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1 
 
 
Variáveis Aleatórias Discretas 
 
 
Definição: seja  um experimento aleatório e  o espaço amostral associado a esse 
experimento. Uma função X , que associe a cada elemento  um número real 
)(X , é denominada de variável aleatória (v.a). 
 
 
 
Observação: em algumas situações o resultado  do espaço amostral já constitui uma 
característica numérica que desejamos registrar. Assim, tomamos  )(X . 
 
Exemplo 1: lançamento de duas moedas. Considere a v.a. X sendo o número de faces 
CARA. 
 
},,,{ KCCKKKCC C ”cara” e K ”Coroa” 
 
 
 
 
Definição: uma v.a X é dita discreta quando o conjunto dos valores possíveis de X é 
finito ou infinito enumerável. 
 
},.....,,{ 21 nX xxx ou ,.....},{ 21 xxX  . 
 
 
 
 
2 
 
 
Função massa de probabilidade (fmp) 
 
 
Definição: a função massa de probabilidade (f.m.p) de uma v.a. discreta é: 
 
 
]1,0[:  Xf ; → ( ) = ( = ) 
 
 
Condições para ser uma f.m.p: 
 
 
(1ª) 1)(0  ixf , Xix  
 
(2ª) 1)(  Xix ixf , 
 
(3ª) 0)( ixf se Xix  
 
 
Exemplo 2: seja X o número de faces cara em 3 lançamentos de uma moeda tal que 
4
3)( CP e 
4
1)( KP . 
 
ix 0 1 2 3  
)( ixf 1/64 9/64 27/64 27/64 1 
 
64
1
4
1
4
1
4
1)()0()0(  KKKPXPf 
 
(1) = ( = 1) = [( )⋃( )⋃( )] = ( ) + ( ) +
( ) = + + = 
 
 
(2) = ( = 2) = [( )⋃( )⋃( )] = ( ) + ( ) + ( ) =
+ + = 
 
64
27
4
3
4
3
4
3)()3()3(  CCCPXPf 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
 
Representação gráfica da f.m.p do Exemplo 2: 
 
 
Exemplo 3: seja X v.a. discreta com a seguinte f.m.p: 
 
x -3 -1 0 1 2 3 5 8  
)(xf 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 1 
 
Obtenha: 
 
(a) probabilidade de X ser negativa 
(b) probabilidade de X ser par 
(c)  0|3  XXP 
(d)  0|3  XXP 
 
Solução: 
 
(a) 3,0)1()3(  ff (b) 3,0)8()2()0(  fff 
 
 
(c) 
[( = −3)⋂( ≤ 0)]
( ≤ 0) =
( = −3)
( ≤ 0) =
(−3)
(−3) + (−1) + (0) =
0,1
0,45 =
2
9 
 
 
(d) 
11
5
55,0
25,0
)8()5()3()2()1(
)8()5()3(



fffff
fff
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
Exemplo 4: nas funções massa abaixo obtenha o valor de C 
 
 
(a) 


 

..,0
};...;2;1{,2
)(
cc
NxCxf
x
 
 
Usando a soma dos termos de uma PG finita, 
 
)12(2
1
12
)12(2
1
2
1
1







NNN
x
x
C 
 
(b) 
 
 












..,0
;...}2;1{,
2
1
)(
cc
xC
xf
x
 
 
Usando a soma dos termos de uma PG infinita, 
 
11
2
11
2
1












CC 
 
 
Esperança matemática de uma v.a. discreta 
 
 
 A esperança matemática da v.a. X é definida como: )()( ix i xfxXE Xi  . 
 
notações: EXXE ,),(  
 
 
Exemplo 5: 
 
(a) Título pré-fixado de 12% ao ano 
 
(b) Título pós-fixado com probabilidade 0,60 de render 14% e probabilidade de 0,40 
de render 8%. 
 
Qual aplicação escolher? 
 
5 
 
 
Solução: 
 
(a) Título pré-fixado o rendimento já determinado é de 12% 
 
(b) Título pós-fixado o rendimento esperado é 60,11840,01460,0  
 
O título pré-fixado tem rendimento melhor. 
 
