu retorno esperado, ou 
médio. Mas trataremos mais detalhadamente deste assunto na parte 
“Noções sobre Risco e Retorno”. 
 
As principais medidas de dispersão usadas em finanças são o desvio-
padrão, a variância e o coeficiente de variação. Detalhamos abaixo cada 
uma delas. 
 
O desvio-padrão é a medida de dispersão mais importante no estudo 
de finanças. Ele mostra qual o desvio, em valores absolutos, de um 
conjunto de dados em relação à sua média. Para dados amostrais o 
desvio-padrão é calculado da seguinte forma: 
 
Desvio-Padrão ( ) = 
 
1
1
2



n
XX
n
i
i
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
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X : Média Aritmética das observações. 
 
Ademais, quando os dados são populacionais, devemos usar apenas o n 
no denominador. 
 
Voltemos ao primeiro exemplo dado nesta parte da aula referente às 
notas de uma turma com 5 alunos. Suponhamos que se queira calcular o 
desvio-padrão de tais notas. Usaremos a tabela abaixo para facilitar os 
cálculos: 
 
Aluno iX X ( iX - X )  2XX i  
1 7,0 6,8 0,2 0,04 
2 9,0 6,8 2,2 4,84 
3 8,5 6,8 1,7 2,89 
4 5,5 6,8 -1,3 1,69 
5 4,0 6,8 -2,8 7,84 
Total 34,0 --- --- 17,3 
 
 


n
i
i XX
1
2
= 17,3; 
 
n = 5; 
 
Desvio-Padrão ( ) = 
5
3,17
 = 1,86. 
 
Caso cada observação tenha uma freqüência ou uma probabilidade 
de ocorrência diferente, a fórmula do desvio-padrão se apresenta da 
seguinte forma: 
 
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Desvio-Padrão ( ) =  


n
i
ii fXX
1
2
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações. 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Neste caso, ao invés de se dividir o numerador por n – 1, multiplica-
se o mesmo pela freqüência ou probabilidade de cada uma das 
observações. 
 
A variância é uma medida de dispersão com conceito muito próximo 
ao do desvio-padrão. A única diferença entre os dois é que na variância 
não se extraí a raiz, sendo, portanto, igual ao desvio-padrão ao quadrado. 
Sendo assim, a fórmula da variância é a seguinte: 
 
Variância = 
 
1
1
2



n
XX
n
i
i
 = 2 ; 
 
Caso cada observação tenha uma freqüência ou uma probabilidade 
de ocorrência diferente, a fórmula da variância se apresenta da seguinte 
forma: 
 
Variância ( 2 ) =  


n
i
ii fXX
1
2
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
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Outro conceito importante no que se refere às medidas de dispersão 
é o coeficiente de variação (CV). O coeficiente de variação (CV) nada mais 
é do que o desvio-padrão ( ) dividido pela média aritmética. Tal medida 
expõe o quanto representa 1 desvio-padrão ( ) em relação à média ( X ) 
encontrada. Quanto maior for tal indicador, mais dispersa é a amostra 
estudada. 
 
Coeficiente de Variação (CV) = 
X

; 
 
X : Média Aritmética das observações; 
 : Desvio-Padrão das observações; 
 
Indicadores como estes permitem que diferentes amostras sejam 
comparadas em termos de dispersão. O desvio-padrão e a variância, por 
si sós, não podem ser comparados na análise de diferentes amostras. Já o 
coeficiente de variação pode indicar, dentre um grupo de amostras, qual 
possui maior dispersão em relação à média. 
 
Suponhamos que uma turma (turma 1) com 5 alunos tenha obtido 
média de 6,8 e desvio-padrão de 2,08 em suas notas. Já uma outra 
turma (turma 2), também com 5 alunos, obteve média de 8,0 e desvio-
padrão de 2,15 em suas notas. Precipitadamente, pode-se pensar que a 
dispersão das notas da turma 2 é maior que a dispersão das notas da 
turma 1, dado que o desvio-padrão da turma 2 é maior que o desvio-
padrão da turma 1. Entretanto, calculando-se o coeficiente de variação, 
que mede a dispersão relativa à média, tem-se a correta conclusão. 
 
Coeficiente de Variação Turma 1 ( 1CV ) = ;31,0
8,6
08,2
 
 
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Coeficiente de Variação Turma 2 ( 2CV ) = ;27,0
0,8
15,2
 
 
3.3 Medidas de Relação 
 
Medidas de relação são aquelas que expressam o grau de variação 
conjunta entre duas ou mais variáveis. As principais medidas de relação 
são a covariância e a correlação. Ambas são muito usadas em finanças, 
principalmente na teoria de carteiras. Vejamos cada uma delas. 
 
A covariância indica a simetria existente entre duas ou mais 
variáveis. Se há simetria positiva, ou seja, se as variáveis se 
movimentam na mesma direção em torno da média, a covariância será 
maior que zero. Caso a simetria seja negativa, ou seja, as variáveis se 
movimentam em direções contrárias em torno da média, a covariância 
será menor do que zero. Quando a covariância é igual a zero, ou nula, 
não há nenhuma relação linear entre as variáveis estudadas. Vamos à 
fórmula da covariância entre 2 variáveis. 
Covariância entre as variáveis A e B ( BACOV , ) = 
   
n
XXXX
n
i
BiBAiA


1
,,
; 
 
:,iAX Observações da variável A; 
:,iBX Observações da variável B; 
:n Número de Observações; 
AX : Média Aritmética das observações da variável A; 
BX : Média Aritmética das observações da variável B; 
 
Suponhamos que dois ativos, A e B, tenham tido retornos, mês a 
mês, de acordo com a tabela abaixo: 
 
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Mês Ativo A Ativo B 
1 2% 1% 
2 5% 3% 
3 -3% -1% 
4 4% 1% 
5 -1% 0% 
6 7% 5% 
7 10% 6% 
8 0% -2% 
9 8% 6% 
10 -6% -2% 
11 -7% -3% 
12 11% 5% 
 
 
Para se calcular a covariância entre os ativos A e B no período 
descrito, deve-se, antes de mais nada, se obter os retornos médios dos 
dois ativos. 
 
%50,2
12
%11%7%6%8%0%10%7%1%4%3%5%2


AX ; 
 
%58,1
12
%5%3%2%6%2%6%5%0%1%1%3%1


BX ; 
 
A partir dos dados obtidos, podemos criar a tabela abaixo que nos 
auxiliará no cálculo da covariância. 
 
 
 
 
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Mês Ativo 
A 
Ativo 
B 
AX BX  AAi XX ,  BBi XX ,    BBiAAi XXXX  ,, 
1 2% 1% 2,50% 1,58% -0,50% -0,58% +0,0029% 
2 5% 3% 2,50% 1,58% +2,50% +1,42% +0,0355% 
3 -3% -1% 2,50% 1,58% -5,50% -2,58% +0,1419% 
4 4% 1% 2,50% 1,58% +1,50% -0,58% -0,0087% 
5 -1% 0% 2,50% 1,58% -3,50% -1,58% +0,0553% 
6 7% 5% 2,50% 1,58% +4,50% +3,42% +0,1539% 
7 10% 6% 2,50% 1,58% +7,50% +4,42% +0,3315% 
8 0% -2% 2,50% 1,58% -2,50% -3,58% +0,0895% 
9 8% 6% 2,50% 1,58% +5,50% +4,42% +0,2431% 
10 -6% -2% 2,50% 1,58% -8,50% -3,58% +0,3043% 
11 -7% -3% 2,50% 1,58% -9,50% -4,58% +0,4351% 
12 11% 5% 2,50% 1,58% +8,50% +3,42% +0,2907% 
Total +2,0750% 
 
Sabemos que n = 12. Logo, o a covariância é: 
 
%1729,0
12
%075,2
, 

BACOV ; 
 
Pelo resultado encontrado, sabemos que existe uma relação direta 
entre as variações dos ativos A e B. 
 
