Houston, we have problems here (Gravitação para o ITA) - Miguel

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Houston, we have problems here
Projeto ITA para todos
2a Edic¸a˜o
Miguel Angelo Sampaio
Felipe de Souza Lincoln
2017
Prefa´cio do autor
Este livro e´ focado em gravitac¸a˜o universal e outros assuntos relacionados a cieˆncia
e tecnologia espacial. Buscamos resolver todas as questo˜es do vestibular do ITA
desde 1965, totalizando mais de 50 anos de provas. Todas as questo˜es tem resoluc¸a˜o
detalhada, com explicac¸o˜es das principais ideias e te´cnicas usadas. Questo˜es adicio-
nais foram inclu´ıdas, algumas delas foram criadas por mim, outras foram baseadas
em livros de engenharia e de f´ısica ba´sica. O objetivo e´ ter questo˜es que estimulem
os mais diferentes pontos de vista, combinando conhecimento do assunto, pra´tica
matema´tica e elo com aspectos pra´ticos e tecnolo´gicos.
Procurei fazer diferente dos demais livros que ja´ vi. Inclui nos primeiro cap´ıtulos in-
formac¸o˜es sobre a astronomia, astrof´ısica e a evoluc¸a˜o da cieˆncia e da engenharia. O
propo´sito e´ fazer o leitor perceber a importaˆncia do estudo do espac¸o e mostrar que
as cieˆncias espaciais esta˜o mais pro´ximas do nosso cotidiano do que pensamos. Esse
ideal foi adquirido apo´s minha participac¸a˜o em um dos cursos da International Space
University, ISU, mais precisamente o Southern Hemisphere Summer Space Program
2013, que aconteceu na University of South Australia, em Adelaide, Austra´lia. La´
aprendi a importaˆncia do chamado Space Awareness e compreendi que o espac¸o
sideral e´ um recurso natural valioso, limitado e que a humanidade esta´ poluindo de
forma descontrolada.
Apesar das diversas reviso˜es no texto que foram feitas, pode haver falhas, incon-
sisteˆncias que passaram pelo meu crivo. Por isso, pec¸o que me ajudem a melhorar
o texto para a nova versa˜o que deve sair logo apo´s cada vestibular do ITA para
contemplar novas questo˜es de gravitac¸a˜o. Estou aberto a`s cr´ıticas construtivas, co-
menta´rios sinceros e tudo que possa agregar para melhoria do livro. Deixo o meu
contato para comunicac¸a˜o e ta˜o logo eu tenha disponibilidade, terei maior prazer
em responder.
Este material destina-se a ser gratuito, portanto, autorizo a co´pia, impressa˜o,
divulgac¸a˜o, compartilhamento em sites, em grupos, redes socais, emails, desde que
na˜o seja para fins comerciais. Pro´ıbo o uso do mesmo como mercadoria de
comercializac¸a˜o. Qualquer ac¸a˜o gratuita e´ valida e autorizada.
Contato: projetoitaparatodos@gmail.com
Notas do colaborador
Minha parte neste livro foi a elaborac¸a˜o da capa e a transcric¸a˜o de todo o conteu´do
que antes estava em Word para o LATEX fazendo pequenas correc¸o˜es de ortografia e
calculo. O conteu´do deste livro foi integralmente feito pelo Miguel, tanto a teoria
quanto a resoluc¸a˜o das questo˜es. Qualquer erro ou inconsisteˆncia encontrado, o lei-
tor pode nos contatar.
Felipe de Souza Lincoln
Tatu´ı, 11 de Julho de 2017
Motivac¸a˜o
O Instituto Tecnolo´gico de Aerona´utica e´ a escola de engenharia da Forc¸a Ae´rea
Brasileira. Conhecido nacional e internacionalmente pela qualidade do ensino de
engenharia. Tambe´m e´ conhecido pelo seu concurso de admissa˜o que tem a fama de
ser bastante dif´ıcil. De fato e´, pelos seguintes motivos: conteu´do de mate´rias bas-
tante extenso, questo˜es de n´ıvel de dificuldade elevado, trinta questo˜es por prova de
cada mate´ria e apenas quatro horas para resolveˆ-las. As questo˜es cobradas nas pro-
vas exigem bastante conhecimento dos assuntos, maturidade matema´tica, agilidade
e racioc´ınio ra´pido. Monta-se a´ı um cena´rio complicado para um aluno de escolas
pu´blicas brasileiras, cujo ensino esta´ aque´m do necessa´rio para que este aluno tenha
condic¸o˜es de competir com cerca de 8 mil candidatos (me´dia) que todos os anos
concorrem a uma vaga no ITA.
Sendo o ITA, uma instituic¸a˜o pu´blica federal, seu acesso e´ gratuito e para todos
os brasileiros que desejarem desde que esteja na lista de classificados do concurso.
Vemos enta˜o que este acesso na˜o e´ ta˜o livre assim. Alunos com poucos recursos
financeiros para pagar cursos preparato´rios espec´ıficos e boas escolas saem em des-
vantagem com relac¸a˜o a alunos que puderam ter boas escolas, acesso a` material e
professores capacitados para a prova do ITA. Ha´ casos de alunos que moram em
cidades pequenas ou cidades muito distantes dos grandes centros e que tambe´m na˜o
tem acesso a uma educac¸a˜o de alto n´ıvel que os prepare para o vestibular do ITA.
Dessa forma, temos muitos alunos de pouco poder financeiro que apesar de sonhar
em estudar no ITA, se esbarram na dificuldade de preparac¸a˜o de forma adequada.
Nesse contexto, o ITA na˜o chega a ter em suas salas alunos de regio˜es mais pobres
do Brasil ou alunos menos privilegiados financeiramente. Entendo que independente
da situac¸a˜o financeira ou regia˜o de origem, ha´ alunos muito bons espalhados pelo
Brasil, um mar de talentos que muitas vezes na˜o teˆm oportunidade de ter acesso a
uma boa educac¸a˜o e poder melhorar sua vida e de sua famı´lia. O Brasil tambe´m
perde ao desperdic¸ar esses talentos escondidos no anonimato das dificuldades da
vida.
Vendo essa necessidade de acesso a bons materiais de estudo, ha´ alguns anos, por
volta de 2010, criei um canal com v´ıdeo-aulas no Youtube chamado Estuda Ema-
nuel. Esse canal surgiu de um pedido de um dos meus primos (Emanuel), de uma
ajuda para estudar para o vestibular do ITA. Como eu estava no sudeste do Brasil
e ele em Santare´m, Para´, a melhor forma seria fazer v´ıdeos com resoluc¸o˜es. Alguns
vestibulandos viram os v´ıdeos e acharam bons e com isso pediram para que fossem
compartilhados e que mais v´ıdeos fossem produzidos. Foi enta˜o que cheguei a mais
de centenas de v´ıdeos com resoluc¸o˜es de questo˜es do ITA nas mate´rias de F´ısica,
Qu´ımica e Matema´tica.
Apesar do sucesso do canal, vi que as pessoas tinham dificuldades de acompanhar
as resoluc¸o˜es por falta de embasamento teo´rico. Isso era causa de desmotivac¸a˜o e
muitas vezes desisteˆncia de alunos que na˜o possu´ıam boa estrutura de ensino. En-
tendi que precisava ajudar ensinando a teoria para que pudessem compreender as
resoluc¸o˜es. Foi enta˜o que criei um site chamado Projeto ITA Para Todos. La´ se
concentram os links para todas as v´ıdeo aulas de teoria e de resoluc¸a˜o de exerc´ıcios.
Nesse site, ha´ mate´rias completas como teoria explicada e com exerc´ıcios. Atual-
mente na˜o consegui cobrir todos os conteu´dos programa´ticos do ITA por falta de
tempo.
Tudo isso e´ feito de forma gratuita e na˜o cobro nenhum centavo e nem outro tipo
de apoio pelas v´ıdeo aulas . Na˜o ha´ motivac¸a˜o financeira, nem propaganda envol-
vida. Apenas o desejo de ajudar, de compartilhar o conhecimento e poder ajudar
as pessoas a melhorar de vida.
E´ muito triste estudarmos muito, aprendermos bastante para depois levarmos tudo
isso para o tu´mulo sem compartilhar, sem cooperar com a melhoria da sociedade,
sem colocar nossos tijolos no muro. Esse trabalho e´ o retorno do que tenho recebido
de bom dado pela vida e espero sinceramente que isso crie uma corrente do bem e
que mais e mais pessoas se inspirem em ajudar quem mais precisa.
Muito desse trabalho vem de uma promessa de juventude. Eu sou natural de San-
tare´m, uma cidade com muitas belezas naturais, no oeste do Para´. Como mui-
tos alunos por a´ı, tambe´m sonhei em estudar no ITA e me dedicar a` Engenharia
Eletroˆnica (uma de minhas paixo˜es), pore´m eu na˜o tinha condic¸o˜es financeiras de
fazer um curso preparato´rio e, ou comprar livros e apostilas adequadas para o ITA.
Ale´m disso, na˜o tinha orientac¸a˜o necessa´ria que pudesse ajudar a me preparar. Tive
que estudar sozinho em casa e nas bibliotecas pu´blicas de Santare´m, garimpando
tudo que era material. Por sorte, os livros dida´ticos das de´cadas de 60 e 70 eram
livros muito bons e tinham em abundaˆncia na biblioteca municipal de Santare´m, e
esses livros foram de grande ajuda. Fiz ovestibular do ITA por treˆs vezes e em 2002
eu fui aprovado apo´s muito esforc¸o, disciplina e sacrif´ıcio. Durante esse meu tempo
de luta eu soube o que e´ na˜o ter armas para lutar e nesse per´ıodo prometi que se
eu tivesse sucesso faria tudo que estivesse ao meu alcance para ajudar quem esta´ na
mesmo situac¸a˜o na qual estive.
Agora eu apresento este livro na qual dediquei muitos dias na sua preparac¸a˜o, ten-
tando ser o mais dida´tico, mais claro e detalhado poss´ıvel, usando uma linguagem
mais acess´ıvel e mais leve. A ideia e´ poder dar acesso aos alunos menos favorecidos,
acesso a` materiais de estudo que esta˜o em livros e apostilas de cursinhos caros.
Apesar de ser voltado aos alunos mais humildes, esse livro e´ feito para todos que se
interessam por cieˆncia e tecnologia, sejam ricos ou pobres.
Canal Estuda Emanuel: youtube.com/user/MiguelitoSampaio
Projeto ITA para todos: sites.google.com/site/itaparatodos
Como usar este livro
Este livro conte´m a resoluc¸a˜o de muitos problemas do ITA. Portanto, requerem co-
nhecimentos ba´sicos de F´ısica. Tentei revisar o que pude, dosando para na˜o criar
um livro extenso demais. Se voceˆ na˜o tem muita pra´tica em conceitos ba´sicos de
f´ısica, recomendo fortemente que primeiro se exercite bem com problemas de livros
de ensino me´dio de forma que voceˆ possa ter mais clareza e entendimento dos as-
suntos.
Este livro e´ para ser um complemento/aprofundamento aos seus estudos, te aju-
dando a entender resoluc¸o˜es de questo˜es complexas. Na˜o o use se ainda na˜o estiver
seguro o suficiente em te´cnicas alge´bricas, como fatorac¸a˜o, radiciac¸a˜o, simplificac¸a˜o,
resoluc¸a˜o de equac¸o˜es de primeiro e segundo grau, func¸o˜es alge´bricas, geometria
plana, geometria espacial, operac¸o˜es com vetores, leis de Newton e princ´ıpios de
dinaˆmica.
Procurei mesclar assuntos como Geometria Anal´ıtica, Eletricidade, Teoria dos Gases
entre outros. Em novas edic¸o˜es do livro, pretendo trazer mais problemas desafiado-
res e interessantes. Por isso, o use como complemento final e aprofundamento.