 
Observações: 
 
(1ª) A esperança matemática é a média da população, enquanto 

X é a média da 
amostra, ou seja, uma estimativa de E(X). 
 
(2ª) Interpretamos a esperança matemática como sendo o centro de gravidade 
(equilíbrio) de uma fmp, e é empregada com a finalidade de representatividade dos 
valores de X . 
 
 
Exemplo 6: Uma fábrica opera com 3 marcas de máquinas: A, B, C. O gerente deseja 
saber qual marca tem menor custo médio de manutenção. 
 
Marca A Marca B Marca C 
Tipo de 
defeito 
Custo do 
Conserto(X) 
Probab. 
de 
Falha 
Custo do 
Conserto(Y) 
Probab. 
de 
falha 
Custo do 
Conserto(Z) 
Probab. 
de 
falha 
Mecânico 33 0,50 32 0,48 34 0,45 
Elétrico 34 0,20 36 0,21 35 0,27 
Hidráulico 50 0,30 47 0,31 51 0,28 
 
 
3,3830,05020,03450,033 EX ; 49,37EY ; 03,39EZ 
 
 
A marca B tem menor custo médio, logo deve ser a preferida. 
 
 
Propriedades da Esperança: 
 
 
(1ª) ,)( ccE  se c for uma constante 
 
(2ª) )()( XcEcXE  , se c for uma constante 
 
(3ª) ,)()( bXaEbaXE  Rba , constantesd 
 
(4ª) )()()( YEXEYXE  
 
 
6 
 
 
Variância e desvio padrão de uma v.a. discreta 
 
 
Definição: Seja X v.a discreta com f.m.p f e espaço amostral ,......},{ 21 xxX  . 
Definimos a variância de X por 
 
   )()( 2 ix i xfEXxXVar Xi   . 
 
Definição: o desvio padrão é definido como )()( XVarXDP  . 
 
Notações: XX XDPXVarXV  ),(,),(),(
2 . 
 
 
Observações: 
 
(1ª) uma fórmula alternativa para a variância é    22 )()( EXxfxXVar ix iXi    . 
 
(2ª) 0)( XVar . 
 
(3ª) a variância tem como unidade de medida o quadrado da unidade de medida de X . 
 
(4ª) o desvio padrão tem mesma unidade de medida que a v.a. X , e mede o grau de 
dispersão dos valores de X em torno de EX . 
 
(5ª) podemos também utilizar o coeficiente de variação de X , definido como 
%100
||

EX
DPCV . O CV é interpretado como o grau de variabilidade relativa em 
torno da esperança, ou seja, CV é uma medida relativa, enquanto DP é absoluta. 
 
 
Exemplo 7: com relação ao Exemplo 2, 
 
 
64
144)( XE , 5625,0
64
144
64
360)(
2





XVar 
 
 
75,0)( XDP e %3333,33CV . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
Propriedades da variância 
 
(1ª) ,0)( cVar c constante; 
 
(2ª) )()( 2 XVarccXVar  ; 
 
(3ª) ),()( 2 XVarabaXVar  Rba , . 
 
(4ª) 



XZ , 0)( ZE 1)( ZVar 
 
Modelos probabilísticos discretos 
 
Modelo Uniforme Discreto 
 
 
fmp: ,1)(
N
xf i  }.....,2,1{ Ni . 
 
 
caso particular: 






N
if
Nix Xi
1)(
},.....,2,1{
 
 
 
Notação: )(NUnif 
 
Gráfico da fmp de uma distribuição uniforme discreta 
 
 
 
 
8 
 
 
Esperança e variância de uma Uniforme discreta 
 
2
1 NEX  ; 
12
)1()(
2 

NXVar . 
 