Como acovariância pode assumir qualquer valor, sua interpretação 
numérica torna-se difícil. Para solucionar este problema, tem-se a 
correlação, ou coeficiente de correlação. 
 
A correlação procura identificar, bem como a covariância, se há 
relação entre as variáveis estudadas. No entanto, a correlação só assume 
valores entre –1 e +1, ou seja, há um intervalo limitado que permite a 
comparação de situações distintas. Da mesma forma que acontece com a 
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covariância, quando a correlação for positiva, indica que as variáveis se 
movimentam freqüentemente na mesma direção. Entretanto, quando a 
correlação for negativa, isto indica que as variáveis se movimentam em 
direções opostas. Existem os casos extremos em que as variáveis se 
movimentam sempre na mesma direção e com intensidades proporcionais 
(correlação igual a +1), sempre em direções opostas com intensidades 
proporcionais (correlação igual a –1) ou não possuem relação alguma 
entre si (correlação igual a 0). Vejamos abaixo a fórmula da correlação 
entre 2 variáveis: 
 
Correlação entre as variáveis A e B ( BACORR , ) = 
BA
BACOV
 
,
; 
 
:,BACOV Covariância entre A e B; 
:A Desvio-Padrão da variável A; 
:B Desvio-Padrão da variável B. 
 
Para calcularmos a correlação entre os ativos A e B do exemplo 
anterior, precisamos, além da covariância entre A e B, do desvio-padrão 
dos ativos A e B. Para calcularmos os desvios-padrões, utilizaremos a 
tabela abaixo. 
 
Mês Ativo A Ativo B 
AX BX  2, AAi XX   
2
, BBi XX  
1 2% 1% 2,50% 1,58% 0,0025% 0,0034% 
2 5% 3% 2,50% 1,58% 0,0625% 0,0202% 
3 -3% -1% 2,50% 1,58% 0,3025% 0,0666% 
4 4% 1% 2,50% 1,58% 0,0225% 0,0034% 
5 -1% 0% 2,50% 1,58% 0,1225% 0,0250% 
6 7% 5% 2,50% 1,58% 0,2025% 0,1170% 
7 10% 6% 2,50% 1,58% 0,5625% 0,1954% 
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8 0% -2% 2,50% 1,58% 0,0625% 0,1282% 
9 8% 6% 2,50% 1,58% 0,3025% 0,1954% 
10 -6% -2% 2,50% 1,58% 0,7225% 0,1282% 
11 -7% -3% 2,50% 1,58% 0,9025% 0,2098% 
12 11% 5% 2,50% 1,58% 0,7225% 0,1170% 
Total 3,9900% 1,2092% 
 
Recapitulando a fórmula do desvio-padrão, temos: 
 
Desvio-Padrão ( ) = 
 
n
XX
n
i
i


1
2
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações. 
 
%77,5
12
%99,3
A ; 
 
%17,3
12
%2092,1
B ; 
 
Com os desvios-padrões em mãos, basta aplicarmos a fórmula da 
correlação. 
 
BACORR , = 
BA
BACOV
 
,
; 
 
95,0
%17,3%77,5
%1729,0
, 

BACORR ; 
 
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Conforme já tínhamos concluído através do cálculo da covariância, há 
uma relação direta entre os ativos A e B. O cálculo da correlação, além de 
ratificar este fato, nos mostra que o valor encontrado é próximo de 1,0, 
ou seja, podemos concluir que existe uma correlação positiva forte entre 
os ativos A e B. 
 
Pessoal, a base estatística termina por aqui. Vocês verão que 
usaremos estas fórmulas e conceitos por diversas vezes ao longo do 
nosso curso. Sei que, para os que não são de exatas, não é algo trivial. 
Com isso, não deixem passar as dúvidas sobre o assunto, me enviem pelo 
fórum. Estas ferramentas precisam estar sob domínio de vocês! 
 
 
4. Noções sobre Risco e Retorno 
 
Risco e retorno são conceitos que andam juntos em finanças. Não 
basta avaliar o retorno de um determinado investimento, deve-se 
observar também o seu risco. O risco pode ser considerado de forma 
individual para cada ativo, como também de forma conjunta, ou seja, o 
risco de um grupo de ativos, mais comumente chamado de carteira de 
ativos. Após termos adquirido a base estatística, estudaremos agora as 
definições de risco e retorno, bem como sua aplicabilidade para a tomada 
de decisões do investidor. 
 
4.1 Conceito de Risco 
 
Muitas pessoas associam o risco à possibilidade de perda financeira. 
Na realidade, este conceito não está de todo errado, está apenas 
incompleto. A maneira mais correta de enxergar o risco de um 
investimento é associa-lo à sua variabilidade, ou seja, não apenas à 
possibilidade de perda, como também de ganho. Portanto, risco deve ser 
entendido como a variabilidade de determinado investimento. 
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Investimento sem risco é aquele que não apresenta possibilidade de 
variabilidade em seu retorno, quando se sabe de antemão o quanto irá se 
ganhar em determinada aplicação, como acontece com a poupança. Já a 
compra de ações é um investimento de risco, dado que o preço das ações 
varia ao longo do tempo. Quanto maior for a probabilidade de variação de 
um investimento, maior será o seu risco. Risco e incerteza andam juntos. 
 
 
4.2 Conceito de Retorno 
 
O retorno de um ativo pode ser entendido como a variação de preço 
do ativo somada ao fluxo de caixa gerado por este ativo, ambos no 
período de tempo analisado. Suponhamos que um investidor possua uma 
ação que, em janeiro de 2010, valia 10 reais. Em janeiro de 2011, a 
mesma ação estava cotada a 11 reais. Além disso, no período de tempo 
analisado, a ação proporcionou dividendos no valor de 1,5 reais. Para 
calcularmos o retorno obtido por este investidor entre jan/10 e jan/11, 
basta somarmos a variação de preço ao fluxo de caixa proporcionado pela 
ação, e dividir o resultado pelo preço da ação no início do período de 
análise. 
 
Variação de preço = Preço Final – Preço inicial = 11 – 10 = 1,00; 
 
Fluxo de Caixa gerado pela Ação = Dividendos = 1,50; 
 
Retorno do Investimento = %2525,0
10
5,2
10
50,11011


. 
 
A formulação abaixo expressa bem o conceito de retorno. 
 
1
1

 
t
ttt
t
P
FCPP
k 
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tk : Retorno do investimento no período t; 
tP : Preço do ativo ao final do período t; 
1tP : Preço do ativo ao final do período t-1 (início do período t); 
tFC : Fluxo de caixa gerado pelo investimento ao longo do período t. 
 
4.3 Retorno Esperado e Retorno Médio 
 
Após entendermos o que significa risco e retorno, podemos mostrar a 
diferença entre Retorno Esperado e Retorno Médio. Estes dois conceitos 
estão destacados no edital do Banco Central. Vamos a eles! 
 