Muito importante e´ voceˆ tentar fazer as questo˜es sozinho, sem olhar as resoluc¸o˜es
de primeira. E´ errando que se aprende. Ao tentar resolver por si so´, voceˆ ira´ criar
novas conexo˜es cerebrais ligadas ao assunto e quanto mais voceˆ forc¸ar suas ideias,
mais fa´cil fixara´ quando errar e olhar a resoluc¸a˜o. Nada que vem fa´cil agrega demais
ao indiv´ıduo. Assim, se voceˆ ja´ for olhar de primeira a resoluc¸a˜o dificilmente aquilo
vai te marcar. Enta˜o para cada questa˜o, tente resolver sozinho ou em grupo.
Outra dica: deˆ um descanso para seu corpo e mente. Uma pessoa exausta na˜o
rendera´ tanto quanto uma pessoa descansada. Por isso, na˜o passe longas horas de
estudo sem uma pausa para espairecer e renovar as forc¸as.
Sempre que puder ensine o que sabe. Voceˆ vai ver que podera´ aprender muito mais
e solidificara´ seus conhecimentos ainda mais.
Na˜o menospreze os outros, sempre temos o que aprender com qualquer pessoa. Hu-
mildade e´ sabedoria.
O caminho na˜o e´ fa´cil, muitos obsta´culos va˜o surgir e tudo ira´ te fazer concluir que
desistir e´ a melhor soluc¸a˜o e nem sempre e´. Caiu? Levante-se e continue.
Miguel Angelo Sampaio
Sa˜o Jose´ dos Campos, 20 de Outubro de 2016
Conteu´do
1 Te´cnologia espacial 8
1.1 O avanc¸o nas telecomunicac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Sensoriamento remoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Localizac¸a˜o e resgate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Foguetes lanc¸adores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 Breve histo´ria da astronomia 14
2.1 Antiguidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Idade Me´dia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 A Astronomia e a F´ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Se´culos XIX e XX e uma nova forma de ver o universo . . . . . . . . 20
2.5 Teoria da Relatividade Geral e Ondas Gravitacionais . . . . . . . . . 22
3 Gravidade 25
3.1 A gravidade de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Acelerac¸a˜o da gravidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3 Acelerac¸a˜o da gravidade em outros planetas . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4 Efeito da latitude e rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.5 Gravidade de uma casca esfe´rica e no interior da Terra . . . . . . . . 50
4 Movimento Orbital 56
4.1 Forc¸a centr´ıpeta e centr´ıfuga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Conservac¸a˜o do momento linear e angular . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3 Revisa˜o sobre coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.4 Velocidades na elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.5 Energia na elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.6 Velocidade em qualquer ponto da elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.7 Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.8 Aplicac¸o˜es especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.9 Velocidade de escape . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Questo˜es resolvidas 80
7
Cap´ıtulo 1
Te´cnologia espacial
A conquista do espac¸o representou na˜o so´ um grande avanc¸o cient´ıfico, mas tambe´m
tecnolo´gico, permitindo a realizac¸a˜o de muitos servic¸os que hoje tornam a vida
na Terra mais pra´tica e conforta´vel. A` primeira vista, as atividades espaciais na˜o
tem nenhuma relac¸a˜o com o cotidiano aqui no solo, mas esta˜o mais pro´ximas que
pensamos. A seguir temos alguns exemplos de como o distante espac¸o sideral nos
ajuda a viver melhor.
1.1 O avanc¸o nas telecomunicac¸o˜es
As telecomunicac¸o˜es tiveram um salto gigantesco com as tecnologias espaciais. Os
telefones que se conectavam por longos e ineficientes fios de cobre, hoje podem
ligar qualquer dois pontos do globo, em tempo real atrave´s de links (ligac¸o˜es) de
sate´lite. As grandes distaˆncias intercontinentais sa˜o superadas atrave´s de pontes
que se localizam no espac¸o viabilizado por sate´lites dedicados a`s telecomunicac¸o˜es.
Na˜o so´ para comunicac¸a˜o por voz, mas a internet teve tanto avanc¸o na velocidade
quanto na capacidade de transfereˆncia de dados.
Figura 1.1: O sate´lite realiza a retransmissa˜o de sinais entre A´frica e Europa, como
exemplo que viabiliza a comunicac¸a˜o entre va´rias partes do mundo. Imagem da ESA.
Os servic¸os de telecomunicac¸o˜es sa˜o nego´cios muito lucrativos e dependem sensi-
velmente do uso de sate´lites. A distribuic¸a˜o de sinais de TV por assinatura geram
8
Cap´ıtulo 1. Te´cnologia espacial 9
centenas de milho˜es de do´lares por ano no mundo todo. Essa distribuic¸a˜o em larga
escala e´ chamada de broadcast. Ale´m disso, eventos esportivos podem ser assistidos
em tempo real no mundo todo grac¸as aos sate´lites de comunicac¸o˜es que orbitam a
Terra.
A Telemedicina e a Tele-educac¸a˜o ja´ sa˜o realidades em muitos lugares, onde profis-
sionais da sau´de podem prestar apoio me´dico a comunidades distantes, bem como
professores podem levar o conhecimento a lugares remotos.
Transac¸o˜es banca´rias tambe´m sa˜o altamente dependentes da comunicac¸a˜o em rede
e por isso tambe´m dependem do uso de sate´lites.
1.2 Sensoriamento remoto
Sensoriamento Remoto e´ uma te´cnica para obter informac¸o˜es sobre determinada
regia˜o na superf´ıcie da Terra atrave´s de imageamento ou medic¸o˜es de grandezas
de interesse. Um exemplo de sensoriamento remoto sa˜o as medic¸o˜es da atmosfera,
que permite tanto a previsa˜o do tempo de forma mais precisa quanto um melhor
entendimento das mudanc¸as atmosfe´ricas que afetam o clima.
Figura 1.2: Imagem de Sate´lite mostra uma tempestade se formando na regia˜o de Boston.
Imagem da NASA.O sensoriamento remoto e´ basicamente realizado por sate´lites de o´rbitas baixas, isto
e´, baixas altitudes, dotados de caˆmeras e sensores. Assim, podem fazer registros
fotogra´ficos ou aquisic¸o˜es de medidas das regio˜es pelas quais ele percorre durante
suas revoluc¸o˜es em torno da Terra.
Esta te´cnica ajuda a planejar lavouras para aumentar sua produtividade, prever
enchentes e secas, melhorar projetos de rodovias e a´reas urbanas, desmatamento,
10 1.2. Sensoriamento remoto
monitorar fluxos migrato´rios de animais, identificar pontos cr´ıticos para inceˆndios
florestais e muitas outras aplicac¸o˜es.
Figura 1.3: Imagens de sate´lite mostram
o impacto do desmatamento em um per´ıodo
de 22 anos, em Maraba´, Para´. Imagem da
Landsat/INPE.
Figura 1.4: Regia˜o de plantac¸a˜o de cafe´
em Minas Gerais. As imagens auxiliam os
agricultores no planejamento de lavouras e
melhor uso das a´reas. Imagem Google Earth
http://www.dsr.inpe.br/laf/cafesat/
artigos/TecnologiaInformacaoCafeMG.
pdf.
O sensoriamento remoto tambe´m pode ser usado para fins militares como espiona-
gem. Muitos dos sate´lites que esta˜o em o´rbita fazem observac¸o˜es sigilosas utilizando-
se de caˆmeras de alta resoluc¸a˜o. Nada escapa aos olhos do ce´u.
Figura 1.5: Sate´lite de sensoriamento remoto da NASA/ESA. A` medida que ele vai
passando, suas caˆmeras e sensores captam e medem dados da superf´ıcie da Terra. Imagem
da ESA.
Cap´ıtulo 1. Te´cnologia espacial 11
1.3 Localizac¸a˜o e resgate
A navegac¸a˜o fluvial, mar´ıtima e ae´rea sofreu um grande impacto positivo com as
aplicac¸o˜es de sate´lites em servic¸os de localizac¸a˜o e orientac¸a˜o. Antigamente, nos
tempos dos navegadores portugueses e espanho´is, as rotas dos navios eram determi-
nadas atrave´s de observac¸o˜es de estrelas que aparentemente se mantinham fixas no
firmamento. Um dos instrumentos usados para esse fim era chamado de astrola´bio.
Como refereˆncia, usava-se a Estrela Polar da Constelac¸a˜o Ursa Maior. Essa estrela
pode ser vista do Hemisfe´rio Norte.
Figura 1.6: Os navegadores me-
diam o aˆngulo de posicionamento da
Estrela Polar em relac¸a˜o ao navio e
com isso estimavam sua localizac¸a˜o.
Figura 1.7: GNSS.
O uso de sate´lites fornece a infraestrutura necessa´ria para se criar o GNSS, Global
Navigation Satellite System, na qual os receptores desses sate´lites realizam ca´lculos
e determinam com boa precisa˜o a sua localizac¸a˜o.
Um dos servic¸os GNSS mais conhecidos e´ o GPS, desenvolvido para aplicac¸o˜es mili-
tares pelo Departamento de Defesa americano. O GPS e´ um sistema que e´ disponibi-
lizado pelo governo dos EUA para uso civil e militar ao redor do mundo. Obviamente
que a precisa˜o do servic¸o GPS liberado e´ bem mais baixa que a precisa˜o do GPS
usado pelas Forc¸as Armadas americanas. Diz-se que quando aconteceram os aten-
tando contra o World Trade Center em Nova York, o sinal de GPS foi cortado no
mundo todo temporariamente.
GPS significa Global Positioning System e conta com uma constelac¸a˜o de sate´lites
com o´rbitas definidas. Eles mandam continuamente sinais para os receptores GPS
de ve´ıculos e celulares e assim, estes com base no tempo podem determinar a loca-
lizac¸a˜o na superf´ıcie terrestre. Vale citar que o desenvolvimento de sistemas como o
12 1.4. Foguetes lanc¸adores
GPS permitiu que buscas e salvamentos pudessem ser realizados com mais eficieˆncia
e sucesso. Ha´ um sistema global voltado para atendimento de emergeˆncia em casos
de naufra´gios e quedas de aeronaves.
No entanto, o GPS na˜o e´ o u´nico sistema de localizac¸a˜o existente. O sistema GLO-
NASS foi desenvolvido pela Ru´ssia. O sistema Galileo segue o mesmo conceito,
pore´m desenvolvido por um conso´rcio de pa´ıses europeus. A I´ndia esta´ desenvol-
vendo seu pro´prio sistema de localizac¸a˜o. As motivac¸o˜es iniciais para os GNSS e´
militar, na qual uma nac¸a˜o na˜o quer ficar dependente de outras para operar suas
unidades e ve´ıculos militares. Com a abertura desse servic¸o para o mercado civil,
vislumbrou-se um nego´cio extremamente lucrativo.
Quando voceˆ pega um receptor de GPS desses de carro ou usa o do seu celular e
tenta se localizar, voceˆ esta´ na verdade recebendo sinais de pelo menos 3 dos sate´lites
do GPS. Eles mandam um sinal com um o hora´rio de envio desse sinal. O receptor
decodifica esse hora´rio e compara com o hora´rio que ele recebeu, enta˜o ele consegue
fazer as contas de qual a sua distaˆncia ao sate´lite visto que o sinal de GPS e´ uma
onda eletromagne´tica e por isso se move com velocidade constante, c. Para que voceˆ
possa se localizar voceˆ precisa de pelo menos visa˜o de treˆs sate´lites. Por isso que em
dias nublados o GPS fica impreciso devido a`s nuvens que enfraquecem o sinal que
vem do espac¸o.
1.4 Foguetes lanc¸adores
Para viabilizar todos esses servic¸os, os sate´lites devem ser colocados em o´rbita e para
isso existem os ve´ıculos lanc¸adores. Basicamente sa˜o foguetes que podem deslocar
grande quantidade de massa ate´ determinada altitude e com a velocidade necessa´ria
para manter tais massas em o´rbita.