Exemplo 8: X= “no. de pontos marcados na face superior de um dado”. 
 
 x 1 2 3 4 5 6  
)(xf 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1 
 
5,3
2
16)( XE 
 
Exemplo 9: a amostra a seguir é o resultado de 24 lançamentos de um dado 
equilibrado 
 
Face 1 2 3 4 5 6 Total 
No. ocorrências 4 4 5 4 3 4 24 
 
 
416666,3
24
82
24
463544534241




X 
 
Em n lançamentos de um dado a soma das faces divida por n é aproximadamente 3,5. 
 
Modelo Binomial 
 
 
 Seja um experimento aleatório com dois resultados possíveis, isto é, 
},{ 21  , com pP )( 1 e qpP 1)( 2 . A variável aleatória X , tal que 
1)( 1 X (ocorreu um sucesso) e 0)( 2 X (ocorreu um fracasso) é dita modelo 
de Bernoulli. O que é um “sucesso” ou um “fracasso” é subjetivo. 
 
 
 
 
 
9 
 
 
Exemplo 10: lançamento de uma moeda equilibrada 
 
 
 ={cara, coroa} 
 
 
 
  5,01 XP e   5,00 XP . 
 
 
 
Exemplo 11: ={ fator RH+ ; fator RH-} 
 
 
 
Sabe-se, da Biologia, que   85,01 XP e   15,00 XP . 
 
 
 Sendo nXXX ,....,, 21 v.a’s. independentes e identicamente distribuídas 
segundo uma Bernoulli de parâmetro p , então  
n
i i
XX
1
 é dita binomial de 
parâmetros n e p . 
 
 
Notação: ),( pnBinomial 
 
 
Observação: A v.a. X é interpretada como o número de sucessos em n 
repetições independentes do experimento. O valor n é também visto como o tamanho 
da amostra e p a proporção de sucessos na população. 
 
 
fmp: xnxxn qpCpnxf
),,( , }.....,2,1,0{ nx 
 
 
Esperança e Variância de uma v.a. Binomial: npEX  ; )1( pnpVarX  
 


10 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 12: considere uma prova com 10 questões, cada uma com 4 alternativas. 
Suponha que o aluno escolha as respostas ao acaso. Qual é a probabilidade de: 
 
 (a) Acertar todas 
 (b) Errar todas 
 (c) Acertar no máximo 1 
 (d) Acertar no mínimo 2 
 (e) Qual o número esperado de acertos? 
 
Solução: vamos denotar X como o número de acertos 
 
X é binomial comn=10 e p=0,25 
 
(a) 
 7
105367,925,0
75,025,0)10()10(
10
01010
10


 CfXP
 
 
(b) 
0563,075,075,025,0)0()0( 10100010  CfXP
 
 
(c) 
2440,00563,01877,0)1()0()1(  ffXP 
 
(d) 
2440,01)1()0(1)1(1)2(  ffXPXP
 
(e) 35,225,010)( XE 
 
 
11 
 
 
Exemplo 13: no exemplo anterior, se a prova tivesse 40 questões, qual o número 
esperado de acertos? 
 
Solução: 
1025,040)( XE 
5,775,025,040)( XVar %3861,27CV 
 
Exemplo 14: suponha que um comprador queira decidir se vai aceitar ou não um lote 
de itens. Para isso, ele retira uma amostra de tamanho 20n do lote, e conta o no. x 
de defeituosos. Se 2x ele aceita o lote, caso contrário é rejeitado. Qual a 
probabilidade de aceitar um lote quando a proporção de defeituosos for: 
 
(a) 20,0p (b) 10,0p (c) 05,0p 
 
(d) qual valor de p tal que 95,0)2( XP ? 
 
Solução: 
 
 
P(aceitar o lote) =  )2()1()0()2( XPXPXPXP 
 1821920 )1(190)1(20)1( ppppp  
 
(a) 0,20608 (b) 0,6769 (c) 0,9245 (d) 0,042169 
 
Exemplo 15: uma fábrica produz válvulas hidráulicas para banheiro, das quais 20% 
são defeituosas. As válvulas são vendidas em caixas de 10 unidades. Se a caixa não 
contiver nenhuma defeituosa, o preço de venda será 10,00 u.m.; uma defeituosa será 
8,00, duas ou três defeituosas será 6,00; mais que três será 2,00. 
 