Retorno Médio nada mais é do que a média dos retornos históricos de 
um determinado ativo. Normalmente, é calculado usando-se as 
formulações de Média Aritmética Simples ou Média Aritmética Ponderada, 
ambas apresentadas na parte de Base Estatística da nossa aula. Vamos a 
um exemplo! 
Um ativo obteve os retornos abaixo ao longo dos meses, de acordo 
com a tabela a seguir: 
Mês Retorno 
Jan 1,0% 
Fev 3,0% 
Mar -2,0% 
Abr 5,0% 
 
Neste caso, usaremos a Média Aritmética Simples: 
Média Aritmética Simples =

n
i
i
n
X
1
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações. 
 
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Retorno Médio = %75,1
4
%0,5%0,2%0,3%0,1


 
Poderíamos ter usado a Média Aritmética Ponderada, caso o Retorno 
Médio fossecalculado observando-se um período mais longo de tempo, 
em que alguns meses tivessem apresentado retornos iguais. Neste caso, 
cada retorno seria ponderado pelo número de vezes em que aparece no 
período selecionado. 
 
Já o Retorno Esperado representa o retorno que o investidor espera 
ter ao adquirir determinado ativo. Normalmente, o investidor usa a 
distribuição de probabilidades de retorno do ativo para auferir o Retorno 
Esperado deste ativo. Neste caso, a formulação a ser usada é a Média 
Aritmética Ponderada. Vamos a um exemplo! 
Analisando-se a distribuição de probabilidades de retorno de um 
determinado ativo, chega-se a conclusão de que existem 5 cenários, cada 
um com sua probabilidade de ocorrência para o próximo ano. A tabela 
abaixo resume os dados: 
Cenário Retorno Probabilidade 
Péssimo -5,0% 10% 
Ruim -3,0% 20% 
Normal 1,0% 30% 
Bom 4,0% 25% 
Muito Bom 7,0% 15% 
 
Usando a Média Aritmética Ponderada para calcular o Retorno 
Esperado, temos: 
Média Aritmética Ponderada =
 


n
i i
ii
f
fX
1
 
:iX Observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Retorno Esperado=  %15%7%25%4%30%1%20%3%10%5 
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Retorno Esperado= %25,1%05,1%1%3,0%6,0%5,0  
 
Conclui-se que, diante das informações analisadas pelo investidor, o 
mesmo espera que o ativo adquirido dê um retorno de 1,25% no próximo 
ano. 
 
4.4 Comportamento com relação ao Risco 
 
Vamos agora dar uma atenção ao assunto Risco. Começaremos 
definindo como o investidor se comporta em relação ao risco e, em 
seguida, mostraremos como se calcula o risco de um ativo individual. 
 
Existem 3 tipos básicos de comportamento que os investidores 
podem ter com relação ao risco: Aversão ao risco, indiferença ao risco e 
tendência ao risco. 
 
O investidor avesso ao risco é aquele que exige maiores retornos 
para assumir maiores riscos. Já o investidor indiferente ao risco não altera 
sua exigência de retorno ao se alterar o risco assumido. O investidor 
tendente ao risco procura investimentos que contenham maior risco, e 
exige retornos maiores caso o investimento tenha um risco baixo. Para 
investimentos de alto risco, o investidor tendente ao risco exige retornos 
menores. A figura abaixo exemplifica bem as preferências do investidor 
com relação ao risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Iremos retomar este assunto quando falarmos sobre utilidade, o que 
será abordado ainda nesta aula. As definições apresentadas acima serão 
estudas com mais detalhe nesta parte. 
 
4.5 Cálculo do Risco de um ativo individual 
 
Já tratamos da parte conceitual do risco e do retorno. Agora iremos 
abordar a parte quantitativa sobre risco de um ativo. Para isso, iremos 
usar os conhecimentos adquiridos no tópico já abordado sobre Base 
Estatística. 
 
O risco de um ativo individual é calculado através do desvio-padrão 
dos retornos deste ativo. O desvio-padrão pode ser calculado usando-se 
uma série histórica ou uma estimativa futura de retornos. 
 
Usando uma série histórica de retornos, o cálculo do risco é bem 
simples, basta calcularmos o desvio-padrão desta série de dados e o risco 
do ativo será dado pelo próprio desvio-padrão. Vamos a um exemplo: 
 
Suponhamos que um determinado ativo tenha tido os retornos 
descritos pela tabela abaixo nos 5 meses considerados. 
Risco 
Retorno Exigido Avesso ao Risco 
Indiferente ao Risco 
Tendente ao Risco 
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Mês Retorno 
1 +5,0% 
2 +3,0% 
3 -2,0% 
4 -1,0% 
5 +7,0% 
 
 
Usando a fórmula do desvio-padrão, exposta abaixo, chegamos ao 
risco deste ativo considerando os 5 meses da tabela. 
 
Desvio-Padrão ( ) = 
 
1
1
2



n
XX
n
i
i
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações. 
 
Complementando os dados da tabela acima, fica mais fácil 
esquematizar o cálculo do desvio-padrão. 
 
Mês Retorno X  2XX i  
1 5,00% 2,40% 0,0676% 
2 3,00% 2,40% 0,0036% 
3 -2,00% 2,40% 0,1936% 
4 -1,00% 2,40% 0,1156% 
5 7,00% 2,40% 0,2116% 
Total X = 
2,40% --- 0,5920% 
 
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%85,3
15
%5920,0


 ; 
 
Logo, o risco deste ativo é igual a 3,85%. 
 
Basicamente, essa é a conclusão. Mais a frente, veremos que a 
periodicidade em que os dados foram coletados, neste caso mensal, é 
uma informação importante para se descrever o resultado obtido no 
cálculo do risco. 
 
Vamos calcular agora o risco de um ativo baseando-se na expectativa 
de rentabilidade futura do mesmo. Da mesma maneira como fizemos com 
os dados históricos, iremos usar a fórmula do desvio-padrão. Porém, 
neste caso, iremos trabalhar com probabilidades associadas às 
estimativas de retorno. Sendo assim, a fórmula do desvio-padrão a ser 
utilizada é aquela que usa as probabilidades de ocorrência dos retornos, 
conforme abaixo: 
 
Desvio-Padrão ( ) =  


n
i
ii PXX
1
2
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações. 
:iP Probabilidade das Observações. 
 
A tabela abaixo retrata a expectativa de retorno futura de um ativo 
com suas respectivas probabilidades de ocorrência: 
 
 
 
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Expectativa Retorno Probabilidade de Ocorrência 
Muito Pessimista -2,0% 10% 
Pessimista 1,0% 15% 
Neutra 3,0% 40% 
Otimista 5,0% 30% 
Muito Otimista 10,0% 5% 
 
Usando-se a fórmula abaixo, calcula-se o retorno esperado para este 
ativo, o qual será usado no cálculo do desvio-padrão. 
 
Média Aritmética Ponderada =
 


n
i i
ii
f
fX
1
 
:iX Observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
 Retorno Esperado = 
%5%30%40%15%10
%5%10%30%5%40%3%15%1%10%2


= 
3,15%; 
 
A partir do retorno esperado do ativo, podemos construir a tabela 
que nos auxiliará no cálculo do risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Expectativa Retorno Probabilidade 
de 
Ocorrência 
Retorno 
Esperado 
  ii PXX 
2
 
Muito 
Pessimista 
-2,00% 10% 
3,15% 0,0265% 
Pessimista 1,00% 15% 3,15% 0,0069% 
Neutra 3,00% 40% 3,15% 0,0001% 
Otimista 5,00% 30% 3,15% 0,0103% 
Muito 
Otimista 
10,00% 5% 
3,15% 0,0235% 
Total --- --- --- 0,0673% 
 
Com a tabela em mãos, fica fácil calcularmos o desvio-padrão para 
este ativo, baseando-se nos retornos esperados e suas probabilidades de 
ocorrência. 
 