Os foguetes inicialmente eram projetos governamentais, pois se entendia que foguetes
espaciais podem ser transformados em armas. Com o tempo, a visa˜o que se tem
sobre os foguetes e sua popularizac¸a˜o levaram a` abordar esses ve´ıculos como um
lucrativo nego´cio. As atividades de lanc¸adores no Brasil sa˜o gerenciadas pela Forc¸a
Ae´rea.
Figura 1.8: Ve´ıculo Lanc¸ador de Sate´lites, VLS, desenvolvido pelo Brasil, com supervisa˜o
da Forc¸a Ae´rea Brasileira.
Cap´ıtulo 1. Te´cnologia espacial 13
Os foguetes podem transportar tanto equipamentos quanto pessoas. No caso de
equipamentos, estes sa˜o chamados de Carga U´til. Essas misso˜es podem ser tripu-
ladas ou na˜o. Atualmente, o servic¸o de lanc¸amento de cargas u´teis e´ um nego´cio
bastante lucrativo, pois vem aumentando o interesse e necessidade dos pa´ıses por
atividades em telecomunicac¸o˜es ou sensoriamento remoto. Como poucos pa´ıses no
mundo dete´m a tecnologia de lanc¸adores, constituindo assim um seleto clube. Os
rendimentos com lanc¸amentos comerciais veˆm sendo cada vez mais justifica´veis. Isso
e´ tanto verdade que a NASA contrata empresas para realizar transporte de cargas
para Estac¸a˜o Espacial Internacional. Uma das empresas de maior destaque e´ a Spa-
ceX.
As misso˜es tripuladas sa˜o mais complexas e caras visto que os lanc¸adores devem pos-
suir mo´dulos para a tripulac¸a˜o trabalhar de forma segura e conforta´vel. As misso˜es
tripuladas inicialmente tinham cara´ter cient´ıfico, tecnolo´gico e militar. Com o bara-
teamento da tecnologia e maior interesse do pu´blico por viagens espaciais, o turismo
espacial vem crescendo anualmente. Assim, na˜o se restringiu aos voos dos oˆnibus
espaciais da NASA.
As primeiras misso˜es tripuladas eram feitas em foguetes que eram inutilizados du-
rante o lanc¸amento devido aos me´todos de esta´gios de combust´ıvel. Os esta´gios
eram descartados assim que o combust´ıvel terminasse em seus tanques. O retorno
da tripulac¸a˜o se dava em mo´dulos pequenos, como no caso das misso˜es Apollo da
NASA. Para diminuir os custos das misso˜es, a NASA criou o conceito de oˆnibus
espaciais, no qual a tripulac¸a˜o regressava em pousos similares ao de uma aeronave,
evitam o descarte de material e reutilizando o ve´ıculo para novas misso˜es.
130 misso˜es foram realizadas e alguns acidentes fatais ocorreram durante seus trinta
anos de misso˜es espaciais e hoje em dia, a frota de oˆnibus espaciais da NASA esta´
inativa.
Cap´ıtulo 2
Breve histo´ria da astronomia
Olhar para o ce´u estrelado e´ uma atividade realizada pelo homem desde os tempos
mais primo´rdios. Realmente observar um ce´u estrelado causa diversos sentimentos
e sensac¸o˜es. Seja voceˆ sens´ıvel ou na˜o, saiba que muitos indiv´ıduos elaboraram
muitos questionamentos filoso´ficos e cient´ıficos devido a` observac¸a˜odo firmamento.
Tambe´m, muitos casais ja´ se “coisaram” (entendimento livre) inspirados pelas belas
noites de luar. Poetas escreveram versos e mocinhas suspiraram... A influeˆncia do
espac¸o e´ tamanha que ate´ mesmo religio˜es e crenc¸as se basearam nos astros, como
a astrologia e a mitologia.
2.1 Antiguidade
Voceˆ ja´ parou para pensar por que a nossa gala´xia se chama Via La´ctea? Via La´ctea
e´ um termo do latim, que os antigos romanos emprestaram dos gregos, que significa
Caminho do Leite, vindo de Galaxias Kyklos, ou ciclo do leite. Devido a` iluminac¸a˜o
das cidades, o ce´u na˜o e´ visto da mesma forma que era vista pelos nossos ancestrais
distantes. Se voceˆ for para algum s´ıtio bem afastado, podera´ ver que as estrelas
foram um caminho como uma faixa branca, que e´ a raza˜o pela qual se nomeou nossa
gala´xia.
Figura 2.1
14
Cap´ıtulo 2. Breve histo´ria da astronomia 15
Outros povos da Antiguidade como a´rabes, chineses, romanos observaram os astros
em buscas de respostas para seus questionamentos existenciais, ou para entendi-
mento da Natureza. Por exemplo, o fenoˆmeno da mare´ e´ causado pela atrac¸a˜o
gravitacional que a Lua exerce sobre as a´guas. A observac¸a˜o das mare´s e fases da
Lua levou a essa conclusa˜o servindo bastante para o homem do mundo antigo.
Os cometas e eclipses eram encarados muitas vezes como manifestac¸o˜es divinas. E
tal foi interesse que muitos desses homens antigos comec¸aram a estudar a dinaˆmica
celeste. Ate´ hoje, muita gente chama os meteoros e meteoritos de estrela cadentes e
fazem pedidos quando avistam uma delas riscando o ce´u. Nesse interesse, surgiu a
Astronomia (na˜o confundir com astrologia), cieˆncia que objetiva o estudo dos astros,
seus comportamentos e caracter´ısticas.
Figura 2.2 Figura 2.3
A Gre´cia teve alguns estudiosos de renome e que contribu´ıram muito para desenvol-
vimento da cieˆncia. Vamos ver alguns deles.
Tales de Mileto (624 - 546 a.C.) a partir de suas viagens ao Egito introduziu
na Gre´cia os fundamentos da geometria e da astronomia. Defendeu que a Terra era
um disco plano em uma vasta extensa˜o de a´gua. Eu te entendo Tales, eu tambe´m
pensaria isso..
Pita´goras de Samos (572 - 497 a.C.) ja´ foi mais arrojado pois acreditava na
esfericidade da Terra, da Lua e de outros corpos celestes, afinal ele criou o Teorema
de Pita´goras. Pore´m vacilou ao crer que os planetas, o Sol, e a Lua eram transpor-
tados por esferas separadas da que carregava as estrelas. A expressa˜o cosmos para
o ce´u foi criada por ele.
Aristo´teles de Estagira (384-322 a.C.) ja´ foi mais ale´m, trazendo novidades
para o contexto astronoˆmico explicando que as fases da Lua dependem da faces
iluminadas pelo Sol. Explicou como os eclipses funcionam. Juntou-se a Pita´goras a
favor da esfericidade da Terra, pois a sombra da Terra na Lua durante um eclipse
lunar e´ sempre redonda. Afirmava que o Universo e´ esfe´rico e finito.
Heraclides de Pontus (388-315 a.C.) explicou a rotac¸a˜o da Terra sobre seu
pro´prio eixo, que Veˆnus e Mercu´rio orbitam o Sol.
Aristarco de Samos (310-230 a.C.) foi um visiona´rio propondo que a Terra se
movia em volta do Sol, antes de Cope´rnico. Entre outras coisas, criou uma meto-
dologia para determinar as distaˆncias relativas do Sol e da Lua a` Terra. Realizou
medidas indiretas dos tamanhos relativos da Terra, do Sol e da Lua. Sinistro!
Erato´stenes de Cireˆnia (276-194 a.C.), biblioteca´rio e diretor da Biblioteca
Alexandrina de 240 a.C. a 194 a.C., foi o primeiro a medir o diaˆmetro da Terra,
16 2.1. Antiguidade
afinal, acho que ele tinha tempo na biblioteca para isso. Mas como ele fez isso?
Era sabido que na cidade de Siena no Egito, no inicio do vera˜o, ao meio-dia a luz do
sol atingia o fundo de um poc¸o. Isso e´ importante como referencia que o Sol estaria
na vertical perpendicular a` Terra. Como ele, um garoto crescido nas quebradas de
Alexandria, sabia que o mesmo na˜o acontecia com os poc¸os em sua cidade. Enta˜o,
resolveu medir a sombra de uma haste no solo para ver qual inclinac¸a˜o havia, e foi
7◦. Com isso ele determinava o aˆngulo entre Alexandria e Siena, que se distanci-
avam em 5000 esta´dios (unidade de medida na Gre´cia). Esse valor foi obtido da
viagem de camelo entre a`s duas cidade e sabendo que um camelo em me´dia anda
100 esta´dios por dia. Os 7◦ medidos correspondem a 1/50 de uma circunfereˆncia,
assim, e a circunfereˆncia da Terra deveria medir 50x5000 esta´dios. Sendo que uma
circunfereˆncia e´ C = 2piR, o raio era determinado como aproximadamente 40000, ja´
que um esta´dio corresponderia a 1/6 km. Muito safo!
Hiparco de Nice´ia (c.190-c.120 a.C.), considerado o maior astroˆnomo da era
pre´-crista˜, e com um observato´rio na ilha de Rodes, compilou a posic¸a˜o no ce´u e a
magnitude de 850 estrelas. Fez diversas medidas sobre a mecaˆnica na Terra.
Ptolomeu (85 d.C. - 165 d.C.) (Claudius Ptolemaeus) foi autor de uma se´rie de
treze volumes sobre astronomia, conhecida como o Almagesto, a obra de refereˆncia
em astronomia grega.
Para entender qua˜o geniais eram estes astroˆnomos e´ so´ se ligar no fato de que eles
na˜o tinham telesco´pios, medidores precisos de tempo e nem outros instrumentos.
Era tudo na rac¸a e na inteligeˆncia. Realmente admira´vel.
Ha´ outros povos que desenvolveram a astronomia como no oriente me´dio, princi-
palmente na Babiloˆnia, que e´ mais ou menos a regia˜o que hoje e´ o Iraque. Pore´m,
ainda na˜o havia uma clara separac¸a˜o entre religia˜o e cieˆncia.
Voceˆ ja´ se perguntou por que um minuto tem 60 segundos? Se ja´ e na˜o tem resposta,
la´ vai...
A escrita na Babiloˆnia comec¸ava com o 1, escrito sobre pedra usando o s´ımbolo g,
ja´ o 10 era feito usando o s´ımbolo �. Combinac¸o˜es destas duas marcas eram feitas
ate´ o 59, voltando ao inicio quando se chegava ao 60. So´ muito mais para frente que
se inventou o 0, pore´m a falta do zero permitia que os babiloˆnicos pudessem fazer
ca´lculos elaborados com facilidade. Essa galera na˜o era boba na˜o...
Dessa maneira, a divisa˜o de horas vem da notac¸a˜o babiloˆnica que ia ate´ 60
Os babiloˆnios, ale´m de documentar fenoˆmenos astronoˆmicos, iniciaram a criac¸a˜o do
calenda´rio, ao dividir o tempo baseado em fases da Lua. Sendo que cada fase dura
sete dias, enta˜o surgiram as semanas. Para nomear os dias, eles homenagearam as
divindades por eles adoradas. Vejam abaixo:
Mesopotaˆmia Ingleˆs Alema˜o Italiano Franceˆs Espanhol
Dia da Lua Monday Montag Lunedi Lunedi Lunes
Dia de Marte Tuesday Dienstag Martedi Mardi Martes
Dia de Mercu´rio Wednesday Mittwoch Mercoledi Mercred´ı Mie´rcoles
Dia de Ju´piter Thursday Donnerstag Giovedi Jeudi Jueves
Dia de Veˆnus Friday Freitag Vernedi Vendredi Viernes
Dia de Saturno Saturday Samstag Sabato Samedi Sa´bado
Dia do Sol Sunday Sontag Domenica Dimanche Domingo
Tabela 2.1: Dias da semana em outros idiomas
Cap´ıtulo 2. Breve histo´ria da astronomia 17
2.2 Idade Me´dia
A Idade Me´dia e´ conhecida como Per´ıodo das Trevas, onde o conhecimento e o
desenvolvimento cient´ıfico ficaram estagnados na Europa. Conceitos religiosos da
Igreja Cato´lica assombravam os estudiosos que queriam divulgar ideias contra´rias a
fe´ crista˜. Os pensadores da natureza realizavam estudos em sigilo. Diferentemente
da Europa, o mundo a´rabe se tornou culto, absorvendo muito do conhecimento grego
e desenvolvendo a cieˆncia no Oriente Me´dio. O progresso da matema´tica, da qu´ımica
e astronomia evoluiu bastante com os a´rabes, tendo muitos estudiosos com obras
traduzidas do a´rabe para o latim.
