Exercícios sobre Geometria Analítica no Plano

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Exercícios sobre Geometria Analítica no Plano 
1. A reta 𝑟 contém os pontos (4,2) e (7,3). 
a) Determine 𝑘 para que o ponto (16, 𝑘) ∈ 𝑟. b)Verifique se o ponto (1997, 666) está 
acima ou abaixo de 𝑟. 
2. Sejam 𝐴 = (𝑎, 𝑎′) e 𝐵 = (𝑏, 𝑏′). Determine o ponto 𝑃, interior ao segmento 𝐴𝐵, tal 
que 𝑑(𝐴, 𝑃) =
1
3
𝑑(𝐴, 𝐵). 
3. ABCD é um paralelogramo. Se 𝐴 = (𝑎, 𝑎′), 𝐵 = (𝑏, 𝑏′) e 𝐶 = (𝑐, 𝑐′), determine D 
em função dos pontos dados. 
4. Prove que os pontos médios dos lados de um retângulo qualquer são vértices de um 
paralelogramo. 
5. Determine a equação do lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam do 
eixo x e do ponto (0,2). 
6. São dados dois pontos 𝐴 e 𝐵. Determine o lugar geométrico dos pontos 𝑃 do plano 
tais que 𝑑(𝐴, 𝑃)2 − 𝑑(𝑃, 𝐵)2 = 𝑘2. 
7. Dada uma reta 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 encontre a equação do vetor diretor de 𝑦. Faça o mesmo 
para 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐. 
8. a) Defina o produto escalar para vetores no plano. b) Mostre que |𝑢 ∙ 𝑣| ≤ ||𝑢||||𝑣||, 
para quaisquer vetores 𝑢 e 𝑣 do plano. c) Conclua que, dados 𝑢 e 𝑣 no plano, existe 
𝜃, 𝑜𝑛𝑑𝑒 0 ≤ 𝜃 < 𝜋, tal que 𝑢 ∙ 𝑣 = ||𝑢||||𝑣||𝑐𝑜𝑠𝜃. d) Encontre o ângulo entre os 
vetores 𝑢 = (1, −1) e 𝑣 = (2, √2). 
9. Encontre a fórmula de projeção ortogonal de um vetor 𝑢 na direção 𝑣. 
10. Para que valor de k as retas 2𝑥 + 5𝑦 = 7 e 3𝑥 + 𝑘𝑦 = 1 são a) paralelas? b) 
perpendiculares. 
11. Determine as fórmulas de a) Distância de ponto à reta. b) Distância entre retas. 
12. Sejam d e d’ as distâncias de um ponto 𝑃 às retas 𝑦 = 0 e 𝑦 = 𝑥, respectivamente. 
Determine o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que d-d’=1. 
13. O que significa a equação (𝑥 + 𝑦 − 3)(3𝑥 − 𝑦 − 1) = 0? 
14. Determine a fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre uma reta. 
15. Determine a equação de uma circunferência de centro (𝑥0, 𝑦0) e raio 𝑟 > 0. 
16. Determine os pontos de interseção das circunferências 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 
e 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥 − 4𝑦 − 3 = 0.