  = Risco = %59,2%0673,0  . 
 
Uma outra maneira de avaliar o risco de um ativo é através do 
coeficiente de variação. Como já mencionamos no tópico sobre 
embasamento estatístico, o coeficiente de variação permite que os riscos 
de diferentes ativos sejam comparados, mesmo que possuam retornos 
diferentes. Vamos a um exemplo para relembrar o seu cálculo. 
 
A tabela abaixo mostra o retorno e o riscode 2 ativos, A e B. Como 
os retornos são diferentes, não há como comparar seus riscos 
diretamente. Nestes casos, o uso do coeficiente de variação (CV) se 
mostra muito útil. 
 
 
 
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Dados Ativo A Ativo B 
Retorno Esperado ( X ) 10% 4% 
Risco ( ) 5% 2,5% 
 
Usando a fórmula do coeficiente de variação, temos: 
 
Coeficiente de Variação (CV) = 
X

; 
 
X : Média Aritmética das observações; 
 : Desvio-Padrão das observações; 
 
Coeficiente de Variação Ativo A ( ACV ) = ;5,0
%10
%5
 
 
Coeficiente de Variação Ativo B ( BCV ) = ;625,0
%4
%5,2
 
 
Conclui-se que, apesar de o ativo A ter um desvio-padrão 2 vezes 
maior que o ativo B, o risco do ativo B, em relação ao seu retorno, é 
maior que o risco do ativo A. Portanto, o coeficiente de variação é, 
também, uma importante medida de risco de um ativo, porém, muito 
mais usada na comparação do risco entre ativos. 
 
Vamos abrir parênteses agora para explicar uma parte importante da 
estatística que tem implicação direta no entendimento da teoria de 
finanças. Deixei para tratar deste assunto neste momento, e não no 
tópico sobre embasamento estatístico, exatamente porque agora já temos 
um conhecimento mais apurado do que significa o risco de um ativo. 
 
A curva normal padrão é muito usada em finanças por retratar bem a 
disposição dos retornos de um ativo ao longo do tempo. O que ela retrata 
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é que tais retornos tendem a se situar no entorno de uma média e que 
podem ficar mais ou menos dispersos em relação a esta média. Mostra 
também que a dispersão costuma ser simétrica, tanto abaixo como acima 
da média. Normalmente, plotando em um gráfico um histórico longo de 
retornos de um ativo, se chegará a uma figura que se parece muito com 
uma curva normal padrão, como se vê abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura acima nos mostra que os retornos de um ativo costumam se 
concentrar em torno do retorno médio. De acordo com a curva normal 
padrão, essa disposição dos dados segue uma lógica de simetria em que 
considerando 1 desvio-padrão acima e abaixo do retorno médio, tem-se 
68,26% dos retornos encontrados. Da mesma forma que considerando 2 
desvios-padrões acima e abaixo do retorno médio, concentra-se 95,44% 
dos retornos de um ativo. E, para fecharmos essa análise, considerando 3 
desvios-padrões acima e abaixo do retorno médio, encontram-se 99,74% 
dos retornos observados. Devemos ter em mente essa lógica de 
-1 +1
 
+2
 
+3
 
-2 -3 
68,26% 
95,44% 
99,74% 
Curva Normal Padrão 
Probabilidade 
Retorno r 
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tratamento de dados para retornos de ativos, visto que tal raciocínio será 
usado ao longo deste curso em outras ocasiões. 
 
Uma outra consideração importante a ser feita em relação ao risco de 
um ativo é a sua relação com o período de tempo da projeção a ser feita. 
Caso se esteja calculando o risco de um ativo para o período de um mês, 
o valor encontrado será menor do que se esta mesma projeção fosse feita 
para períodos maiores. Isso ocorre porque quanto maior o tempo a ser 
considerado na previsão, maior a probabilidade de que essa previsão não 
se concretize. 
 
Pode-se perceber, através da figura abaixo, que à medida em que as 
previsões são mais longas, a curva de probabilidade dos retornos se torna 
mais dispersa em relação à média, demonstrando assim o efeito do 
tempo sobre o risco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora resolver algumas questões desta parte da matéria. É 
difícil achar questões sobre esse início, as questões que envolvem estes 
conceitos costumam vir associadas a outros assuntos que veremos na 
Tempo 
Retorno (Distribuição de Probabilidade) 
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próxima aula, como a Teoria de Carteiras. Porém, fazendo um esforço, 
consegui selecionar algumas questões, boa parte não muito recentes. 
Aliás, iremos usar muitas questões antigas e novas aqui neste curso, 
dado que não são muitos os certames que cobram Finanças Privadas. 
Vamos a elas! 
 
5.1 Questões comentadas 
 
01. (ESAF - CVM 2010 – ANALISTA MERCADO DE CAPITAIS) 
Entende-se por volatilidade preço de ativos: 
a) variações sazonais, segundo as curvas de oferta e demanda. 
b) desvio padrão representativo do risco. 
c) variações abruptas e incontroláveis do preço de ativos. 
d) variação de preço visada por especuladores. 
e) redução de preço de ativos, quando a venda é urgente. 
 
Comentários: 
 
Pessoal, vocês irão ler muito a palavra volatilidade ainda ao longo das 
aulas. Volatilidade e risco, em finanças, são exatamente a mesma coisa. 
Como já vimos o que é risco, sabemos bem o que é volatilidade. A 
questão pede o que se entendo por volatilidade dos preços de ativos. 
Então ela pede o que se entende por risco de tais ativos. Vamos analisar 
as afirmativas: 
a) Variações sazonais são aquelas que ocorrem em determinados 
períodos do ano ou da semana, como o Natal, a Pascoa, o Dia das 
Mães, etc. Não é isso que se entende por risco, não é, pessoal? As 
variações sazonais não representam o conceito exato de risco ou 
volatilidade. Logo, essa está errada. 
b) Já vimos que o risco é calculado através do desvio-padrão, 
correto? Logo, essa alternativa é o gabarito da questão. 
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c) As variações abruptas e incontroláveis entram no cálculo do risco 
de um ativo? Sim, entram, mas não só elas como qualquer 
variação que esse ativo vier a sofrer, por menor que tenha sido. 
Logo, essa alternativa não está de acordo com o que pede o 
enunciado. 
d) Os especuladores são aqueles que estão no mercado para ganhar 
com o sobe e desce dos ativos. Eles são super atuantes, compram 
e vendem o tempo todo. A variação que interessa a eles depende 
da posição em que eles estão, comprados ou vendidos. Mas para o 
cálculo da volatilidade ou risco interessa toda a variação dos 
ativos. Logo, esta alternativa também não é correta. 
e) Quando muitos agentes querem vender um ativo específico ao 
mesmo tempo, por algum motivo qualquer, essa venda pode ser 
dita como urgente. Nestes casos, como há uma pressão muito 
maior dos ofertantes do que dos demandantes, o ativo tende a 
sofrer uma queda acentuada de preço. Porém, para se calcular o 
risco ou volatilidade de um ativo se considera qualquer tipo de 
variação no preço deste ativo, não apenas a queda por venda 
urgente. Logo, afirmativa incorreta. 
 
02. (CESPE – PREVIC 2011) 
Considere que, para tomar a decisão de comprar determinado ativo cuja 
distribuição dos retornos está descrita na tabela abaixo, um investidor 
enfrente o dilema de escolher entre o risco e o retorno esperado. Nessa 
situação, ao avaliar esse ativo, esse investidor encontra o retorno 
esperado e a variância iguais a 7 e 210/36, respectivamente. 
 
