Avaliando o Aprendizado - Matemática Discreta V-619

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4. FATOR DE ATUALIZAÇÃO 
 O fator de atualização (f) é a razão entre dois valores de 
uma grandeza em tempos diferentes (passado, presente, futuro). 
O fator de atualização é a ferramenta mais indicada para quem 
quer trabalhar com Matemática 
Financeira, seja na preparação 
para os vestibulares, concursos 
públicos ou até mesmo na vida 
cotidiana. 
 Na divisão entre dois valores quaisquer, só existem três 
resultados possíveis. Ou resulta 1, ou maior que 1, ou menor que 
1. 
 
4.1. FATOR NEUTRO (f = 1) 
 Quando o resultado da divisão é igual a 1, significa que 
os dois valores são iguais, portanto, nenhum é maior ou menor 
do que o outro. Um valor é 100% do outro. Por isso diz-se 
que f = 1 é o fator neutro, ou seja, não houve variação entre o 
valor novo e o valor velho. 
 
4.2. AUMENTO (f >>>>1) 
 No caso da divisão resultar em um número maior do 
que 1, como por exemplo Vn/V0 = 1,05 poderemos entender que 
Vn é 5% maior do que V0, ou seja houve um aumento de 5% 
entre o valor velho (V0) e o valor novo (Vn). 
Se uma mercadoria de valor inicial V0 for vendida com 
um acréscimo de i%, o seu valor de venda Vn será dado por: 
 
V = V0 + i% de V0 = V0 + i . V0 ⇒ 
 
 Dizemos que i é a taxa de aumento e (1 + i) é o fator 
de atualização, ou seja, para aumentar um valor, basta 
multiplicar por (1 + i). 
Ex: Se uma mercadoria custa R$ 200,00 e vai ser aumentada em 
5% qual o seu novo valor? 
Pela regra de três: 200----100% 
 x----5% → x = 200 . 5 = 10,00 
 100 
Como R$10,00 representa 5% de R$ 200,00, o novo valor será 
R$ 200 + R$ 10,00 = 210,00. 
Calculando o aumento de uma maneira direta teremos: 
V = V0.(1 + i) = 200 . (1 + 0,05) = 200 . 1,05 = 210,00 
 
 
4.3. DESCONTO (f<<<< 1) 
 No caso da divisão resultar em um número menor do 
que 1, como por exemplo Vn/V0 = 0,90 também poderemos 
entender que Vn é 10% menor do que V0, ou seja houve um 
abatimento de 10% entre o valor velho(V0) e o valor novo(Vn). 
Se uma mercadoria de valor inicial V0 for vendida com 
um desconto de i%, o seu valor de venda V será dado por: 
 
V = V0 – i% de V0 = V0 – i . V0 ⇒ 
 
 Dizemos que i é a taxa de desconto e (1 – i) é o fator 
de atualização, ou seja, para descontar um valor, basta 
multiplicar por (1 – i). 
Ex: Se uma mercadoria custa R$ 400,00 e vai ter um abatimento 
de 10% qual o seu novo valor? 
Pela regra de três: 400----100% 
 x----10% → x = 400 . 10 = 40,00 
 100 
Como R$ 40,00 representa 10% de R$ 400,00, o novo valor será 
R$ 400 – R$ 40,00 = 360,00. 
Calculando o desconto de uma maneira direta teremos: 
V = V0.(1 – i) = 400 . (1 – 0,1) = 400 . 0,9 = 360,00 
 
5. AUMENTOS E/OU ABATIMENTOS SUCESSIVOS 
Para compor vários aumentos e/ou abatimentos, basta 
multiplicar os vários fatores individuais e assim obter o fator 
“acumulado”, que nada mais é que o fator de atualização entre o 
primeiro e o último valor considerado. 
 
 Aumentos 
 Sucessivos ⇒⇒⇒⇒ 
 
Ex: A produção de uma indústria automobilística é de 200.000 
veículos por ano. Ela planeja aumentar a produção para 5% no 
próximo ano e 10% no ano seguinte. Após esses aumentos a 
produção da fábrica será de: 
P = 200000(1+0,05)(1+0,10) 
P = 200000(1,05)(1,10) 
P = 200000 . 1,155 ⇒ P = 231.000 veículos 
 
 Abatimentos 
 Sucessivos ⇒⇒⇒⇒ 
 
Ex: Certa empresa demite 20% de seus 8000 empregados num 
determinado mês. No mês seguinte, há nova demissão de 10%. 
Qual o número de empregados restantes? Qual o percentual de 
demissões? 
E = 8000(1 – 0,2)(1 – 0,1) 
E = 8000 . 0,8 . 0,9 
E = 8000 . 0,72 ⇒ E = 5.760 empregados 
% = 1 – 0,72 = 0,28 (x 100) ⇒% = 28% 
 
Ex: Um produto teve um aumento de 15%, em seguida sofreu 
um abatimento de 10%. Qual o seu percentual acumulado de 
variação? 
f1= (1+0,15) , f2 = (1 – 0,10) 
facumulado = 1,15 . 0,9 =1,035 . 100=103,5% – 100% =3,5% 
 
6. OPERAÇÕES COM MERCADORIAS 
 Nas operações percentuais que envolvem transações 
comerciais com mercadorias, o cálculo pode ser feito sobre o 
preço de custo ou sobre o preço de venda. 
Assim, numa transação com os mesmo dados, se pode 
ter duas taxas diferentes: uma calculada sobre o preço de custo 
e outra sobre o preço de venda. 
 
OBS: Quando um problema que envolve operações 
percentuais sobre mercadorias, o enunciado não diz 
explicitamente se o cálculo foi feito sobre o custo ou sobre 
a venda, considera-se sempre o custo. 
Quatro casos podem ocorrer, veja um exemplo de cada: 
 
6.1. Lucro sobre a Compra (Valor de referência = C). 
Ex: Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 
80,00 a fim de obter um lucro de 30% sobre a compra? 
Solução: Este é caso mais simples que ocorre no cálculo de 
lucro. O valor de referência vale 100%, que no caso é o preço 
de compra. Sabe-se que o preço da venda é a soma do 
preço de compra com o lucro (V = C + L): 
C + L = V 
100% + 30% = 130% 
80--------100% L = 80 . 30 = 24,00 
L-----------30% 100 
O objeto será vendido por: V = 80 + 24 = R$ 104,00 
Cálculo direto: 
V = C + L = C + 0,3C = 1,3C = 1,3 . 80 = 104,00 
 
6.2. Prejuízo sobre a Compra (Valor de referência = C). 
Ex: Calcular o prejuízo e preço de venda de um objeto que 
comprei por R$ 600,00, tendo uma perda de 20% sobre a 
compra. 
C − P = V 
f = Valor novo(Vn) 
 Valor velho(V0) 
Vn = V0.(1 + i1) .(1 + i2)...(1 + in) 
Vn = V0.(1 + i) 
Vn = V0.(1 – i) 
Vn = V0.(1 – i1) .(1 – i2)...(1 – in)