Com a chegada do Renascimento tudo mudou na Europa. O pessoal procurou
saber mais sobre a natureza, sendo que a astronomia virou uma das sete artes
liberais, bastante comuns no Studium Generale, ou que seria chamado no futuro de
Universidade. Adotou-se o modelo geoceˆntrico grego, onde se acreditava que a Terra
era o centro do Universo e tudo girava ao seu redor. Sabe nada inocente...Um poloneˆs chamado Nicolau Cope´rnico, chegou um dia em uma prac¸a da Europa
e disse “Esta´ tudo errado nessa bagac¸a, vamos parar com essa histo´ria de Terra no
Centro”. Claro que na˜o foi assim, isso foi so´ uma tentativa de ser engrac¸adinho da
minha parte, que eu acho que na˜o foi, e se na˜o foi pelo menos da´ uma risadinha a´ı
para fortalecer a amizade. Ok. Vamos continuar. O Cope´rnico propoˆs um modelo
diferente, chamado helioceˆntrico, no qual o Sol estaria no centro e a Terra orbitando.
Isso causou um rebu dos diabos, pois quebrava anos e anos de crenc¸a em uma teoria
errada.
Figura 2.4: Sistema Helioceˆntrico bolado por Cope´rnico, onde o Sol figura no centro.
18 2.2. Idade Me´dia
Mais tarde, Galileu Galilei e Johannes Kepler vieram a confirmar com dados e
complementar as ideias de Cope´rnico. Os dois se aprofundaram em observar e criar
me´todos e teorias que explicassem a mecaˆnica celeste.
Figura 2.5: Galileo Galilei. Conta a lenda, que
quando Galileo estava sendo questionado em seu jul-
gamento e foi obrigado a jurar que a Terra na˜o se
movia, ele falou baixinho “Ela ainda se move...” Ne-
gou para geral no julgamento, mas deu a palavra final
baixinho
Figura 2.6: Johannes Kepler
Por volta dos anos 1500 (o Brasil estava sendo descoberto nessa e´poca), um nobre
dinamarqueˆs chamado Tycho Brahe iniciou um trabalho de observac¸a˜o astronoˆmica
a olho nu, em seu observato´rio particular, localizado entre a Dinamarca e a Sue´cia.
Esse trabalho de observac¸a˜o levantou dados muito importantes para criac¸a˜o das
primeiras equac¸o˜es sobre gravitac¸a˜o. O observato´rio de Brahe tinha ate´ nome: Ura-
nienborg, em homenagem a Uraˆnia, a musa da astronomia.
Tycho Brahe era uma figura cuja vida teve alguns episo´dios pitorescos...
Tycho Brahe se meteu em uma confusa˜o que acabou em um duelo de espadas, que
nem nos filmes. Ele foi la´ lutar com seu adversa´rio e acabou perdendo o nariz com
um golpe de espada desferido durante combate. Estando ele sem nariz, passou a usar
pro´teses de metal, tipo ouro, prata e cobre. Ao exumar seu cada´ver, verificou-se que
os ossos do nariz estavam contaminados de verde, sinal de ı´ons de cobre. Isso deve
ao fato de que o cobre e´ um metal mais malea´vel que o ouro e prata e provavelmente
o deixava mais conforta´vel.
Cap´ıtulo 2. Breve histo´ria da astronomia 19
Figura 2.7: Tycho Brahe. Nariz meta´lico do Brahe em um retrato da e´poca, mostrando
a pro´tese.
A morte de Brahe foi causada por sua educac¸a˜o a` mesa. Convidado a um banquete,
ele estava com bexiga cheia e precisava ir ao banheiro, mas com vergonha resolveu
dar uma seguradinha. Segurou tanto que contraiu um problema urina´rio que veio a
lhe tirar a vida depois de onze dias acamado. Fato confirmado pelas colunas sociais
da e´poca e na revista Caras da Dinamarca (tentativa de piada). Entre os pro´ximos
de Brahe estava um cidada˜o chamado Johannes Kepler. Kepler o acompanhou ate´
seu momento derradeiro e diz a lenda que teria dito as seguintes palavras a Kepler
“Ne frustra vixisse videar!” que significa “Vaaai Curinthia!”. Na˜o, na˜o foi isso, na˜o.
A traduc¸a˜o correta e´ “Na˜o me deixe parecer ter vivido em va˜o”. Kepler mais tarde,
usando os dados de medic¸a˜o de Brahe deduziu as treˆs leis do movimento planeta´rio,
que conhecemos hoje. Kepler cumpriu o pedido de Brahe. Parceria sempre!
Na Ita´lia, entre uma massa e outra, um individuo chamado Galileu Galilei tambe´m
contribuiu enormemente para astronomia ao desenvolver um telesco´pio rudimentar
de 20 vezes aumento com o qual poˆde descobrir as quatro maiores luas de Ju´piter
em 1610, observou as crateras da Lua, explicou as machas solares (eu nem sabia que
o sol tinha mancha...), notou as fases de Veˆnus tal quais as fases da Lua e defendeu
o modelo geoceˆntrico. Ao tomar partido do modelo geoceˆntrico, Galileu arrumou
confusa˜o com a Santa Inquisic¸a˜o e quase foi executado. Quando foi chamado perante
o tribunal da Inquisic¸a˜o, ele negou suas ideias sobre o movimento da Terra se livrando
de morrer na fogueira ou enforcado... Dizem que enquanto ele negava diante dos
seus julgadores, ele baixinho dizia o contra´rio.
20 2.3. A Astronomia e a F´ısica
2.3 A Astronomia e a F´ısica
Os trabalhos de Tycho Brahe deram a Kepler as evideˆncias para desenvolver as
leis dos movimentos dos corpos celestes, dando um passo da mera observac¸a˜o para
modelos matema´ticos. O desenvolvimento dos conceitos f´ısicos por Galileu comec¸ou
a dar base para um entendimento desses fenoˆmenos sob a luz da cieˆncia f´ısica. Isso
impulsionaria o entendimento do cosmos com uma fruta.
A descoberta dos princ´ıpios da gravitac¸a˜o se deu pela observac¸a˜o da queda de uma
mac¸a˜ por Sir Isaac Newton. Era o ano de 1666 na Inglaterra, mais especificamente
no jardim da senhora Newton, em Lincolnshire. Isaac estava descansando sob a
sombra de uma macieira, quando uma mac¸a˜ caiu sobre sua cabec¸a, fazendo tambe´m
cair a ficha de que a Terra atraia os corpos. A partir da´ı Newton passou a descrever
uma teoria sobre a forma com que os corpos interagiam. Escreveu o sua maior
obra, o Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, ou Princ´ıpios Matema´ticos
da Filosofia Natural de 1687. Vamos entrar em detalhes nos pro´ximos cap´ıtulos.
Figura 2.8: Isaac Newton na˜o era headbanger e nem cultuava essa cabeleira. Essas
perucas eram comuns para evitar contaminac¸a˜o por piolhos naquele tempo.
2.4 Se´culos XIX e XX e uma nova forma de ver
o universo
O homem veˆ o mundo porque seus olhos sa˜o sens´ıveis a` luz, ondas eletromagne´ticas
em uma faixa de frequeˆncias que sensibilizam os tecidos internos do olho. Pore´m,
existem muitas outras ondas eletromagne´ticas, ale´m do que o ser humano pode per-
ceber a olho nu. Com os avanc¸os da f´ısica, descobriram ondas eletromagne´ticas em
diversas outras faixas como o infravermelho, ultravioleta, raios X, ondas de ra´dio,
raios gama e etc. O que podemos ver e´ uma faixa muito estreita de frequeˆncias.
Logo, a cieˆncia aprendeu como usar essas ondas e isso trouxe mais avanc¸os na as-
Cap´ıtulo 2. Breve histo´ria da astronomia 21
tronomia como a descoberta da espectroscopia.
Ondas eletromagne´ticas sa˜o ondas que viajam a uma mesma velocidade, na˜o impor-
tando sua frequeˆncia e comprimento de onda, nomeada de c, cujo valor no va´cuo e´
300.000km/s. Cada frequeˆncia esta´ associada a um u´nico comprimento de onda que
pode ser calculado atrave´s da famosa equac¸a˜o das ondas. Para qualquer onda vale
a seguinte relac¸a˜o entre velocidade v, sua frequeˆncia f e seu comprimento de onda
λ.
v = λ · f
Conforme dito, para as ondas eletromagne´ticas a velocidade e´ c, portanto, a equac¸a˜o
para ondas eletromagne´ticas se torna:
c = λ · f
Note a afirmac¸a˜o que fizemos na equac¸a˜o acima: para uma determinada frequeˆncia,
temos apenas um u´nico comprimento de onda, indo do violeta ao vermelho. Frequeˆncias
acima da frequeˆncia do violeta sa˜o chamados de ultra-violeta (um exemplo sa˜o as
radiac¸o˜es solares e que causam caˆncer). Frequeˆncias abaixo da frequeˆncia do verme-
lho sa˜o chamados de infra-vermelho (emitido pelo controle remoto da sua televisa˜o,
pore´m voceˆ na˜o enxerga, mas a TV detecta). Cada cor possui uma frequeˆncia bem
definida, bem como um comprimento de onda. Com o progresso nas pesquisas, ci-
entistas viram que gases aquecidos emitir radiac¸o˜es com determinadas frequeˆncias,
isto e´, os gases teriam uma identidade eletromagne´tica. Com isso era poss´ıvel deter-
minar a composic¸a˜o de determinado material apenas observando as radiac¸o˜es por
eles emitidas. A engenharia eletroˆnica possibilitou a criac¸a˜o de sensores que pode-
riam analisar essas radiac¸o˜es e assim detectar a composic¸a˜o de uma estrela ou de
um planeta, dizendo de grosso modo. Dessa forma, a observac¸a˜o astronoˆmica deu
um salto, permitindo entender na˜o so´ a mecaˆnica celeste, mas os ciclos de formac¸a˜o
e mortedos astros.
Os progressos da cieˆncia permitiam sonhar com respostas para perguntas mais fun-
damentais como a origem do Universo, sua evoluc¸a˜o e qual seria o seu futuro. Das
inu´meras teorias surgidas, a que e´ a mais aceita e´ a Teoria do Big Bang, mostrada a
seguir. Tudo comec¸ou quando o f´ısico experimental Leonard Hofstadter foi dividir
apartamento com doutor Sheldon Cooper... ops, e´ outra teoria.
A Teoria do Big Bang supo˜e o seguinte:
“Our whole universe was in a hot dense state,
Then nearly fourteen billion years ago expansion started. Wait...
The Earth began to cool. . . ”
- Theory of Everything, Barenaked Ladies
Nosso universo era quente e denso, perto de 14 bilho˜es de anos atra´s a expansa˜o
comec¸ou... So´ que esta expansa˜o comec¸ou com uma explosa˜o. Espalhando-se e tudo
mais se originou a partir da´ı, pro isso o nome Big Bang, ou grande estrondo.
Essa teoria so´ teve suas evidencias detectadas com a evoluc¸a˜o dos sensores que per-
mitiram ouvir “ecos” dessa explosa˜o.