 
Comentários: 
 
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Essa é uma questão do tipo CERTA ou ERRADA. Teremos que calcular 
o retorno esperado e a variância usando o que aprendemos na parte de 
Base Estatística. 
Como se trata do retorno esperado com probabilidades diferentes 
para cada um dos retornos possíveis, iremos usar a fórmula abaixo: 
Média Aritmética Ponderada =
 


n
i i
ii
f
fX
1
 
:iX Observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Logo, o retorno esperado fica: 
 
Retorno Esperado = 



36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
1
12
36
2
11
36
3
10
36
4
9
36
5
8
36
6
7
36
5
6
36
4
5
36
3
4
36
2
3
36
1
2
 
Retorno Esperado = 7
36
252
36
12
36
22
36
30
36
36
36
40
36
42
36
30
36
20
36
12
36
6
36
2
 
 
Já vimos que o retorno deu exatamente o que a questão afirmou.
 
Vamos agora ao cálculo da variância. Usaremos a fórmula abaixo: 
 
Variância ( 2 ) =  


n
i
ii fXX
1
2
; 
:iX Observações; 
:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Iremos construir a tabela abaixo para facilitar os cálculos da 
variância: 
 
 
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Retorno Probabilidade X XX i   
2
XX i    ii fXX 
2
 
2 1/36 7 -5 25 25/36 
3 2/36 7 -4 16 32/36 
4 3/36 7 -3 9 27/36 
5 4/36 7 -2 4 16/36 
6 5/36 7 -1 1 5/36 
7 6/36 7 0 0 - 
8 5/36 7 1 1 5/36 
9 4/36 7 2 4 16/36 
10 3/36 7 3 9 27/36 
11 2/36 7 4 16 32/36 
12 1/36 7 5 25 25/36 
 210/36 
 
O valor da variância é o somatório da última coluna da tabela, ou 
seja, 210/36, o que bate perfeitamente com o que a alternativa 
apresenta. 
Com isso, chegamos à conclusão que a alternativa está correta! 
 
03. (NCE - CVM 2008 – ANALISTA MERCADO DE CAPITAIS) 
O risco de mercado está diretamente relacionado ao conceito de 
volatilidade que, em geral, pode ser obtida por meio de: 
(A) desvio-padrão da variação dos preços; 
(B) média aritmética dos preços praticados; 
(C) segunda derivada do preço do ativo; 
(D) média móvel simples dos dividendos esperados; 
(E) somatório das rentabilidades esperadas. 
 
Comentários: 
 
Pessoal, essa é moleza! Sabemos que o risco ou a volatilidade são 
calculados através do desvio-padrão dos retornos do ativo. Logo, a letra A 
é o gabarito da questão! 
 
 
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04. (ESAF - BACEN 2001) 
Um analista acredita que a tabela apresentada a seguir é uma descrição 
satisfatória da distribuição de probabilidades da taxa de retorno de uma 
certa ação. 
 
De acordo com os dados contidos na tabela, o retorno esperado e o 
desvio-padrão da taxa de retorno da ação são, respectivamente: 
a) 5,5% e 10,86% 
b) 5,5% e 8,66% 
c) 4,0% e 25% 
d) 4,0% e 10,86% 
e) 4,0% e 8,66% 
 
Comentários: 
 
Pessoal, já estamos ficando calejados neste tipo de questão, não é 
mesmo? Basta calcularmos o Retorno Esperado e o Risco. Vamos 
recapitular as fórmulas: 
 
O retorno é calculado através da fórmula da média ponderada. 
Média Aritmética Ponderada =
 


n
i i
ii
f
fX
1
 
:iX Observações; 
:if Freqüência ou Probabilidade das Observações. 
 
Já o risco é calculado através da fórmula do desvio-padrão quando há 
probabilidade envolvida. 
 
Desvio-Padrão ( ) =  


n
i
ii PXX
1
2
; 
:iX Observações; 
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:n Número de Observações; 
X : Média Aritmética das observações. 
:iP Probabilidade das Observações. 
 
Vamos começar a resolução calculando o Retorno Esperado: 
 
Retorno Esperado = 


30,030,025,015,0
30,0%1530,0%525,0%215,0%10
 
Retorno Esperado = %4
1
%5,4%5,1%5,0%5,1


 
Como existem 3 respostas possíveis, letras C, D e E, teremos que 
calcular também o Risco. 
Para o cálculo do Risco, usaremos a tabela abaixo que facilita muito 
as contas: 
Cenário Probabilidade Retorno X XX i   
2
XX i    ii PXX 
2
 
1 0,15 -10% 4% -14% 1,96% 0,2940% 
2 0,25 -2% 4% -6% 0,36% 0,0900% 
3 0,30 5% 4% 1% 0,01% 0,0030% 
4 0,30 15% 4% 11% 1,21% 0,3630% 
Total 0,7500% 
 
Sendo o Risco =  


n
i
ii PXX
1
2
, temos: 
Risco = %6603,8%75,0 
 
 
Com isso, matamos a questão e o gabarito é a letra E! 
 
05. (ESAF – BACEN 2001) 
Um investidor com aversão a risco 
a) jamais aceita fazer aplicações com risco. 
b) faz aplicações com risco somente se o retorno esperado for superior à 
taxa de juros livre de risco. 
c) prefere fazer aplicações nas quais a taxa de retorno é garantida. 
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d) só faz aplicações com risco quando o retorno esperado é pelo menos 
igual ao prêmio por risco exigido. 
e) não sabe medir riscos e faz qualquer tipo de aplicação. 
 
Comentários: 
 
Já vimos que o investidor que possui aversão ao risco exige mais 
retorno para assumir mais risco. Vamos analisar as proposições: 
a) O investidor aceita fazer aplicações com risco, contanto que tais 
aplicações tenham retorno suficiente para cobrir esse risco. 
Portanto, incorreta! 
b) Parece coerente a alternativa! Realmente, o investidor avesso ao 
risco, além de exigir um retorno maior quanto maior for o risco 
assumido, também exige que esse retorno seja sempre acima da 
taxa de juros livre de risco. Sendo assim, essa assertiva é correta! 
c) Também não se trata disso! O investidor avesso ao risco não tem 
preferência por investimentos de menor risco, é bom que isso 
fique bem claro! A palavra “avesso” pode ser sugestiva, mas 
entendam que não é por aí. O mais importante conceito que vocês 
precisam ter em mente é que o investidor avesso ao risco exige 
que o retorno cubra o risco percebido por ele. Se há um risco alto, 
que o investimento dê um retorno alto também! Nada impede que 
o investidor avesso ao risco prefira um investimento de maior 
risco, caso ele ache que o retorno é bem atraente. Portanto, 
afirmativa incorreta! 
d) Essa assertiva também parece ser correta! O investidor avesso ao 
risco exige mais retorno para assumir mais risco. E esse retorno 
deverá ser suficiente para cobrir o risco percebido por ele. Aí é 
que vem o conceito de prêmio pelo risco, que é exatamente o 
retorno acima da taxa livre de risco que o investidor exige para 
assumir o risco do investimento. Vamos detalhar mais esse 
conceito de prêmio pelo risco na terceira aula. 
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e) Essa é totalmente absurda! Nem merece comentários! Rsrs! 
Como podemos ver, temos 2 opções de resposta para essa questão, 
a letra B e a letra D. É isso mesmo, pessoal! A questão foi anulada pela 
banca! Mas valeu a pena trazermos essa questão, pois pudermos analisar 
como o assunto pode ser cobrado pela banca. 
 