(a) Qual o preço médio de venda da caixa? 
 
(b) Qual o valor de p tal que o preço médio de venda seja 9? 
 
Solução: 
 
(a) X é o número de peças com defeitos, a qual segue distribuição binomial de 
10n e 20,0p 
 












4;2
}3,2{;00,6
1;00,8
0;00,10
X
X
X
X
PV 
 
12 
 
 
 
 
 
  4828,622013,0302,042684,061074,08
2))3()2((4)1(6)0(8
))2()1()0(1(2))3()2((6)1(8)0(10
)2()1()0(12
)3()2(6)1(8)0(10
)4(2)3()2(6)1(8)0(10)(






ffff
fffffff
XPXPXP
XPXPXPXP
XPXPXPXPXPPVE
 
 
 (b) 
  92)1(120)1(454)1(106)1(8 7382910  ppppppp 
 051,0p 
 
Modelo Hipergeométrico 
 
 
Nota: a denominação do modelo tem relação com a série hipergeométrica. 
 
Experimento aleatório: Seja uma população de tamanho N com r elementos 
possuindo uma característica em comum. O experimento consiste em extrair uma 
amostra, sem reposição, e observar se a unidade amostral possui a característica. Se a 
unidade amostral tiver a característica, diremos que ocorreu um “sucesso”. A v.a. 
X ”número de sucessos (itens com a característica de interesse) na amostra” é tal 
que )},min(,....,1,0{ rnX  . 
 
f.m.p: ,)(),,,( n
N
xn
rN
x
r
C
CCxXPrnNxf

 )},min(,....,1,0{ rnx . 
 
 Nr 1 ; Nn 1 
 
Notação: ),,( rnNH 
 
 
Esperança e variância de uma Hipergeométrica: 
 
 
npXE )( , 








1
)1()(
N
nNpnpXVar , 
N
rp  
 
Observação: para N e mantendo 
N
rp  constante, a fmp de uma 
hipergeométrica converge para a binomial . Logo, para uma população suficientemente 
grande, os processos com e sem reposição ficam muito próximos. 
 
 
13 
 
 
Exemplo 16: parafusos são vendidos em embalagens de 20 unidades. Um inspetor de 
qualidade examina uma embalagem, selecionando ao acaso e sem reposição 5 unidades. 
Sabendo-se que há 4 defeituosos na embalagem, qual a probabilidade de que nesta 
amostra ele encontre: 
 
(a) Nenhum item defeituoso? 
 
(b) Um item defeituoso? 
 
(c) No mínimo dois com defeitos? 
 
 
Solução: X “número de parafusos defeituosos na amostra” 
 
}4,3,2,1,0{ X 20N 5n 4r 
 
(a) 2817,0)0()0( 5
20
5
16
0
4 
C
CCfXP 
 
(b) 4696,0)1()1( 5
20
4
16
1
4 


C
CCfXP 
 
(c) 
 2487,04696,02817,01
)1()0(1)1(1)2(

 ffXPXP
 
 
Exemplo 17: determinado tipo de parafuso é vendido em caixas de 1000 peças. É uma 
característica da fabricação produzir 10% defeituosos. Normalmente, cada caixa é 
vendida por 13,50 u.m. Um comprador faz a seguinte proposta: de cada caixa, ele 
escolhe uma amostra sem reposição de 20 peças. Se a amostra tiver nenhum defeituoso, 
ele paga 20,00; 1 ou 2 defeituosos ele paga 10,00, 3 ou mais ele paga 8,00. Qual 
alternativa é mais vantajosa para o fabricante? 
 
