CAPÍTULO 6

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CAPÍTULO 6 - ESCOAMENTO INTERNO 
 
 Quando um fluido entra em contato com a parede de um duto, os efeitos viscosos tornam-se 
importantes e ocorre o desenvolvimento da camada limite. Após atingir a região central do duto os 
efeitos viscosos se estendem por toda a seção reta do tubo e o perfil de velocidade não é mais alterado. 
A distância entre a entrada do duto e o ponto em que esta condição é atingida é denominada de 
comprimento de entrada fluidodinâmico. 
 
 
Fig. 1 - Desenvolvimento da camada limite fluidodinâmica no escoamento laminar em um duto 
circular 
 
 
 
Fig. 2 - Escoamento laminar de água na região de entrada de um duto circular 
 
 
O regime de escoamento depende da relação entre as forças inerciais e as forças viscosas do 
fluido. Essa relação é expressa matematicamente pelo número de Reynolds 
 
Re
vD vD
 
= = (6.1) 
 
 Para tubos não-circulares, o número de Reynolds é escrito em termos do diâmetro hidráulico 
(veja Apêndice A). Na condição de escoamento completamente desenvolvido no interior de um duto 
circular tem-se: 
 
Regime laminar Re 2100 
Regime de transição 2100 < Re< 2300 
Regime turbulento Re 2300 
 
ESCOAMENTO LAMINAR: as moléculas se deslocam sem que haja a mistura entre as camadas de 
fluidos. 
 
ESCOAMENTO TURBULENTO: as moléculas se deslocam em turbilhões, tem-se a transmissão de 
quantidade de movimento em muitos sentidos em virtude dos choques entre as moléculas (movimento 
das moléculas de fluido entre as camadas adjacentes). 
 
 
 
Escoamento LAMINAR 
 
Escoamento TURBULENTO 
 
Fig. 3 - O experimento de Reynolds demonstrando os regimes de escoamento: laminar, de transição e 
turbulento 
 
 Para o escoamento laminar, o comprimento de entrada hidrodinâmico pode ser obtido a partir da 
seguinte expressão: 
0,06Ree
L
D
 (6.2) 
 
Para o escoamento turbulento, o comprimento de entrada hidrodinâmico é aproximado pela 
expressão: 
 
1
64, 4 Ree
L
D
 (6.3) 
 
6.1 Análise do Escoamento Laminar no Interior de Dutos Circulares 
 
Para realizar a análise do escoamento laminar, vamos considerar um volume de controle conforme 
ilustra a figura, que representa uma seção de um escoamento laminar em regime permanente e com perfil 
de velocidade completamente desenvolvido. 
 
 
Fig. 4 - Volume de controle para análise do escoamento laminar completamente desenvolvido no 
interior de um duto circular 
 
Aplicando-se a 2ª lei de Newton (ou seja, fazendo um balanço de forças): 
 
2 2 2 0
2 2
rx
P dx P dx
P r P r rdx
x x
   
    
− − + − =       
 
 
2 2rxP r rdx  − = (6.4) 
Reescrevendo: 
2 2P r rL   = − 
 
2
2 2
r P r P
rL L



 
= − = − (6.5) 
 
Para encontrarmos a distribuição de velocidade, vamos substituir a relação para a tensão de 
cisalhamento, considerando um fluido newtoniano: 
 
dr
du
−= 
 Assim: 
L2
Pr
dr
du 
= (6.6) 
 
que integrando fornece: 
 

=
r
0
u
u
rdr
L2
P
du
max
 
 
2
r
L2
P
uu
2
max


+= (6.7) 
 
As condições de contorno deste problema são: 
 
max0
0
r u u
r R u
= =
= =
 
(6.8 )
(6.8 )
a
b
 
 
Aplicando-se (6.8b) em (6.7): 
 
L4
RP
u
2
max


−= (6.9) 
Substituindo agora (6.9) em (6.7): 
 
22 r
L4
P
R
L4
P
u


+


−= 
 
 22 Rr
L4
P
u −


= (6.10) 
ou 






−=
2
2
max
R
r
1uu (6.11) 
 
 A velocidade média é obtida através da seguinte expressão: 
 
=
Área
b dAu
Área
1
u (6.12) 
Portanto: 
2π R
2 2
b 2
0 0
1 ΔP
u = r -R rdrdθ
πR 4μL
 
   


−=
8
R
L
P
u
2
b 
2
u
u maxb = (6.13) 
 