22 2.5. Teoria da Relatividade Geral e Ondas Gravitacionais
E como o universo evoluiu? Esta´ em expansa˜o ou contrac¸a˜o? Isso porque se ex-
plodiu pode ser uma expansa˜o, pore´m se a expansa˜o acabou e agora estamos com-
primindo? A resposta para isso vem de um efeito que podemos observar quando
uma ambulaˆncia ou outro ve´ıculo com sirene passa em alta velocidade. Quando a
ambulaˆncia passa, parece que o som dela muda quando se aproxima de no´s e quando
se afasta. Essa mudanc¸a de grave para agudo se da´ por que a frequeˆncia, que o ob-
servador escuta, muda. A sirene vai estar sempre com a mesma frequeˆncia, pore´m o
efeito do movimento faz parecer, aos ouvidos do observador, que ha´ uma mudanc¸a.
Esse fenoˆmeno e´ explicado como Efeito Doppler. Ele se aplica a` ondas cuja fonte
esteja em movimento relativamente a um observador. Astroˆnomos perceberam que
gala´xias que esta˜o se afastando da Terra apresentam radiac¸o˜es que parecem se deslo-
car para as frequeˆncias do vermelho e gala´xias que aproximam apresentam radiac¸o˜es
aqui na Terra que se deslocam em direc¸a˜o a`s frequeˆncias do azul. Esse fenoˆmeno
e´ conhecido com Red Shift, ou deslocamento para vermelho. Edwin Hubble per-
cebeu essas relac¸o˜es e suas observac¸o˜es sa˜o tomadas como ind´ıcios da expansa˜o do
Universo.
2.5 Teoria da Relatividade Geral e Ondas Gravi-
tacionais
Em 1915 era publicada a Teoria da Relatividade Geral, pelo f´ısico alema˜o Albert
Einstein. Einstein ja´ havia impressionado o mundo com a teoria anterior chamada
Teoria da Relatividade Especial ou Restrita. Einstein revolucionou a F´ısica ao dar
uma nova visa˜o sobre os fenoˆmenos f´ısicos e com a Teoria da Relatividade Geral
viria a mudar o entendimento da gravitac¸a˜o. Na sua teoria, os fenoˆmenos f´ısicos po-
deriam ser observado em um referencial quadridimensional, sendo o tempo a quarta
dimensa˜o. Hoje, na f´ısica cla´ssica, os referencias sa˜o sempre (x,y,z) representando o
espac¸o, no entanto Einstein propoˆs uma nova forma como (x,y,z,t). E ele foi ale´m,
o espac¸o-tempo esta´ relacionado com a gravidade! Dentre as diversas concluso˜es de
sua teoria, uma delas e´ que grandes massas podem curvar o espac¸o-tempo. Veja na
figura seguinte:
Figura 2.9
Cap´ıtulo 2. Breve histo´ria da astronomia 23
A confirmac¸a˜o experimental dessa alegac¸a˜o foi feita no Brasil, em Sobral no Ceara´,
no ano de 1919. O experimento realizado mostrou que a curvatura do espac¸o-tempo
faria um raio de luz, vindo de uma estrela, contornar o Sol (se na˜o considerarmos
a curvatura do espac¸o, a luz seguiria um caminho em linha reta e seria bloqueada
pelo Sol) e ser detectada na Terra. Na figura seguinte, o ponto mais a direita seria
a posic¸a˜o causada pelo efeito da distorc¸a˜o, fazendo a parecer estar mais afastada
quando na verdade, ela estaria atra´s do sol e na˜o poderia ser vista.
Figura 2.10
Essa foi uma das confirmac¸o˜es experimentais da teoria do Albert.
Recentemente, mais uma previsa˜o da Teoria da Relatividade Geral foi confirmada:
a existeˆncia de ondas gravitacionais. Sendo que objetos de grandes massas causam
distorc¸o˜es no espac¸o-tempo, ondas gravitacionais podem acontecer. Um experimento
de um conso´rcio de cientistas, o LIGO, Laser Interferometer Gravitational-Wave
Observatory, conseguiu detectar perturbac¸o˜es criadas por um sistema bina´rio de
buracos-negros. Buracos Negros sa˜o objetos celestes de massa muito elevada a tal
ponto que sua forc¸a gravitacional na˜o permite nem a luz escapar. O sistema bina´rio
formado pelos buracos negros pode ser entendido com como dois corpos que orbitam
em torno do seu centro de massa. E´ como um casal, de brac¸os dados, girando em um
sala˜o de festas. Enta˜o a rotac¸a˜o dessas duas grandes massas perturba o espac¸o-tempo
gerando as ondas. Na fotografia abaixo, podem ser vistos os dois buracos-negros e
note que sa˜o dois opacos devido ao fato de na˜o deixarem a luz escapar, diferente das
estrelas.
Figura 2.11
24 2.5. Teoria da Relatividade Geral e Ondas Gravitacionais
Na figura seguinte as espirais sa˜o as perturbac¸o˜es criadas pelo sistema bina´rio ana-
lisado. Essas ondas foram detectadas pelos interferoˆmetros a laser do LIGO. Com-
provando assim, que mais uma vez Einstein estava certo.
Figura 2.12
O Albert sempre foi um cara muito simpa´tico, de bem com a vida e de mal com o
pente ou escova, revolucionou a f´ısica e gostava de tomar uma depois do trabalho
para relaxar. O Albert realmente faz falta...
Figura 2.13
Cap´ıtulo 3
Gravidade
3.1 A gravidade de Newton
O Principio da Gravitac¸a˜o foi descoberto por Newton e estabelece uma forma de
calcular a forc¸a entre dois corpos quando separados a certa distaˆncia. Newton
afirmou que essa forc¸a depende de uma constante universal, chamada de Constante
Universal Gravitacional.
F =
Gm1m2
d2
Onde G = 6, 67× 10−11m3kg−1s2. No numerador m1 e m2 sa˜o as massas dos corpos
envolvidos e d e´ a distaˆncia que os separa.
Como a forc¸a e´ um vetor, ela deve ter ale´m de um valor de intensidade, deve ter
uma direc¸a˜o e um sentido. A direc¸a˜o e´ sempre na linha reta que une os corpos. O
sentido e´ sempre na direc¸a˜o do outro corpo. Por exemplo:
Na figura, temos duas forc¸as F12 quer dizer a forc¸a gravitacional que o corpo 1
exerce sobre o corpo 2 e F21 quer dizer a forc¸a que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1.
Essas forc¸as sa˜o sempre ao pares e tem igual intensidade, na˜o importa se o um dos
corpos seja infinitamente maior. Eu gosto de dizer que e´ uma forc¸a democra´tica.
Por exemplo, entre mim e a Terra ha´ uma forc¸a gravitacional, pois eu tenho uma
massa de aproximadamente 78kg e a Terra tem milho˜es quilos de massa. Nessa
nossa conviveˆncia dia´ria, a Terra exerce uma forc¸a sobre mim e eu exerc¸o uma forc¸a
sobre ela. A forc¸a que ela exerce sobre mim e´ igual em intensidade a` forc¸a que eu
exerc¸o sobre ela.
Um mesmo corpo pode exercer forc¸as gravitacionais em muitos outros, na˜o impor-
tando a quantidade e cada interac¸a˜o gravitacional segue a mesma regra acima. No
exemplo seguinte, quatro corpos de massas diferentes separados por distaˆncias que
na˜o sa˜o as mesmas, exercem forc¸as gravitacionais uns sobre os outros. Veja que as
forc¸as sa˜o aos pares, pois de acordo coma fo´rmula de Newton, a interac¸a˜o gravita-
cional envolve sempre dois corpos de cada vez.
25
26 3.1. A gravidade de Newton
Aı´ voceˆ me pergunta, e esse monte de forc¸as a´ı? Bom, veja que cada corpo esta´
sob ac¸a˜o de treˆs forc¸as. O que vai acontecer com ele vai depender da sua massa
e principalmente da forc¸a resultante. A forc¸a resultante e´ a forc¸a que resulta do
efeito combinado dessas treˆs forc¸as. Para saber como vai ficar essa forc¸a resultante e´
preciso fazer a soma vetorial das forc¸as. O que isso quer dizer, voceˆ tem que somar
os vetores. Estou considerando que voceˆ ja´ sabe fazer isso. Algumas coisas eu possoate´ revisar, mas se eu revisar tudo esse livro fica enorme.
Se a resultante for nula, a acelerac¸a˜o sera´ nula e enta˜o duas situac¸o˜es podem acon-
tecer:
1. Se a acelerac¸a˜o e´ nula, na˜o ha´ variac¸a˜o de velocidade, enta˜o ele pode estar em
movimento uniforme, isto e´, com velocidade constante.
2. Se a acelerac¸a˜o for zero, ele pode ter velocidade constante igual a zero, isto e´,
parado.
Assim se a resultante for zero, o corpo pode estar em repouso ou eu movimento
uniforme. Enta˜o veja o seguinte, a resultante da forc¸a e´ a soma de todas as forc¸as
FR =
∑
F = ma
A acelerac¸a˜o vai ficar:
a =
∑
F
m
Para saber o que acontece com todos os corpos da situac¸a˜o do exemplo, precisamos
fazer a resultante de cada um e depois a achar a acelerac¸a˜o, da´ı poderemos entender
o movimento deles.
Um exemplo cairia bem agora hein...? Enta˜o vamos la´.
Cap´ıtulo 3. Gravidade 27
Questa˜o resolvida. Suponha que treˆs corpos de massa m estejam nos ve´rtices
de um triaˆngulo equila´tero de lado a. Calcule a resultante da forc¸a no corpo 3 e
encontre a sua acelerac¸a˜o.
Soluc¸a˜o: As massas sa˜o iguais e a distancias tambe´m. O que fizermos para a
massa 3 vale para as outras. Se fossem diferentes ter´ıamos que fazer uma por uma.
O que quero mostrar aqui e´ um procedimento para voceˆ usar nessas situac¸o˜es. Se
voceˆ entender bem esse procedimento na˜o vai ter problemas com outros tipos de
questo˜es parecidas.
Primeiro pegamos a massa treˆs e desenhamos as forc¸as sobre ela. Isso ja´ esta´ na
figura. Sobre ela esta´ a forc¸a que a massa 2 exerce sobre ela e a forc¸a que a massa
1 exerce sobre ela. A direc¸a˜o dessas forc¸as e´ a direc¸a˜o da linha que une os centros
delas. Mas veja que elas esta˜o inclinadas. Como fazer? Somar direto e´ que voceˆ
na˜o deve, pois esses vetores na˜o esta˜o na mesma direc¸a˜o. O que eu fac¸o e´ criar um
sistema de coordenadas em cima da massa em questa˜o e decompor essas forc¸as em
horizontais e verticais. Depois disso, a´ı sim eu somo as componentes horizontais e
as componentes verticais. Feito isso posso achar a forc¸a resultante
De posse disso, fac¸o a decomposic¸a˜o das forc¸as. Note na figura abaixo que as
forc¸as seguem a linha do triaˆngulo equila´tero. Um triaˆngulo equila´tero tem todos os
seus lados iguais e seus aˆngulo internos iguais a 60◦. Como as forc¸a F13 e F23 (que
28 3.1. A gravidade de Newton
chamei de F1 e F2 so´ para na˜o carregar muito o desenho) sa˜o sime´tricas, o aˆngulo
com a vertical e´ 30◦ para cada para completar 60◦ do ve´rtice.
Agora que as forc¸as foram decompostas, podemos somar as componentes de
mesma linha, isto e´, somar as forc¸as horizontais e as forc¸as verticais. FRx e FRy sa˜o
as resultantes no eixo x e eixo y, resultado da interac¸a˜o das componentes horizontais
e verticais, respectivamente.