06. (ESAF – STN 2005) 
O coeficiente de correlação entre as séries de retornos de duas ações 
deve ser calculado 
a) subtraindo-se a média da primeira série de retornos da média da 
segunda série de retornos. 
b) dividindo-se a covariância entre os retornos das duas ações pela 
variância dos retornos do índicede mercado de ações. 
c) estimando-se o coeficiente de determinação da regressão linear entre 
as séries de retornos das duas ações. 
d) dividindo-se a covariância entre os retornos das duas ações pelo 
número de observações nas duas séries. 
e) dividindo-se covariância entre os retornos das duas ações pelo produto 
entre os desvios-padrão de cada uma das séries. 
 
Comentários: 
Pessoal, questão dada! Quem sabe a fórmula da correlação, vista na 
parte de Base Estatística do nosso curso, mata essa com os pés nas 
costas! 
 
Vamos recapitular a fórmula da correlação: 
 
Correlação entre as variáveis A e B ( BACORR , ) = 
BA
BACOV
 
,
; 
:,BACOV Covariância entre A e B; 
:A Desvio-Padrão da variável A; 
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:B Desvio-Padrão da variável B. 
 
Ficou fácil, não ficou? Vejam o que diz a alternativa E: 
 
“e) dividindo-se covariância entre os retornos das duas ações pelo 
produto entre os desvios-padrão de cada uma das séries.” 
 
Gabarito da questão letra E! 
 
07. (VUNESP - BACEN 1998) 
No diagrama abaixo Risco x Retorno a seguir, temos 5 ativos de risco: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, para um investidor racional, 
a) A é preferível a B, pois ambos têm o mesmo retorno e o risco de A 
é maior. 
b) D é preferível a E. 
c) E é preferível a C, pois tem maior retorno e menor risco. 
d) C e A são equivalentes, pois ambos têm o mesmo coeficiente de 
variação. 
e) A é preferível a todos os outros, pois no gráfico é o que se situa 
mais longe da origem. 
 
 
 
12% 
9% 
6% 
Retorno 
Risco 
E 
C 
B 
D 
A 
6% 4% 9% 
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Comentários: 
 
O investidor racional nada mais é do que um investidor avesso ao 
risco. Ou seja, ele vai exigir que se aumente o retorno, caso o risco seja 
elevado. Nesta questão, nós temos um gráfico com 5 possibilidades de 
investimento. Cada uma delas tem um risco (eixo X) e um retorno (eixo 
Y) associado. Precisamos descobrir qual a alternativa é correta levando-se 
em conta que o investidor é racional. Já estudamos na parte de Base 
Estatística que, caso se tenha investimentos com diferentes retornos e 
riscos associados, uma maneira de compará-los seria usar o Coeficiente 
de Variação (CV). O CV é o resultado da divisão do desvio-padrão (risco) 
pela média (retorno). Ele nos mostra o quanto de risco há associado à 
cada unidade de retorno. Portanto, sugiro que calculemos o coeficiente de 
variação de cada um dos investimentos para que possamos, com esses 
dados em mãos, julgar as alternativas da questão. 
 
75,0
%12
%9
Re

A
A
A
torno
CV

 
50,0
%12
%6
Re

B
B
B
torno
CV

 
00,1
%6
%6
Re

C
C
C
torno
CV

 
 
50,1
%6
%9
Re

D
D
D
torno
CV

 
 
 
Portanto, os melhores investimentos são aqueles que possuem os 
menores coeficientes de variação, ou seja, a menor relação risco x 
retorno. São eles: 
 
1ºE, 2ºB, 3ºA, 4ºC e 5ºD 
 
44,0
%9
%4
Re

E
E
E
torno
CV

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Com esses dados em mãos, vamos comentar as afirmativas: 
 
a) Já vimos que B é preferível a A. Logo, incorreta! 
b) Já vimos que E é a melhor opção para o investidor. Também 
incorreta! 
c) Está corretíssima! Esse é o gabarito da questão! 
d) Já vimos que os coeficientes de variação de C e A são diferentes. 
Incorreta! 
e) Já vimos que E é preferível a todos os outros, e não A. Icorreta! 
 
08. (ESAF – INSS 2002) 
No caso de encontrar alternativas de investimento com retornos 
esperados iguais, supõe-se que a escolha a ser feita por um investidor 
com aversão a risco consistirá em optar pela alternativa que apresente: 
a) risco igual a zero. 
b) variância mínima. 
c) desvio-padrão menor que o retorno esperado. 
d) probabilidade nula de retornos negativos. 
e) retornos positivos mais prováveis do que 
retornos negativos. 
 
Comentários: 
A questão fala em alternativas de investimento com retornos esperados 
iguais. Se os retornos esperados forem iguais, o que diferenciará os 
investimentos? Será exatamente o risco. E o investidor com aversão ao 
risco prefere mais ou menos risco para um mesmo retorno? Obviamente 
que menos, dado que isso melhorará a sua relação risco x retorno, a 
tornará mais vantajosa! Sabendo que o risco é medido através do desvio-
padrão dos retornos e que a variância é o quadrado do desvio-padrão, se 
o desvio-padrão for menor, a variância também será menor, ambos são 
diretamente proporcionais. Logo, o gabarito da questão é a letra B. Para 
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um mesmo retorno, o investidor preferirá o investimento com menor 
risco, menor desvio-padrão ou menor variância, tanto faz! 
 
Vamos tratar agora de uma outra parte da matéria. 
 
6. Escolha Ótima 
 
O processo de escolha do investidor passa por muitas questões. 
Primeiramente, iremos tratar do processo de escolha do investidor 
desconsiderando o aspecto risco. Iremos demonstrar como se constrói o 
conjunto de oportunidades do investidor e como se encontra o equilíbrio 
do investidor através de suas curvas de indiferença. Posteriormente, 
introduziremos a questão do risco na escolha do investidor, juntamente 
com a idéia de utilidade. 
 
Nos próximos tópicos, iremos abordar esses assuntos com maior 
profundidade. Porém, a título de introdução, podemos adiantar que o 
equilíbrio do investidor se encontra no ponto onde se maximiza a 
satisfação do investidor dentro do conjunto de possibilidades que ele tem. 
Já as preferências com relação ao risco passam pelas questões de 
aversão, neutralidade ou tendência ao risco, já vistas anteriormente. A 
teoria da utilidade explica que cada investidor possui valores e crenças 
diferentes e, por isso, tomam decisões diferentes em relação aos 
investimentos. O que tem valor pra um investidor, pode não significar 
muito para outro. As curvas de utilidade são uma maneira de representar 
matematicamente as preferências de cada investidor. 
 
 
 
 
 
 
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6.1 Escolha sem risco 
 
Curva de Oportunidades do Investidor 
 
Começaremos nossa análise pela teoria da escolha do investidor sem 
levar em conta o aspecto risco. Para entendermos como ocorre a escolha 
do investidor, temos que usar algumas simplificações. A primeira delas se 
refere ao tempo. Iremos supor que as opções de escolha devem se situar 
no Ano 1 ou no Ano 2. Outra simplificação a ser feita é em relação à taxa 
de juros. Iremos supor que existe apenas uma taxa de juros no mercado 
e ela serve tanto para aplicações como para a tomada de empréstimos. 
 
Suponhamos então que um investidor tenha renda de 100.000 por 
ano. Caso este mesmo investidor queira pegar um empréstimo, será 
cobrada uma taxa de 5% ao ano. Da mesma maneira, caso o investidor 
queira fazer poupança, aplicando seus recursos excedentes, ele poderá 
obter um rendimento de 5% ao ano. Diante desses dados, somos capazes 
de construir a curva de possibilidades do investidor. 
 