Ex. (6.1) Um tubo com 13 mm de diâmetro fornece água a 18,93 L/min. Qual o comprimento da região 
de entrada desse tubo? 
Ex. (6.2) Prove que 


−=
8
R
L
P
u
2
b 
 
6.2 Queda de Pressão e Perda de Carga 
 
Vamos analisar agora o escoamento no interior de uma canalização circular de diâmetro 
constante com o objetivo de determinar a queda de pressão e a perda de carga no interior do duto. No 
desenvolvimento do perfil de velocidade, a equação (6.9) nos fornece: 
 
2
max
R
Lu4
P

=− 
 
Substituindo-se nessa relação a expressão (6.13), obtemos: 
 
b b
2 2
8μLu 32μLu
ΔP= =
R D
 (6.14) 
 
Esta é a equação de Hagen-Poiseuille, que fornece a queda de pressão para o escoamento 
permanente em regime laminar de um fluido newtoniano no interior de um duto circular na horizontal. 
Podemos explicitar (6.14) em termos da velocidade e da vazão volumétrica: 
 
2
b
PD
u =
32μL

 (6.15) 
 
2 2 4
b
PD πD PπD
V = u .A = 
32μL 4 128μL
 
 = (6.16) 
 
As equações (6.15) e (6.16) podem ser expressas em termos do ângulo de inclinação do tubo 
como: 
2
b
( P- gLsin )D
u =
32μL
 
 (6.17) 
 
4( P- gLsin )πD
V = 
128μL
 
 (6.18) 
 
Ex. (6.3) Óleo (ρ = 888 kg/m³; µ = 0,8 kg/m.s) escoa estacionariamente através de um tubo de 5 cm de 
diâmetro e 40 m de comprimento. As pressões na entrada e na saída do tubo são de 745 kPa e 97 kPa, 
respectivamente. Determine a vazão de óleo através do tubo supondo que o tubo seja: 
a) Horizontal 
b) Inclinado 15º para cima 
c) Inclinado 15º para baixo 
 
Ex. (6.4) Um óleo (µ = 0,4 N.s/m²; SG = 0,9) escoa num tubo com diâmetro de 20 mm 
a) Qual é a queda de pressão necessária para produzir uma vazão de 2 × 10-5 m³/s se o tubo for 
horizontal com 10 m de comprimento? 
b) Qual deve ser a inclinação do tubo para que o óleo escoe com a mesma vazão da letra a), porém 
com ∆P = 0? 
 
Em aplicações na engenharia é usual exprimir o gradiente de pressão em termos do fator de atrito 
de Darcy – Weisbach conforme a expressão: 
 
2
bρuLΔP = f
D 2
 (6.19) 
 
 Pode-se escrever a perda de carga também em função do fator de atrito, de modo que a equação 
resultante pode ser aplicada para todos os regimes de escoamento. 
 
2
buLh = f
D 2g
L (6.20) 
 
 O fator de atrito é definido em função do número de Reynolds. Para escoamento laminar, 
calculamos f como: 
64
f =
Re
 (6.21) 
 
Para o regime turbulento a literatura apresenta diversas correlações para determinar o fator de 
atrito em função do número de Reynolds e da rugosidade relativa ( )
D
 da tubulação, onde a expressão 
mais utilizada é a de Colebrook (1938). 
 
1 2,51
2,0log
3,7 Re
D
f f
 
 = − +
 
 
 (6.22) 
 
A solução desta requer a aplicação de um processo iterativo de solução, de modo que Miller 
(1996) sugere que uma simples iteração irá produzir um resultado dentro de 1% de erro, se o valor inicial 
for estimado a partir da seguinte correlação: 
 
2
00,9
5,74
0,25 log
3,7 Re
Df

−
  
  = +
  
  
 (6.23) 
 
Para escoamento turbulento em tubos lisos, o cálculo de f pode ser feito através da correlação de 
Blasius, válida para Re  105: 
0,25
0,316
Re
f = (6.24) 
 
Podemos fazer algumas simplificações na equação de Colebrook. Para tubos lisos (ε = 0), temos 
a equação de Prandtl: 
8,0Reln86,0
1
−= f
f
 (6.25) 
 
Para zona completamente rugosa (Re → ∞), a equação de Colebrook se reduz a equação de von 
Kárman: 







 
−=
7,3
Dln86,0
1
f
 (6.26) 
Uma alternativa que evita qualquer processo iterativo de tentativa e erro foi apresentada por 
Swamee e Jain (1976) para o escoamento em um tubo. 
 