FRx =
∑
Fx
FRy =
∑
Fy
Agora precisamos calcular cada componente horizontal e vertical. Observe que as
componentes de F1, forma com F1 um triaˆngulo retaˆngulo. O mesmo se pode dizer
para F2 e sua gangue.
As relac¸o˜es trigonome´tricas ajudam bastante nessa hora. Mas qual usar? Seno?
Cosseno? Tangente? Depende do que voceˆ tiver a` ma˜o... Sabemos que as forc¸as F1
e F2 sa˜o as forc¸as gravitacionais, e F1 e F2 sa˜o as hipotenusas, enta˜o e´ melhor usar
seno e cosseno.
Para F1:
F1x = F1.cos60
◦ =
1
2
F1 =
1
2
· Gm
2
a2
Cap´ıtulo 3. Gravidade 29
F1y = F1.sen60
◦ =
√
3
2
F1 =
√
3
2
· Gm
2
a2
Para F2:
F2x = F2.cos60
◦ =
1
2
F1 =
1
2
· Gm
2
a2
F2y = F2.sen60
◦ =
√
3
2
F1 =
√
3
2
· Gm
2
a2
A componente F1x esta´ no sentido contra´rio do plano cartesiano, portando sera´
negativo.
FRx =
∑
Fx = F2x − F1x = 1
2
· Gm
2
a2
− 1
2
· Gm
2
a2
= 0
As duas componentes verticais apontam para baixo, enta˜o sa˜o contra o sentido do
eixo y, portanto sa˜o negativas.
FRy =
∑
Fy = −F2y − F1y = −
√
3
2
· Gm
2
a2
−
√
3
2
· Gm
2
a2
= −
√
3 · Gm
2
a2
Como temos as duas componentes da forc¸a resultante, podemos achar o mo´dulo da
forc¸a.
F 2R = F
2
Rx + F
2
Ry
F 2R = 0
2 +
(
−
√
3 · Gm
2
a2
)2
FR =
√(
−
√
3 · Gm
2
a2
)2
FR =
√
3 · Gm
2
a2
Qual a direc¸a˜o dessa forc¸a? E´ so´ achar o aˆngulo entre suas componentes
cosθ =
FRx
FR
=
0
FR
= 0
senθ =
FRy
FR
=
−√3 · Gm
2
a2
√
3 · Gm
2
a2
= −1
O aˆngulo para o qual o cosseno e´ zero e o seno e´ −1 e´ 270◦, o que mostra que a
forc¸a resultante e´ uma forc¸a vertical apontada para baixo. Ou tambe´m voceˆ pode
30 3.1. A gravidade de Newton
notar que a resultante horizontal e´ nula e sendo assim a forc¸a resultante so´ pode ser
vertical e neste caso, no sentido da base do triaˆngulo.
A acelerac¸a˜o do corpo 3 segue o mesmo sentido e direc¸a˜o da forc¸a resultante (vertical
para baixo) e tem intensidade de:
α =
FR
m
=
√
3 · Gm
2
a2
m
=
√
3 · Gm
a2
Pronto!! Tente repetir isso para ao inve´s de um triangulo equila´tero, seja um trian-
gulo retaˆngulo de catetos de lado a. Faz a´ı, irma˜o!
Um fato importante a ser citado e´ que a forc¸a gravitacional nunca se anula, ela
diminui com o quadrado da distaˆncia, pore´m nunca vai a zero. A pro´pria equac¸a˜o
mostra isso. Quer ver? Vamos supor que dois corpos do exemplo se interagem e
vamos analisar em que situac¸a˜o a forc¸a entre eles dois se anula.
F =
Gm1m2
d2
= 0
Para isso a´ı ser zero, temos que ter uma ou as duas massas iguais a zero. Mas como
os corpos existem isso na˜o e´ poss´ıvel. Outra situac¸a˜o e´ avaliando a distaˆncia... A
distaˆncia para qual a forc¸a e´ nula e´:
d =
√
Gm1m2
F
=
√
Gm1m2
0
Mas uma divisa˜o por zero na˜o existe, e´ uma indeterminac¸a˜o, uma violac¸a˜o ma-
tema´tica. Dessa maneira, para distaˆncias muito grandes, grandes mesmo, mas
muito, muito grandes, a forc¸a fica muito pequena, mas na˜o se anula.
Por exemplo, enquanto eu escrevo essas humildes linhas deste livro, eu sinto uma
forc¸a de atrac¸a˜o muito fraca entre mim e a estrela Alfa Centauri, que esta´ a` um
zilha˜o de quiloˆmetros daqui.
Mas na˜o confunda forc¸a gravitacional nula com resultante nula. A resultante da´
nula por que e´ uma soma de forc¸as que podem se anular. A forc¸a gravitacional
sozinha na˜o se anula.
Isso tudo acontece por que cada massa cria uma regia˜o de influeˆncia gravitacional,
onde outras massas podem sentir o efeito desse campo. Na˜o fica muito claro esse
conceito desse jeito e eu prefiro trabalhar com analogias.
Imagine a Nicole Kidman, aquela atriz australiana...
Considere que a Nicole Kidman passe um dos perfumes mais caros e mais atraentes
que existe no mundo, afinal ela pode comprar. Ao andar por a´ı, o perfume de Nicole
se espalha pelo ar. As pessoas perto dela ira˜o sentir esse perfume e ficara˜o atra´ıdos
por ela, pois isso chamara´ atenc¸a˜o delas. Quanto mais perto, maior e´ a intensidade
do perfume e mais intensa sera´ atrac¸a˜o. Pessoas mais afastadas sentiram o perfume,
mas na˜o ta˜o forte quanto a`s pessoas mais pro´ximas.
O campo de forc¸a e´ assim, como a analogia do perfume, seja ele gravitacional ou
eletrosta´tico, e´ como se fosse a regia˜o onde se sente o efeito.
O campo gravitacional depende da distaˆncia e da massa que o gera. Em cada posic¸a˜o
dele ha´ um valor que depende da massa que foi colocada no campo. Esse valor se
Cap´ıtulo 3. Gravidade 31
chama potencial gravitacional. Quando um corpo de massa m esta´ se movendo em
um campo gravitacional, ele assume diversos valores de potencial gravitacional. O
potencial gravitacional aumenta a` medida que se aproxima da massa geradora do
campo.
Vamos pensar numa part´ıcula no campo gravitacional da Terra, quando ela esta´
muito longe tipo no ponto OJPAB (Onde Judas Perdeu As Botas). Nesta loca-lizac¸a˜o o campo e´ muito fraco (nunca nulo!), ela esta´ sob um potencial de valor
muito pro´ximo de zero (nunca zero!). Se ela comec¸a a se mover em direc¸a˜o da
Terra, ela aumenta seu potencial, pois esta´ se aproximando da massa geradora. E´
tipo duas pessoas que se amam. A pessoa amada esta´ ali na prac¸a sentada dando
comida aos pombos. A outra pessoa apaixonada veˆ a raza˜o de sua paixa˜o ali e a`
medida que vai se aproximando comec¸a a sentir uma ansiedade, um nervosismo,
um sei-la´-o-que.... Como se esse estado emocional fosse o potencial. Entendeu a
analogia?
No caso do planeta Terra, se considerar so´ ela no Universo (para desconsiderar os
efeitos de outros corpos celestes), um meteoro que viaja por a´ı, sente o campo da
Terra e a cada ponto de seu deslocamento ele sente um valor de potencial gravita-
cional e quanto mais perto, maior o potencial.
Um campo gravitacional e´ uma grandeza vetorial, o que significa que possui uma
direc¸a˜o e um sentido. A direc¸a˜o e´ a mesma direc¸a˜o da forc¸a gravitacional, e o sentido
tambe´m. Ja´ o potencial gravitacional e´ uma grandeza escalar, portanto, e´ apenas
um nu´mero.
A figura abaixo mostra como o mo´dulo do campo varia com a distaˆncia. Por isso
que quanto mais perto, mais acelerado um corpo esta´. O campo gravitacional e´
func¸a˜o apenas da massa geradora e da distaˆncia ate´ o centro dessa massa. O gra´fico
abaixo na˜o depende de massa nesse campo.
Como esse e´ um livro de f´ısica, precisamos escrever umas fo´rmulas para sumarizar
o que aprendemos ate´ agora.
Um campo gravitacional pode ser escrito como a regia˜o na qual uma massa sente
a forc¸a gravitacional gerada por outra massa. O campo e´ um vetor, enta˜o vamos
calcular o vetor.
~g =
~F
m
32 3.1. A gravidade de Newton
Como a divisa˜o tem sinal positivo, podemos dizer que o campo gravitacional g tem
o mesmo sentido da forc¸a. E se tivesse um negativo ali? Ir´ıamos dizer que o campo
gravitacional tem sinal oposto a` da forc¸a.
Para calcular o valor do campo gravitacional (que vamos chamar de g) precisamos
achar o mo´dulo do vetor campo gravitacional. E´ so´ pegar o mo´dulo da forc¸a e dividir
pela massa
|~g| = |
~F |
m
Vimos anteriormente o mo´dulo da forc¸a gravitacional, que e´ a equac¸a˜o de Newton,
que da´ o mo´dulo da forc¸a gravitacional.
g =
GMm
d2
m
=
GM
d2
Temos a´ı uma coincideˆncia interessante, o valor do campo gravitacional e´ o mesmo
da acelerac¸a˜o causada pela forc¸a gravitacional.
Quando pensamos na acelerac¸a˜o de uma forc¸a resultante sobre um corpo e esse corpo
tem massa m, estamos falando de massa inercial. Quando falamos em massa para
fins de ca´lculos gravitacionais estamos falando de massa gravitacional. Nesse caso,
a massa inercial e a massa gravitacional sa˜o ideˆnticas.
Vamos continuar nosso bate-papo, mas antes eu gostaria de chamar a distaˆncia d de
r.
g =
GM
r2
Pronto! Seguinte... essa equac¸a˜o vale para qualquer situac¸a˜o. Se voceˆ pegar uma
bala de hortela˜ e quiser calcular o campo gravitacional gerado por ela e´ so´ pegar
sua massa e estipular uma distaˆncia do centro dela. Se voceˆ quiser calcular o campo
gravitacional de uma formiga sau´va tambe´m e´ poss´ıvel, basta usar a fo´rmula. Mas se
estiver falando de um corpo de dimenso˜es relevantes como um planeta, por exemplo?
Essa equac¸a˜o tambe´m e´ valida sim. Esse r a´ı e´ a distancia ate´ o centro da massa
geradora do campo. Se tomarmos um ponto na superf´ıcie do planeta, o r e´ igual ao
raio do planeta... Por isso que eu coloquei no gra´fico um valor Es. Mas se fossemos
entrar no planeta, como seria o campo la´ dentro?
Bom, cada planeta tem sua composic¸a˜o interna, tem planetas que sa˜o gasosos outros
sa˜o so´lidos, estrelas, por exemplo, tem uma composic¸a˜o especial, mas no final tudo
tem massa, o que vale e´ a massa deles. Por exemplo, a Terra tem va´rias camadas
de material. A mais externa e que no´s conhecemos e´ a crosta terrestre, na qual no´s
pisamos e constru´ımos nossas casas e armamos nossas barracas de camping e onde as
crianc¸as fazem castelos de areia que o cachorros veˆm destruir. Abaixo da crosta tem
o SiAL e o SiMa, sa˜o camadas formadas por Sil´ıcio e Alumı´nio e Sil´ıcio e Magne´sio.
E depois dessa camada ha´ o nu´cleo que e´ uma mistura de metais derretidos em alta
temperatura e que giram em velocidades maiores que a velocidade de rotac¸a˜o da
Terra. Isso que causa termos um campo magne´tico. Como a Terra e´ composta de
va´rias camadas de materiais diferentes, dizemos que ela e´ heterogeˆnea. Se ela fosse
um bola feita so´ de ferro ou chumbo ou chocolate, com distribuic¸a˜o uniforme, ela
seria homogeˆnea.