Pensando nas situações extremas, podemos dizer que o investidor 
poderia consumir tudo oque pudesse dentro do Ano 1. Para isso, ele 
deveria consumir os 100.000 recebidos no Ano 1 e, além disso, obter 
empréstimos no mercado de forma que possa pagá-los no Ano 2 com os 
100.000 que irá receber no segundo período. Sabe-se que a taxa de juros 
para empréstimos é de 5% ao ano, como já mencionamos anteriormente. 
Podemos, então, calcular o consumo do investidor no Ano 1, dado que ele 
irá consumir tudo o que puder neste ano e não consumirá no Ano 2. 
 
238.195238.95000.100
05,01
0000.100
000.100
1
22
11 






i
CR
RC ; 
1C : Consumo no Ano 1; 
2C : Consumo no Ano 2; 
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1R : Renda no Ano 1; 
2R : Renda no Ano 2. 
 
Pela equação, vemos que o consumo no ano 1 sempre será igual à 
renda do ano 1 somada ao que sobrar (faltar) de renda no ano 2 trazida a 
valor presente. 
 
Como, na situação descrita acima, não há consumo no período 2, 
apenas no período 1, o consumo do período 1 fica sendo igual à renda do 
período 1 + a renda do período 2 trazida a valor presente pela taxa de 
juros do empréstimo. 
 
Caso façamos o exercício de alocar todo o consumo para o período 2, 
teríamos o consumo do período 1 sendo igual a zero e a renda do período 
1 sendo investida de forma a render 5% para o período 2. Usando a 
mesma fórmula apresentada acima, podemos calcular o consumo do 
período 2, basta rearrumarmos a equação de forma a isolar o consumo no 
período 2. 
 
   
       ;11
1
11
11221122
112211
2222
11
CRiRCRCiRC
RCiCRRC
i
CR
i
CR
RC








 
 
Aplicando a formulação encontrada acima à situação de consumo 
apenas no período 2, temos: 
 
       
;000.205
0000.10005,01000.1001
2
21122


C
CCRiRC
 
 
Encontramos então o consumo para as situações extremas, onde, ou 
consome-se tudo no período 1 ou tudo no período 2. Plotando essas 
situações em um gráfico, temos o seguinte: 
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Através dos pontos A e C, obtidos anteriormente, conseguimos traçar 
o conjunto de oportunidades do investidor. O ponto B, que descreve a 
situação onde se consome exatamente a renda recebida em ambos os 
períodos, também aparece na reta traçada. Interpretando o gráfico 
acima, podemos concluir que o investidor possui um conjunto de 
oportunidades e que este conjunto é definido por sua renda nos períodos 
1 e 2, bem como pela taxa de juros de investimento e empréstimo. Mas, 
na realidade, como decidirá o investidor se situar ao longo da reta AC? 
Essa resposta iremos construir agora, através do entendimento sobre 
curvas de indiferença. 
 
Curvas de Indiferença 
 
As chamadas curvas de indiferença descrevem um conjunto de 
opções igualmente atraentes ao investidor. Ou seja, o investidor não vê 
diferença alguma em escolher qualquer um dos pontos sobre uma mesma 
curva de indiferença. Através do gráfico abaixo, poderemos entender 
melhor este conceito e fazer algumas análises. 
 
205.000 
195.238 Consumo Período 1 
Consumo Período 2 
100.000 
100.000 
Conjunto de Oportunidades do 
Investidor 
A 
B 
C 
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Reparem na curva de indiferença I1, os pontos A, B e C são opções 
do investidor onde o consumo nos períodos 1 e 2 se modificam. No 
entanto, como estão sobre a mesma curva de indiferença, o investidor 
será indiferente quanto a estas 3 opções. 
Entendido o conceito básico de curvas de indiferença, vamos falar 
sobre a preferência do investidor em relação a um conjunto de curvas de 
indiferença. Vejam no gráfico que temos 3 curvas de indiferença, a I1, I2 
e I3. Pois bem, como saber qual delas é a preferida do investidor? Basta 
pensarmos que o investidor sempre vai decidir consumir mais a menos. 
Suponha que o investidor decida consumir um valor fixo no período 1, 
sendo este valor apontado no gráfico com a letra O. Se observarmos a 
reta OM, cortando as 3 curvas de indiferença, fica claro que ao se estar 
na curva de indiferença I1, se consome mais no período 2 do que 
estando-se em I2 e em I3. Logo, podemos dizer que o investidor prefere 
I1 a I2 e I2 a I3, bem como I1 a I3. Chega-se a conclusão que o 
investidor prefere sempre a curva de indiferença mais distante da origem. 
É muito importante que este conceito fique guardado! 
Consumo no período 2 
Consumo no período 1 
 
 
 
O 
M 
 
 
 
A 
B 
C 
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Agora vocês devem estar se perguntando: Por que as curvas de 
indiferença são convexas em relação à origem? Isso é simples! Ao se 
situar em um ponto de uma curva de indiferença onde se consome muito 
no período 1, obviamente que estará se consumindo pouco no período 2. 
Com isso, o consumo do período 2 fica sendo mais escasso. Ao contrário, 
o consumo do período 1 está abundante. É de se esperar que o investidor 
estaria disposto a abrir mão de uma boa quantidade de consumo no 
período 1 para consumir um pouquinho a mais no período 2, concordam? 
Essa é uma lógica importante! O mesmo raciocínio valeria para uma 
situação de escassez no período 1 e abundância em 2. Veja que, para que 
este raciocínio seja válido, a curva de indiferença deverá ser convexa em 
relação à origem. Observe que as variações e , bem como e , 
descrevem no gráfico as situações que expressamos acima. 
Bom, entendemos bem a curva de possibilidades do investidor, bem 
como o conceito de curva de indiferença. Basta agora agruparmos as 
duas coisas e chegarmos ao equilíbrio do investidor ou solução ótima! 
 
Equilíbrio do Investidor (Solução Ótima) 
 
O equilíbrio do investidor acontece no ponto em que a curva de 
indiferença mais distante possível da origem tangencia a curva de 
possibilidades do investidor. Vamos visualizar isso graficamente! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consumo no período 2 
Consumo no período 1 
Curva de possibilidades do investidor 
C1 
C2 
 
 
 
Escolha Ótima 
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Veja que o investidor irá procurar a curva de indiferença mais 
distante da origem possível. A curva de indiferença mais distante da 
origem é a I1, porém, ela não toca a curva de possibilidades do 
investidor, logo não é possível atingi-la. A curva de indiferença mais 
afastada e que toca a curva de possibilidades do investidor é I2. A escolha 
ótima se situa no ponto de tangência entre as duas curvas, coordenadas 
(C2, C1) do gráfico. 
Agora, vamos lembrar que a curva de possibilidades do investidor é 
construída em função da renda nos períodos 1 e 2 e da taxa de juros de 
empréstimo e aplicação. Para simplificar o problema, consideramos que 
essas taxas seriam iguais. Recapitulando a fórmula que define o consumo 
no período 2 em relação ao consumo no período 1 e as taxa de 
empréstimo e aplicação, iremos mostrar o que acontece com o equilíbrio 
do investidor caso a taxa de juros se altere. 
 
   1122 1 CRiRC  
 
Pela fórmula, fica claro que o termo 1+i representa a inclinação da 
reta que define acurva de possibilidades do investidor. Como o termo “i” 
representa a taxa de juros de aplicação ou empréstimo, caso esta taxa 
seja alterada, o termo 1+i também sofrerá alteração, modificando assim 
a inclinação da curva de possibilidades do investidor. 
 
