Avaliando o Aprendizado - Matemática Discreta V-1247

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Esses agrupamentos são chamados de arranjos simples. 
Arranjamos 4 elementos 2 a 2 e o número desses arranjos foi 12, 
Escrevemos então: 
A4,2 = 4 . 3 =12 (arranjo de 4 tomados 2 a 2 é igual a 12). 
 
Ex 2: Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números 
naturais de 3 algarismos distintos podemos formar? 
___5__ ___4__ ___3__ 
centena dezena unidade 
Há 5 possibilidades para o primeiro algarismo, 4 possibilidades 
para o segundo e 3 possibilidades para o terceiro. No total 
podemos então formar 5 . 4 . 3 = 60 números. 
Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 
3, o número desses arranjos é 60. 
Indicamos assim A5,3 = 5 . 4 . 3 = 60 
 
 Vejamos como calcular o número total desses 
agrupamentos no caso geral de n elementos arranjados p a p, 
com n ≥≥≥≥ p, ou seja, como calcular An,p. 
 
1º. Para n = p temos An,n = Pn = n!, já estudado em permutação 
e fatorial. 
 
2º. Para n >>>> p, temos n elementos distintos e vamos arranjá-los 
p a p. Construindo a árvores de possibilidades, temos: 
Na primeira posição: n possibilidades (pois temos n elementos 
disponíveis) 
Na segunda posição: (n – 1) possibilidades 
 (pois temos (n – 1) elementos disponíveis. 
Na terceira posição: (n – 2) possibilidades 
 (pois temos (n – 2) elementos disponíveis. 
Na p-ésima posição: n – (p – 1) possibilidades 
 (pois temos n – (p – 1) elementos disponíveis. 
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos que o 
número total de possibilidades é dado por: 
 
 
 
 ou ainda : 
 
 
 
 (n – p + 1) 
 
Ex: A10,4 = 10 . 9 . 8 . 7 = 5040 
 A10,4 = 10 . 9 . 8 . 7 . 6! = 5040 
 6! 
 
4 . COMBINAÇÕES SIMPLES 
 Nos problemas de contagem, o conceito de combinação 
está intuitivamente associado à noção de escolher subconjuntos. 
 Observe com atenção estes dois exemplos: 
Ex 1: Ane, Elisa, Rosana, Felipe e Gustavo formam uma equipe. 
Dois deles precisam representar a equipe em uma apresentação. 
Quais e quantas são as possibilidades? 
Representemos por A: Ane, E: Elisa, R: Rosana, F: Felipe e G: 
Gustavo. Precisamos determinar todos os subconjuntos de 2 
elementos do conjunto de 5 elementos {A, E, R, F, G}. A ordem 
em que os elementos aparecem nesses subconjuntos não 
importa, pois Ane – Elisa, por exemplo, é a mesma dupla Elisa – 
Ane. 
Então, os subconjuntos de 2 elementos são: 
{A, E}, {A, R}, {A, F}, {A, G}, {E, R}, {E, F}, {E, G}, {R, F}, {R, 
G}, {F, G}. 
A esses subconjuntos chamamos de combinações simples de 5 
elementos tomados com 2 elementos, ou tomados 2 a 2 , e 
escrevemos C5,2. 
Como o número total dessas combinações é 10, escrevemos 
C5,2 = 10. 
 
Ex 2: Consideremos um conjunto com 5 elementos e calculemos 
o número de combinações simples de 3 elementos, ou seja, o 
número de subconjuntos com 3 elementos. 
Conjunto com 5 elementos: {a, b, c, d, e}. 
Combinações simples de 3 elementos: {a, b, c} , {a, b, d}, {a, b, 
e}, {a, c, d}, {a, c, e}, {a, d, e}, {b, c, d}, {b, c, e}, {b, d, e}, 
{c, d, e}. 
Cada combinação dessas dá origem a 6 arranjos, permutando de 
todos os modos possíveis seus 3 elementos. 
Por exemplo: ao permutar todos os elementos da combinação {a, 
b, c}, encontramos os arranjos {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, 
c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Isso significa que o número de arranjos 
de 5 elementos tomados 3 a 3 é 6 vezes o número de 
combinações de 5 elementos tomados 3 a 3, ou seja, A5,3 = 
6C5,3. 
Como o 6 foi obtido fazendo permutações dos 3 elementos de, 
por exemplo, {a, b, c}, temos P3 = 6. Logo, 
 
A5,3 = P3 . C5,3 ⇒ C5,3 = A5,3 = 5 . 4 . 3 = 5 . 4 . 3 = 
 P3 3! 3 . 2 . 1 
C5,3 = 60 = 10 
 6 
De um modo geral temos: 
A cada combinação de n elementos tomados p a p 
correspondem p! arranjos, que são obtidos permutando-se os 
elementos da combinação, ou seja: 
 
 ou 
 
 
 
 
TESTES – ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
01. Num restaurante há 2 tipos de salada, 3 tipos de pratos 
quentes e 3 tipos de sobremesa. Quantas possibilidades temos 
para fazer uma refeição com 1 salada, 1 prato quente e 1 
sobremesa? 
a) 18 b) 16 c) 14 d) 12 e) 10 
 2 . 3 . 3 = 18 possibilidades (A) 
Salada Pratos Sobremesa 
 
02. Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para a uma 
cidade B, e 3 vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. De 
quantas maneiras se pode ir de A a C passando por B? 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
 2 . 3 = 6 maneiras (B) 
A – B B – C 
 
03. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa 
que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de 
sapatos? 
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 
 5 . 3 . 2 . 2 = 60 maneiras (E) 
Camisas Calças Meias Sapatos 
 
04. Ao lançarmos sucessivamente 3 moedas diferentes quais são 
as possibilidades do resultado? 
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 
 
 2 . 2 . 2 = 8 possibilidades (C) 
1º lanc. 2º lanc. 3º lanc. 
 
05. Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de 
refrigerante e 3 tipos de sorvete. De quantas maneiras podemos 
tomar um lanche composto de 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 
sorvete? 
a) 30 b) 40 c) 50 d) 60 e) 70 
An,p = n(n – 1)(n – 2). ... .(n – p + 1) 
 
 p fatores 
An,p = n!__ 
 (n – p)! 
Cn,p = An,p 
 p! 
Cn,p = n!___ 
 p!(n – p)!