Cap´ıtulo 3. Gravidade 33
Se cavarmos um buraco que vai passando por essas camadas, vamos sentir uma
diferenc¸a de gravidade a` medida que nos aprofundamos. A gravidade (ja´ conhec¸o o
campo gravitacional faz um bom tempo e temos certa intimidade enta˜o vou chama-
lo de gravidade) vai decaindo com a proximidade do centro da Terra, isso por que
o que fica para cima na˜o faz diferenc¸a. Vamos ver isso em breve. Em muitos
problemas de gravitac¸a˜o para ensino me´dio, fazemos uma considerac¸a˜o de que a
Terra e´ homogeˆnea e assim podemos achar uma relac¸a˜o linear bem interessante,
mas isso e´ apenas considerac¸o˜es de problemas, mas na real ela e´ heterogeˆnea. Da´
para calcular no caso de ela ser heterogeˆnea, mas a´ı precisamos de ferramentas de
calculo que so´ se veˆ na universidade. Mas por que eu citei isso, simplesmente para
voceˆ saber o que e´ real e o que e´ teo´rico.
Mas por que na˜o falamos de campo interno de uma bala de hortela˜ ou formiga? Por
que quem quer saber isso? Mas Miguel isso na˜o e´ resposta. Com certeza na˜o... Bom,
primeiro e´ que planetas e estrelas sa˜o muito mais simples de modelar, ou seja, sa˜o
esferas, bolas, “oblo´ides” e que da´ para supor com certa toleraˆncia que sa˜o feitos de
poucos materiais e tals. Pense como seria modelar uma formiga... e para o ensino
me´dio isso e´ irrelevante e complexo.
Enfim, saiba que existe um campo interno e que ele diminui a medida que cava-
mos um buraco na Terra. Precisamos falar sobre o potencial gravitacional
Meu amigo e minha amiga, o potencial como disse e´ um valor que uma massa
assume ao se posicionar em um campo gravitacional. Mas qual seria a definic¸a˜o de
potencial?? Anota a´ı... o potencial gravitacional seria a energia necessa´ria (trabalho)
necessa´rio para trazer um corpo de massa m, la´ do infinito ate´ o ponto que estamos
considerando, quando em um campo gravitacional.
34 3.1. A gravidade de Newton
Como o potencial no infinito e´ muito pequeno, consideramos como nulo, so´ para
efeito de calculo. Assim, o potencial gravitacional sempre sera´ no ponto a uma
distancia r do centro da massa geradora
Nesse caso, o potencial e´ um valor que depende da massa geradora e da massa em
questa˜o e por isso a equac¸a˜o fica assim:
U(r) = −GMm
r
Lembre que r e´ a distaˆncia entre o centro da massa M e o centro da massa m.
Esse resultado acima mostra que podemos mover um corpo em um campo gravita-
cional pra la´ e pra ca´ desde que se fornec¸a a energia necessa´ria para que ele esteja
nessa posic¸a˜o. Tipo viajar, voceˆ pode ir para Paris, para Moscou, desde que voceˆ
fornec¸a o dinheiro para estar nesses lugares. E´ a mesma coisa, para mexer uma
massa em um campo gravitacional e´ so´ fornecer ou retirar a energia dessa massa. A
essa energia damos o nome de Energia Potencial Gravitacional.
Na maioria dos problemas de gravitac¸a˜o, consideramos sistemas sem influeˆncia de
outras forc¸as externas ao sistema, assim usamos o principio da conservac¸a˜o da ener-
gia mecaˆnica. A energia mecaˆnica nesses casos e´ composta pela energia cine´tica e
a energia potencial gravitacional. A energia cine´tica e´ a energia do movimento e
depende da velocidade do corpo.
Ecine´tica =
1
2
mv2
A energia mecaˆnica e´ a soma dessas energiasEmecaˆnica = Ecine´tica + Epotencial
Emecaˆnica =
1
2
mv2 − GMm
r
Se no sistema que consideramos na˜o ha´ forc¸as externas, em qualquer ponto e a
qualquer momento a energia mecaˆnica e´ igual.
Qual seria a energia mecaˆnica da massa m1 no sistema que vimos inicialmente?
E´ a soma da energia de cine´tica de m1 e de m2 e a energia potencial gravitacional
entre eles
Emecaˆnica =
1
2
m1v
2
1 +
1
2
m2v
2
2 −
Gm1m2
d
Vamos ver mais um exemplo para entender melhor essa questa˜o...
Cap´ıtulo 3. Gravidade 35
Questa˜o resolvida. Imagine treˆs massas de m1, m2 e m3, cada uma no ve´rtice
de um triangulo equila´tero de lado a. Inicialmente elas esta˜o em repouso por que
tem algue´m segurando cada massa. Se o cidada˜o vai fazer um lanche e solta essas
massas, elas comec¸am a se mover, pois esta˜o se atraindo. Qual e´ a energia mecaˆnica
do sistema nessa situac¸a˜o e quando elas se encontrarem?
Soluc¸a˜o:
Emecaˆnica inicial = −Gm1m2
a
− Gm1m3
a
− Gm2m3
a
Mas por que na˜o entra energia cine´tica a´ı? Atento leitor, isso acontece, pois no
inicio elas esta˜o em repouso, por que o Criatura de Deus esta´ segurando as massas.
Da´ı a velocidade e´ nula e as energias cine´ticas sa˜o nulas.
Depois que elas foram soltas, parte da energia mecaˆnica inicial se transforma em
movimento, ou seja, cada massa comec¸a a se mover com velocidade e com isso,
temos que considerar a soma das energias cine´ticas de cada uma. Qual seria enta˜o a
energia mecaˆnica quando cada um esta´ a uma distancia igual a metade da distaˆncia
inicial? E´ so´ considerar na equac¸a˜o da energia potencia, ao inve´s de a, considerar
a/2.
Emecaˆnica inicial =
1
2
m1v
2
1 +
1
2
m2v
2
2 +
1
2
m3v
2
3 −
Gm1m2
a/2
− Gm1m3
a/2
− Gm2m3
a/2
Apesar de ter ficado uma equac¸a˜o grande, os conceitos sa˜o bem estruturados. E` so´
voceˆ pensar em cada massa, na energia cine´tica e potencial de cada uma e analisar
o antes e depois.
Imagine que elas esta˜o em uma mesa sem atrito, sem resisteˆncia do ar, sem nada
que atrapalhe... Podemos dizer que a energia se conserva.
Emecaˆnica inicial = Emecaˆnica final
−Gm1m2
a
− Gm1m3
a
− Gm2m3
a
=
1
2
m1v
2
1 +
1
2
m2v
2
2 +
1
2
m3v
2
3 −
Gm1m2
a/2
− Gm1m3
a/2
− Gm2m3
a/2
Se as massas sa˜o iguais a m, enta˜o:
−3Gm
2
a
=
1
2
mv21 +
1
2
mv22 +
1
2
mv23 −
6Gm2
a
1
2
mv21 +
1
2
mv22 +
1
2
mv23 =
3Gm2
a
36 3.2. Acelerac¸a˜o da gravidade
3.2 Acelerac¸a˜o da gravidade
Da discussa˜o anterior vimos que o campo gravitacional e´ ideˆntico a` acelerac¸a˜o cau-
sada pela forc¸a gravitacional. Assim, essa acelerac¸a˜o no´s vamos chamar de ace-
lerac¸a˜o da gravidade. Pois bem... Imagine um planeta esfe´rico, que tenha raio R e
massa M . Esse planeta atrai os corpos em sua volta com a forc¸a gravitacional:
F =
GMm
d2
Essa forc¸a de atrac¸a˜o e´ que chamamos de peso, enta˜o fica assim:
P =
GMm
(R + h)2
Em que h e´ altura do corpo em relac¸a˜o a superf´ıcie do planeta.Mas sabemos que
peso se calcula desta forma:
P = mg
m e´ a massa dos corpos nas proximidades da superf´ıcie do planeta e g e´ a acelerac¸a˜o
da gravidade nessa regia˜o.
Igualando as equac¸o˜es do peso, gerando o resultado:
mg =
GMm
(R + h)2
g =
GM
(R + h)2
Se a altura h e´ muito menor que R, podemos despreza-lo, deixa-lo na rua da amar-
gura, com uma garrafa de pinga como companhia. Mas por que despreza-lo? Por
que sendo o raio da Terra um valor na faixa de 6000 km, ou 6000000 metros, so-
mar 100m metros em 6000000 vai afetar muito pouco. Quando falamos em dezenas
ou centenas de quiloˆmetros, a simplificac¸a˜o na˜o rola. Por isso, por simplicidade,
para ALGUNS CASOS, podemos entender que a acelerac¸a˜o nas proximidades da
superf´ıcie da Terra e´ constante igual a g.
Para o caso da acelerac¸a˜o da gravidade na superf´ıcie da Terra, o valor e´ obtido ao
substituir os dados da equac¸a˜o:
gP =
GM
R2
=
6, 67× 10−11 · 5, 97× 1024
(6, 37× 106)2 = 9, 81m/s
2
Se voceˆ subir ao topo do Monte Everest, que tem 8000m de altura, tem que voltar
a usar
g =
GM
(R + h)2
Onde h e´ a altura do Everest.
Atente que peso e´ diferente de massa. Massa e´ quantidade de mate´ria e peso e´ uma
forc¸a.
Cap´ıtulo 3. Gravidade 37
Pode ser u´til representarmos a acelerac¸a˜o gravitacional em um ponto qualquer
em func¸a˜o da acelerac¸a˜o gravitacional na superf´ıcie. Isso nos permite comparar essa
acelerac¸a˜o com a acelerac¸a˜o que conhecemos e que podemos medir em solo. Um
pouco de a´lgebra nos ajuda nessa missa˜o. Vamos chamar a acelerac¸a˜o na superf´ıcie
de g0 e a acelerac¸a˜o em um ponto a uma dada altura da superf´ıcie de gh que pode
ser expresso como:
gh =
GM
(R + h)2
Isso porque estamos a uma altura h do solo. Para g0, a expressa˜o fica:
g0 =
GM
R2
Veja que ha´ algo em comum para gh e g0, que e´ a quantidade GM e que na˜o vai
mudar, pois e´ a constante gravitacional e a massa do planeta. Podemos retrabalhar
as equac¸o˜es para relacionar as duas acelerac¸o˜es. Veja a magia pairando no ar com
essa manipulac¸a˜o matema´tica:
GM = g0R
2
Como o resultado acima e´ o numerador para gh, podemos substituir...
gh =
GM
(R + h)2
=
g0R
2
(R + h)2
gh pode ser expresso em func¸a˜o de g0 e da altura.
gh =
g0R
2
(R + h)2
Agora vamos ver o que acontece quando subimos para alturas:
h = 0, 5R
h = 1R
h = 2R
h = 5R
h = 10R
h = 100R
g(0, 5R) =
g0R
2
(R + 0, 5R)2
=
g0R
2
(1, 5R)2
=
g0R
2
2, 25R2
∼= 0, 44g0
g(1R) =
g0R
2
(R +R)2
=
g0R
2
(2R)2
=
g0R
2
4R2
= 0, 25g0
g(2R) =
g0R
2
(R + 2R)2
=
g0R
2
(3R)2
=
g0R
2
9R2
∼= 0, 11g0
g(5R) =
g0R
2
(R + 5R)2
=
g0R
2
(6R)2
=
g0R
2
36R2
∼= 0, 027g0
38 3.2. Acelerac¸a˜o da gravidade
g(10R) =
g0R
2
(R + 10R)2
=
g0R
2
(11R)2
=
g0R
2
121R2
∼= 0, 008g0
Colocando em uma planilha obtemos um gra´fico que mostra toda essa variac¸a˜o.
No eixo vertical temos a porcentagem da acelerac¸a˜o na superf´ıcie e na horizontal a
altura em mu´ltiplos do raio do planeta.