Suponhamos que a taxa “i” suba, vamos observar no gráfico como 
isso alteraria o equilíbrio do investidor. 
 
 
 
 
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Vejam que a curva de possibilidades do investidor girou no sentido 
horário, passando da curva preta para a azul. O novo ponto de equilíbrio 
mostra um consumo maior no período 2 e menor no período 1. Isso é 
bem razoável, dado que houve um aumento na taxa de juros. Se a taxa 
de juros aumentou, o investidor se sente mais atraído a aplicar seus 
recursos do que a pegar emprestado. E como ele tem que decidir apenas 
sobres os períodos 1 e 2, ele prefere aplicar mais recursos recebidos em 1 
para consumir mais em 2. 
 
6.2 Análise da Utilidade (escolha com risco) 
 
No tópico anterior, sobre Escolha sem Risco, mostramos que o 
equilíbrio do investidor ocorre no ponto onde a curva de indiferença mais 
afastada possível da origem tangencia a curva de possibilidades do 
investidor. Essa foi uma conclusão muito importante. Agora, iremos 
estudar mais a fundo sobre as curvas de indiferença, que também são 
conhecidas como Função Utilidade do Investidor. 
C2’ 
C1’ 
Consumo no período 2 
Consumo no período 1 
Curva de possibilidades do investidor 
C1 
C2 
Escolha Ótima 
 
 
 
Escolha Ótima (após aumento da taxa de juros) 
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A Função Utilidade, também chamada de função de preferências do 
investidor, se aplica tanto ao caso estudado no item passado (Escolha 
sem Risco), como no caso onde existe o fator risco envolvido. Um 
exemplo poderia ser a escolha de ativos e suas quantidades para se 
formar uma carteira que agrade ao investidor. Estudaremos Teoria de 
Carteiras na próxima aula, mas podemos adiantar que uma carteira de 
ativos nada mais é do que um conjunto de ativos. 
 
Normalmente, a Função Utilidade do Investidor é uma equação que 
explica qual é a Utilidade do Investidor – U(W) - em função da Riqueza 
(W) gerada por uma decisão. A Utilidade pode ser entendida como o grau 
de satisfação do investidor. As Funções de Utilidade têm o formato 
abaixo: 
 
)()( WvbAWU  ; 
 
Porém, o termo que importará mesmo para a escolha do investidor é 
o )(Wv . Os valores de A e b não influenciarão em nada. 
 
A escolha do investidor é feita baseando-se no Valor Esperado da 
Utilidade. Esse valor é calculado multiplicando-se as Utilidades possíveis 
por suas respectivas probabilidades de ocorrência, conforme abaixo: 
 
  )()()( WPWUUE 
onde, 
)(UE : valor esperado da Utilidade; 
)(WU : utilidade de cada um dos resultados possíveis para uma 
decisão do investidor; 
)(WP : probabilidade de ocorrência de cada um dos resultados 
possíveis para uma decisão do investidor. 
 
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Vamos a um exemplo: 
 
Suponhamos que a Função Utilidade do Investidor seja: 
2)10/1(4)( WWWU  
 
Suponhamos também que o investidor tenha 3 possibilidades de 
investimento, cada uma com alguns resultados (W) possíveis em termos 
de riqueza gerada e suas respectivas probabilidades de ocorrência. 
Investimento A Investimento B Investimento B 
Resultado 
(W) Probabilidade 
Resultado 
(W) Probabilidade 
Resultado 
(W) Probabilidade 
20 3/15 19 1/5 18 1/4 
18 5/15 10 2/5 16 1/4 
14 4/15 5 2/5 12 1/4 
10 2/15 8 1/4 
6 1/15 
 
Vamos calcular as utilidades possíveis para o investimento A: 
2)10/1(4)( WWWU  
;4020)10/1(204)20( 2 U 
;6,3918)10/1(184)18( 2 U 
;4,3614)10/1(144)14( 2 U 
;3010)10/1(104)10( 2 U 
4,206)10/1(64)6( 2 U . 
 
Fazendo o mesmo exercício para os investimentos B e C, formamos a 
tabela abaixo: 
 
 
 
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Investimento A Investimento B Investimento B 
Resultado Utilidade Probabilidade Resultado Utilidade Probabilidade Resultado Utilidade Probabilidade 
20 40,0 3/15 19 39,9 1/5 18 39,6 1/4 
18 39,6 5/15 10 30,0 2/5 16 38,4 1/4 
14 36,4 4/15 5 17,5 2/5 12 33,6 1/4 
10 30,0 2/15 8 25,6 1/4 
6 20,4 1/15 
 
Desta forma, podemos calcular o Valor Esperado da Utilidade para 
cada investimento, mostrando qual seria escolhido pelo investidor. 
 
  )()()( WPWUUE 
3,36
15
1
4,20
15
2
30
15
4
4,36
15
5
6,39
15
3
40)( AUE ; 
0,27
5
2
5,17
5
2
30
5
1
9,39)( BUE ; 
3,34
4
1
6,25
4
1
6,33
4
1
4,38
4
1
6,39)( CUE . 
 
Pelo Valor Esperado da Utilidade de cada uma das opções de 
investimento, o investidor escolheria o investimento A. Essa é a lógica no 
processo de escolha do investidor. 
 
Recapitulando, o investidor possui uma Função de Utilidade. Essa 
Função de Utilidade permite a ele julgar cada resultado possível que um 
investimento pode dar. A Função Utilidade é uma função do resultado 
financeiro do investimento (W). Para fazer a sua escolha final, o 
investidor pondera todos os resultados possíveis de cada uma das opções 
de investimento calculando o Valor Esperado da Utilidade para cada um 
dos investimentos. 
 
Vamos agora comentar sobre as propriedades econômicas da Função 
Utilidade. 
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Primeiramente, podemos dizer que a Função Utilidade sempre cresce 
com o aumento da riqueza. Isso é meio que intuitivo, quando a riqueza 
do investidor aumenta, também aumenta a sua Utilidade ou a sua 
satisfação. Ninguém ficaria menos satisfeito com sua riqueza sendo 
aumentada, concordam? Isso implica dizer que a primeira derivada da 
Função Utilidade será sempre positiva, ou seja: 
 
0)(' WU , sempre, para qualquer valor de W. 
 
Não vamos adentrar aqui no que é derivada de uma função e nem 
em como se calcula uma derivada. Só esse assunto iria requerer um curso 
inteiro. O que faremos aqui é, caso haja questões de concurso que exijam 
este cálculo, o mostraremos detalhadamente. 
 
Já vimos que o investidor será avesso, neutro ou tendente ao risco. 
Podemos chamar de tendente ou propenso a risco. Podemos também 
dizer que o investidor possui gosto por risco. São formas diferentes de 
dizer a mesma coisa. Para cada uma destas 3 situações, existem 
considerações a serem feitas sobre a segunda derivada da Função 
Utilidade. Temos 3 opções possíveis em relação ao valor da segunda 
derivada de U(W): caso esta seja menor do que zero, o investidor será 
avesso ao risco. Caso seja igual a zero, o investidor será neutro com 
relação ao risco. E caso seja maior do que zero, o investidor será 
tendente ou propenso ao risco. O quadro abaixo resume bem as 3 
possibilidades: 
 
Condição Implicação 
1. Avesso ao risco U’’(W)<0 
2. Neutro ao risco U’’(W)=0 
3. Tendente ao risco U’’(W)>0 
 
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