ATIVIDADE 8 - CICLO 2 - AULA 4

Prévia do material em texto

Programa de Formação de Professores – OBMEP na Escola – 2020 
Ciclo 2: geogebra e geometria 
8ª atividade para os professores 
 
 
Questão 1. 
Na figura a seguir, 𝑟 e 𝑠 são retas paralelas, o ponto 𝐴 está acima da reta 𝑟 e o ponto 𝐵 
está abaixo da reta 𝑠. Descreva como construir o caminho 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵 de menor 
comprimento possível, sendo 𝑃 ∈ 𝑟, 𝑄 ∈ 𝑠 e 𝑃𝑄 perpendicular às retas 𝑟 e 𝑠. Descreva 
essa solução geometricamente. 
 
 
Além disso, também modele o problema do seguinte modo. Observe que a figura dada 
no enunciado não está acompanhada de um sistema de coordenadas. Na verdade, 𝑟 e 
𝑠 são quaisquer retas paralelas no plano. Sem preda de generalidade, podemos 
introduzir um sistema de coordenadas na figura de modo que 𝑟 tenha equação 𝑦 = 𝑑, 
𝑠 tenha equação 𝑦 = −𝑑 (𝑑 > 0), o ponto 𝐴 = (0, 𝑎) esteja no eixo 𝑦 positivo (𝑎 > 𝑑), 
e 𝐵 = (𝑏, 𝑐) seja um ponto genérico (𝑏 > 0 e 𝑐 < −𝑑). 
 
(a) Para cada 𝑥 ∈ ℝ, considere os pontos 𝑃 = (𝑥, 𝑑) e 𝑄 = (𝑥, −𝑑). Escreva uma 
expressão algébrica para a função 𝑓(𝑥) que fornece o comprimento da linha 
poligonal 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 + 𝑄𝐵. 
 
(b) Esboce o gráfico dessa função no Geogebra. O gráfico dessa função é uma 
parábola? 
 
(c) Opcional. Se você sabe Cálculo Diferencial, determine o ponto de mínimo dessa 
função, calculando os pontos críticos de 𝑓, resolvendo a equação 𝑓′(𝑥) = 0. 
Caracterize o ponto crítico obtido como de mínimo. 
 
Questão 2. 
O triângulo 𝐴𝐵𝐶 da figura a seguir tem lados 𝐴𝐵 = 5, 𝐴𝐶 = 4 e 𝐵𝐶 = 3. Determine as 
dimensões do retângulo 𝑃𝑄𝑅𝑆 de maior área possível que pode ser inscrito nesse 
triângulo, como na figura a seguir. 
 
 
Para explorar essa questão, introduza um sistema de coordenadas na figura de modo 
que 𝐴 = (0,0), 𝐵(5,0), e o ponto 𝐶 esteja no semiplano 𝑦 > 0. 
 
(a) Se 𝑥 = 𝐴𝑃, determine a expressão da função 𝑓(𝑥) que fornece a área do retângulo 
𝑃𝑄𝑅𝑆. 
(b) Para que esse retângulo seja como o da figura, com 𝑆 sobre o lado 𝐴𝐶 e com 𝑅 
sobre o lado 𝐵𝐶, qual é o domínio dessa função? 
(c) Determine 𝑥 no domínio de 𝑓 no qual essa função assume o seu valor máximo. 
(d) Em seguida, determine as dimensões (base e altura) do retângulo 𝑃𝑄𝑅𝑆. 
(e) Explore essa construção no Geogebra.