2) Um campo de velocidade incompressível e viscoso é dado por: u = a(x 2 − y 2 ) v = desconhecida w = b = constante a) Qual é á forma da componente...

a) Como a componente v da velocidade é desconhecida, não é possível determinar sua forma apenas com as informações fornecidas. No entanto, podemos utilizar a equação de continuidade para obter uma relação entre u e v. A equação de continuidade para um escoamento incompressível é dada por: ∇ · V = 0 Substituindo as componentes de V, temos: ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 Como w é constante e não depende de x e y, sua derivada em relação a x e y é zero. Além disso, como o escoamento é incompressível, ∇ · V = ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0. Portanto, temos: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 Derivando a equação dada para u em relação a y, temos: ∂u/∂y = -2ay Substituindo na equação acima, temos: ∂v/∂y = 2ay Integrando em relação a y, temos: v = ay^2 + C Onde C é uma constante de integração. Como em y=0 a componente v da velocidade é nula, temos: 0 = a(0)^2 + C C = 0 Portanto, a forma da componente v da velocidade é v = ay^2. b) Utilizando as equações de Navier-Stokes para um escoamento incompressível e viscoso, temos: ρ(∂V/∂t + V · ∇V) = -∇P + μ∇^2V + ρg Onde ρ é a densidade do fluido, V é o vetor velocidade, P é a pressão, μ é a viscosidade dinâmica e g é a aceleração da gravidade. Substituindo as componentes de V e as informações fornecidas, temos: ρ(∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z) = -∂P/∂x + μ(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2 + ∂^2u/∂z^2) + ρg ρ(∂v/∂t + u∂v/∂x + v∂v/∂y + w∂v/∂z) = -∂P/∂y + μ(∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2 + ∂^2v/∂z^2) + ρg ρ(∂w/∂t + u∂w/∂x + v∂w/∂y + w∂w/∂z) = -∂P/∂z + μ(∂^2w/∂x^2 + ∂^2w/∂y^2 + ∂^2w/∂z^2) + ρg Como w é constante e não depende de x e y, sua derivada em relação a x e y é zero. Além disso, como o escoamento é estacionário (∂/∂t = 0), temos: ρ(u∂u/∂x + v∂u/∂y) = -∂P/∂x + μ(∂^2u/∂x^2 + ∂^2u/∂y^2) + ρg ρ(u∂v/∂x + v∂v/∂y) = -∂P/∂y + μ(∂^2v/∂x^2 + ∂^2v/∂y^2) + ρg ρ(w∂u/∂z + v∂w/∂y) = -∂P/∂z + μ(∂^2w/∂y^2) + ρg Substituindo as componentes de V e as informações fornecidas, temos: ρ(a(x^2 - y^2)∂(a(x^2 - y^2))/∂x + ay^2∂(a(x^2 - y^2))/∂y) = -∂P/∂x + μ(2a - 2a) + ρg ρ(a(x^2 - y^2)∂v/∂x + 2ay^2a) = -∂P/∂y 0 = -∂P/∂z + ρg Simplificando, temos: ρa^2(2x^2 - y^2) + ∂P/∂y = 0 ∂P/∂z = -ρg Integrando em relação a y, temos: P = -ρa^2y^3/3 + C Onde C é uma constante de integração. Como em y=0 a componente v da velocidade é nula, temos: 0 = -ρa^2(0)^3/3 + C C = 0 Portanto, a distribuição de pressões é dada por P = -ρa^2y^3/3. c) Para determinar se existe uma função corrente para este campo de velocidade, podemos utilizar a equação de continuidade em coordenadas cartesianas: ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 Substituindo as componentes de V e as informações fornecidas, temos: ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0 Derivando a equação dada para u em relação a x e a equação encontrada para v em relação a y, temos: ∂u/∂x = 2ax ∂v/∂y = 2ay Substituindo na equação acima, temos: 2ax + 2ay = 0 x + y = 0 Portanto, existe uma função corrente para este campo de velocidade, dada por Ψ = xy. d) Para determinar se é possível determinar uma função potencial para este escoamento, podemos utilizar a equação de vorticidade em coordenadas cartesianas: ∇ × V = ∂w/∂y - ∂v/∂z, ∂u/∂z - ∂w/∂x, ∂v/∂x - ∂u/∂y Substituindo as componentes de V e as informações fornecidas, temos: ∇ × V = 0, 0, 0 Como a vorticidade é nula, podemos afirmar que existe uma função potencial para este escoamento. Para determiná-la, podemos utilizar a equação de Laplace em coordenadas cartesianas: ∇^2Φ = 0 Substituindo as componentes de V e as informações fornecidas, temos: ∂^2Φ/∂x^2 + ∂^2Φ/∂y^2 + ∂^2Φ/∂z^2 = 0 Derivando a equação dada para u em relação a x e a equação encontrada para v em relação a y, temos: ∂^2Φ/∂x^2 = 2a ∂^2Φ/∂y^2 = 2a Substituindo na equação acima, temos: 4a + ∂^2Φ/∂z^2 = 0 ∂^2Φ/∂z^2 = -4a Integrando em relação a z, temos: ∂Φ/∂z = -4az + C Onde C é uma constante de integração. Integrando novamente em relação a z, temos: Φ = -2az^2 + Cz + D Onde D é uma constante de integração. Portanto, a função potencial para este escoamento é Φ = -2az^2 + Cz + D. As linhas de potencial constante são dadas por Φ = constante, ou seja, -2az^2 + Cz + D = constante.