 
Solução: X “número de parafusos defeituosos na amostra” 
 
X é uma Hipergeométrica com 1000N ; 20n e 10010,0  Nr 
 









3;00,8
}2,1{;00,10
0;00,20
X
X
X
PV 
 
14 
 
 
 
54,108]2881,02701,0[21190,012
8)]2()1([2)0(12
)]2()1()0(1[8)]2()1([10)0(20
)3(8)2()1(10)0(20)(




fff
ffffff
XPXPXPXPPVE
 
 
Aproximando pela Binomial de parâmetros 20n e 10,0p , 
 
57,108]2852,02702,0[21215,012)( PVE 
 
É mais vantagem para o fabricante vender ao preço fixo de 13,50. Se o fabricante 
conseguisse reduzir a percentagem de defeituosos, digamos para 1%, então pela 
proposta do comprador 16,18)( PVE , a qual seria mais vantajoso para o fabricante. 
 
Modelo de Poisson 
 
 
 A distribuição de Poisson é o modelo probabilístico que descreve um experimento 
aleatório, cuja variável aleatória X é o número de sucessos em um intervalo de 
comprimento t . 
 
 
 
Exemplo 18: aplicações do modelo de Poisson: 
 
(1º) no. de chamadas telefônicas recebidas por um PBX durante um período de tempo. 
 
(2º) no. de falhas de um computador durante 1 dia. 
 
(3º) no. de veículos que chegam a um pedágio durante 1 hora. 
 
(4º) no. de falhas em 1 metro de tecido de algodão. 
 
 
fmp: ( , , ) = ( )
!
 , ,.......}2,1,0{x 
 
sendo .....718281828,2e , t > 0 e 0 o número médio de “sucessos” no 
intervalo de comprimento 1. 
 
 
Notação: ),( tPois  
 
 
15 
 
 
 
 
 
Gráfico da fmp de uma Poisson 
 
 
 
Esperança e variância de uma Poisson: tEX  tXVar )( . 
 
 
 
Exemplo 19: em um pedágio de uma autoestrada chegam em média 3 veículos por 
minuto. Qual a probabilidade de que em: 
 
(a) 1 minuto não chegue nenhum veículo? 
(b) 2 minutos cheguem 7 veículos? 
(c) 1 minuto cheguem no mínimo 3 veículos? 
(d) Qual k tal que 95,0)(  kXP ? Assuma t =1 . 
 
 
 
 
 
16 
 
 
Solução: X ”número de veículos em um intervalo de t minutos” 
 
(a) 313 t 
   04978,0
!0
)0( 3
0
  eeXP  
 
(b) 623 t 
  1377,0
!7
6
!7
2)7(
7
6
7
2   eeXP  
623 t 
 
 
(c) 313 t 
 
 
5768,04232,012240,01494,004978,01
)2()1()0(1)2(1)3(

 fffXPXP 
 
(d) 95,0)(  KXP , ou seja, 95,0
!
3
0
3 


K
x
x
x
e .Não há uma 
solução explícita para a incógnita K, pois ela está relacionada com o número de 
parcelas da soma. A solução é obtida através do método recursivo, como consta na 
tabela. Assim, K=6, pois não conseguimos que a soma seja exatamente 0,95, uma vez 
que K deve ser inteiro positivo. 
 
 
k )( kXP  
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0,04978 
0,1991 
0,4232 
0,6472 
0,8152 
0,9161 
0,9664 
 
 
Exemplo 20 (leitura opcional) A oficina de manutenção de uma indústria pode atender 
até 4 casos de avarias de máquinas por dia. O número de avarias diárias segue 
distribuição de Poisson de média 3. Se houver mais de 4 avarias a máquina tem que 
esperar até surgir uma vaga na oficina. 
 
(a) Qual a probabilidade de que em um dia a oficina não consiga atender todas as 
máquinas avariadas? 
 
(b) Qual a probabilidade de que o número de máquinas avariadas em um dia seja 
entre 2 (incluso) e 5 (incluso)? 
 
(c) Quantas vagas deve haver na oficina para que atenda todas as máquinas 
avariadas em 90% dos dias? 
 
 
 
17 
 
 
Solução: X número de máquinas avariadas em um dia 
 
t=1 
 
(a) 
 
1847,0)4()3()2()1()0(1
)4(1)4(
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