2
0,92
5
1,07 ln 4,62
3,7
L
Q L D
h
gD D Q
 
−
    
= +   
     
 
26 10
D
10 −−  (6.27) 
3000 < Re < 3x108 
0,50,5
5 2
3
3,17
0,965 ln
3,7
L
L
gD h L
Q
L D gD h
    
 = − +   
     
 Re >2000 (6.28) 
0,04
4,75 5,2
2
1,25 9,40,66
L L
LQ L
D Q
gh gh
 
    
 = +   
     
 
26 10
D
10 −−  (6.29) 
5000 < Re < 3x108 
 
 
 Além dos métodos equacionais, também podemos encontrar o fator de atrito por meio de uma 
análise gráfica. Em 1942, o engenheiro norte-americano Hunter Rouse confirmou a equação de 
Colebrook e produziu um gráfico de f como função de Re e de Re f . Dois anos mais tarde, Lewis 
Moody recriou o diagrama de Rouse na forma que é usado hoje. O diagrama de Moody apresenta o 
fator de atrito de Darcy – Weisbach para o escoamento em um tubo como uma função de Re e de 
D
 
em um amplo intervalo. 
 
Ex. (6.5) Calcule a perda de carga e a queda de pressão em 61 m de um tubo horizontal de ferro fundido 
asfaltado de 152 mm de diâmetro transportando água com uma velocidade média de 1,83 m/s. Considere 
µ = 0,001 kg/m.s. 
 
Ex. (6.6) Água escoa estacionariamente em um tubo com 0,2 cm de diâmetro e 15 m de comprimento a 
uma velocidade média de 1,2 m/s. Dado: µ = 1,307 × 10-3 kg/m.s. Determine: 
a) a queda de pressão 
b) a perda de carga 
c) a potência de bombeamento necessária para superar essa queda de pressão 
 
Ex. (6.7) Água escoa em regime permanente em um tubo horizontal com 4 cm de diâmetro e 30 m de 
comprimento feito de aço inoxidável a uma taxa de 8 L/s. Dado: µ = 1,138 × 10-3 kg/m.s. Determine: 
a) a queda de pressão 
b) a perda de carga 
c) a potência de bombeamento necessária para superar essa queda de pressão 
 
 
6.3 Perdas Localizadas 
 
 O escoamento em uma tubulação pode exigir a passagem do fluido através de uma variedade de 
acessórios, curvas ou mudanças súbitas de áreas. Essas perdas de carga localizadas podem ser 
determinadas por: 
2
b
L
u
h =K
2g
 (6.30) 
onde o coeficiente de perda K deve ser determinado experimentalmente para cada situação. 
Podemos escrever a perda de carga localizada em termos de um comprimento equivalente: 
 
2 2
b b
L
u uL
h = K = f
2g D 2g
 
 
eq
L D
K = f L = K
D f
→ (6.31) 
 
 Podemos calcular a perda de carga total em um escoamento através da expressão: 
 
2
b
LTotal
uL
h = f + K
D 2g
 
 
 
 (6.32) 
 
Ex. (6.8) Um tubo horizontal tem seu diâmetro expandido gradualmente de 6 para 9 cm. As paredes da 
seção de expansão têm ângulo de 10º em relação ao eixo. A velocidade média e a pressão da água antes 
da seção de expansão são de 7 m/s e 150 kPa. Determine a perda de carga na seção de expansão e a 
pressão após a expansão. 
 
Ex. (6.9) Água escoa através de um reservatório grande para um menor através de um sistema de tubos 
de ferro fundido de 5 cm de diâmetro. Determine a elevação z1 para que o sistema tenha uma vazão de 
6 L/s. Dado: µ = 1,307 × 10-3 kg/m.s. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APÊNDICE A – DIÂMETRO HIDRÁULICO 
 
 Para escoamentos que ocorrem em tubos não-circulares, o número de Reynolds, bem como 
qualquer outro número adimensional que dependa do diâmetro, precisa ser escrito em termos de um 
diâmetro hidráulico Dh, o qual é definido como: 
 
4 C
h
A
D
p
= 
 
onde Ac é a área de seção transversal do tubo e p é seu perímetro molhado (o perímetro que está em 
contato com o fluido). Esta expressão foi desenvolvida para que o valor do diâmetro hidráulico de um 
círculo seja o seu próprio diâmetro. 
Alguns exemplos de valores do diâmetro hidráulico são mostrados na figura a seguir.