Note que a uma altura de duas vezes o raio do planeta, o que se sente e´ uma
acelerac¸a˜o que e´ 11% da acelerac¸a˜o sentida na superf´ıcie. Como trac¸amos um gra´fico
para poucos pontos, a curva fica um tanto estranha, mas ja´ da para ver que a
acelerac¸a˜o cai bastante com a altura. Um gra´fico melhor seria esse aqui...
Enta˜o te fac¸o uma pergunta: Em que altura teremos acelerac¸a˜o da gravidade
igual a 0? Em que distancia da superf´ıcie a forc¸a da gravidade e´ 0? Pensa a´ı...
Pensou? Enta˜o pensa mais um pouco... Mas e´ pra pensar... Pensou? Ok. A
resposta e´ que na˜o existe! O que existe e´ que a influencia gravitacional de um
corpo nunca se anula, mas se torna muito pequena que praticamente na˜o faz efeito
Cap´ıtulo 3. Gravidade 39
nenhum. Imagina voceˆ sentado a´ı, todo pimpa˜o de boa, esta´ sob a influencia de
va´rias estrelas, pore´m o efeito e´ rid´ıculo e nem conta. Voceˆ sente mais os efeitos do
Sol, da Lua, Veˆnus, Mercu´rio, Marte, que esta˜o pro´ximos, mas a medida em que
va˜o se distanciando, eles se tornam cada vez menos relevantes. Ei! Na˜o vai pensar
que estou falando de Astrologia, estou falando de forc¸as gravitacionais.
Agora vamos ver matematicamente o que eu disse. Para zerar a acelerac¸a˜o da
gravidade voceˆ teria que fazer o seguinte:
gh =
GM
(R + h)2
= 0
Como estamos falando de um planeta, o raio e´ sempre positivo e na˜o pode ser zero,
com isso fazemos o seguinte...
GM = 0 · (R + h)2 = 0
Como G e´ uma constante e tem valor definido como positivo, a u´nica coisa a se fazer
e´:
M =
0
G
= 0
M = 0
Ou seja, a massa do planeta ser igual a zero! Isto e´, o planeta na˜o existir!Assim,
quando te perguntarem se o astronauta flutua no espac¸o e´ por que a gravidade nele
la´ em cima e´ zero, enta˜o diga que isso na˜o e´ verdade!! O astronauta esta´ flutuando
por que existe a forc¸a de centrifuga agindo nele que se opo˜e a forc¸a peso, dessa forma
ha´ o efeito de gravidade nula.
Podemos simular a gravidade nula estando no planeta Terra. A NASA treina as-
tronautas em um avia˜o sem poltronas e esse avia˜o sobe muito alto e depois desce
com acelerac¸a˜o igual acelerac¸a˜o da gravidade. Nesse momento, as pessoas dentro
comec¸am a flutuar, na˜o por que a gravidade e´ nula, mas por que as forc¸as se anula-
ram.
Antes de o avia˜o descer com o cacete la´ de cima, o astronauta esta´ exercendo uma
forc¸a sobre o piso da aeronave e pela terceira Lady Newton, o piso exerce uma forc¸a
normal de mesma direc¸a˜o, intensidade sentido oposto.
N −mg = m · 0 = 0
N = mg
Da´ı o piloto desce o avia˜o com uma acelerac¸a˜o α para baixo.
N ′ −mg = −mα
A forc¸a normal fica:
N ′ = mg −mα
40 3.3. Acelerac¸a˜o da gravidade em outros planetas
Se α e´ igual a g enta˜o N ′ = 0, enta˜o e´ como se na˜o houvesse mais o peso.
So´ que essa pra´tica de simulac¸a˜o de gravidade nula em um avia˜o so´ dura alguns
segundo, caso contra´rio todo o avia˜o se arrebenta no cha˜o...
3.3 Acelerac¸a˜o da gravidade em outros planetas
Podemos comparar a acelerac¸a˜o da gravidade entre dois planetas, fazendo simples
arranjos alge´bricos. Sob o ponto de vista da acelerac¸a˜o gravitacional o que pega para
planetas diferentes e´ a sua massa e o seu raio, podemos relacionar dois planetas e
ver como as atrac¸o˜es gravitacionais se comportam.
Enta˜o consideremos o Planeta A, com massa A e raio A e um planeta B com massa
B e raio B. A acelerac¸o˜es da gravidade em A e B sa˜o respectivamente:
gA =
GMA
R2A
gB =
GMB
R2B
Enta˜o vamos usar a te´cnica vista anteriormente. O que essas duas equac¸o˜es tem
em comum? Vale um pastel! Se voceˆ responder a constante gravitacional, acertou
mizeravi! Vamos manipular as duas equac¸o˜es para relaciona-las:
gAR
2
A
MA
= G
gBR
2
B
MB
= G
Enta˜o igualando, fica legal...
gAR
2
A
MA
=
gBR
2
B
MB
Cap´ıtulo 3. Gravidade 41
Mas como queremos a relac¸a˜o das acelerac¸o˜es da gravidade, vamos arrumar de novo.
gA
gB
=
R2BMA
R2AMB
Temos enta˜o uma relac¸a˜o para a acelerac¸a˜o da gravidade, na superf´ıcie, em dois
planetas distintos. Veja que na˜o levamos em considerac¸a˜o a altura.
Essa de relacionar dois planetas e´ uma questa˜o muito comum em vestibulares e o
ITA na˜o fica de fora. A`s vezes ele pode complicar as coisas colocando a altura em um
planeta cuja acelerac¸a˜o gravitacional equivaleria a atrac¸a˜o gravitacional em outro
planeta a certa altura. O ITA gosta de complicar, por isso fique esperto. Vamos
falar a respeito disso, mais pra frente. Agora vem uma questa˜o para voceˆ.
Questa˜o resolvida. Suponha que a humanidade consiga criar coloˆnias na Lua e
em Ju´piter e que la´ as pessoas se reproduzam com filhos e tals. Como seriam as
alturas dos selenes e jupiterianos comparadas a`s alturas dos terra´queos? Suponha
que os indiv´ıduos em todas as coloˆnias sejam biologicamente semelhantes, e que
cresceriam na mesma taxa sob as mesmas condic¸o˜es. A massa de Ju´piter e´ 316
vezes a massa da Terra e o seu raio e´ 11 vezes o raio da Terra.
Soluc¸a˜o: Supondo que os indiv´ıduos dessas coloˆnias crescessem em taxas iguais
sob as mesmas condic¸o˜es, o que influenciariam no seu crescimento seria a forc¸a que
a gravidade exerce sobre eles. Sabemos que a Lua e´ menor que a Terra e tem bem
menos massa, ja´ no caso de Ju´piter, a massa deste e´ imensamente maior, e seu raio
tambe´m. O peso de cada pessoa iria variar em cada um destes lugares. Vamos ver
como seria quando comparado com a Terra. Podemos escrever que:
MJu´piter = 316 ·MTerra
RJu´piter = 11 ·RTerra
42 3.3. Acelerac¸a˜o da gravidade em outros planetas
Olha a comparac¸a˜o entre os dois. E´ uma diferenc¸a brutal!
Relacionando ambos:
gJu´piter
gTerra
=
R2TerraMJu´piter
R2Ju´piterMTerra
=
R2Terra316 ·MTerra
121 ·R2TerraMTerra
∼= 2, 6
gJu´piter
gTerra
= 2, 6
gJu´piter = 2, 6 · gTerra
Um pessoa, de 75kg de massa, pesa na Terra: (aproximando g)
PTerra = mgTerra = 75 · 10 = 750N
Em Ju´piter, o peso seria de:
PJu´piter = mgJu´piter = 75 · 2, 6 · 10 = 1950N
Ok. E quanto equivaleria esse peso de Ju´piter na Terra? Tipo assim, uma pessoa
de quantos quilos aqui na Terra teria o mesmo peso de uma pessoa de 75 kg em
Ju´piter?
Para achar a massa da tal pessoa e´ so´ usar o peso em Ju´piter...
PJu´piter = mgTerra
1950 = m · 10
m = 195kg
Para uma pessoa aqui na Terra pesar o mesmo que uma pessoa de 75kg em Ju´piter,
ela precisa pesar 195kg! Muito X-Salada e batata frita!
Por isso, se a altura de uma pessoa for linearmente dependente da gravidade, po-
demos concluir que o povo de Ju´piter seria mais baixinho que os terra´queos, pore´m
num jogo de basquete eles iriam vencer fa´cil. Imagina o salto de um cara desses
para dar uma enterrada. Ia ser do meio da quadra. Isso porque como eles vivem
com pesos maiores, suas pernas seriam muito mais fortes que as nossas. Um tiro de
meta de jupiteriano aqui poderia lanc¸ar a bola para fora do campo. Ia ser louco ver
um baixinho mandar um chuta˜o desses!
Com certeza voceˆ ja´ viu imagens do homem na Lua. Os astronautas la´ na˜o andam,
mas saltam. Isso porque como a Lua tem menor massa e menor raio, a forc¸a da
gravidade la´ e´ bem menor assim, qualquer impulso vira um salto. Quando eu era
crianc¸a e via essas imagens, eu pensava que eles estavam ta˜o felizes de estar na Lua
que ficavam saltando de alegria... Sabia nada, inocente...
Cap´ıtulo 3. Gravidade 43
3.4 Efeito da latitude e rotac¸a˜o
Mas tudo isso foi desenvolvido desconsiderando o seu movimento de rotac¸a˜o. Ele
causa um efeito de diminuir o peso aparente dos corpos. Mas como? E´ so´ lembrar
quando voceˆ estava naquele busa˜o com motorista muito louco, apressado que faz
as curvas em alta velocidade, incorporado no esp´ırito de Ayrton Sena do Brasil!
Quando ele faz essa curva, voceˆ tem a sensac¸a˜o de estar sendo puxado para fora da
curva, ser jogado para fora do busa˜o. Veja a figura abaixo, onde esta˜o representados
de forma simplificada os efeitos de uma curva. A forc¸a centr´ıfuga puxa voceˆ para
fora enquanto realiza o movimento na rua. Vale salientar que os conceitos de forc¸a
centr´ıfuga e forc¸a centr´ıpeta precisam ser analisados sob o ponto de vista de refe-
renciais, mas para na˜o confundir vamos adotar dessa forma. Posteriormente iremos
analisar este aspecto.
Desde que voceˆ nasceu e ate´ este momento, voceˆ esta´ girando, porque voceˆ esta´
na Terra e ela gira em torno de si mesma. Pode na˜o parecer, mas para um observador
fora do planeta, a uma certa distancia, te descreveria fazendo movimento de rotac¸a˜o.
Essa rotac¸a˜o tambe´m tende a te ”jogar”para fora, mas devido a gravidade voceˆ
na˜o sai voando. Em qualquer corpo na superf´ıcie da Terra, ha´ uma briga entre a
gravidade e a forc¸a centrifuga, onde a gravidade vence, pore´m esta e´ descontada da
forc¸a centr´ıfuga.
44 3.4. Efeito da latitude e rotac¸a˜o
As forc¸as envolvidas sa˜o a forc¸a centr´ıfuga que puxa o corpo para fora enquanto
que o peso atrai o corpo para o centro da Terra. Para isso, precisamos a somato´ria
de forc¸as na direc¸a˜o radial, isto e´, na linha que suporta os raios da Terra.∑
Fr = mar
As forc¸as somadas sa˜o o peso e forc¸a centr´ıfuga, gerando uma resultando na mesma
direc¸a˜o e sentido do peso. No´s chamamos essa acelerac¸a˜o de acelerac¸a˜o aparente,
isto e´, devido a` rotac¸a˜o da Terra, temos um peso aparente, menor que o peso real
do corpo. ∑
Fr = P − Fcf = mgaparente
Substituindo a forc¸a centr´ıfuga:
P − Fcf = mgaparente
mg −mv
2
R
= mgaparente
g − v
2
R
= gaparente